«Перед новым факультетом стояли важные задачи. Успехи СССР в космосе, оборонных делах и развитии производства и применении ЭВМ определили необходимость быстрого роста подготовки математиков-прикладников в 60-х годах. В ...»

Увеличился конкурс на факультет. Если в начале 90-х годов он был близок к единице, то, к примеру, в 2000 г. он составил пять человек на место. Прекрасный кадровый потенциал и возросший интерес молодежи к математическому образованию позволяют факультету с оптимизмом смотреть в будущее.

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ

Первым ее заведующим стал выдающийся алгебраист, член-корреспондент АН СССР Николай Григорьевич Чеботарев. При создании кафедры на ней были всего три сотрудника: сам Николай Григорьевич и его ученики В.В.Морозов и И.Д.Адо, работавшие по совместительству. Кроме обязательных курсов по алгебре на кафедре в те годы читались (в основном самим Чеботаревым) специальные курсы по теории Галуа, теории групп, теории матриц, теории алгебраических функций.

Основную роль в формировании кафедры как научно-исследовательского подразделения сыграл организованный Н.Г.Чеботаревым алгебраический семинар, участниками которого в те годы были его ученики И.Д.Адо, В.В.Морозов, Н.Н.Мейман, аспиранты Николая Григорьевича А.И.Гаврилов, В.Н.Цапырин, А.В.Дороднов. Именно на этом семинаре определились основные направления научноисследовательской работы кафедры, часть из которых продолжает развиваться и в настоящее время.

На 30-е – 40-е годы приходится период расцвета алгебраических исследований на кафедре. Прежде всего крупные результаты во многих областях алгебры были получены самим Н.Г.Чеботаревым. В теории Галуа им была определена структура абсолютной группы Галуа полей классов и установлены ограничения, наложенные на простые делители числа классов. В теории групп Ли Н.Г.Чеботарев дал доказательство высказанного еще в 1894 г. Картаном предположения, что подгруппы простых групп максимального порядка регулярны, нашел аналитический признак наличия меры у заданного представления группы Ли. Исследуя проблему преобразования алгебраического уравнения к уравнению с наименьшим числом независимых параметров, известную как «проблема резольвент», Николай Григорьевич получил основополагающие результаты, за которые ему посмертно была присуждена Сталинская премия 1-й степени (1948 г.).

Ученик Н.Г.Чеботарева И.Д.Адо в своей кандидатской диссертации решил проблему точного конечномерного представления конечномерных алгебр Ли над полем характеристики нуль (1935 г.), за этот результат ему была присуждена сразу степень доктора наук. В.В.Морозов в своей кандидатской диссертации дал перечисление всех примитивных представлений простых групп Ли (1938 г.). В дальнейшем в своей докторской диссертации он получил перечисление всех неполупростых максимальных подгрупп простых групп Ли (1943 г.), что вместе с результатами московского математика Е.Б.Дынкина дало полное решение проблемы классификации всех примитивных представлений групп Ли, поставленной Софусом Ли еще в XIX в.

Некоторые ученики Н.Г.Чеботарева изучали поставленную им проблему продолжаемости полиномов.

Полином f(x) называется M-продолжаемым, если путем добавления к нему членов высших порядков можно получить полином, корни которого будут принадлежать M. Аспирант Николая Григорьевича Н.Н.Мейман исследовал случай, когда множество M является множеством вещественных чисел. В этом случае проблема продолжаемости полинома сводится к проверке выполнения бесконечного числа неравенств. Н.Н.Мейману удалось разработать алгоритм, с помощью которого за конечное число шагов удается определить, выполняются ли эти условия. За эти исследования ему присвоили степень доктора наук, минуя кандидатскую.

Еще один ученик Н.Г.Чеботарева, А.В.Дороднов, по предложению Николая Григорьевича изучал одну из классических задач древности – перечисление всех квадрируемых круговых луночек. Существенное продвижение в решении этой проблемы в 1936 г. было достигнуто самим Чеботаревым. А.В.Дороднову удалось получить окончательное решение этой проблемы, за что он был отмечен в 1947 г.

университетской премией.

Эти работы Н.Г.Чеботарева и его учеников получили широкое признание во всем мире. Казань становится одним из мировых центров алгебраических исследований, создается казанская алгебраическая школа. Об этом свидетельствует и приглашение Н.Г.Чеботарева с обзорными лекциями на математические форумы: по теории алгебраи-ческих чисел – на первый Всесоюзный математический съезд (Харьков, 1930 г.); по теории Галуа – на Всемирный математический конгресс (Цюрих, 1932 г.) и на второй Всесоюзный математический съезд (Ленинград, 1934 г.).

Николай Григорьевич проработал в Казанском университете около 20 лет (с января 1928 г. по июль 1947 г.). На казанский период приходится наиболее значительная часть его научной деятельности1.

Смерть Н.Г.Чеботарева, последовавшая в 1947 г. после операции по удалению раковой опухоли, была тяжелым ударом для математической общественности Казани, в частности, для казанской алгебраической школы.

Среди учеников Николая Григорьевича, подготовленных им в Казанском университете, В.В.Морозов, И.Д.Адо, Н.Н.Мейман – крупные ученые, обогатившие алгебраическую науку выдающимися достижениями. Можно было бы ожидать, что казанская алгебраическая школа выдержит эту тяжелую утрату и сможет сохранить мировой уровень проводимых в ней исследований. Этого, к сожалению, не случилось. Школа Н.Г.Чеботарева в эти годы состояла в основном только из названных ученых. Своих собственных учеников у В.В.Морозова, И.Д.Адо и Н.Н.Меймана в этот период не было. Вскоре после смерти Николая Григорьевича переезжает в Москву и переключается на новую тематику Н.Н.Мейман (за исследования в теории устойчивости разностных схем в 1953 г. он получает Сталинскую премию). Еще в 1935 г. переходит работать в КХТИ И.Д.Адо, по разным причинам в послевоенные годы его творческая активность снижается. В связи с плохим состоянием здоровья постепенно отходит от активной научной деятельности и В.В.Морозов, сосредоточившись в основном на педагогической и научноорганизационной деятельности. (В 50-е годы Морозов принимает активное участие в постановке преподавания в университете вычислительной математики и возглавляет организационную работу по созданию вычислительной проблемной лаборатории, позднее переросшей в Вычислительный центр Казанского университета.) После смерти Николая Григорьевича кафедру алгебры возглавил В.В.Морозов. Естественно, исследования, проводившиеся на кафедре при жизни Н.Г.Чеботарева, и впоследствии оказывали существенное воздействие на круг интересов и на направление исследований ее сотрудников.

В.В.Морозов продолжил свои исследования по теории групп Ли и по теории резольвент. Другой ученик Николая Григорьевича – А.В.Дороднов (после ухода В.В.Морозова на пенсию руководивший кафедрой с 1970 г. по 1976 г.) – изучал подполя полей алгебраических функций.

Руководя алгебраическим семинаром при кафедре, В.В.Морозов воспитал целый ряд алгебраистов:

Н.П.Мушиц, исследовавшую вещественные формы примитивных групп Ли; А.В.Сульдина, давшего разложение регулярных представлений унимодулярной группы на неприводимые унитарные группы;

Я.И.Заботина, давшего классификацию импримитивных групп преобразований четырехмерного комплексного пространства; Л.Д.Эскина, изучавшего теорию унитарных представлений групп, и др.

Ученики В.В.Морозова работают на кафедре алгебры и по сей день: профессор И.И.Сахаев, доценты Ю.Б.Ермолаев (заведовавший кафедрой алгебры с 1976 г. по 1986 г.), А.Х.Долотказин, Н.А.Корешков (после кончины В.В.Морозова его научным руководителем стал Ю.Б.Ермолаев).

И.И.Сахаев провел глубокие исследования конечно порожденных плоских модулей. Им найден изящный критерий их проективности. Изучая известную проблему Лазара, И.И.Сахаев нашел целый ряд классов колец, над которыми эта проблема имеет положительное решение. По этим результатам в г. в Санкт-Петербургском университете он защитил докторскую диссертацию. В настоящее время И.И.Сахаев, его ученик доцент кафедры С.Н.Тронин, а также их аспиранты проводят успешные исследования в различных разделах теории колец и модулей, а также в теории категорий и операд.

Ю.Б.Ермолаевым, А.Х.Долотказиным, Н.А.Корешковым получены интересные результаты о простых алгебрах Ли ранга единицы, по классификации алгебр Ли и неприводимых модулей над алгебрами картановского типа. Ими также описаны центры универсальных обертывающих алгебр Ли.

С 1986 г. на кафедре алгебры работает доцент Ю.А.Альпин. Впоследние годы им получены интересные результаты по локализации собственных значений матриц и по рациональным процедурам в линейной алгебре. Его ученик, ассистент кафедры С.Н.Ильин в своей кандидатской диссертации исследовал проблему обратимости матриц над общими алгебраическими системами.

Автор этих строк является одним из последних учеников В.В.Морозова. По его инициативе М.М.Арсланов, занимаясь по индивидуальному плану, специализировался в области теории алгоритмов1, тогда еще молодой науки, развивающейся на стыке алгебры и математической логики. Им разработаны критерии полноты арифметических множеств в иерархии Клини-Мостовского, нашедшие широкие приложения в работах отечественных и зарубежных ученых. Изучая алгебраическую структуру полурешеток степеней неразрешимости, содержащих конечные булевы комбинации перечислимых множеств, М.М.Арсланов решил известную проблему об элементарной эквивалентности этих полурешеток с полурешеткой степеней перечислимых множеств. Эти результаты подытожены в его докторской диссертации, защищенной в 1988 г. в Институте математики СО РАН.

С 1989 г. М.М.Арсланов заведует кафедрой алгебры. Руководя семинаром по математической логике, он подготовил ряд учеников, ныне работающих в различных городах России. Среди них – доктора наук А.Н.Дегтев (заведующий кафедрой алгебры Тюменского университета), В.Д.Соловьев (профессор ВМК), В.Л.Селиванов (заведующий кафедрой алгебры Новосибирского педагогического университета), Ш.Т.Ишмухаметов (доцент Ульяновского университета), подготовивший докторскую диссертацию по теории вычислимости, и др.

Начиная с конца 80-х годов наметилась активизация научных исследований и в традиционных для кафедры направлениях. Выше уже упоминалось о работах И.И.Сахаева, С.Н.Тронина и их аспирантов.

Глубокие результаты по исследованию алгебр Ли картановского типа получены С.М.Скрябиным.

Выпускник кафедры алгебры 1984 г. (научный руководитель – А.Х.Долотказин), С.М.Скрябин окончил аспирантуру при МГУ под руководством члена-корреспондента РАН А.И.Кострикина и в 1987 г. вернулся на кафедру алгебры для преподаватель-ской деятельности. Им была выполнена работа по классификации простых алгебр Ли положительной характеристики и представлений алгебр Ли, которые легли в основу его докторской диссертации, защищенной в 1999 г. в МГУ. После создания в 1993 г. в НИИММ им. Н.Г.Чеботарева отдела алгебры и математической логики1 С.М.Скрябин работает в нем ведущим научным сотрудником.

Из молодых сотрудников отметим работу аспиранта М.М.Арсланова И.Ш.Калимуллина. Ему удалось получить решение известной проблемы Доунея о различии элементарных теорий структур, порожденных сводимостями по перечислимости. Им также получены глубокие результаты по разработке структурной теории для полурешеток степеней по перечислимости.

Сотрудники кафедры алгебры и отдела алгебры и математической логики НИИММ постоянно участвуют на всероссийских и международных конференциях, выезжают для чтения лекций в зарубежные страны. Их исследования поддерживаются грантами РФФИ при РАН, Академии наук Татарстана, конкурсных центров Минобразования России в Москве и Новосибирске, а также целым рядом международных конкурсных центров. За последние 10 лет силами сотрудников кафедры и отдела было проведено несколько крупных научных форумов: Международная конференция по алгебре, посвященная 80-летию со дня рождения В.В.Морозова (1990 г.); Межреспубликанская конференция по математической логике (1992 г.); Международная конференция «Алгебра и Анализ» (совместно с кафедрой математического анализа и НИИММ), посвященная 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (1994 г.); Международная конференция по теории рекурсии и теории сложности вычислений (1997 г.); Международная школа по теории рекурсии (1999 г.).

Все это дает основание для оптимистичного прогноза об успешном развитии научных исследований на кафедре алгебры, о ее постепенном превращении в один из крупных российских центров науки.

ИЗБРАННЫЕ ПУБЛИКАЦИИ СОТРУДНИКОВ КАФЕДРЫ

2. Альпин Ю.А. Границы для перронова корня неотрицательной матрицы, учитывающие свойства ее графов // Матем. заметки. – 1995. – Т. 58.– С. 635–637.

3. Альпин Ю.А., Эльстинг Г.О. Об аналоге критерия Шпехта унитарной эквивалентности матриц для случая произвольного поля // Изв. вузов. Математика. – 1996. – № 4. – С. 3–6.

4. Альпин Ю.А. Сближение границ Фробениуса для перронова корня неотрицательной матрицы // ЖВМ и МФ. – 1997. – Т. 37. – 1997. – С. 131–138.

5. Al’pin Ju.А., Mubarakzjanov R. G. The bases of weighted graphs // Discrete Math. – 1997. – V. 175. – P. 1–11.

6. Al’pin Ju.А., Kolotilina L.Ju. Inequalities for the Perron roots related to Levinger’s theorem // Lin. Algebra and Appl.

– 1998. – V. 283. – P. 99–113.

7. Альпин Ю.А., Икрамов Х.Д. О рациональной процедуре, проверяющей наличие общего инварианта подпространства, заданной парой матриц // Докл. РАН. – 2000. –Т. 371. – C. 439–441.

8. Альпин Ю.А., Икрамов Х.Д. Сумма собственных подпространств матрицы может быть найдена рациональным вычислением // Докл. РАН. –2000. –Т. 371. – C. 583–585.

9. Альпин Ю.А., Икрамов Х.Д. Теоремы о приводимости пары матриц как рациональные критерии // Докл. РАН.

– 2000. – Т. 372. – C. 439–441.

10. Альпин Ю.А., Икрамов Х.Д. О решении обратной задачи Джоковича// Докл. РАН. – 2000. – Т. 372. – C. 573– 575.

11. Арсланов М.М. Структурные свойства степеней ниже 0' // Докл. АН СССР. – 1985. – Т. 283. – C. 270–273.

12. Арсланов М.М. Эффективно гипериммунные множества и мажоранты // Мат. заметки. –1985. – Т. 38. – C. 302–309.

13. Арсланов М.М. Об одном классе гипергиперпростых неполных множеств // Мат. заметки. – 1985. –Т. 38.– C. 872–875.

14. Арсланов М.М. Рекурсивно перечислимые множества и степени неразрешимости. – Казань: Изд-во Казанск.

ун-та, 1986.

15. Арсланов М.М. Локальная теория степеней неразрешимости. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987.

16. Арсланов М.М. О структуре степеней ниже 0' // Изв. вузов. Математика – 1988. – № 7. – С. 3–7.

17. Арсланов М.М. Полнота в арифметической иерархии и неподвижные точки // Алгебра и логика. – 1989. – Т. 28. – С. 3–17.

18. Arslanov M.M. On the structure of degrees below 0' / Recursion Theory Week, Oberwolfach’1989 (K. Ambos-Spies, G.H. Miller, G.E. Sacks, eds.) // Lect. Notes in Math. – 1990. – V. 1432. – P. 23–32.

19. Арсланов М.М. Полнота арифметических множеств под теоретико-множественными операциями // Изв.

вузов. Математика. – 1993. – № 9(376). – C. 3–8.

20. Arslanov M.M. Contibutions to the history of variations of weak density in the n-r.e. degrees // Proc. of IX LMPS Congress, D.Prawitz, B.Skyrms and D.Westerstahl, eds. – Elsevier. – 1994. – P. 199–208.

21. Arslanov M.M., Lempp S., Shore R.A. Interpolating d-r.e. and REA degrees between r.e. degrees // Annals of Pure and Applied Logic. – 1996. – V. 78. – P. 29–56.

22. Arslanov M.M., Lempp S., Shore R.A. On isolating r. e. and isolated dr. e. degrees // London Math. Society.

Lecture Notes Series. – 1996. – V. 224. – P. 61–80.

23. Arslanov M.M. Degree structures in Local degree theory / «Complexity, Logic and Recursion Theory» (A. Sorbi, ed.) // Lecture Notes in Pure and Applied Math. New York: Marcel Dekker. – 1997. – V. 187. – P. 49–74.

24. Arslanov M.M., LaForte G., Slaman T.A. Relative enumerability in the difference hierarchy // J. of Symbolic Logic. – 1998. – V. 63. – P. 411–420.

25. Arslanov M.M., Kalimullin I.Sh. Weak presentations of computable partial orderings // Proceedings of VI Asian Logic Conference (20–24 May 1996, Beijing, China), C.T. Chong, Q. Feng, D.Ding, Q. Huang, M, Yasugi, eds. – Singapore:

World Scientific, 1998. – P. 31–46.

26. Arslanov M.M., Sorbi A. Relative splittings of 0' in the -enumeration degrees // Lecture Notes in Logic. – 1998. – V. 13. – P. 44–56.

27. Arslanov M.M. Open questions about the n-c.e. degrees // Contemporary Mathematics. – 2000. – V. 257. – P. 15– 22.

28. Arslanov M.M., Cooper S.B., Li A. There is no low maximal d-c.e. degree // Math. Logic Quarterly. – 2000. – V. 46.

– P. 409–416.

29. Ермолаев Ю.Б. Об алгебрах Ли, сохраняющих билинейную форму // Изв. вузов. Математика. – 1987. – № 11.

– С. 83–87.

30. Ермолаев Ю.Б. Теорема регулярности В.В.Морозова // Изв. вузов. Математика – 1991. – № 10. – С.5–11.

31. Ермолаев Ю.Б. Об одной алгебре на множестве графов // Сиб. матем. ж. – 1994. – Т. 35. – № 4. – С.793–800.

32. Ермолаев Ю.Б. Универсальное картановское продолжение // Изв. вузов. Математика. – 1997. – № 11. – С. 22–32.

33. Ермолаев Ю.Б. Об одной реализации свободной алгебры Ли // Сиб. матем. ж. – 1998. – Т. 39. – № 1. – С. 32– 44.

34. Ильин С.Н. Обратимость матриц над упорядоченными алгебраиче-скими системами // Сиб. матем. ж. – 1998.

– Т. 39. – № 4. – С. 551–559.

35. Корешков Н.А. О неприводимых представлениях максимальных под-алгебр P-алгебр картановского типа // Изв. вузов. Математика. – 1986. – № 11.– С. 26–32.

36. Корешков Н.А. Об одной деформации гамильтоновой алгебры Ли // Изв. вузов. Математика. – 1989. – № 7. – С. 69–70.

37. Корешков Н.А. Центральные элементы алгебры // Изв. вузов. Математика. – 1991. – № 5. – С. 16–22.

38. Корешков Н.А. Об одном инварианте алгебры W n // Изв. вузов. Математика. – 1991. – № 10. – С. 40–42.

39. Корешков Н.А. Об инвариантах некоторых модулярных алгебр Ли // Изв. вузов. Математика. – 1993. – № 7. – С. 24–28.

40. Корешков Н.А. Об инвариантах специальной и контактной алгебры Ли // Изв. вузов. Математика. – 1995. – № 8. – С. 34–38.

41. Сахаев И.И. О проективности конечно порожденных плоских модулей над полулокальными кольцами // Матем. заметки. – 1985. – Т. 37. – С. 152–162.

42. Сахаев И.И. О группе K0(AP0) для полулокальных колец. // Math. Nachrichten. – 1987. – V. 130. – P. 157–175.

43. Сахаев И.И. О SBI-кольцах и гипотезе Лазара // Math. Nachrichten. – 1989. – V. 144. – P. 87–98.

44. Сахаев И.И. О критерии проективности конечно порожденных плоских модулей // Изв. вузов. Математика. – 1991. – № 10. – C. 68–75.

45. Сахаев И.И. О поднятии конечной порожденности проективного модуля по модулю его радикала // Матем.

заметки. – 1991. – Т. 49. – C. 97–107.

46. Сахаев И.И. Конечная порожденность проективных модулей над PI-кольцами // Изв. вузов. Математика. – 1993. – № 8. – С. 65–75.

47. Сахаев И.И. Конечная порожденность проективных модулей над некоторыми кольцами // Изв. вузов.

Математика. – 1996. – № 10. – С. 63–75.

48. Сахаев И.И., Хакми Х. О сильно регулярных модулях и кольцах // Изв. вузов. Математика – 1998. – № 2. – С. 60–63.

49. Скрябин С.М. О представлениях алгебр Ли дифференцирований коммутативных колец // Вестник МГУ. – 1987. – № 4. – С. 32–35.

50. Скрябин С.М. Изоморфизмы и дифференцирования модулярных алгебр Ли картановского типа // Успехи матем. наук. – 1987. – № 6. – С. 201–202.

51. Скрябин С.М. Регулярные кольца Ли дифференцирований // Вестник МГУ. – 1988. – № 3. – C. 59–62.

52. Скрябин С.М. Классификация гамильтоновых форм над алгебрами разделенных степеней // Матем. сборник.

– 1990. – Т. 181. – С. 114–133.

53. Skryabin S.M. Modular Lie algebras of Cartan type over algebraically nonclosed fields, 1 // Comm. Algebra. – 1991.

– V. 19. – P. 1629–1741.

54. Скрябин С.М. Теоремы простоты алгебр Ли дифференцирования коммутативных колец // Вестник МГУ. – 1989. – № 2. – С. 51–54.

55. Скрябин С.М. Новые серии простых алгебр Ли характеристики 3 // Матем. сб. – 1992. – Т. 183. – С. 3–22.

56. Skryabin S.M. An algebraic approach to the Lie algebras of Cartan type // Comm. Algebra. – 1993. – V. 21. – P. 1229–1336.

57. Skryabin S.M. Independent systems of derivations and Lie algebra representations // Proceedings of the Chebotarev Centennial Conference on Algebra and Analysis (Kazan, 1994), Eds. M.M.Arslanov, A.N.Parshin, I.R.Sha-farevich, Walter de Gruyter. – Berlin, 1996. – P. 115–150.

58. Тронин С.Н. О ретракциях колец многочленов // Изв. вузов. Математика. – 1985. – № 2. – С. 84–85.

59. Тронин С.Н. О коммутативных ассоциативных проективных алгебрах ранга 2 над совершенным полем // Матем. заметки. – 1987. – Т. 41. – С. 776–780.

60. Тронин С.Н. Произведения в категориях частных и универсальное обращение гомоморфизмов // Матем.

сборник. – 1997. – Т. 108.– С. 109–130.

61. Тронин С.Н. Ретракты и ретракции свободных алгебр // Изв. вузов. Математика. – 1998. – № 1. – P. 67–78.

КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКИ

Исследования в области обратных краевых задач [1], начатые в университете Г.Г.Тумашевым, были существенно развиты его учеником М.Т.Нужиным. В докторской диссертации М.Т.Нужина проблема обратных краевых задач (ОКЗ) была сформулирована как чисто математическая для аналитических функций комплексного переменного. Подобный акцент теории позволил обратить на ОКЗ внимание математиков университета [2], среди которых заметный вклад в теорию сделали Ф.Д.Гахов, С.Н.Андрианов, Б.М.Гагаев. Возникли научные школы по исследованию ОКЗ, возглавляемые Н.Б.Ильинским и Л.А.Аксентьевым. Значительную роль в развитии теории и ее приложении сыграла монография Г.Г.Тумашева и М.Т.Нужина «Обратные краевые задачи и их приложения», выдержавшая два издания.

Большую объединяющую функцию в исследованиях по тематике краевых задач сыграл образованный под руководством Г.Г.Тумашева, М.Т.Нужина, Л.И.Чибриковой городской семинар по краевым задачам. Этот семинар функционировал более 20 лет. Был образован и регулярно печатался сборник «Труды семинара по краевым задачам». Вы-шло 28 выпусков этого сборника. Семинар объединял сотрудников и аспирантов кафедр теоретической механики (зав. кафедрой с 1954 г. – профессор М.Т.Нужин), аэрогидромеханики, дифференциальных уравнений (зав. кафедрой – профессор Л.И.Чибрикова), отделов НИИ математики и механики им. Н.Г.Чеботарева при КГУ (руководители отделов – профессор А.В.Кузнецов и Н.Б.Ильинский). Позднее семинар был преобразован в семинары кафедр и отделов в связи с расширением его тематики.

Кроме вопросов, связанных с аэрогидромеханикой, на кафедре, возглавляемой Г.Г.Тумашевым, выполнялись исследования по теории фильтрации. Подобная тематика была определена практическими за-просами нефтяной промышленности. По рекомендации партийного руководства Татарии эти исследования были начаты в КГУ с целью интенсификации разработки нефтяных месторождений в республике. Возникли задачи рациональной разработки и добычи нефти и газа, оптимального обводнения и продвижения раздела воды и нефти и др. В исследовании этих проблем активное участие приняли Г.Г.Тумашев. В.Я.Булыгин, их ученики и последователи. Г.Г.Тумашев выполнил работу по аналитическим методам исследования проблем теории фильтрации, В.Я.Булыгин возглавил группу исследователей по применению численных методов в анализе указанных проблем. В докторской диссертации В.Я.Булыгина впервые применены самые современные численные методы для изучения течения двухфазной фильтрации и моделирования процессов на реальных месторождениях Татарии, в част-ности, на Бавлинском месторождении. В последующие годы эти исследования получили дальнейшее развитие с учетом геологического строения пласта и использования технологической документации разработки месторождения.

Профессор В.Я.Булыгин изучал также проблемы общего характера моделирования различных физических процессов [3–6].

Значительный вклад в теорию фильтрации внес профессор Ю.М.Молокович, руководивший кафедрой аэрогидромеханики после Г.Г.Тумашева с 1983 г. по 1994 г.

Ю.М.Молокович перешел на кафедру в 1983 г. из НИИММ, где работал заведующим отделом подземной гидромеханики. Теоретические результаты работ Ю.М.Молоковича постоянно проверяются экспериментальными исследованиями. Последние выполняются в сотрудничестве с учеными физического факультета КГУ и прежде всего с профессором Н.Н.Непримеровым. Исследования Ю.М.Молоковича получили внедрение на месторождениях нефти и газа и высоко оценены научной общественностью [11–14].

Кроме указанных научных результатов на кафедре аэрогидромеханики были выполнены исследования в области технологических проблем размерной электрохимической обработки металлов (ЭХО). Эти исследования ведутся и в настоящее время под руководством профессора В.В.Клокова. Он был заведующим кафедрой с 1994 г. по 2001 г. Тематика исследований по ЭХО объединяет проблемы расчета анодного формообразования, определения параметров течения электролита в зазоре. Эти проблемы удается разрешить с применением методов и подходов аэрогидромеханики и обратных краевых задач. Начало этих исследований было поддержано М.Т.Нужиным и Г.Г.Тумашевым, которые выполнили исследования по отдельным вопросам теории ЭХО. Значительный вклад в разработку аналитических и численных методов внесли доценты Е.И.Филатов, В.Г.Насибулин, Л.Л.Лебедев и ассистент А.С.Тихонов [7–8].

Нельзя обойти вниманием исследования по смежным проблемам механики жидкости и твердого тела. Оригинальные результаты ассистента Д.В.Шевченко получены под руководством профессора А.В.Костерина, который вернулся на кафедру на должность заведующего в 2001 г.

Выпускники и бывшие сотрудники кафедры аэрогидромеханики стали известными и крупными учеными. Среди них: С.Ф.Сайкин, первый ректор Чувашского университета, директор института гидромеханики Сибирского отделения РАН, член-корреспондент РАН, профессор В.М.Фомин, заведующий кафедрой математики КАМПИ профессор Л.М.Котляр, профессор Чувашского университета, академик НАНИ ЧР А.Г.Терентьев и многие другие.

Обучение на кафедре аэрогидромеханики осуществляется по двум специализациям – аэрогидромеханике и подземной гидромеханике. Эти специализации были определены теми научными результатами, которые были получены на кафедре.

Сотрудники кафедры (Г.Г.Тумашев, В.Я.Булыгин, Ю.М.Молокович, В.В.Клоков, А.В.Костерин) являлись членами специализированного Совета по защите докторских диссертаций по механике жидкости газа и плазмы при Казанском университете.

В последние годы обучение на кафедре проводится как по специ-альности, так и по направлению «механика». Кафедра приняла самое активное участие в разработке государственных стандартов по механике. Проводится и совершенствуется методическая работа [9–10]. В 2000 г. состоялся первый выпуск магистров в Казанском университете. Отдельные выпускники получили к моменту окончания серьезные научные результаты.

В подготовке студентов заметную роль имеет взаимодействие кафедры с НИИММ, Институтом механики машиностроения РАН и другими организациями города. Среди активных ученых-преподавателей в последнее время выделяются профессора Н.Б.Ильинский, А.В.Кузнецов (НИИММ), Д.А.Губайдуллин, А.Н.Гильманов (ИММ РАН).

Сотрудники кафедры аэрогидромеханики в разные годы были деканами физмата и мехмата Казанского университета.

ЛИТЕРАТУРА

ун-та, 1965. – 333 с.

2. Аксентьев Л.А., Ильинский Н.Б., Нужин М.Т., Салимов Р.Б., Тумашев Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Итоги науки и техн. Математический анализ. – М.: ВИНИТИ, 1980. – Т. 18. – C. 69–126.

З. Булыгин В.Я. Правдоподобное моделирование. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. – 172 с.

4. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. – М.: Недра, 1974. – 232 с.

5. Булыгин В.Я., Булыгин Д.В. Имитация разработки залежей нефти. – М.: Недра, 1990 – 224 с.

6. Булыгин Д.В., Булыгин В.Я. Геология и имитация разработки залежей нефти – М.: Недра, 1996. – 382 с.

7. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. – 80 с.

8. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1990. – 388 с.

9. Клоков В.В. Курс лекций по механике сплошных сред. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1991. – 104 с.

10. Клоков В.В. Элементарное введение в кинетическую теорию. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. – 100 с.

11. Молокович Ю.М., Непримеров Н.Н., Пикуза В.И., Штанин А.В. Релаксационная фильтрация. – Казань: Издво Казанск. ун-та, 1980. – 136 с.

12. Молокович Ю.М., Осипов П.П. Основы теории релаксационной фильтрации. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. – 112 с.

13. Молокович Ю.М. Одномерная фильтрация несжимаемой вязко-пластичной жидкости. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1969. – 88 с.

14. Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Одномерная фильтрация сжимаемой вязко-пластичной жидкости. – Казань:

Изд-во Казанск. ун-та, 1971. – 64 с. 15. Молокович Ю.М., Марков А.И., Давлетшин А.А., Куштанова Г.Г. Пьезометрия окрестностей скважин. Теоретические основы. – Казань: ДАС, 2000.– 202 с.

КАФЕДРА ГЕОМЕТРИИ

Если говорить о научных интересах П.А.Широкова, которые во многом определили направление дальнейших исследований на кафедре, то его интересовали прежде всего римановы пространства, по своим свойствам наиболее близкие к пространствам постоянной кривизны, в частности, к пространству Лобачевского. Так, начатые им исследования по теории симметрических пространств, тензор кривизны которых ковариантно постоянен, получили затем широкое развитие в работах Э.Картана и составляют сегодня одну из замечательных глав современной геометрии. Он также положил начало изучению Апространств (они известны теперь также как келеровы пространства) – одному из самых интересных классов почти эрмитовых пространств. Таким образом, П.А.Широков положил начало тому научному направлению по изучению пространств с различными структурами, которое, обогащаясь со временем новыми идеями и результатами, стало основным на кафедре геометрии.

Особое место в деятельности П.А.Широкова и возглавляемой им кафедры стало исследование научного наследия Н.И.Лобачевского и популяризация идей неевклидовой геометрии. В 1937 г.

состоялось восьмое (и последнее в Казанском университете) присуждение премий им.

Н.И.Лобачевского. В 1943 г. была проведена юбилейная математическая конференция, посвященная 150-летию со дня рождения великого геометра. П.А.Широков подготовил большую статью «Краткий очерк основ геометрии Лобачевского» (в книге «Н.И.Лобачевский», 1943), которая неоднократно в дальнейшем переиздавалась (в том числе на других языках) отдельной брошюрой. К этой конференции Б.Л.Лаптевым была написана научная биография Лобачевского. Было начато осуществление грандиозного проекта – издание полного собрания сочинений Н.И.Лобачевского. К сожалению, из-за войны первый том вышел только в 1946 г., уже после преждевременной смерти П.А.Широкова.

В течение года, с 1944 г. по 1945 г., кафедрой временно заведовал Борис Лукич Лаптев (1905–1989), начинавший тогда работать над докторской диссертацией. В 1945 г. по его предложению возглавить кафедру был приглашен профессор Александр Петрович Норден (1904–1993), ученик В.Ф.Кагана и С.П.Финикова (Московский университет), работавший тогда заведующим кафедрой в Новосибирске. Это был уже сформировавшийся и широко известный ученый, создатель метода нормализации поверхностей проективных пространств.

В Казани А.П.Норден продолжал развивать свой метод нормализации, распространив его на многомерные пространства, применяя к геометриям подгрупп проективной группы, к линейчатой и конформной геометриям, к теории сетей. В то же время направление исследований, заложенное П.А.Широковым, оказалось близким научным интересам А.П.Нордена. Его внимание привлекли вопросы, связанные с использованием гиперкомплексных чисел в геометрии. Так возникла теория биаффинных и биаксиальных пространств, указаны приложения этой теории к изучению линейчатой геометрии, битензоров пространства Лоренца, специальных типов римановых пространств и пространств аффинной связности. К изучению всех А.П.Норден привлек многих молодых научных работников и своих аспирантов. Этому способствовали высокий научный уровень и педагогическое мастерство, с которым он читал как общие, так и специальные курсы: теорию поверхностей, теорию проективных пространств и метод нормализации, линейчатую и конформную геометрии, пространства аффинной связности и др. В эти и последующие годы А.П.Норденом были воспитаны будущие доктора наук В.И.Ведерников, Р.Г.Бухараев, А.П.Широков, В.И.Шуликовский, В.В.Вишневский и около 30 кандидатов наук.

В этот период А.П.Норден написал ряд широко известных у нас и за рубежом учебников и монографий: «Дифференциальная геометрия» (1948), «Пространства аффинной связности» (1950) (в 1976 г. вышло 2-е переработанное издание), «Элементарное введение в геометрию Лобачевского»

(1953), «Теория поверхностей» (1956), «Краткий курс дифференциальной геометрии» (1958). В 1954 г.

ему было присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки ТАССР». Звание «Заслуженный деятель науки РСФСР» он получил в 1964 г. в связи с 60-летием.

В 1946 – 1951 гг. были подготовлены к печати и изданы пять томов «Полного собрания сочинений»

Н.И.Лобачевского с многочисленными вводными статьями, примечаниями и комментариями. В этой важной и кропотливой работе от кафедры геометрии приняли активное участие А.П.Норден и Б.Л.Лаптев. В 1951 г. состоялась геометрическая конференция, посвященная 125-летию неевклидовой геометрии. В 1954 г. научная конференция была организована в связи со 150-летием Казанского университета.

Большое значение в жизни кафедры имела деятельность Бориса Лукича Лаптева. Воспитанник физико-математического факультета Казанского университета, он работал на кафедре со дня ее основания и с 1935 г. стал заниматься под руководством П.А.Широкова геометрией финслеровых пространств. Эти пространства, обобщающие по своим метрическим свойствам римановы, возникли в результате геометризации вариационного исчисления. Человек широкого кругозора и высокой культуры, Б.Л.Лаптев в 1951 – 1958 гг. был деканом физико-математического факультета. В 1959 г. в МГУ он защитил докторскую диссертацию, создав общую теорию пространств опорных элементов. Глубоко разработав аппарат дифференцирования Ли в этих пространствах, он применил его к решению вариационных задач, к нахождению групп автоморфизмов дифференциально-геометрических структур.

Другой ученик П.А.Широкова – Алексей Зиновьевич Петров (1910 –1972), участник Великой Отечественной войны, начал работать на кафедре геометрии в 1945 г. Он читал спецкурсы по тензорному анализу, римановой геометрии, теории групп преобразований и их приложениям к общей теории относительности. Это отражало его научные интересы: приложения геометрических методов в теоретической физике, в теории физических полей. С 1946 г. он начал изучение пространств Эйнштейна и в 1957 г. защитил докторскую диссертацию, посвященную применению инвариантно-групповых методов в теории тяготения. А.З.Петров дал в своей диссертации классификацию 4-мерных пространств Эйнштейна лоренцевой сигнатуры, а также установил классификацию полей тяготения общего вида в соответствии с алгебраической структурой тензора кривизны пространства-времени. Эти результаты принесли ему мировую известность. В 1960 г. Алексей Зиновьевич возглавил организованную им кафедру теории относительности и гравитации (ТОиГ) на физическом факультете КГУ, создал свою научную школу. Свои результаты А.З.Петров изложил в ряде статей, а также в монографиях «Пространства Эйнштейна» (1961) и «Новые методы в общей теории относительности» (1966). В последнюю он включил также и результаты своих учеников. В 1969 г. А.З.Петров стал действительным членом АН УССР и уехал в Киев на работу в Институте теоретической физики АН Украины. В 1972 г. ему была присуждена Ленинская премия.

Такова вкратце предыстория кафедры геометрии до разделения в 1960 г. физико-математического факультета на механико-математи-ческий и физический. Эта процедура особенно чувствительно сказалась на нашей кафедре. Как уже было отмечено, А.З.Петров перешел на физический факультет, организовав там новую кафедру – теории относительности и гравитации. Естественно, вместе с ним на эту кафедру перешли и его аспиранты – несколько талантливых молодых людей (В.Р.Кайгородов, В.И.Голиков, А.М.Анчиков). Несколько лет на кафедре ТОиГ проработал В.И.Шуликовский. В довершение к этому в 1961 г. Б.Л.Лаптев был назначен директором НИИММ им. Н.Г.Чеботарева, проработав на этой должности 20 лет (1961 – 1980 гг.). Правда, он оставил за собой чтение некоторых курсов, а также руководство аспирантами. Таким образом, положение на кафедре создалось достаточно сложное. Тем не менее, педагогический и научный потенциал кафедры был настолько высок, что все эти обстоятельства не привели к сколько-нибудь заметному падению уровня преподавания. После окончания аспирантуры начал свою педагогическую деятельность на кафедре ученик А.П.Нордена В.В.Вишневский. Б.Н.Шапукову пришлось перевестись из очной аспирантуры в заочную и начать работу на кафедре в должности ассистента.

В то время читались такие общие курсы, как «Аналитическая геометрия» (трехсеместровый курс), «Дифференциальная геометрия» (двухсеместровый курс), «Основания геометрии», а также «Черчение»

с соответствующими практическими занятиями. Правда, этот предмет был вскоре отменен. Вместо традиционного курса «История математики» пришло из министерства предписание читать «Введение в специальность». Никакой программы за предписанием не последовало, что поставило многие вузы в тупик. Наш факультет выручил Б.Л.Лаптев, который с блеском читал этот курс несколько лет до тех пор, пока его не отменили. Из специальных курсов (они, конечно, год от года менялись) следует упомянуть следующие: «Проективная геометрия» (и на этой основе геометрия неевклидовых пространств), «Тензорный анализ и риманова геометрия», «Пространства аффинной связности» (включая метод нормализации Нордена), «Линейчатая геометрия», «Производная Ли» и некоторые другие. В общем, набор специальных курсов был не особенно велик. Со временем число часов, отводимых под спецкурсы, увеличивалось, и приведенный выше список расширялся, но об этом – чуть позже.

Значительными событиями в жизни кафедры 60-х годов были состоявшиеся защиты докторских диссертаций двух талантливых учеников А.П.Нордена: в 1964 г. Валентина Ивановича Шуликовского (1922–1973), которому докторская степень была присуждена по совокупности работ, и затем в 1966 г.

Александра Петровича Широкова (1926–1998), сына П.А.Широкова. В 1965–1967 гг. В.И.Шуликовский работал в Болгарии, читал геометрические курсы в вузах Софии и Пловдива. Там он написал и издал учебник по дифференциальной геометрии на болгарском языке, воспитал несколько учеников. В 1967– 1973 гг. Валентин Иванович был деканом физического, а затем механико-математического факультетов.

В 1969 г. В.И.Шуликовский стал профессором кафедры геометрии. Он начал читать спецкурсы по проективной дифференциальной геометрии, по теории сетей, по теории поверхностей и конгруэнций.

Область его научных интересов – теория сетей. Он является автором известных монографий «Классическая дифференциальная геометрия» (1963) и «Проективная теория сетей» (1964). Под его руководством защищено пять кандидатских диссертаций.

В докторской диссертации А.П.Широкова «Пространства, определяемые алгебрами» было проведено исследование дифференцируемых многообразий со структурами, определяемыми алгебрами весьма общего вида – ассоциативными и унитальными (т.е. имеющими единицу). Эта структура определяется представлением указанной алгебры в модуле аффинорных полей данного многообразия. В итоге возникает весьма широкое обобщение комплексных многообразий, для которых указанная алгебра сводится к полю комплексных чисел. Таким образом, в итоге многолетних исследований, начатых П.А.Широковым, на кафедре окончательно сформировалось научное направление, ставшее основным в ее научной работе. В работах А.П.Широкова и его учеников (им подготовлено более 20 кандидатов наук) развивались различные аспекты теории пространств над алгебрами, их многочисленных приложений к линейчатой геометрии, геометрии неевклидовых пространств, к теории касательных расслоений как первого, так и высших порядков. Часть этих результатов отражена в монографии «Пространства над алгебрами», написанной им совместно с В.В.Вишневским и В.В.Шурыгиным (1985). Научная работа А.П.Широкова была тесно связана с его преподавательской деятельностью. Человек широкого научного кругозора, он впервые на кафедре прочитал ряд новых спецкурсов: «Симплектическая геометрия», «Расслоенные пространства», «Пространства над алгебрами», «Неевклидовы пространства» и другие, знакомя студентов и аспирантов с новейшими научными результатами. Он активно занимался также и научно-методической работой, опубликовал несколько учебных пособий по геометрии. Следует отметить, что с 1970 г. по 1975 г., после отъезда А.З.Петрова, А.П.Широков работал заведующим кафедрой теории относительности и гравитации, после чего снова возвратился на кафедру геометрии.

В 1979 г. ему было присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки РСФСР».

1967 г. был заметным в жизни кафедры проведением 3-й Межвузовской научной конференции по проблемам геометрии, посвященной 50-летию Советского государства. По существу, она была международной, поскольку для участия в ней прибыли делегации из стран народной демократии.

Особенно представительной была делегация из Болгарии во главе с академиком Г. Матеевым. С этой страной у нашей кафедры сложились особенно благотворные связи: там, как уже говорилось, работал Валентин Иванович Шуликовский, а позже В.В.Вишневский. На нашей кафедре учились в аспирантуре и защитили кандидатские диссертации по геометрии несколько молодых болгарских преподавателей.

В 70-е годы активную научную деятельность продолжал А.П.Норден (по его словам, он переживал пору третьей своей молодости). Используя аппарат теории расслоенных пространств, он построил теорию композиций и показал, как различные геометрические направления могут быть включены в рамки этой теории. Идеи теории векторных расслоений в значительной степени были им использованы и при подготовке нового, переработанного издания монографии «Пространства аффинной связности» (1976).

Отметим также, что в этот период он совместно со своей первой ученицей Г.В.Бушмановой написал два интересных учебных пособия: «Введение в конформную геометрию» (1969) и «Элементы конформной геометрии» (1972).

В 1972 г. защитил докторскую диссертацию Владимир Владимирович Вишневский (род. в 1929 г.) – ученик А.П.Нордена. В этой диссертации он провел исследование пространств с аффинорными структурами общего вида в тесной связи с алгеброй плюральных чисел. Он показал, что со всякой аффинорной структурой ассоциируется некоторая коммутативная алгебра, а дифференцируемое многообразие с интегрируемой аффинорной структурой является композицией многообразий трех простейших аффинорных типов. В последующие годы он занимался изучением полукасательных расслоений, которые, как оказалось, моделируют многообразия с аффинорной структурой общего вида.

В.В.Вишневский работал на кафедре геометрии с 1960 г. по 1984 г., с 1975 г. – в должности профессора.

Тринадцать его учеников защитили кандидатские диссертации. Находясь в Болгарии, в Пловдивском педагогическом институте, он читал ряд спецкурсов, подготовил несколько учеников – кандидатов наук.

В 1974 г., после внезапной кончины В.И.Шуликовского, В.В.Вишневский был назначен деканом механикоматематического факультета и работал на этой должности до 1993 г. В 1984–1994 гг. он был заведующим кафедрой общей математики, а в настоящее время является профессором этой кафедры.

Научно-педагогическая и общественная деятельность В.В.Вишневского отмечена присвоением ему почетных званий «Заслуженный деятель науки ТАССР» (1979 г.) и «Заслуженный работник высшей школы» (1997 г.).

В 1976 г. в Казани прошла Всесоюзная научная конференция по неевклидовой геометрии, организованная в честь 150-летия открытия Н.И.Лобачевским неевклидовой геометрии. В ее подготовку и организацию много сил и энергии вложил прежде всего Б.Л.Лаптев. Это была представительная конференция, на которой работало пять секций с множеством подсекций и присутствовало более человек. Она также была фактически международной – приехали около 20 видных зарубежных ученых, в том числе из дальнего зарубежья.

В 70-х годах кафедра пополнилась новыми сотрудниками, своими воспитанниками разных лет. В г. из Педагогического института перешел Алексей Семенович Подковырин (род. в 1934 г.), ученик А.П.Нордена. С 1978 г. он работает в должности доцента. Тема его научных работ – поверхности биаффинных и унитарных пространств. Учитывая комплексную структуру этих пространств, он также существенно использует в своих исследованиях метод нормализации А.П.Нордена. А.С.Подковырин дважды выезжал на продолжительное время за границу для преподавательской работы: в Алжир и в Буркина Фасо.

Ученик А.П.Широкова Виктор Егорович Фомин (род. в 1947 г.), окончив в 1971 г. механикоматематический факультет КГУ, в этом же году стал работать ассистентом на кафедре. В 1981 г. он защитил кандидатскую диссертацию «О дифференциальной геометрии банаховых многообразий», в которой им были построены основы дифференциальной геометрии гладких многообразий банахова типа. Таким образом, на кафедре возникла новая тематика исследований, в которой существенную роль играет топология. С 1985 г. Виктор Егорович работает в должности доцента, он имеет несколько учеников – кандидатов наук. В последнее время В.Е.Фомин вместе со своими учениками начал изучать бесконечномерные многообразия над алгеброй. Следует также отметить, что в свое время он стал инициатором хоздоговорных работ на кафедре.

Еще один воспитанник кафедры – Вадим Васильевич Шурыгин (род. в 1952 г.), ученик А.П.Нордена.

Работая на кафедре геометрии с 1975 г., он в 1978 г. защитил кандидатскую диссертацию «К теории пространств над алгебрами и их подпространств». В 1998 г. он защитил докторскую диссертацию. К его научным результатам мы вернемся позже.

В 1980 г. приказом ректора заведующим кафедрой геометрии был назначен А.П.Широков. Его научные интересы того времени были сосредоточены на геометрии касательных расслоений высшего порядка и изучении их алгебраической структуры. Им была обнаружена тесная связь этих расслоений с алгебрами плюральных чисел, которая реализуется на многообразии касательных элементов как на расслоении струй соответствующего порядка. Эти результаты оказали значительное влияние на тематику научных исследований всей кафедры. Само собой разумеется, что выдвинутые Александром Петровичем идеи в различных ее частных случаях стали предметом исследования многих его аспирантов.

В этом же 1980 г. на кафедру на должность профессора-консультанта возвратился Б.Л.Лаптев. Как уже говорилось, значительную часть своих исследований он посвятил изучению жизни и творческого наследия Н.И.Лобачевского, истории математики в Казанском университете. Автор многих статей на эту тему, он к 150-летию открытия неевклидовой геометрии написал также книгу «Николай Иванович Лобачевский» (1976), учебное пособие «Н.И.Лобачевский и его геометрия» (1976). Совместно с П.С.Александровым он был ответственным редактором фундаментального издания «Н.И.Лобачевский.

Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма» (1976), завершившего многолетний труд по изданию полного собрания сочинений Н.И.Лобачевского. За свою активную научно-педагогическую и общественную деятельность Б.Л.Лаптев был удостоен почетных званий «Заслуженный деятель науки ТАССР» (1965 г.) и «Заслуженный деятель науки РСФСР» (1975 г.), а его научные достижения в области геометрии обобщенных пространств были в 1984 г. отмечены Академией наук СССР медалью им. П.Л.Чебышева. Б.Л.Лаптев воспитал 10 учеников – кандидатов наук.

В 1992 г. в память об этом замечательном человеке и ученом был издан сборник «Профессор Борис Лукич Лаптев (глазами учеников и друзей)».

При А.П.Широкове на кафедре установилась свободная, доброжелательная атмосфера. Вскоре на кафедре появляется новый талантливый преподаватель, ученик А.П.Нордена – Михаил Арменович Малахальцев (род. в 1961 г.). В 1987 г. он защитил кандидатскую диссертацию «О проектировании инвариантных линейных связностей на главных расслоениях». В ней Михаил Арменович исследовал операцию проектирования связности в главных расслоениях и получил результаты, позволяющие описать некоторые обобщения геодезических линий. Он изучил также вопрос о свободном действии группы изометрий на римановом многообразии знакоопределенной кривизны. С 1992 г.

М.А.Малахальцев работает на должности доцента. Его научные интересы лежат в области дифференциальной топологии, он вносит новые, оригинальные идеи в традиционную проблематику. В частности, Михаил Арменович построил аналог когомологий Дольбо для многообразий над алгеброй дуальных чисел и применил их для описания пространства деформаций структур многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе. Изучая многообразия над алгеброй, он пришел к понятию (X,G)слоения, естественным образом возникающих, например, на многообразиях над алгеброй, разработал методы изучения таких слоений, определил характеристические классы (X,G)-слоений и указал способ их вычисления. Михаил Арменович много работает со своими аспирантами, некоторые из них уже защитили кандидатские диссертации.

Александр Петрович Широков не боялся предоставить свободу действий молодым преподавателям, заботился о том, чтобы они реализовали свои замыслы и способности. На кафедре начинают читать новые спецкурсы: «Дифференцируемые многообразия», «Расслоенные пространства», «Теория катастроф», «Бесконечномерные многообразия» и т.д., отражающие последние достижения в области дифференциальной геометрии.

В 1992 г. благодаря энергии и инициативе В.В.Вишневского в Казанском университете была организована Всесоюзная научная конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского. В работе конференции приняли участие также около 20 зарубежных гостей. К этому юбилею Постановлением Кабинета министров СССР от 18 июня 1991 г. была учреждена медаль им.

Н.И.Лобачевского «За выдающиеся работы в области геометрии». В Положении предусмотрено, что один раз в пять лет эта медаль присуждается российским и зарубежным ученым. Первым лауреатом медали по единодушному решению жюри стал А.П.Норден.

В 1993 г. кафедру по рекомендации А.П.Широкова возглавил Борис Никитович Шапуков (род. в г.), ученик Б.Л.Лаптева. Незадолго до этого, в 1991 г. Б.Н.Шапуков защитил докторскую диссертацию «Структуры на расслоенных многообразиях и вопросы редукции» и в 1992 г. стал профессором кафедры. Область научных интересов Б.Н.Шапукова – дифференциальная геометрия расслоенных многообразий и их приложения. В своих работах он развил общую теорию линейных связностей и дифференцирования Ли на тотальных пространствах гладких расслоений, исследовал некоторые структуры, естественным образом возникающие на расслоенных многообразиях. В частности, Б.Н.Шапуков выяснил роль симметрической группы в геометрии тензорных расслоений и показал, что всякое тензорное расслоение обладает естественной почти алгебраической структурой, а также более тонкой тензорной структурой. На этом пути он получил широкое обобщение результатов Б.Л.Лаптева.

Б.Н.Шапуков подготовил пять учеников – кандидатов наук, является автором нескольких учебных пособий. В 1995 г. он получил почетное звание «Заслуженный деятель науки РТ».

В 1995 г. кафедрой геометрии совместно с кафедрой ТОиГ был организован международный геометрический семинар, посвященный 100-летию со дня рождения П.А.Широкова. Издан сборник «Петр Алексеевич Широков (человек и ученый)» (Казань, 1995), в котором кроме воспоминаний об этом замечательном человеке имеется и анализ его научного творчества. В феврале 1997 г. был проведен международный семинар на тему «Современная геометрия и теория физических полей». Следует отметить, что в проведении этих семинаров финансовую поддержку оказали Министерство науки Российской Федерации и Российский фонд фундаментальных исследований.

1 декабря 1997 г. Казанский университет в очередной раз проводил награждения медалью им.

Н.И.Лобачевского. На конкурс подали заявки 10 претендентов (6 по номинации «Российские ученые» и по номинации «Зарубежные ученые»). Международное жюри (председатель профессор Б.Н.Шапуков), представило Ученому Совету университета свое заключение, на основании которого лауреатами этой медали стали М.Громов (Франция) и Б.П.Комраков (Россия). Работы ряда ученых были отмечены почетными отзывами.

Особенно памятен для кафедры 1988 г. тем, что В.В.Шурыгин защитил докторскую диссертацию «Гладкие многообразия над локальными алгебрами и их применение в дифференциальной геометрии высшего порядка». Отталкиваясь от работ А.П.Широкова по геометрии касательных расслоений, он провел исследование геометрии и топологии расслоений А-струй А.Вейля как многообразий над алгеброй. В терминах теории когомологий он построил препятствия (классы Атьи-Молино) для существования некоторых дифференциально-геометрических структур на указанных расслоениях. Эти результаты являются новым существенным шагом в развитии традиционного научного направления кафедры – изучении многообразий над алгебрами.

В 1999 г. после окончания аспирантуры на кафедру на должность ассистента был принят ученик В.Е.Фомина Константин Борисович Игудесман (род. в 1974 г.). Вскоре он защитил кандидатскую диссертацию «Дифференциальная геометрия бесконечномерных многообразий над алгебрами». Ее цель – обобщение методов теории многообразий над алгебрами конечной размерности на многообразия Фреше.

В настоящее время преподавательский состав кафедры (два профессора, доктора наук, три доцента и один ассистент – кандидаты наук) обладает высокой квалификацией и большим научным потенциалом. Это позволяет проводить занятия на высоком методическом и научном уровне, оперативно внедрять в преподавание самые новейшие достижения, воспитывая достойную научную смену.

Сотрудники кафедры понимают, что Казанский университет, в стенах которого Н.И.Лобачевским была создана неевклидова геометрия и работал ряд выдающихся ученых-геометров, является одним из признанных центров геометрии в мире и делают все возможное, чтобы не только сохранить, но и приумножить высокую репутацию казанской геометрической школы.

Регулярно работает учебный семинар, на котором сотрудники кафедры, аспиранты знакомятся с новинками учебной и научной литературы. Продолжает работать городской геометрический семинар, на котором с новыми результатами выступают геометры как Казани, так и других городов России и зарубежья. Кроме того, активно действует научный семинар на английском языке (научный руководитель М.А.Малахальцев), в котором принимают участие как преподаватели, так и аспиранты, студенты. На кандидатском и докторском диссертационных советах регулярно проводятся защиты диссертаций.

Сотрудники кафедры неодно-кратно завоевывали гранты научных фондов России и Татарстана, вчастности, Президентский грант ведущих научных школ России.

ОСНОВНЫЕ ТРУДЫ КАФЕДРЫ ГЕОМЕТРИИ

145–157.

2. Shirokov P.A., Shirokov A.P. Affine Differentialgeometrie. – Leipzig, B.G.Tenbner Verlagsgesellschaft, 1962. – 3. Норден А.П. Пространства декартовой композиции // Изв. вузов. Математика. – 1963. – № 4. – С. 117–128.

4. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. – М.: ГИФМЛ, 1963.

– 540 с.

5. Широков А.П. О симметрических пространствах, определяемых алгебрами // Изв. вузов. Математика. – 1963.

– № 6. – С. 159–171.

6. Шуликовский В.И. Проективная теория сетей. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1964. – 77 с.

7. Бушманова Г.В., Норден А.П. Введение в конформную геометрию. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1964. – 95 с.

8. Лаптев Б.Л. Пространство опорных элементов // Тр. 4-го всесоюзн. матем. съезда. – 1964. – Т. 2. – С. 221– 226.

9. Норден А.П. Обобщение основной теоремы теории нормализаций // Изв. вузов. Математика. – 1966. – № 2. – С. 78–82.

10. Шуликовский В.И. О внутренних связностях N-тканей // Научны трудове на высшия педагогич. ин-т. Матем. – Пловдив, 1966. – Т. 4, кн. 1. – С. 13–22.

11. Широков А.П. Об одном типе G-структур, определяемых алгебрами // Тр. геометр. семинара. – М.: ВИНИТИ, 1966. – T. 1. – С. 425–456.

12. Вишневский В.В. Еще раз к вопросу о комплексных структурах в линейчатой геометрии // Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. – М., 1966. – Вып. 13. – С. 467–492.

13. Лаптев Б.Л. Дифференцирование Ли// Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. – М.: ВИНИТИ, 1967. – С. 429–465.

14. Шуликовский В.И. Дифференциална геометрия. – Пловдив, 1967.– 273 с.

15. Norden A.P. Metoda normalizacji w zastosowaniu do geometrii przestrzeni o koneksji afinicznej // Int. Conf. «Metody geometryczne w fizyce i technice». – Warszawa, 1968. – P. 15–25.

16. Вишневский В.В. О параболическом аналоге А-пространств // Изв. вузов. Математика. – 1968. – № 1. – С.

29–38.

17. Путята Т.В., Лаптев Б.Л., Розенфельд Б.А., Фрадлин Б.Н. Александр Петрович Котельников. – М., 1968. – 122 с.

18. Норден А.П., Симонов Ю.Б. Об одной интерпретации унитарного пространства постоянной кривизны// Изв.

вузов. Математика. – 1969. – № 2. – С. 63–71.

19. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. – Итоги науки. Алгебра. Топология.

Геометрия. – М.: ВИНИТИ, 1969. – С. 127–188.

20. Вишневский В.В. Аффинорные структуры пространств аффинной связности // Изв. вузов. Математика. – 1970. – № 1. – С. 12–23.

21. Норден А.П. О рукописи Н.И.Лобачевского «Начальные основания логики» // Изв. вузов. Математика. – 1971.

– № 8. – С. 76.

22. Норден А.П. О структуре связности на многообразии прямых неевклидова пространства // Изв. вузов.

Математика. – 1972. – № 12. – С. 84–94.

23. Лаптев Б.Л. Альтернированная производная Ли в пространстве опорных элементов // Изв. вузов.

Математика. – 1972. – № 12. – С. 69–76.

24. Широков А.П. Расслоенные пространства инволюций // Изв. вузов. Математика. – 1972. – № 12. – С. 116– 123.

25. Вишневский В.В. Аффинорные структуры многообразий как структуры, определяемые алгебрами // Tensor. – 1972. – № 26. – С. 363–372.

26. Вишневский В.В. Некоторые свойства дифференциально-геомет-рических структур, определяемых алгебрами // Научны тр. Пловдив. ун-та. – 1972. – Т. 10. – № 1. – С. 23–30.

27. Бушманова Г.В., Норден А.П. Элементы конформной геометрии. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1973. – 178 с.

28. Лаптев Б.Л. Казанский вестник. Казанское физико-математическое общество. Лежандр. Лобачевский // БСЭ.

– 2-е изд. – М., 1973. – Т. 19. – С.306–307; 310; Т. 24. – С. 443; 3-е изд. – Т. 14. – С. 1443–1446.

29. Широков А.П. О нормализациях в проективном пространстве с заданным расслоением // Изв. вузов.

Математика. – 1974. – № 5. – С. 216–221.

30. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки. Алгебра. Топология.

Геометрия. –– М.: ВИНИТИ, 1974. – Т. 11. – С. 153–207.

31. Вишневский В.В. О вещественных реализациях эрмитовых прост-ранств над алгебрами // Научны тр.

Пловдив. ун-та. – 1974. – Т.12 – № 1. – С. 43–48.

32. Вишневский В.В. О вещественных реализациях тензорных операций в пространствах над алгебрами// Изв.

вузов. Математика. – 1974. – № 5. – С.62–65.

33. Лаптев Б.Л., Норден А.П. A l’occasion du 150-e anniversaire de la geometrie de Lobatchevski noneuclidienne // XIV-th ICHS, Tokio-Kyoto, Japan, 19–27 august 1974. – Proceed. – 1974. – № 2. – P. 122–124.

34. Лаптев Б.Л. К десятилетию геометрического семинара ВИНИТИ // Тр. геом. семин. – М.: ВИНИТИ, 1974. – Т.

6. – С. 5–15.

35. Норден А.П., Шурыгин В.В. О реализации комплексного пространства Вейля // Изв. вузов. Математика. – 1975. – № 2. – С. 62–74.

36. Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. – Казань, 1976. – 136 с.

37. Лаптев Б.Л. Комментарии, вводные и вступительные статьи // Н.И.Лобачевский. Научно-педагогическое наследие. – М., 1976. – С. 9–15; 22–25; 35–39; 102–111; 141–143; 559–574; 597–603; 644–651; 654.

38. Лаптев Б.Л. Н.И.Лобачевский и его геометрия (Пособие для учащихся). – М.: Просвещение, 1976. – 112 с.

39. Норден А.П. Пространства аффинной связности. – М.: Наука, 1976. – 432 с.

40. Широков А.П. Развитие геометрических идей Лобачевского в Казан-ском университете // Всесоюзн. научн.

конф. по неевклид. геом. «150 лет геометрии Лобачевского», Казань, 1976 г. – М.: ВИНИТИ, 1977. – С.22–32.

41. Норден А.П. Композиции векторного расслоения // Изв. вузов. Математика. – 1978. – № 5. – С.138–141.

42. Норден А.П. Композиции проективного пространства // Изв. вузов. Математика. – 1978. – № 6. – С.98–101.

43. Норден А.П. Многочленные композиции и теория распределений // Изв. вузов. Математика. – 1978. – № 11. – С.87–97.

44. Норден А.П. Теория композиций // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. – М.: ВИНИТИ, 1978. – Т.10.

– C. 117–145.

45. Каримуллин А.Г., Лаптев Б.Л. Что читал Лобачевский? – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1979. – 128 с.

46. Бухараев Р.Г., Лаптев Б.Л., Сульдин А.В., Шерстнев А.Н. Математика // Казанский университет. 1804–1979.

Очерки истории. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1979. – С. 163–175.

47. Лаптев Б.Л. Математика в Казанском университете за 175 лет // Изв. вузов. Математика. – 1979. – № 11. – С.

3–13.

48. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. – М.: ВИНИТИ, 1979. – Т.9. – 247 с.

49. Шапуков Б.Н. Структура тензорных расслоений, I // Изв. вузов. Математика. – № 5. – 1979. – С. 63–73.

50. Лаптев Б.Л. Ламберт – геометр // ИМИ. – 1980. – Вып. XXV. – С. 248–260.

51. Лаптев Б.Л., Розенфельд Б.А. Геометрия // Математика XIX в. – М.: Наука, 1981. – С. 9–114.

52. Норден А.П. Проективные метрики на грассмановых многообразиях // Изв. вузов. Математика. – 1981. – № 11. – С.80–83.

53. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами // Итоги науки и техники.

Проблемы геометрии. – М.: ВИНИТИ, 1981. – Т.12. – С. 61–95.

54. Шапуков Б.Н. Структура тензорных расслоений, II // Изв.вузов. Математика. – 1981. – № 9. – С. 56–63.

55. Лаптев Б.Л. Лобачевского геометрия // Матем. энцикл. – М., 1982. – Т. 3. – С. 397–401.

56. Лаптев Б.Л. Геометрические исследования в Казанском университете // Изв. вузов. Математика. – 1982. – № 12. – С. 3–12.

57. Лаптев Б.Л. Николай Николаевич Парфентьев // Рассказы о казан-ских ученых. – Казань: Таткнигоиздат, 1983. – С. 20–27.

58. Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский // Рассказы о казанских ученых. – С. 5–19.

59. Норден А.П., Широков А.П., Шурыгин В.В. Методические указания и рекомендации к курсу дифференциальной геометрии – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1983. – 58 с.

60. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии.

– М.: ВИНИТИ, 1983. – Т. 15. – С. 61–93.

61. Шурыгин В.В. Расслоения струй, определяемые локальными алгебрами // Изв. вузов. Математика. – 1983. – № 12. – С. 77–80.

62. Вишневский В.В. О геометрической модели полукасательных структур // Изв. вузов. Математика. – 1983. – № 3. – С. 73–75.

63. Лаптев Б.Л. Пятый постулат // Матем. энцикл. – М., 1984. – Т. 4. – С. 778–780.

64. Вишневский В.В., Розенфельд Б.А., Широков А.П. О развитии геометрии пространств над алгебрами // Изв. вузов. Математика. – 1984. – № 7.– С. 38–44.

65. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Методические указания и рекомендации к проведению семинарских занятий по теме «Пространства над алгебрами». – Казань, 1984. – 47 с.

66. Шурыгин В.В. К теории дифференциальных групп высших порядков // Изв. вузов. Математика. – 1984. – № 11. – С. 77–81.

67. Лаптев Б.Л. Математическая жизнь Казани в годы Великой Отечественной войны // Изв. вузов. Математика. – 1985. – № 5. – С. 3–6.

68. Широков А.П. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А.П.Нордена) // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. – М.: ВИНИТИ, 1985. – Т.17. – С.131–151.

69. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. – Казань: Изд-во Казанск. унта, 1985. – 264 с.

70. Лаптев Б.Л., Султанов А.Я. О проблеме И.П.Егорова в теории движений // Изв. вузов. Математика. – 1986. – № 8. – С. 34–39.

71. Vishnevsky V.V., Laptev B.L. Lobachevsky. Mathematics teaching // Derby. – 1986. – P. 28.

72. Шапуков Б.Н. Лифт связности на тензорных расслоениях // Изв. вузов. Математика. – 1986. – № 12. – С. 70– 72.

73. Фомин В.Е. Методические указания и рекомендации к специальному курсу «Дифференциальная геометрия банаховых многообразий» – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986. – 37 с.

74. Малахальцев М.А. L-геодезические линии и проектирование связности Егиазаряна // Докл. АН СССР – 1986.

– Т. 288. – № 3. – С. 543–546.

75. Малахальцев М.А. О тензорах, сохраняющихся при L-проективных преобразованиях и при проектировании связности по Егиазаряну // Изв. вузов. Математика. – 1986. – № 7. – С. 82–84.

76. Шурыгин В.В. Уравнения параллельного переноса А-струи // Изв. вузов. Математика. – 1987. – № 9. – С. 78– 80.

77. Шурыгин В.В. Расслоения струй как многообразия над алгебрами // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. – М.: ВИНИТИ, 1987. – Т. 19. – С.3–22.

78. Лаптев Б.Л. Воспоминания о Н.Н.Парфентьеве // Очерки истории НИИММ им. Н. Г. Чеботарева при Казанском университете. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1988. – С. 119–125.

79. Лаптев Б.Л. Воспоминания о П.А.Широкове // Очерки истории НИИММ им. Н.Г.Чеботарева при Казанском университете. – С. 139–149.

80. Вишневский В.В. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии. – М.: ВИНИТИ, 1988. – Т. 20. – С. 35–74.

81. Норден А.П. Сопутствующие комплексные структуры линейчатого пространства // Тр. геом. семин. – Казань:

Изд-во Казанск. ун-та, 1989. – Вып. 19. – С. 82–91.

82. Близникас В.И., Норден А.П., Шапуков Б.Н., Широков А.П. Научное наследие Бориса Лукича Лаптева (23.04.1905 – 15.01. 1989) // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. – М.: ВИНИТИ, 1989. – Т.21. – С.27–41.