ПРОГРАММА-МИНИМУМ

кандидатского экзамена по специальности

01.01.07 «Вычислительная математика»

по физико-математическим наукам

Введение

В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: функциональный анализ;

уравнения математической физики; численные методы.

Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Института вычислительной математики РАН, Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и Института прикладной математики.

1. Функциональный анализ 1. Метрические, нормированные, гильбертовы пространства. Метрические пространства.

Непрерывные отображения. Компактные множества.

2. Принцип сжатых отображений, методы последовательных приближений и их приложения.

Линейные, нормированные, банаховы и гильбертовы пространства.

3. Сильная и слабая сходимость. Задача о наилучшем приближении. Наилучшее равномерное приближение. Минимальное свойство коэффициентов Фурье.

4. Линейные функционалы и операторы. Непрерывные линейные операторы. Норма и спектральный радиус оператора.

5. Сходимость операторов; ряд Неймана и условия его сходимости. Теоремы о существовании обратного оператора. Мера обусловленности линейного оператора и ее применение при замене точного уравнения (решения) приближенным.

6. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Теорема Банаха—Штейнгауза и ее приложения. Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала (для гильбертова пространства). Спектр оператора. Сопряженные, симметричные, самосопряженные, положительно определенные, вполне непрерывные операторы и их спектральные свойства. Вариационные методы минимизации квадратичных функционалов, решения уравнений и нахождения собственных значений (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, наименьших квадратов).

7. Дифференцирование нелинейных операторов, производные Фреше и Гато. Метод Ньютона, его сходимость и применение.

8. Пространства функций C, L2, Lp, Wpl. Обобщенная производная.

Неравенства Пуанкаре—Стеклова—Фридрихса. Понятие о теоремах вложения.

2. Задачи математической физики 1. Математические модели физических задач. Математические модели физических задач, приводящие к уравнениям математической физики. Основные уравнения математической физики; постановки задач. Корректно и некорректно поставленные задачи.

2. Обобщенное решение краевых задач для эллиптических уравнений. Дивергентная форма записи эллиптического оператора. Понятие об обобщенном решении. Основные свойства гармонических функций (формулы Грина, теоремы о среднем, принцип максимума).

Фундаментальное решение и функция Грина для уравнения Лапласа.

3. Задача Коши. Задача Коши для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний (в одномерном и многомерном случаях).

4. Фундаментальные решения. Характеристики. Понятие об обобщенных решениях. Обобщенные решения смешанных задач для уравнений параболического и гиперболического типов;

существование, единственность и непрерывная зависимость от данных задачи. Теорема Стеклова о разложении в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля.

3. Численные методы 1. Численные методы алгебры. Прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений с полными матрицами и матрицами специального вида. Одношаговые итерационные методы.

2. Чебышевские одношаговые итерационные методы. Оптимальный набор чебышевских параметров и вычислительная устойчивость. Трехчленные (двушаговые) чебышевские итерационные методы. Методы спуска и метод сопряженных градиентов.

3. Приближение функций. Общие свойства систем ортогональных многочленов. Многочлены Лежандра и Чебышева; их свойства и приложения. Интерполяционные многочлены. Выбор узлов интерполяции.

4. Быстрое дискретное преобразование Фурье. Интерполяция нелокальными и локальными сплайнами.

5. Численное интегрирование. Интерполяционные квадратурные формулы. Задача оптимизации квадратуры. Квадратурные формулы типа Гаусса. Многомерные квадратурные формулы.

Понятие о методе Монте-Карло. Интегрирование сильно осциллирующих функций.

6. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные методы решения задачи Коши и краевых задач. Оценка погрешности, сходимость и устойчивость.

Методы прогонки и стрельбы. Разностные схемы для решения дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. Понятие о жестких системах обыкновенных дифференциальных уравнений и методах их решения.

7. Разностные и вариационно-разностные методы решения уравнений математической физики.

Основные понятия (аппроксимация, устойчивость, сходимость). Методы построения разностных схем (метод сеток, интегроинтерполяционный метод, метод аппроксимации интегральных тождеств, вариационно-разностные и проекционно-разностные методы, метод Галеркина, метод конечных элементов, метод аппроксимации квадратичного функционала); их применение к решению краевых и начально-краевых задач для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений. Оценка порядка аппроксимации и сходимости. Двухслойные и трехслойные схемы; их устойчивость.

8. Экономичные методы решения нестационарных многомерных задач; методы решения нелинейных уравнений (теплопроводности и газовой динамики). Дивергентные и монотонные разностные схемы. Схемная и искусственная вязкость.

9. Методы решения сеточных уравнений. Прямые методы (прогонки, быстрого дискретного преобразования Фурье, циклической редукции). Метод последовательной верхней релаксации, неявные схемы с эквивалентными по спектру операторами, попеременно-треугольный метод.

Методы расщепления и переменных направлений. Понятие о методе Федоренко. Оценки скорости сходимости.

10. Методы решения обратных и некорректных задач. Применение методов регуляризации, минимизации сглаживающего функционала и итерационных методов для решения вырожденных, несовместных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений и интегральных уравнений первого рода.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 6-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1999.

Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. 4-е изд. М.: Физматлит, 2000.

Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Наука, Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1982.

Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Физматлит, 2001.

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. 2-е изд. М.: Наука, 1977.

Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.