Министерство образования Республики Беларусь

Учебно-методическое объединение высших учебных заведений

Республики Беларусь по естественнонаучному образованию

УТВЕРЖДАЮ

Первый заместитель Министра образования

Республики Беларусь

А.И. Жук

24.09.2008_ (дата утверждения) Регистрационный № ТД-G.148/тип.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям:

1-31 03 03 Прикладная математика (по направлениям);

1-31 03 04 Информатика;

1-31 03 05 Актуарная математика;

1-31 03 06-01 Экономическая кибернетика (математические методы в экономике);

1-98 01 01-01 Компьютерная безопасность (математические методы и программные системы)

СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО

Председатель Учебно- Начальник Управления высшего и методического объединения вузов среднего специального образования Республики Ю.И. Миксюк Беларусь по естественнонаучному образованию (дата) В.В. Самохвал Первый проректор Государственного учреждения образования (дата) «Республиканский институт высшей школы»

В.И. Дынич (дата) Эксперт-нормоконтролер (дата) Минск

СОСТАВИТЕЛИ:

С.А. Мазаник, заведующий кафедрой высшей математики Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор;

О.А. Кастрица, доцент кафедры высшей математики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Кафедра высшей математики Учреждения образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»;

Н.Т. Стельмашук, профессор кафедры математического анализа Учреждения образования «Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка», кандидат физико-математических наук, профессор

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ В КАЧЕСТВЕ ТИПОВОЙ:

Кафедрой высшей математики Белорусского государственного университета (протокол № 11 от 20 марта 2008 г.) Научно-методическим советом Белорусского государственного университета (протокол № 3 от 27 марта 2008 г.);

Научно-методическим советом по прикладной математике и информатике Учебнометодического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию (протокол № 3 от 24 июня 2008 г.) Научно-методическим советом по специальности 1-98 01 01 «Компьютерная безопасность» Учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию (протокол № 2 от 24 июня 2008 г.) О.А. Кастрица Ответственный за выпуск:

Пояснительная записка Дисциплина «Математический анализ» знакомит студентов со способами исследования функциональных зависимостей между переменными величинами. Изучаемые методы базируются на использовании предельного перехода, дифференциального и интегрального исчисления.

Основой для изучения математического анализа является курс математики, изучаемый в средней школе.

«Математический анализ» непосредственно связан с параллельно изучаемой дисциплиной “Геометрия и алгебра”, и является базовым курсом для изучения предметов аналитического цикла, предусмотренных учебным планом специальности. Методы, излагаемые в курсе математического анализа, используются при изучении дисциплин «Дифференциальные уравнения», «Вычислительные методы алгебры», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Функциональный анализ и интегральные уравнения», «Методы численного анализа», «Методы оптимизации», «Уравнения в частных производных», а также при изучении ряда дисциплин специализации.

Изучение математического анализа преследует две основные цели: во-первых, дать студентам базу, необходимую для усвоения материала перечисленных выше учебных дисциплин, и, во-вторых, сформировать составную часть банка знаний, получаемых будущими специалистами в процессе учебы и необходимых им в дальнейшем для успешной работы.

При изложении курса важно показать возможности использования аппарата анализа при решении прикладных задач, возникающих в различных областях науки, техники, экономики и др. Целесообразно выделить моменты построения математических моделей естественных процессов с целью их последующего изучения методами математического анализа, а также обратить внимание на алгоритмические аспекты получаемых результатов.

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

– методы исследования функций одной и нескольких переменных с использованием аппарата дифференциального исчисления;

– принципы построения и использования интегралов при решении задач математики и прикладных задач;

– связи между кратными, криволинейными и поверхностными интегралами;

– принципы построения и исследования несобственных интегралов и интегралов, зависящих от параметров;

– методы исследования числовых и функциональных рядов;

– принципы построения ряда Фурье и свойства его суммы;

– основные положения теории функций комплексной переменной;

– основные принципы операционного исчисления;

– исследовать свойства функций методами дифференциального исчисления;

– находить первообразные, вычислять кратные, криволинейные, поверхностные интегралы;

– исследовать сходимость рядов и несобственных интегралов;

– строить разложения функций в степенные ряды и ряды Фурье;

– дифференцировать и интегрировать функции комплексной переменной;

– строить разложения функций в ряд Лорана;

– использовать теорию вычетов для вычисления интегралов;

– применять методы математического анализа при построении и исследовании моделей прикладных задач.

В соответствии с типовым учебным планом специальностей 1-31 03 03 «Прикладная математика (по направлениям)», 1-31 03 04 «Информатика», 1-31 03 05 «Актуарная математика», 1-31 03 06-01 «Экономическая кибернетика (математические методы в экономике)», 1-98 01 01-01 «Компьютерная безопасность (математические методы и программные системы)» учебная программа предусматривает для изучения дисциплины 934 учебных часа, в том числе 510 аудиторных часов: лекции 272 часа, практические занятия 238 часов.

Раздел I. Функции одной действительной Раздел II. Функции нескольких действительных переменных Раздел III. Ряды и несобственные интегралы Раздел IV. Теория функций комплексной 1. Введение Предмет математического анализа. Историческое развитие математического анализа, его место среди других математических наук и в естествознании.

Раздел I. Функции одной действительной переменной 2. Числа и числовые множества Действительные числа. Числовые множества. Отображения. Счетные и несчетные множества. Границы числовых множеств.

Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности, их свойства.

Сходимость монотонных последовательностей. Принцип выбора БольцаноВейерштрасса. Число “e”. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Понятие о числовых рядах.

3. Предел функции Функция одной переменной. Предел функции в точке. Критерий Гейне. Критерий Коши существования конечного предела функции. Односторонние пределы.

Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

4. Непрерывность Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. Непрерывность монотонной функции. Непрерывность обратной функции и композиции функций. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы. Сравнение функций. О-символика. Локальные свойства непрерывных функций. Функции, непрерывные на множестве. Достижение непрерывной на отрезке функцией своих экстремальных значений (теорема Вейерштрасса). Равномерная непрерывность функций. Теорема Кантора.

5. Дифференцируемость Дифференцируемость функции в точке. Производная. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная композиции функций. Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Использование производной и дифференциала в приближенных вычислениях.

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Формула Тейлора. Различные способы представления остаточного члена. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Ряд Тейлора. Формулы Эйлера.

6. Исследование функций Стационарные точки функции. Теоремы Ферма, Ролля. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Теорема Коши. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Монотонные дифференцируемые функции. Экстремумы. Необходимое условие экстремума. Исследование критических точек. Глобальный экстремум. Выпуклость функций. Асимптоты. Построение эскиза графика функций.

Понятие об итерационных алгоритмах приближенного вычисления корней уравнений.

7. Неопределенный интеграл Первообразная. Неопределенный интеграл. Первообразные основных элементарных функций. Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Неберущиеся интегралы. Существование элементарных первообразных у рациональных функций. Методы рационализации.

8. Определенный интеграл Определенный интеграл Римана. Критерий Коши интегрируемости функции.

Интегрируемость непрерывной функции. Интегральное колебание. Необходимые и достаточные условия Дарбу интегрируемости в смысле Римана. Основные свойства определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница. Основные приемы вычисления определенного интеграла.

Понятие о других способах построения интеграла.

9. Приложения интеграла Длина дуги, площадь фигуры, объем тела, использование интегралов для их вычисления. Приложения интегралов в механике, физике, экономике и др.

Алгоритмы численного интегрирования. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Раздел II. Функции нескольких действительных переменных 10. Функции нескольких переменных Пространство Rn. Сходящиеся последовательности в Rn. Принцип выбора. Критерий Коши сходимости последовательности в Rn.

Функции нескольких переменных. Предел. Повторные пределы. Непрерывность. Непрерывность по одной из переменных. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность.

11. Дифференцируемость функции нескольких переменных Дифференцируемость в точке функции нескольких переменных. Частные производные. Условия дифференцируемости. Дифференциал. Дифференцирование композиции функций нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков. Условия равенства смешанных производных. Оператор дифференцирования. Формула Тейлора.

12. Неявно заданные функции Теорема о неявной функции.

Векторные функции п переменных. Непрерывность. Дифференцируемость.

Производное отображение. Матрица Якоби. Дифференциал. Дифференцирование композиции. Теорема о неявной векторной функции. Зависимость функций.

13. Экстремум функций нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия. Исследование стационарных точек. Условный экстремум. Функция Лагранжа. Глобальный экстремум.

14. Кратные интегралы Интеграл Римана функции нескольких переменных. Критерии Коши и Дарбу интегрируемости. Основные свойства интеграла. Классы интегрируемых функций.

Замена переменных в кратных интегралах. Использование полярных, цилиндрических и сферических координат при вычислении интегралов.

Использование кратных интегралов при решении геометрических, физических и других прикладных задач.

15. Кривые и поверхности Кривые на плоскости и в пространстве. Векторное задание кривой. Трехгранник Френе. Кривизна и кручение. Поверхности. Векторное задание поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Касательная плоскость и нормаль. Односторонние и двухсторонние поверхности. Понятие многообразия.

16. Криволинейные и поверхностные интегралы Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина. Условия Эйлера. Использование формулы Ньютона-Лейбница для вычисления криволинейных интегралов.

Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Стокса. Формула Остроградского.

Использование криволинейных и поверхностных интегралов при решении прикладных задач.

Раздел III. Ряды и несобственные интегралы 17. Интегралы, зависящие от параметра Функции, определяемые как интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход. Непрерывность. Дифференцируемость. Правило Лейбница. Интегрирование.

Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов первого и второго рода. Несобственные интегралы от положительных функций. Признаки сравнения. Степенной признак сходимости несобственных интегралов. Абсолютная сходимость. Признаки Дирихле и Абеля. Главное значение несобственного интеграла.

Функции, определяемые как несобственные интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход. Дифференцирование. Интегрирование.

Эйлеровы интегралы первого и второго рода. Их основные свойства.

18. Числовые ряды Числовой ряд. Критерий Коши сходимости ряда. Положительные ряды. Сравнение положительных рядов. Признаки сходимости (Коши, Даламбера, интегральный, Гаусса и др.). Знакопеременные ряды. Признаки Лейбница, Дирихле и Абеля.

Абсолютная сходимость. Действия над рядами. Двойные и повторные ряды.

Понятие о других способах суммирования рядов.

19. Функциональные последовательности и ряды Сходимость функциональных последовательностей. Равномерная сходимость.

Критерии равномерной сходимости.

Функциональные ряды. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов.

Функции, определяемые как суммы рядов. Предельный переход. Непрерывность. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

20. Степенные ряды Степенные ряды. Теорема Абеля. Множество сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства суммы степенного ряда. Представление функций степенными рядами. Ряд Тейлора.

Основные степенные разложения и их приложения к приближенным вычислениям.

21. Ряды Фурье Скалярное произведение функций. Ортогональные системы функций. Последовательности тригонометрических многочленов. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя. Ряд Фурье четной и нечетной функции.

Принцип локализации. Теорема Римана-Лебега. Сходимость ряда Фурье в точке.

Равномерная сходимость ряда Фурье. Сходимость в среднем. Равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость тригонометрической системы.

Обобщенное равенство Парсеваля. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов Фурье.

Разложение функций в ряды Фурье. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной функции многочленами.

Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

Раздел IV. Теория функций комплексной переменной 22. Функции комплексного аргумента Комплексные числа. Последовательности комплексных чисел.

Функции комплексного аргумента. Дробно-линейная функция. Показательная функция. Экспонента и логарифмическая функция. Тригонометрические и гиперболические функции.

Дифференцируемость функции комплексного аргумента. Условия КошиРимана. Геометрический смысл производной. Конформные отображения.

23. Интеграл от функции комплексного аргумента Интеграл. Интегральная теорема Коши. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная формула Коши.

24. Комплексные числовые и функциональные ряды Ряды комплексных чисел. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства суммы степенного ряда.

Регулярные функции. Связь между регулярностью и дифференцируемостью.

Теорема Лиувилля. Нули регулярной функции. Понятие об аналитическом продолжении и аналитической функции.

Ряд Лорана. Изолированные особые точки функции. Поведение функции в окрестности особой точки.

25. Вычеты Вычет функции в особой точке. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов.

Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.

26. Элементы операционного исчисления Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа. Изображения основных элементарных функций. Отыскание оригинала по известному изображению. Использование операционного исчисления для решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Основная 1. Богданов Ю.С. Лекции по математическому анализу. 2. Мн.: изд-во БГУ, 1974, 1978. Ч.1-2.

2. Богданов Ю.С., Кастрица О.А., Сыроид Ю.Б. Математический анализ. М.:

ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 351с.

3. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1997, 1998. Ч.1- 4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М.:

изд-во Моск. ун-та, 1985, 1987. Ч.1-2.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высш. шк.: 1988, 1988,1989. Т.1-3.

6. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989. 408с.

7. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.:

Наука, 1997. 720с.

8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

М.: Наука, 1998. 624с.

9. Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981.

303с.

Дополнительная 10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1982, 1980. Ч.1-2.

11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 623с.

12. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М.:

Наука, 1984. 592с.

13. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука, 1986. 528с.

14. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1994.

496с.

15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688с.

16. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука, 1990. Т.1-2.

17. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.

М.: Наука, 1979. 319с.

18. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

М.: Наука, 1997. Т.1-3.

19. Богданов Ю.С., Кастрица О.А. Начала анализа в задачах и упражнениях.

Мн.: Вышэйшая шк., 1988. 179с.

20. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы. Мн.: Вышэйшая шк., 1995. 380с.