Учебная программа

Дисциплина: Математические модели механики

деформированного твердого тела

Составитель: проф., доктор физ.-мат. наук М. А. Журавков

Основной курс.

Для студентов отделения механики ММФ.

7 и 8 семестры

Часы: лекции – 36, лабораторные – 26, КСРС – 6, аудиторные – 68, всего часов – 102

Форма отчетности: 8 семестр - зачет

СОСТАВИТЕЛИ:

Журавков Михаил Анатольевич, зав. кафедрой теоретической и прикладной механики Белорусского государственного университета, доктор физикоматематических наук, профессор;

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Чижик Сергей Антонович, главный Ученый секретарь Национальной академии наук Беларуси, доктор технических наук, профессор.

Василевич Юрий Владимирович, заведующий кафедрой сопротивления материалов Белорусского национального технического университета, доктор физико-математических наук, профессор.

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ В КАЧЕСТВЕ ТИПОВОЙ:

Кафедрой теоретической и прикладной механики Белорусского государственного университета (протокол № 8 от 05 марта 2011 г.);

Научно-методическим советом Белорусского государственного университета (протокол № 2 от 20 марта 2011 г.);

Научно-методическим советом по математике и механике Учебнометодического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию (протокол № 3 от 30 марта 2011 г.) Ответственный за выпуск: Журавков Михаил Анатольевич Пояснительная записка Актуальность изучения учебной дисциплины «Математические модели механики деформируемого твердого тела»

Моделирование это замена изучения интересующего нас явления в натуре изучением аналогичного явления на различных моделях. Главная задача моделирования заключается в том, чтобы по результатам выполнения модельных исследований можно было дать необходимые ответы о качественных и количественных особенностях и эффектах изучаемого явления в натурных условиях.

Моделирование в общем случае можно разделить на три вида:

физическое, математическое и функциональное.

Рассматриваемый курс относится к математическому моделированию механических процессов, имеющих место в различных природных средах, находящихся в условиях разнообразного силового и кинематического нагружения. Математическое моделирование применяют для изучения тех процессов, которые можно описать математически (т.е. для которых можно построить математические модели), причем таким образом, что построенная модельная математическая задача является решаемой.

В настоящее время в связи с активным внедрением средств вычислительной техники во все сферы научно-исследовательской и производственной деятельности человека коренным образом меняются подходы и идеология выполнения научных исследований и инженерной работы специалистов. Компьютер сегодня является интеллектуальным инструментом. Таким образом, сегодня специалисты не сосредоточивают внимания на разработку способов и подходов решения той либо иной задачи, а занимаются проблемой адекватности постановки модельной задачи и реального процесса. При этом методы решения модельной задачи могут быть весьма “громоздкими и тяжеловесными”. Так как задача решается, например, на ПЭВМ, то данное обстоятельство не является определяющим фактором.

Такой подход открывает новые возможности в связи с тем, что каждая индивидуальная задача решается в строгой постановке, а не приближенными методами по инженерным формулам.

Как правило, решение большого количества прикладных механических задач требует выполнения пассивного или активного эксперимента.

Основной недостаток пассивного эксперимента (под данным термином понимаем натурные исследования или наблюдения) заключается в невозможности достаточного варьирования входными параметрами, что ограничивает использование полученных результатов рамками конкретных условий, в которых были выполнены исследования. Чтобы избежать этого недостатка, прибегают к процедуре замены реального процесса его моделью, с помощью которой и выполняются последующие исследования с достаточно широким варьированием входных параметров (будем называть это активным экспериментом).

Наиболее широко используемыми технологиями проведения активного эксперимента являются подходы, основанные на использовании физических и математических моделей. До массового внедрения компьютерных технологий методы математического моделирования не имели значительного распространения при изучении сложных прикладных процессов из-за трудоемкости, а порой и невозможности проведения реальных вычислений в соответствии с построенной математической моделью. В связи с этим предпочтение отдавалось исследованиям на физических моделях. Последние, в свою очередь, помимо положительных моментов, имеют и большое количество отрицательных факторов, препятствующих распространению физического моделирования в качестве универсальной технологии.

Поэтому необходимо четко представлять области эффективного использования и ограничения того либо иного подхода к проведению моделирования реальных процессов.

С появлением мощных ПЭВМ сегодня появилась реальная возможность выполнять экспериментальные модельные исследования без использования дорогостоящих и долговременных натурных исследований. То есть заменить процедуру создания физической модели на математическую, решаемую, в свою очередь, на базе компьютерных технологий, и проводить исследования на основе последней в соответствии с заранее определенными физическими уравнениями, описывающими поведение среды.

Практически одновременно с появлением компьютеров начался процесс разработки и внедрения компьютерных специальных технологий для проведения сложных трудоемких работ, связанных с исследованиями разнообразных механических процессов и явлений, изучением механических систем и решением многочисленных задач прикладной механики. При этом, благодаря своему главному качеству – обеспечение выполнения математических операций с огромным быстродействием – создавались возможности использования более адекватных математических моделей.

Математические модели для моделирования разнообразных механических процессов и явлений изучались веками, но до появления современных компьютерных методов и собственно компьютеров использование реалистичных математических моделей практически не было возможным в научных исследованиях. Сегодня математические модели, используемые для изучения разнообразных механических процессов и явлений, принимают во внимание, по крайней мере, большинство всех характерных черт механической среды (процесса). Последнее стало возможным именно благодаря использованию в исследованиях компьютерных методов.

В последние годы в результате бурного развития компьютерной механики создаются и новые методы решения задач механики.

Сегодня одной из важных задач является разработка, развитие и адаптация современных продвинутых подходов и методов математического моделирования для выполнения компьютерного моделирования широкого класса прикладных механических процессов. При этом основной упор должен быть сделан на изучение физических (механических) процессов, моделирование которых весьма трудоемко или практически невозможно произвести с помощью иных подходов.

Целью курса является повышение уровня профессиональной подготовки студентов в области математического и компьютерного моделирования разнообразных процессов и явлений МДТТ. В связи с этим, основной задачей данного курса является овладение слушателями знаний в следующем объеме:

специалист должен хорошо знать современный аппарат и подходы математического анализа механических явлений и процессов;

специалист должен хорошо знать различные модели для описания механического состояния сред;

специалист должен иметь навыки аналитического и компьютерного моделирования механических явлений и процессов;

специалист должен уметь формулировать корректные модельные механико-математические постановки реальных процессов и явлений;

специалист должен знать и уметь быстро осваивать современные компьютерные технологии и пакеты для практических приложений.

Требования к уровню усвоения содержания учебной дисциплины Требования к уровню усвоения содержания учебной дисциплины определены образовательным стандартом по механике.

Выпускник должен • главные исторические этапы развития механики деформируемого твердого тела;

• методы и способы решения дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, • методы и способы решения интегральных уравнений;

• основы тензорного исчисления;

• основополагающие понятия, определения и теоремы МСС;

• основные модели в теории упругости, пластичности, вязкоупругости;

• модели изотропных и анизотропных деформируемых твердых сред;

• модели линейного и нелинейного упругого тела, пластического тела, реологические модели;

основные подходы к решению различных классов задач МДТТ;

точные решения различных классических задач различных разделов механики деформируемых твердых тел;

приближенные аналитические и численные методы решения задач упругости, пластичности, вязкоупругости;

о прикладных приложениях задач механики сплошных сред, новейших достижениях в области механики деформируемого твердого тела.

выбирать модель и осуществлять математическую постановку начальнокраевых задач различных разделов МДТТ;

осуществлять математическое решение задач МДТТ;

совершенствовать «стандартные» модели применительно к различным разделам МДТТ;

использовать основные уравнения и математические модели различных разделов МДТТ в постановке конкретных классических учебных и прикладных задач;

ставить граничные и начальные условия;

применять аналитические, приближенные и численные методы решения задач механики деформируемого твердого тела и разрабатывать на их основе алгоритмы и расчетные схемы решения различных классов прикладных задач МДТТ;

проводить анализ полученных результатов, сравнения с экспериментами, формулировать выводы и заключения.

Структура содержания учебной дисциплины Данная программа является основным документом, который определяет объем и содержание дисциплины для специальности «Механика» и предусматривает последовательность ее изложения.

Программа состоит из семи разделов.

В процессе реализации программы особое место должна занимать организация учебно-исследовательской работы студентов. Эта работа должна органично включаться в учебный процесс в сочетании со всеми видами учебных занятий.

Каждая тема позволяет организовать творческую самостоятельную работу студентов, которая будет способствовать становлению специалиста, обладающего значительным творческим потенциалом. Содержание и формы контролируемой самостоятельной работы студентов должны соответствовать целям и задачам подготовки специалистов.

Особое внимание следует обращать на организацию индивидуальной работы студентов под руководством преподавателя. Рекомендуется разработка системы индивидуальных заданий.

По всем разделам программы рекомендуется провести коллоквиумы.

С целью текущего контроля предусматривается проведение двух контрольных работ в каждом семестре.

Рекомендуется разработать систему индивидуальных домашних заданий.

Для контроля и самоконтроля знаний и умений студента по отдельным темам или разделам представляется целесообразным использование тестовых технологий. Пример теста приведен в приложении 1.

На изучение дисциплины «Математические модели механики деформируемого твердого тела» типовой учебной программой отводится всего: 102 часа, из них аудиторных – 68 часов, по видам занятий: лекций – часов, лабораторные занятия – 26 часов, КСРС – 6 часов.

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ

деформированного состояния твердых деформируемых сред деформируемую среду деформируемых сред моделирования механических процессов.

Общие тpебования и особенности построения математических моделей механических пpоцессов и явлений.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Тема 1. Некоторые вопросы теории напряженно-деформированного состояния твердых деформируемых сред.

Основные понятия сплошной среды. Упругая сплошная среда Тензор напряжений. Свойства тензора напряжений.

Перемещения и деформации. Тензор деформаций и его свойства.

Соотношения, обеспечивающие модели сплошной среды Тема 2. Физические соотношения, определяющие деформируемую среду Механические характеристики деформируемых твердых сред Подходы к определению и расчету механических характеристик в физических соотношениях, определяющих среду Соотношения, описывающие поведение среды в рамках теории упругости Соотношения для описания упруго-пластичного поведения среды Соотношения для описания вязкоупругого поведения среды Исследование погрешностей и надежности определения и осреднения показателей свойств материалов Тема 3. Модели упругих твердых деформируемых сред О постановке задач теории упругости Постановка задач теории упругости в перемещениях Постановка задач теории упругости в напряжениях Учет малых нелинейных эффектов и возмущений определяющих характеристик в рамках теории упругости Динамические задачи теории упругости Примеры исследования напряженно-деформированного состояния упругих тел Тема 4. Модели поведения пластичных твердых деформируемых сред О задачах теории пластичности и упруго-пластичности. Условия пластичности Постановка и общие методы решения основных задач теории пластичности упругопластических деформаций Математические модели и постановка задач теории пластического течения Примеры исследования напряженно-деформированного состояния упругопластических тел Тема 5. Модели поведения сред с реологическими свойствами Ползучесть и релаксация Математические модели реологических тел Основы теории линейно-наследственных сред Принцип Вольтера решения задач линейной вязкоупругости Решение задач для неоднородных деформируемых сред Определяющие уравнения теории ползучести изотропных исходно упрочняющихся сред Примеры исследования напряженно-деформированного состояния тел с реологическими свойствами Тема 6. Фундаментальные решения МДТТ Фундаментальные решения эллиптических уравнений Фундаментальных решений различных классов задач МДТТ Решение задач МДТТ на основе фундаментальных решений Примеры исследования напряженно-деформированного состояния тел на основе фундаментальных решений Тема 7. Основные этапы математического моделирования механических процессов. Общие тpебования и особенности построения математических моделей механических пpоцессов и явлений.

Основные этапы математического моделирования механических процессов Общие требования к системам разрешающих уравнений модельных задач механики.

Особенности построения математических моделей для различных классов задач МДТТ.

Примеры построения модельных задач применительно к задачам геомеханики (механики подземных сооружений, механики природных процессов, механики грунтов) основной и дополнительной литературы по дисциплине «Математические модели механики деформируемого твердого тела»

1. Журавков М.А., Мартыненко М.Д. Сингулярные решения и интегральные уравнения в механике деформируемых сред. Мн.: Изд-во БГУ, 1999. 358с.

2. Журавков М.А. Математическое моделирование деформационных процессов в твердых деформируемых средах. Мн.: БГУ, 2002. 456с.

3. Журавков М.А. Фундаментальные решения теории упругости и некоторые их применения в геомеханике, механике грунтов и оснований.

Курс лекций. Минск: БГУ, 2008. 247 с.

4. Журавков М.А., Старовойтов Э.И. Механика сплошных сред. Теория упругости и пластичности: учебн. пособие. Мн.: БГУ, 2010. 597 с.

5. Амензаде, Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. 272 с.

6. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.:

Высшая школа, 1968. 784 с.

7. Ишлинский, А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.:

Физматлит, 2001. 704 с.

8. Клюшников, В. Д. Математическая теория пластичности. М.: МГУ, 1979.

9. Колтунов, М. А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

10. Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизатропного тела. М., Наука, 1977.

11. Ломакин, В. А. Теория упругости неоднородных тел. М.: МГУ, 1976.

12. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.:

Машиностроение, 1968. 400 с.

13. Новацкий, В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

14. Победря, Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. М.:

Эдиториал УРСС, 1999. 208 с.

15. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

16. Горшков, А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. М.: Физматлит, 2002. 416 с.

17. Горшков, А. Г. Волны в сплошных средах: учеб. пособ. для вузов / А. Г.

Горшков [и др.]. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 472 с.

1. Мартыненко М.Д., Журавков М.А. Мет од квазифункций Грина в механике деформируемого т вердого т ела. Мн.:Университетское, 1993.

180с.

деформационной механики блочно-слоист ого массива соляных горных пород. Мн.:Университетское, 1995. 255с.

3. Механика сплошной среды. Криволинейные брусья, пластины и оболочки:

курс лекций / Громыко А.О., Громыко О.В., Журавков М.А., Медведев Д.Г.; под общ. ред. М.А. Журавкова – Мн.: БГУ, 2005. – 364 с.

4. Гляков С.А., Громыко О.В., Журавков М.А, Медведев Д.Г. Компьютерная механика. Динамический и кинематический анализ механических систем:

курс лекций / под ред. М.А.Журавкова. Мн.:БГУ, 2006. 375 с.

5. Компьютерное моделирование в геомеханике / Под общ. ред. М.А.

Журавкова. Мн. БГУ, 2008. 443 с.

6. Журавков М.А., Зубович В.С. Устойчивость и сдвижение массивов горных пород. М.: РУДН, 2009. – 432 с.

7. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

8. Горшков, А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. М.: Наука, 2000. 214 с.

9. Ильюшин, А. А. Пластичность. Основы общей математической теории.

М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

10. Колтунов, М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983. 349 с.

11. Купрадзе, В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В.

Трехмерные задачи математической теории упругости. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1968. 628 с.

12. Старовойтов, Э.И. Основы теории упругости, пластичности и вязкоупругости. Гомель: БелГУТ, 2001. 344 с.

13. Старовойтов, Э.И. Техническая механика. Гомель: БелГУТ, 2006. 235 с.

14. Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л.

Вроубел. – М.: Мир, 1987. – 524 с.

15. Победря, Б. Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости / Б.Е.

Победря // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1973. Вып. 3. – С. 95–