[ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. А.Н. ТУПОЛЕВА-КАИ»
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В АСПИРАНТУРУ
Специальность 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»Казань 2014 1.Общие положения Настоящая программа вступительного экзамена по направлению подготовки: 09.06.01 – Информатика и вычислительная техника составлена в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования.
Процедура приема вступительных экзаменов регламентирована Порядком приема на обучение по образовательным программам высшего образования - программам подготовки научно – педагогических кадров в аспирантуре, утвержденным приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 26 марта 2014 г. № 233.
Особенности проведения вступительного испытания в аспирантуру: лица, поступающие в аспирантуру, сдают вступительное испытание по специальной дисциплине, соответствующую профилю направления подготовки. Результат вступительного испытания оценивается по пятибалльной шкале. Конкурсное вступительное испытание проводится в письменной форме, по билетам. Продолжительность проведения письменного экзамена – до двух часов.
Пересдача вступительных экзаменов не допускается. Результаты вступительных экзаменов в аспирантуру действительны в течение календарного года.
2. Перечень вопросов для подготовки:
2.1. Математический анализ Непрерывные функции, их свойства; равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке; монотонные функции; существование и непрерывность обратной функции, непрерывность элементарных функций.
Дифференциалы и производные: дифференцируемость функции в точке; производная в точке, дифференциал и их геометрический смысл;
механический смысл производной; правила дифференцирования;
производные и дифференциалы высших порядков; формула Лейбница.
Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения;
формула Тейлора; применение дифференциального исчисления к исследованию функций, признаки постоянства, монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба; геометрические приложения.
Определенный интеграл: задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; определенный интеграл Римана; критерий интегрируемости; свойства определенного интеграла; существование первообразной от непрерывной функции; формула Ньютона-Лейбница;
замена переменной; интегрирование по частям.
Функции многих переменных: евклидово пространство п измерений;
функции многих переменных, пределы, непрерывность; дифференциал и частные производные функции многих переменных; производная по направлению; градиент; достаточное условие дифференцируемости;
дифференцирование сложных функций; частные производные высших порядков, свойства смешанных производных; дифференциалы высших порядков; формула Тейлора для функций нескольких независимых переменных; экстремум; отображения Rn в Rm, их дифференцирование;
теоремы о неявных функциях; замена переменных; условный экстремум.
Числовые ряды: сходимость и сумма числового ряда; критерий Коши;
знакопостоянные ряды; сравнение рядов; признаки сходимости; признак Лейбница; абсолютная и условная сходимость.
Функциональные последовательности и ряды, равномерная сходимость; признаки равномерной сходимости; теорема о предельном переходе; теоремы о непрерывности, почленном интегрировании и дифференцировании; степенные ряды, непрерывность суммы степенного ряда; почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов; ряд Тейлора; разложение элементарных функций в степенные ряды.
Ряды Фурье: ортогональные системы функций; тригонометрическая система; ряд Фурье; равномерная сходимость ряда Фурье; признаки сходимости ряда Фурье в точке; принцип локализации; минимальное свойство частных сумм ряда Фурье; неравенство Бесселя; сходимость в среднем; интеграл Фурье и преобразование Фурье.
Двойной интеграл и интегралы высшей кратности: двойной интеграл, его геометрическая интерпретация и основные свойства; приведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле.
Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности:
криволинейные интегралы; формула Грина; интегралы по поверхности;
формула Остроградского; элементарная формула Стокса; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути. Элементы теории поля: скалярное поле; векторное поле; поток, циркуляция, вихрь; потенциальное поле; соленоидальное поле.
2.2. Алгебра и геометрия Системы линейных уравнений; свойства линейной зависимости; ранг матрицы; определители, их свойства; решение систем линейных уравнений.
Векторные пространства; базис и размерность; подпространства; сумма и пересечение подпространств; прямые суммы; билинейные и квадратичные формы; приведение квадратичной формы к нормальному виду; положительно определенные квадратичные формы; ортонормированные базисы и ортогональные дополнения.
Линейные операторы; собственные векторы и собственные значения;
достаточные условия приводимости матрицы линейного оператора к диагональному виду; понятие о жордановой нормальной форме;
самосопряженные и ортогональные (унитарные) операторы. Векторы:
векторы, их сложение и умножение на число; линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл; базис и координаты; скалярное произведение векторов; переход от одного базиса к другому; векторное и смешанное произведения векторов.
Дифференциальные уравнения Понятие дифференциального уравнения; вид решения; интегральные кривые, фазовые кривые. Элементарные приемы интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, линейное уравнение, уравнение Бернулли, метод введения параметра, уравнения Лагранжа и Клеро.
Задача Коши: теорема существования и единственности решения задачи Коши (для системы уравнений).
Линейная зависимость функций и определитель Вронского; формула Лиувилля-Остроградского; фундаментальные системы и общее решение линейной однородной системы (уравнения); неоднородные линейные системы (уравнения). Метод вариации постоянных; решение однородных линейных систем и уравнений с постоянными коэффициентами.
Решение неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами и неоднородностями специального вида.
Непрерывная зависимость решения от параметра; дифференцируемость решения по параметру; линеаризация уравнения в вариациях; устойчивость по Ляпунову; теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению и ее применение; фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами; особые точки: седло, узел, фокус, центр.
Первые интегралы; уравнения с частными производными первого порядка; связь характеристик с решениями; задача Коши; теорема существования и единственности решения задачи Коши (в случае двух независимых переменных).
Метрические и топологические пространства: множества, алгебра множеств; счетные множества и множества мощности континуума;
метрические пространства; открытые и замкнутые множества; компактные множества в метрических пространствах; критерий Хаусдорфа; полнота и пополнение; теорема о стягивающих шарах.
Мера и интеграл Лебега: построение меры Лебега на прямой; общее понятие аддитивной меры; лебеговское продолжение меры; измеримые функции их свойства; определение интеграла Лебега; класс суммируемых функций; предельный переход под знаком интеграла. Банаховы пространства:
определение линейного нормированного пространства; примеры норм;
банаховы пространства; сопряженное пространство, его полнота; теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала; общий вид линейных функционалов в некоторых банаховых пространствах.
Линейные операторы; норма оператора; сопряженный оператор;
принцип равномерной ограниченности; обратный оператор; спектр и резольвента; теорема Банаха об обратном операторе; компактные операторы;
компактность интегральных операторов; понятие об индексе; теорема Фредгольма.
Гильбертовы пространства: скалярное произведение; неравенство Коши-Буняковского-Шварца; ортогональные системы; неравенство Бесселя;
базисы и гильбертова размерность; теорема об изоморфизме, ортогональное дополнение; общий вид линейного функционала; самосопряженные (эрмитовы) и унитарные операторы; ортопроекторы; спектр эрмитова и унитарного оператора; теорема Гильберта о компактных эрмитовых операторах.
Элементы нелинейного анализа: слабый и сильный дифференциал нелинейного функционала; экстремум функционала; классические задачи вариационного исчисления; уравнение Эйлера; вторая вариация; условия Лежандра и Якоби.
2.5. Уравнения математической физики Вывод уравнений колебаний струны и мембраны, теплопроводности, Лапласа; постановка краевых задач, их физическая интерпретация.
Формулировка теоремы Коши-Ковалевской. Понятия характеристического направления, характеристики; приведение к каноническому виду и классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка. Волновое уравнение; энергетические неравенства; единственность решения задачи Коши и смешанной задачи; вывод формул Кирхгофа и Пуассона, исследование и физический анализ этих формул; метод Фурье для уравнений колебаний струны и мембраны, общая схема метода Фурье.
Уравнения Лапласа и Пуассона; формулы Грина; фундаментальное решение оператора Лапласа; потенциалы; свойства гармонических функций;
единственность решений основных внутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа; функция Грина задачи Дирихле; решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге, в шаре; и вне круга, шара;
обобщенные решения краевых задач.
Уравнение теплопроводности; принцип максимума в ограниченной области и единственность решения задачи Коши; построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности; принцип максимума для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Понятие корректной краевой задачи; примеры корректных и некорректных краевых задач.
2.6. Численные методы Численные методы линейной алгебры. Основные методы решения систем с плотными матрицами. Методы решения спектральных задач (нахождение собственных значений и собственных векторов квадратных матриц либо сингулярных значений и сингулярных векторов прямоугольных матриц). Вычисление наибольшего по модулю собственного значения матрицы. Прямые и итерационные методы. Способы ускорения сходимости.
Градиентные методы. Методы ортогонализации.
Основные численные алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: методы Рунге-Кутта и Адамса.
Основные численные методы решения (дискретизации) уравнений в частных производных, методы конечных разностей и конечных объемов, метод конечных элементов. Аппроксимация, устойчивость и сходимость.
Теорема о связи сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем.
2.7. Методы оптимизации и оптимального управления Задача линейного программирования. Теорема о существовании решения. Двойственная задача. Теорема двойственности. Симплекс-метод.
Свойства. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.
2.8. Теория вероятностей и математическая статистика Основные понятия теории вероятностей. Алгебра событий. Случайные величины. Основные распределения, их характеристики. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Точечные и интервальные оценки параметров распределений. Проверка гипотез. Методы построения критериев. Гипотезы о равенстве средних и дисперсий. Регрессионный анализ. Линейная и нелинейная регрессия.
Литература 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1,2,3. М.-Л.: ФМЛ, 2008.
2. Никольский СМ. Курс математического анализа, т.1 и 2. М.: Наука, 2012.
3. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 2008.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Спб.: Лань, 2008.
5. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М: Наука, 2008.
6. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.
7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М:
Наука, 2008.
8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Т.М. Численные методы.
М.: Наука, 2008.
9. Самарский А.А. Теория разностных схем, М.: Наука, 1977.
10. Колемаев В.А., Калинина В.М. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: КНОРУС, 2009.
11. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: учеб. пособие для студ. вузов/ Д.К.
Фаддеев. СПб.; Лань, 12. Письменный Д. Т.Конспект лекций по высшей математике: в 2-х ч./ Д. Т. Письменный. -М.: Айрис-Пресс Ч.I. - Интернет-ресурсы 1. http://www.lib.tpu.ru/cgi-bin/viniti/zgate?Init+viniti.xml,viniti.xsl+rus Реферативные журналы ВИНИТИ (РЖ ВИНИТИ). База данных содержит информационные сообщения о научных документах по естественным и техническим наукам. В Базе данных представлено содержание выпусков РЖ, выписываемых НТБ ТПУ в электронном виде с 2005 года.
2. http://www.lib.tpu.ru/resource_mars.html Межрегиональная аналитическая роспись статей (МАРС). Cводная база данных аналитической росписи статей из периодических изданий по всем областям знаний. Хронологический охват: с 2001 года по текущий год.
Научная электронная библиотека (НЭБ) http://elibrary.ru Информационный портал в области науки, технологии, медицины и образования.
10. SpringerLink http://www.springerlink.de Полнотекстовые научные журналы, книги, справочники по всем областям знаний.
4. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm Полнотекстовые учебники и монографии по всем разделам математики.
Программа составлена на основе Федеральных Государственных образовательных стандартов и Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по программам специалитета и/или магистратуры.
Программу разработали:
д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой специальной математики, Гараев К.Г., д.т.н., доцент, профессор кафедры специальной математики Анфиногентов В.И., к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры специальной математики Якупов З.Я.
«