МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет механико-математический_

Кафедра математического моделирования в механике_

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе В.П. Гарькин «_»_2011 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ ПО

СПЕЦИАЛЬНОСТИ 01.02.04- МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА Форма обучения Очная Самара Составитель рабочей программы:

Степанова Л.В., доцент кафедры математического моделирования в механике, д. ф.-м. н.

«»2010 г. Рецензент:

Астафьев В.И., профессор кафедры безопасности информационных систем, д.ф.-м.н.

«»2010 г. _В.И.Астафьев_ Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического моделирования в механике (протокол № от «»2010 г.) Заведующий кафедрой «»2010 г. _Н.И.Клюев_

СОГЛАСОВАНО

Председатель методической комиссии факультета «» 2010 г. _ Е.Я.Горелова

СОГЛАСОВАНО

Декан факультета «» 2010 г. _ _С.Я. Новиков_

СОГЛАСОВАНО

Начальник методического отдела «» 2010 г. _ _Н.В.Соловова

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. Криволинейные координаты. Ковариантные, контравариантные и физические компоненты вектора. Понятие о тензоре. Метрический тензор.

Дискриминантный тензор и связанные с ним соотношения. Алгебра тензоров. Простейшие свойства тензоров. Дифференцирование координатных векторов. Символы Кристоффеля.

Ковариантное дифференцирование. Свойства ковариантного дифференцирования. Основные дифференциальные и интегральные операции. Ортогональные координаты. Симметричный тензор второго ранга. Главные направления, главные значения и инварианты.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД. Понятие сплошного тела. Гипотеза сплошности. Физически и геометрически малый элемент. Два способа описания деформации сплошного тела. Координаты Эйлера и координаты Лагранжа. Тензор деформации Грина.

Геометрический смысл тензора деформации Грина. Вычисление тензора деформации Грина.

Тензор деформации Альманси. Геометрический смысл тензора деформации Альманси.

Вычисление тензора деформации Альманси. Условие совместности деформаций. Линеаризация тензоров деформаций и ее обоснование. Условие совместности малых деформаций. Формулировка условий совместности малых деформаций в цилиндрической и сферической системах координат.

Вычисление тензоров малых деформаций по заданному полю перемещений. Формулы Чезаро.

Распределение скоростей в элементе сплошного тела. Тензор скорости деформации.

Классификация сил в механике сплошных сред: внешние и внутренние силы, массовые и поверхностные силы. Теорема о существовании тензора напряжений. Тензоры напряжений Коши, Пиола и Кирхгофа. Законы сохранения механики сплошных сред: уравнения баланса массы, момента импульса, кинетической, потенциальной и полной энергии. Понятие об определяющих уравнениях. Простейшие классические среды. Энергетически сопряженные пары напряжений и деформаций. Поверхности разрыва в сплошных средах. Кинематические и геометрические условия совместности. Формулировка законов сохранения на поверхностях разрыва. Постановка задач механики сплошных сред. Упрощенные постановки: установившиеся процессы, уменьшение размерности по координатам, учет симметрии, автомодельность, линеаризация, замена граничных условий. Анализ размерностей и П–теорема. Применение методов теории размерностей.

Механическое подобие. Критерии механического подобия.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ. Термодинамические процессы и циклы.

Термодинамические процессы состояния. Первый и второй законы термодинамики. Понятия о работе, теплоте, внутренней энергии, температуре и энтропии. Термодинамические потенциалы состояния: свободная энергия Гельмгольца, энтальпия, химический потенциал.

Термодинамические потенциалы двухпараметрических сред. Вариационные уравнения баланса энергии и энтропии. Термодинамические потоки и силы. Принцип ортогональности. Производство энтропии в необратимых процессах. Общие формы определяющих соотношений.

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА. Гидростатика. Основные уравнения и теоремы динамики идеальной жидкости и газа. Интеграл Бернулли. Теоремы сохранения вихрей. Сорость распространения малых возмущений в идеальном газе. Скорость звука. Общие свойства безвихревых движений. Плоское безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости.

Теоремы Кельвина и Лагранжа. Условия существования безвихревых течений. Потенциал поля скоростей и его определение по заданному полю скоростей. Интеграл Коши-Лагранжа. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости. Применение функции комплексного переменного.

Примеры плоских безвихревых потоков идеальной несжимаемой жидкости. Решение задачи обтекания методом конформных отбражений. Постулат Жуковского – Чаплыгина. Формула циркуляции. Примеры применения метода конформных отображений. Обтекание эллипса и пластины. Теоретические крыловые профили Жуковского – Чаплыгина. Обтекание крылового профиля произвольной формы. Главный вектор и главный момент сил давлений потока на обтекаемый замкнутый контур. Формулы Чаплыгина. Теорема Жуковского. Динамика вязкой несжимаемой вязкой жидкости. Ньютоновская вязкая жидкость и ее реологическое уравнение.

Уравнение Стокса движения ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости. Уравнение Навье – Стокса. Течение Пуазейля. Течение Куэтта. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости.

Течение при малых числах Рейнольдса. Обтекание шара при малых значениях числа Рейнольдса.

Формула Стокса. Ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Основная особенность движения вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса. Пограничный слой.

Уравнения Прандтля ламинарного пограничного слоя. Решение уравнений Прандтля как нулевое приближение в общем асимптотическом решении уравнений Стокса при больших числах Рейнольдса. Примеры плоских автомодельных решений уравнений пограничного слоя: задача Блазиуса, задача о затопленной струе. Турбулентные течения жидкости. Неустойчивость ламинарных режимов течений и возникновение турбулентности. Уравнения Рейнольдса осредненного турбулентного движения.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА. Предмет и метод механики деформируемого твердого тела. Постановка задач механики деформируемого твердого тела.

Геометрически и физически нелинейные задачи. Принцип Сен-Венана. Линейно упругое тело Гука. Тензор упругих модулей. Частные случаи анизотропии. Три основные краевые задачи теории упругости. Уравнения равновесия в перемещениях. Формулировка краевой задачи теории упругости в напряжениях. Уравнения Бельтрами Митчелла. Общие теоремы упругости: теорема Клайперона. Тождество взаимности, теорема единственности. Вариационные принципы теории упругости. Действие сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде. Тензор Грина.

Другие особые решения линейной упругости. Формулы Сомильяны. Общие формы решений уравнений теории упругости: представление Кельвина, представление Галеркина и представление Папковича – Нейбера. Плоская задача теории упругости: основные формулировки и уравнения.

Метод комплексных потенциалов Колосова – Мусхелишвили. Комплексное представление напряжений и перемещений. Смешанная задача для полуплоскости. Антиплоская деформация.

Применение интегральных преобразований в теории упругости. Интегральное преобразование Фурье. Интегральное преобразование Ханкеля. Осесимметричные задачи теории упругости.

Решение Бусснеска. Котактная задача Герца. Метод Эшелби. Решение задачи о деформации упругой срреды с эллипсоидальной полостью. Динамические задачи теории упругости. Свободные волны в неограниченной изотропной упругой среде. Отражение и преломление упругих волн.

Коэффициенты отражения, прохождения и трансформации. Поверхностные волны Релея. Волны Лява. Установившиеся колебания упругих тел. Частоты и формы собственных колебаний. Частное Релея. Нелинейные упругие среды. Тело Сетха. Тело Синьорини. Материал Мурнагана.

Полулинейный материал Джона. Материал Блейтца и Ко. Неупругие деформируемые среды.

Теория пластического течения. Вязкоупругость и вязкопластичность.

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Упругость как фундаментальное свойство твердых деформируемых тел. Упругий потенциал и энергии деформации. Линейно упругое тело Гука. Тензор упругих модулей. Упругие модули изотропного тела. Частные случаи анизотропии: трансверсально изотропное и ортотропное упругое тело. Постановка краевых задач математической теории упругости. Три основные краевые задачи теории упругости. Существование решения, единственность и корректность. Принцип СенВенана. Уравнения теории упругости в перемещениях. Формулировка краевой задачи теории упругости в напряжениях. Уравнения Бельтрами-Митчелла. Общие теоремы теории упругости:

теорема Клайперона, тождество взаимности, теорема единственности. Основные энергетические функционалы линейной теории упругости. Вариационные принципы теории упругости:

вариационный принцип Вашидзу, вариационный принцип Рейснера, вариационный принцип Лагранжа, вариационный принцип Кастильяно. Приближенные методы, основанные на вариационных принципах. Действие сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде.

Тензор Грина. Другие особые решения линейной упругости. Граничные интегральные представления напряжений и перемещений. Формулы Сомильяны. Асимптотика поля упругих напряжений на значительном удалении от дискообразного разреза. Общие формы решений теории упругости: представления Кельвина, представление Галеркина и представление Папковича Нейбера. Краевые задачи для полупространства. Нормальная нагрузка на границе полупространства (задача Буссинеска). Касательная нагрузка на границе полупространства (задача Черрути). Плоское напряженное и плоское деформированное состояние. Плоская задача теории упругости: основные формулировки и уравнения. Метод комплексных потенциалов Колосова Мусхелишвили. Комплексное представление напряжений и перемещений. Уравнения плоской задачи теории упругости в полярных координатах. Смешанная задача для полуплоскости. Задача Гриффитса. Антиплоская деформация. Трещина антиплоского сдвига в упругом теле. Кручение и изгиб призматического тела (задача Сен-Венана). Теоремы о циркуляции касательного напряжения при кручении и изгибе. Центр изгиба. Применение интегральных преобразований в теории упругости. Интегральное преобразование Ханкеля. Осесимметричные задачи теории упругости. Контактная задача Герца. Метод Эшелби. Решение задачи о деформации упругой среды с эллипсоидальной полостью. Дислокации в упругом теле. Краевая и винтовая дислокации.

Линии дислокации. Петля дислокации. Вектор Бюргерса. Упругое поле изолированной дислокации. Асимптотика «дальнего упругого поля», создаваемого изолированной петлей дислокации. Тензор дислокационного момента. Поле напряжений, индуцируемое изолированной прямолинейной краевой и винтовой дислокацией. Упругая энергия прямолинейной дислокации.

Энергия винтовой дислокации вблизи плоской свободной поверхности. Действие внешнего поля напряжений на дислокацию. Динамические задачи теории упругости. Уравнения движения в форме Ламе. Интеграл энергии. Вектор Умова - Пойтинга. Основные классы граничных задач динамики. Волновые решения динамической граничной задачи. Динамические, геометрические и кинематические условия совместности на волновом фронте. Вариационный принцип Гамильтона.

Свободные волны в неограниченной изотропной упругой среде. Общее решение в форме Ламе.

Динамические потенциалы продольных и поперечных упругих волн. Приведение динамических уравнений к волновым. Представление динамических потенциалов в форме проходящих волн.

Фаза и форма волны. Фазовая поверхность и фазовая скорость упругой волны. Плоские гармонические волны. Фундаментальные решения динамических уравнений теории упругости.

Динамический тензор Грина. Плоские гармонические волны. Отражение (преломление) плоских гармонических упругих волн от (на) свободной плоской границы (границе). Поверхностные волны Релея. Волны Лява. Методы динамической теории упругости: метод функциональноинвариантных решений, метод интегральных преобразований (техника Каньяра-де Хупа), метод Винера-Хопфа, лучевой метод. Осесимметричная задача Ламба. Установившиеся колебания упругих тел. Частоты и формы собственных колебаний. Вариационный принцип Релея. Частное Релея.

Литература Основная 1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. М.: Наука, 2004.

2. Механика сплошных сред в задачах. Т. 1,2. М.: Московский лицей, 1996.

3. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2003. 4. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 2010.

5. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с. (гриф.

Минобразования).

6. Введение в механику сплошных сред. Л.: Изд-во Ленинградского унив-та, 1984.

7. Кукуджанов В.Н. Компьютерное моделирование деформирования, повреждаемости и разрушения неупругих материалов и конструкций. М.: МФТИ, 2008. 215 с.

Дополнительная 1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976.

2. Борисенко А.И, Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензоного исчисления. М.:

Высшая школа, 1966.

3. Бреховских Л.М. Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн). М.: Наука, 1982.

4. Бэтчелор Дж. Введеник в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.

5. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978.

6. Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.

7. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1971.

8. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1979.

9. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехтеориздат, 1947.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.% ГИТТЛ, 1953.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:Наука, 1973.

13. Лурье А.И. Теория упругости. М. Наука, 1970.

14. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геомтрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963.

15. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

16. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958.

17. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

18. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. Литературы, 1963.

19. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987.

20. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1981.

21. Сокольников И.С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971.

22. Тимошенко С.П. Теория упругости. М.:Наука, 1975.

23. Ферми Э. Термодинамика. Харьков.: Изд-во Харьковского университета, 1973.