Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области

«Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

(университет «Дубна»)

Институт системного анализа и управления

Кафедра системного анализа и управления

УТВЕРЖДАЮ

проректор по учебной работе С.В. Моржухина «_»_20 г.

Программа дисциплины Функциональный анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 220100 Системный анализ и управление Магистерская программа «Системный анализ проектно-технологических решений»

Квалификация (степень) выпускника Магистр Форма обучения Очная г. Дубна, Автор программы: профессор кафедры САУ, с.н.с., д.ф.-м.н. Никонов Эдуард Германович _ (подпись) Программа составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и ПрООП ВПО по направлению подготовки 220100 «Системный анализ и управление», магистерская программа: «Системный анализ проектно-технологических решений»

Программа рассмотрена на заседании кафедры системного анализа и управления (название кафедры) Протокол заседания № _ от «» 20 г.

Заведующий кафедрой, профессор_ / Е.Н. Черемисина / (ученое звание) (подпись) (фамилия, имя, отчество) «» _ 20 г.

СОГЛАСОВАНО

Заведующий выпускающей кафедрой, профессор_ /Е.Н. Черемисина / (ученое звание) (подпись) (ФИО) «» _ 20 г.

И.о. директора института, профессор_ / Е.Н. Черемисина / (ученое звание, степень) (подпись) «» _ 20 г.

Рецензент: _ (ученая степень, ученое звание, Ф.И.О., место работы, должность) «» _ 20 г.

Руководитель библиотечной системы _ / В.Г. Черепанова/ (подпись) (ФИО) «» _ 20 г.

Оглавление 1. Цель освоения дисциплины

2. Место дисциплины в структуре ООП магистратуры

3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины

4. Объем дисциплины и виды учебной работы (час):

4.1 Структура преподавания дисциплины

4.2 Содержание разделов дисциплины

5. Образовательные технологии

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

1. Цель освоения дисциплины Современный специалист в области системного анализа и управления обязан иметь фундаментальную математическую подготовку, владеть различными математическими методами, уметь использовать математические методы, в частности методы прикладного функционального анализа в своей повседневной деятельности. Использование методов функционального анализа при решении задач управления сложными техническими и социальными объектами и системами позволит специалисту в области системного анализа проектно-технологических решений выйти на современный уровень решения актуальных производственных и научных задач, быть в высокой степени востребованным на рынке труда, имея при этом реальные конкурентные преимущества в среде специалистов в области информационных технологий.

Функциональный анализ – это дисциплина, объединяющая знания в различных областях, связанных с задачами системного анализа и управления сложными социальными и техническими системами.

Дать студентам теоретические знания основ функционального анализа в контексте решения прикладных задач системного анализа и управления сложными системами.

Выработать и развить практические умения и навыки использования методов функционального анализа при решении задач управления сложными техническими и социальными объектами и системами, что позволит специалисту в области системного анализа и управления выйти на современный уровень решения актуальных производственных и научных задач, быть в высокой степени востребованным на рынке труда, имея при этом реальные конкурентные преимущества в среде специалистов в области информационных технологий.

Задачи дисциплины:

Дисциплина должна обеспечить освоение методов функционального анализа и их применение при решении задач системного анализа и управления.

В результате освоения курса должны:

– изучить методы функционального анализа ;

– познакомиться с применением методов функционального анализа при решений задач управления сложными системами;

– овладеть в комплексе научно-методическим аппаратом функционального анализа при решении задач управления.

2. Место дисциплины в структуре ООП магистратуры Дисциплина «Функциональный анализ» относится к разделу «Базовая часть»

(М1.Б), учебного цикла М1 «Общенаучный цикл» учебного плана ООП подготовки магистров по направлению 220100.68 «Системный анализ и управление», магистерская программа "Системный анализ проектно-технологических решений". Дисциплина преподается в 1 семестре.

Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для изучения дисциплины «Функциональный анализ».

Математика.

Математические методы системного анализа и теории принятия решений.

Системный анализ и принятие решений.

Формы работы студентов в ходе изучения дисциплины предусмотрены лекционные, семинарские занятия, лабораторные работы, написание реферата, выполнение расчетнографической работы, выполнение проекта по индивидуальному заданию (выбрать нужное) Самостоятельная работа студентов, предусмотренная учебным планом выполняется в ходе семестра в форме проектов по индивидуальному заданию Отдельные темы теоретического курса прорабатываются студентами самостоятельно в соответствии с планом самостоятельной работы и конкретными заданиями преподавателя с учетом индивидуальных особенностей студентов.

Виды текущего контроля – защита лабораторных работ, защита результатов выполнения расчетно-графической работы, защита реферата, устный опрос.

Форма итогового контроля экзамен 3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студенты должны иметь общее представление о роли и месте методов функционального анализа в современном мире, общности и уровне абстрагирования понятий и представлений функционального анализа в контексте применения для решения прикладных задач системного анализа и управления.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Функциональный анализ».

ОК-1 - способность совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и общекультурный уровень.

ОК-2 - способность к самостоятельному обучению новым методам исследования, к изменению научного и научно-производственного профиля своей профессиональной деятельности.

ОК-6 - способность применять в практической деятельности новые знания и умения, в том числе в новых областях знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности.

ПК-1 - способность вскрыть математическую, естественнонаучную и техническую сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, провести их качественно-количественный анализ.

ПК-4 - способность оформить, представить и доложить результаты выполненной работы.

Знание:

Результат обучения Компетенция Образовательная техно- Вид контроля анализа сложных систем парата при изучении линейных операторов, в теории квадратичных форм, при нахождении приближенных решений уравнений управления методов функционального анализа умения:

Результат обучения компетенция Образовательная тех- Вид контроля следования сложных систем нального анализа в теории линейных пространств, эвклидовых пространств, метрических пространств и линейных операторов применение:

ного анализа, в сфере исследования и разработки сложных систем и прогнозирования их поведения в функции времени владение:

исследовании сложных систем анализ:

использованием функционального анализа Оценка решений 4. Объем дисциплины и виды учебной работы (час):

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов, из них 51 час аудиторной нагрузки.

Общая трудоемкость Аудиторные занятия:

Практические занятия (ПЗ) Самостоятельная работа:

Расчетно-графические работы Вид итогового контроля 4.1 Структура преподавания дисциплины странства.

странства.

ры и собственные Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов.

Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. Элементы теории метрических пространств.

Применение методов функционального анализа в задачах управления 4.2 Содержание разделов дисциплины 1. Линейные пространства.

2. Евклидовы пространства.

3. Линейные операторы.

4. Преобразование координат.

5. Собственные векторы и собственные числа.

6. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов.

7. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.

8. Элементы теории метрических пространств.

9. Применение методов функционального анализа в задачах управления.

5. Образовательные технологии В учебном процессе, помимо чтения лекций, которые составляют 20% аудиторных занятий, широко используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины, защита расчетно-графической работы). В сочетании с внеаудиторной работой это способствует формированию и развитию профессиональных навыков обучающихся.

Перечень обязательных видов работы студента:

посещение лекционных занятий;

ответы на теоретические вопросы на семинаре;

решение практических задач и заданий на семинаре;

допуск к лабораторным работам;

выполнение лабораторных работ;

защита лабораторных работ;

Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях При изучении теоретического курса на лекциях предусматривается заложение материала в виде презентации. Отдельные лекции излагаются по проблемной технологии.

Некоторые разделы теоретического курса изучаются с использованием опережающей самостоятельной работы: студенты получают задания на ознакомление с новым материалом до его изложения на лекциях.

Лабораторный практикум Принцип сжимающих отображений Семинарские занятия призваны закрепить теоретические знания студентов и познакомить их с методами решения конкретных задач, возникающих при практическом приложении химических знаний.

Список семинаров С11 Несовместные системы линейных уравнений и метод 11.

наименьших квадратов.

С12 Несовместные системы линейных уравнений и метод 12.

наименьших квадратов.

С13 Квадратичные формы и их приведение к каноническому 13.

виду. Элементы теории метрических пространств.

С14 Квадратичные формы и их приведение к каноническому 14.

виду. Элементы теории метрических пространств.

С15 Применение методов функционального анализа в задачах 15.

С16 Применение методов функционального анализа в задачах 16.

С17 Применение методов функционального анализа в задачах 17.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов Для обобщающей аттестации студентов выполняются письменные контрольные работы по основным разделам (модулям) дисциплины.

Организация самостоятельной работы.

Самостоятельная работа студентов предполагается в виде:

• изучения отдельных вопросов тематического плана дисциплины;

• подготовка рефератов по проблемным задачам предмета с привлечением знаний, полученных из теоретического лекционного курса и рекомендованной учебной литературы;

• подготовка к практическим занятиям и лабораторным работам;

• подготовка к экзамену Вопросы к экзамену (зачету) по дисциплине «Функциональный анализ»

1. Какое множество называется линейным пространством?

2. Какие условия налагаются на операции сложения и умножения на число в линейном пространстве?

3. В каком случае линейное пространство называется вещественным, а в каком комплексным?

4. Какими свойствами характеризуется линейное пространство?

5. Приведите примеры линейных пространств.

6. Что такое линейная комбинация векторов в линейном пространстве?

7. В каком случае вектора линейного пространства называются линейно зависимыми?

8. Приведите примеры линейно зависимых элементов линейного пространства, элементами которого являются многочлены Pn(x) от одной переменной x.

9. Какая система векторов линейного пространства называется базисом?

10. Чем определяется размерность линейного пространства?

11. Что называется подпространством линейного пространства?

12. Какие примеры подпространств линейного пространства вы знаете?

13. Как определяется скалярное произведение векторов линейного пространства?

14. Какое линейное пространство называется евклидовым?

15. Какие примеры евклидовых пространств вы знаете?

16. Как определяется длинна вектора в евклидовом пространстве?

17. Какое неравенство имеет место для скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве?

18. Какое неравенство для произвольных векторов выполняется в евклидовом пространстве?

19. Когда векторы линейного пространства ортогональны?

20. Какой базис евклидова пространства называется ортогональным?

21. Какой базис евклидова пространства называется ортонормированным?

22. Во всяком ли евклидовом пространстве имеются ортонормированные базисы?

23. Что называется оператором линейного пространства, действующим из одного непустого множества в другое непустое множество?

24. Что называется областью определения оператора линейного пространства?

25. Что называется прообразом элемента?

26. Что называется областью значений оператора линейного пространства?

27. При каком условии оператор линейного пространства называется взаимнооднозначным?

28. При каких условиях оператор линейного пространства называется линейным?

29. Как определяется матрица линейного оператора линейного пространства?

30. Приведите примеры линейных операторов линейного пространства.

31. Какой оператор называется суммой линейных операторов?

32. Какой оператор называется произведением линейного оператора на число?

33. Какой оператор называется произведением двух линейных операторов?

34. Какой оператор линейного пространства называется сопряжённым по отношению к другому оператору линейного пространства?

35. Какой линейный оператор называется самосопряжённым (или Эрмитовым)?

36. Как происходит замена базиса в линейном пространстве?

37. Что такое ортогональное преобразование в евклидовом пространстве?

38. Что происходит с длинами векторов и углами между ними при ортогональном преобразовании в евклидовом пространстве?

39. Как вычисляется матрица линейного оператора при изменении базиса?

40. Какое подпространство линейного пространства называется инвариантным относительно линейного оператора?

41. При каком условии вектор инвариантного подпространства оператора будет являться собственным вектором этого оператора?

42. Как выглядит характеристическое уравнение оператора?

43. Как вычисляются собственные вектора и собственные числа оператора в конечномерном пространстве?

44. Каким свойством обладает матрица линейного оператора, характеристическое уравнение которого имеет n различных вещественных корней?

45. При выполнении какого условия, оператор называется симметричным?

46. Каким свойством обладают собственные векторы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям?

47. Сколько взаимно ортогональных собственных векторов имеет симметричный оператор в n мерном евклидовом пространстве?

48. Какой вектор называется проекцией вектора на подпространство евклидова пространства?

49. Какой вектор называется перпендикуляром к проекции вектора на подпространство евклидова пространства?

50. В чём суть метода наименьших квадратов?

51. Какая функция называется билинейной (или билинейной формой)?

52. Какая матрица называется матрицей билинейной формы в линейном пространстве?

53. Какое равенство должно выполняться для того, чтобы билинейная форма являлась симметричной?

54. Что называется квадратичной формой в линейном пространстве?

55. Какую последовательность действий необходимо произвести для приведения квадратичной формы к диагональному виду?

56. По какой формуле осуществляется переход от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы?

57. Как привести квадратичную форму к каноническому виду?

58. Всегда ли имеет решение задача приведения к каноническому виду двух квадратичных форм, заданных в n мерном пространстве?

59. Применение квадратичных форм при анализе малых колебаний механических систем?

60. Что называется метрическим пространством?

61. Приведите примеры метрических пространств?

62. Что называется замкнутым шаром метрического пространства?

63. Что называется открытым шаром метрического пространства?

64. Что называется предельной точкой множества метрического пространства?

65. Что называется изолированной точкой множества метрического пространства?

66. Сформулируйте необходимое и достаточное условие для точки прикосновения множества метрического пространства.

67. При каком условии множество метрического пространства является замкнутым?

68. При каком условии последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной?

69. Какое метрическое пространство называется полным?

70. Какое отображение называется сжимающим?

71. В чём сущность принципа сжимающих отображений?

72. В чём сущность метода итераций (метода последовательных приближений)?

73. Приведите пример применения оператора сжатия.

74. Приведите пример применения методов функционального анализа в вариационном исчислении.

75.Как решается задача о наименьшей поверхности вращения при помощи функционального анализа?

Пример экзаменационного билета Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Направление: Системный анализ и управление Программа: Системный анализ проектно-технологических решений Дисциплина: Функциональный анализ 1. Метрические пространства.

2. Применение квадратичных форм при анализе малых колебаний.

Зав. Кафедрой САУ ---------------------------------------------------------------------------------------------------Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Рекомендуемая литература Основная:

1 Афанасьева О.В., Потапенко А.А. Функциональный анализ в задачах управления:

Учеб. пособие. – СПб: СЗТУ, 2005.

2 Колмогоров А.Н., Фомин С.В Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, Дополнительная:

1. Новиков Д. А. Теория управления организационными системами. 2-е изд. — М.:

Физматлит, 2007.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины Лекционная аудитория с презентационным оборудованием. Классы для семинарских занятий, оборудованных интерактивными досками.