МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Новокузнецкий институт (филиал)

Факультет информационных технологий

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ЕН.Ф.4 Теория вероятностей и математическая статистика

для специальности

080801.65 Прикладная информатика (в экономике)

Новокузнецк 2013 Сведения о разработке и утверждении рабочей программы дисциплины Рабочая программа дисциплины ЕН.Ф4 Теория вероятностей и математическая статистика федерального компонента цикла ЕН составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования второго поколения Автор к.т.н., доцент Линдин Г.Л.

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры « 10 » декабря 2012 г. Протокол № Заведующий кафедрой Е. В. Решетникова Рабочая программа одобрена методической комиссией факультета информационных технологий « 15 » января 2013 г. Протокол № Председатель методической комиссии Н.Б. Ермак (подпись) Пояснительная записка Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 080801.65 «Прикладная информатика в экономике» входит в состав Государственного Образовательного стандарта Высшего Профессионального Образования (ГОС ВПО).

Ее место – в ряду дисциплин федерального компонента естественнонаучного цикла учебного плана.

Изучение дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для специальности «080801.65 Прикладная информатика (в экономике)» проводится на втором курсе и нацелено на формирование у будущих специалистов начальных навыков вероятностностатистического анализа математических моделей.

Выписка из ГОС ВПО специальности «Прикладная информатика в экономике»

ЕН.Ф.04 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Теория вероятностей и математическая статистика: вероятности, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.

Особенности статистического анализа количественных и качественных показателей. Методы шкалирования при обработке качественных признаков. Проблема размерности в многомерных методах исследования. Многомерные методы оценивания и статистического сравнения.

Многомерный статистический анализ. Множественный корреляционно-регрессионный анализ. Компонентный анализ. Факторный анализ. Кластер-анализ. Классификация без обучения. Дискриминантный анализ. Классификация с обучением. Канонические корреляции. Множественный ковариационный анализ.

Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа. Применение многомерных статистических методов в социально-экономических исследованиях.

Основной целью курса является - ознакомить студентов с основными обобщнными и систематизированными понятиями в теории вероятностей и математической статистике, - показать принципиальные трудности, возникающие при статистическом анализе данных, - показать разницу между "хорошим" и "плохим" статистическим анализом данных;

- подготовить высококвалифицированных специалистов – математиков, системных программистов для работы в отраслях народного хозяйства, научных и учебных заведениях соответствующего профиля.

Основными задачами дисциплины являются:

* формирование у студента представления о вероятностно-статистических моделях явлений и процессов различной природы;

* выработка навыков использования классических методов теории вероятностей и математической статистики;

* освоение студентами синтеза классических методов математической статистики с современными идеями прикладной статистики.

Необходимый объем знаний для изучения данной дисциплины Для успешного изучения этой дисциплины студентам необходимо знать: курс математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисление в полном объеме, предусмотренном рабочей программой, алгебру и аналитическую геометрию.

Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 080801.65 «Прикладная информатика в экономике» структурно разделен (по семестрам) на части: теория вероятностей – 3-й семестр, математическая статистика – 4-й семестр.

Формы обучения включают в себя:

- лекции, на которых закладываются теоретическая база знаний по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»;

- практические занятия, где студенты приобретают навыки в решении задач по отдельным разделам дисциплины;

- самостоятельная работа студентов, которая осуществляется в двух формах: индивидуального выполнения заданий по вариантам и индивидуально-аудиторного – с консультацией у преподавателя, а также выполнении студентами тестов и задач по блокам - разбор сложных задач на плановых консультациях.

По дисциплине осуществляется текущий, промежуточный контроль и итоговый контроль в форме зачета (3 семестр) и экзамена (4 семестр).

1. Учебно - тематический план регрессия при обучении в сокращенные сроки (дисциплина в целом, разделы и темы) применяются общие требования к перезачету и переаттестации На 6-й неделе контрольная по теме «Алгебра случайных событий». На 16-й неделе контрольная по 3 сетеме «Теории вероятностей».

местр На 3-й неделе контрольная по теме «Выборочный метод». На 8-й неделе контрольная по теме «Диссе- персионный и регрессионный анализ». На 17-й неделе контрольная по теме «Непараметрические местр методы и вероятностные модели в исследовании операций».

2 курс На 3-й неделе контрольная по теме «Алгебра случайных событий». На 16-й неделе контрольная по теме «Теории вероятностей».

3 курс На 3-й неделе контрольная по теме «Выборочный метод». На 16-й неделе контрольная по теме «Проверка статистических гипотез».

На 3-й неделе контрольная по теме «Алгебра случайных событий». На 8-й неделе контрольная по 3 сетеме «Теории вероятностей». На 16-й неделе контрольная по теме «Математическая статистика».

2 Содержание дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

Содержание частей, разделов и тем курса раздела Содержание раздела дисциплины 3 семестр Аксиома- Комбинаторика. Основные модели комбинаторики.

тика тео- Случайное событие и его вероятность. Классическое геометричерии веро- ское и статистическое определения вероятностей.

ятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Алгебра Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Дискрет- 2.1 Дискретная случайная величина (дсв) и ряд распределения.

ные слу- 2.2 Повторение испытаний. Биномиальный закон распределения верочайные ятностей.

величины 2.3 Распределение Пуассона. Поток случайных событий.

и их рас- 2.4 Геометрическое и гипергеометрическое распределение и числовые ния. За- 2.5 Числовые характеристики дсв.

кон 2.6 Закон больших чисел: неравенство Чебышева, теорема Чебышева и больших Бернулли, следствие. Интегральная и дифференциальная формула Мучисел. авра-Лапласа.

Непре- 3.1 Непрерывная случайная величина (нсв) и функция распределения.

рывные Числовые характеристики нсв, их свойства.

случай- 3.2 Нормальный закон распределения. Нормальная кривая, ее свойства.

личины. 3.3 Центральная предельная теорема Ляпунова. Следствия.

4 семестр Точечное 4.1 Задача математической статистики. Краткая историческая справка.

и интер- 4.2 Простая выборка. Метод сбора и группировки данных. Эмпиричевальное ская функция распределения.

оценива- 4.3 Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки.

ние пара- 4.3 Достоверность и точность оценки. Доверительный интервал для метров оценки математического ожидания нормальной случайной величины распределений.

Проверка 5.1 Основная и альтернативная гипотеза.

статисти- 5.2 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совоческих купности.

гипотез. 5.3 Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

5.4 Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей.

5.5 Сравнение трех и более средних нормальных генеральных совокупностей.

5.6 Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

5.7 Непараметрические методы: критерии Вальда-Вольфовица, Вилкоксона, Манна-Уитни, Тьюки, Колмогорова-Смирнова.

Линейные 6.1 Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость.

статисти- Выборочное уравнение линии регрессии. Коэффициент корреляции.

ческие и 6.2 Ранговая корреляция Спирмена. Ранговая корреляция Кендалла.

имитаци- Ранговая конкордация Кендалла для трех и более выборок.

онные 6.3 Криволинейная корреляция.

модели. 6.4 Множественная корреляция.

Основы 6.5 Метод статистических испытаний.

корреля- 6.6 Использование приложения «Excel» и пакета программ «Статистиционного ка».

анализа.

Множественная регрессия.

Случай- 7.1 Случайная функция. Корреляционная функция случайной функции.

ные про- 7.2 Стационарная случайная функция.

цессы. 7.3 Стохастические модели управления запасами с выпуклой функцией затрат. Случай единовременного штрафа. Оптимальная стратегия. Имитационные модели.

7.4 Системы массового обслуживания. Основные показатели. Финальные вероятности состояний. Задача Эрланга.

Содержание практических занятий Практические занятия проводятся с помощью практикума: «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и прикладные задачи математической статистики» по следующей схеме.

1. Вначале каждого занятия студенты отвечают на вопросы для теоретической подготовки. Готовятся к ним заранее с помощью практикума и конспекта лекций, которые строятся как ответы на эти вопросы. Ответы обсуждаются студентами, которые дополняют ответы товарищей. Ответы всех выступающих оцениваются по БРС и учитываются на экзамене.

2. Затем преподаватель рассказывает демонстрационные примеры, закрепляющие разобранную теорию каждого вопроса в отдельности. Вопросы выбираются по очереди.

3. Затем студенты разбирают задания для самостоятельного решения, соответствующие рассмотренному вопросу. Если задание вызывает затруднения, то оно разбирается на доске либо студентом, либо преподавателем. Студенческое решение тоже оценивается по БРС.

4. В таком порядке разбираются все демонстрационные примеры и соответствующие задания для самостоятельной подготовки.

5. В 4 семестре занятия проводятся с применением приложения «Excel» в компьютерном кабинете. Результаты расчетов контролируются преподавателем с помощью пакета программ «Статистика» до 5-го знака после запятой. Тема считается защищенной, если пройдет контроль.

Практическое занятие № 1. Элементы комбинаторики.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Из 3 групп студентов нужно выбрать одного участника олимпиады по математике. Каким количеством способов это можно сделать, если в первой группе 10 студентов увлекаются математикой, во второй – только 5 студентов, а в третьей – 7 студентов? (22).

2. Из 2 групп студентов нужно выбрать 2 участников олимпиады, в которой предлагаются задания по математике и информатике. Каким количеством способов это можно сделать, если в первой группе 12 студентов увлекаются математикой, а во второй – 10 студентов увлекаются информатикой? (120).

3. Сколько существует способов задать на компьютере код, состоящий из 4 букв русского алфавита?

(334 = 1185921).

4. На денежных знаках печатается индекс, состоящий из 2 букв русского алфавита и семи цифр от 0 до 9 каждая. Сколько сторублевых купюр можно напечатать, чтобы индекс был разным? (10 890 000 000).

5. Путем опроса общественного мнения изучается рейтинг 10 политиков. Сколькими способами могут распределиться первые четыре места? (5040).

6. Флаг страны состоит из 3 разноцветных горизонтальных полос. Сколько стран могут иметь такой флаг, если участвуют 7 цветов спектра и белый цвет? (336).

Практическое занятие № 2. Классическое определение вероятности.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. В студенческой группе 15 девушек и 5 юношей. Для участия в КВН наудачу выбраны 5 человек.

Какова вероятность того, что выбраны 5 девушек? (1001/5168).

2. В студенческой группе 12 человек, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны студентов. Какова вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников? (14/33).

3. В колоде 36 карт. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу двух карт окажется:

а) король и туз. (8/315) ;

б) некозырной туз и любой козырь. (3/70) ;

в) либо тузы, либо козыри? (11/105).

4. В кодовом замке 10 кнопок, на каждой из которых написана цифра от 0 до 9. Замок открывается только в том случае, если нажаты три разные кнопки в определенном порядке. Какова вероятность того, что при произвольном нажатии трех кнопок замок можно будет открыть? (1/720).

5. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Какова вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость:

а) оказалась дублем. (2/9) ;

б) не есть дубль? (4/9).

6. На полке случайным образом расставлены n книг. Какова вероятность того, что два тома «Курса высшей математики» окажутся рядом? (2/n).

Практическое занятие № 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. В студенческой группе 25 человек, среди которых 5 отличников и 10 учатся на 4 и 5. По списку наудачу отобраны 3 студента. Какова вероятность того, что хотя бы один из отобранных студентов отличник или учится на 4 и 5? (109/115).

2. Три электрические лампочки последовательно включены в сеть. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, равна 0,6. Какова вероятность того, что тока в цепи не будет? (0,936).

3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Какова вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков? (0,38).

4. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Какова вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта? (0,384).

5. Вероятность того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что деталь содержится:

а) не более чем в трех ящиках. (0,6976) ;

б) не менее чем в двух ящиках? (0,9572).

6. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,5. Какова вероятность того, что первое орудие поражает цель при одном выстреле, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,6? (0,5).

Практическое занятие № 4. Контрольная работа по теме «Алгебра случайных событий».

Практическое занятие № 5. Следствия из теорем сложения и умножения вероятностей.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Какова вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму? (0,86).

2. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 – 0,9.

Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Какова вероятность того, что извлечена стандартная деталь? (0,84).

3. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Какова вероятность того, что вторую извлеченную кость можно приставить к первой? (7/18).

4. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент? (ко второй).

5. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, – с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту? (0,998).

Практическое занятие № 6. Дискретная случайная величина.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Какова вероятность того, что в данный момент:

а) включено 4 мотора. (0,246) ;

б) включены все моторы. (0,26) ;

в) выключены все моторы? (0,000064).

2. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь на линии 8 автомашин.

(0,9274).

3. Какова вероятность того, что объект будет поражен при пяти независимых выстрелах, если для этого необходимо не менее двух попаданий? Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. (0,472).

4. Учебник издан тиражом 20 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг. (0,036).

5. Среднее число покупателей, прибывающих в супермаркет за 1 мин, равно 4. Какова вероятность того, что за полминуты прибудет:

а) ровно два покупателя. (0,271) ;

б) менее двух покупателей. (0,406) ;

в) не менее двух покупателей? (0,594).

Практическое занятие № 7. Непрерывная случайная величина.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (–0,5; /2). (/2;

(2 – 8)/4; 0,5).

2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами m,. Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал (, ), если m = 20 ; = 5 ; = 15; = 25.

(0,6826).

3. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали:

а) больше 55 мм. (0,0823);

б) меньше 40 мм. (0,0027).

4. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 20 мм и математическим ожиданием m = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм. (0,41).

5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных. (92).

Практическое занятие № 8. Контрольная работа по теме «Теория вероятностей».

4 семестр. Занятия проводятся в компьютерном кабинете.

Практическое занятие № 1. Группировка статистических данных.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Дана 2-мерная выборка объема 100 в виде таблицы значений Х, У. Требуется с помощью приложения «Excel» сгруппировать данные выборки и составить корреляционную таблицу, позволяющую проверить гипотезу о нормальном распределении компонент Х, У.

Практическое занятие № 2. Построение несмещенных статистик.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Дана корреляционная для 2-мерной выборки Х, У объема n = 100. Требуется с помощью приложения «Excel» и метода произведений найти несмещенные статистики для компонент Х, У: выборочные средние, дисперсии, стандартные отклонения, асимметрии, эксцессы и 95-процентные доверительные интервалы для математических ожиданий компонент.

Практическое занятие № 3. Проверка гипотезы о нормальном распределении компонент двумерной выработки.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Даны статистики компонент Х, У. Требуется с помощью приложения «Excel» и критерия согласия Пирсона проверить гипотезы о нормальном распределении компонент при уровне значимости 0,05. Построить гистограммы частот компонент.

Практическое занятие № 4. Контрольная работа по теме «Выборочный метод».

Практическое занятие № 5. Определение уравнения парной регрессии.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Даны статистики компонент Х, У объема n = 100 и корреляционная таблица. Требуется с помощью приложения «Excel» найти выборочный коэффициент корреляции, уравнение линии регрессии и проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции компонент Х, У при уровне значимости 0,05. Построить на облаке данных линию регрессии.

Практическое занятие № 6. Определение уравнения множественной регрессии.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Требуется с помощью приложения «Excel» и статистической функции ЛИНЕЙН найти выборочное уравнение множественной корреляционной связи Х на Уi согласно протоколу наблюдений девятимерной выборки объема 100. Определить значимые переменные, проверив гипотезу об отсутствии корреляционной связи при уровне значимости 0,05; найти выборочное уравнение соответствующей корреляционной связи с помощью приложения «Excel» и статистической функции ТЕНДЕНЦИЯ найти расчетные значения согласно этой связи и, наконец, сравнить их с наблюдаемыми значениями.

Практическое занятие № 7. Однофакторный дисперсионный анализ.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Известны данные об урожайности сельскохозяйственной культуры за 6 лет при разных технологиях обработки почвы. Выясним на уровне значимости = 0,05, зависит ли урожайность сельскохозяйственной культуры от технологии обработки почвы. Если зависит, то найти коэффициент детерминации технологии.

Практическое занятие № 8. Двухфакторный дисперсионный анализ.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Выясним на уровне значимости = 0,05, зависят ли представленные данные объема n = 12 от фактора А с тремя уровнями mA = 3 и от фактора В с четырьмя уровнями mB = 4.

Практическое занятие № 9. Контрольная работа по теме «Дисперсионный и регрессионный анализ».

Практическое занятие № 10. Непараметрические критерии согласия.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Средний объем стока воды в реке фиксируется каждый месяц в течение двух лет. В табл. 1 приведены наблюдаемые объемы стока в фут3/сек.

Используя критерии Вальда – Вольфовица и Вилкоксона при уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу об отсутствии систематических изменений объема стока из года в год.

2. Произведено по 32 бросания пяти исследуемых монет и подсчитано количество к выпавших орлов Х = 0, 1, 2, 3, 4, 5 в каждом испытании. В табл. 2 приведены результаты.

Используя критерий Колмогорова – Смирнова, при уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что среди этих монет нет поддельных.

Практическое занятие № 11. Непараметрические критерии ранговой корреляции.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

В табл. 3 приведены ранги объектов Х, У.

Найти выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла, а также проверить гипотезу об отсутствии ранговой корреляции при уровне значимости = 0,05.

Практическое занятие № 12. Метод статистических испытаний.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

1. Смоделировать выборку 50 значений случайной величины Х, равномерно распределенной на промежутке [–5, 0]. Используя критерий Колмогорова – Смирнова, при уровне значимости = 0,05 проверить истинность этого распределения и построить гистограмму частот.

2. Смоделировать выборку 100 значений случайной величины X, распределенной нормально с параметрами (20, 10), проверив гипотезу о форме распределения.

3. Смоделировать выборку 45 значений случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами n = 40, р = 0,1. Используя критерий Колмогорова – Смирнова, при уровне значимости = 0, проверить гипотезу о форме распределения.

Практическое занятие № 13. Системы массового обслуживания с ожиданием и ограниченной очередью.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Задание № 1. На оптовую базу прибывают автомашины с промышленными товарами. Поток простейший и поступает с интенсивностью автомобилей в час. На территории базы могут одновременно находиться не более М машин. Имеющиеся на базе n бригад грузчиков разгружают одновременно все только одну машину. Среднее время разгрузки одной машины составляет tобс. Необходимо определить основные показатели системы массового обслуживания оптовой базы: относительную и абсолютную пропускную способность, среднее число машин на базе, среднюю длину очереди, среднее время пребывания машины на базе и среднее время ожидания обслуживания при следующих значениях исходных данных:

Задание № 2. Универсам получает ранние овощи и зелень из теплиц пригородного совхоза. Машины прибывают в универсам в неопределенное время. В среднем прибывает автомашин в день. Подсобное помещение и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обработать и хранить товар объемом не более М машин одновременно. В универсаме работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может обработать товар с одной машины в течении tобс дня. Определить вероятность обслуживания приходящей машины Pобс. Какова должна быть емкость подсобных помещений М1, чтобы вероятность обслуживания была бы не меньше заданной величины, т. е. Робс Р*обс ?

Практическое занятие № 14. Системы массового обслуживания с ожиданием и неограниченной очередью.

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Задание № 1. В магазин самообслуживания поступает пуассоновский поток покупателей с интенсивностью человек в минуту. Средняя продолжительность обслуживания на расчетном узле составляет tобс мин. Уровень суммарных потерь связан с простоем среднего числа свободных контролеров-кассиров nсв. и пребыванием среднего числа покупателей в очереди lоч. Построить график зависимости суммы среднего числа свободных контролеров-кассиров nсв и среднего числа покупателей в очереди lоч от числа контролеров-кассиров n, (lоч + nсв.) = f(n). Определить по нему оптимальное число контролеров-кассиров n0, при котором суммарные потери будут минимальными:

Задание № 2. В магазин самообслуживания поступает пуассоновский поток покупателей с интенсивностью человек в час. В течение дня их обслуживают n контролеров-кассиров с интенсивностью покупателей в час. Интенсивность входного потока покупателей в часы «пик» возрастает до величины max, а в часы «спада» достигает величины min. Определить вероятность образования очереди в магазине Роч и среднюю длину очереди lоч в течение дня, а затем необходимое число контролеров-кассиров в часы «пик» nmax и часы «спада» nmin, обеспечивающих такую же длину очереди lоч и вероятность ее образования Роч:

Задание № 3. Диспетчерский пункт приема неотложных медицинских вызовов по телефону 02 в гор.

Новокузнецке обслуживает поток заявок с интенсивностью 100 вызовов в час, причем каждый вызов обслуживается в среднем 30 секунд. Необходимо определить количество каналов обслуживания, при котором вероятность отказа меньше 5 %. Уровень потерь связан с простоем среднего числа операторов и средним количеством необслуженных вызовов в час. Определить оптимальное число операторов, при которых суммарные потери будут минимальными.

Практическое занятие № 15. Статическая модель управления запасов (случай выпуклой функции затрат).

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Найти оптимальную стратегию пополнения запасов для заданных в таблице далее величин штрафа за неудовлетворенный спрос, оптовой цены продукции с, накладных расходов К, стоимости хранения продукции h в случае, когда спрос является равномерно распределенной дискретной случайной величиной: q = 1,10 ; p(q) = 0,1.

Практическое занятие № 16. Статическая модель управления запасов (случай единовременного штрафа).

План работы.

1. Обсуждение вопросов для теоретической подготовки.

2. Демонстрационные примеры.

3. Задания для самостоятельного решения.

Найти оптимальную стратегию пополнения запасов в случае, когда спрос принимает два значения (см.

таблицу далее): q1, q2 с вероятностями p1 = p2 = 0,5, а затраты хранения равны нулю. В случае неединственности решения выбрать вариант с максимально возможным удовлетворением спроса.

Практическое занятие № 17. Контрольная работа по теме «Непараметрические методы и вероятностные модели в исследовании операций».

Тематика рефератов, эссе, контрольных и самостоятельных работ Примерные темы рефератов и эссе История развития понятия вероятности.

История преподавания курса «Теории вероятностей» в России.

Введение в «Кластерный анализ».

Введение в «Дискриминантный анализ».

Введение в «Причинный анализ».

Введение в «Факторный анализ».

Понятие о разведочном анализе.

Критерии согласия Колмогорова – Смирнова.

Введение в «Компонентный анализ».

Введение в «Логлинейный анализ».

Введение в «Многомерное шкалирование».

Введение в «Деревья классификации».

Введение в «Анализ соответствия».

Введение в «Методы добычи данных».

Введение в «Нейронные сети».

Введение во «Временные ряды».

Анализ данных по квартирам.

Анализ продаж на бензоколонках.

Анализ устойчивости банков.

Сегментация рынка недвижимости.

Примерные темы контрольных работ 1. Алгебра случайных событий.

2. теория вероятностей.

4. Дисперсионный и регрессионный анализ.

5. Непараметрические методы и вероятностные модели в исследовании операций.

3. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля) 1. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и прикладные задачи математической статистики: практикум / Г.Л. Линдин, НФИ Кем ГУ. – Новокузнецк, 2008. – 101 с.

2. Статистические методы анализа данных с применением компьютера: учеб. пособие. / Г.Л. Линдин, НФИ Кем ГУ. – Новокузнецк, 2010. – 123 с.

3. Вероятностные математические модели: учеб. пособие. / Г.Л. Линдин, НФИ Кем ГУ. – Новокузнецк, 2012. – 125 с.

4. Прикладная статистика и анализ данных: учеб. пособие. / Г.Л. Линдин, НФИ Кем ГУ. – Новокузнецк, 2013. – 162 с.

б) дополнительная литература:

1. Сидняев, Н.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Изд-во Юрайт ; ИД Юрайт, 2011. – 219 с.

2. Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов. – СПб.: Питер, 2003. 606 с.

3. Емельянов, Г.В. Задачник по теории вероятностей и математической статистике [Электронный ресурс]: Учебник / Г.В. Емельянов, В.П. Скитович – Электрон. текстовые дан. – Москва: Лань, 2007. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/141/ 4. Кибзун, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]. Базовый курс с примерами и задачами / А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов – Электрон. текстовые дан. – Москва: Лань, 2005. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/2198/ 5. Хрущева, И.В. Теория вероятностей [Электронный ресурс]: Учебник / И.В. Хрущева – Электрон.

текстовые дан. – Москва: Лань, 2009. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/425/ 6. Туганбаев, А.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: Учебник / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин – Электрон. текстовые дан. – Москва: Лань, 2011. – Режим доступа:

http://e.lanbook.com/view/book/652/ 7. Бородин, А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики [Электронный ресурс]: Учебник / А.Н. Бородин – Электрон. текстовые дан. – Москва: Лань, 2011. – Режим доступа:

http://e.lanbook.com/view/book/2026/ 8. Буре, В.М. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: Учебник / В.М. Буре, Е.М. Парилина – Электрон. текстовые дан. – Москва: Лань, 2013. – Режим доступа:

http://e.lanbook.com/view/book/10249/ 9. Горлач, Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: Учебник / Б.А. Горлач – Электрон. текстовые дан. – Москва: Лань, 2013. – Режим доступа:

http://e.lanbook.com/view/book/4864/ 10. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. – М.:

Высшее образование, 2005. – 479 с.

11. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учеб.пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 400 с.

4. Формы текущего, промежуточного и рубежного контроля 1. Формы и порядок проведения контроля. Критерии оценки знаний студентов Знания и умения студентов проверяются при текущем, промежуточном и рубежном контроле оцениваются на «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно» в соответствии с указаниями ГОС (по всем дисциплинам и практикам, включенным в учебный план высшего учебного заведения, должна выставляться итоговая оценка по шкале - отлично, хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно или зачтено, не зачтено).

«отлично» - выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений;

«хорошо» - выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач некоторые неточности;

«удовлетворительно» - выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, недостаточно правильные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, но при этом он владеет основными разделами учебной программы, необходимыми для дальнейшего обучения и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации;

«неудовлетворительно» - выставляется студенту, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубые ошибки в формулировках основных понятий дисциплины и не умеет использовать полученные знания при решении типовых практических задач.

Критерием оценки в межсессионную аттестацию 3-го семестра является выполнение аттестационной контрольной работы: решение задач комбинаторики, классическое определение вероятностей и теоремы сложения и умножения вероятностей.

Критерием оценки при защите семестровой работы «Теория вероятностей» является уровень проведенного исследования. Учитываются: обоснованность выбора модели исследования; описание полученных результатов; использование наглядных схем проведения испытаний.

Критерием оценки в межсессионную аттестацию 4-го семестра является выполнение первой контрольной работы: анализ распределения генеральных совокупностей и параметров распределения.

Критерием оценки на экзамене в 4 семестре является выполнение второй части контрольной работы: непараметрические методы, дисперсионный анализ, метод статистических испытаний.

Критерий оценки на экзамене складывается из следующих показателей:

- уровень усвоения теоретических знаний, показанный при ответе на вопросы по билету (применяются критерии, указанные выше);

- уровень практических навыков, контролируемый качеством выполнения расчетнографических работ.

Критерии оценки семестровой работы Критерием оценки при защите семестровой работы является уровень проведенного исследования, владения теоретическими и практическими знаниями. Учитываются: обоснованность выбора адекватного распределения; корректность формулировки математической модели; использование необходимых расчетных формул.

Оценка «отлично» ставится, если в проведенном исследовании:

1) при решении задачи подробно описана применяемая модель;

2) указаны используемые распределения случайных величин;

3) составлены схемы проведения испытаний и рассматриваемых событий;

4) построены графики плотностей распределения;

5) квалифицированно описаны полученные результаты.

Оценка «хорошо» ставится, если в перечисленных пунктах есть неточности или неверно выполнены п. 3, 4, или 5.

Оценка «удовлетворительно» ставится при невыполнении п. 1, 3, и 5.

2. График самостоятельной работы студентов.

Самостоятельная работа студентов включает:

- выполнение письменных домашних заданий;

- написание реферата с использованием сетевых информационных ресурсов;

- подготовка к контрольной работе;

- подготовка к компьютерному тестированию.

Аудиторная работа – 104 час.

за. Множественная регрессия 3. Вопросы и задания для индивидуальной и самостоятельной работы Вопросы для теоретической подготовки Тема 1. Элементы комбинаторики Сформулировать правило суммы и произведения.

Размещения с повторениями и без повторений. Привести примеры задач.

Перестановки с повторениями, ограничениями и без повторений.

Сочетания с повторениями и без повторений.

Раскладка элементов по ящикам. Раздел предметов на две группы.

Распределение одинаковых предметов на любое количество групп.

Тема 2. Случайное событие и его вероятность 1. Что называется случайным событием? Какое событие называется невозможным, достоверным?

2. Что называется исходом испытания? Какие исходы называются равновероятными?

3. Что называется вероятностью случайного события и как она определяется? Классическое определение вероятности.

4. Геометрическое определение случайного события и его вероятности.

5. Статистическое определение вероятности. Свойства.

Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей Какое событие называется суммой или произведением двух случайных событий?

Какие два события называются несовместными, противоположными, независимыми?

Теорема сложения двух несовместных событий и следствие.

Теорема умножения двух независимых событий и следствие.

Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий.

Теорема сложения двух совместных, зависимых событий и следствие.

Пространство элементарных событий и его свойства.

Тема 4. Формула полной вероятности и формула Байеса 1. Какие события называются попарно независимыми, независимыми в совокупности?

2. Полная группа событий. Условная вероятность и формула полной вероятности.

3. Априорная и апостериорная условная вероятность. Формула Байеса.

Тема 5. Дискретная случайная величина 1. Что называется дискретной случайной величиной (дсв) и ее рядом распределения?

2. Что называется биномиальным законом распределения и в каком случае он используется?

3. Как определяется закон распределения Пуассона? Наивероятнейшее число появлений события.

4. Что называется потоком случайных событий? Какой поток называется простейшим и какими свойствами обладает?

5. Что называется геометрическим и гипергеометрическим распределением, и в каком случае они используются?

Тема 6. Числовые характеристики дискретной случайной величины (дсв) 1. Математическое ожидание дсв, его вероятностный и механический смысл.

2. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание биномиального и пуассоновского распределения.

3. Дисперсия, ее вероятностный и механический смысл.

4. Свойства дисперсии. Дисперсия биномиального и пуассоновского распределения.

5. Среднее квадратическое отклонение и его свойства.

6. Числовые характеристики геометрического распределения.

7. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Тема 7. Непрерывная случайная величина и числовые характеристики 1. Чем отличается непрерывная случайная величина (нсв) от дискретной? Что называется функцией распределения нсв?

2. Свойства функции и плотности распределения нсв.

3. Формулы вычисления математического ожидания и дисперсии нсв.

4. Нормальный закон распределения, его параметры и вероятностный смысл.

5. Центральная предельная теорема Ляпунова.

6. Нормальная кривая и ее свойства.

7. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм.

8. Начальный и центральный момент к-го порядка.

9. Асимметрия и эксцесс, медиана и мода случайной величины.

Тема 8. Статистическая выборка и числовые характеристики случайной величины 1. Что называется простой выборкой из генеральной совокупности? Постановка задачи статистического оценивания. Какая оценка называется несмещенной, эффективной, состоятельной?

2. Как проводится группировка значений и строится статистическое распределение выборки, полигон и гистограмма частот?

3. Метод произведений расчета начальных и центральных моментов к-го порядка.

4. Статистические оценки: выборочная средняя, выборочная исправленная дисперсия, выборочная асимметрия и эксцесс, их свойства и отыскание с помощью ложного нуля.

5. Интервальная оценка для математического ожидания нормальной случайной величины. Точность и достоверность оценки в случае известной и неизвестной дисперсии.

Тема 9. Элементы теории корреляции 1. Какая зависимость называется корреляционной и чем она отличается от функциональной?

2. Компоненты двумерной случайной величины и их числовые характеристики: условные плотность и математическое ожидание.

3. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их вероятностный смысл и свойства.

4. Выборочное уравнение прямой линии регрессии и его числовые характеристики.

5. Выборочное уравнение нелинейной регрессии. Метод выравнивания зависимости.

Тема 10. Элементы теории статистических гипотез 1. Основная и альтернативная гипотеза. Статистический критерий и его критическая область. Виды критических областей.

2. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия.

3. Критерий согласия Пирсона проверки гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

4. Критерий Фишера-Снедекора проверки гипотезы о совпадении двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Условия применения критерия.

5. Критерий Стьюдента проверки гипотезы о совпадении двух математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей в случае известных и неизвестных, но равных дисперсий.

6. Критерий согласия Пирсона проверки гипотезы о независимости двух признаков с помощью таблицы сопряженности признаков.

7. Критерий Стьюдента проверки гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости между двумя нормальными генеральными совокупностями.

8. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ. Варианты проверки гипотез. Коэффициенты детерминации факторов.

Тема 11. Непараметрические критерии проверки гипотез 1. Какие статистические критерии наиболее чувствительны к нарушениям нормальности распределения ?

2. Какие статистические критерии называются робастными? Привести примеры робастных критериев проверки гипотез.

3. Критерий Вальда-Вольфовица. Медианный критерий.

4. Критерий Вилкоксона и связанные с ним критерии Манна-Уитни, Тьюки. Сравнительные мощности критериев.

5. Критерий Колмогорова-Смирнова. Зависимость от вида распределения генеральных совокупностей.

Тема 12. Двумерные непараметрические методы 1. Как анализируется зависимость между двумя генеральными совокупностями непараметрическими и свободными от распределения методами?

2. Как определяется выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверяется гипотеза об отсутствии ранговой корреляционной связи между двумя генеральными совокупностями?

3. В каком случае рассматривается выборочный коэффициент конкордации Кендалла, и как проверяется гипотеза об отсутствии согласованности между несколькими генеральными совокупностями?

4. Как определяется выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверяется гипотеза об отсутствии ранговой корреляционной связи между двумя генеральными совокупностями?

Задания для индивидуальной и самостоятельной работы по темам Примерные варианты заданий по теме «Выборочный метод»

1. Построить облако данных на плоскости Х, У и выполнить графически группировку наблюдений величин.

2. Составить корреляционную таблицу и вычислить выборочные средние, дисперсии, стандартные отклонения, асимметрии и эксцессы и 95-ти процентные доверительные интервалы для сгруппированных значений случайных величин Х, У с помощью метода произведений в приложении “Excel” (и пакета программ “ Статистика ”).

3. с помощью “Excel” (и пакета программ “ Статистика ”) построить гистограммы эмпирических частот и проверить гипотезу о нормальном распределении величин Х, У с уровнем значимости 0,05.

4. с помощью метода произведений в приложении “Excel” (и пакета программ “Статистика”) найти коэффициент корреляции для сгруппированных значений случайных величин Х, У и выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х, изобразить линию регрессии на облаке данных и проверить гипотезу об отсутствии корреляционной связи между величинами Х, У с уровнем значимости 0,05.

5. Найти в приложении “Excel” выборочное уравнение связи х = ay + bZ7 + cZ8 + dZ9 + e, сравнить эмпирические и расчетные значения функции х. Определить, какие независимые переменные этой связи являются значимыми с уровнем значимости 0,05, и найти выборочное уравнение только с этими переменными.

Примерные варианты задания по теме «Дисперсионный анализ»

Задание 1. Проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о влиянии рекламы на прибыль предприятия, предварительно проверив однородность дисперсий. Если тип рекламы влияет, то какая часть изменения прибыли обусловлена рекламой?

Задание 2. Проверить при уровне значимости 0,05 гипотезы о влиянии каждого фактора А, В. Определить коэффициенты детерминации факторов.

Примерные варианты задания по теме «Непараметрические методы»

Задание 1. Средний объем стока воды в реке фиксируется каждый месяц в течение двух лет. В табл.

приведены объемы стока в фут3/сек. Используя критерии Вальда – Вольфовица и Манна – Уитни при уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу об отсутствии систематических изменений объема стока из года в год.

Задание 2. Произведено по 32 бросания пяти исследуемых монет и подсчитано количество выпавших орлов Х = 0, 1, 2, 3, 4, 5 в каждом испытании. В таблице приведены результаты подсчетов. Используя критерий Колмогорова – Смирнова, при уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что среди этих монет нет поддельных.

Задание 3. В таблице приведены ранги объектов Х, У. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и Кендалла и при уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу об отсутствии ранговой корреляции.

Примерные варианты задания по теме «Метод статистических испытаний»

1. Смоделировать выборку 80 значений случайной величины X, имеющей равномерное распределение на промежутке [0, 4], проверив гипотезу о форме распределения.

2. Смоделировать выборку 100 значений случайной величины X, распределенной нормально с параметрами (20, 10), проверив гипотезу о форме распределения.

3. Смоделировать выборку 45 значений случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами n = 40, р = 0,1, проверив гипотезу о форме распределения.

4. Смоделировать выборку 35 значений случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами n = 20, р = 0,2, проверив гипотезу о форме распределения.

5. Смоделировать выборку 80 значений случайной величины X, имеющей равномерное распределение на промежутке [–3, 2], проверив гипотезу о форме распределения.

6. Смоделировать выборку 80 значений случайной величины X, имеющей равномерное распределение на промежутке [2, 4], проверив гипотезу о форме распределения.

7. Смоделировать выборку 100 значений случайной величины X, распределенной нормально с параметрами (20, 15), проверив гипотезу о форме распределения.

8. Смоделировать выборку 45 значений случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами n = 30, р = 0,1, проверив гипотезу о форме распределения.

Примерные варианты задания по теме «Системы массового обслуживания»

Задание № 1. На оптовую базу прибывают автомашины с промышленными товарами. Поток простейший и поступает с интенсивностью автомобилей в час. На территории базы могут одновременно находиться не более М машин. Имеющиеся на базе n бригад грузчиков разгружают одновременно все только одну машину. Среднее время разгрузки одной машины составляет tобс. Необходимо определить основные показатели системы массового обслуживания оптовой базы: относительную и абсолютную пропускную способность, среднее число машин на базе, среднюю длину очереди, среднее время пребывания машины на базе и среднее время ожидания обслуживания при следующих значениях исходных данных:

Задание № 2. Универсам получает ранние овощи и зелень из теплиц пригородного совхоза. Машины прибывают в универсам в неопределенное время. В среднем прибывает автомашин в день. Подсобное помещение и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обработать и хранить товар объемом не более М машин одновременно. В универсаме работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может обработать товар с одной машины в течении tобс дня. Определить вероятность обслуживания приходящей машины Pобс. Какова должна быть емкость подсобных помещений М1, чтобы вероятность обслуживания была бы не меньше заданной величины, т. е. Робс Р*обс ?

Задание № 3. В магазин самообслуживания поступает пуассоновский поток покупателей с интенсивностью человек в минуту. Средняя продолжительность обслуживания на расчетном узле составляет tобс мин. Уровень суммарных потерь связан с простоем среднего числа свободных контролеров-кассиров nсв. и пребыванием среднего числа покупателей в очереди lоч. Построить график зависимости суммы среднего числа свободных контролеров-кассиров nсв и среднего числа покупателей в очереди lоч от числа контролеров-кассиров n, (lоч + nсв.) = f(n). Определить по нему оптимальное число контролеров-кассиров n0, при котором суммарные потери будут минимальными:

Задание № 4. В магазин самообслуживания поступает пуассоновский поток покупателей с интенсивностью человек в час. В течение дня их обслуживают n контролеров-кассиров с интенсивностью покупателей в час. Интенсивность входного потока покупателей в часы «пик» возрастает до величины max, а в часы «спада» достигает величины min. Определить вероятность образования очереди в магазине Роч и среднюю длину очереди lоч в течение дня, а затем необходимое число контролеров-кассиров в часы «пик» nmax и часы «спада» nmin, обеспечивающих такую же длину очереди lоч и вероятность ее образования Роч:

Задание № 5. Диспетчерский пункт приема неотложных медицинских вызовов по телефону 02 в гор.

Новокузнецке обслуживает поток заявок с интенсивностью 100 вызовов в час, причем каждый вызов обслуживается в среднем 30 секунд. Необходимо определить количество каналов обслуживания, при котором вероятность отказа меньше 5 %. Уровень потерь связан с простоем среднего числа операторов и средним количеством необслуженных вызовов в час. Определить оптимальное число операторов, при которых суммарные потери будут минимальными.

Примерные варианты задания по теме «Статические модели управления запасами»

Задание № 1 (случай выпуклой функции затрат). Найти оптимальную стратегию пополнения запасов для заданных в таблице далее величин штрафа за неудовлетворенный спрос, оптовой цены продукции с, накладных расходов К, стоимости хранения продукции h в случае, когда спрос является равномерно распределенной дискретной случайной величиной: q = 1,10 ; p(q) = 0,1.

Задание № 2 (случай единовременного штрафа ). Найти оптимальную стратегию пополнения запасов в случае, когда спрос принимает два значения (см. таблицу далее): q1, q2 с вероятностями p1 = p2 = 0,5, а затраты хранения равны нулю. В случае неединственности решения выбрать вариант с максимально возможным удовлетворением спроса.

4. Примерный перечень вопросов к экзамену Тема 1. Аксиоматика теории вероятностей. Алгебра событий 1. Введение в предмет. История развития понятия вероятности и случайного события.

2. Элементы комбинаторики. Правило суммы и произведения. Формула включений и исключений. Перестановки с повторениями и без повторений. Размещения с повторениями и без повторений. Сочетания с повторениями и без повторений. Раскладка элементов по ящикам. Раздел элементов на две группы. Распределение одинаковых элементов на несколько групп. Перестановки с ограничениями. Задача о смещении.

3. Дискретное пространство элементарных событий. Испытание и его исходы. Полная группа событий.

Случайное и достоверное событие. Элементарные и равновероятные события. Классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое определение вероятности. Относительная частота события, ее устойчивость. Задача о сигнализаторе. Преимущества и недостатки определений. Измеримое множество и его свойства. Сигма-алгебра и вероятностное пространство. Общие свойства вероятности.

4. Противоположные, независимые события, попарно независимые и независимые в совокупности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, следствия. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий. Вероятность объединения двух и более зависимых событий, следствия.

5. Полная группа событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Априорная и апостериорная условная вероятности. Формула Байеса.

Тема 2. Дискретные случайные величины и их распределения. Закон больших чисел 6. Дискретная случайная величина (дсв) и ряд распределения. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Биномиальный закон распределения вероятностей. Распределение Пуассона. Поток случайных событий.

Простейший поток и его свойства, интенсивность и вероятность.

7. Геометрическое и гипергеометрическое распределение и числовые характеристики.

8. Интегральная и дифференциальная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

9. Числовые характеристики дсв: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, их свойства. Вероятностный и механический смысл математического ожидания и дисперсии. Числовые характеристики распределений вероятностей: биномиального, пуассоновского и геометрического. Наивероятнейшее число появлений события.

10. Среднее арифметическое системы независимых одинаково распределенных случайных величин и ее числовые характеристики.

11. Закон больших чисел: неравенство Чебышева, теорема Чебышева и Бернулли, следствие.

Тема 3. Непрерывные случайные величины и их распределения.

12. Непрерывная случайная величина (нсв) и функция распределения. Плотность распределения, ее свойства и вероятностный смысл. Числовые характеристики нсв, их свойства.

13. Нормальный закон распределения. Центральная предельная теорема Ляпунова. Нормальная кривая, ее свойства. Функция Лапласа, ее свойства.

14. Вероятность попадания нормально распределенной св в заданный интервал и вероятность заданного отклонения. Правило 3-х сигм.

15. Начальные и центральные моменты. Мода и медиана, асимметрия и эксцесс случайной величины.

16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение. Математическое ожидание.

17. Функция двух случайных аргументов и ее распределение. Устойчивость нормального распределения.

18. Распределение «хи-квадрат», Стьюдента, Фишера.

19. Показательное распределение. Вероятность попадания в заданный интервал. Функция надежности. Характеристическое свойство показательного закона надежности.

20. Двумерная дискретная случайная величина, ее числовые характеристики. Условные законы распределения составляющих. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Зависимые и независимые случайные величины.

21. Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник. Плотность совместного распределения вероятностей и ее вероятностный смысл. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Условная плотность распределения и условное математическое ожидание. Функция регрессии.

22. Нормальный закон распределения на плоскости. Линейная регрессия и корреляция. Нормальная корреляция.

Тема 4. Точечное и интервальное оценивание параметров распределений 23. Задача математической статистики. Краткая историческая справка.

24. Простая выборка. Метод сбора и группировки данных. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Кумулята. Полигон и гистограмма частот.

25. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки. Статистические оценки параметров распределения:

выборочная средняя и исправленная дисперсия, их свойства и расчет методом произведений. Построение нормальной кривой по опытным данным. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

26. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты. Условные эмпирические моменты. Метод произведений для вычисления сводных характеристик выборки.

27. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины при известном. Достоверность и точность оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестном.

28. Использование пакета программ «Статистика» для определения несмещенных статистик.

Тема 5. Проверка статистических гипотез 29. Основная и альтернативная гипотеза. Виды гипотез. Статистический критерий значимости, критическая область, ошибки 1-го и 2-го рода, уровень значимости и мощность критерия.

30. Отклонение выборочной средней от заданного значения с известной и неизвестной дисперсией. Исключение выбросов. Отклонение выборочной дисперсии от заданного значения.

31. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Критерий Фишера. Критическое значение в зависимости от альтернативной гипотезы.

32. Сравнение нескольких дисперсий нормальных распределений. Критерий Бартлетта.

33. Сравнение двух выборочных средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны и равны; не равны; неизвестны, но предполагаются равными. Практический смысл задачи.

34. Сравнение более двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы.

35. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции двумерной нормальной генеральной совокупности.

36. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона. Методика расчета теоретических частот для показательного, равномерного распределения, биномиального и пуассоновского распределения.

37. Проверка вероятностей, задающих полиномиальное распределение. Проверка независимости двух признаков по таблице сопряженности.

38. Методы проверки гипотез, свободные от распределения. Критерии, основанные на знаках. Критерий Вальда-Вольфовица. Серии знаков для проверки гипотезы о случайности выборки. Критерии Вилкоксона, Манна-Уитни, Тьюки, Колмогорова-Смирнова.

39. Использование пакета программ «Статистика» для проверки статистических гипотез. Многофакторный дисперсионный анализ.

Тема 6. Линейные статистические модели. Основы корреляционного и регрессионного анализа 40. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость между двумя случайными величинами.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Свойства. Методика расчета выборочного коэффициента корреляции.

41. Выборочное корреляционное отношение. Свойства. Выборочное корреляционное отношение как мера корреляционной связи. Достоинства и недостатки этой меры.

42. Ранговая корреляция Спирмена для двух выборок. Коэффициент конкордации Кендалла для нескольких выборок. Ранговая корреляция Кендалла.

43. Криволинейная корреляция. Метод выравнивания нелинейной корреляционной зависимости.

44. Понятие о множественной корреляции. Исследование множественной и нелинейной корреляции с помощью пакета программ «Статистика». Исследование ранговой корреляции и конкордации.

45. Метод статистических испытаний. Имитация выборок с помощью пакета программ «Статистика».

Тема 7. Случайные процессы. Приложение в исследовании операций.

46. Случайная функция. Корреляционная теория случайных функций. Математическое ожидание и дисперсия случайных функций. Свойства 47. Корреляционная функция случайной функции. Свойства. Взаимная корреляционная функция. Свойства.

48. Стационарная случайная функция. Корреляционная функция стационарной случайной функции. Свойства. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции.

49. Спектральная теория стационарной случайной функции. Дискретный и непрерывный спектр. Спектральная плотность.

50. Стохастические модели управления запасами. Основные факторы, учитываемые в модели. Модели с выпуклой или линейной функцией затрат. Теорема об оптимальной стратегии пополнения запасов. Случай единовременного штрафа.

5. Примерный перечень вариантов контрольных работ Примерные варианты заданий по теме «Комбинаторика»

1. В группе 25 студентов. Из них 20 студентов получили оценку «отлично» на экзамене по информатике, 13 – по алгебре и 6 – по математическому анализу. Сколько студентов не получили пятерки ни по одному из этих предметов, если 11 студентов получили пятерки по информатике и по алгебре, 5 – по информатике и математическому анализу, 4 – по алгебре и математическому анализу, а 3 – по всем трем предметам? Сколько студентов получили пятерку только по одному из этих предметов?

2. Сколькими способами можно расположить буквы слова перестановка так, чтобы не было рядом двух гласных букв?

3. Два человека А и В играют в следующую игру. А бросает монету. Если выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то монету бросает В. Если у В выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то снова бросает А и право хода переходит к В, если выпадет не герб. Игра продолжается, пока один из игроков не выиграет. Какова вероятность того, что победит А?

4. Какова вероятность того, что в группе из 40 человек хотя бы двое родились в один день, если днем рождения для каждого человека с равной вероятностью может быть любой из 365 дней?

1. В группе 22 студента. Из них 12 студентов получили оценку «отлично» на экзамене по информатике, 12 – по алгебре и 8 – по математическому анализу. Сколько студентов не получили пятерки ни по одному из этих предметов, если 7 студентов получили пятерки по информатике и по алгебре, 5 – по информатике и математическому анализу, 6 – по алгебре и математическому анализу, а 4 – по всем трем предметам? Сколько студентов получили пятерку только по одному из этих предметов?

2. Сколькими способами можно расположить буквы слова сочетание так, чтобы не было рядом двух гласных букв?

3. Два человека А и В играют в следующую игру. А бросает монету. Если выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то монету бросает В. Если у В выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то снова бросает А и право хода переходит к В, если выпадет не герб. Игра продолжается, пока один из игроков не выиграет. Какова вероятность того, что победит А?

4. Какова вероятность того, что в группе из 40 человек хотя бы двое родились в один день, если днем рождения для каждого человека с равной вероятностью может быть любой из 365 дней?

1. В группе 30 студентов. Из них 20 студентов получили оценку «отлично» на экзамене по информатике, 19 – по алгебре и 18 – по математическому анализу. Сколько студентов не получили пятерки ни по одному из этих предметов, если 14 студентов получили пятерки по информатике и по алгебре, 12 – по информатике и математическому анализу, 13 – по алгебре и математическому анализу, а 10 – по всем трем предметам? Сколько студентов получили пятерку только по одному из этих предметов?

2. Сколькими способами можно расположить буквы слова размещение так, чтобы не было рядом двух гласных букв?

3. Два человека А и В играют в следующую игру. А бросает монету. Если выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то монету бросает В. Если у В выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то снова бросает А и право хода переходит к В, если выпадет не герб. Игра продолжается, пока один из игроков не выиграет. Какова вероятность того, что победит А?

4. Какова вероятность того, что в группе из 40 человек хотя бы двое родились в один день, если днем рождения для каждого человека с равной вероятностью может быть любой из 365 дней?

1. В группе 29 студентов. Из них 16 студентов получили оценку «отлично» на экзамене по информатике, 17 – по алгебре и 18 – по математическому анализу. Сколько студентов не получили пятерки ни по одному из этих предметов, если 10 студентов получили пятерки по информатике и по алгебре, 10 – по информатике и математическому анализу, 10 – по алгебре и математическому анализу, а 5 – по всем трем предметам? Сколько студентов получили пятерку только по одному из этих предметов?

2. Сколькими способами можно расположить буквы слова включение так, чтобы не было рядом двух гласных букв?

3. Два человека А и В играют в следующую игру. А бросает монету. Если выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то монету бросает В. Если у В выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то снова бросает А и право хода переходит к В, если выпадет не герб. Игра продолжается, пока один из игроков не выиграет. Какова вероятность того, что победит А?

4. Какова вероятность того, что в группе из 40 человек хотя бы двое родились в один день, если днем рождения для каждого человека с равной вероятностью может быть любой из 365 дней?

1. В группе 20 студентов. Из них 6 студентов получили оценку «отлично» на экзамене по информатике, 6 – по алгебре и 8 – по математическому анализу. Сколько студентов не получили пятерки ни по одному из этих предметов, если 4 студента получили пятерки по информатике и по алгебре, 4 – по информатике и математическому анализу, 5 – по алгебре и математическому анализу, а 3 – по всем трем предметам?

Сколько студентов получили пятерку только по одному из этих предметов?

2. Сколькими способами можно расположить буквы слова исключение так, чтобы не было рядом двух гласных букв?

3. Два человека А и В играют в следующую игру. А бросает монету. Если выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то монету бросает В. Если у В выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то снова бросает А и право хода переходит к В, если выпадет не герб. Игра продолжается, пока один из игроков не выиграет. Какова вероятность того, что победит А?

4. Какова вероятность того, что в группе из 40 человек хотя бы двое родились в один день, если днем рождения для каждого человека с равной вероятностью может быть любой из 365 дней?

1. В группе 24 студента. Из них 7 студентов получили оценку «отлично» на экзамене по информатике, 8 – по алгебре и 9 – по математическому анализу. Сколько студентов не получили пятерки ни по одному из этих предметов, если 3 студента получили пятерки по информатике и по алгебре, 4 – по информатике и математическому анализу, 5 – по алгебре и математическому анализу, а 1 – по всем трем предметам?

Сколько студентов получили пятерку только по одному из этих предметов?

2. Сколькими способами можно расположить буквы слова ограничение так, чтобы не было рядом двух гласных букв?

3. Два человека А и В играют в следующую игру. А бросает монету. Если выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то монету бросает В. Если у В выпадет герб, то он выигрывает, а если нет, то снова бросает А и право хода переходит к В, если выпадет не герб. Игра продолжается, пока один из игроков не выиграет. Какова вероятность того, что победит А?

Какова вероятность того, что в группе из 40 человек хотя бы двое родились в один день, если днем рождения для каждого человека с равной вероятностью может быть любой из 365 дней?

Примерные варианты заданий по теме «Теория вероятностей»

1. Из 35 экзаменационных билетов, занумерованных с помощью целых чисел от 1 до 35, наудачу извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть число, кратное 3?

2. Вероятность того, что початки кукурузы имеют 12 рядов, равна 0.49, 14 рядов – 0.37, от 16 до 18 рядов – 0.14. Какова вероятность того, что наудачу выбранный початок будет иметь 12 или 14 рядов?

3. Имеются пять винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, без оптического прицела – 0,8. Найдите вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

4. Известно, что вероятность прорастания семян данной партии пшеницы 0,95. Сколько семян следует взять из этой партии, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100?

5. Вероятность попадания в мишень 0,3. Какова вероятность того, что при 84 выстрелах произойдт 21 попадание?

6. В коробке 7 карандашей, из которых 4 карандаша синие. Наудачу извлекают 3 карандаша. Какой закон распределения вероятностей имеет случайная величина, означающая число извлечнных синих карандашей. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

7. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1).

8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределнной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность.

6. Контрольно-измерительные материалы Материалы, определяющие порядок и содержание проведения промежуточных и итоговых аттестаций, соответствуют требованиям ГОС, приказам, распоряжениям и рекомендациям МО РФ, учебно-методического управления КемГУ и учебно-методического отдела НФИ КемГУ.

Материалы, определяющие порядок и содержание промежуточной и итоговой аттестаций, включают:

1. График самостоятельной работы, определяющий сроки и форму текущих и промежуточных аттестаций.

2. Расписание экзаменов, определяющее сроки итоговой аттестации.

3. Материалы, определяющие содержание аттестации, включающие:

Вопросы на экзамен.

Задания на аудиторные контрольные работы по блокам тем в семестре.

Домашние задания для индивидуальной и самостоятельной работы по темам.

4. Материалы для проведения самой аттестации, включающие:

Фонд тестовых заданий по блокам тем и по дисциплине в целом (в бумажном и электронном виде).

Экзаменационные билеты на экзамен.