Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет

Механико-математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

РЕГ №

«_» _ 200 г.

Базовая учебная программа дисциплины специализации

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика»

Минск 2008 РАЗРАБОТАНА Белорусским государственным университетом

ИСПОЛНИТЕЛИ:

Громак В.И. -- доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений Мататов В.И. -- кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений Голубева Л.Л. -- кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений Зенченко А.С. -- кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений РЕЦЕНЗЕНТ:

ОДОБРЕНА на заседании кафедры дифференциальных уравнений БГУ, протокол № _8_ от _14 декабря 2007_ г.

ОДОБРЕНА на заседании Ученого совета механико-математического факультета, протокол № _4_ от _18 декабря 2007_ г.

РД БГУ УПрД - 0001 –

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Специальный курс «Аналитическая теория дифференциальных уравнений»

посвящён изучению одного из основных разделов теории дифференциальных уравнений теории дифференциальных уравнений в комплексной области, обучению навыкам построения и анализа математических моделей на основе аналитической теории дифференциальных уравнений, обучению основным методам аналитической теории дифференциальных уравнений.

РД БГУ УПрД - 0001 –

"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Цель курса «Аналитическая теория дифференциальных уравнений» --сформировать у студентов целостное представление о математических понятиях и результатах аналитической теории дифференциальных уравнений и их приложениях к задачам общей теории дифференциальных уравнений и теории функций и на этой основе повышение уровня профессиональной компетенции студентов.

Образовательная цель: обучение студентов основным методам аналитической теории дифференциальных уравнений.

Развивающая цель: формирование у студентов навыков использовать современные методы построения и анализа математических моделей на основе аналитической теории дифференциальных уравнений.

Тематический план курса «Аналитическая теория дифференциальных уравнений»

№ темы Количество часов Содержание курса Лекции Семинарские и практические 1. Теоремы существования и 8 единственности. Особые точки.

2. Уравнения первого порядка P-типа. 6 3. Метод малого параметра 6 4. Уравнения второго порядка с 8 неподвижными критическими точками.

5. Линейные дифференциальные уравнения 8 в комплексной области.

6. Гипергеометричекое уравнение. 8 7. Линейные дифференциальные системы 8 n-го порядка в комплексной области.

со свойством Пенлеве. Системы Гамильтона со свойством Пенлеве.

Часть 1. Теоремы существования и единственности. Особые точки.

Введение. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Понятие мажоранты.

Терема Коши и теорема единственности в комплексной области. Аналитическое продолжение решений алгебраических уравнений.

Классификация особых точек однозначных и многозначных аналитических функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

Подвижные и неподвижные особые точки решений дифференциальных уравнений. Неподвижность особых точек решений линейных уравнений и систем.

Свойство Пенлеве, Р-тип.

Подвижные алгебраические, трансцендентные и существенные особые точки решений дифференциальных уравнений. Подвижные особые точки решений уравнений первого порядка, разрешенных и не разрешённых относительно производной. Теоремы Фукса и Пенлеве.

Уравнения первого порядка без подвижных критических особых точек.

Результаты классификации. Интегрирование уравнений первого порядка P-типа.

Однозначное обращение функций Шварца-Кристофеля. Полиморфные функции.

Бирациональные преобразования кривых. Интегрирование уравнений первого порядка жанра выше 1. Терема Эрмита.

Терема Пуанкаре и метод малого параметра Пенлеве. Приложение метода метод малого параметра Пенлеве для уравнений первого порядка.

Метод резонансов. Индексы Фукса.

Часть 4. Уравнения второго порядка с неподвижными критическими точками.

Приложение метода метод малого параметра Пенлеве к определению необходимых условий свойства Пенлеве для уравнений второго порядка.

Канонические уравнения второго порядка P-типа. Уравнения Пенлеве.

Достаточность условий свойства Пенлеве для уравнений Пенлеве.

Часть 5. Линейные дифференциальные уравнения в комплексной области.

Линейные дифференциальные уравнения в комплексной области. Теорема Коши. Введение в теорию Фробениуса. Регулярные и иррегулярные особые точки.

Уравнения класса Фукса. Условия Фукса для уравнений класса Фукса. Редукция уравнений класса Фукса к канонической форме. Уравнения класса Фукса с фиксированным числом регулярных особых точек. Классификация уравнений класса Фукса. Слияние регулярных особых точек.

Уравнение Римана. Схема Римана. Инвариантность формы уравнения Римана относительно линейных преобразований. Уравнение Гаусса.

Группа монодромии. Проблема Римана. Проблема изомонодромной деформации.

Гипергеометрический ряд. Решение уравнения Гаусса в окрестности особых точек z=0,z=1,z=. Гипергеометрические интегралы. Определение группы монодромии уравнения Гаусса. Три метода.

Уравнение Лежандра. Периоды эллиптической функции как решения уравнения Лежандра. Полиномы Лежандра.

Часть 7. Линейные дифференциальные системы n-го порядка в Регулярные и иррегулярные особые точки. Фуксовые особые точки линейных систем.

Системы Фукса. Построение решений в окрестности регулярных и иррегулярных особых точек.

Группа монодромии линейных систем. Проблема Римана. Контрпример Болибруха.

Деформация линейных систем, измонодромная деформация. Уравнения Пфаффа.

Уравнение Шредингера.

Необходимые условия наличия Пенлеве свойства. Уравнения Пенлеве.

Подвижные и неподвижные особые точки решений уравнений Пенлеве.

Мероморфность и трансцендентность решений уравнений Пенлеве. Преобразования Беклунда уравнений Пенлеве. Асимптотические свойства решений уравнений Пенлеве.

Часть 9. Системы дифференциальных уравнений со свойством Пенлеве. Системы Уравнения Пенлеве высших порядков. Различные подходы построения: прямой метод Пенлеве, нелинейные цепочки, симметрийный подход. Оператор Шредингера.

Системы дифференциальных уравнений со свойством Пенлеве. Гамильтоновы системы со свойством Пенлеве.

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ

Рекомендуется проведение не менее двух контрольных работ либо коллоквиума в течение каждого семестра.

ЛИТЕРАТУРА

по курсу "Аналитическая теория дифференциальных уравнений" Основная литература.

1. Айнс Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков: ГНТИ Украины, 2. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва:

«Высшая школа», 1991.

3. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, Москва: Главполиграфиздат, 1950, 436 с.

4. Громак В. И., Лукашевич Н. А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. Минск, 1990.

5. А.П. Итс, А.А. Копаев, В.Ю. Новокшенов,А.С. Фокас Трансценденты Пенлеве, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2005, 727 с.

6. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004, 360 с.

7. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. III, часть 2, М., 1974, 672 с.

8. Gromak V. I., Laine I., Shimomura S. Painlev Differential Equations in the Complex Plane, De Gruyter Studies in Mathematics 28, Berlin --- New-York, 2002.

9. Iwasaki K., Kimura H., Shimomura Sh., Yoshida M. From Gauss to Painlev. A modern theory of special functions: Aspects of Mathematics, E16. Braunschweig, 10. Noumi M. Painleve equations through Symmetry, AMS, 2000, 158 p.

11. V.I.Gromak, I. Laine, S.Simomura “Painlev Differential Equations in the Complex Plane”, De Gruyter Studies in Mathematics; 28, Berlin, New York, 2002, 303 p.

Дополнительная литература.

1. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.

Минск: «Наук»,1972.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва: Физматгиз, 1959.

3. M. Jimbo, T. Miwa and K. Ueno, Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients, I, Physica D 2 (1981), 306J. Weiss The Painlev property for partial differential equations. II. Bcklund transformations, Lax pairs, and the Schwarzian derivative, J. Math. Phys. 24 (1983), 5. Ablowitz M., Clarkson P.A., Solitons, Nonlinear Evolutions Equations and Inverse Scattering. L.M.S. Lect. Notes Math, 149, C.U.P., Cambridge, 1991.

6. Rogers C., Shadwick R. Bcklund Transformations and their Applications, Academic Press, New York, 1982.

7. K. Okamoto The Painlev Property, CRM Ser. Math. Phys., Springer-Verlag, New York, 1999, P. 735--788.

8. M. Noumi and Y. Yamada, Affine Weyl group approach to Painlev equations, Comm. Math. Phys. 199 (1998), 291-295.

9. V.E. Adler, Nonlinear chains and Painlev equations, Physca D. 73 (1994), 335-351.

10. Golubev, V.V., Lectures on the integration of the equation of motion of a rigid body about a fixed point, Gostechizdat (State publishing house), Moskow, 1953. (Russian) 11. Golubev, V.V., Lectures on the integration of the equation of motion of a rigid body about a fixed point, Israel ptogram for scientific translations, 1960. (English) 12. N.A. Kudryashov, One generalization of the second Painlev hierarchy, J. Phys. A:

Math. Gen. (2002), No 35, 93-99.

13. H. Flashka and A.C. Newell, Monodromy and spectrum preserving deformations. I, Commun. Math. Phys. 76 (1980), 65-116.

14. H. Zoladek The monodromy group, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2000.

Утверждена на заседании кафедры дифференциальных уравнений «_» 2008 г.

Заведующий кафедрой дифференциальных уравнений Кафедра дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета Управление учебной и научно-методической работы Белорусского государственного университета