[ Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
физико-технический институт
«Московский
(государственный университет)»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе О. А. Горшков «»_2013 г.
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В МАГИСТРАТУРУ
ФАКУЛЬТЕТА УПРАВЛЕНИЯ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
по направлению 010900 «Прикладные математика и физика»по магистерским программам 010957 «Теория управления, кибернетика и исследование операций», 010961 «Системные исследования», 010963 «Прикладная экономика»
кафедр системных исследований, математического моделирования сложных процессов и систем, анализа и прогнозирования национальной экономики Программа обсуждена и одобрена на заседании Ученого совета ФУПМ «19» апреля 2013 г.
Декан факультета _ Шананин А.А.
МАТЕМАТИКА
1. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций Ролля, Лагранжа и Коши.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
3. Исследование функции одного переменного с помощью производных:
монотонность, экстремумы, выпуклость, перегибы.
4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия и достаточные условия дифференцируемости.
5. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия, достаточные условия.
6. Условный экстремум функций нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа (необходимые условия экстремума).
7. Определнный интеграл. Свойства интеграла с переменным верхним пределом:
непрерывность, дифференцируемость. Формула Ньютона--Лейбница.
8. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сравнения.
9. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
10. Степенные ряды. Радиус сходимости. Ряд Тейлора.
11. Криволинейные интегралы. Формула Грина.
12. Поверхностные интегралы. Формула Остроградского--Гаусса.
13. Тригонометрический ряд Фурье. Условия сходимости ряда Фурье в точке.
14. Различные способы задания прямой и плоскости. Углы между прямыми и плоскостями. Формулы расстояния от точки до прямой и плоскости.
15. Кривые второго порядка. Эллипс, парабола, гипербола и их свойства.
16. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Теорема Кронекера--Капелли. Общее решение системы.
17. Линейное преобразование конечномерного пространства, его матрица.
Собственные векторы и собственные значения, их свойства.
18. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.
19. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Методы их решения.
20. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных. Определитель Вронского, формула Лиувилля--Остроградского.
21. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
22. Вероятностное пространство. Независимые события. Теорема сложения. Условная вероятность. Полная система событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
23. Случайная величина и е функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства.
24. Испытания Бернулли. Неравенство Чебышева и закон больших чисел.
25. Регулярные функции комплексного переменного. Интегральная формула Коши.
Функции, регулярные в кольце. Ряд Лорана.
26. Вычет в изолированной особой точке. Вычисление интегралов при помощи вычетов.
27. Задача Коши для уравнения колебаний струны и одномерного уравнения теплопроводности. Формулы Даламбера и Пуассона.
28. Задачи Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона (двумерный и трхмерный случаи).
Литература.
1. Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа.
2. С.М. Никольский. Курс математического анализа.
3. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа.
4. Г.Н. Яковлев. Лекции по математическому анализу.
5. Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу.
6. А.Е. Умнов. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
7. В.И. Чехлов. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре.
8. Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
9. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
10. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений.
11. М.В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
12. В.К. Захаров, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков, Теория вероятностей.
13. В.П. Чистяков. Курс теории вероятностей.
14. Е.С. Половинкин. Курс лекций по теории функций комплексного переменного.
15. М.И. Шабунин, Ю.В. Сидоров. Теория функций комплексного переменного.
16. В.С. Владимиров. Уравнения математической физики.
17. В.П. Михайлов. Лекции по уравнениям математической физики.
18. В.М. Уроев. Уравнения математической физики.
МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИ
1. Определение и топологические свойства выпуклых множеств. Операция с выпуклыми множествами.2. Выпуклые комбинации. Теоремы Каратеодори, Радона, Хелли.
3. Теоремы отделимости.
4. Опорные функции и их свойства.
5. Выпуклые функции и их свойства. Критерий выпуклости дифференцируемой функции.
6. Преобразование Лежандра – Юнга – Фенхеля. Теорема Фенхеля – Моро.
7. Субдифференциал выпуклой функции и его связь с производной по направлению.
8. Теорема Моро-Рокафеллара. Теорема Дубовицкого –Милитюна о субдиференциале максимума.
9. Теорема Куна-Таккера для задач выпуклого программирования.
10. Теорема двойственности для задач линейного программирования.
11. Задачи вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Первые интегралы уравнения Эйлера. Условия Вейерштрасса, Лежандра и Якоби. Уравнение Якоби.
Условия Вейерштрасса–Эрдмана.
12. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
13. Модель межотраслевого баланса В.В.Леонтьева. Продуктивные матрицы.
Критерии продуктивности.
14. Неотрицательная обратимость матрицы (xE-A)и ее связь с продуктивностью.
Теорема о разложении резольвенты.
15..Теорема Фробениуса-Перрона. Оценка темпов сбалансированного экономического роста. Свойства числа Фробениуса-Перрона.
16. Неразложимые матрицы. Свойства числа Фробениуса-Перрона неразложимой матрицы.
17. Теорема об устойчивых матрицах. Теорема Моришимы о магистрали.
Экономическая интерпретация вектора Фробениуса - Перрона.
18. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Оценка стоимости опциона.
19. Теорема Брауэра.
20. Точечно-множественные отображения и их свойства (замкнутость, полунепрерывность сверху и снизу). Теорема Какутани.
21. Лемма Гейла-Никайдо-Дебре.
22. Игры в нормальной форме. Понятия равновесия по Нэшу и оптимальности по Парето. Примеры игр: «дилемма заключенного», «семейный спор», «чет-нечет».
Равновесие по Штаккельбергу. Смешанные стратегии. Теорема фон Неймана о равновесии в смешанных стратегиях в матричной игре.
23. Теорема Нэша. Модель олигополии Курно.
24. Модель Эрроу-Дебре. Конкурентное равновесие и закон Вальраса. Модификация функций спроса и предложения. Сведение вопроса о существовании конкурентного равновесия к вариационному неравенству. Замкнутость отображений спроса и предложения. Теорема Эрроу-Дебре.
25. Первая и вторая теоремы теории благосостояния.
1. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.:
Едиториал УРСС, 2003, 174 с.
2. Арутюнов А.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006, 144 с.
3. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972, 518с..
4. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984, 294с.
5. Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983, 248с.
6. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985, 7. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988, 264с.
8. Маршалл А., Олкин И. Неравенства, теория мажоризации и ее приложения. М.:
Мир, 1983, 574с.
9. Мельников А.В. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.:
ТВП, 1997, 125с.
«