Министерство образования и наук

и Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Лицей ИГУ г. Иркутска

Математика для экономистов

Факультативный курс (11 класс, 34/68 часов)

Авторская комбинаторная

двухуровневая учебная программа

для учителей экономики

Составители:

Филатов Александр Юрьевич,

заведующий кафедрой математической экономики ИГУ, доцент, к.ф.-м.н.

Пержабинский Сергей Михайлович учитель экономики, аспирант ИГУ Иркутск – 2011 Пояснительная записка Программа факультативного курса «Математика для экономистов» рассчитана на учащихся 11-го экономико-математического класса Лицея ИГУ и дополняет основной курс «Экономика. Часть 2. Макроэкономика».

Специфика экономико-математического класса Лицея ИГУ заключается в следующем:

1. В наличии у учащихся математической подготовки в рамках школьной программы за 1–11 классы.

2. В наличии у учащихся базовых экономических знаний в соответствии с курсами «Экономика. Часть 1. Микроэкономика» (10 класс) и «Экономика. Часть 2. Макроэкономика» (11 класс).

3. В наличии у учащихся финансовой грамотности, знания основ предпринимательства и организации собственного дела, представлений об институциональной экономике и теории принятия решений, полученных в рамках факультативного курса «Экономика: вопросы и ответы, модели и задачи» (10 класс).

4. В обладании учащимися опыта научно-исследовательской работы, выступлении на ежегодной научно-практической конференции Лицея ИГУ и защите курсовой работы в рамках научно-методической кафедры.

5. В умении учащихся применять информационные и компьютерные технологии.

В рамках предлагаемого факультативного курса изучаются темы, позволяющие сформировать базу для дальнейшего изучения в вузе продвинутых курсов экономики на современном мировом уровне и не входящие в основные курсы «Экономика. Часть 1. Микроэкономика» (10 класс) и «Экономика. Часть 2. Макроэкономика» (11 класс), а также в факультативный курс «Экономика: вопросы и ответы, модели и задачи» (10 класс).

Курс отвечает требованиям, предъявляемым к факультативным курсам, а также специфике экономического класса Лицея ИГУ. Данный курс также может использоваться учителями-предметниками общеобразовательных учебных заведений при проведении дополнительных занятий по математике и экономике с учетом уровня обученности учащихся и учебной нагрузки.

Основные цели и задачи курса:

1. Формирование и развитие экономико-математического мышления учащихся.

2. Развитие общей экономико-математической культуры.

3. Формирование у учащихся интереса к математике и экономике посредством включения в курс занимательных примеров, задач, парадоксов, игр и экспериментов 4. Формирование у учащихся представления о математическом аппарате, лежащем в основе современных продвинутых курсов экономики.

5. Развитие потребностей и отработка навыков самостоятельного поиска, усвоения и применения знаний учащимися.

6. Подготовка к участию в олимпиадах городского, областного и Всероссийского уровней.

7. Подготовка к поступлению в престижные ВУЗы.

8. Овладение знаниями, умениями и навыками, необходимыми для будущей практической деятельности.

Курс состоит из четырех разделов и рассчитан на 34 или 68 часов (1 или 2 часа в неделю соответственно). Тематика при этом остается неизменной.

В игровой форме с большим количеством занимательных примеров, задач, парадоксов и экспериментов, призванных заинтересовать учащихся, даются математические основы современной теоретической экономики.

Первые 10–15 минут факультатива предполагается уделять ответам на вопросы, возникшие у учащихся при прослушивании основного курса экономики, а также вне контекста изучаемого материала, но относящиеся к экономической сфере. Кроме того рекомендуется еженедельно обсуждать прошедшие в экономической жизни региона страны и мира события, давать им оценку и анализировать их возможные последствия.

В случае выбора рекомендуемого 68-часового варианта курса возникает возможность более глубоко прорабатывать изучаемый материал, уделять больше времени деталям, увеличить число экспериментов и деловых игр, решать задачи, в том числе, повышенной трудности, с помощью которых удается достичь более прочных знаний, чем из чисто теоретических курсов.

Не рекомендуется учебников по факультативному курсу в связи с отсутствием таковых. По отдельным темам курса (в частности, из раздела «теории игр») рекомендуется адаптировать материал вузовских учебников, упрощая его и расширяя занимательными примерами и задачами, по другим – использовать статейный материал, а также интернет-источники, поиск которых можно осуществлять по ключевым словам, присутствующим в содержании разделов программы. Основным источником для учащихся является ведущийся ими качественный конспект занятий.

Программа, а также все сопроводительные материалы, авторские сборники задач и презентации по некоторым разделам курса выложены на интернетресурсах http://math.isu.ru/filatov и http://polnolunie.baikal.ru/me/mat_ec.htm.

Связь с авторами:

Филатов Александр Юрьевич:

Тел. 8-914-88-21-888; e-mail: [email protected];

ICQ: 10793366; блог: http://fial_.livejournal.com Пержабинский Сергей Михайлович:

Тел. 8-908-661-55-35; e-mail: [email protected] Содержание программы № Тема занятия Часов 0. Введение 1/ 1. Теория игр 7/ 1.1. Введение в теорию игр 1/ 1.2. Классификация игр 1/ 1.3. Смешанные стратегии 1/ 2.5. Модели пространственной дифференциации товара 1/ 2.7. Пространственная экономика общественного сектора 1/ 3.3. Решение простейших задач линейного программирования 1/ 4. Эконометрика и компьютерное моделирование 10/ 4.1. Введение в теорию вероятностей и статистику 1/ 4.5. Принципы проведения вычислений в Microsoft Excel 1/ 4.6. Примеры практических эконометрических исследований 1/ Учебно-тематическое планирование 34ч 68ч 2 3–4 Введение в теорию игр Лекция, диалог, решение 3 5–6 Классификация игр Разбор игры, лекция, диалог, решение задач 4 7–8 Смешанные стратегии Лекция, диалог, решение 5 9–10 Решение матричных игр Лекция, диалог, решение 6 11–12 Динамические игры Лекция, диалог, решение 7 13–14 Игры с асимметричной Лекция, диалог, решение 8 15–16 Кооперативная теория игр Лекция, диалог, решение 9 17–18 Количественная олигополия Дискуссия, лекция, диабез сговора лог, решение задач 10 19–20 Ценовая олигополия без сговора Лекция, диалог, решение 11 21–22 Олигополия со сговором Лекция, диалог, решение 12 23–24 Олигополия с барьерами входа Доклады, лекция, диалог, 13 25–26 Модели пространственной Дискуссия, лекция, диадифференциации товара лог, решение задач 14 27–28 Основы пространственной Доклады, лекция, диалог, 15 29–30 Пространственная экономика Дискуссия, лекция, диаобщественного сектора лог, решение задач 16 31–32 Основы теории контрактов Дискуссия, лекция, диалог, решение задач 17 33–34 Основы теории аукционов Доклады, лекция, диалог, Учебно-тематическое планирование 34ч 68ч 18 35–36 Потенциальные игры Лекция, диалог, решение 19 37–38 Математическое программирование Доклады, лекция, диалог, 20 39–40 Решение простейших задач Лекция, диалог, решение линейного программирования задач 21 41–42 Многокритериальные задачи Доклады, лекция, диалог, 22 43–44 Рекуррентность Лекция, диалог, решение 23 45–46 Обобщенная концепция Лекция, диалог, решение 24 47–48 Введение в теорию вероятностей Лекция, диалог, решение 25 49–50 Вероятностные парадоксы Лекция, диалог, эксперимент, дискуссия 26 51–52 Метод наименьших квадратов Дискуссия, лекция, диалог, практикум 27 53–54 Анализ временных рядов Лекция, диалог, практикум 28 55–56 Принципы проведения Лекция, диалог, практивычислений в Microsoft Excel кум 29 57–58 Примеры практических Доклады, лекция, диалог, эконометрических исследований дискуссия 31 61–62 Имитационное моделирование Доклады, лекция, диалог, 32 63–64 Экспериментальная экономика Лекция, диалог, эксперименты и их разбор 34 67–68 Повторение и обобщение материала Дискуссия, лекция, диалог 0. ВВЕДЕНИЕ 1. Отличия естественных и гуманитарных наук.

2. Экономический империализм и общий социальный анализ.

3. Математика как инструментарий современной экономики.

4. Универсализм vs разнообразие.

5. Концептуализм vs эмпиризм.

6. Теория игр vs оптимизация.

7. Краткосрочный vs долгосрочный период.

1. ТЕОРИЯ ИГР 1.1. Введение в теорию игр 1. Множества игроков и их стратегий.

2. Доминирующая стратегия.

3. «Дилемма заключенного» и ее экономическая интерпретация.

4. Равновесие Нэша.

5. Пример «джинн и тоник».

6. Игра «минимальное число».

1.2. Классификация игр 1. Поиск равновесий Нэша в игре «минимальное число».

2. «Дилемма заключенного».

3. «Семейный спор».

4. «Нерегулируемый перекресток».

1.3. Смешанные стратегии 1. Отсутствие равновесия в чистых стратегиях.

2. Пример «Пионеры и водка».

3. Равновесие в смешанных стратегиях.

4. Игра «Тюремное очко» и ее разбор.

1.4. Решение матричных игр 1. Решение в чистых стратегиях.

2. Графический способ решения матричных игр 2n и m2.

1.5. Динамические игры 1. Бесконечно повторяющееся взаимодействие.

2. Проблема таксиста и продажи в долг.

3. Пример «опера Пуччини».

4. Пример «террорист».

5. Дуэли n лиц и получаемые в них равновесия.

6. Экономические примеры.

1.6. Игры с асимметричной информацией 1. Пример «встреча в метро».

2. Рынок «лимонов».

3. Модели последовательного поиска Стиглера.

1.7. Кооперативная теория игр 1. Требования к механизму.

2. Индивидуальная рациональность.

3. Коалиционная устойчивость.

4. Пример «аэропорт».

5. Пример «дорога».

2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР

2.1. Количественная олигополия без сговора 2. Модель Штакельберга – равновесие в двухуровневой игре.

3. Борьба за лидерство.

2.2. Ценовая олигополия без сговора 2. Парадокс Бертрана и выходы из него.

3. Динамическая ценовая конкуренция.

4. Модель Эджворта.

5. Возрастающие предельные издержки.

6. Дифференциация товара.

2.3. Олигополия со сговором 1. Ценовые лидеры: доминирующая фирма, фирма с наименьшими издержками, барометрический лидер.

2. Объединение фирм. Картель.

3. Квоты и задача их определения.

4. Картель с побочными платежами.

5. Устойчивость картеля.

6. Картель и конкурентное окружение.

2.4. Олигополия с барьерами входа 1. Понятие барьера входа.

2. Блокированный, сдерживаемый и предоставляемый вход.

3. Абсолютные и относительные преимущества в издержках.

4. Модель Джелмана-Сэлопа.

6. Грабительское ценообразование.

2.5. Модели пространственной дифференциации товара 1. Пример «мороженое на пляже».

2. Модели линейного города Хотеллинга.

3. Случай фиксированных цен.

4. Случай фиксированного размещения фирм.

5. Обобщения и выводы.

2.6. Основы пространственной экономики 2. Учет неоднородности пространства.

3. Классические модели международной торговли.

4. Идеология и выводы из модели монополистической конкуренции Диксита-Стиглица-Кругмана.

2.7. Пространственная экономика общественного сектора 1. Проблемы размещения общественных благ: количество, расположение, распределение людей, оплата.

2. Миграционная и коалиционная устойчивость.

3. Случаи прямой и плоскости.

2.8. Основы теории контрактов 1. Принципал и агент.

2. Асимметрия информации.

3. Отрицательный отбор.

4. Моральный риск.

5. Рыночные сигналы.

7. Пример формирования страхового тарифа.

8. Пример найма на работу.

2.9. Основы теории аукционов 1. Понятие аукциона, их классификация и ожидаемые результаты.

2. Английский и голландский аукционы.

3. Открытый и закрытый ауционы.

4. Аукционы первой и второй цены.

5. Аукционы с оплатой победителя и всеобщей оплатой.

7. Проклятие победителя.

8. Практика аукционов.

3. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ

3.1. Потенциальные игры 1. Связь задач теории игр и оптимизации.

2. Виды потенциальных игр: точные, взвешенные, порядковые и потенциальные игры наилучшего ответа.

3. Связь с моделью массового обслуживания Розенталя.

3.2. Математическое программирование 1. Целевая функция и ограничения.

2. Примеры из различных областей экономики.

3. Задачи потребителя и производителя.

4. Модель межотраслевого баланса.

3.3. Решение простейших задач линейного программирования 1. Допустимость и оптимальность.

2. Графический метод решения задач ЛП.

3. Симплекс-метод.

3.4. Многокритериальные задачи 1. Принципы решения многокритериальных задач.

2. Линейная, максиминная и другие свертки.

3. Условная оптимизация.

4. Принципы идеальной точки и Калаи-Смородинского.

5. Приложение к различным областям экономики.

3.5. Рекуррентность 2. Выигрышные и проигрышные стратегии.

4. Пешечная дуэль.

5. Внешняя и внутренняя устойчивость.

3.6. Обобщенная концепция устойчивости 1. Пример «пауки в банке».

2. Модель удержания плохих правительств.

3. Парето-оптимальность в оптимизации.

4. Равновесие Нэша в некооперативных играх.

5. Ядро в кооперативных играх.

6. Объединение в рамках единой концепции устойчивости.

4. ЭКОНОМЕТРИКА И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

4.1. Введение в теорию вероятностей и статистику 1. Понятие случайной величины.

2. Математическое ожидание и дисперсия.

4. Пример «прекрасная невеста».

5. Игра «ключевые карты».

4.2. Вероятностные парадоксы 1. «Парадокс Монти Холла».

2. Парадокс «двух конвертов».

3. Парадокс «обмена валют».

4. «Ленинградский парадокс».

4.3. Метод наименьших квадратов 1. Исходные данные и результаты эконометрического исследования.

2. Парная линейная связь.

3. Графическое представление метода наименьших квадратов.

4. Случай нескольких регрессоров.

5. Простейшие нелинейные модели.

4.4. Временные ряды 1. Отличия временных и пространственных выборок.

3. Учет сезонных колебаний.

4. Скользящее среднее.

5. Дамми-переменные.

4.5. Принципы проведения вычислений в Microsoft Excel 1. Основные команды Microsoft Excel, использующиеся в эконометрике.

2. Оценивание функции спроса c помощью линейной регрессии.

3. Выделение тренда и сезонности временного ряда.

4.6. Примеры эконометрических исследований 1. Инфляция и экономический рост.

2. Конвергенция ВВП между странами.

3. Паритет покупательной способности.

4. Валютный курс и процентная ставка.

4.7. Эконофизика 1. История появления.

2. Отличия от мэйнстрима.

3. Приложения к финансовым рынкам, распределению богатства, макроэкономике и финансам, другим областям.

4.8. Имитационное моделирование 1. Интуитивные ловушки.

2. Модель «Мировая динамика» Дж.Форрестера.

3. Модель прогнозирования инфляции.

4.9. Экспериментальная экономика 1. История появления.

2. Экспериментальная экономика: примеры.

3. Доверие и его влияние на стратегическое взаимодействие.

4. Влияние наказания и страховки на поведение агентов.

5. «Эксперимент на доверие».

4.10. Психологические аспекты экономики 1. Психологическая экономика: несколько примеров.

2. Рыночные сигналы.

3. Асимметрия информации.

4. Закон малых чисел.

6. Отвращение к потерям.

ПОВТОРЕНИЕ И ОБОБЩЕНИЕ МАТЕРИАЛА

1. Теория игр.

2. Приложения теории игр.

3. Теория оптимизации.

4. Эконометрика и компьютерное моделирование.

Рекомендуемые интернет-источники:

1. Органы государственной власти:

http://www.government.ru – Правительство РФ http://www.minfin.ru – Министерство финансов РФ http://www.economy.gov.ru – Министерство экономического развития РФ http://www.cbr.ru – Центральный банк РФ http://www.nalog.ru – Федеральная налоговая служба РФ http://www.gks.ru – Федеральная служба государственной статистики РФ http://www.eeg.ru – Экспертная экономическая группа http://www.forecast.ru – Центр макроэкономического анализа и краткосрочного прогнозирования 2. Экономическое образование и наука:

http://www.nes.ru – Российская экономическая школа. Ведущая магистратура по экономике и финансам в России и Восточной Европе в целом http://hse.ru – Высшая школа экономики. Ведущий экономический вуз в России http://econorus.org – Новая экономическая ассоциация, объединение действующих российских экономистов http://iloveeconomics.ru – портал «экономика для школьников»

http://economicus.ru – портал «Экономическая школа»: обучающая литература http://math.isu.ru/ru/filatov – дополнительные материалы и подборки задач СМИ:

http://rbc.ru – информационное агентство «РосБизнесКонсалтинг»

http://export.rbc.ru – данные по курсам валют и фондовым индексам http://finam.ru – рынок ценных бумаг: информация и аналитика http://www.vedomosti.ru – газета «Ведомости»

http://www.smoney.ru – аналитический еженедельник «Smart Money»

http://www.expert.ru – журнал «Эксперт»

3. Экономические блоги:

http://slon.ru – Российский экономический портал: новости и блоги http://flime.ru – красочно и понятно об экономических явлениях http://kar-barabas.livejournal.com – ежедневный экономический обзор http://av-rybin.livejournal.com – «хроника кризиса», переводы статей http://likh.livejournal.com – аналитические материалы http://ugfx.livejournal.com – актуальная экономическая статистика http://ksonin.livejournal.com – профессор РЭШ, экономист и журналист http://superinvestor.ru – все о фондовом рынке http://rusanalit.livejournal.com – нефтяной рынок, российская экономика http://fritzmorgen.livejournal.com – экономика, ведение бизнеса, логика Пример факультатива 2.3 (урок 10 / 19–20) «Ценовая олигополия без сговора»:

Примечание 1. Серым фоном выделены фрагменты материала, исключаемые для сокращенной программы, рассчитанной на 34 часа.

Примечание 2. Факультатив начинается с ответов на вопросы учащихся и обсуждения экономических событий прошедшей недели.

Примечание 3. При проведении факультатива можно использовать слайды презентации http://math.isu.ru/ru/chairs/me/files/filatov/2009_-_oligopoly1.ppt Цели факультатива: изучить особенности некооперативного взаимодействия олигополистов на рынке, разобраться в модели ценовой войны Бертрана, изучить способы выхода из парадокса Бертрана.

Олигополия без сговора – рыночная структура, в которых каждая фирма, ориентируясь на действия конкурентов, самостоятельно максимизирует прибыль, управляя собственной ценой и объемом поставок продукции.

Ценовая олигополия – олигополия, в которой стратегической переменной является цена. Адекватна в ситуации, когда фирмы в состоянии за небольшое время существенно изменить объем поставок на рынок, в том числе, при возможности, завоевать весь рынок.

Примеры: розничная торговля, большинство рынков услуг, некоторые рынки потребительских товаров.

Дилемма заключенного:

не созн. 15 сут./15сут. 10 лет / 0 дорого 5 млн. /5 млн. 0 / 6 млн.

созн.

Модель ценовой войны Бертрана:

q1 = Q 2, p1 = p 2 - дележ рынка выгодно поочередное снижение цен.

Оптимальная стратегия: удешевление продукции с целью захвата всего рынка при любых ценах конкурентов, превышающих себестоимость.

При c1 = c2 = c существует единственное равновесие p1* = p 2 * = c.

Парадокс Бертрана:

Равновесие на рынке с небольшим количеством фирм достигается при продаже продукции по издержкам. Фирмы не в состоянии обеспечить себе положительную прибыль, производя однородную продукцию.

Выходы из парадокса Бертрана:

1. Динамическая ценовая конкуренция.

2. Модель Эджворта (ограничения на производственные мощности).

3. Модели с возрастающими предельными издержками.

4. Модели с дифференцированным продуктом.

Если взаимодействие фирм может продолжаться бесконечно долго, доминирующими могут быть, по крайней мере, следующие две стратегии:

Стратегия «Око за око» – изначально назначить высокую цену, далее повторять действия конкурента.

Стратегия «хищничества» – назначать низкую цену в любой момент времени вне зависимости от действий конкурента.

Пример. На рынке действуют два олигополиста, которые могут сотрудничать или действовать исходя из собственных интересов. Соответствующие годовые прибыли (в млн. руб.) в зависимости от выбранных стратегий приведены в следующей таблице:

сотрудничество Если одна из фирм начинает действовать в собственных интересах, то другая больше не идет на сотрудничество. Определить, какая из стратегий будет оптимальной, если вероятность продолжения взаимодействия на каждый последующий год равна 80%, а дисконтирующий множитель равен 0, (рубль, полученный через год, равен сегодняшним 90 копейкам).

Решение:

Если мы выбираем стратегию сотрудничества, то в первый год получаем 140 млн.руб., во второй – с вероятностью 80% 140 млн.руб., которые для нас превратятся в 140*0,9=126 млн.руб. и т.д. Если мы предпочитаем действовать в собственных интересах, то в первый год получаем 220 млн.руб., во второй – с вероятностью 80% 105 млн.руб., которые для нас превратятся в 105*0,9=94,5 млн.руб. и т.д. Сравним чистую текущую стоимость для данных двух вариантов:

NPV1 = 140 + 0,8 *140 * 0,9 + 0,8 2 *140 * 0,9 2 +... = Таким образом, каждой из фирм выгоднее вести политику сотрудничества, при которой они получат с учетом дисконтирования в среднем по 500 млн.руб.

Игра «динамическая ценовая конкуренция»

(пары / тройки игроков выбираются случайно и участникам неизвестны).

Вариант 1. Вероятность продолжения взаимодействия неизвестна.

Вариант 2. Вероятность продолжения взаимодействия задана.

Вариант 3. Число участников взаимодействия увеличивается до трех человек.

Разбор общего случая: произвольные прибыли 2 > 1 > 4 > 3, вероятность продолжения игры, дисконтирующий множитель.

Стратегия «Око за око»:

Фирмы отказываются от ценовой войны, если 1. Увеличивается вероятность дальнейшего взаимодействия.

2. Если увеличивается значимость будущих прибылей.

3. Одностороннее снижение цены приводит к малому увеличению прибыли, а взаимное снижение цены крайне неприятно для обеих фирм.

Эмпирические исследования (Р.Аксельрод). Требования к стратегиям:

Добрая – не должна предавать, пока этого не сделает оппонент.

Мстительная – не должна быть слепым оптимистом.

Прощающая – отомстив, должна вернуться к сотрудничеству.

Не завистливая – не должна пытаться выиграть больше оппонента.

Модель Эджворта (ограничения на производственные мощности) Продажа продукции по издержкам не является равновесием Нэша!

Возможные стратегии поведения:

1. Установление низкой цены и продажа продукции в объеме Ki.

2. Установление монопольной цены и работа на остаточном спросе.

p1 = (a + c) 2, p2 = p1, p1 = p2, ценовая война до уровня p*, p1 = (a + c) 2.

Схемы случайного, эффективного и антиэффективного рационирования:

Снижение цены и захват рынка: 1 = ( p c )K Повышение цены до монопольного уровня на остаточном спросе:

Цена p* находится из равенства 1 = 1+ и решения квадратного уравнения.

Замечание 1. В модели Эджворта нет статического равновесия!

Замечание 2. Первой поднимать цену, уходя на остаточный спрос, всегда будет фирма с меньшими производственными мощностями!

Модели с возрастающими предельными издержками Постоянная и убывающая отдача от масштаба, ограничение по мощности Обобщение случая совершенной конкуренции не работает!

p* = MC (q1 ) =... = MCn (qn ), q1 + q2 +... + qn = qD ( p *) – не является равновесием Нэша!

Продукты не являются совершенно взаимозаменяемыми!

1. Транспортные издержки (модели Хотеллинга и Сэлопа).

2. Качество товара, обслуживания и сервиса.

Простейшая модель:

При малой разнице цен часть клиентов остается у более дорогой фирмы!

d < b если цены товаров в обеих фирмах растут на одну и ту же величину, объем спроса в обеих фирмах сокращается.

a > c(b d ) если обе фирмы назначают цены на уровне предельных издержек, объемы спроса на их товары будут положительными.