Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Для направления 080100 « Экономика»

подготовки бакалавров очного отделения

Шифр дисциплины _ Авторы – составители программы:

Макаров Алексей Алексеевич, кандидат физ.-мат. наук Курбацкий Алексей Николаевич, кандидат физ.-мат. наук Одобрена на заседании кафедры «»_2013г.

Заведующий кафедрой _ (ФИО, ученая степень, ученое звание) Утверждена Ученым советом МШЭ «»_2013г.

Ученый секретарь _ (ФИО, ученая степень, ученое звание) Москва

ВВЕДЕНИЕ

Изучение курса «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначено для формирования и усвоения знаний, умений, навыков в области экономической теории и практики, которые необходимы для работы в государственных и частных структурах, а также развития профессиональных качеств, компетенций, необходимых для выполнения функциональных обязанностей в сфере экономики. Рабочая программа соответствует учебному плану подготовки бакалавров (магистров) по направлению «Экономика».

Основные задачи преподавания дисциплины:

ознакомление студентов с основными концепциями теории вероятностей и прикладной статистики, раскрытие роли вероятностно-статистического инструментария в экономических исследованиях, изучение основных понятий вероятностного анализа, таких как случайные события и вероятности их осуществления, случайные величины и распределения, а также основных теорем теории вероятностей; изучение основ статистического описания данных, постановок и методов решения фундаментальных задач математической статистики, таких как задача оценивания, задача проверки гипотез; изучение основ анализа парных зависимостей, формирование вероятностной интуиции, опирающейся на теоретические знания, развитие навыков постановки и решения прикладных задач статистического анализа, демонстрация математической обоснованности ряда процедур вероятностного и статистического анализа и понимание границ их применимости, привитие практических навыков в использовании математических методов вероятностного и статистического анализа к постановке и решению задач, возникающих из экономической практики.

Требования к знаниям и умениям по дисциплине:

знать основные определения и понятия теории вероятностей и математической статистики, основы методики применения вероятностных и статистических методов, содержание теоретико-вероятностного способа рассуждений в прикладной статистике и эконометрике, основные типы распределений вероятностей, используемых в статистическом анализе, прикладные аспекты предельных теорем теории вероятностей, в том числе — применительно к теории оптимального оценивания и проверки гипотез.

уметь свободно производить аналитические действия со случайными событиями и вероятностями их осуществления, применять методы статистического и вероятностного анализа в задачах, возникающих из экономической практики, владеть основными аналитическими приемами вероятностного и статистического анализа, навыками численного расчета основных характеристик, возникающих при проведении вероятностного и статистического анализа в задачах, возникающих из экономической практики, иметь представление:

• об основах применения математико-статистического инструментария в исследовании социально-экономических объектов, в анализе реальных статистических данных, возникающих при наблюдении за социальноэкономическим объектом.

Практическая реализация учебной программы предусматривает проведение аудиторных занятий в виде лекций, практикумов, семинаров, консультаций и организации самостоятельной работы студентов.

Промежуточный контроль осуществляется в процессе обучения, преимущественно на семинарских занятиях в виде контрольных работ и коллоквиумов. По результатам промежуточного контроля проставляются текущие оценки.

Итоговый контроль проводится в форме предварительного анализа суммы промежуточных оценок и выведения результирующей оценки путем проведения экзамена (в конце первого полугодия) и экзамена (в конце второго полугодия).

Дисциплина изучается в течение одного учебного года при общем объеме учебной нагрузки 150 часов. Итоговый контроль – в форме экзамена в конце I полугодия, экзамена в конце II полугодия.

Раздел I. Введение. Пространство элементарных событий и определение вероятности.

Тема 1. Введение. Понятие случайного эксперимента. Элементарные события.

Пространство элементарных событий.

События.

Тема 2. Дискретное и непрерывное пространство элементарных событий.

Тема 3. Вероятности в дискретных пространствах, вероятности в непрерывных пространствах (плотность вероятности).

Примеры.

Тема 4. Вероятность и практика.

(персональная) вероятность.

Тема 5. Операции с событиями, связь с вероятностями (формула сложения).

Тема 6. Независимые события, независимые случайные эксперименты.

Тема 8. Условные вероятности, формула формула Байеса.

Раздел II. Случайные величины.

Тема 1. Случайные эксперименты и случайные величины. Дискретные случайные величины.

Биномиальное распределение, естествознании и экономике. Измерение вероятности: частота события как приближенное значение вероятности.

Тема 2. Непрерывные случайные величины.

Примеры: показательное и нормальное распределения. Их роль в естествознании и экономике.

Тема 3. Преобразования случайных величин.

Функции распределения.

Тема 4. Числовые характеристики случайных величин:

величины и его свойства.

Дисперсия случайной величина и её свойства.

Тема 5. Совместные распределения двух или нескольких случайных величин случайных.

Маргинальные распределения. Независимые случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия суммы.

Тема 6. Коэффициент корреляции и его свойства.

Тема 7. Двумерное нормальное распределение: плотность распределения, маргинальные распределения, независимость 2 2 и корреляция. Условное распределение одной переменной при фиксированном значении другой; условное математическое ожидание, условная дисперсия. Регрессия одной переменной по другой.

Раздел III. Предельные закономерности теории вероятностей.

Тема 1. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли, измерение вероятности. Расчёт необходимого объёма 2 2 случайной выборки. Теорема Чебышева.

Сходимость по вероятности.

Тема 2. Центральная предельная теорема.

Теорема Муавра-Лапласа (интегральная).

Классическая центральная предельная теорема. Теорема Пуассона для испытаний Бернулли. Закон малых чисел. Сходимость по распределению.

Анализ и разбор экзаменационных вопросов. 2 0 Раздел IV. Проверка статистических гипотез.

Тема 1. Принципы проверки статистических гипотез на примере испытаний Бернулли.

Тема 2. Критерий знаков для парных наблюдений.

Тема 3. Ранги и их свойства для случайных выборок.

Тема 4. Критерий ранговых сумм Уилкоксона для проверки гипотезы о однородности двух независимых выборок. Статистика Манна– Уитни. Распределение статистик Манна – Уитни и Уилкоксона для малых и для больших выборок.

Раздел V. Оценивание параметров.

Тема 1. Метод наибольшего правдоподобия.

Примеры его применения: выборки из показательного и нормального распределений.

Тема 2. Состоятельность оценок наибольшего правдоподобия (аргументация с помощью закона больших чисел и неравенства из теории информации) Тема 3. Свойства выборочных средних и дисперсий для нормальных выборок.

Тема 4. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

Доверительные интервалы как статистическая форма точности приближения.

Тема 5. Методы наибольшего правдоподобия линейной регрессии.

Тема 6. Анализ одной и двух нормальных выборок. Критерий Стьюдента.

Раздел VI. Связь признаков.

Тема 1. Выборочный коэффициент корреляции. Проверка с его помощью гипотезы о независимости гауссовских признаков.

Тема 2. Выборка из двумерного нормального распределения. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции.

Преобразование Фишера.

Тема 3. Коэффициенты ранговой корреляции. Проверка с их помощью гипотезы о независимости признаков.

Распределение коэффициентов ранговой корреляции для малых и для больших выборок.

Тема 4. Случайные испытания с несколькими исходами. Критерий хи-квадрат (К.Пирсон) для проверки простых и сложных гипотез о вероятностях.

Тема 5. Таблицы сопряженности: проверка гипотезы о независимости признаков.

Тема 6. Статистические основы выборочных обследований: простой случайный выбор, 2 0 выбор из расслоенных совокупностей.

Анализ и разбор экзаменационных вопросов. 2 0

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел I. Введение. Пространство элементарных событий и определение вероятности.

Введение. Понятие случайного эксперимента. Элементарные события.

Пространство элементарных событий. События. Дискретное и непрерывное пространство элементарных событий. Вероятности в дискретных пространствах, вероятности в непрерывных пространствах (плотность вероятности). Примеры. Вероятность и практика. Объективная (частотная) и субъективная (персональная) вероятность. Операции с событиями, связь с вероятностями (формула сложения). Независимые события, независимые случайные эксперименты. Испытания Бернулли. Условные вероятности, формула умножения. Формула полной вероятности, формула Байеса.

Раздел II. Случайные величины.

Случайные эксперименты и случайные величины. Дискретные случайные величины. Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Их роль в естествознании и экономике. Измерение вероятности: частота события как приближенное значение вероятности. Непрерывные случайные величины.

Примеры: показательное и нормальное распределения. Их роль в естествознании и экономике. Преобразования случайных величин. Функции распределения. Числовые характеристики случайных величин:

Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры.

Дисперсия случайной величина и её свойства. Примеры. Совместные распределения двух или нескольких случайных величин случайных.

Маргинальные распределения. Независимые случайные величины.

Математическое ожидание и дисперсия суммы. Коэффициент корреляции и его свойства. Двумерное нормальное распределение: плотность распределения, маргинальные распределения, независимость и корреляция.

Условное распределение одной переменной при фиксированном значении другой; условное математическое ожидание, условная дисперсия. Регрессия одной переменной по другой.

Раздел III. Предельные закономерности теории вероятностей.

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли, измерение вероятности. Расчёт необходимого объёма случайной выборки. Теорема Чебышева. Сходимость по вероятности. Центральная предельная теорема.

Теорема Муавра-Лапласа (интегральная). Классическая центральная предельная теорема. Теорема Пуассона для испытаний Бернулли. Закон малых чисел. Сходимость по распределению.

Раздел IV. Проверка статистических гипотез.

Принципы проверки статистических гипотез на примере испытаний Бернулли. Минимальный уровень значимости. Понятие об ошибках первого и второго рода. Мощность критерия. Критерий знаков для парных наблюдений. Ранги и их свойства для случайных выборок. Критерий ранговых сумм Уилкоксона для проверки гипотезы о однородности двух независимых выборок. Статистика Манна – Уитни. Распределение статистик Манна – Уитни и Уилкоксона при гипотезе для малых и для больших выборок.

Раздел V. Оценивание параметров.

Точечное оценивание параметров. Свойства оценок. Функция правдоподобия. Метод наибольшего правдоподобия. Примеры его применения: выборки из показательного и нормального распределений.

Состоятельность оценок наибольшего правдоподобия (аргументация с помощью закона больших чисел и неравенства из теории информации).

Свойства выборочных средних и дисперсий для нормальных выборок.

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

Доверительные интервалы как статистическая форма точности приближения. Методы наибольшего правдоподобия и наименьших квадратов для простой линейной регрессии. Анализ одной и двух нормальных выборок. Критерий Стьюдента.

Раздел VI. Связь признаков Выборочный коэффициент корреляции. Проверка с его помощью гипотезы о независимости гауссовских признаков. Выборка из двумерного нормального распределения. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции. Преобразование Фишера. Коэффициенты ранговой корреляции. Проверка с их помощью гипотезы о независимости признаков.

Распределение (при гипотезе) коэффициентов ранговой корреляции для малых и для больших выборок. Случайные испытания с несколькими исходами. Критерий хи-квадрат (К.Пирсон) для проверки простых и сложных гипотез о вероятностях. Таблицы сопряженности: проверка гипотезы о независимости признаков. Статистические основы выборочных обследований: простой случайный выбор, выбор из расслоенных совокупностей.

Лекция 1. Введение.

Введение. Понятие случайного эксперимента. Элементарные события.

Пространство элементарных событий. События. ([1], глава 1, §1.) Лекция 2. Понятие вероятности.

Вероятности в дискретных пространствах, вероятности в непрерывных пространствах (плотность вероятности). Примеры. ([1], глава 1, §2.) Лекция 3. Вероятность и практика.

Вероятность и практика. Объективная (частотная) и субъективная (персональная) вероятность([1], глава 1, §2.) Лекция 4. Операции с событиями.

Операции с событиями, связь с вероятностями (формула сложения).

([1], глава 1, §1-2.) Лекция 5. Понятие независимости.

Независимые события, независимые случайные эксперименты. ([1], глава 1, §3.) Лекция 6. Схема Бернулли.

Испытания Бернулли. ([1], глава 1, §3.) Лекция 7. Условная вероятность.

Условные вероятности, формула умножения. Формула полной вероятности, формула Байеса. ([1], глава 1, §3.) Контрольная работа по разделу I.

Лекция 8. Понятие дискретной случайной величины.

Случайные эксперименты и случайные величины. Дискретные случайные величины. Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Их роль в естествознании и экономике. Измерение вероятности:

частота события как приближенное значение вероятности. ([1], глава 2, §1; глава 3, §1-2.) Лекция 9. Понятие непрерывной случайной величины.

Непрерывные случайные величины. Примеры: показательное и нормальное распределения. Их роль в естествознании и экономике. ([1], глава 2, §1; глава 3, §3-4.) Лекция 10. Понятие функции распределения.

Преобразования случайных величин. Функции распределения. ([1], глава 2, §1.) Лекция 11. Числовые характеристики случайных величин.

Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры. Дисперсия случайной величина и её свойства. Примеры. ([1], глава 2, §2.) Лекция 12. Совместное распределение.

Совместные распределения двух или нескольких случайных величин случайных. Маргинальные распределения. Независимые случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия суммы. ([1], глава 2, §3.) Лекция 13. Ковариация и корреляция.

Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства.

Ковариационная матрица. ([1], глава 2, §3.) Лекция 14. Двумерное нормальное распределение.

Двумерное нормальное распределение: плотность распределения, маргинальные распределения, независимость и корреляция. Условное распределение одной переменной при фиксированном значении другой;

условное математическое ожидание, условная дисперсия. Регрессия одной переменной по другой. ([1], глава 3, §5.) Контрольная работа по разделу II.

Лекция 16. Закон больших чисел.

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли, измерение вероятности. Расчёт необходимого объёма случайной выборки. Теорема Чебышева. Сходимость по вероятности. ([1], глава 4, §1-2.) Лекция 17. Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема. Теорема Муавра-Лапласа (интегральная). Классическая центральная предельная теорема. Теорема Пуассона для испытаний Бернулли. Закон малых чисел. Сходимость по распределению. ([1], глава 4, §3-4.) Контрольная работа по разделу III. Коллоквиум.

Лекция 17. Резерв.

Анализ и повторение сложных тем по результатам контрольных работ и коллоквиума.

Лекция 1. Проверка статистических гипотез.

Принципы проверки статистических гипотез на примере испытаний Бернулли. ([2], глава 3, §3.1-3.4.) Лекция 2. Критерий знаков.

Критерий знаков для парных наблюдений. ([2], глава 3, §3.6.1.) Лекция 3. Ранг наблюдения.

Ранги и их свойства для случайных выборок. ([2], глава 1, §1.8.) Лекция 4. Критерии Уилкоксона и Манна-Уитни.

Критерий ранговых сумм Уилкоксона для проверки гипотезы о однородности двух независимых выборок. Статистика Манна–Уитни.

Распределение статистик Манна–Уитни и Уилкоксона для малых и для больших выборок. ([2], глава 3, §3.5.) Контрольная работа по разделу IV.

Лекция 5. Оценивание параметров.

Метод наибольшего правдоподобия. Примеры его применения:

выборки из показательного и нормального распределений. ([2], глава 4, §4.4-4.7.) Лекция 6. Свойства оценок.

Несмещенность, состоятельность, эффективность. Состоятельность оценок наибольшего правдоподобия. Аргументация с помощью закона больших чисел и неравенства из теории информации. ([2], глава 4, §4.1Лекция 7. Оценки параметров нормального распределения.

Свойства выборочных средних и дисперсий для нормальных выборок. ([2], глава 5, §5.1-5.3.) Лекция 8. Доверительный интервал.

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Доверительные интервалы как статистическая форма точности приближения. ([2], глава 4, §4.5-4.7.) Контрольная работа по разделу V.

Лекция 9. Простая линейная регрессия.

Методы наибольшего правдоподобия и наименьших квадратов для простой линейной регрессии. ([2], глава 8, §8.1-8.4.) Лекция 10. Анализ одной и двух нормальных выборок.

Анализ одной и двух нормальных выборок. Критерий Стьюдента. ([2], глава 5, §5.1-5.5.) Контрольная работа по разделу V.

Коллоквиум по разделам IV, V.

Лекция 11. Связь признаков.

Выборочный коэффициент корреляции. Проверка с его помощью гипотезы о независимости гауссовских признаков. ([2], глава 9, §9.4-9.5.) Лекция 12. Выборка из двумерного нормального распределения.

Выборка из двумерного нормального распределения. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции. Преобразование Фишера. ([2], глава 9, §9.5.) Лекция 13. Коэффициент ранговой корреляции.

Коэффициенты ранговой корреляции. Проверка с их помощью гипотезы о независимости признаков. Распределение коэффициентов ранговой корреляции для малых и для больших выборок. ([2], глава 9, §9.1-9.6.) Лекция 14. Критерий Пирсона.

Случайные испытания с несколькими исходами. Критерий хи-квадрат (К.Пирсон) для проверки простых и сложных гипотез о вероятностях. ([2], глава 10, §10.1, 10.4-10.5.) Лекция 15. Проверка гипотезы о независимости признаков.

Таблицы сопряженности: проверка гипотезы о независимости признаков. ([2], глава 9, §9.3-9.7.) Лекция 16. Статистические основы выборочных обследований.

Статистические основы выборочных обследований: простой случайный выбор, выбор из расслоенных совокупностей. ([2], глава 1, §1.7-1.9; глава 11.) Контрольная работа по разделу VI.

Лекция 17. Резерв.

Повтор сложного материала по результатам контрольных работ и подготовка к экзамену.

[1] Тюрин Ю. Н., Макаров А.А., Симонова Г. И., Теория вероятностей: учебник для экономических и гуманитарных специальностей. -- М.: МЦНМО, 2009.

[2] Тюрин Ю. Н., Макаров А.А., Анализ данных на компьютере:

учебное пособие. - 4-е изд., перераб. - М.: ИД Форум, 2008. - 368 с., ил. - (Высшее образование).

[3] Айвазян, С.А., Мхитарян, В.С. (2001) Прикладная статистика и основы естествознания (2-е изд.). Том 1: Теория вероятностей и прикладная статистика. — М.: ЮНИТИ, 656 с.

[4] Айвазян, С.А., Мхитарян, В.С. (2001) Прикладная статистика в задачах и упражнениях. — М.: ЮНИТИ, 270 с.

[5] Ивашев-Мусатов О. С., Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИМА, [6] Фадеева Л. Н., Лебедев А. В., Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Эксмо, 2010. - 496 с. -- (Новое экономическое образование).

Рекомендательно.