УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ВУЗОВ РОССИИ

ПО ОБРАЗОВАНИЮ В ОБЛАСТИ ФИНАНСОВ,

УЧЕТА И МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ

УТВЕРЖДАЮ

Зам. Председателя Совета УМО

_ Л.И. Гончаренко

_ 2013 г.

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА

дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

Рекомендуется для направления 080100 «Экономика»

Квалификация (степень) выпускника: БАКАЛАВР Москва 2013

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Цель дисциплины Получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности.

Развитие понятийной теоретико-вероятностной базы и формирование уровня алгебраической подготовки, необходимых для понимания основ экономической статистики и е применения.

Задача дисциплины В результате изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студенты должны владеть основными математическими понятиями курса; уметь использовать теоретиковероятностный и статистический аппарат для решения теоретических и прикладных задач экономики уметь решать типовые задачи, иметь навыки работы со специальной математической литературой.

2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»

является базовой дисциплиной математического цикла федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению 080100 Экономика (квалификация – “бакалавр”).

Изучение дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» основывается на базе знаний, полученных студентами на первом курсе в ходе освоения дисциплин «Линейная алгебра» и «Математический анализ» того же блока.

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»

изучается на втором году обучения, закладывает фундамент для понимания экономической статистики и является базовым теоретическим и практическим основанием для всех последующих математических и финансово-экономических дисциплин подготовки бакалавра экономики, использующих теоретико-вероятностные и статистические методы анализа.

3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ

ДИСЦИПЛИНЫ

В совокупности с другими дисциплинами базовой части профессионального цикла ФГОС ВПО дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» направлена на формирование следующих общекультурных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций бакалавра экономики:

владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей е достижения (ОК-1);

способен собирать и анализировать исходные данные, необходимые для расчта экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);

способен на основе типовых методик и действующей нормативноправовой базы рассчитывать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (ПКспособен выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);

способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);

способен выбирать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчтов и обосновывать полученные выводы (ПК-5).

В результате освоения содержания дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студент должен:

Знать:

основы теории вероятностей и математической статистики, необходимые для решения финансовых и экономических задач.

Уметь:

применять теоретико-вероятностные и статистические методы для решения экономических задач.

Владеть:

навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;

методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций, соответствующих методам теории вероятностей и математической статистики).

4. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Общая трудомкость дисциплины составляет 6 зачтных единиц.

Вид промежуточной аттестации – 1 экзамен и 1 зачет.

часы Зачетные единицы

5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. Содержание разделов дисциплины Часть I. Теория вероятностей Раздел 1. Вероятности событий 1.1. Основные понятия комбинаторики: комбинаторное правило умножения, перестановки, сочетания из n по k, размещения из n по k, сочетания с повторениями. Бином Ньютона и свойства биномиальных коэффициентов.

1.2. Случайные события, частота и вероятность. Классический способ подсчета вероятностей. Геометрические вероятности. Пространство элементарных событий. Случайное событие как подмножество в пространстве элементарных событий. Алгебра событий. Аксиомы вероятности и вероятностное пространство. Следствия из аксиом.

Статистическое определение вероятности.

1.3. Основные формулы для вычисления вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формулы Байеса вероятностей гипотез. Независимые события.

1.4. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли).

Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли.

Приближенные формулы Лапласа. Функции Гаусса и Лапласа. Предельная теорема и приближенная формула Пуассона.

Раздел 2. Случайные величины 2.1. Случайная величина как функция на пространстве элементарных событий. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения. Независимость случайных величин. Функции от одной или нескольких случайных величин. Арифметические операции над случайными величинами.

2.2. Дискретная случайная величина (ДСВ) и ее закон распределения.

Основные числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, ковариация и коэффициент корреляции.

Математическое ожидание функции от ДСВ. Неравенство Йенсена.

2.3. Свойства математического ожидания, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции.

2.4. Примеры классических дискретных распределений (биномиальное, пуассоновское, геометрическое) и вычисление их числовых характеристик.

Пуассоновость суммы независимых пуассоновских случайных величин.

Производящие функции*.

2.5. Непрерывные и абсолютно непрерывные случайные величины.

Свойства функции плотности. Математическое ожидание и дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины. Математическое ожидание функции от абсолютно непрерывной случайной величины.

2.6. Равномерное распределение на отрезке, показательное (экспоненциальное) распределение, распределение Коши, нормальное и логнормальное распределения, их числовые характеристики. Нормальность суммы независимых нормальных случайных величин.

2.7. Начальные и центральные моменты случайной величины.

Асимметрия и эксцесс. Мода, медиана и квантили непрерывного распределения.

Раздел 3. Предельные теоремы теории вероятностей 3.1. Неравенство Чебышева. Правило «трех сигм» в общем случае.

Теоремы Чебышева и Бернулли. Последовательности случайных величин.

Сходимость по вероятности и закон больших чисел.

3.2. Понятие характеристической функции*. Центральная предельная теорема (ЦПТ) в форме Ляпунова для одинаково распределенных слагаемых и в общем случае. Применение ЦПТ.

Раздел 4. Случайные векторы 4.1. Совместное распределение случайных величин. Случайный вектор.

Зависимые и независимые случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Одинаково распределенные случайные векторы. Связь функции распределения случайного вектора с функциями распределения его компонент.

4.2. Дискретные случайные векторы. Вероятность попадания дискретного случайного вектора в заданное множество. Закон распределения двумерного дискретного случайного вектора и его связь с распределениями компонент.

4.3. Абсолютно непрерывные случайные векторы. Вероятность попадания абсолютно непрерывного случайного вектора в заданное множество. Связь функции плотности распределения случайного вектора с функциями плотности его компонент. Функция плотности и независимость компонент случайного вектора. Равномерное распределение в ограниченной области в Rn.

4.4. Числовые характеристики дискретных и абсолютно непрерывных случайных векторов. Математическое ожидание функции от компонент случайного вектора. Ковариационная матрица случайного вектора.

Неотрицательная определенность ковариационной матрицы.

нормального распределения, приведение к каноническому виду. Нормальные случайные векторы и их свойства.

4.6. Условные распределения и условные плотности. Условное математическое ожидание и его свойства. Формула полного математического ожидания. Условная дисперсия. Формула полной дисперсии.

Раздел 5. Цепи Маркова 5.1. Определение и способы задания цепей Маркова. Вероятности и матрица переходов. Многошаговые вероятности переходов и теорема о матрице многошаговых переходов.

5.2. Предельные вероятности. Теорема Маркова о предельных вероятностях.

Часть II. Математическая статистика Раздел 6. Эмпирические характеристики и выборки 6.1. Статистические методы обработки экспериментальных данных.

Генеральная совокупность. Эмпирическая функция распределения и вариационный ряд. Гистограмма. Мода и медиана.

6.2. Генеральные среднее, дисперсия, моменты высших порядков (асимметрия, эксцесс). Эмпирическая ковариация.

6.3. Повторные и бесповторные выборки. Математическое ожидание и дисперсия выборочного среднего для повторной и бесповторной выборки.

Раздел 7. Точечные и интервальные оценки Несмещенность, состоятельность и эффективность точечных оценок. Оценка неизвестной вероятности по частоте. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии.

Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.

доверительный интервал для оценки генеральной доли признака.

Приближенный доверительный интервал для оценки генерального среднего.

Раздел 8. Статистическая проверка гипотез Статистическая проверка гипотез. Ошибки I и II рода. Уровень значимости и мощность критерия. Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

Простые и сложные гипотезы.

8.2. Хи-квадрат критерий Пирсона. Проверка гипотезы о соответствии наблюдаемых значений предполагаемому распределению вероятностей (дискретному или непрерывному).

8.3.Сравнение параметров двух нормальных распределений.

обеспечиваемыми дисциплинами Наименование обеспечиваемых Экономическая социология Основы финансовых вычислений Бухгалтерский учт и анализ Макроэкономическое Финансовый менеджмент Оценка стоимости бизнеса 5.3. Разделы дисциплины и виды занятий раздела дисциплины Вероятности событий Случайные величины Предельные теоремы теории вероятностей

6. ПРАКТИЧЕСКИЕ (СЕМИНАРСКИЕ) ЗАНЯТИЯ

аудиторных практических занятий (семинаров), каждое из которых рассчитано на 2 аудиторных часа, за исключением последнего занятия – час.

самостоятельной работы, форм контроля и связи с тематикой лекций) представлена в разделе 10.4.

По структуре семинары следует разделить на учебные и контрольные:

Учебные семинары (№№: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 24 и 25) структурно состоят из:

1. Проверка наличия выполненного задания самостоятельной работы задания;

3. Разбор типичных ошибок, возникших в самостоятельной работе;

4. Рассмотрение теоретических оснований для практики текущей темы;

5. Разбор практических методов и решение соответствующих задач;

6. Корректировка заданий для самостоятельной работы студентов.

Контрольные семинары (№№: 6, 11, 14, 17, 23 и 26) структурно состоят из:

1. Проверка наличия домашней контрольной работы каждого студента;

2. Разбор типичных ошибок, возникших при решении домашней контрольной работы;

3. Проведение аудиторной контрольной работы.

8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а) основная литература 1. Браилов А.В., Солодовников А.С. Сборник задач по курсу «Математика в экономике». Часть 3. Теория вероятностей. М.:Финансы и статистика, 2013.

математической статистики. Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы бакалавров. М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2010.

3. Браилов А.В., Зададаев С.А., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы. Часть 1. Учебное издание для студентов бакалавриата по направлению «Экономика». М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2010.

4. Браилов А.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы.

Часть 2. Учебное издание для студентов бакалавриата по направлению «Экономика». М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2010.

5. Браилов А.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы.

Часть 3. Учебное издание для студентов бакалавриата по направлению «Экономика». М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2010.

6. Браилов А.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы.

Часть 4. Учебное издание для студентов бакалавриата по направлению «Экономика». М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2010.

7. Браилов А.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы.

Часть 5. Учебное издание для студентов бакалавриата по направлению «Экономика». М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2010.

8. Браилов А.В., Горяинов В. Б., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы. Часть 6. Учебное издание для студентов бакалавриата по направлению «Экономика». М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2010.

9. Браилов А.В., Зададаев С. А., Рябов П.Е. Вопросы и задачи по теории вероятностей и математической статистики. Учебное издание для студентов бакалавриата по направлению «Экономика». М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2010.

10. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г.

Математика в экономике. Учебник в 3 ч. Ч.3. Теория вероятностей и математическая статистика. М:. Финансы и статистика, 2008.

11. Браилов А.В., Гончаренко В.М., Конов В.В. Вопросы и задачи по теории вероятностей. Учебное издание для студентов общеэкономических специальностей. М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2006.

б) дополнительная литература 12. Мелехина Т.Л. Коллоквиум по теории вероятностей. М.:

Электронный фонд кафедры, 2010.

13. Пыркина О.Е. Тесты самоконтроля по теории вероятностей. М.:

Электронный фонд кафедры, 2010.

14. Браилов А.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы.

Части 1,2. Учебное издание для студентов экономических специальностей.

М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2007.

15. Браилов А.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы.

Часть 3. Учебное издание для студентов экономических специальностей. М.:

Финансовая академия при правительстве РФ, 2006.

16. Браилов А.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания по выполнению самостоятельной работы.

Часть 4. Учебное издание для студентов экономических специальностей. М.:

Финансовая академия при правительстве РФ, 2008.

10. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ

ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ:

10.1. Самостоятельная работа Внеаудиторными формами и инструментами самостоятельной работы студентов по дисциплине являются:

выполнение домашних заданий (практических и теоретических);

выполнение 6-ти домашних контрольных работ (как средство подготовки к аудиторным контрольным работам);

подготовка к практическим занятиям с использованием тестов самоконтроля (по 6-ти разделам дисциплины, Часть I);

выполнение 1-ой лабораторной работы (по 2-м разделам дисциплины, Часть II);

подготовка к одному коллоквиуму;

подготовка к 1-му зачту и 1-му экзамену.

Самостоятельная работа студентов по дисциплине состоит из еженедельных заданий, каждое из которых рассчитано на 3 часа внеаудиторной нагрузки. Подробный перечень заданий для самостоятельной работы (с тематической связью аудиторных занятий, формами контроля и рекомендуемой учебно-методической литературой) приведен в пункте 10.

Приложение.

10.2. Формы самостоятельной работы и нормы нагрузки 10.3. Контрольные вопросы и система оценивания предусматривается текущий контроль (аудиторные контрольные работы, лабораторная работа).

Часть I Теория вероятностей Семестр №3. (триместр №4) Форма промежуточного контроля экзамен.

Итоговая оценка данной части дисциплины проставляется по 100бальной системе:

неудовлетворительно – менее 51 балла;

удовлетворительно – от 51 до 69 баллов;

хорошо – от 70 до 85 баллов;

отлично – свыше 85 баллов.

и формируется:

аттестационными баллами семестра (20);

экзаменационным баллом (80).

Аттестационный балл семестра (триместра) складывается из баллов текущей «аттестации» в середине семестра (триместра) (10) и баллами второй половины семестра (триместра) «работа в году» (10), каждый из которых учитывает успешность работы студента (выполнение 11-ти домашних заданий, аудиторных и домашних контрольных работ №№1-4, выступления у доски, 1-го коллоквиума).

Экзаменационные требования (теоретические вопросы и практические задания) изложены в [11].

Часть II Математическая статистика Семестр №4. (триместр №5) Форма промежуточного контроля – зачет с рейтинговым баллом.

Зачетный рейтинговый балл данной части дисциплины формируется:

оценкой за выполнение 4-х домашних заданий (10);

оценкой за аудиторную работу в семестре (10);

оценкой за аудиторную и домашнюю контрольную работу №5 (20);

оценкой за аудиторную и домашнюю контрольную работу №6 (20);

защитой лабораторной работы (60).

Требования к выполнению лабораторной работы, а также тематика практикума изложены в [2].

10.4. Учебно-методическая карта дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика" Часть I: Теория вероятностей (семестр №3) Вероятности событий:

ной работы. без повторений.

Классический способ подсчета вероятностей.

Геометрические Практическо Пространство теме лекции подмножество в вероятностей элементарных событий. Алгебра событий.

Аксиомы вероятности и вероятностное пространство.

Следствия из Практическо Классическая вероятность.

вероятность как вероятностного проствранства.

Основные формулы для вычисления вероятностей.

Условная вероятность.

Теорема умножения вероятностей.

Независимость событий. Формула вероятности.

Формула вероятностей гипотез (формулы Байеса).

Случайные величины:

10 ч. лекций, Случайная практические функция на Числовые характеристики дискретных случайных величин:

математическое ожидание, дисперсия, Практическо Решение задач Контроль коэффициент [1] § 2.1 - самостоятельно домашнего Свойства математического ожидания, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции.

характеристики. ДСВ.

Предельные теоремы теории вероятносте самостоятель ая функция и ной работы. производящая Случайные векторы 6 ч. лекций, случайные Цепи занятия, самостоятель ной работы.

Эмпиричес кие характерис тики и выборки практическ Гистограмма. Мода и их занятий, медиана. Генеральные самостоятел моменты высших работы. эксцесс). Эмпирическая Точечные интерваль ные оценки 6 ч. лекций, эффективность практическ Оценка неизвестной их занятий, вероятности по частоте.

самостоятел математического Статистич проверка гипотез 7 ч. лекций, практическ их занятий, самостоятел работы Разработчики:

университет «Теория вероятностей и университет «Теория вероятностей и Эксперты:

государственный авиационный институт