WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА специальности 05020102.65 Математика специализация Алгебра и геометрия УМК составила: к.п.н., доцент Евсюкова Е.В. УМК утвержден на заседании кафедры ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТОБОЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СОЦИАЛЬНОПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМ. Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА»

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

ДИСЦИПЛИНЫ

«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»

специальности 05020102.65 «Математика»

специализация «Алгебра и геометрия»

УМК составила:

к.п.н., доцент Евсюкова Е.В.

УМК утвержден на заседании кафедры математики, теории и методики обучения математике, протокол № 1 от 8.09.2011.

/ зав. кафедрой Л.П. Шебанова Тобольск -

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТОБОЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СОЦИАЛЬНОПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМ. Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА»

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»

специальности 05020102.65 «Математика»

специализация «Алгебра и геометрия»

Пограмму составила:

к.п.н., доцент Евсюкова Е.В.

Программа переутверждена на заседании кафедры математики, теории и методики обучения математике, протокол № 1 от 8.09.2011.

/ зав. кафедрой Л.П. Шебанова Тобольск -

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.....

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ.

1....

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

2

ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

3.

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

4..... 4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ.. 4.2.1. ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС..... 4.2.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ.... 4.2.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ......

4.2.4. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ...

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

5 ДИСЦИПЛИНЫ........

5.1. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА...

5.2. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ

ДИСЦИПЛИНЫ......

МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

6 ДИСЦИПЛИНЫ........

СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ

7

7.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ

И ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

7.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К

7.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ И

7.4. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.....

УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Дисциплина “Основы дискретной математики” изучается в III семестре II курса. На её изучение отведено 150 часов, из них аудиторных – 72 часа, лекций – 36 часов, практических занятий – 36 часов, самостоятельная работа студентов – 78 часов. Изучение завершается зачётом.

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Основные требования к знаниям и умениям студентов-математиков раскрываются в государственном стандарте высшего профессионального образования. Будущий учитель математики должен:

знать роль и место математики в системе наук, осознавать как фундаментальный, так и прикладной характер математики;

владеть системой основных математических структур и аксиоматическим методом;

владеть методологией построения математических моделей;

знать основные этапы истории математики и иметь представление об основных современных тенденциях её развития;

иметь достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной математической литературы;

уметь выявлять и развивать математические способности учащихся.

Главными целями изучения данной дисциплины являются:

осознание прикладного характера математики;

овладение на необходимом уровне языком логики и теории множеств, комбинаторики и теории графов, методами дискретной математики, наиболее употребительными при решении практических задач.

развитие логического мышления;

Вместе с тем, изучение данной дисциплины в педагогическом институте преследует и следующие цели:

подготовка к сознательному и глубокому усвоению математических дисциплин и грамотному использованию полученных знаний при анализе различных вопросов высшей и школьной математики.

освещение некоторых задач школьной математики и информатики с точки зрения современной науки;

пополнение запаса алгоритмов для решения типовых задач, что позволит в будущем сэкономить время при построении и анализе эффективных алгоритмов и составлении программ.



Изучение дисциплины направлено на подготовку студентов к выполнению следующих видов профессиональной деятельности:

учебно-воспитательную;

научно-методическую;

культурно-просветительскую.

В рамках этих видов деятельности студенты должны быть готовы к решению следующих профессиональных задач:

учебно-воспитательная:

– проводить уроки математики с учащимися различного возраста с учётом особенностей учебных программ;

– использовать в процессе обучения математики современные информационные, компьютерные и педагогические технологии, различные формы и методы обучения;

– обучать учащихся приёмам учебной и познавательной – использовать различные формы контроля за результатами научно-методическая:

– уметь организовывать научно-исследовательскую деятельность – участвовать в работе методических объединений учителей;

– уметь организовать учебно-методическую работу в школе и т.д.

культурно-просветительская:

– владеть основными понятиями математики, уметь использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, иметь целостное представление о математике как науке, её месте в современном – уметь анализировать собственную деятельность с целью её совершенствования и повышения своей квалификации;

– уметь стимулировать развитие внеурочной деятельности

2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Изучение каждой темы предполагает овладение определёнными знаниями, умениями и навыками, которые представлены далее в каждом разделе.

Студент должен:

– знать термины, обозначения, определения высказывания, определения подмножества, операций над высказываниями и множествами, их свойства, определение предиката, его областей определения и истинности и логических операций над предикатами, их свойства, обозначения кванторов;

– уметь составлять таблицы истинности, проверять является ли данная формула исчисления высказываний законом логики и равносильны ли две данные формулы, доказывать (или опровергать) равенство двух множеств, полученных из других с помощью теоретико-множественных операций, иллюстрировать операции над множествами диаграммами Эйлера-Венна, записывать и читать высказывания, содержащие предикаты и кванторы, определять, истинны они или ложны, формулировать их отрицания и записывать высказывания, используя термины “необходимо”, “достаточно” и “необходимо и достаточно”, конструировать контрпримеры, обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы.

Студент должен:

– знать определения прямого произведения множеств, бинарного отношения, его свойств и видов, способы задания бинарного отношения;

– уметь проверять свойства бинарного отношения и определять, является ли оно порядком, функцией, эквивалентностью (в последнем случае находить классы эквивалентности и фактор-множество).

Студент должен:

– знать формулировки основного принципа комбинаторики, правила суммы, определения перестановки, сочетания, размещения без повторений и формулы для их расчета, бином Ньютона, свойства сочетаний, треугольник Паскаля;

– уметь решать комбинаторные задачи с помощью правил произведения, суммы, перестановок, сочетаний, размещений;

– владеть биномом Ньютона.

Студент должен:

– знать определения графа, ориентированного и неориентированного графа, отношения инцидентности, ориентированной дуги, изолированной вершины, висячего ребра, смежных вершин, кратных ребер, изоморфных графов, матрицы инцидентности и матрицы смежности, полного графа, двудольного графа, подграфа;

– уметь задавать графы различными способами: перечислением, матрицей инцидентности и смежности, в виде геометрического объекта и переходить от одного способа задания к другому.

Приводимые ниже (в приложении I К УП) варианты контрольных работ позволяют более предметно судить о приобретаемых в процессе обучения знаниях, умениях и навыках.

3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Общая трудоёмкость дисциплины Аудиторные занятия Практические занятия, в том числе Контрольные работы (1 срезовая к.р.)

4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ

Далее символом помечены разделы и темы, рассматриваемые в обзорном порядке.

ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

– учебное пособие по первым двум разделам дисциплины дано в приложении I к УМК

ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

1 ними. Построение таблиц истинности.

Законы логики. Доказательство Доказательства равенства двух Строение теорем. Необходимые Прямое произведение множеств.

7 Бинарные отношения, их свойства Отношение эквивалентности. Классы 8 эквивалентности. Фактор-множество. Раздел II:

Виды отображений. Композиция Основной принцип комбинаторики.

Правило суммы. Перестановки.

– содержание практических занятий и методические указания к их выполнению даны в приложении II к 4.2.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

СТУДЕНТОВ

ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Тема: Теорема о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы.

Тема: Перестановки, размещения и cочетания с повторениями.

Не предусмотрен.

– содержание и методические указания для СРС приведены в приложении III к УМК

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

А) ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Евсюкова Е.В. Элементы логики и теории множеств: Учебнометодическое пособие для организации коррекционной и самостоятельной работы студентов первого курса математического факультета. [Текст] / Е.В. Евсюкова. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 2005. – 131 с.

2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Учебник для вузов. 2-е изд. [Текст] / Ф.А Новиков. – СПб: Питер, 2004. – 364 с.

3. Судоплатов С.В. Дискретная математика: Учебник. – 2-е изд. переработ.

[Текст] / С.В Судоплатов, Е.В. Овчинникова – М.: ИНФРА-М;

Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. – 256 с. – (Высшее образование).

4. Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практические занятия. [Текст] / С.Д. Шапорев. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. – 400 с.

Б) ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

5. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. 2-е изд., дополн.

[Текст] / О.Е. Акимов. – М.: Лаборатория базовых зданий, 2001. – 376 с.

6. Антипов И.Н. Избранные вопросы математики. Факультативный курс 9.

[Текст] / И.Н. Антипов, Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1979.

7. Балашова Н.А. Комбинаторика. Учебное пособие для студентов и учащихся специализированных физико-математических школ. ч. I. [Текст] / Н.А. Балашова, Г.П. Кукин. – Омск: Омск. ун-т, 1992. – 65 с.

8. Березина Л.Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. [Текст] / Л.Ю. Березина – М.: Просвещение, 1979. – 143 с.

9. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. [Текст] / Н.Я. Виленкин – М.: Просвещение, 1976. – 48 с.

10.Гроссман И. Группы и их графы. [Текст] / И. Гроссман, В. Магнус.-М.:

Мир, 1971. –246 с.

11.Ежов И.И. Элементы комбинаторики. Перев. с укр. [Текст] / И.И. Ежов, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. – М.: Наука, 1977. – 80 с.

12.Оре О. Графы и их применение. [Текст] / О. Оре. – М.: Мир, 1965.

5.2. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Не предусмотрены.

6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Компьютерный класс.

7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ

7.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Примерные варианты срезовой контрольной работы по дисциплине приведены в ПРИЛОЖЕНИИ I К УП. Примерный вариант семестрового задания приведён в ПРИЛОЖЕНИИ II К УП.

7.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ

Примерный вариант вопросов и заданий к зачёту приведён в ПРИЛОЖЕНИИ III К УП.

7.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ И

КУРСОВЫХ РАБОТ

Не предусмотрены.

7.4. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ

По изучаемой дисциплине предполагается проведение одной домашней контрольной работы (на усмотрение преподавателя), в конце семестра запланирован зачёт. Полезно давать семестровое задание по изучаемым разделам.

8. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ

ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Необходимость введения в образовательный стандарт дисциплины “Основы дискретной математики” обусловлена бурным развитием процесса компьютеризации и информационных технологий. По сравнению с – содержание текущего и промежуточного контроля, а также методические указания к выполнению контрольных заданий даны в приложении IV к УМК – ограничимся лишь краткими методическими рекомендациями; более полные рекомендации, как для преподавателей, так и для студентов даны в приложении V к УМК непрерывной математикой дискретная математика стала занимать все большое место как в самой математике, так особенно в ее приложениях.

Цель курса – дать математическое обеспечение для современных компьютерных и информационных технологий. Данная дисциплина должна развивать математическую культуру, вооружать студентов фундаментальными понятиями, алгоритмами и методами, позволяющими в будущем овладеть самостоятельно дополнительными знаниями, необходимыми в их дальнейшей работе.

Дисциплина “Основы дискретной математики” изучается в III семестре II курса. На её изучение отведено 150 часов, из них аудиторных – 72 часа, лекций – 36 часов, практических занятий – 36 часов, самостоятельная работа студентов – 78 часов. Изучение завершается зачётом.

Конечно, за это время невозможно изучить подробно весь материал, предусмотренный стандартом. Поэтому некоторые разделы учебной программы могут быть вынесены на самостоятельное изучение (по желанию преподавателя), а некоторые могут быть прочитаны в обзорном порядке.

Кроме того, отдельные разделы будут изучаться более подробно в других дисциплинах (например, в математической логике), в данном же курсе происходит первоначальное знакомство с элементами теории множеств, логики, комбинаторики, теории графов.

Методические материалы и рекомендации для студентов даны в приложении V к УМК.

9. УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Не предусмотрена.

ПРИЛОЖЕНИЕ I

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Конспект лекций содержится в файле:

ПРИЛОЖЕНИЕ II

СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

ТЕМА: Высказывания и операции над ними. Построение таблиц истинности.

1. Следует сформулировать определения высказывания, отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, построить их таблицы истинности, сформулировать определения простого и сложного высказывания ( [2] п. 3.1.) Решить из [2] п. 4.2. (I уровень, II уровень №№1-3).

Решить из [7] №№ 1.1, 1.2, 1.3 (1-6).

4. Нестандартные задачи: [2] c. 23-25, п. 4.2. (III уровень).

1. Что можно сказать об истинностном значении формулы p q r, если формула p r p r истинна?

5. Домашнее задание.

Повторить из [2] п. 3.1. Решить из [2] п. 4.2. (II уровень №№1-3);

решить из [7] №№ 1.3 (7-11). Выучить определения закона логики, равносильных (логически равных) формул, правила вывода, уметь приводить примеры ([2] п.3.2).

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

ТЕМА: Законы логики. Доказательство равносильности формул.

1. Сформулировать определение закона логики, равносильных (логически равных формул). Перечислить основные законы логики и логические равенства (из [2] п. 3.2.).

Решить из [7] №№ 1.4.(1-6) из [2] №№ 4.2. (II уровень (4, 7)).

2. Нестандартные задачи утвердительной форме, т.е. так, чтобы они не начинались со слов:

«неверно, что»:

а) «Если в данном четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то этот четырёхугольник - ромб»;

2. Проанализируйте логическую структуру определения понятия:

a) ромб; b) трапеция.

3. Записать символически в виде формулы алгебры высказываний определение: «Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые», обозначив R – родовое понятие, T- определяемое (видовое) понятие (термин), S – существенный признак. Какие вопросы можно задать при формировании понятия «прямоугольник» в школьном курсе математики, исходя из логической структуры данного определения?

Обобщённый приём решения логических задач методом алгебры 1.Выделяем и обозначаем все участвующие в задаче простые высказывания;

2. Строим из них содержащиеся в условии задачи сложные высказывания;

3. Рассматриваем конъюнкцию построенных посылок, она истинна по условию;

4. Преобразуем эту конъюнкцию с помощью логических равенств к более простому виду, удобному для получения требуемой в задаче информации;

5. Извлекаем эту информацию (ответы на вопросы задачи).

Воспользуйтесь данным приёмом при решении логической задачи:

4. Три свидетеля дали показания, что преступники скрылись с места преступления: а) на чёрном «Бьюике»; в) на синем «Форде»; с) не на «Крайслере». Каждый из них в чём-то одном ошибался. На какой машине скрылись преступники?

3. Домашнее задание.

Повторить из [2] п. 3.1, п. 3.2. Закончить из [2] п. 4.2; решить из [7] №№ 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 (5-10). Выучить определения равенства множеств, подмножества, объединения, пересечения, разности множеств, дополнения к множеству. ([2] п.5.1 и 5.2.).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

Следует вспомнить определение равенства множеств, подмножества, объединения, пересечения, разности множеств, дополнения к множеству (из [2] п. 5.1.) Решить из [2] п. 6.2. (I уровень).

Решить из [7] №№ 1.5, 1.6, 1.7, 1.8.

1. Запишите в символической форме высказывание, обозначив буквами p и q, элементарные высказывания ( p b5, q b7 ):

2. Сформулируйте отрицание для высказывания, будет ли оно истинным?

3. Является ли данная формула законом логики?

4. Что можно сказать об истинностном значении формулы (p q) r, если 1. Запишите в символической форме высказывание, обозначив буквами p и q, элементарные высказывания ( p b5, q b7 ):

2. Сформулируйте отрицание для высказывания, будет ли оно истинным?

3. Является ли данная формула законом логики?

4. Что можно сказать об истинностном значении формулы p q r, если 3. Нестандартные задачи: Из 20 человек двое изучали только английский язык, трое – только немецкий, шестеро – только французский.

Никто не изучал трёх языков. Один изучал немецкий и английский, трое – французский и английский. Сколько человек изучало французский и немецкий языки?

Решение. Обозначим через A множество учеников, изучавших английский язык, через B - немецкий язык, через С - французский язык. По условию множество А В содержит один элемент, множество А С содержит 3 элемента, А В С = (никто не изучал сразу три языка). Требуется определить количество элементов в пересечении В С (Рис. 1).

Объединение множеств АВС содержит 20 элементов. Из диаграммы видно, что множество В С должно содержать 20-1-2-3-6-3= элементов.

Ответ: французский и немецкий языки изучали 5 человек.

4. Домашнее задание.

Решить из [7] №№ 1.9, 1.10. Закончить из [2] п. 6.2. (II уровень №№ 1Выучить свойства операций над множествами ([2] п.5.1 и 5.2.).

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

ТЕМА: Доказательства равенства двух множеств.

1. Следует вспомнить свойства операций над множествами ([2], п.

5.2).

Решить из [2] п.6.2 (II уровень №№ 7-9).

Решить из [7] №№ 1.11(1-9).

2. Обобщённый приём проверки равенства двух множеств (L=P) (Пусть множества L и P получены из других множеств с помощью теоретико-множественных операций).

1. Пусть х L (L –левая часть исходного равенства);

2. Находим последнюю теоретико-множественную операцию в левой части равенства L, затем предпоследнюю и т. д. Пользуясь определениями данных операций, последовательно освобождаемся от символов этих операций и представляем высказывание х L в виде сложного высказывания (обозначим его l);

3. Пусть х P (P - правая часть исходного равенства);

4. По аналогии с п.2 высказывание х P представляем в виде сложного высказывания (обозначим его p);

5. Составляем эквиваленцию (l p) и строим таблицу истинности для данной формулы;

6. Проверяем, является ли формула (l p) законом логики;

7. Если ФВЛ l p является законом логики, то равенство L=P верно, в противном случае L P.

Пример 1. Проверить, верно ли равенство: A \ B A A B.

Составим эквиваленцию ФВЛ, полученных в пунктах a) и b), получим ФВЛ a b a a b и построим её таблицу истинности.

F принимает только истинные значения, следовательно, ФВЛ F – закон логики. Поэтому исходное равенство верно.

3. Нестандартные задачи: 1. Проверить, верно ли равенство?

4. Домашнее задание.

Решить из [7] №№ 1.11(10-15). Выучить определения предиката, понятие множества определения и истинности предиката, кванторов общности и существования, определения операций над предикатами ([2], п.

8.1.)

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

1. Вставьте между множествами символ или, чтобы получилось истинное высказывание:

2. Найдите A B, A B, A \ B, B \ A, A, В, если:

3. Доказать равенство множеств:

4. Cледующее утверждение либо докажите, либо покажите при помощи диаграмм Эйлера – Венна, что оно не всегда верно:

1. Вставьте между множествами символ или, чтобы получилось истинное высказывание:

2. Найдите A B, A B, A \ B, B \ A, A, В, если:

3. Доказать равенство множеств:

4. Cледующее утверждение либо докажите, либо покажите при помощи диаграмм Эйлера – Венна, что оно не всегда верно:

2. Следует вспомнить определения предиката, понятие множества определения и истинности предиката, кванторов общности и существования, определения операций над предикатами ([2], п. 8.1.) Решить из [2] п. 9.2. (Iуровень, №№ 1-8).

Решить из [7] №№ 1.22, 1.23, 1.24, 1.26 (1-5) 3. Нестандартные задачи: 1. Сколько человек участвовало в прогулке, если известно, что 16 из них взяли с собой бутерброды с ветчиной, 24колбасой, 15-с сыром, 11-с ветчиной и сыром, 12-и с колбасой и с сыром, 6бутерброды всех трёх видов, а 5-вместо бутербродов взяли пирожки?

2. Из 100 студентов 24 не изучают никакого языка, 26-немецкий, 48французский и английский, 8-немецкий и французский, 18-только немецкий, 23-немецкий но не английский. Сколько студентов изучают английский язык?

5. Домашнее задание.

Решить из [7] №№ 1.26 (6-12)1.27. Выучить п.8.2 из [2] о строении теорем, необходимых и достаточных условиях, простейших методах доказательства теорем.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

ТЕМА: Строение теорем. Необходимые и достаточные условия.

1. Следует вспомнить строение теоремы ([2] п. 8.2.).

Многие теоремы в математике, как правило, формулируются (или могут быть сформулированы) в следующей форме:

Такая теорема состоит из трёх частей:

Разъяснительная часть:«х пробегает допустимое множество объектов Х»

Условие теоремы: A(x), Заключение теоремы: B(x).

Пример 1. Выполнить логико-математический анализ утверждения:

«Если сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9, то само число х делится на 9».

Решение. Разъяснительная часть Х = N. Выделяем условие: А(х) «Сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9». Выделяем заключение: B(x) «Само число х делится на 9».

Утверждение сформулировано в импликативной форме. Так как в утверждении одно условие и одно заключение, то оно простое. Используя логические символы, его можно записать так: «( х Х) A(x) B(x)».

Пример 2. Выполнить логико-математический анализ утверждения:

«Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».

Решение. Результат анализа можно оформить в виде таблицы:

Для любого параллелограмма верно утверждение:

(параллелограмм x является ромбом) (диагонали параллелограмма x взаимно Структура утверждения: Условие: A(x) «параллелограмм x является ромбом»

( х Х) A(x) B(x) Заключение: B(x) «диагонали ромба взаимно Утверждение простое, так как содержит одно условие и одно заключение.

Решить из [2] п.9.2. (I уровень, №№ 9-15).

простейшие методы доказательства теорем ([2] п. 8.2.).

Решить из [7] №№ 1.30, 1.31 1.33 (1-4).

Тема: «Предикаты и кванторы. Строение теорем»

1. Записать в символической форме (используя кванторы) следующее высказывание, установить его истинность: “Если x и y – натуральные числа, произведение которых делится на простое число p, то хотя бы один из множителей делится на p”.

2. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”, или “достаточно” или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное высказывание: “Для того чтобы число x делилось на 3,…, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3”.

3. P(x,y) означает “Окружность x вписана в четырёхугольник y”. Прочтите высказывание, постройте его отрицание и сформулируйте словами.

4. Следующую теорему сформулировать символически в импликативном виде, затем составить обратную, противоположные теоремы, указать их истинностные значения. “Для того чтобы число делилось на 12, достаточно чтобы оно делилось на 6 и на 4”. Приведите контрпримеры для ложных утверждений.

1. Записать в символической форме (используя кванторы) следующее высказывание, установить его истинность: “Для каждой прямой x на плоскости и каждой точки этой плоскости найдётся прямая, проходящая через эту точку и паралельная прямой x”.

2. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”, или “достаточно” или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное высказывание: “Для того чтобы параллелограмм x был ромбом, …, чтобы его диагонали делили пополам внутренние углы”.

3. P(x,y) означает “Окружность x вписана в квадрат y”. Прочтите высказывание, постройте его отрицание и сформулируйте словами.

( y ) ( x ) P(x, y).

4. Следующую теорему сформулировать символически в импликативном виде, затем составить обратную, противоположные теоремы, указать их истинностные значения. “Для того чтобы число a делилось на 30, необходимо чтобы оно делилось на и на 3”. Приведите контрпримеры для ложных утверждений.

4. Нестандартные задачи: Сформулируйте:

а) достаточное, но не необходимое условие истинности импликации;

б) необходимое, но недостаточное условие ложности импликации;

с) необходимое и достаточное условие истинности импликации.

5. Домашнее задание.

Решить из [2] п. 9.2. (II уровень №№ 3-6, 8, 16). Выучить п.10.1 из [2] определения прямого произведения множеств, бинарного отношения, способы его задания, свойства и примеры.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

ТЕМА: Прямое произведение множеств. Бинарные отношения, их свойства 1. Следует вспомнить определение прямого произведения множеств ( [2], п.10.1).

Решить из [2], п. 11.2 (I уровень, №№ 1-6).

Решить из [7] №№ 1.34 (1, 2), 1.35 (1-8), 1.36 (1) 2. Следует вспомнить определение бинарного отношения, способы его задания, свойства и примеры ( [2], п.10.1).

Решить из [2], п. 11.2 (I уровень, №№ 7-11).

Решить из [7] №№ 1.40 (1-9), 1.41 (1-4), 1.42 (1-3), 1.43 (1-3).

3. Нестандартные задачи:

1. Решить задачу, используя граф бинарного отношения. Класс выставил на соревновании по плаванию команду мальчиков. В неё входили:

Витя, Коля, Андрей, Саша. Коля проплыл дистанцию быстрее Андрея, но медленнее Саши. Андрей затратил на ту же дистанцию времени больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как распределились роли в соревнованиях?

2. Если бинарное отношение на множестве А симметрично, транзитивно и Dom =А или Im = A, то рефлексивно. Доказать.

3. Доказать, что всякое симметричное и антисимметричное бинарное отношение транзитивно.

4. Домашнее задание.

Решить из [7] №№ 1.36 (2,3), 1.42 (12-15), 1.43 (4-5). Выучить определения отношения эквивалентности, класса эквивалентности, разбиения множества, фактор-множества. теорему о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы ([2]), п. 10.2).

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

ТЕМА: Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности.

1. Следует вспомнить определения отношения эквивалентности, класса эквивалентности, разбиения множества, фактор-множества, теорему о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы ([2]), п. 10.2).

= {(x, y)| x, y Изобразим граф данного бинарного отношения:

Получили три класса эквивалентности:

Совокупность всех классов эквивалентности множества А называется фактор-множеством множества А по отношению и обозначается А.

В примере имеем:

б) Пусть П - множество прямых плоскости. Отношение «||» на множестве П является эквивалентностью. ( а П) класс эквивалентности а // представляет собой пучок параллельных прямых.

Решить из [2] п. 11.2 (II уровень №№ 10-15).

Решить из [7] №№ 1.48, 1.49.

2. Нестандартные задачи: 1. Найти в вузовских учебниках и привести примеры, иллюстрирующие роль отношения эквивалентности в математике (в алгебре и геометрии).

3. Домашнее задание.

Решить из [2] п. 11.2 (II уровень №№ 16-18). Выучить определения теорему о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы ( [2] п.10.2).

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

1. Следует вспомнить определения отношения эквивалентности, класса эквивалентности, разбиения множества, фактор-множества, теорему о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы ([2]), п. 10.2).

1. Бинарное отношение A A является отношением эквивалентности.

Назовите номер правильного ответа, если:

2) известно: а) на графе отношения в каждой точке а, принадлежащей множеству А, есть петля, б) на графе отношения отсутствуют односторонние стрелки, б) A x x, в) транзитивно.

2. Найдите классы эквивалентности отношения эквивалентности, граф которого изображён на рисунке 3:

3. Из данных высказываний выберите истинное, укажите его номер:

1) А = {а, b, c, d, e, f} (граф изображён на рисунке 3);

2) если произвольное бинарное отношение задано на некотором множестве В, то всегда можно построить фактор-множество В ;

является отношением эквивалентности, заданном на А, тогда элементами фактор-множества А являются классы эквивалентности множества А по 4. Множества А1 и А2 задают разбиение множества А = {a, b, c}. Назовите номер правильного ответа, если: 1) А1 = {а, b}, А2 = {b, c}; 2) А1 = {а, b, с}, А2 = ; 3) А1 = {а}, А2 = {b}; 4) А1 = {а}, А2 = {b, c};

5. Как можно быстрее из данных бинарных отношений выберите отношение эквивалентности:

c) Отношение «подобия» на множестве треугольников плоскости;

d) « » на множестве прямых плоскости;

транзитивно. Возьмём элемент х и такой y, что х y. В силу симметричности имеем y х. В силу транзитивности получим х х, то есть рефлексивно.

7. Пусть бинарное отношение = {(a, b), (b, a), (a, a)} задано на множестве А = {a, b}. Найти ошибку в следующем рассуждении и объяснить причину этой ошибки: « Действительно, множество А содержит только два элемента, поэтому в любом случае истинна».

транзитивно, то рефлексивно. Доказать.

2. Доказать теорему о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы в соответствии с планом:

1. если - отношение эквивалентности на множестве А, то фактормножество А / (множество классов эквивалентности a, где а А ) образует разбиение множества А; чтобы доказать это утверждение докажите:

элементом a A, является непустым, т.е. содержит хотя бы один элемент);

тривиальный случай, когда любые 2 элемента множества Ф находятся в отношении и когда А / =А ), доказательство провести методом от противного;

Доказать, что любые два элемента одного класса находятся в отношении эквивалентности (если b, c a, то b c ).

Доказать, что любые два элемента из различных классов не связаны отношением эквивалентности (если a b, c a, d b, то c d ).

6. Домашнее задание.

Решить из [2] п. 11.2 (II уровень №№ 19-22). Выучить определения порядка, строгого, нестрогого, линейного и частичного порядков ([2]п. 10.3).

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Сформулировать и доказать теорему обратную теореме о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы.

2. Проиллюстрировать теорему на конкретном примере.

3. Следует вспомнить определение порядка, строгого, нестрогого, линейного и частичного порядков ([2]п. 10.3).

4. Решить из [2] п.11.2 (I уровень №№ 12, 13, 14: II уровень №№ 23, 24, 31).

5. Нестандартные задачи:

1. Доказать, что всякое транзитивное и антирефлексивное отношение является отношением порядка.

2. Найти все бинарные отношения в множестве А, которые одновременно являются отношением эквивалентности и порядка.

4. Домашнее задание.

Выучить определение функции (отображения), ее области определения и области значений, виды функций (виды отображений:

инъекция, сюръекция, биекция) ( [2] п.10.4).

Решать семестровое задание.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ТЕМА: Функциональные отношения. Виды отображений. Композиция 1. Следует вспомнить определение функции (отображения), ее области определения и области значений, виды функций (виды отображений: инъекция, сюръекция, биекция) ( [2] п.10.4).

Решить из [7] №№ 1.52. (1-9).

1. Найти A B и изобразить его на декартовой плоскости.

2. Нарисовать граф, найти область определения, область значений и определить свойства бинарного отношения, определённого на множестве A.

3. Доказать, что отношение является эквивалентностью на множестве A и найти соответствующее фактор-множество A/, если A = N, xy ( x- y) 3.

4. Укажите все сюръективные отображения множества A={1,2,3} на множество B = {a, b}.

Существуют ли инъективные отображения A в B?

1. Найти A B и изобразить его на декартовой плоскости.

2. Нарисовать граф, найти область определения, область значений и определить свойства бинарного отношения, определённого на множестве A.

3. Доказать, что отношение является эквивалентностью на множестве A и найти соответствующее фактор-множество A /, если 4. Найдите все отображения множества A ={1,2} в себя. Укажите, какие из них инъективны, сюръективны, биективны ?

3. Домашнее задание.

Подготовиться к срезовой контрольной работе по теме «Элементы логики и теории множеств». Решить семестровое задание.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

1. Записать символически следующее высказывание, обозначив буквами простые высказывания, входящие в них:

Если двухзначное число a делится на 2 и на 5, но не делится на 4 и на 3, то первой цифрой числа a будет 1 или 2 или 7.

2. Записать без символов по правилам русского языка следующее высказывание:

( p q ) ( r t ), где p (Динамо выиграет), q (Спартак выиграет),r (Торпедо выиграет), t ( Я выиграю пари ).

3. Заполнить пропуски:

4. Указать истинно или ложно следующее утверждение:

5. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”, или “достаточно”, или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное высказывание:

6. Является ли следующая формула законом логики ?

7. Доказать равенство множеств:

8. Будет ли отношением эквивалентности на R /{0} бинарное отношение, заданное правилом:

9. Найти формулу, имеющую следующую таблицу истинности:

1. Записать символически следующее высказывание, обозначив буквами простые высказывания, входящие в них:

Если идёт снег или дождь, то погода пасмурная и солнце не светит, а если светит солнце, то все идут на прогулку.

2. Записать без символов по правилам русского языка следующее высказывание:

( p q ) ( s t ),где p (Динамо выиграет), q (Спартак выиграет), s (ЦСКА займёт первое место), t ( Я выиграю пари ).

3. Заполнить пропуски:

4. Указать истинно или ложно следующее утверждение:

5. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”, или “достаточно”, или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное высказывание:

6. Является ли следующая формула законом логики ?

7. Доказать равенство множеств:

8. Будет ли отношением нестрогого порядка н R /{0}бинарное отношение, заданное правилом:

9. Найти формулу, имеющую следующую таблицу истинности:

2. Домашнее задание. Решить задачи из семестрового задания по теме «Элементы логики и теории множеств», подготовиться к коллоквиуму.

Выучить основной принцип комбинаторики, правило суммы, определение перестановки и формулу для вычисления числа перестановок из n элементов.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ТЕМА: Основной принцип комбинаторики. Правило суммы. Перестановки Следует вспомнить определение основного принципа комбинаторики (правила умножения). Решить задачи:

1) Из Киева до Чернигова можно добраться пароходом, поездом, автобусом, самолетом; из Чернигова до Новгород-Северского – пароходом и автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по матшруту Киев-Чернигов-Новгород Северский?

2) На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? Дайте ответ на тот же вопрос, если подъем и спуск осуществляются различными путями.

2) В розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?

3) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если а) ни одна из цифр не повторяется более одного раза; б) цифры могут повторяться; в) числа должныбыть нечетными (цифры могут повторяться).

2. Сформулировать правило суммы для двух произвольных множеств.

Решить задачи:

1) Если на тарелке лежит 7 бананов и 5 слив. Сколькими способами можно выбрать один плод?

2) а) А = {a, b, c, d, e}, B = {d, e, f, g}. Cколько элементов содержит объединение A B ?

3) Записать формулу включений и исключений (как вычисляется количество элементов в объединении m произвольных множеств).

4) Сколько человек участвовало в прогулке, если известно, что 16 из них взяли с собой бутерброды с ветчиной, 24 – с колбасой, 15 – с сыром, 11 – и с ветчиной и с колбасой, 8 – и с ветчиной и с сыром, 12 – и с колбасой и с сыром, 6 – бутерброды всех трех видов, а 5 вместо бутербродов взяли с собой пирожки?

3. С формулировать определение упорядоченного множества, перестановки. Вспомнить формулу вычисления числа перестановок из n элеменов:

Решить задачи:

1) Назвать все перестановки множества A = {m, n, k}.

2) Сколькими способами можно разместить на полке 4 книги?

3) Сколькими способами могут разместиться 5 покупателей в очереди в кассу?

4. Нестандартные задачи: Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, 3, 4, …, 10} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

3. Домашнее задание. Решить задачи:

1. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

2. На вершину горы ведут 8 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с неё?

3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «камзол»?

4. Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 5. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 3 мужчин и женщин так, чтобы никакие 2 женщины не сидели рядом?

Выучить определение сочетания из n элементов по k, формулу для вычисления числа сочетаний из n элементов по k, свойства чисел C nk, формулу бинома Ньютона, треугольник Паскаля.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

1. Следует вспомнить определение сочетания из n элементов по k, формулу числа сочетаний из n элементов по к:

Решить задачи:

1) Пусть А= {m, n, k} назвать все подмножества данного множества.

Сколько их.? Какова формула для подсчета количества подмножеств множества из n элементов? Назвать все сочетания из трех по два элемента.

2) Сколькими способами читатель может выбрать 2 книжки из 5?

3) Сколькими способами из 6 человек можно выбрать комиссию из человек?

4) В турнире принимали участие n шахматистов, и каждые два шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

5) В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого n – угольника, если никакие 3 из них не пересекаются в одной точке?

6) Дано n точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой.

Сколько прямых можно провести, соединяя точки попарно?

2. Перечислить свойства чисел C nk, записать формулу бинома Ньютона, объяснить, как пользоваться треугольником Паскаля.

1) Найти разложение степени двучлена по биному Ньютона:

3. Нестандартные задачи. 1) Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?

4. Домашнее задание. Решить задачи:

1. Сколькими способами из 25 студентов можно выбрать редколлегию, состоящую из трех студентов?

2. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «пастухи» так, чтобы гласные так и согласные шли в алфавитном порядке?

3. Разложить двучлен по биному Ньютона (а + 2b) 5.

Выучить определение размещения из n элементов по к, формулу для вычисления числа размещений из n элементов по к. Повторить основной принцип комбинаторики, определения и формулы для вычисления числа перестановок и сочетаний. Решить задачи семестрового задания.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

1. Следует вспомнить определение размещения из n элементов по к, записать формулу для вычисления числа размещений из n элементов по к:

Решить задачи:

1) Пусть А= {m, n, k} назвать все размещения из трех по два элемента.

2) Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах?

3) Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней.

Сколькими способами это можно сделать?

4) В первенстве по футболу участвуют 17 команд. Разыгрываются медали: золотые, серебряные и бронзовые. Сколькими способами могут быть распределены комплекты медалей?

5) Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского на любой из этих пяти языков? На сколько больше словарей придется издать, если число различных языков равно 10?

6) У отца есть 5 попарно различных апельсинов, которые он выдает своим восьми сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать?

2. Смешанные задачи (Основной принцип комбинаторики, перестановки, сочетания, размещения).

1) (Размещения и правило произведения). В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг т друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)?

2) (Сочетания и размещения, правило умножения). На школьном вечере присутствует 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

3. Нестандартные задачи. Сколькими способами можно выбрать из фразы «Око за око, зуб за зуб» три буквы?

4. Домашнее задание. Решить задачи:

1) (Размещения). 4 различных яблока следует распределить среди человек так, что каждый получает либо 1 яблоко, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать?

2) (Размещения; размещения, правило умножения). Сколькими способами можно составить трехцветный флаг, если имеется материал различных цветов? Та же задача, если одна из полос должна быть красной.

3) (Перестановки и размещения, правило умножения). Сколькими способами можно переставить буквы слова «логарифм», так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными буквами?

Выучить определения основных понятий: неориентированный (ориентированный) граф, изолированная вершина, висячее ребро, петля, смежные вершины, изоморфные графы, матрица инцидентности, матрица соседства.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ТЕМА: Основные понятия и определения в теории графов 1. Самостоятельная работа по теме «Элементы комбинаторики»

1. Из города А в город В ведут 7 дорог, а из города В в город С – 4 дороги. Сколько путей проходящих через В, ведут из А в С?

2. На вершину горы ведут 9 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с неё?

3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «пастор»?

4. Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ?

5. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 3 мужчин и 3 женщин так, чтобы никакие 2 женщины не сидели рядом?

1. Из города А в город В ведут 4 дорог, а из города В в город С –5 дорог. Сколько путей проходящих через В, ведут из А в С?

2. На вершину горы ведут 6 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с неё?

3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «здание»?

4. Сколько трёхзначных нечётных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 ?

5. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 4 мужчин и 4 женщин так, чтобы никакие 2 лица одного пола не сидели рядом?

Следует вспомнить определения основных понятий:

неориентированный (ориентированный) граф, изолированная вершина, висячее ребро, петля, смежные вершины, изоморфные графы, матрица инцидентности, матрица соседства.

Решить задачи:

1) Назвать вершины, изолированные вершины, ребра, дуги, параллельные (кратные ребра), петли, пары соседних вершин, пары смежных ребер графа, изображенного на рис. 2) Задать граф, изображенный на Рис. 4 списком дуг.

3) Ориентированный граф G с множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5} задан списком дуг Е ={(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (1, 4)} Построить реализацию данного графа.

4) Нарисуйте полный граф с n вершинами: а) n = 2; b) n = 3; с) n = 5.

5) Сколько ребер следует добавить к графу, изображенному на Рис. 5, для того чтобы он стал полным?

3. Нестандартные задачи.

4. Домашнее задание.

1. Выучить способы задания графа.

2) Ориентированный граф G с множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} задан списком дуг Е ={(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (1, 3), (1, 4), (3, 5))} Построить реализацию данного графа.

2. Решать задачи семестрового задания

ПРИЛОЖЕНИЕ II

1. Следует вспомнить способы задания графа.

Решить задачи:

1) Назвать вершины, изолированные вершины, ребра, дуги, параллельные (кратные ребра), петли, пары соседних вершин, пары смежных ребер графа, изображенного на Рис.6.

2) Задать граф, изображенный на Рис. 6 списком дуг.

3) Ориентированный граф G c множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} задан списком дуг Е = {(2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (7, 8)}. Построить реализацию графа G.

4) Являются ли графы, изображенные на Рис. 7 изоморфными?

5) Построить матрицу инциденций и матрицу соседства вершин графа G, изображенного на рис. 4.

6) Найти матрицу инциденций и матрицу соседства графа G, изображенного на Рис. 8.

7) Найти степени (число ребер графа, которым принадлежит вершина) всех вершин графа, изображенного на Рис. 8.

3. Нестандартные задачи.

1) Найдется ли граф с пятью вершинами, у которого одна вершина изолирована, а другая – степени 4?

2) Найдется ли граф с пятью вершинами, степени которых все различны между собой, т.е равны 0, 1, 2, 3, 4?

3) Нарисуйте граф G с пятью вершинами, у которого ровно две вершины имеют одинаковую степень.

4) Сколько вершин с одинаковыми степенями имеет дополнение графа G, если граф G имеет имеет в точности две вершины с одинаковыми степенями?

5) Если в графе с пятью вершинами ровно две вершины имеют одинаковую степень, то могут ли они быть обе изолированными, или обе иметь степень 4?

4. Домашнее задание.

1. Ориентированный граф G c множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8} задан списком дуг Е = {(1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 6), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (4, 6), (5, 2), (5, 4), реализацию графа G.

2. Решить задачи семестрового задания.

3. Выучить определение матрицы инцидентности и матрицы смежности.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ТЕМА: Матрицы инцидентности и смежности Следует вспомнить определение определение матрицы инцидентности и матрицы смежности.

Решить задачи:

1) 1. Ориентированный граф G c множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5} задан списком дуг Е = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (1, 4}. Построить матрицу инциденций и матрицу соседства вершин графа G.

2) Изобразите графы, соответствующие матрицам смежностей:

3) Граф задан матрицей смежностей. Как по этой матрице определить:

а) число вершин графа;

б) число ребер, выходящих из вершины Вi ;

в) число ребер, входящих в вершину Вi ;

г) число ребер в ориентированном графе?

4) Какой особенностью обладает граф, если в матрице смежности все элементы на «главной диагонали» равны 0?

2. Нестандартные задачи.

Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по одному разу).

Покажите, что в любой момент найдутся двое, закончившие одинаковое количество партий [13, с. 12, задача 1.6].

3. Домашнее задание.

1. Подготовить семестровое задание для зачета.

2. Подготовиться к зачету.

ПРИЛОЖЕНИЕ III

СОДЕРЖАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

СТУДЕНТОВ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЕЁ

ВЫПОЛНЕНИЮ

1. ПРИМЕРНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

“ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ”

ТЕМА: Высказывания и операции над ними. Построение таблиц истинности.

Законы логики. Доказательство равносильности формул 1. Повторить из [2] п. 3.1.

2. Выучить определения закона логики, равносильных (логически равных) формул, правила вывода, уметь приводить примеры ([2] п.3.2).

3. Решить из [2] п. 4.2. (II уровень №№1-3); решить из [7] №№ 1.3 (7ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № ТЕМА: Законы логики. Доказательство равносильности формул 1. Повторить из [2] п. 3.1, п. 3.2.

2. Выучить определения равенства множеств, подмножества, объединения, пересечения, разности множеств, дополнения к множеству. ([2] п.5.1 и 5.2.).

3. Закончить из [2] п. 4.2; решить из [7] №№ 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 (5-10).

1. Выучить свойства операций над множествами ([2] п.5.1 и 5.2.).

2. Решить из [7] №№ 1.9, 1.10.

3. Закончить из [2] п. 6.2.(II уровень №№ 1-6).

ТЕМА: Доказательства равенства двух множеств.

1. Выучить определения предиката, понятие множества определения и истинности предиката, кванторов общности и существования, определения операций над предикатами ([2], п. 8.1.).

2. Решить из [7] №№ 1.11(10-15).

1. Выучить п.8.2 из [2] о строении теорем, необходимых и достаточных условиях, простейших методах доказательства теорем.

2. Решить из [7] №№ 1.26 (6-12)1.27.

ТЕМА: Строение теорем. Необходимые и достаточные условия.

1. Выучить п.10.1 из [2] определения прямого произведения множеств, бинарного отношения, способы его задания, свойства и примеры.

2. Решить из [2] п. 9.2. (II уровень №№ 3-6, 8, 16).

ТЕМА: Прямое произведение множеств. Бинарные отношения, их свойства 1. Выучить определения отношения эквивалентности, класса эквивалентности, разбиения множества, фактор-множества, теорему о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы ([2]), п. 10.2).

2. Решить из [7] №№ 1.36 (2,3), 1.42 (12-15), 1.43 (4-5).

ТЕМА: Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности.

1. Выучить определения теорему о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы ( [2] п.10.2).

2. Решить из [2] п. 11.2 (II уровень №№ 16-18).

1. Выучить определения порядка, строгого, нестрогого, линейного и частичного порядков ([2]п. 10.3).

2. Решить из [2] п. 11.2 (II уровень №№ 19-22).

1. Выучить определение функции (отображения), ее области определения и области значений, виды функций (виды отображений:

инъекция, сюръекция, биекция) ( [2] п.10.4).

2. Решить семестровое задание.

ТЕМА: Функциональные отношения. Виды отображений. Композиция 1. Подготовиться к срезовой контрольной работе по теме «Элементы логики и теории множеств».

2. Решить семестровое задание.

1. Выучить основной принцип комбинаторики, правило суммы, определение перестановки и формулу для вычисления числа перестановок из n элементов.

2. Решить задачи из семестрового задания по теме «Элементы логики и теории множеств», подготовиться к коллоквиуму.

ТЕМА: Основной принцип комбинаторики. Правило суммы. Перестановки 1. Выучить определение сочетания из n элементов по k, формулу для вычисления числа сочетаний из n элементов по k, свойства чисел C nk, формулу бинома Ньютона, треугольник Паскаля.

2. Решить задачи:

1. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

2. На вершину горы ведут 8 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с неё?

3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «камзол»?

4. Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 5. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 3 мужчин и женщин так, чтобы никакие 2 женщины не сидели рядом?

1. Выучить определение размещения из n элементов по к, формулу для вычисления числа размещений из n элементов по к. Повторить основной принцип комбинаторики, определения и формулы для вычисления числа перестановок и сочетаний. Решить задачи семестрового задания.

2. Решить задачи:

1. Сколькими способами из 25 студентов можно выбрать редколлегию, состоящую из трех студентов?

2. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «пастухи» так, чтобы гласные так и согласные шли в алфавитном порядке?

3. Разложить двучлен по биному Ньютона (а + 2b) 5.

1. Выучить определения основных понятий: неориентированный (ориентированный) граф, изолированная вершина, висячее ребро, петля, смежные вершины, изоморфные графы, матрица инцидентности, матрица соседства.

2. Решить задачи:

1. (Размещения). 4 различных яблока следует распределить среди человек так, что каждый получает либо 1 яблоко, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать?

2. (Размещения; размещения, правило умножения). Сколькими способами можно составить трехцветный флаг, если имеется материал различных цветов? Та же задача, если одна из полос должна быть красной.

3. (перестановки и размещения, правило умножения). Сколькими способами можно переставить буквы слова «логарифм», так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными буквами?

ТЕМА: Основные понятия и определения в теории графов 1. Выучить способы задания графа.

2. Решить задачи:

1) Ориентированный граф G с множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} задан списком дуг Е ={(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (1, 3), (1, 4), (3, 5))} Построить реализацию данного графа.

3. Решать задачи семестрового задания 1. Выучить определение матрицы инцидентности и матрицы смежности.

1. Ориентированный граф G c множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8} задан списком дуг Е = {(1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 6), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (4, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 4), (5, 5), (6, 2), (6, 5), (7, 1), (7, 6)}. Построить реализацию графа G.

3. Решить задачи семестрового задания.

1. Подготовить семестровое задание для зачета.

2. Подготовиться к зачету.

2. Примерные варианты самостоятельных и контрольных работ 1. Запишите в символической форме высказывание, обозначив буквами p и q, элементарные высказывания ( p b5, q b7 ):

2. Сформулируйте отрицание для высказывания, будет ли оно истинным?

3. Является ли данная формула законом логики?

4. Что можно сказать об истинностном значении формулы (p q) r, если 1. Запишите в символической форме высказывание, обозначив буквами p и q, элементарные высказывания ( p b5, q b7 ):

2. Сформулируйте отрицание для высказывания, будет ли оно истинным?

3. Является ли данная формула законом логики?

4. Что можно сказать об истинностном значении формулы p q r, если 1. Вставьте между множествами символ или, чтобы получилось истинное высказывание:

2. Найдите A B, A B, A \ B, B \ A, A, В, если:

3. Доказать равенство множеств:

4. Cледующее утверждение либо докажите, либо покажите при помощи диаграмм Эйлера – Венна, что оно не всегда верно:

1. Вставьте между множествами символ или, чтобы получилось истинное высказывание:

2. Найдите A B, A B, A \ B, B \ A, A, В, если:

3. Доказать равенство множеств:

4. Cледующее утверждение либо докажите, либо покажите при помощи диаграмм Эйлера – Венна, что оно не всегда верно:

Тема: «Предикаты и кванторы. Строение теорем»

1. Записать в символической форме (используя кванторы) следующее высказывание, установить его истинность: “Если x и y – натуральные числа, произведение которых делится на простое число p, то хотя бы один из множителей делится на p”.

2. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”, или “достаточно” или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное высказывание: “Для того чтобы число x делилось на 3,…, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3”.

3. P(x,y) означает “Окружность x вписана в четырёхугольник y”. Прочтите высказывание, постройте его отрицание и сформулируйте словами.

4. Следующую теорему сформулировать символически в импликативном виде, затем составить обратную, противоположные теоремы, указать их истинностные значения. “Для того чтобы число делилось на 12, достаточно чтобы оно делилось на 6 и на 4”.

Приведите контрпримеры для ложных утверждений.

1. Записать в символической форме (используя кванторы) следующее высказывание, установить его истинность: “Для каждой прямой x на плоскости и каждой точки этой плоскости найдётся прямая, проходящая через эту точку и параллельная прямой x”.

2. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”, или “достаточно” или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное высказывание: “Для того чтобы параллелограмм x был ромбом, …, чтобы его диагонали делили пополам внутренние углы”.

3. P(x,y) означает “Окружность x вписана в квадрат y”. Прочтите высказывание, постройте его отрицание и сформулируйте словами.

4. Следующую теорему сформулировать символически в импликативном виде, затем составить обратную, противоположные теоремы, указать их истинностные значения. “Для того чтобы число a делилось на 30, необходимо чтобы оно делилось на 5 и на 3”.

Приведите контрпримеры для ложных утверждений.

1. Найти A B и изобразить его на декартовой плоскости.

2. Нарисовать граф, найти область определения, область значений и определить свойства бинарного отношения, определённого на множестве A.

3. Доказать, что отношение является эквивалентностью на множестве A и найти соответствующее фактор-множество A/, если A = N, xy ( x- y) 3.

4. Укажите все сюръективные отображения множества A={1,2,3} на множество B = {a, b}.

Существуют ли инъективные отображения A в B?

1. Найти A B и изобразить его на декартовой плоскости.

2. Нарисовать граф, найти область определения, область значений и определить свойства бинарного отношения, определённого на множестве A.

3. Доказать, что отношение является эквивалентностью на множестве A и найти соответствующее фактор-множество A /, если 4. Найдите все отображения множества A ={1,2} в себя. Укажите, какие из них инъективны, сюръективны, биективны ?

1. Из города А в город В ведут 7 дорог, а из города В в город С – 4 дороги. Сколько путей проходящих через В, ведут из А в С?

2. На вершину горы ведут 9 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с неё?

3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «пастор»?

4. Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ?

5. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 3 мужчин и 3 женщин так, чтобы никакие 2 женщины не сидели рядом?

1. Из города А в город В ведут 4 дорог, а из города В в город С –5 дорог. Сколько путей проходящих через В, ведут из А в С?

2. На вершину горы ведут 6 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с неё?

3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «здание»?

4. Сколько трёхзначных нечётных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 ?

5. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 4 мужчин и 4 женщин так, чтобы никакие 2 лица одного пола не сидели рядом?

1. Записать символически следующее высказывание, обозначив буквами простые высказывания, входящие в них:

Если двухзначное число a делится на 2 и на 5, но не делится на 4 и на 3, то первой цифрой числа a будет 1 или 2 или 7.

2. Записать без символов по правилам русского языка следующее высказывание:

( p q ) ( r t ), где p (Динамо выиграт), q (Спартак выиграет),r (Торпедо выиграет), t ( Я выиграю пари ).

3. Заполнить пропуски:

4. Указать истинно или ложно следующее утверждение:

5. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”, или “достаточно”, или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное высказывание:

6. Является ли следующая формула законом логики ?

7. Доказать равенство множеств:

8. Будет ли отношением эквивалентности на R /{0} бинарное отношение, заданное правилом:

9. Найти формулу, имеющую следующую таблицу истинности:

1. Записать символически следующее высказывание, обозначив буквами простые высказывания, входящие в них:

Если идёт снег или дождь, то погода пасмурная и солнце не светит, а если светит солнце, то все идут на прогулку.

2. Записать без символов по правилам русского языка следующее высказывание:,где p (Динамо выиграет), q (Спартак выиграет), s (ЦСКА займёт первое место), t ( Я выиграю пари ).

3. Заполнить пропуски:

4. Указать истинно или ложно следующее утверждение:

5. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”, или “достаточно”, или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное высказывание:

6. Является ли следующая формула законом логики ?

7. Доказать равенство множеств:

8. Будет ли отношением нестрогого порядка н R /{0}бинарное отношение, заданное правилом:

9. Найти формулу, имеющую следующую таблицу истинности:

3. ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ СЕМЕСТРОВОГО ЗАДАНИЯ

по дисциплине “Основы дискретной математики” 1. Проверить, являются ли следующие формулы логики высказываний законами логики: а) (p q) (r q) (p r q); b) (p q) q p.

2. Прочитайте следующие высказывания о целых положительных числах, укажите истинные они или ложные. Сформулируйте их отрицания.

Р(x) – “x-простое число”; Q(x,y) –“ y x”( y делится на x).

a)( x)( y) (P(x) Q(x,y)) b) ( x)( y)( z)( z x z y z (x y)) 3. Для данного утверждения сформулируйте обратное к нему, противоположное и противоположное к обратному утверждению: “Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то его корни совпадают”.

4.Сформулируйте каждое из следующих утверждений о натуральных числах при помощи слов “если, …то”.

а) для того, чтобы число делилось на 12, достаточно, чтобы оно делилось на 6 и 4.

b) для того, чтобы а делилось на b, необходимо, чтобы a делилось на любой простой делитель b.

c) для того, чтобы произведение нескольких сомножителей было чётным, достаточно, чтобы хотя бы один из сомножителей был чётным.

6. Какими свойствами обладает данное бинарное отношение? Ответ обосновать. x y 7. Является ли следующее отображение инъективным, сюръективным, биективным? f: R R, x x2+3x+5.

8. На множестве N задано бинарное отношение a b ”последняя цифра в десятичной записи числа а совпадает с последней цифрой в эквивалентности. Сколько элементов в фактор-множестве N / ?

9. Доказать, что М – разбиение множества A={1,2,3,4,5,6,7}.

Перечислить все элементы отношения эквивалентности, соответствующего разбиению М, постройте граф : M ={{1,7},{2,4,5,6},{3}}.

10. Докажите, что отношение делимости на множестве N является отношением порядка. Является ли это отношение линейным порядком?

Является ли отношением порядка отношение делимости на множестве Z ?

11. Из города А в город В ведут 8 дорог, а из города В в город С – дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

12. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «дискета»?

13. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 4 мужчин и 4 женщин так, чтобы никакие 2 мужчин не сидели рядом?

14. (Сочетания) Сколькими способами из 20 студентов можно выбрать оргкомитет, состоящий из четырех студентов?

15. Разложить двучлен по биному Ньютона (а -2b) 5.

16. (Размещения). 5 различных фруктов следует распределить среди человек так, что каждый получает либо 1 фрукт, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать?

17. (Размещения; правило умножения). Сколькими способами можно раскрасить орнамент, состоящий из трех полос различного цвета, если имеется материал 6 баночек с краской различного цвета? Та же задача, если одна из полос должна быть зеленой.

18. 1) Назвать вершины, изолированные вершины, ребра, дуги, параллельные (кратные ребра), петли, пары соседних вершин, пары смежных ребер графа, изображенного на рис. 2) Задать граф, изображенный на рис. 9 списком дуг.

3) Построить матрицу инциденций и матрицу соседства вершин графа G, изображенного на рис. 9.

4. ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ

по дисциплине «Основы дискретной математики»

Высказывания и операции над ними.

Формулы алгебры высказываний. Законы логики. Логические равенства. Правила вывода. Примеры.

Множество. Подмножество. Способы задания множеств.Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Примеры.

Основные свойства операций над множествами.

Одноместный предикат, область определения и область истинности предиката. Эквивалентные предикаты. Кванторы общности и существования. Примеры.

Логические операции над предикатами. Логическое следствие. Примеры.

Строение теоремы. Прямая, обратная и противоположная теоремы.

Необходимые и достаточные условия. Доказательство от противного.

Примеры.

10. Понятие упорядоченной пары. Прямое (декартово)произведение двух множеств. Примеры.

11. Бинарные отношения, способы их задания, свойства. Примеры.

12. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактормножество. Примеры.

13. Разбиение на классы. Примеры. Теорема о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества (обратная теорема). Примеры.

14. Отношение порядка. Строгий, нестрогий, линейный и частичный порядок. Примеры.

15. Функциональные отношения. Область определения, область значений.

Виды функциональных отношений. Композиция отображений.

Примеры.

5. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

по дисциплине “ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ” 1. Что можно сказать об истинностном значении формулы p q r, если формула p r p r истинна?

утвердительной форме, т.е. так, чтобы они не начинались со слов: «неверно, что»:

перпендикулярны, то этот четырёхугольник - ромб»;

3. Проанализируйте логическую структуру определения понятия: a) ромб;

b) трапеция.

4. Записать символически в виде формулы алгебры высказываний определение: «Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые», обозначив R – родовое понятие, T- определяемое (видовое) понятие (термин), S – существенный признак. Какие вопросы можно задать при формировании понятия «прямоугольник» в школьном курсе математики, исходя из логической структуры данного определения?

Обобщённый приём решения логических задач методом алгебры 1.Выделяем и обозначаем все участвующие в задаче простые высказывания;

2. Строим из них содержащиеся в условии задачи сложные высказывания;

3. Рассматриваем конъюнкцию построенных посылок, она истинна по условию;

4. Преобразуем эту конъюнкцию с помощью логических равенств к более простому виду, удобному для получения требуемой в задаче информации;

5. Извлекаем эту информацию (ответы на вопросы задачи).

Воспользуйтесь данным приёмом при решении логической задачи:

5. Три свидетеля дали показания, что преступники скрылись с места преступления: а) на чёрном «Бьюике»; в) на синем «Форде»; с) не на «Крайслере». Каждый из них в чём-то одном ошибался. На какой машине скрылись преступники?

6. Из 20 человек двое изучали только английский язык, трое – только немецкий, шестеро – только французский. Никто не изучал трёх языков.

Один изучал немецкий и английский, трое – французский и английский.

Сколько человек изучало французский и немецкий языки?

7. Проверить, верно ли равенство?

8. Сколько человек участвовало в прогулке, если известно, что 16 из них взяли с собой бутерброды с ветчиной, 24-колбасой, 15-с сыром, 11-с ветчиной и сыром, 12-и с колбасой и с сыром, 6-бутерброды всех трёх видов, а 5-вместо бутербродов взяли пирожки?

9. Из 100 студентов 24 не изучают никакого языка, 26-немецкий, 48французский и английский, 8-немецкий и французский, 18-только немецкий, 23-немецкий но не английский. Сколько студентов изучают английский язык?

10. Сформулируйте:

а) достаточное, но не необходимое условие истинности импликации;

б) необходимое, но недостаточное условие ложности импликации;

с) необходимое и достаточное условие истинности импликации.

11. Решить задачу, используя граф бинарного отношения. Класс выставил на соревновании по плаванию команду мальчиков. В неё входили:

Витя, Коля, Андрей, Саша. Коля проплыл дистанцию быстрее Андрея, но медленнее Саши. Андрей затратил на ту же дистанцию времени больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как распределились роли в соревнованиях?

12. Если бинарное отношение на множестве А симметрично, транзитивно и Dom =А или Im = A, то рефлексивно. Доказать.

13. Доказать, что всякое симметричное и антисимметричное бинарное отношение транзитивно.

14. Найти в вузовских учебниках и привести примеры, иллюстрирующие роль отношения эквивалентности в математике (в алгебре и геометрии).

15. Доказать, что всякое транзитивное и антирефлексивное отношение является отношением порядка.

16. Найти все бинарные отношения в множестве А, которые одновременно являются отношением эквивалентности и порядка.

17. Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, 3, 4, …, 10} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

18. Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, 3, 4, …, 10} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

19. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?

20. Сколькими способами можно выбрать из фразы «Око за око, зуб за зуб» три буквы?

21. 1) Найдется ли граф с пятью вершинами, у которого одна вершина изолирована, а другая – степени 4?

2) Найдется ли граф с пятью вершинами, степени которых все различны между собой, т.е равны 0, 1, 2, 3, 4?

3) Нарисуйте граф G с пятью вершинами, у которого ровно две вершины имеют одинаковую степень.

4) Сколько вершин с одинаковыми степенями имеет дополнение графа G, если граф G имеет имеет в точности две вершины с одинаковыми степенями?

5) Если в графе с пятью вершинами ровно две вершины имеют одинаковую степень, то могут ли они быть обе изолированными, или обе иметь степень 4?

22. Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по одному разу).

Покажите, что в любой момент найдутся двое, закончившие одинаковое количество партий [13, с. 12, задача 1.6].

6. Методические указания по изучению тем, вынесенных на 1. Тема: Теорема о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы.

Теорию и примеры можно прочитать в е-конспекте лекций [глава 4, п. 4.2, с. 70 – 74]. Контрольные вопросы и упражнения приведены в приложении V (2. Материалы для итогового контроля).

2. Тема: Перестановки, размещения и cочетания с повторениями.

Теорию и примеры можно прочитать [11, с. 28 – 42]. Контрольные вопросы и упражнения приведены в приложении V (2. Материалы для итогового контроля).

ПРИЛОЖЕНИЕ IV

СОДЕРЖАНИЕ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА

И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЕГО ВЫПОЛНЕНИЮ

Не предусмотрен.

ПРИЛОЖЕНИЕ V

СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО

КОНТРОЛЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЕГО

ПРОВЕДЕНИЮ

приложении II. Опыт показывает, что наиболее эффективен контроль выполнения домашних заданий на каждом занятии.

Примерный перечень самостоятельных и контрольных работ приведён выше в приложении III. Предусмотрена одна срезовая контрольная работа и 5 аудиторных самостоятельных работы.

Примерный вариант семестрового задания приведён выше в приложении III. Каждый студент должен в конце обучения представить решения предложенных в семестровом задании задач. Контроль семестрового задания производится в конце семестра в форме беседы.

Вопросы к коллоквиуму приведены выше в приложении III.

Предусмотрен один коллоквиум.

ТРЕБОВАНИЯ К ЗАЧЕТУ ПО КУРСУ

“ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ”

Не иметь долгов по контрольным, самостоятельным работам и семестровому заданию.

II. Знать определения следующих основных понятий: высказывание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция высказываний, формула логики высказываний, закон логики, равносильные формулы, правило вывода, подмножество, равенство множеств, объединение, пересечение, разность множеств, дополнение к множеству, одноместного предиката, его области определения и области истинности, логических операций над предикатами, прямое произведение множеств, бинарное отношение, его область определения и область значений, отношение эквивалентности, классы эквивалентности, фактор-множество, разбиение на классы, отношение порядка, функция, отображение и их виды, основной закон комбинаторики (правило умножения), правило сложения, перестановка, сочетание, размещение, неориентированный (ориентированный) граф, изолированная вершина, висячее ребро, петля, смежные вершины, изоморфные графы, матрица инцидентности, матрица соседства.

III. Уметь строить таблицы истинности, доказывать равенства множеств, находить область определения и область истинности одноместного предиката, читать сложные высказывания, содержащие кванторы, строить их отрицания, записывать сложные высказывания, используя язык логики предикатов и кванторы, находить условие и заключение в теореме, строить прямую, обратную и противоположную теоремы, использовать слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» проверять свойства бинарных отношений и определять к какому виду они относятся, знать формулы и решать комбинаторные задачи с помощью правил сложения, умножения, перестановок, сочетаний и размещений, использовать бином Ньютона и треугольник Паскаля при возведении двучлена в степень, задавать граф различными способами, строить матрицу инциденций и соседства.

IV. Уметь решать задачи семестрового задания.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ТЕМ, ВЫНЕСЕННЫХ НА

САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ

Тема: Связь между отношением эквивалентности и Сформулировать определение отношения эквивалентности. Привести 2. Сформулировать определение класса эквивалентности, привести пример.

3. Сформулировать определение фактор-множества. Привести пример.

4. Сформулировать определение разбиения множества, привести пример.

5. Сформулировать теорему о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы.

6. Найти разбиение множества А, если А = {0, 1, 2, 3,4,5, 6}, = {(x, y)| x, y A; x и y при делении на 3 дают одинаковые остатки}.

7. Изобразить граф данного бинарного отношения 8. Доказать теорему в соответствии с планом:

если - отношение эквивалентности на множестве А, то фактор-множество А/ (множество классов эквивалентности a, где а А ) образует разбиение множества А; чтобы доказать это утверждение докажите:

а) a A a. (каждый класс эквивалентности, порожденный элементом a A, является непустым, т.е. содержит хотя бы один элемент);

тривиальный случай, когда любые 2 элемента множества Ф находятся в отношении и когда А / =А ), доказательство провести методом от противного;

Доказать, что любые два элемента одного класса находятся в отношении эквивалентности (если b, c a, то b c ).

10. Доказать, что любые два элемента из различных классов не связаны 11. Сформулировать и доказать теорему обратную теореме о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы.

12. Проиллюстрировать теорему на конкретном примере.

Тема: Перестановки, размещения и cочетания с повторениями Сформулировать определение состава кортежа. Привести примеры.

Сформулировать определение перестановки с повторениями, записать формулу для вычисления количества перестановок с повторениями, имеющих состав (n1, n2, …,nm ). Ответьте на вопросы:

а) Сколькими способами можно переставлять буквы слова «Миссисипи»?

б) Каково число различных слов, которые можно получить, переставляя буквы слова «математика»?

Сформулировать определение размещения из n по к с повторениями, записать формулу для вычисления числа размещений из n по к с повторениями. Ответьте на вопросы:

а) Сколько слов длиной 2, 3, 4 можно составить из 33 букв русского алфавита?

б) Сколько двузначных (трехзначных) номеров можно составить из Сформулировать определение сочетания с повторениями, записать формулу для вычисления числа сочетаний с повторениями из n по к.

Ответьте на вопросы:

а) Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных?

б) В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?

(Районная математическая олимпиада, 10 класс). Мать купила 2 яблока, груши и 4 апельсина. Девять дней подряд она выдает сыну по одному фрукту в день. Сколькими способами она может это сделать? Какая из трех ранее записанных формул здесь используется?

ПРИЛОЖЕНИЕ VI

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

Дискретная (или прерывная) математика представляет собой область математики, в которой изучаются свойства структур конечного характера, а также бесконечных структур, предполагающих скачкообразность происходящих в них процессов или отделимость составляющих их элементов.

По сравнению с непрерывной математикой дискретная математика стала занимать все большее место как в самой математике, так особенно в ее приложениях. Это обусловлено прогрессом компьютерной техники, необходимостью создания средств обработки и передачи информации, а также представления различных моделей на компьютерах, являющихся по своей природе конечными структурами.

Укажем основные цели, преследуемые при изучении основных разделов дискретной математики.



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине Б3.В.ДВ.1 БИОЛОГИЯ И ПАТОЛОГИЯ РЫБ И ПЧЁЛ (индекс и наименование дисциплины) Код и направление 111900.62 Ветеринарно-санитарная подготовки экспертиза Квалификация бакалавр (степень) выпускника Факультет Ветеринарной медицины Кафедра-разработчик Кафедра...»

«Федеральное агентство по образованию Форма Ульяновский государственный университет Ф-Рабочая программа по дисциплине УТВЕРЖДЕНО Ученый совет факультета математики и информационных технологий Протокол № от _2009 г. Председатель _ А.С.Андреев (подпись, расшифровка подписи) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Дисциплина: Основы моделирования _ Кафедра: Информационные технологии _(_ИТ_) Аббревиатура Специальность (направление): • 230200 – Информационные системы Дата введения в учебный процесс УлГУ: 01 сентября 2009...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) УТВЕРЖДАЮ Ректор МИИГАиК А.А. Майоров _ _2014 г. ПРОГРАММА вступительного испытания в аспирантуру по специальности 25.00.33 – Картография МОСКВА 2014 ВВЕДЕНИЕ Решение задачи развития РФ на современном этапе требует более высокого уровня профессиональной подготовки...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный технический университет Химико-технологический факультет УТВЕРЖДАЮ Ректор ФГБОУ ВПО СамГТУ _ Д.Е. Быков _ 2014 г. ПРОГРАММА вступительных испытаний в магистратуру по направлению 04.04.01 - Химия Самара, 2014 г. 2 Содержание 1. Нормативно-документальная основа программы 2. Требования к профессиональной...»

«МИНЗДРАВСОЦРАЗВИТИЯ РОССИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ГБОУ ВПО ИГМУ Минздравсоцразвития России) Фармацевтический факультет Кафедра общей химии УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _А. В. Щербатых _ 20_12 год РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ХИМИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ _ наименование дисциплины (модуля) для специальности: 060301 Фармация...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой Декан факультета _ / Соловьев Д.А./ /Камышова Г.Н./ _ 2013г. 26_ _082013г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Дисциплина УРБОЭКОСИСТЕМ Направление 250700.68 Ландшафтная архитектура подготовки...»

«ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО НАУЧНОЙ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 05.08.01 ТЕОРИЯ КОРАБЛЯ И СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА В программу вступительного экзамена по специальности 05.08.01 Теория корабля и строительная механика корабля включены вопросы из следующих дисциплин: - Остойчивость судна; - Качка судна; - Управляемость морских судов; - Гидродинамика судна и движителей; - Расчет прочности судна; - Теория мягких оболочек. Остойчивость судна 1. Схема возникновения момента. 1. Метацентрические формулы...»

«МИПИС 1К 1 Т В О С К IЬС К О Г О Х О З Я Й С Т В А р о с с и й с к о й Ч ФКДЕРАЦИИ Фе дера.п>ное 1оеударе1венное Гноджс i нос обра soiui I елы ю е учреждение Bi.ieiiiei о профеееиона.ii.h o iо обра кииш пч ( ара Iо векп н i оеулареi венны й ai рар ны н университет имени II.II. Вавилова У I ве р ж д а ю Директор 11м ач^всьаУГ'о филиала CL c /Семёнова С).11. С/5 Р А Б О Ч А Я 1114)1 P. W I M \ П Р А К Т И К И Вил ирак 111к и Учебная 1(аименовапие У П 05.01. П о л у ч е н и е рабочем профессии...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новосибирский государственный университет (НГУ) Факультет информационных технологий Кафедра общей информатики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МЕТОДЫ ТРАНСЛЯЦИИ И КОМПИЛЯЦИИ ЦИКЛ* ОПД — Общепрофессиональные дисциплины НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ 230100.62 ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА Автор Шилов Николай Вячеславович, к.ф.-м.н., с.н.с. (ФИО, ученая степень, ученое звание)...»

«Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ “УТВЕРЖДАЮ” Декан факультета инженеров транспорта д.т.н., профессор С.А. Ляпин “_“ _ 2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине “МЕТОДОЛОГИЯ ПОДГОТОВКИ ВОДИТЕЛЕЙ” для студентов по специальности: 190700 Технология транспортных процессов Факультет: “Инженеров транспорта” Кафедра: “Управление автотранспортом” ДНЕВНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Курс Семестр Трудоемкость Кол-во часов Итоговая (в...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Башантинский аграрный колледж им. Ф. Г. Попова (филиал) ГОУ ВПО КАЛМЫЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Основы микробиологии 2011 г. Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее – СПО) 111801 Ветеринария Организация-разработчик: Башантинский аграрный колледж...»

«ПРИНЯТО УТВЕРЖДЕНО Ученым Советом Приказом ректора ГБОУ ВПО РНИМУ ГБОУ ВПО РНИМУ им. Н.И. Пирогова им. Н.И. Пирогова Минздрава России Минздрава России протокол от 19 мая 2014 г. от 30 мая 2014 г. № 10 № 132-рук ПОРЯДОК ПРИЕМА НА ОБУЧЕНИЕ в государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российский национальный исследовательский медицинский университет имени Н.И.Пирогова Министерства здравоохранения Российской Федерации по образовательным программам...»

«Утверждаю Директор ТОГОУ СПО Техникум отраслевых технологий наименование образовательного учреждения _ Г.И. Карпова _ 20 г. УЧЕБНЫЙ ПЛАН Тамбовского областного государственного образовательного учреждения среднего профессионального образования Техникум отраслевых технологий наименование образовательного учреждения по специальности среднего профессионального образования 100116 Парикмахерское искусство код и наименование специальности по программебазовой подготовки базовой или углубленной...»

«Диссертация допущена к защите Зав. кафедрой А.В. Омельченко 2013 г. ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ МАГИСТРА Тема: Использование неравномерного покрытия ридами генома для разрешения повторов при секвенировании генома одной клетки Направление: 010900.68 — Прикладные математика и физика Магистерская программа: Математические и информационные...»

«Приложение 1 Формы и правила предоставления информации организациями, осуществляющими деятельность в сфере теплоснабжения и сфере оказания услуг по передаче тепловой энергии Не позднее 30 дней со дня принятия Информация о тарифе на тепловую энергию и надбавках соответствующего решения об Форма 1.1 к тарифу на тепловую энергию установлении тарифа (надбавки) на очередной период регулирования Не позднее 30 дней со дня принятия Информация о тарифе на услуги по передаче тепловой соответствующего...»

«Записи выполняются и используются в СО 1.004 СО 6.018 Предоставляется в СО 1.023. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова Агрономический факультет СОГЛАСОВАНО: УТВЕРЖДАЮ: Декан факультета Проректор по учебной работе /Шьюрова Н.А./ /Ларионов С.В./ _ г. _ г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА (МОДУЛЬНАЯ) Дисциплина Экономика АПК Для специальности 110202.65 Плодоовощеводство и...»

«Программа вступительного испытания (собеседование/устный экзамен) по дисциплинам Неорганическая химия, Аналитическая химия, Физическая химия и Органическая химия для поступающих на направление подготовки магистратуры 020100.68 – Химия Неорганическая химия Пространственные конфигурации молекул и ионов. Гибридизация в неорганических соединениях. Реакции комплексообразования в растворах. Кинетически лабильные и инертные комплексы, механизм реакции обмена лигандов. Критерии самопроизвольного...»

«ТЕХНИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЯДЕРНОЙ ПРОГРАММЫ КНДР Юрий Юдин Подозрения, что Пхеньян стремится к обладанию ядерным оружием, существовали дав но. Правда, подтвердить или опровергнуть эти подозрения очень тяжело. КНДР является самой закрытой страной в мире. Информация о состоянии ее ядерных программ очень скудна и противоречива. Эта информация в значительной степени основывается на оцен ках различных разведывательных служб. Но таким оценкам тоже не всегда можно дове рять полностью, что продемонстрировала...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой Декан факультета _ /Молчанов А.В./ /Ларионов С.В./ _ 20 г. _ _ _20 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) ВЕТЕРИНАРНО-САНИТАРНАЯ ЭКСПЕРТИЗА ПРОДУКТОВ Дисциплина ЖИВОТНОВОДСТВА И СЫРЬЯ ПРИ ИНФЕКЦИОННЫХ, ИНВАЗИОННЫХ И НЕЗАРАЗНЫХ...»

«Программа цикла тематического усовершенствования Генетические и фенотипические аспекты тромбозов и кровотечений в клинической медицине. Дата проведения курса: 15 ноября 2010 г. – 27 ноября 2010 г. Место проведения: г. Екатеринбург, ул. Репина, 3, ГОУ ВПО УГМА Дата заезда: 14 ноября 2010 г. Продолжительность: 72 часа На цикл приглашаются: врачи акушеры – гинекологи, анестезиологи – реаниматологи, неонатологи, педиатры, неврологи, терапевты, хирурги, специалисты лабораторной диагностики, а так же...»








 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.