[ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Кемеровский государственный университет»
в г. Анжеро-Судженске
«1» марта 2013 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине «Теория оптимального риска» (СД.Ф.7) для специальности 080116.65 «Математические методы в экономике»факультет информатики, экономики и математики курс: 4 экзамен: 7 семестр семестр: 7 лекции: 42 часа практические занятия: 48 часов самостоятельная работа: 90 часов всего часов: 180 Составитель: канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики Капустин Е.В.
Анжеро-Судженск Рабочая программа составлена на основании:
«ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»
Рабочая программа обсуждена На заседании кафедры математики Протокол №6 «31» января 2013г.Зав. кафедрой_ Якупов Р.Т.
(Ф.И.О., подпись) Одобрено методической комиссией Протокол №8 «26» февраля 2013г.
Председатель _ Якупов Р.Т.
(Ф.И.О., подпись)
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ
1.1. ВЫПИСКА ИЗ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
– Предмет является обязательной дисциплиной;– Относится к дисциплинам специального цикла.
1.2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Теория оптимального управления является одной из важных дисциплин, составляющих фундамент прикладного математического образования. На нем базируется много прикладных математических дисциплин. Данный курс включает в себя основы классического вариационного исчисления, применение вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина и динамического программирования для решения задач оптимального управления,. Для разных типов задач выводятся необходимые условия экстремума. Теоретические результаты иллюстрируются примерами.
Для освоения курса необходимо хорошо владеть аппаратом математического анализа, линейной алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, знать основы функционального анализа.
Ввиду того, что методы теории оптимального управления находят широкое применение в профессиональной деятельности математика-прикладника, предусмотрен большой объем практических занятий. Предполагается интенсивная самостоятельная работа студентов.
Цель курса – формирование у студентов в систематизированной форме знаний о задачах оптимального управления и методах их решения.
Задачи курса:
1. Заложить (наряду с другими основными математическими курсами) фундамент профессионального математического образования;
2. Научить студентов эффективно применять основные понятия и результаты теории оптимального управления при решении практических задач;
3. Подготовить студентов к освоению прикладных математических дисциплин 1.3. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Введение в вариационное исчисление Вариационные задачи с фиксированными Достаточные условия экстремума Вариационные методы в оптимальном Принцип максимума Понтрягина Динамическое программирование2.2. СОДЕРЖАНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Введение в вариационное исчисление. Линейные нормированные пространства. Функционалы. Непрерывность. Дифференцируемость в смысле Фреше. Необходимое условие дифференцируемости. Дифференцируемость в смысле Гато. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума. Основная лемма вариационного исчисления.2. Вариационные задачи с фиксированными границами. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Экстремали. Интегрируемость уравнения Эйлера. Вариационные задачи с функционалами, зависящими от нескольких неизвестных функций. Вариационные задачи с функционалами, зависящими от производных высших порядков. Уравнение Эйлера-Пуассона.
3. Вариационные задачи с подвижными границами. Вариационная задача с фиксированной правой границей и свободным правым концом кривой. Вариационная задача с подвижной правой границей и свободным правым концом кривой. Вариационная задача с подвижной правой границей и с ограничениями на правый конец кривой. Условие трансверсальности.
4. Вариационные задачи на условный экстремум. Изопериметрическая задача. Задача Лагранжа.
5. Достаточные условия экстремума. Вторая вариация функционала. Необходимое условие локального минимума функционала. Достаточное условие локального минимума функционала. Условие Лежандра. Усиленное условие Лежандра. Уравнение Якоби. Условие Якоби. Усиленное условие Якоби. Достаточные условия слабого локального экстремума.
6. Вариационные методы в оптимальном управлении. Постановка задачи оптимального управления. Управляемые динамические системы. Фазовые переменные, управляющие переменные. Критерий качества управления. Задачи Майера, Лагранжа, Больца. Ограничения на правый конец траектории. Ограничения на управление. Программное управление и управление с обратной связью. Необходимое условие экстремума в задаче без ограничений на управление. Сопряженные переменные. Функция Гамильтона. Уравнение Эйлера-Лагранжа. П-система. Экстремаль. Экстремальное управление.
Вариационные методы для задач без ограничений на управление, с фиксированным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
Вариационные методы для задач без ограничений на управление, с произвольным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
Вариационные методы для задач без ограничений на управление, с фиксированным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
Вариационные методы для задач без ограничений на управление, с произвольным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
7. Принцип максимума Понтрягина. Игольчатые вариации. Необходимое условие оптимальности управления. Принцип максимума Понтрягина. Релейное управление. Понятие особого управления.
Принцип максимума Понтрягина для задач с фиксированным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
Принцип максимума Понтрягина для задач с произвольным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
Принцип максимума Понтрягина для задач с фиксированным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
Принцип максимума Понтрягина для задач с произвольным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
Задача оптимального быстродействия. Понятие управляемости линейной динамической системы. Критерий управляемости. Особое управление в задаче оптимального быстродействия. Достаточное условие оптимальности в задаче оптимального быстродействия для линейных динамических систем.
8. Динамическое программирование. Принцип оптимальности Беллмана.
Функция Беллмана. Уравнение Беллмана.
Динамическое программирование для задач с фиксированным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
Динамическое программирование для задач с произвольным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
Динамическое программирование для задач с фиксированным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
Динамическое программирование для задач с произвольным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
Связь метода динамического программирования и принципа максимума Понтрягина.
Простейшая задача вариационного исчисления.
Простейшая задача вариационного исчисления.
Функционалы от нескольких функций.
Функционалы со старшими производными.
Задачи с подвижной границей.
Задачи с подвижной границей.
Изопериметрическая задача.
Изопериметрическая задача.
Достаточные условия экстремума.
Контрольная работа.
10.
Задачи оптимального управления без ограничений на управление.
11.
Задачи оптимального управления без ограничений на управление.
12.
Задачи оптимального управления без ограничений на управление.
13.
Задачи оптимального управления без ограничений на управление.
14.
Принцип максимума.
15.
Принцип максимума.
16.
Принцип максимума.
17.
Принцип максимума.
18.
Принцип максимума.
19.
Динамическое программирование.
20.
Динамическое программирование.
21.
Динамическое программирование.
22.
Динамическое программирование.
23.
Контрольная работа.
24.
3. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Постановка задачи оптимального управления.Необходимое условие экстремума в задаче без ограничений на управление.
Сопряженные переменные. Функция Гамильтона.
Уравнение Эйлера-Лагранжа.
Вариационные методы для задач без ограничений на управление, с фиксированным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
6. Вариационные методы для задач без ограничений на управление, с произвольным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
7. Вариационные методы для задач без ограничений на управление, с фиксированным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
8. Вариационные методы для задач без ограничений на управление, с произвольным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
9. Игольчатые вариации. Необходимое условие оптимальности управления.
10. Принцип максимума Понтрягина.
11. Принцип максимума Понтрягина для задач с фиксированным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
12. Принцип максимума Понтрягина для задач с произвольным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
13. Принцип максимума Понтрягина для задач с фиксированным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
14. Принцип максимума Понтрягина для задач с произвольным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
15. Особое управление в задаче оптимального быстродействия для линейных динамических систем.
16. Достаточное условие оптимальности в задаче оптимального быстродействия для линейных динамических систем.
17. Принцип оптимальности Беллмана.
18. Функция Беллмана.
19. Уравнение Беллмана.
20. Динамическое программирование для задач с фиксированным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
21. Динамическое программирование для задач с произвольным терминальным временем и свободным правым концом траектории.
22. Динамическое программирование для задач с фиксированным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
23. Динамическое программирование для задач с произвольным терминальным временем и ограничениями на правый конец траектории.
24. Связь метода динамического программирования и принципа максимума Понтрягина.
4. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА (ОСНОВНАЯ)
1. А л е к с е е в В.М., Т и х о м и р о в В.М., Ф о м и н С.В. Оптимальное управление. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. – 432 с.2. А ф а н а с ь е в В.Н., К о л м а н о в с к и й В.Б., Н о с о в В.Р. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. для вузов. – 2-е изд., доп. – М.: Высш.
шк., 1998. – 574 с.
3. В а н ь к о В.И., Е р м о ш и н а О.В., К у в ы р к и н Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов. – 2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П.
Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. – 488 с.
4. В а с и л ь е в А.В., А р г у ч и н ц е в О.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. – 208 с.
5. Г а л е е в Э.М. Оптимизация. Теория, примеры, задачи: Учебное пособие. – Изд. 2е, испр. и доп. – М.: КомКнига, 2006. – 336 с.
6. З е л и к и н М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. – Изд. 2-е, испр. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 160 с.
7. И н т р и л и г а т о р М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / Пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана. – М.: Айрис-пресс, 2002. – 576 с.
8. Л а г о ш а Б.А. Оптимальное управление в экономике: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.
9. П а н т е л е е в А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. – М.: Высш. шк., 2002. – 544 с.
10. П а н т е л е е в А.В. Теория управления в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В.
Пантелеев, А.С. Бортаковский. – М.: Высш. шк., 2003. – 583 с.
11. П а р а е в Ю.И. Теория оптимального управления: Учебное пособие. – Томск: Издво НТЛ, 2004. – 168 с.
12. Р о м а н к о В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.
– 2-е изд. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 344 с.
«