WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Теория вероятностей и математическая статистика

Программа курса лекций и план семинарских занятий

для студентов факультета информационных технологий

Лектор - профессор В. И. Лотов

I. Теория вероятностей

1. Дискретное пространство элементарных исходов. События, операции над ними.

Вероятность и ее свойства. Классическое определение вероятности.

2. Элементы комбинаторики. Выборки с возвращением и без возвращения. Размещение частиц по ячейкам. Гипергеометрическое распределение.

3. Континуальные вероятностные пространства, примеры. Геометрические вероятности. Задача о встрече.

4. Понятие о вероятностном пространстве общего вида. Аксиоматическое задание вероятности, основные свойства вероятности.

5. Независимые события. Схема Бернулли.

6. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

7. Случайные величины. Функции распределения и их свойства.

8. Типы распределений: дискретный, абсолютно непрерывный, смешанный.

9. Основные семейства распределений.

10. Многомерные распределения и плотности, их основные свойства, примеры.

11. Независимые случайные величины. Функции случайных величин. Линейные преобразования случайных величин, применения к гауссовским распределениям.

12. Плотность суммы случайных величин. Распределение суммы случайных величин, имеющих а) распределение Пуассона; б) гамма–распределение; в) нормальное распределение.

13. Математическое ожидание случайной величины и его свойства, примеры.

14. Моменты, вопросы их существования. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Примеры.

15. Коэффициент корреляции и его свойства.

16. Матрица ковариаций. Многомерное нормальное распределение и его свойства.

17. Сходимость по вероятности, ее свойства.

18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.

19. Центральная предельная теорема, ее следствия. Теорема Муавра–Лапласа.

Примеры применения.

20. Приближение Пуассона для биномиального распределения.

II. Математическая статистика.

21. Предмет и задачи математической статистики. Понятие выборки. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко–Кантелли. Гистограмма и полигон частот.

22. Задача оценивания неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность оценок. Выборочные моменты и их свойства.

23. Метод моментов, примеры. Состоятельность оценок, полученных методом моментов.

24. Метод максимального правдоподобия, примеры.

25. Сравнение оценок. Понятие эффективной оценки.

26. Распределения, связанные с нормальным (хи–квадрат, Стьюдента, Фишера).

27. Лемма Фишера. Теорема а свойствах выборочного среднего и выборочной дисперсии для выборок из нормальной совокупности.

28. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.

29. Построение доверительных интервалов с помощью центральной предельной теоремы.

30. Проверка гипотез, основные понятия. Критерии согласия Колмогорова, хиквадрат. Построение критерия с помощью доверительного интервала.

31. Проверка гипотез в случае нескольких выборок. Критерий Колмогорова–Смирнова однородности двух выборок. Проверка гипотез о совпадении параметров двух нормальных совокупностей.

32. Задачи линейной регрессии. Метод наименьших квадратов. Доверительные интервалы и проверка гипотез для коэффициентов простой регрессии.

33. Дисперсионный анализ: однофакторная модель.

Литература 1. Лотов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций.

НГУ, 2006, 128 с.

2. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982, 256 с.

3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988, 448 с.

4. А.Н.Бородин. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. Изд-во "Лань Санкт-Петербург, 1999, 224 с.

5. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., 1965, 512 с.

6. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., 1965.

План семинарских занятий 1. Комбинаторика. Классическое определение вероятностей (3 часа) 2. Геометрические вероятности (1 час) 3. Независимые события. Схема Бернулли (2 часа) 4. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса (2 часа) 5. Распределения случайных величин. Преобразования случайных величин (4 часа) 6. Числовые характеристики случайных величин (5 часов) 7. Предельные теоремы (3 часа) 8. Коллоквиум по теории вероятностей 9. Оценивание неизвестных параметров (4 часа) 10. Контрольная работа 11. Интервальное оценивание (2 часа) 12. Проверка статистических гипотез (4 часа) 13. Сдача расчетных заданий Задачи по теории вероятностей 1. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т.



Какова вероятность, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово “математика”?

2. n книг произвольным образом расставляются на книжной полке. Какова вероятность, что две фиксированные книги окажутся стоящими рядом?

3. У человека в кармане n ключей, из которых только один подходит к его двери.

Ключи последовательно извлекаются (без возвращения) до тех пор, пока не появится нужный ключ. Найти вероятность того, что нужный ключ появится при k-м извлечении.

4. Числа 1, 2,..., n расставлены случайным образом. Предполагая, что различные расположения чисел равновероятны, найти вероятность того, что числа 1, 2, 3 расположены в порядке возрастания, но не обязательно рядом.

5. Из колоды, насчитывающей 36 карт, наугад извлекаются 6 карт. Какова вероятность, что:

a) среди них окажется туз пик;

b) среди них окажется ровно один туз;

c) среди них окажутся ровно две бубновые карты;

d) среди них окажется хотя бы одна бубновая карта?

6. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Некто приобретает k билетов.

Найти вероятность того, что хотя бы один билет окажется выигрышным.

7. В зрительном зале кинотеатра 500 мест. Какова вероятность, что при произвольном размещении в зале 490 зрителей пустыми останутся 10 первых мест второго ряда?

8. Из колоды, насчитывающей 52 карты, наугад извлекают 6 карт. Какова вероятность, что среди них будут представители всех четырех мастей?

9. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже входят 5 человек. Независимо от других каждый может выйти с равными шансами на любом этаже, начиная со второго. Какова вероятность, что а) все выйдут на четвертом этаже; б) все пятеро выйдут на одном и том же этаже; в) все пятеро выйдут на разных этажах?

10. Из чисел 1, 2,..., 49 наугад выбираются и фиксируются 6 чисел, считающиеся выигрышными. Некто, желающий выиграть, наугад называет свои 6 чисел из 49.

Какова вероятность, что среди названных им чисел окажется не менее трех выигрышных?

11. На шахматную доску из 64 клеток ставятся наудачу две ладьи разного цвета.

С какой вероятностью они не будут “бить” друг друга?

12. Группа, состоящая из 2n девушек и 2n юношей, делится произвольным образом на две равные по количеству подгруппы. Найти вероятность того, что в каждой подгруппе окажется поровну юношей и девушек.

13. Группа, состоящая из 3n юношей и 3 девушек, делится произвольным образом на три равные по количеству подгруппы. Какова вероятность, что все девушки окажутся в разных подгруппах?

14. n студентов произвольным образом расходятся по k аудиториям. Какова вероятность, что в первой аудитории окажется n1 студентов, во второй - n2 студентов,..., в k-й аудитории - nk студентов, n1 +... + nk = n?

15. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов.

Найти вероятность того, что занятыми оказались только два купе.

16. n различных шаров произвольным образом раскладываются по n ящикам.

Какова вероятность, что при этом ровно один ящик окажется пустым?

17. В чулане находятся n пар ботинок, все пары разных фасонов. Наугад в темноте выбирают m ботинок. Какова вероятность, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные?

18. Отрезок длины l ломается в произвольной точке. Какова вероятность, что длина наибольшего обломка превосходит 2l/3?

19. В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) наудачу брошена точка. Обозначим X, Y ее координаты. Предполагается, что вероятность попадания в область, лежащую целиком внутри квадрата, зависит лишь от площади этой области и пропорциональна ей.

1) Доказать, что для 0 < u, v < 2) найти для 0 < z < 3) найти P (X + Y < z) для 0 < z < 2.

20. На отрезок длины l произвольным образом брошены три точки. Пусть X, Y, Zрасстояния до этих точек от левого конца отрезка. Какова вероятность, что из отрезков с длинами X, Y и Z можно составить треугольник?

21. На отрезок единичной длины произвольным образом брошены две точки, которые делят отрезок на три части. Какова вероятность, что из этих частей можно составить треугольник?

22. Из отрезка [0,1] наугад выбирается число. Какова вероятность, что в десятичной записи этого числа вторая цифра после запятой будет двойкой?

23. Пусть событие A не зависит от самого себя. Доказать, что тогда P (A) равно 0 или 1.

24. Пусть e1 и e2 равны соответственно первым двум цифрам после запятой в задаче 22. Доказать, что события {e1 = 3} и {e2 = 5} независимы.

25. Стрелок A поражает мишень с вероятностью 0.6, стрелок B с вероятностью 0.5, стрелок C с вероятностью 0.4. Стрелки дали залп по мишени. Какова вероятность, что ровно две пули попали в цель?

26. События A1,..., An независимы, известны вероятности pi = P (Ai ), i = 1,..., n.

Найти вероятность того, что:

a) произойдет ровно одно из Ai ;

b) не произойдет ни одно из Ai ;

c) произойдет хотя бы одно из Ai.

27. Двое играют в игру, поочередно бросая монету. Выигравшим считается тот, кто первым получит герб. Найти вероятность того, что игра закончится на k-м бросании. Какова вероятность выигрыша для игрока, начинающего игру?

28. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или партий из 8?

29. 10 любителей подледного лова рыбы независимо друг от друга произвольным образом размещаются на льду озера, имеющего форму круга радиуса 1 км. Какова вероятность того, что не менее 5 рыбаков расположатся на расстоянии более 200 м от берега?

30. В шар радиуса R наудачу бросаются n точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки будет не меньше a, 0 < a < R.

31. Шахматисты A и B решили сыграть между собой матч. Известно, что A выигрывает каждую партию у B с вероятностью 2/3 и с вероятностью 1/3 проигрывает.

В связи с этим для победы в матче A ему нужно набрать 4 очка, а B для победы достаточно набрать 2 очка (за выигрыш в партии дается очко, за проигрыш - 0 очков, ничьих нет). Равны ли шансы на успех?

32. Найти вероятность того, что k-й по порядку успех в серии последовательных испытаний Бернулли произойдет на l-м испытании.

33. Найти вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p появятся m+l успехов, причем l успехов появятся в последних l испытаниях.

34. На отрезок [0,10] наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что две точки попадут в [0,2], одна - в [2,3] и две - в [3,10].

35. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 точек, брошенных наудачу в круг, четыре попадут в квадрат, три - в нижний сегмент и по одной - в оставшиеся три сегмента.

36. Пусть в условиях задачи 25 известно, что две пули из трех попали в цель.

Какова вероятность, что промахнулся C?

37. Чтобы найти нужную книгу, студент решил обойти 3 библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в фондах эта книга или нет, и если книга есть в фондах, то с вероятностью 0.5 она не занята другим читателем. Какова вероятность того, что студент найдет книгу, если известно, что библиотеки комплектуются независимо одна от другой?

38. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложены 2 вытянутых наудачу шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть из второй урны белый шар.

39. Из n экзаменационных билетов студент знает m, поэтому, если он зайдет первым на экзамен, то с вероятностью m/n он вытащит “хороший” билет. Какова вероятность вытащить “хороший” билет, если студент зайдет на экзамен вторым?

40. Некоторое насекомое с вероятностью e откладывает k яиц, где k = 0, 1, 2,..., а число положительно. Вероятность развития потомка из яйца равна p. Какова вероятность того, что у насекомого будет ровно m потомков?

41. Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p, а вероятность поражения цели при k попаданиях равна 1 q k. Какова вероятность того, что цель поражена, если было произведено n выстрелов?

42. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго - 10% и третьего - 5%.

Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго и 50% -с третьего?

43. Известно, что 34% людей имеют первую группу крови, 37% - вторую, 21% - третью и 8% - четвертую. Больному с первой группой можно переливать только кровь первой группы, со второй - кровь первой и второй групп, с третьей - кровь первой и третьей групп, и человеку с четвертой группой можно переливать кровь любой группы. Какова вероятность, что произвольно взятому больному можно перелить кровь произвольно выбранного донора?

44. Предположим, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин - дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.

45. В условиях задачи 40 у насекомого развилось 10 потомков. Какова вероятность, что при этом было отложено 20 яиц?

46. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв:

AAAA, BBBB, CCCC, причем делается это с вероятностями 0.3, 0.4 и 0.3 соответственно. Известно, что действие шумов на приемное устройство уменьшает вероятность правильного приема каждой из переданных букв до 0.6, а вероятность приема каждой переданной буквы за две другие равны 0.2 и 0.2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что была передана последовательность AAAA, если на приемном устройстве получено ABCA.

47. Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Построить график функции распределения суммарного выигрыша игрока после двух бросаний монеты.

48. Построить график функции распределения числа испытаний Бернулли, производимых до появления первого успеха включительно.

49. Выразить через функцию распределения случайной величины X вероятности следующих событий: P (a < X < b), P (a X < b), 50. Могут ли функции быть плотностями распределения?

51. Каким свойством должна обладать функция распределения случайной величины X, чтобы X и X были одинаково распределены?

52. Плотность распределения случайной величины задается формулой Найти C.

53. Плотность -распределения с параметрами, n равна при y > 0 и f (y) = 0 при y 0. Найти соответствующую ей функцию распределения.

54. Какова вероятность того, что случайная величина принимает целочисленное значение, если известно, что она имеет нормальное распределение?

55. На отрезок длины l произвольным образом бросаются две точки. Найти функцию распределения расстояния между ними.

56. В круг радиуса R наугад бросается точка. Найти:

a) функцию распределения и плотность распределения расстояния этой точки до центра круга;

b) совместную функцию распределения полярных координат точки.

57. Дискретное совместное распределение случайного вектора (X, Y ) задается таблицей:

Найти а) одномерные законы распределения X и Y ; б) закон распределения X +Y ;

в) закон распределения Z = Y 2.

58. Случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение. Найти функции распределения и плотности случайных величин Y1 = |X|, Y2 = X 2, Y3 = sin X.

59. В условиях предыдущей задачи найти функцию распределения случайной величины max ( 0, X).

60. Случайная величина X имеет равномерное распределение на [0,1]. Найти функции распределения и плотности случайных величин Y1 = ln X, Y2 = 2X + 1.

61. Случайная величина X имеет равномерное распределение на [0, ]. Найти функцию распределения и плотность случайной величины Y = sin X.

62. Доказать, что случайная величина F (X) имеет равномерное на [0,1] распределение, если F (y) = P (X < y) и функция F непрерывна (более простой вариант:

доказать то же самое при дополнительном предположении о строгой монотонности 63. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром.

Найти распределения случайных величин Y1 = [X] (целая часть X), Y2 = X [X], 64. Точка бросается в треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1), (2,0). Найти функции распределения и плотности декартовых координат точки.

65. n точек независимо друг от друга бросаются на отрезок [0, a]. Найти функции распределения и плотности распределения случайных величин Y1 (крайняя слева точка), Yn (крайняя справа точка), Yk (k-я по счету слева точка, k = 1,..., n).

66. Случайные величины X и Y независимы и имеют одно и то же дискретное распределение P (X = yk ) = P (Y = yk ) = pk, k 1. Найти P (X = Y ).

67. Построить пример плотности распределения fX (y) и непрерывной функции g(y) таких, что распределение случайной величины g (X) не вырождено и дискретно.

68. X и Y независимы, причем P (X = 0) = P (X = 1) = 1/2, а P (Y < t) = t, 0 < t < 1. Найти функции распределения случайных величин X + Y и XY.

69. Используя формулу свертки, найти плотность распределения суммы двух независимых случайных величин, имеющих a) нормальное распределение с параметрами, 2 ;

b) равномерное на [0,1] распределение (сравните с задачей 19, п. 3).

70. Доказать, что сумма n независимых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметром, имеет гамма-распределение с параметрами 71. Доказать, что сумма независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона, вновь распределена по закону Пуассона.

72. Две точки произвольным образом бросаются в круг. Какова вероятность, что они расположатся на одинаковом расстоянии от центра?

73. Вычислить математическое ожидание случайной величины, имеющей:

a) распределение Бернулли;

b) биномиальное распределение;

c) распределение Пуассона;

d) геометрическое распределение;

e) равномерное распределение на отрезке [a, b];

f) показательное распределение с параметром ;

g) нормальное распределение с параметрами, 2 ;

h) гамма-распределение.

74. Найти математические ожидания случайных величин, введенных в задачах 55, 56а.

75. Найти математические ожидания декартовых координат точки в задаче 64.

76. Найти математические ожидания случайных величин Y1 и Yn, введенных в задаче 65.

77. Случайная величина X принимает натуральные значения с вероятностями P (X = k) = Ck 10, k = 1, 2,.... Как найти C? Какого порядка моменты существуют у случайной величины X?

78. Найти дисперсии случайных величин из задач 73-76.

80. Найти EX 2007, если X имеет стандартное нормальное распределение.

81. Вычислить момент k-го порядка для случайной величины, имеющей:

a) равномерное распределение, b) гамма-распределение.

82. Найти коэффициент корреляции между координатами точки из задачи 64.

83. Вычислить коэффициент корреляции (X, Y ) в условиях задачи 57.

84. Точка произвольным образом бросается в круг единичного радиуса. Найти коэффициент корреляции между ее декартовыми координатами.

85. Найти коэффициент корреляции (X, X + Y ), где X и Y независимы и распределены по стандартному нормальному закону.

86. Найти коэффициент корреляции (X, X 2 ), где X имеет:

a) стандартное нормальное распределение; b) показательное распределение.

87. К чему сходится по вероятности при n последовательность если X1,..., Xn - независимые случайные величины, распределенные равномерно на [0, ].

88. Случайные величины X1, X2,... независимы и одинаково распределены по закону Пуассона с параметром. К чему сходится по вероятности последовательность 89. Доказать, что Yn a по вероятности при n для последовательности случайных величин Yn, введенных в задаче 65.

90. Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0.515.

Какова вероятность того, что среди 10 тыс. новорожденных окажется мальчиков не больше, чем девочек?

91. Для лица, дожившего до двадцатилетнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0.006. Застрахована группа 10000 лиц 20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 120 рублей страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного родственникам выплачивается 10000 рублей. Какова вероятность того, что:

a) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;

b) его доход превысит 600000 рублей?

Какой минимальный страховой взнос следует учредить, чтобы в тех же условиях с вероятностью 0.95 доход был не менее 400000 рублей?

92. Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 100 шт. Чему равна вероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл? Какое наименьшее количество сверл нужно класть в коробку для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее 100 исправных?

93. Вероятность выхода из строя за время T одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время T из 100 конденсаторов выйдут из строя а) не менее 20 конденсаторов;

б) менее 28 конденсаторов.

94. Вероятность угадывания 6 номеров в спортлото (6 из 49) равна 7.2 · 108. При подсчете оказались заполненными 5 млн. карточек. Какова вероятность, что никто не угадал все 6 номеров? Какое наименьшее количество карточек нужно заполнить, чтобы с вероятностью не менее 0.9 хотя бы один угадал 6 номеров?

95. Некоторая машина состоит из 10 тыс. деталей. Каждая деталь независимо от других деталей может оказаться неисправной с вероятностью pi, причем для n1 = 1000 деталей p1 = 0.0003, для n2 = 2000 деталей p2 = 0.0002, и для n3 = 7000 деталей p3 = 0.0001. Машина не работает, если в ней неисправны хотя бы две детали. Найти вероятность того, что машина не будет работать.

96. 1000 раз бросается игральная кость. Найти пределы, в которых с вероятностью, большей 0.95, будет лежать сумма выпавших очков.

97. Пусть X1, X2,... - независимые одинаково распределенные случайные величины, EX1 = 0, DX1 <. Известно, что при n. Найти DX1.

98. Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0.2, 4 с вероятностью 0.4, 3 с вероятностью 0.3 и 2 с вероятностью 0.1. За время обучения он сдает 100 экзаменов.

Найти пределы, в которых с вероятностью 0.95 лежит средний балл.

99. Урожайность куста картофеля задается следующим распределением:

На участке высажено 900 кустов. В каких пределах с вероятностью 0.95 будет находиться урожай? Какое наименьшее число кустов нужно посадить, чтобы с вероятностью не менее 0.975 урожай был не менее тонны?

100. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока общая сумма очков не превысит 700. Оценить вероятность того, что для этого потребуется более 210 бросаний.

“Оценивание неизвестных параметров” 1. Пусть дана выборка из нормального распределения с параметрами и 2.

Используя метод моментов, построить оценки а) неизвестного среднего значения ;

б) неизвестной дисперсии 2, если известно;

в) неизвестной дисперсии 2, если неизвестно.

Исследовать полученные оценки на несмещенность и состоятельность.

2. Используя метод моментов, оценить параметр равномерного распределения на отрезке а) [0, ], > 0; б) [, ], > 0; в) [, + 1].

Исследовать полученные оценки на несмещенность и состоятельность.

3. С помощью метода моментов найти оценки параметров a и b равномерного распределения на отрезке [a, b]. Будут ли они состоятельными?

4. Используя метод моментов, построить бесконечную последовательность различных оценок параметра равномерного распределения на отрезке [0, ]. Будут ли полученные оценки состоятельными?

5. С помощью метода моментов построить оценку параметра > 0, если распределение выборки имеет плотность а) t1 при t [0, 1]; б) 2t/2 при t [0, ].

Исследовать полученные оценки на состоятельность.

6. Дана выборка из распределения с плотностью Найти оценку параметра методом моментов, исследовать ее на несмещенность и состоятельность.

7. Методом моментов найти оценку параметра по выборке из показательного распределения с плотностью f (t) = et, t > 0. Будет ли оценка несмещенной и состоятельной?

8. Методом моментов найти оценки неизвестных параметров для выборки из а) распределения Бернулли; б) распределения Пуассона; в) геометрического распределения.

9. По выборке (X1,..., Xn ) методом моментов найти две различные оценки параметра p (0, 1), если известно, что Будут ли полученные оценки несмещенными и состоятельными?

10. Методом максимального правдоподобия найти оценки неизвестных параметров в условиях задач 1, 6, 7, 8а-8в.

11. Дана выборка из распределения с плотностью Найти оценку для а) методом моментов; б) методом максимального правдоподобия.

Будут ли полученные оценки несмещенными и состоятельными?

12. Методом максимального правдоподобия найти оценки неизвестных параметров в условиях задач 2а-2в.

“Доверительные интервалы и проверка гипотез” 1. По числовой выборке из нормальной совокупности с параметрами, 2 построить доверительные интервалы для:

а), если 2 известно;

б), если 2 неизвестно;

в) 2, если известно;

г) 2, если неизвестно.

2. По данным числовым наблюдениям проверить основную гипотезу о равномерности распределения с помощью а) критерия Колмогорова;

б) критерия хи-квадрат.

3. По данным двум выборкам из нормальных совокупностей проверить гипотезу а) о совпадении дисперсий;

б) о совпадении средних, если известно, что дисперсии совпадают.





Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Утверждаю Проректор по научной работе профессор Ю.А. Колосов _ 20 г. ПРОГРАММА вступительного экзамена по специальности 06.02.07 Разведение, селекция и генетика сельскохозяйственных животных п. Персиановский, 2011 Программа вступительного экзамена по специальности разработана в соответствии с государственными образовательными...»

«ПРИНЯТО УТВЕРЖДЕНО на заседании педагогического совета Директор школы_ протокол от 12.04.2011 г. №3 Н.А. Горячева Приказ от 12.04.2011 №15 ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА НАЧАЛЬНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ муниципального казенного общеобразовательного учреждения ВОЛЧЬЕ – ДУБРАВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 1 I. ЦЕЛЕВОЙ РАЗДЕЛ 1.Пояснительная записка Основная образовательная программа начального общего образования муниципального общеобразовательного учреждения Волчье – Дубравская средняя...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова (ПГУ имени М.В. Ломоносова) Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки: 010400.68 Прикладная математика и информатика Магистерская программа: Математическое и информационное сопровождение экономической деятельности Квалификация (степень): магистр Форма обучения: очная Архангельск 2011...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Беловский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет Кафедра экономики РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Организация производства на предприятиях отрасли для специальности 080502 Экономика и управление на предприятии, цикл специальных дисциплин форма обучения – очная, заочная Форма обучения: очная (5 лет) курс - семестр -...»

«I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1. Настоящие Правила приема граждан на обучение по программам подготовки ординатуры (далее - Правила) регламентирует прием граждан Российской Федерации, а также иностранных граждан и лиц без гражданства в ФГБОУ ВПО Тульский государственный университет (далее – Университет, ТулГУ), на обучение по программам ординатуры за счет бюджетных ассигнований федерального бюджета, бюджетов субъектов Российской Федерации и местных бюджетов, за счет средств физических и (или) юридических...»

«ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗРАБОТКИ СТРУКТУР И ПРИБОРОВ НА ОСНОВЕ НИТРИДНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ В РОССИИ И В МИРЕ В ПОСЛЕДНИЕ ГОДЫ А.Э. Юнович Физический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова, Ленинские горы, 119991, Москва тел. +7(495)9392994, e-mail: yunovich@phys.msu.ru ; За последние два года исследования и разработки, связанные с нитридными полупроводниками, проходили в России в новых условиях. Государственные корпорации Роснано и Ростехнологии стали рассматривать эту тематику как одну из важнейших в связи...»

«Рабочая программа учебной дисциплины Строительные конструкции разработана на основе государственного образовательного стандарта (далее ГОС) по специальности среднего профессионального образования 270103 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений Организация-разработчик: Краснокутский филиал ФГБОУ ВПО Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова. Разработчики: Рыжкова В.П. преподаватель строительных дисциплин. Рассмотрена на заседании цикловой комиссии технических...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине Б1.В.ДВ.4Введение в специальность Код и направление 111100.62 Зоотехния подготовки Профиль нет подготовки Квалификация бакалавр (степень) выпускника Зоотехнологии и менеджмента Факультет Ведущий Кощаев Андрей Георгиевич преподаватель Кафедра-разработчик Биотехнологии,...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой Ботаники и экологии Декан факультета _ / Соловьев Д. А./ /Сергеева И.В./ 29_ августа 2013 г. _28_ _ августа 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Дисциплина ФИЗИОЛОГИЯ РАСТЕНИЙ Направление подготовки 250700.62 Ландшафтная...»

«ЭКСКУРСИИ И МЕРОПРИЯТИЯ ДЛЯ ДОШКОЛЬНИКОВ И УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ ГОРОДА И РАЙОНА Переславль-Залесский государственный историко-архитектурный и художественный музей-заповедник – один из крупнейших провинциальных музеев России – распахнул двери для посетителей 28 мая 1919 года. Его основателем и первым директором был исследователь Переславского края, историк М.И. Смирнов (1868-1949) Музей располагается на территории бывшего Успенского Горицкого монастыря, основанного в начале...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО ИВАНОВСКОЙ ОБЛАСТИ ПОСТАНОВЛЕНИЕ от 13.11.2013 № 450-п г. Иваново Об утверждении государственной программы Развитие образования Ивановской области В соответствии со статьей 179 Бюджетного кодекса Российской Федерации, постановлением Правительства Ивановской области от 03.09.2013 № 358-п О переходе к формированию областного бюджета на основе государственных программ Ивановской области Правительство Ивановской области п о с т а н о в л я е т: 1. Утвердить государственную программу...»

«Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики ПРОГРАММА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ИСПЫТАНИЯМ В МАГИСТРАТУРУ Направление 09.04.01 Информатика и вычислительная техника Объектами профессиональной деятельности магистра по направлению подготовки Информатика и вычислительная техника являются: - вычислительные машины, комплексы, системы и сети; - автоматизированные системы...»

«Пояснительная записка Рабочая программа по биологии в 10 и 11 классе по курсу Общая биология составлена на основе программы авторского коллектива В. И. Сивоглазова, И. Б. Агафоновой, Е. Т. Захаровой (Программы для общеобразовательных учреждений. Биология. 6-11 классы. - М.: Дрофа, 2009 г.). Программа предназначена для изучения предмета Общая биология в общеобразовательных учреждениях, которая предусматривает изучение биологических дисциплин и рассчитана на 2 часа в неделю (68 часов за год). при...»

«Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пензенский государственный университет Медицинский институт Кафедра микробиологии, эпидемиологии и инфекционных болезней РПД 151.121.12-2010 ДЕРМАТОВЕНЕРОЛОГИЯ рабочая программа учебной дисциплины по подготовке: врача - стоматолога по направлению: 060105 - стоматология по специальности: 060105 - стоматология Экземпляр...»

«СИСТЕМА КАЧЕСТВА ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ с. 2 из 5 05.16.09 – МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ (В МАШИСТРОЕНИИ) В соответствии с п. 40 Положения о подготовке научно-педагогических и научных кадров в системе послевузовского профессионального образования в Российской Федерации, утвержденного Приказом Министерства общего и профессионального образования от 27 марта 1998 г. № 814 (в редакции Приказов Минобразования РФ от 16.03.2000 № 780, от 27.11.2000 № 3410, от 17.02.2004...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет механико-математический Кафедра математического моделирования в механике УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе В.П. Гарькин __2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Математическое моделирование (цикл общие математические и естественнонаучные дисциплины; раздел Дисциплины по выбору; основная образовательная программа...»

«Программа вступительного испытания по специальности Технология рыбы и рыбных продуктов 1. Общие вопросы Современное состояние и перспективы развития добывающей и перерабатывающей рыбной промышленности Российской Федерации. 2. Объекты водных биологических ресурсов и аквакультуры Классификация объектов водных биологических ресурсов и их характеристика. Понятие аквакультура. Классификация объектов аквакультуры. 2.1. Рыбы Основные промысловые виды рыб. Строение тела рыбы. Внутренние органы рыб....»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Воронежский филиал г. Воронеж Кафедра политологии и политического управления РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ВБ1. ДВ 01 Философия права Шифр и наименование направления подготовки: 030900.62 Юриспруденция Квалификация (степень) выпускника: бакалавр Форма обучения: очная Воронеж 2013...»

«Утверждаю Губернатор Костромской области С.К. Ситников _ 2013 года КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН основных мероприятий, организуемых руководителями органов государственной власти Костромской области или проводимых при их участии в январе 2014 года Дата и время Место Наименование Проводит Готовит проведения проведения мероприятия мероприятие мероприятие I. Мероприятия, проводимые губернатором Костромской области Круглый зал Доклады руководителей ИОГВ и струк- Губернатор области Первый заместитель 5,6. турных...»

«МИНЗДРАВСОЦРАЗВИТИЯ РОССИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ГБОУ ВПО ИГМУ Минздравсоцразвития России) Медико-профилактический факультет Кафедра микробиологии, вирусологии и иммунологии УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе А.В. Щербатых 2012 года РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Микробиология, вирусология наименование дисциплины (модуля) для специальности: 060101 Лечебное...»








 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.