РАБОЧАЯ ПРОГРАММА СПЕЦИАЛЬНОГО КУРСА

«Основы финансовой математики»

для специальности 010200 «Прикладная математика и информатика»,

квалификация – математик, системный программист

Всего часов – 306, из них – лекции 68, практические занятия –85,

самостоятельная работа – 153 час,

отчетность по курсу – экзамен (8), зачет(9).

Составитель: к.ф.-м.н., доцент Кудрявцев О.Е.

Раздел 1. Модели с дискретным временем Лекции (18 ч), практические занятия (24 ч), самостоятельная работа (38 ч) Лекции Основные понятия и модели финансовой математики (акция, облигация, опционы, схемы начисления процентов, дисконтирование). Арбитраж и вектор цен состояний в однопериодической модели. Нейтральные к риску вероятности и статистические вероятности в однопериодической модели. Финансовая интерпретация вектора цен состояний, повторение актива. Полный и неполный рынок, теорема о полных рынках. Биномиальная модель, мартингал (дискретный случай), условное математическое ожидание. Триномиальная модель. Рынок активов в многопериодической модели (стратеги, процесс дивидендов, арбитраж, теорема об эквивалентности отсутствия арбитража существованию строго возрастающего линейного функционала). Дефлятор цен состояний, процесс доходов, момент остановки, мартингал, теорема об эквивалентности отсутствия арбитража существованию дефлятора цен состояний в многопериодической модели. Эквивалентность мер, производная Радона-Никодима, арбитраж и эквивалентная мартингальная мера в многопериодической модели. Полнота рынка и эквивалентная мартингальная мера. Вычисление цены производных ценных бумаг в предположении отсутствия арбитража в многопериодической модели.

Практические занятия Построение арбитражного портфеля в однопериодической модели. Условия отсутствия арбитража в однопериодической биномиальной и триномиальной модели.

Расчет опционов в многопериодической биномиальной модели: опцион европейского типа, вида call; опцион европейского типа, вида put; барьерные опционы; цифровые опционы первого касания; опцион американского типа, вида call с дивидендами и без дивидендов; опцион американского типа, вида put. Волатильность, доходность, подбор параметров дерева Раздел 2. Модели с непрерывным временем.

Лекции (16 ч), практические занятия (10 ч), самостоятельная работа (26 ч) Лекции Предельный переход от биномиальной модели к модели Блека-Шоулза. Формула БлекаШоулза. Броуновское движение, мартингал. Интеграл Ито. Мартингальность t B dB.

броуновского движения и интеграла Ито. Вычисление интеграла Процесс Ито.

s s Формула Ито. Торговая стратегия, самофинансируемая стратегия, арбитраж.

Геометрическое броуновское движение. Уравнение Блэка-Шоулза. Теорема Гирсанова.

Регулярный дефлятор. Арбитраж и дефлятор цен состояний. Эквивалентная мартингальная мера и арбитраж.

Практические занятия Расчет опционов в модели Блэка-Шоулза: опцион европейского типа, вида call;

опцион европейского типа, вида put; цифровые опционы первого касания европейского типа. Постановка задачи в модели Блэка-Шоулза в дифференциальных уравнениях для расчета опционов: барьерные опционы; опционы европейского типа, вида call; опцион европейского типа, вида put; цифровые опционы первого касания.

Задачи 1. Построить арбитражный портфель в двупериодической модели:

B=10$,S 1 =55$,S 2 =22$; r=10%, r 1 =20%, r 2 =50% (благоприятные условия), 1-половина, 2- треть обещанной суммы (неблагоприятные условия).

2. Вычислить цену опциона американского типа, вида call. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, K=115$, T=4.

3. Вычислить цену опциона европейского типа, вида call. Параметры: r=5%, U=1.15, D=0.8, S=100$, K=95$, T=4.

4. Вычислить цену опциона американского типа, вида put. Параметры: r=5%, U=1.3, D=0.8, S=100$, K=95$, T=4.

5. Вычислить цену опциона европейского типа, вида put. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, K=115$, T=4.

6. Цифровой опцион первого касания барьер снизу. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, H=70$, T=4.

7. Цифровой опцион первого касания, барьер сверху. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, H=125$, T=4.

8. Барьерный опцион, вида put, барьер сверху. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, K=105$, H=150$, T=4.

9. Барьерный опцион, вида call, барьер снизу. Параметры: r=5%, U=1.25, D=0.8, S=100$, K=115$, H=75$, T=4.

10. Барьерный опцион, вида put, барьер снизу. Параметры: r=5%, U=1.25, D=0.75, S=100$, K=115$, H=70$, T=4.

11. Барьерный опцион, вида call, барьер сверху. Параметры: r=5%, U=1.25, D=0.8, S=100$, K=115$, H=170$, T=4.

12. По среднедневным ценам акций (100, 102, 103, 99, 102, 101, 98, 97,101,102) за дней расчитать волатильность. Вычислить цену опциона европейского типа, вида call. Параметры: r=5%, S=100$, K=100$, T=6 месяцев.

13. По среднедневным ценам акций (100, 98, 97, 99, 100, 102, 103, 101,102,99) за дней расчитать волатильность. Вычислить цену опциона европейского типа, вида put. Параметры: r=5%, S=100$, K=100$, T=1 месяц.

14. Вычислить цену опциона американского типа, вида call. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, K=115$, T=4.

15. Вычислить цену опциона европейского типа, вида call. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.8, S=100$, K=95$, T=4.Вычислить цену опциона американского типа, вида put.

Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.8, S=100$, K=95$, T=4.

16. Вычислить цену опциона европейского типа, вида put. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, K=115$, T=4.

17. Цифровой опцион первого касания барьер снизу. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, H=70$, T=4.

18. Цифровой опцион первого касания, барьер сверху. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, H=125$, T=4.

19. Барьерный опцион, вида put, барьер сверху. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, K=105$, H=150$, T=4.

20. Барьерный опцион, вида call, барьер снизу. Параметры: r=5%, U=1.25, D=0.8, S=100$, K=115$, H=75$, T=4.

21. По среднедневным ценам акций (100, 101, 103, 99, 101, 100, 98, 101,105,102) за дней расчитать волатильность. Вычислить цену опциона европейского типа, вида call. Параметры: r=5%, S=100$, K=100$, T=3 месяца.

22. По среднедневным ценам акций (100, 97, 95, 99, 101, 104, 106, 104,105,102) за дней расчитать волатильность. Вычислить цену опциона европейского типа, вида put. Параметры: r=5%, S=100$, K=100$, T=2 месяца.

1.На сайте www.rbc.ru выбрать фондовый индекс или акцию и скопировать статистику среднедневных цен за месяц (S 0,S 1,S 2 …S n).

2.Рассчитать доходности: X i = ln i.

3. По ряду доходностей вычислить оценку среднего значения и оценку дисперсии для дневных приращений.

4. Определить волатильность 2 = ( t = 1 деловой день= 1/252 года) 5. Определить параметры дерева с дневным шагом.

6. Вычислить цену европейского опциона пут и колл в модели Блэка-Шоулза.

Дополнительные параметры: цену исполнения K выбрать самим, r=3%, S=0.7K…1.3K$, T=1,2,3,6 месяцев). Построить графики цен опциона, вычисленных для разных дат исполнения.

Вариант Индекс (акция)

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

1.Основные понятия и модели финансовой математики (акция, облигация, опционы, схемы начисления процентов, дисконтирование).

2.По среднедневным ценам акций (100, 101, 103, 99, 101, 100, 98, 101,105,102) за 10 дней рассчитать волатильность. Вычислить цену опциона европейского типа, вида call. Параметры:

r=5%, S=100$, K=100$, T=3 месяца.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

1.Арбитраж и вектор цен состояний в однопериодической модели. Теорема об отсутствии арбитража в однопериодической модели 2.Построить арбитражный портфель в однопериодической модели: B=10$,S1=110$,S2=44$; r=10%, d1=20%, d2=50% (благоприятные условия), 1-половина, 2- треть обещанной суммы (неблагоприятные условия).

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

1.Нейтральные к риску вероятности и статистические вероятности в однопериодической модели.

Финансовая интерпретация вектора цен состояний, повторение актива. Полный и неполный рынок, теорема о полных рынках.

2. Вычислить цену опциона американского типа, вида call. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, K=115$, T=4.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

1.Мартингал (дискретный случай), условное математическое ожидание. Однопериодическая биномиальная модель: условия отсутствия арбитража, нейтральные к риску вероятности.

2.По среднедневным ценам акций (100, 97, 95, 99, 101, 104, 106, 104,105,102) за 10 дней расчитать волатильность. Вычислить цену опциона европейского типа, вида put. Параметры: r=5%, S=100$, K=100$, T=2 месяца.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

1.Рынок активов в многопериодической модели (стратегии, процесс дивидендов, арбитраж, теорема об эквивалентности отсутствия арбитража существованию строго возрастающего линейного функционала).

2.Вычислить цену опциона европейского типа, вида call. Параметры: r=5%, U=1.15, D=0.8, S=100$, K=95$, T=4.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

1.Дефлятор цен состояний, процесс доходов, момент остановки, мартингал, теорема об эквивалентности отсутствия арбитража существованию дефлятора цен состояний в многопериодической модели.

2.Вычислить цену опциона американского типа, вида put. Параметры: r=5%, U=1.3, D=0.8, S=100$, K=95$, T=4.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

1.Эквивалентность мер, производная Радона-Никодима, арбитраж и эквивалентная мартингальная мера в многопериодической модели.

2.Вычислить цену опциона европейского типа, вида put. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, K=115$, T=4.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

1.Полнота рынка и эквивалентная мартингальная мера. Вычисление цены производных ценных бумаг в предположении отсутствия арбитража в многопериодической модели.

2. Построить арбитражный портфель в однопериодической модели: B=10$,S1=220$,S2=66$;

r=10%, r1=20%, r2=50% (благориятные условия), 1-половина, 2- треть обещанной суммы (неблагориятные условия).

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

1.Предельный переход от биномиальной модели к модели Блека-Шоулза.

Формула Блека-Шоулза.

2.Барьерный опцион, вида put, барьер снизу. Параметры: r=5%, U=1.25, D=0.75, S=100$, K=115$, H=70$, T=4.

1.Броуновское движение, мартингал. Интеграл Ито.

2. По среднедневным ценам акций (100, 102, 103, 99, 102, 101, 98, 97,101,102) за 10 дней расчитать волатильность. Вычислить цену опциона европейского типа, вида call. Параметры: r=5%, S=100$, K=100$, T=6 месяцев.

1.Мартингальность броуновского движения и интеграла Ито.

2. Цифровой опцион первого касания, барьер сверху. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, H=125$, T=4.

2. Барьерный опцион, вида call, барьер сверху. Параметры: r=5%, U=1.25, D=0.8, S=100$, K=115$, T=4.

1.Процесс Ито. Формула Ито.

2.Барьерный опцион, вида put, барьер снизу. Параметры: r=5%, U=1.25, D=0.75, S=100$, K=115$, H=70$, T=4.

1.Уравнение Блэка-Шоулза.

2.Цифровой опцион первого касания, барьер сверху. Параметры: r=5%, U=1.2, D=0.75, S=100$, H=125$, T=4.

1.Теорема Гирсанова.

2. По среднедневным ценам акций (100, 101, 103, 99, 101, 100, 98, 101,105,102) за 10 дней расчитать волатильность. Вычислить цену цифрового опциона европейского типа с барьером сверху. Параметры: r=5%, S=100$, K=10$, H=100$, T=3 месяца.

Раздел 3. Коэффициенты хэджирования «Греки»

Лекции (10 ч), практические занятия (12 ч), самостоятельная работа (22 ч) Коэффициент хеджирования Дельта. Дельта-хеждирование. Дельта опциона call, put и цифровых опционов. Коэффициент хеджирования Гамма. Гамма опциона call, put и цифровых опционов. Коэффициент хеджирования Тета. Тета опциона call, put и цифровых опционов. Коэффициент хеджирования Вега. Вега опциона call, put и цифровых опционов. Коэффициент хеджирования Ро. Ро опциона call, put и цифровых опционов.

Вывод уравнения Блэка-Шоулза с помощью соотношения между Греками.

Дельта-хеджирование в биномиальной модели. Вычисление коэффициентов хеджирования Дельта, Гамма, Тета, Вега и Ро для опционов call, put, цифровых опционов и портфелей в модели Блэка-Шоулза.

Лекции (24 ч), практические занятия (39 ч), самостоятельная работа (63 ч) Процессы Леви. Основные определения. Формула Леви-Хинтчина. Регулярые процессы Леви экспоненциального типа. Формулы для математического ожидания, дисперсии, третьего и четвертого центрального моментов для процессов Леви. Подбор параметров процесса Леви с помощью метода моментов. Отсутствие арбитража в обобщенной модели Блэка Шоулза. Преобразование Эшера. Обобщенное уравнение Блэка-Шоулза. Преобразование Фурье и Лаласа. Псевдо-дифференциальные операторы.

Основные определения. Эллиптические уравнения. Факторизация символа q + ( ) с помощью инфимумного и супермумного процессов. Решение уравнения Винера-Хопфа.

Формулы для опционов вида call в обобщенной модели Блэка-Шоулза. Формулы для опционов вида put в обобщенной модели Блэка-Шоулза. Опцион первого касания в обобщенной модели Блэка-Шоулза. Барьерный опцион в обощенной модели БлэкаШоулза.

Подбор параметров гауссовского процесса, процессов NIG, KoBoL и скачкообразного диффузионного процессов с помощью метода моментов.

Преобразование Эшера гауссовского процесса, процессов NIG, KoBoL и скачкообразного диффузионного процессов. Решение псевдодифференциальных уравнений.

Преобразование Фурье функций выплат. Вычисление цены опционов вида call и вида put для гауссовского процесса. Факторизация гауссовского символа. Вычисление цены опционов первого касания и барьерных опционов для гауссовского процесса. Вычисление цены опционов вида call и вида put для процесса NIG и скачкообразного диффузионного процесса.

1.На сайте www.rbc.ru выбрать фондовый индекс и скопировать статистику среднедневных цен за месяц (S 0,S 1,S 2 …).

2.Рассчитать доходности. X i = i.

3. По ряду доходностей вычислить среднее, второй, третий и четвертый центральные моменты.(1 деловой день= 1/252 года) 4. С помощью метода моментов определить параметры процесса NIG 5. По найденному процессу построить новый процесс с эквивалентной мартингальной мерой с помощью преобразования Эшера.

6. Вычислить цену европейского опциона пут в построенной модели NIG двумя способами: через плотность и через преобразование Фурье. Дополнительные параметры:

цену исполнения K выбрать самим, r=3%, S=0.7K…1.3K$, T=1,2,3,6 месяцев). Найти относительную и абсолютную ошибки между результатами. Построить графики цен опциона, вычисленных для разных дат исполнения.

7. Подобрать параметры модели Блэка-Шоулза. (Волатильность по второму моменту) 8. Вычислить цену опциона пут в модели Блэка-Шоулза с теми же дополнительными параметрами.

9. Построить графики абсолютных и относительных ошибок аппроксимации цены в модели NIG ценой в модели Блэка-Шоулза для для разных дат исполнения.

10. Построить график «улыбки волатильности».

Вариант Индекс (акция) Вариант Индекс (акция) 1. Агапов С.Е., Кудрявцев О.Е., Финансовая математика. Дискретные модели. Изд-во 2. Малыхин В.И. Финансовая математика. — М.:ЮНИТИ, 2003.

3. Четыркин Е.М., Финансовая математика: Учебник. М.: Дело, 2000.

4. Ширяев А.Н., Основы стохастической финансовой математики. Т.1. Факты.

Модели.-Москва: Фазис, 1998.

5. Ширяев А.Н., Основы стохастической финансовой математики. Т.2. Теория.Москва: Фазис, 1998.

6. Курс лекций 1. Boyarchenko S. I., Levendorskii S. Z.Non-Gaussian Merton-Black-Scholes theory, World Scientific, New Jercey, London, Singapore, Hong Kong, 2002.

2. Duffie D. Dynamic asset pricing theory.2d ed., Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1996.

3. Шубин M.A. Спектральная теория псевдодифферениальных операторов. — М.:

Наука, 1978.