ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В

МАГИСТРАТУРУ.

Математический анализ.

1. Производные и дифференциалы функций одной и нескольких переменных.

Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях. Формула

Тейлора.

2. Интегралы: определенный, двойной, тройной, криволинейные, поверхностные.

(Определения, свойства, формулы для вычисления).

3. Числовые и функциональные ряды. Признаки сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Ряд и интеграл Фурье.

4. Основные понятия теории скалярных и векторных полей. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса.

Литература:

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I и II. Изд-во «Наука».

Аналитическая геометрия.

1. Декартова система координат.

2. Определитель матрицы.

3. Алгебра векторов. Скалярное, векторное, смешанное произведения.

4. Прямая на плоскости и в пространстве.

5. Плоскость.

6. Кривые второго порядка.

7. Поверхности второго порядка.

Литература:

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во «Наука».

Линейная алгебра.

1. Алгебра матриц.

2. Конечномерные линейные пространства.

3. Линейные операторы.

4. Евклидово пространство. Линейные операторы в евклидовом пространстве.

5. Билинейные и квадратичные формы.

6. Группы.

7. Тензоры.

Литература:

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Изд-во «Наука».

Теория функций комплексного переменного.

1. Интеграл по кривой на комплексной плоскости. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.

2. Понятие аналитической функции и ее основные свойства. Теорема Морера.

Теорема Лиувилля, принцип максимума модуля.

3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема Тейлора.

4. Ряды Лорана. Понятие вычета. Теорема о вычетах. Особые точки.

5. Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов. Лемма Жордана.

6. Конформные отображения. Теорема Римана (без доказательства).

Литература:

Тихонов А.Н., Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука.

2003 г.

Интегральные уравнения.

1. Теорема существования собственного значения и собственного вектора у симметричного вполне непрерывного оператора.

2. Однородное уравнение Фредгольма второго рода. Теорема Гильберта-Шмидта.

3. Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача ШтурмаЛиувилля). Теорема Стеклова.

4. Неоднородные уравнения Фредгольма второго рода. Принцип сжимающих отображений. Уравнения Фредгольма с малым ). Теоремы Фредгольма.

5. Уравнения Вольтерра. Метод последовательных приближений.

Литература:

Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: Физматлит. 2002.

Вариационное исчисление.

1. Необходимое условие экстремума функционала.

2. Вариационная задача с закрепленными границами. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

3. Достаточные условия экстремума. Функция Вейерштрасса.

4. Изопериметрическая задача и задача Лагранжа (постановка задач, необходимое условие экстремума).

5. Задача с подвижной границей, условие трансверсальности.

Литература:

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС, 2000.

1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Существование и единственность решения.

Зависимость его от начальных условий и параметров.

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение однородного уравнения. Методы построения частного решения неоднородного уравнения. Функция Коши. Уравнения с постоянными коэффициентами.

3. Системы линейных дифференциальных уравнений. Общее решение однородной системы. Решение неоднородной системы линейных уравнений. Матрица Коши.

Системы уравнений с постоянными коэффициентами.

4. Краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

Функция Грина и ее свойства.

5. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка.

Построение общего решения. Задача Коши.

Литература:

Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.:

Физматлит, 2002.

1. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.

2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка.

3. Общая схема метода разделения переменных.

4. Специальные функции математической физики.

5. Основные свойства гармонических функций. Теоремы единственности и существования решения краевых задач для оператора Лапласа. Формулы Грина. Функция Грина для оператора Лапласа. Гармонические потенциалы. Уравнение Гельмгольца в ограниченной и неограниченной областях.

6. Принцип максимума для уравнения параболического типа. Теорема единственности решения внутренних краевых задач для уравнения теплопроводности. Теорема существования решения уравнения теплопроводности на отрезке. Уравнение теплопроводности на бесконечной и полубесконечной прямой.

7. Теоремы единственности и существования решения краевых задач для уравнения колебаний в ограниченной области. Уравнение колебаний на бесконечной и полубесконечной прямой. Распространение волн в пространстве.

Литература:

А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1999.

А.Г.Свешников, А.Н.Боголюбов, В.В.Кравцов. Лекции по математической физике. М.:

Изд-во Московского ун-та. Изд-во Наука, 2004.

Основы математического моделирования 1. Основные этапы метода математического моделирования. Прямые и обратные задачи математического моделирования. Универсальность математических моделей. Принцип аналогий. Иерархия моделей.

2. Некоторые классические модели математической физики. Задача Гурса. Общая задача Коши, функция Римана. Задача Стефана. Задачи математической теории дифракции.

3. Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения.

Автомодельные решения. Математические модели теории нелинейных волн.

4. Методы исследования математических моделей. Вариационные методы решения краевых задач. Метод Ритца. Метод Галеркина. Метод конечных разностей. Явные и неявные схемы. Экономичные разностные схемы. Схема переменных направлений.

Метод баланса построения консервативных разностных схем. Метод конечных элементов.

Асимптотические методы. Метод малого параметра. Регулярные и сингулярные возмущения. Метод усреднения Крылов- Боголюбова.

Литература:

А.А.Самарский, А.П.Михайлов. Математическое моделирование. М.: Наука. Физматлит.

1997.

А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1999.

А.Г.Свешников, А.Н.Боголюбов, В.В.Кравцов. Лекции по математической физике. М.:

Изд-во Московского ун-та. Изд-во Наука, 2004.

А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

Теория вероятностей и математическая статистика 1. Стохастический эксперимент. Понятие события. Вероятностное пространство.

Условная вероятность. Последовательность независимых испытаний. Цепи Маркова.

2. Понятие случайной величины и случайного вектора. Независимость событий и случайных величин. Числовые характеристики распределения случайной величины и случайного вектора. Наилучшее (в среднем квадратичном) оценивание случайных величин и случайных векторов. Предельные теоремы. Нормальное распределение (распределение Гаусса).

3. Случайные процессы. Точечное оценивание параметров распределения.

Интервальное оценивание параметров распределения.

Интервальное оценивание параметров распределения.

Задачи оценивания в линейной модели измерения.

Литература:

Пытьев Ю.П. Шишмарев И.А.

Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. Изд-во МГУ.

Зав. кафедрой математики