[ Д.А. Бедин
Дополнительная программа:
Стохастические дифференциальные уравнения,
фильтрация Калмана, предельные теоремы теории вероятностей.
Экзамен по специальности 01.01.02 «Дифференциальные уравнения».
Институт математики и механики УрО РАН
Екатеринбург, 2009
1. Стохастические уравнения
1.1 Случайные Определение случайной функции. Лоэв, функции Конечномерные распределения случайной с. 519-527.
функции. Оксендаль, с. 25-27.
-алгебры, порождаемые случайной функцией.
Предел в точке и непрерывность в различных смыслах.
Выборочные пределы и выборочная непрерывность.
Теоремы о соответствии различных видов непрерывности.
Содержательные примеры случайных функций.
1.2 Броуновское Определение через закон конечномерных Оксендаль, движение распределений. с. 27-31.
Свойства, характеризующие броуновское Гихмандвижение: п.н. непрерывность, независимость Скороход, приращений; теорема Дуба. с. 8-11.
Свойства дисперсии и ковариации.
Броуновское движение как мартингал.
Оценка вероятности выхода за определённый уровень.
1.3 Интегрирование по Модель белого шума в дифференциальных Оксендаль, Ито уравнениях, приводящая к идее интеграла Ито. с. 38-47.
Определение Ft-согласованности Гихманнеупреждаемости). Скороход, Пример существенности Ft-согласованности для с. 12-16.
интегральных сумм.
Изометрия Ито для ступенчатых по времени функций.
Определение интеграла Ито как предела интегральных сумм.
1.4 Свойства Простейшие свойства. Оксендаль, интеграла Ито Свойство математического ожидания. с. 49.
ГихманИзмеримость интеграла по -алгебре Ft.
Скороход, Изометрия Ито.
с. 12-16.
Оценка выхода модуля интеграла за определенный уровень.
1.5 Мартингалы и Определение мартингала относительно Оксендаль, интеграл Ито с. 49-53.
неубывающего потока -алгебр.
Неравенство Дуба для мартингалов.
Теорема о п.н. непрерывности траекторий интеграла Ито.
Теорема о том, что интеграл Ито – мартингал.
Теорема о представлении мартингала (без доказательства).
1.6 Другие виды Оксендаль, Интеграл Стратоновича и стохастические интегралов от с. 55-57.
интегралы.
случайных Лоэв, с. 493-496.
Интеграл от случайной функции по времени.
Гихманфункций Стохастический интеграл по ортогональной мере.
Скороход, Интеграл в среднеквадратическом.
с. 249-265.
Миллер-Панков, с. 157-161, 212Процессы Ито, Определение процесса Ито. Оксендаль, формула Ито Теорема о формуле Ито, схема доказательства. с. 64-72.
Многомерная формула Ито.
Пример многомерной формулы Ито: процесс Бесселя.
1.8.1 Стохастические Определение стохастического Пугачёв, дифференциальные дифференциального уравнения. с. 259-267.
уравнения Переход от детерминированного Оксендаль, дифференциального уравнения к с. 86-91.
стохастическому.
1.8.2 Теорема о существовании и единственности Оксендаль, решения стохастического дифференциального с. 91-97.
уравнения.
1.8.3 Различные варианты ослабления условий Оксендаль, теоремы существования и единственности. с. 97-99.
Понятия сильного и слабого решения, сильной и слабой единственности.
Уравнение Танаки.
1.8.4 Примеры решения задач: Оксендаль, рост популяции, с. 100-106.
процесс Орнштейна-Уленбека, «Броуновский мостик», броуновское движение на окружности, решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
2. Фильтрация Калмана 2.1 Постановка задачи Уравнение процесса и уравнение измерений. Оксендаль, непрерывной Определение наилучшей оценки. с.107-110.
фильтрации Лемма о проекции.
2.2.1 Частный случай Лемма о нормальном распределении состояния и линейных измерения в случае нормального распределения стохастических начального состояния.
дифференциальных Лемма о нахождении оптимальной оценки в уравнений – пространстве линейных комбинаций измерений 2.2.2 Лемма о представлении элемента пространства Оксендаль, 2.3 Примеры решения Наблюдение постоянного процесса на фоне Оксендаль, 2.4.1 Дискретный Уравнения движения и измерения в дискретном Барабанов 2.4.3 Монотонность решений стационарного уравнения Барабанов 3. Предельные теоремы 3.1 Исторически Схема Бернулли: теорема Бернулли, теорема Лоэв, с. 20-31, независимых Усиленный закон больших чисел Колмогорова.
случайных величин Теорема о независимых, центрированных 3.3 «Классические» Теорема классической вырожденной сходимости. Лоэв, с. 292-296.
предельные Критерий классической нормальной сходимости 3.4 Законы Понятие о вероятностном законе для сечений Лоэв, с. 560-576.
распределения непрерывных процессов с независимыми независимыми Критерий нормальных и пуассоновских Литература 1) Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения: Пер. с англ. – М.: Мир, ООО «Издательство АСТ», 2003. – 408 с.
2) Лоэв М. Теория вероятностей. - М.: изд. Иностранной литературы, 1962. – 719 с.
3) Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. - Киев:
изд. «Наукова думка», 1968. – 354 с.
4) Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. – М.:
5) Пугачёв В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 632 с.
6) Барабанов А.Е. Лекции по дискретному фильтру Калмана. Электронный документ.
«