Московская математическая

конференция школьников

ПРОГРАММА заседания 18.12.2011

Заседания в 303, перерывы в 304.

10.00-10.10 Открытие. Выступление Дмитрия Валериевича Трещева и Бориса Рафаиловича Френкина. (Председатель А.А. Заславский.)

10.10-10.35 А. Волгин, Числа Стирлинга и игры Конвея. (Председатель А.А. Заславский.)

10.40-11.10 В. Болбачан, Рациональные аппроксимации постоянной Эйлера-Гомпертца. (Председатель А.А. Заславский.)

11.15-11.45 А. Рухович, На какие части разбиваются многогранники их пересечением? (Председатель А.И. Сгибнев.) 11.45-12.00 Перерыв (чай, кофе, бутерброды) 12.00-12.30 Г.Б. Шабат, Склейки многоугольников. (Председатель А.И. Сгибнев.) 12.35-13.05 А.Б. Скопенков, Еще одно доказательство из Книги:

неразрешимость уравнений в радикалах. (Председатель Г.Б. Шабат.) 13.10-13.40 А.М. Райгородский, Разбиение множеств на части меньшего диаметра. (Председатель Б.Р. Френкин.) 13.40-13.45 Объявление решения жюри и награждение 13.45-14.15 Перерыв (чай, кофе, бутерброды) В это время мы просим авторов стендовых докладов стоять у своих стендов.

14.15-15.15 Семинар А.М. Райгородского (ауд. 303).

14.15-15.15 Семинар А.Б. Скопенкова (ауд. 304).

14.15-15.15 Семинар Г.Б. Шабата (ауд. 311).

АННОТАЦИИ докладов ММКШ- Ссылки на полные тексты: http://www.mccme.ru/mmks/notes.htm А.М. Райгородский, Разбиение множеств на части меньшего диаметра.

Рассматривается красивая и важная задача комбинаторной геометрии о разрезании множеств на плоскости и в пространствах бОльших размерностей на части, обладающие некоторыми интересными свойствами. Например, можно потребовать, чтобы диаметр каждой части (т.е., грубо говоря, максимальное расстояние между ее точками) был как можно меньше. А можно попросить, чтобы между любыми двумя точками в каждой части не было заданного наперед расстояния. В первом случае задача получится связанной с классической гипотезой Борсука о том, что всякое множество в пространстве размерности n можно разбить на n + 1 часть меньшего диаметра. Во втором случае задача окажется близка к классической проблеме Нелсона–Хадвигера об отыскании хроматического числа пространства. В проекте много несложных учебных задач, но много и исследовательских постановок вопросов. Разобравшись с легкими задачами, участник проекта сможет выйти на серьезные проблемы, часть из которых только ожидает своего решения.

А.Б. Скопенков, Еще одно доказательство из Книги:

неразрешимость уравнений в радикалах.

Будет показано, как найти уравнение • 3-й степени, неразрешимое в вещественных радикалах;

• 5-й степени, неразрешимое в комплексных радикалах (теорема Галуа).

Будет приведена идея простого доказательства этих результатов, основанная на сопряжении. Для понимания рассказа и решения задач семинара достаточно знакомства с многочленами и умения извлекать корни из комплексных чисел. Будут приведены задачи для иследования, не претендующие на научную новизну. Эти задачи подведут решателя к конструктивной теории Галуа, являющейся областью современных научных исследований.

Г.Б. Шабат, Склейки многоугольников.

Будет обсуждено современное состояние задачи о распределении по родам ориентируемых склеек многоугольников. Точные определения будут приведены: как на основе интуитивных понятий двумерной топологии, так и в терминах конечной математики. Будет приведен точный ответ — формула Харера-Цагира — и поставлен вопрос о ее элементарном доказательстве. Для склеек рода 0 формула сводится к известной рекурренции, связывающей соседние числа Каталана, и это будет доказано.

В. Болбачан, Рациональные аппроксимации постоянной Эйлера-Гомпертца.

Если многочлен P имеет целые коэффициенты, то I(P ) := P (x)ex ln(x + 1)dx = a(P ) b(P ), где a(P ) и b(P ) целые числа, а := I(1) есть постоянная ЭйлераГомпертца. В работе приводится явно такая последовательность многочленов Pn, что I(Pn) = 1 и b(Pn) стремится к бесконечности.

Тогда последовательность a(Pn)/b(Pn) стремится к, т.е. дает рациональные приближения к. Для понимания работы достаточно знания элементарного анализа.

А. Волгин, Числа Стирлинга и игры Конвея.

Построим таблицу Конвея Vnm, где m 1 и n 1. Положим Vn1 = 1 для любого n. Для каждого s 1 выделим V s(s+1). Каждая следующая m-я строка получается из предыдущей таким образом:

• если Vnm1 выделено или Vnm1 = 0, то полагаем Vnm := 0, • если Vnm1 не выделено и Vnm1 = 0, то полагаем Vnm := Vnm1 + Vqm, где q — наибольшее число, меньшее n, для которого Vqm = 0; если такого q нет, то полагаем Vnm := Vnm1.

Затем выделим в m-й строке ] числа, справа от которых ноль.

все [ s d+ Теорема. V s(s+1) (число Стирлинга первого рода) = sd d для любых s 1 и d = 0, 1,..., s 1.

Для d = s1 этот результат был известен Конвею (в этом случае [] s = (s 1)!). Для d < s 1 он получен автором самостоятельно (проверка его новизны пока не проведена).

Аналогичный результат с заменой чисел Стирлинга на коэффициенты многочлена (x + n)k1 доказывается для аналогичной таблицы Конвея, для которой в первой строке выделены все числа, делящиеся на наперед заданное число k.

А. Рухович, На какие части разбиваются многогранники их пересечением?

Рассматриваются многогранники в трехмерном пространстве, топологически эквивалентные сфере, пересечение любых двух из которых является объединением замкнутых несамопересекающихся ломаных. Пусть дана таблица целых положительных чисел. Назовем последовательность y1,..., yn деревянной, если y1 + y2 +... + yn = 2n 2.

Теорема 1. В пространстве существуют два многогранника, пересечение которых делит s-й многогранник на ns частей, i-я из которых имеет xsi соседних частей, тогда и только тогда, когда n1 = n2 и последовательности {x1i}, {x2i} деревянные.

Теорема 2. В пространстве существуют три многогранника, пересечение которых пусто, а объединение попарных пересечений которых делит s-й многогранник на ns частей, i-я из которых имеет xsi соседних частей, тогда и только тогда, когда последовательности {x1i}, {x2i}, {x3i} деревянные, n1 + n2 + n нечетно и Необходимость очевидна. Достаточность доказана в в представляемой работе. Близкие вопросы изучались Т. Новиком (2010) и Т.

Хирасой (2010).

Стендовые доклады.

Кориков Кирилл, Нетрадиционное сложение и умножение.

Шелаков Михаил, Параллельный перенос плоскости Лобачевского.

В качестве стендовых докладов школьники представляют работы, не претендующие на награду ММКШ. Программный Комитет ММКШ не несет ответственности за их качество. Однако это не означает, что работа полностью бессмысленная. Например, отклоняются работы, в которых не все результаты полностью доказаны и проверены (если автор почему-либо не представил полностью проверенную часть своей работы в качестве новой версии). За стендовые доклады на ММКШ не присуждается наград. Однако обсуждение стендового доклада поможет школьнику довести работу до уровня, позволяющего представить ее к награде различных конференций школьников, включая ММКШ в следующем году. При этом награждению работы на ММКШ в следующем году не препятствует представление стендового доклада в этом году. Полные тексты стендовых докладов выкладываются на страницу ‘рецензирование работ и стендовые доклады’.

С 2012 планируется принимать в качестве стендовых докладов, не претендующих на награду ММКШ, столько работ школьников, сколько будет технически возможно представить на конференции (т.е. практически без ограничений).