ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ

В МАГИСТРАТУРУ

ПО НАПРАВЛЕНИЮ

010400. 68 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

РЕГЛАМЕНТ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

1. Начало экзамена в 9:00.

2. Время подготовки к ответу на экзамене не более 1 часа, ответ на

вопросы билета не более 30 минут.

3. Место проведения экзамена — аудитория.

4. Экзаменационный билет содержит два теоретических вопроса и одну задачу.

5. Запрещено во время экзамена пользоваться учебниками, конспектами, другой литературой, а также техническими средствами связи.

6. Ответ студента оценивает комиссия.

7. Оценка за теоретические вопросы и задачу выставляется в зависимости от полноты ответа.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Математический анализ 1. Функция. Предел функции в точке.

Понятие функции. Числовые функции числового аргумента. График функции. Способы задания функции. Элементарные глобальные свойства функций (ограниченность, неограниченность, монотонность, периодичность, четность, нечетность). Предел функции в точке по Коши и по Гейне.

Эквивалентность двух определений. Единственность предела функции.

2. Непрерывность функции.

Различные определения непрерывности функции в точке. Локальные свойства непрерывной в точке функции (ограниченность, сохранение функцией знака). Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции.

Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывных на сегменте функций и их применения. Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на сегменте функции. Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на сегменте функцией своих граней.

3. Производная и дифференцируемость функции. Правила дифференцирования.

Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной функции в точке. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций. Дифференцирование сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций (тригонометрических, логарифмической, показательной и степенной функций).

4. Условия монотонности функции на промежутке. Выпуклость функции на промежутке. Точки перегиба функции.

Теорема Лагранжа и её геометрическое истолкование. Необходимое и достаточное условие постоянства функции на промежутке. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке. Экстремумы функции. Условия существования точек экстремума функции. Определение выпуклости (вогнутости) функции на промежутке. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба функции. Достаточное условие существование точки перегиба функции.

5. Первообразная и неопределенный интеграл функции. Методы интегрирования функций.

Задачи, приводящие к восстановлению функции по её производной (задача о вычислении пройденной пути по мгновенной скорости, задача о вычислении мгновенной скорости по ускорению, задача о вычислении переменной массы по известной плотности). Понятие первообразной функции. Свойства первообразных функций. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.

Таблица интегралов основных элементарных функций. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом подстановки и по частям.

6. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (задача о площади криволинейной трапеции, задача о вычислении работы под действием переменной силы). Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства (обзорно). Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определенного интеграла.

7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

x Определение функции F ( x) f (t )dt определенного интеграла с a переменным верхним пределом. Свойства функции F (x) : непрерывность и дифференцируемость. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница и её значение для интегрального исчисления. Связь между определенным и неопределенным интегралами функции.

8. Приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат. Объем тела вращения. Вычисление длины кривой.

Вычисление площади поверхности вращения. Работа силы. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой.

Дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в явном виде.

Дифференциальные уравнения вида y / f ( x ). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

2. Однородные дифференциальные уравнения.

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель.

5. Принцип сжатых отображений и его применение при доказательстве теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи для дифференциального уравнения.

Определение понятия оператора, оператора в себя и сжатия, неподвижной точки оператора. Теорема Банаха о существовании и единственности неподвижной точки оператора сжатия в полном метрическом пространстве.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Доказательство теоремы Пикара о единственности и существования решения начальной задачи Коши для уравнения y f ( x, y ) на основании принципа сжатых отображений. Выводы и следствия из теоремы Пикара.

6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ. Нахождение общего решения ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных.

8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Построение частных решений ЛНДУ с постоянными коэффициентами коэффициентов.

Уравнения математической физики 1. Приведение к каноническому виду дифференциального уравнения второго порядка от двух независимых переменных. Понятие характеристики.

2. Уравнения гиперболического типа. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.

3. Уравнения эллиптического типа. Определение. Гармонические функции. Внутренний принцип экстремума гармонических функций.

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом разделения переменных.

4. Уравнения параболического типа. Определение. Первая начальнограничная задача для уравнения теплопроводности. Принцип максимума.

Метод разделения переменных.

Геометрия 1. Эллипс, гипербола, парабола.

Определение эллипса. Вывод уравнения в прямоугольной системе координат. Свойства. Определение гиперболы. Вывод уравнения в прямоугольной системе координат. Свойства. Определение параболы. Вывод уравнения в прямоугольной системе координат. Свойства. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

2. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой на плоскости.

Суть метода координат на плоскости. Понятие алгебраической линии.

Линии второго порядка. Примеры. Исследование взаимного расположения линии второго порядка и прямой на плоскости. Асимптоты. Касательные.

Диаметры линий второго порядка.

3. Векторное и смешанное произведения векторов. Вычисление по координатам в ортонормированном базисе.

Определение векторного произведения двух векторов. Геометрический смысл модуля векторного произведения векторов. Формула для вычисления векторного произведения векторов в координатной форме. Свойства векторного произведения. Определение и свойства смешанного произведения трех векторов. Геометрический смысл модуля смешанного произведения.

Вычисление смешанного произведения векторов в координатной форме.

Применение к решению задач.

4. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости и двух прямых в трехмерном пространстве.

Суть метода координат в пространстве. Выяснение взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости – как пример использования метода координат. Примеры. Исследование взаимного расположения двух прямых в трехмерном пространстве – как пример использования векторов к решению задач. Примеры.

5. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Уравнения прямой в аффинной системе координат пространства.

Вычисление расстояния от точки до прямой в прямоугольной системе координат. Вычисление расстояния между двумя скрещивающимися прямыми в прямоугольной системе координат.

Алгебра 1. Множество натуральных чисел. Основные числовые функции.

Простые и составные числа. Бесконечность простых чисел. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение натуральных чисел.

Основные числовые функции. Теорема о числе натуральных делителей.

Теоремы о сумме и произведении натуральных делителей. Функция Эйлера.

2. Векторные пространства. Базис и размерность векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств.

Определение и простейшие свойства векторного пространства.

Подпространства векторного пространства. Линейная оболочка. Базис и размерность векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Изоморфизм векторных пространств.

3. Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений.

Решение, следствие, равносильность систем линейных уравнений (СЛУ).

Элементарные преобразования СЛУ. Решение СЛУ методом последовательных исключений переменных (методом Гаусса). Ранг матрицы.

Критерий Кронекера-Капелли о совместности СЛУ. Решение СЛУ с помощью определителей и обратной матрицы. Система однородных линейных уравнений.

4. Кольцо многочленов от одной переменной под числовым полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида.

Кольцо многочленов от одной переменной под числовым полем.

Отношение делимости в кольце многочленов с одним переменным над произвольным полем. Определение НОД двух многочленов. Определение деления с остатком и алгоритм Евклида. Существование и единственность НОД двух многочленов.

5. Группа. Кольцо. Поле.

Понятие о группе, кольце, поле. Подруппа. Подкольцо. Гомоморфизм групп, колец. Характеристика поля. Поле вычетов по простому модулю.

Информатика 1. Формальные грамматики.

Алфавит языка. Определение формальной грамматики. Эквивалентные грамматики. Языки, порождаемые грамматикой. Классификация грамматик по Хомскому. Соотношения между типами грамматик. Соотношения между типами языка. Разбор цепочек. Однозначные и неоднозначные грамматики.

2. Преобразования грамматик.

Определение грамматики. Недостижимые символы. Алгоритм удаления недостижимых символов. Бесплодные символы. Алгоритм удаления бесплодных символов. Алгоритм приведения грамматики.

3. Конечные автоматы.

Конечный автомат. Детерминированный и недетерминированный конечный автомат. Способы представления функции перехода (табличный графический).Алгоритм построения КА по регулярной грамматике.

Алгоритм преобразования НКА к ДКА.

4. Базы данных.

Модели данных. Реляционная модель данных. Базовые понятия реляционной модели: отношение, кортеж, атрибут, домен, мощность, ключ, внешний ключ.

5. Этапы проектирования базы данных.

Инфологическое проектирование. Метод «Сущность-связь».

6. Системы управления базами данных. СУБД MS Access.

Таблицы. Запросы.

Назначение, режимы работы. Поля. Типы данных, свойства. Ключевые поля. Связь между таблицами Стандартный бланк запроса.

7. Системы управления базами данных. СУБД MS Access.

Формы, отчеты и макросы.

Назначение, режимы работы. Элементы управления. Главная кнопочная форма.

8. Структурированный язык запросов SQL.

Основные операторы. Заданий условий. Сортировка. Группировка.

Выборка данных из разных таблиц. Примеры.

9. Понятие информации. Виды информации. Измерение информации.

Различные уровни представления информации. Виды информации.

Непрерывная и дискретная информация. Вероятностный и объемный подходы измерения информации. Кодирование числовой, символьной, графической и звуковой информации.

10. Архитектура ЭВМ.

Классическая архитектура ЭВМ и принципы Фон Неймана.

Совершенствование и развитие внутренней структуры ЭВМ. Основные функциональные узлы ЭВМ их назначение и характеристики.

11. История развития вычислительной техники. Основные функциональные узлы ЭВМ.

Поколения ЭВМ. Виды памяти. Компоненты и характеристики внутренней памяти. Компоненты и характеристики внешней памяти.

Классификация устройств ввода и вывода. Средства подключения ЭВМ к сети. Перспективы развития вычислительной техники.

12. Алгоритм и его свойства. Алгоритмы поиска и сортировки.

Определение и свойства алгоритма. Способы записи. Обзор методов сортировки и поиска. Алгоритм сортировки методом отбора, методом «пузырька», последовательный поиск.

13. Классификация языков программирования. Система программирования.

Понятие «язык программирования». Классификация языков программирования. Компиляторы и интерпретаторы. Основные компоненты системы программирования.

программирования.

Оператор if. Оператор выбора case. Операторы повтора for, repeat, while.

15. Классификация программного обеспечения.

Назначение и основные классы системного программного обеспечения.

Классификация прикладного программного обеспечения. Инструментальные системы.

Назначение и классификация компьютерных сетей. Типы сетей.

Топология сетей. Адресация компьютеров в сети (физический, символьный и IP- адрес). Сетевые компоненты. Методы доступа к сетевому ресурсу. Internet как иерархия сетей. Сервисы Интернет.

17. Системное программное обеспечение.

Компоненты СПО. Развитие и основные функции ОС. Классификация ОС. Операционная система MS DOS. Внутренние и внешние команды OC MS DOS. Развитие ОС Windows.

18. Способы обработки текстовой информации.

Классификация текстовых редакторов и издательских систем. Принципы создания текстовых документов в редакторе MS Word и системе LaTEX.

Работа со списками, таблицами, рисунками. Создание формул.

19. Обработка табличной информации на ЭВМ.

Табличные процессоры. Назначение. Основные возможности.

Табличный процессор MS Excel. Содержимое и уровни ячеек. Форматы данных. Работа с формулами, диаграммами, списками.

20. Системы компьютерной графики.

Способы кодирования графической информации. Глубина цвета.

Цветовые режимы. Видеотерминалы. Классификация компьютерной графики. Средства создания компьютерной графики.

Численные методы 1. Численные методы решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц Основные определения и спектральные свойства матриц.

Преобразование подобия. Характеристический многочлен. Классификация численных методов решения полной и частичной проблемы. Метод Данилевского. Форма Фробениуса. Итерационные методы основанные на мультипликативных разложениях (пример нахождения собственных значений и собственных векторов матриц методом QR разложения на основе преобразования отражения Хаусхолдера).

2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи Коши. Теорема Пикара Классификация численных методов решения задачи Коши. Одношаговые методы: явный и неявный метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта. Многошаговые методы: методы АдамсаБашфорта и Адамса-Моултона. Схемы типа «предиктор-корректор».

обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка линейной краевой задачи для ОДУ второго порядка.

Классификация численных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы сведения к задаче Коши: метод редукции, метод стрельбы. Конечно-разностные методы: метод сеток решения краевой задачи для ОДУ второго порядка.

Теория вероятностей и математическая статистика 1. Случайное событие и вероятность.

События: достоверное, невозможное, случайное. Определение вероятности. Теоремы о вероятностях. Теорема о полной вероятности событий. Формула Байеса.

2. Случайные величины.

Виды случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства. Числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Свойства числовых характеристик.

Теория игр и исследование операций 1. Определение прямоугольных игр. Прямоугольные игры с седловыми точками.

Предмет, задачи и основные понятия теории игр, классификация игр.

Игра двух лиц с нулевой суммой. Платежная матрица. Определение прямоугольных игр. Чистые верхняя и нижняя цены игры в прямоугольных играх. Прямоугольные игры с седловыми точками.

2. Основная теорема для прямоугольных игр. Решения прямоугольных игр для некоторых частных случаев.

Смешанные стратегии. Оптимальные смешанные стратегии. Основная теорема для произвольных прямоугольных игр. Соотношения превосходства.

Графический метод решения прямоугольных игр. Метод приближенного определения цены игры.

Рекомендуемая литература 1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. – М.: Лань, 2005.

Т. 1,2.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 2003. Т.1.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

4. Берман Г.Н. Решебник к сборнику задач по математическому анализу.

М.: Лань, 2008.

5. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2003.

6. Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения М.: Высш. шк., 2005.

7. Вагапов В.З. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб.

пособие для вузов. Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. акад., 2007.

8. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для Вузов.

М.: Высшая школа, 2002.

9. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб.пособие для втузов. – 3-е изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 2004.

10. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учеб.пособие для втузов. – 2-е изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 2004.

11. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций, 7-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. - 912 с.

12. Диго С.М. Базы данных. Часть I. Введение в банки данных.

Методология проектирования. М.: МЭСИ, 2006.