[ «Кафедра истории, философии, культурологи, теории и методик обучения Утвержден: на заседании кафедры 7.09.2012, прот.№ 1 Зав.каф. Кибардина Т.А. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ Философские вопросы математики ...»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТОБОЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ ИМ. Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА»
Кафедра истории, философии, культурологи, теории и методик обучения
Утвержден:
на заседании кафедры 7.09.2012, прот.№ 1 Зав.каф. Кибардина Т.А.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Философские вопросы математики»010200.62 – «Математика. Прикладная математика»
профиль «Компьютерная математика»
Составитель:
канд. филос. наук, доцент Васильева Н.А.
Тобольск,
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТОБОЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ ИМ. Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА»Кафедра истории, философии, культурологи, теории и методик обучения Утверждена:
на заседании кафедры 7.09.2012, прот.№ Зав.каф. Кибардина Т.А.
ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Философские вопросы математики»010200.62 – «Математика. Прикладная математика»
профиль «Компьютерная математика»
Составитель:
канд. филос. наук, доцент Васильева Н.А.
Тобольск, Пояснительная записка Программа составлена на основе требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по циклу общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста.
Курс представляет собой введение в философскую проблематику. Основная задача – способствовать созданию у студентов целостного системного представления о математике и философских основ в ее структуре, формированию и развитию философского мировоззрения. Проанализировать основные методологические и общетеоретические проблемы современной философии математики.
Структура дисциплины определяется логикой историко-философского анализа различных категорий и проблем философии математики и формируется по следующим разделам: история математики; история развития философии математики; современные теоретические вопросы и проблемы в философии математики.
Это определяет структуру учебной и внеучебной нагрузки: общий объем часов по курсу - 52; аудиторный объем часов – 28 (лекционных – 28); самостоятельная работа студентов - 24.
Дисциплина изучается студентами на четвертом курсе в восьмом семестре и завершается зачетом.
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Цель дисциплины:анализ философских категорий в обосновании философии науки, в частности философии математики.
Задачи курса:
1) Формирование комплексных представлений к научно-философскому исследованию математики;
2) Изучение вопроса взаимодействия математики и философии, определение основных категорий философии математики;
3) Знакомство с методами философского анализа математических исследований.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Знать:1) основные понятия и категории философии и математики;
иметь представление о многообразии форм человеческого знания, рационального и иррационального в человеческой жизнедеятельности, особенностях функционирования знания в современном обществе, о духовных ценностях, их значении в творчестве и повседневной жизни, уметь ориентироваться в них;
2) Быть знакомым с важнейшими этапами развития философского знания и их связи с математической, основными научными школами, направлениями, концепциями, источниками гуманитарного знания и приемами работы с ними;
3) Понимать смысл взаимоотношения духовного и телесного, биологического и социального начал в человеке, отношения человека к природе и возникших в современную эпоху технического развития противоречий и кризиса существования человека в природе;
4) Знать условия зарождения математики, генезис связи философии и математики в истории философии.
Уметь находить ответы на следующие вопросы:
- что такое научное знание, как оно устроено, каковы принципы его организации и функционирования;
- что собой представляет наука как производство знаний;
- каковы закономерности формирования и развития научных дисциплин;
- чем они отличаются друг от друга и как взаимодействуют.
Владеть навыками научного исследования, ибо философия науки не ставит своей обязательной задачей чему-то учить специалиста в его конкретной области.
Она не формирует специально никаких конкретных рецептов или предписаний, она объясняет, описывает, но не предписывает.
3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ.
Вид учебной работы4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
п/п современной философии науки.История науки и основные стадии ее исторической эволюции.
Особенности современного этапа развития науки. Перспективы научно-технического прогресса.
4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
Образ математики как науки: философский аспект. Проблемы, математики Математика и естествознание. Математика как язык науки.Математика как система моделей. Математика и техника. Различие взглядов на математику философов и ученых (И.Кант, О.Конт, А.Пуанкаре, А.Эйнштейн, Н.Н.Лузин).
Математика как феномен человеческой культуры. Математика и философия. Математика и религия. Математика и искусство.
семантический и прагматический аспекты в истолковании предмета математики. Особенности образования и функционирования математических абстракций. Отношение математики к действительности. Абстракции и идеальные объекты в математике.
Нормы и идеалы математической деятельности. Специфика методов математики. Доказательство – фундаментальная характеристика математического познания. Понятие аксиоматического построения теории. Основные типы аксиоматик (содержательная, полуформальная и формальная). Логика как метод математики и как математическая теория. Современные представления о соотношении индукции и дедукции в математике.
Аналогия как общий метод развития математической теории.
математической теории. Место интуиции и воображения в математике. Современные представления о психологии и логике математического открытия Мысленный эксперимент в математике.
Доказательство с помощью компьютера.
Структура математического знания. Основные математические дисциплины. Историческое развитие логической структуры математики. Аксиоматический метод и классификация математического знания. Групповая классификация геометрических теорий (программа Ф.Клейна). Структурное и функциональное единство математики.
эволюции. Основные проблемы философии и методологии математики: установление сущности математики, ее предмета и методов, места математики в науке и в культуре.
Фундаменталистская и нефундаменталистская (социокультурная) философия математики. Философия математики как раздел философии и как общая методология математики.
Разделение истории математики и философии математики:
соотношение фактической и логической истории, классификации фактов и их анализа.
Методология математики, ее возникновение и эволюция. Методы методологии математики (рефлексивный, проективный, нормативный). Внутренние и внешние функции методологии математики, ее прогностические ориентации.
Раздел 2. История науки и основные стадии ее исторической Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики в культурном контексте Причины и истоки возникновения математических знаний.
Практические, религиозные основания первоначальных математических представлений.
Математика в догреческих цивилизациях. Догматическое (рецептурное) изложение результатов в математических текстах древнего Востока. Проблема влияния египетской и вавилонской математики на математику древней Греции.
Рождение математики как теоретической науки в древней Греции. Пифагорейцы. Открытие несоизмеримости.
Геометрическая алгебра и ее обоснование. Апории Зенона.
Атомизм Демокрита и инфинитезимальные процедуры в античности. Место математики в философии Платона.
древневосточных социо-культурных и научных традиций.
Аксиоматическое построение математики в «Началах» Евклида и его философские предпосылки. Проблема актуальной бесконечности в античной математике. Место математики в философской концепции Аристотеля. Ценностные иерархии объектов, средств решения задач и классификация кривых в античной геометрии. «Арифметика» Диофанта и элементы возврата к вавилонской традиции.
Математика в древней и средневековой Индии. Отрицательные и иррациональные числа. Ритуальная геометрия трактата «ШулваСутра». Озарение как способ обоснования математических результатов. Математика и астрономия.
Математика в древнем и средневековом Китае. Средневековая математика арабского Востока. «Арабские» цифры как источник самостоятельную науку. Философия геометрии в связи с попытками доказать V постулат Евклида. Математика и астрономия. Математика в средневековой Европе. Практически ориентированные геометрические и тригонометрические сведения натурфилософских идей и математика. Схоластические теории изменения величин как предвосхищение инфинитезимальных методов Нового времени. Дискуссии по проблемам бесконечного и непрерывного в математике.
Математика в эпоху Возрождения. Проблема решения алгебраических 3-ей и 4-ой степеней как основание возникновения новых представлений о математических величинах. Алгебра Ф.Виета. Проблема перспективы в живописи и математика.
«Философская теория» мнимых и комплексных чисел в «Алгебре»
Р.Бомбелли.
Математика и научно-техническая революция начала Нового времени. Проблема бесконечности. Философский контекст аналитической геометрии. Достижения в области алгебры и их естественнонаучное значение. Первые теоретико-вероятностные представления. «Вероятностная» гносеология в трудах философов Нового времени и проблема создания вероятностной логики (Лейбниц) Философский контекст открытия И.Ньютоном и Г.Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления.
дифференциального и интегрального исчисления. Критика Беркли и Ньютвентвейта. Нестандартный анализ А.Робинсона (1961) и новый взгляд на историю возникновения и первоначального развития анализа бесконечно малых.
Развитие математического анализа в XVIII веке. Проблема оснований анализа. Философские идеи Б.Больцано в области теории функций. К.Вейерштрасс и арифметизация анализа. Теория и философия действительного числа.
Эволюция геометрии в XIX веке и ее философское значение – открытие гиперболической геометрии и ее обоснования, интерпретации неевклидовой геометрии, «Эрлангенская программа» Ф.Клейна как новый взгляд на структуру геометрии.
П.-С.Лаплас, его философские взгляды на сущность вероятности и становление теории вероятностей как точной науки.
Теория множеств как основание математики: Г.Кантор и создание «наивной» теории множеств. Открытие парадоксов теории множеств и их философское осмысление.
математики и как основания математики. Взгляды Г.Фреге на природу математического мышления. Программа логической унификации математики.
«Основания геометрии» Д.Гильберта и становление геометрии как формальной аксиоматической дисциплины.
Философские проблемы теории вероятностей в конце XIX – Раздел 3. Особенности современного этапа развития науки.
Перспективы научно-технического прогресса Внутренние и внешние факторы развития математической теории. Апология «чистой» математики (Г.Харди). Б.Гессен о математических традиций (Л.Бибербах). Математика как совокупность «культурных элементов» (Р.Уайлдер). Концепция Ф.Китчера: эволюция математики как переход от исходной (примитивной) математической практики к последующим.
Эстафеты в математике (М.Розов). Влияние потребностей и запросов других наук, техники на развитие математики.
Концепция научных революций Т.Куна и проблемы ее применения к анализу развития математики. Характеристики преемственности математического знания. Д.Даубен, Е.Коппельман, М.Кроу, Р.Уайлдер о специфике революций в математике. Математические парадигмы и их отличие от естественнонаучных парадигм. Классификация революций в Фальсификационизм К.Поппера и концепция научных исследовательских программ И.Лакатоса. Возможности применения концепции научных исследовательских программ к изучению развития математики. Проблема существования потенциальных фальсификаторов в математике.
Пифагореизм как первая философия математики. Число как причина вещей, как основа вещей и как способ их понимания.
Числовой мистицизм. Влияние на пифагорейскую идеологию открытия несоизмеримых величин и парадоксов Зенона.
Пифагореизм в сочинениях Платона. Критика пифагореизма Аристотеля. Первичность вещей перед числами. Объяснение строгости математического мышления. Обоснование эмпирического взгляда на математику у Бекона и Ньютона.
Математический эмпиризм XVII-XIX вв. Эмпиризм в философии математики XIX столетия (Дж.Ст.Милль, Г.Гельмгольц, М.Паш).
Современные концепции эмпиризма: натурализм Н.Гудмена, эмпирицизм И.Лакатоса, натурализм Ф.Китчера. Недостатки эмпирического обоснования математики.
априоризма. Умозрительный характер математических истин.
Априоризм Лейбница. Обоснование аналитичности математики у Лейбница. Понимание математики как априорного синтетического знания у Канта. Неевклидовы геометрии и философия математики Канта. Гуссерлевский вариант априоризма. Проблемы феноменологического обоснования математики.
Истоки формалистского понимания математического существования. Идеи Г.Кантора о соотношении имманентной и транзиентной истины. Формалистское понимание существования (А.Пуанкаре и Д.Гильберт).
философия математики. Критика евклидианской установки и идеи абсолютного обоснования математики в работах И.Лакатоса.
Априористские идеи в современной философии и методологии математики. Программа Н.Бурбаки и концепция математического структурализма. Математический платонизм. Реализм как тезис об онтологической основе математики. Радикальный реализм К.Геделя. Реализм и проблема неиндуктивистского обоснования социокультурные концепции природы математики.
Проблема обоснования математического знания на различных стадиях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в античности. Проблема обоснования математического анализа в XVIII веке. Поиски единой основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие парадоксов и становление современной проблемы обоснования математики.
Логицистская установка Г.Фреге. Критика психологизма и кантовского интуиционизма в понимании числа. Трудности концепции Г.Фреге. Представление математики на основе теории типов и логики отношений (Б.Рассел и А.Уайтхед). Результаты К.Геделя и А.Тарского. Методологические изъяны и основные достижения логицистского анализа математики.
Идеи Л.Брауэра по логицистскому обоснованию математики.
Праинтуиция как исходная база математического мышления.
Проблема существования. Учение Л.Брауэра о конструкции как о единственно законном способе оправдания математического существования. Брауэровская критика закона исключенного третьего. Недостаточность интуиционизма как программы обоснования математики. Следствия интуиционизма для современной математики и методологии математики.
математических теорий на основе финитной и содержательной метатеории. Понятие финитизма. Выход за пределы финитизма в теоретико-множественных и семантических доказательствах непротиворечивсти арифметики. (Г.Генцен, П.Новиков, Н.Нагорный). Теоремы К.Геделя и программа Гильберта:
современные дискуссии.
Философско-методологические и исторические проблемы математизации науки Прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. Математика как язык науки. Уровни математизации знания: количественная обработка экспериментальных данных, построение математических моделей индивидуальных явлений и процессов, создание математизированных теорий.
Специфика приложения математики в различных областях знания. Новые возможности применения математики, предлагаемые теорией категорий, теорией катастроф, теорией фракталов, и др.
Проблема поиска адекватного математического аппарата для создания новых приложений.
Математическая гипотеза как метод развития физического знания. Математическое предвосхищение. «Непостижимая эффективность» математики в физике: проблема рационального объяснения. Этапы математизации в физике. Неклассическая фаза (теория относительности, квантовая механика. Проблема единственности физической теории, связанная с богатыми возможностями выбора подходящих математических конструкций.
Постклассическая фаза (аксиоматические и конструктивные теории поля и др. Перспективы математизации нефизических областей естествознания. Границы, трудности и перспективы математизации гуманитарного знания. Вычислительное, концептуальное и метафорическое применения математики. Границы применимости вероятностно-статистических методов в научном познании.
«Моральные применения» теории вероятностей – иллюзии и построения модели, выбор критериев адекватности, проблема интерпретации. Сравнительный анализ математического моделирования в различных областях знания. Математическое моделирование в экологии: историко-методологический анализ.
Применение математики в финансовой сфере: история, результаты и перспективы. Математические методы и модели и их применение в процессе принятия решений при управлении сложными социально-экономическими системами: возможности, перспективы и ограничения. ЭВМ и математическое моделирование.
Математический эксперимент.
4.2.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ (СЕМИНАРСКИЕ) ЗАНЯТИЯ
4.2.3. ЗАДАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ
самостоятельного изучения Раздел 1. Предмет и Доклад по одной из сопоставительных концепции современной философии науки науки и основные исторической эволюции Особенности тем и создать презентацию:современного этапа Формирование философии науки.
развития науки. 2. Концепция двух истин и ее значение для научно- 3. Философия и естествознание, роль технического диалектики в научном познания.
прогресса 4. Отражение философских и социальных 5. Лабораторный практикум Не предусмотрен.
5.1. Рекомендуемая литература а) основная 1. Горелов А.А. Основы философии: учебное пособ. для студ. высш. уч. завед. – 7-е изд. – М.: Академия, 2008. – 256 с.
2. Хрусталев Ю.М. Философия: учебное пособ. для студ. высш. уч. завед. –М.:
Академия, 2008. – 352 с.
б) дополнительная 1. Алексеев П.В., Панин А.В. Философия: Учебник. М., 1998.
2. Антология мировой философии: В 4т. М., 1969-1972.
3. Блажевич Н.В., Ким В.В., Селиванов Ф.А. Философские забавы. Псков, 1995.
4. Блинников Л.В. Великие философы: Учебный словарь – справочник. М., 1998.
5. Введение в философию: В 2т. М., 1989.
6. История философии в кратком изложении / Пер. с чеш. М., 1995.История философия: Запад – Россия – Восток: В 3 кн. / Под ред. Н.В.Мотрошиловой.
М., 1995-1998.
7. Канке В.А. Философия: Исторический и систематический курс. М., 1998.
8. Краткая история философии. М., 1996.Мир философии: Книга для чтения: В 2.
9. Миронов В.В. Философия: Учебник. М., 1998.
10.Мифологический словарь. М., 1990.
11.Основы современной философии. СПБ.: Лань, 1999.
12.Основы философии. М.: Владос, 1997.
13.Радугин А.А. Философия: Курс лекций. 2-е изд. М., 2000.
14.Рассел Б. История западной философии. Ростов-на-Дону, 1998.
15.Современный философский словарь / Под ред. В.Е.Кемерова. М.,1998.
16.Философия: Учебник / Ред. В.Д.Губин. М., 1996.
17.Философия: Учебник / Ред. В.П.Кохановского. Ростов н/Д, 1998.
18.Хрестоматия по философии / Сост. П.В.Алексеев и А.В.Панин М., 1997.
19.Хрестоматия по философии / Сост. А.А.Радугин. М., 1997.
20.Христианство: Энцикл. словарь: В 3т. М., 1993.
6. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Видео и контрольно-оценочные материалы6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Для проведения лекционных и семинарских занятий используется мультимедийное оборудование, электронные учебники и компьютерные презентации по философии. Тестирование студентов проводится в компьютерных классах.
7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
7.1 Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы Формирование философии науки.Концепция двух истин и ее значение для философии науки.
Философия и естествознание, роль диалектики в научном познания.
Отражение философских и социальных путей в творчестве Д.И.Менделеева.
Философские основания психологических теорий.
Философия науки сегодня: оценка прошлого, перспективы развития в будущем.
7) «Научная мысль как планетарное явление» (В.И.Вернадский).
8) Естественные и гуманитарные науки* споры о разных критериях научности.
9) Различие взглядов на математику философов и ученых (И.Кант, О.Конт, А.Пуанкаре, А.Эйнштейн) Нормы и идеалы математической деятельности.
Современные представления о соотношении индукции и дедукции в математике.
Концепция научных революций Т.Куна.
Математическая гипотеза как метод развития физического знания.
Этапы математизации в физике.
Проблемы математического моделирования.
Математика в системе наук.
Математика как феномен человеческой культуры.
Математика и философия.
Предмет математики.
Специфика методов математики.
6. Структура математического знания.
7. Основные этапы эволюции математики.
8. Причины и истоки возникновения математики.
9. Рождение математики в античный период.
10.Математика эпохи эллинизма.
11.Математика в древней и средневековой Индии.
12.Математика в в древнем и средневековом Китае.
13. Математика в эпоху Возрождения.
14. Математика в Новое время.
15. Развитие математического анализа в 18 веке.
16.Эволюция геометрии в 19 веке.
17. Философские проблемы математики в конце 19 – начале 20 века.
18. Закономерности развития математики.
19. Философские концепции математики в истории философии.
20. Современные концепции математики.
21.Философия и проблемы обоснования математики.
22.Современные проблемы математизации наук.
7.3. Примерная тематика рефератов по философии математики Групповая классификация геометрических теорий (программа Ф.Клейна).
Проблема влияния египетской и вавилонской математики на математику древней Греции.
Место математики в философии античных мыслителей.
Озарение как способ обоснования математических результатов.
Математика и астрономия.
Дискуссии по проблемам бесконечного и непрерывного в математике.
Концепции научных революций Т.куна и математика.
Д.Даубен, Е.Коппельман, М.Кроу, Р.Уайлдер о специфике революций в математике.
Классификация революций в математике.
10. Фальсификационизм К.Поппера и концепция научных исследовательских программ И.лакатоса.
11. Логицистская установка Г.Фреге.
12. Прикладная математика: ее особенности.
13. Математическое моделирование.
14. Математический эксперимент.
7.4. Методика проведения контрольных мероприятий.
Текущий контроль за выполнением самостоятельной работы студентов осуществляется через проверку домашних и аудиторных контрольных работ, рефератов, конспектов, тестирования.
Контрольные работы выполняются студентами самостоятельно. Для контрольной работы предлагается вариант из перечня предложенных по дисциплине, вынесенных на самостоятельное обучение.
Тема реферата выбирается студентом произвольно из перечня тем, предложенных преподавателем, подбор научной литературы и планирование работы осуществляется самостоятельно. При необходимости – обращение за консультацией к преподавателю.
Курсовой зачет проводится по вопросам, с которыми студент может ознакомиться заранее.
8. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
Курс «Философия математики» включает в себя три основных раздела, представляющих структурные разделы знания, соответствующие единицам государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Кроме того, курс непосредственно связан с другими гуманитарными и естественнонаучными дисциплинами, прежде всего – естествознанием, математикой, логикой, историей мировой культуры, культурологией, теорией культуры и др.Поскольку объем содержания дисциплины не соответствует количеству времени, отведенному для аудиторных занятий, ряд тем предлагается студентам для самостоятельного изучения. Задания для самостоятельной работы должны выполняться студентами в течение всего учебного семестра. Самостоятельная работа включает изучение первоисточников, научной литературы, конспектирование отдельных статей, выполнение контрольных работ и рефератов.
Эта работа предполагает не только подбор и систематизацию материалов, но и самостоятельное осмысление отдельной проблемы осознание философской проблематики, изучение генезиса и развития основных категорий философии и математики. В соответствии с современными тенденциями развития образования данная программа способствует систематизации знаний студентов, ориентирует на использование новейших информационных технологий, формированию критического и научного мышления, нацеливает на более продуктивное владение профессиональными навыками.
9. УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА НЕ ПРЕДУСМОТРЕНА
Лекционный курс по дисциплине «Философские вопросы математики»Перефразируя известное высказывание И.Канта, Имре Лакатос писал:
"Философия науки без истории науки пуста; история науки без философии науки слепа" (И.Лакатос, "История науки и ее рациональные реконструкции"). Эта мысль стала теперь практически общепринятой истиной. Поэтому, прежде чем пойдет речь о философии математики, полезно хотя бы в самых общих чертах познакомиться с историей математики, одной из самых древних наук.
В отечественной литературе принято различать четыре основных этапа (периода) эволюции (истории) математики (см., например, статью А.Н.Коломогорова "Математика" в его книге "Математика в её историческом развитии").
Начальный перод (глубокая древность) — период донаучной математики. Сюда относят математику древнего Егита, Вавилона, Китая, Индии.
Затем следует период элементарной математики. Это уже научная математика, и научность связана с возникновением понятия доказательства. Математическое доказательство возникло в Древней Греции, и человеком, с чьим именем связывают первые доказательства теорем, был Фалес Милетский (ок. 625-548 до н.э.). В некотором смысле его можно даже считать первым математиком, имя которого нам известно. Период элементарной математики продолжался до середины XVII века.
Греческая (античная) математика заслуживает отдельного рассказа, так как она в конечном счете послужила источником и основой большей части всей современной математики. Приблизительно с 600 г. до н. э. по 300 г. до н.э. длился период, называемый сейчас периодом древнегреческой математики, с 300 г. до н. э. до VI в.
н.э — период эллинистической математики. Среди многих известных греческих математиков отметим прежде всего Пифагора (ок. 580-500 до н.э.), Евдокса (ок. 408ок. 355 до н.э.), Евклида (ок. 356 - ок. 300 до н.э.), Архимеда (ок. 287 - 212 до н.э.), Аполлония (ок. 262 - ок. 190 до н.э.), Диофанта (возможно, III в. н.э.). Трактат Евклида "Начала" оказал ни с чем не сравнимое воздействие не только на математические исследования и на математическое образование, но, пожалуй, и на всю человеческую культуру. Еще относительно недавно эта книга занимала в Европе второе место по количеству печатных изданий (просле Библии). Как учебник, "Начала" во многих отношениях (например, в той своей части, которая относится к геометрии) фактически не имели достойных конкурентов вплоть до конца XVIII века, и окончательно были превзойдены только в XIX или даже в XX веке. Большое влияние на развитие математики (и особенно на развитие философии математики) оказали также величайшие мыслители Греции Платон (427 -347 до н.э.) и Аристотель (384 - 322 до н.э.). Аристотель, в частности, создал логику как науку. Период эллинистической математики закончился в конце первой четверти VI в. н.э., когда император Юстиниан сделал невозможной на территории Византии (Восточной Римской империи) деятельность ученых, сохранявших античные традиции. Следует отметить, что на протяжении всей истории Рима (а в дальнейшем и Византии) не известно ни одного действительно крупного математика, который был бы не греком, а римлянином. Разумеется, потребности практики постоянно требовали определенных математических знаний у достаточно большого количества людей, но в основном всё ограничивалось использованием того, что было ранее создано античными математиками. Теоретическая математика, математика как наука не развивалась, принципиально новые идеи отсутствовали. Сами же античные греки довольно пренебрежительно относились к тому, что сейчас называется прикладной математикой (называя этот род человеческой деятельности не математикой, а "логистикой").
Таким образом, в раннем средневековьи развитие математики в Европе практически прекратилось. Однако традиции античной математики не только сохранились, но и получили дальнейшее развитие в мусульманских странах. Одним из крупнейших математиков этого времени был, например, Омар Хайям (1048более известный как поэт (а также астроном, философ, богослов...).
Приблизительно до XVI-XVII вв. уровень математики стран Востока (прежде всего мусульманских) был сначала намного выше, а потом в целом сопоставимым с уровнем европейской математики. Некоторые сочинения древнегреческих математиков стали известны в Европе только в обратном переводе с арабского, т.к.
оригиналы были утрачены.
Возрождение математики в Европе начинается примерно с XII века. На первых порах речь идет только о простейших вычислительных навыках, необходимых, например, в торговле и финансовых операциях. Однако к XVI-му веку европейская математика достигает весьма высокого уровня, и в ряде отношений уже обгоняет древнегреческую. То принципиально новое, что внесли в математику европейские ученые XV-XVI веков, касается прежде всего развития понятия числа и (особенно) изобретения и широкого использования символьных обозначиений. Символьные обозначения почти полностью отсутствовали у греков (исключением являлся лишь Диофант, но его сочинения не пользовались, по-видимому, большой известностью), и полностью отсутствовали на Востоке. Даже алгебраические задачи (решение уравнений) решались либо в полностью словесном виде, либо с помощью геометрических трюков. Между тем нельзя представить себе современную математику, не использующую самых разнообразных символьных обозначений. В какой-то период (XVII-XIX века) доказательства математических по-сути фактов, выраженные в словесной форме, даже стали считаться чем-то недопустимым, и не относящимся к математике. Некий баланс между словесным и формульным способами выражения математических фактов и суждений был установлен лишь к концу XIX века. Так или иначе, но можно смело утверждать, что именно использование символьных обозначений привело математику к ее нынешнему состоянию, когда она считается даже чем-то вроде универсального языка всей науки. Математиком, в чьих трудах уже можно найти систему символьных (алгебраических) обозначений в близком к современному виде, был Франсуа Виет (1540-1603). Благодаря символьным обозначниям он впервые смог выразить свойства алгебраических уравнения 1-й, 2-й, 3-й и 4-й степеней и их крней в виде общих формул, а сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия.
Со середины XVII века начинается отсчет периода математики переменных величин. Его истоки связаны с именами Р.Декарта (1596-1650), И.Ньютона (1643Г.-В.Лейбница (1646-1716). Метод координат Рене Декарта (независимо открытый также Пьером Ферма) не только установил тесную связь между алгеброй и геометрией, считавшимися ранее весьма различными дисциплинами, но и содержал в своей основе понятие функциональной зависимости, быстро ставшее едва ли не центральным понятием всей математики. Без этого понятия оказалось бы невозможным создание Ньютоном и Лейбницем основ математического анализа (дифференциального и интегрального исчислений). Математический анализ (называемый еще "высшей математикой") быстро сделался главным разделом всего математического знания, и основным направлением исследований большинства ведущих математиков всего мира (фактически, по обстоятельствам того времени — Западной Европы). В немалой степени это было связано и с тем, что с самого момента его создания была ясно видна перспектива приложений математического анализа к изучению физических (прежде всего — механических) процессов, связанных с различными формами движения и изменения.
Начало периода современной математики отечественные историки математики (и прежде всего А.Н.Колмогоров) связывают с открытием Н.И.Лобачевским (1792первого примера неевклидовой геометрии (1826, опубликовано в 1829-1830).
Кроме создания неевклидовых геометрий, крупнейшие математические события XIX века таковы: строгое логическое обоснование математического анализа (прежде всего в работах Огюстена Луи Коши (1789 - 1857) и Карла Вейерштрасса (1815создание символической логики (Джордж Буль (1815 - 1864), Огастес де Морган (1806- 1871), Готлоб Фреге (1848-1925)), создание теории множеств (Георг Кантор, 1845-1918). Этот был век бурного развития всех прежних направлений математики, и появления многих принципиально новых понятий и направлений.
1. Что такое математика. Обзор некоторых точек зрения Термин "математика" происходит от слова, которым греки в V веке до н.э. обозначали различные отрасли знания, а начиная с IV в. до н.э. стали называть четыре научные дисциплины: геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.
Впервые термин засвидетельствован в одном из поздних диалогов Платона (427-347 до н.э.), и принадлежит, скорее всего, ему самому.
Когда же Архит Тарентский (ок. 428-ок. 365 до н.э.) писал о своих пифагорейских предшественниках, он употреблял другое выражение: "те, кто имеет отношение к Известна также интерпретация слова, в которой оно означает просто науку. Латинское название математики — Mathesis.
Взгляд на математику как на науку о величинах и пространственных фигурах был общепринятым на протяжении многих сотен (если не тысяч) лет. Поскольку каждая величина с помощью подходящим образом выбранной единицы измерения может быть выражена числом, то сущность математики нередко видели в исследовании свойств и зависимостей между числами. Изучение пространственных фигур длительное время также ограничивалось их метрическими свойствами.
Такой взгляд на математику был характерен для XVII, XVIII веков, и частично для первой половины XIX века. В это время главным объектом изучения в математике служили переменные величины, а точнее, разнообразные функциональные связи между величинами.
Поэтому большинство математиков не только XVIII, но и XIX века определяли свою науку прежде всего как науку об измерении величин и фигур. В статье Д`Аламбера (1717-1783) во французской Энциклопедии математика определялась именно как наука о косвенном измерении величин. Аналогичной точки зрения придерживались крупнейший математик XVIII века Л.Эйлер(1707-1783) и живший несколько позднее не мненее крупный математик К.Ф. Гаусс (1777-1855).
Еще одно отличие математики XVIII века от математики XIX века заключался в следующем. Математика считалась, по-существу, методом, а в своих отдельных частях (например, в области дифференциальных уравнений) скорее собранием разрозненных методов решения задач, поставленных естествознанием. Математика имела калькулятивный, вычислительный и формульный (т.е. алгоритмический) характер. Этот характер математики считался самими математиками XVIII века как раз тем свойством, которое отличает ее от других наук.
Там, где приходилось встречаться с недостаточностью традиционных вычислительных алгоритмов, где требовалось применять более общие способы рассуждений, там даже не желали видеть математической проблемы.
Ярким примером такого положения дел может служить история решения Л.Эйлером знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Эйлер считал, что его (собственное) решение имеет мало отношения к математике, "...ибо это решение подкрепляется одним толко рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике" (Л.Эйлер. Письма к ученым. М.-Л., 1963. С. 153). Необходимо отметить, что современные специалисты по теория графов (важный раздел дискретной математики) единодушно считают эту решенную Эйлером задачу исходным пунктом своей науки. Однако прошло более ста лет, прежде чем теория графов получила дальнейшее развитие (уже в XX веке).
Длительное время в СССР было господствующим определение математики, данное Ф.Энгельсом (1820-1895) в работе "Диалектика природы" (1894 г.). Оно таково: математика — это наука, которая изучает пространственные формы и количественные отношения действительного мира (при этом упор делался на "действительный мир"). Ничего специфически "марксистского" в этом определении, разумеется, нет, это "обычная" точка зрения эмпиризма, которую многие разделяли и задолго до Энгельса. Однако в то время, когда Энгельс писал "Диалектику природы" (вторая половина XIX века), математика фактически уже "переросла" это определение, и, таким образом, теоретические представления о сущности математики уже тогда заметно отставали от уровня ее реального развития. В частности, именно философское представление о математике как науке о количественных отношениях и пространственных формах реального мира явилось главной причиной того, что математики XIX века долго не могли принять неевклидовы геометрии в качестве полноценных математических теорий.
В отличие от многих других наук, предмет которых со временем практически не меняется (например, комплекс биологических наук изучал и изучает различные виды живых организмов и все, что связано с различными аспектами проявлений жизни, и эта формулировка фактически не зависит от текущего состояния исследований в биологии), понимание того, чем является математика, сушественно менялось с течением времени, и, что принципиально важно, всегда зависело от того, чем именно математика занималась в данный момент. В дальнейшем можно наблюдать ту же самую тенденцию: вся математика определяется через один или несколько наиболее актуальных на данный момент изучаемых ею объектов.
Например, после появления статьи Н.Бурбаки "Архитектура математики" на некоторое время стала популярной точка зрения, согласно которой математика изучает некие "абстрактные структуры". Примерами таких структур являются структуры группы, частично упорядоченного множества и топологического пространства, а в целом, видимо, имелось в виду приблизительно то же самое, что описано в книге Н.Бурбаки "Теория множеств". Вот как интерпретируется данная концепция в книге профессионального математика Е.М.Вечтомова "Философия математики" (см. в списке литературы).
Математика, согласно Е.М.Вечтомову изучает универсальные абстракции, укорененные в бытии посредством категорий формы и количества.
Объектом математики как науки служат самые разнообразные проявления формы и количества, рассматриваемые в наиболее общем и чистом виде.
Предметом математики являются математические структуры и математические модели той или иной реальности.
Общий метод математики — строгая дедукция. Общенаучный дедуктивный метод возник именно в рамках математики.
Итак, математика есть наука о форме и количестве и общих схемах их воплощения.
Современная математика включает логику как науку о формах правильного мышления.
В сущности, по тому же пути следует и В.А.Канке, который в своей книге "Философия математики, физики, химии и биологии", дает определение математики, согласно которому математика фактически сводится к теории (алгебраических) категорий. Да, теория алгебраических категорий, скорее всего, станет фундаментом всей математики на ближайший период, но, с учетом уже имеющегося опыта, сводить к ней всю математику (и тем более на все времена) как минимум преждевременно. Общепринятого решения этой проблемы (и даже ее понимания) на данный момент, по-видимому, не имеется.
Однако следует отметить точку зрения известного современного французского философа Алена Бадью, который считает, что математика на самом деле — это онтология (и даже так: онтология — это математика). Эта точка зрения нуждается в подробной расшифровке, т.к. речь идет не о той онтологии, которую можно было бы считать общеизвестной (Бадью говорит о "бытии-как-бытии", в его концепции отсутствует Dasein). Преимущество подхода Бадью в том, что полностью снимается привязка к текущему состоянию исследований, если угодно — к математической моде. При этом философия математики становится частью "первой философии". Но пока эту концепцию нельзя назвать ни широко известной, ни, тем более, общепринятой.
2. Математика и философия. Основные направления в философии математики.
Основные проблемы, которые решает философия математики, таковы: осмысление сущности математики, природы и методов и методов математического мышления, отношение понятий и объектов математики к реальности, специфика математического знания, природа математического доказательства, соотношение логики и математики, сущность математической бесконечности, соотношение между чистой и прикладной математикой и т.д.
Историю философии математики можно начинать с учения Пифагора (числа как первооснова всего сущего). В ряде отношений близка к пифагореизму в истолковании математики философия Платона. Несомненно, важный вклад в философию математики (не говоря уже о логике) внес Аристотель. Эти направления — пифагорейское, родственное ему платонистское, и эмпиристское, восходящее к Аристотелю — отчетливо прослеживаются на протяжении всей истории философии, когда речь заходит о математике. Пифагореизм же (в современной интерпретации) можно считать "рабочим" мировоззрением современной предельно математизированной физики.
Математика, по Аристотелю, это не знание об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знание, отвлеченное от вещей. "Геометр и исследователь чисел", утверждает Аристотель, мыслят, "полагая отдельно то, что отдельно не существует", но потому, что они полагают (оставляя в абстракции) нечто, все-таки принадлежащее вещам (например, объем — человеку), то "именно поэтому геометры говорят и правильно рассуждают о том, что на деле существует".
Математические сущности, по Аристотелю, получены через отвлечение (абстрагирование). Они "первее по определению, но не по сущности".
В дальнйшем нельзя не отметить философские аспекты отношения к математике таких людей, как Ньютон и Лейбниц, и более подробно следует остановиться на взглядах на математику И.Канта. Кант (как и позднее Э.Гуссерль) был сторонником априоризма. Математический априоризм до сих пор занимает существенное место в философии математики (например, априористских взглядов придерживается В.Я.Перминов). Более кратко могут быть упомянуты такие концепци, икак конвенционализм (А.Пуанкаре) и номинализм. Программы обоснования математики начала 20-го века (логицизм, интуиционизм и формализм Д.Гильберта) рассматриваются далее отдельно, поэтому в данном разделе они опускаются.
Заслуживает упоминания позиция Л.Витгенштейна (математика как языковая игра).
Можно отметить и операционалистскую трактовку математики, данную Ж.Пиаже. В современных учебниках на русском языке (особенно написанных В.Я.Перминовым) наиболее предпочтительной называется формалистская концепция философии математики (формализм тут понимается несколько иначе, чем у Д.Гильберта, он более похож на концепцию математическиз структур Н.Бурбаки). Большое количество разнообразных концепций современных зарубежных, в основном англоамериканских, философов описано в книгах В.В.Целищева и в уже упоминавшейся книге В.А.Канке. Сюда относится, например, квазиэмпиристская концепция И.Лакатоса. В основном же речь в книгах Целищева и Канке идет о представителях того направления, которое принято называть аналитической философией.
Важным классифицирующим признаком для различных концепций в философии математки является их принадлежность либо к фундаменталистскому, либо к нефундаменталистскому (социокультурному) направлению.
Фундаменталистское направление нацелено прежде всего на выясление природы математического знания, нефундаменталистское анализирует прежде всего развитие (функционирование) математики в социокультурном контексте, и закономерности этого развития. Одним из основателей нефундаментализма является И.Лакатос. Для нефундаменталистов математика есть сложная система, в которую, кроме собственно знаний, включаются производящие и воспроизводящие эти знания субъекты (в широком смысле, включая, например, научные школы и исследовательские коллективы), математические инструменты, а также цели и образцы деятельности по производству нового математического знания. Сущность математики для нефундаменталистов — в закономерностях ее развития. Некоторые проблемы, интересующие нефундаменталистов: влияние культурной среды на развитие математики, зависимость развития математики от внешних влияний, математика как социальный институт, и т.д. Некоторые нефундаменталисты отрицают единство математики. Подробнее см. в книге А.Г.Барабашева " Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования ". Барабашев открыто симпатизирует социокультурному направлению, но признает, что в целом фундаменталистское и нефундаменталистское направления взаимно дополняют друг друга.
И, наконец, нельзя не отметить уже упоминавшуюся выше концепцию А.Бадью.
Как выяснил А.Г.Черняков, нечто подобное высказывал еще в начале 20-го века Э.Гуссерль в книге "Формальная и трансцендентальная логика". По Гусерлю, математика — это формальная онтология. (Заметим, впрочем, что сейчас термин "формальная онтология" с математикой чаще всего не связывается.) Концепцию Бадью нельзя считать (во всяком случае пока) имеющей преобладающее значение, но она дает интуитивно более предпочтительные ответы на некоторые фундаментальные вопросы, стоящие перед философией математики. Впрочем, у нее имеются и серъезные недостатки.
Опишем вкратце основные положения "формалистской" философии математики, которую развивает в своих книгах В.Я.Перминов. (Отметим, что термин "формалистский" используется здесь в ином смысле, чем при описании программы обоснования математики Д.Гильберта.) Согласно В.Я.Перминову, суть формалистского направления в философии математики выражается в следующем определении математики: это наука об особых формальных структурах, лежащих в основе теоретического мышления.
Те математические теории, которые связаны в своем происхождении с конкретными сферами реальности, обладают определенным содержанием и могут быть определены на основе этого содержания: арифметику можно считать наукой о количественных отношениях реального мира, геометрию — наукой о пространственных отношениях, теорию вероятностей — наукой о случайных и т.п.
Более глубокое проникновение в природу математического знания показывает, однако, что такого рода определения не могут быть положены в основу общего понимания математического знания, поскольку для очень многих математических теорий нельзя указать эмпирической содержательной основы. Приходится признать, что математические теории в общем случае представляют собой чистые понятийные конструкции, определяющей чертой которых является жесткое дедуктивное соподчинение между принципами и частными утверждениями, и математические теории выделяются как особый тип теорий не на основе содержания, а на основе свойственного им метода.
В этом плане математика может быть определена как наука о формальных структурах при понимании формальной структуры как системы отношений, заданных на множестве элементов произвольной природы. Таким образом, математикасогласно формалистской концепции — это не учение о мире, имеющее свой предмет, а лишь совокупность логических структур, редназначенных для описания различного рода реальных связей, открываемых опытными науками.
Математическая теория рассматривается не как описание какого-то фрагмента мира, но лишь как метод, как чистая структура, предназначенная для моделирования.
Подразделение математики на элементарную и высшую, на непрерывную и дискретную, на чистую и прикладную, не противоречит единству математики, основанному на единстве ее метода.
Аналогичной позиции придерживался один из крупнейших математиков XX века Саундерс Маклейн (1909-2005), определявший математику как науку, которая ставит своей целью понимание всех возможных формальных аспектов мира путем извлечения форм из практики, развития и использования их, и последующего применения их к тем аспектам мира, ккоторые действительно формальны.
3. Теория множеств и ее роль в современной математике. Математика как наука о бесконечном. Георг Кантор.
Теория множеств была создана Георгом Кантором в 1870-1890-х годах, и уже в 1897-м году на первом международном конгрессе математиков было признано, что она играет черезвычайно важную роль в математике. В дальнейшем, несмотря на обнаруженные парадоксы (которые после аксиоматизации теории множеств в 1907м году были устранены), теория множеств быстро стала тем фундаментом, на котором основано все здание современной математики. Множества — это та первичная "глина", из которой можно "вылепить" (точнее, было можно до создания теории (алгебраических) категорий и теории топосов) любые объекты, встречавшиеся в математике. Основное, что было сделано Кантором: а) в математику была введена актуальная бесконечность (вопреки запрету, наложенному еще Аристотелем), причем оказалось, что это понятие жизненно необходимо для математического анализа — ядра всей современной математики и ее приложений к физике и т.п. ; б) было показано, что существует бесконечно много различных типов бесконечностей, начиная со счетной бесконечности, каковая есть тип бесконечности множества натуральных чисел (имеет счетную мощность; тип бесконечности называется мощностью данного множества). Множество всех действительных чисел (строгое построение которого было дано тем же Кантором в начале 1870-х годов; впрочем, еще четыре математика примерно в то же время опубликовали эквивалентные конструкции) обладает так называемой мощностью континуума.
Кантор показал, что не существует способа взаимно-однозначно сопоставить каждому действительному числу натурального числа, и построил бесконечную иерархию не сводимых друг к другу типов бесконечностей. К 1920-м годам вся математика того времени была переведена на теоретико-множественные "рельсы".
Поскольку для математического анализа главную роль играет множество действительных чисел, и другие "большие" множества, примерно в то же время (около 1920-го года) выдающийся математик Герман Вейль с полным основанием заявил, что математика — это наука о бесконечном. Относительно недавно было замечено, что еще в позднеантичное время у неоплатоников в их рассуждениях о Едином и Многом (например, у Прокла) встречаются утверждения (и их доказательства), которые, по-сути, эквивалентны некоторым теоремам теории множеств. Впрочем, еще в 1980-х годах Ален Бадью в книге "Бытие и событие" (см.
также его "Манифест философии") предложил онтологическую концепцию, во многих отношениях основывающуюся именно на идеологии аксиоматической теории множеств.
Скажем еще несколько слов о понятии бесконечности. Бесконечность (в широком смысле) — философская категория, используемая для описания неисчерпаемости материи и движения. В данном случае речь пойдет о другом. Бесконечность (в узком смысле) — одно из важнейших понятий философии математики.
В философском плане бесконечность может быть естественно определена через понятие конечного, а именно как возможность выхода за пределы конечного, которая неизбежно предполагается уже в самых первых представлениях арифметики и геометрии. Эта же идея лежит в основе более строгих математических определений бесконечности.
Математическое мышление органически связано с идеей бесконечного в том смысле, что без допущений о возможности выхода за пределы конечного математическое рассуждение вообще не могло бы осуществиться.
В математике (и в философии математики) различают потенциальную бесконечность, состоящую в возможности постепенного, но неограниченного увеличения конечного, и актуальную бесконечность, состоящую в допущении существования бесконечного множества как завершенного.
Еще в древности философы высказывались за недопустимость в математике понятия актуально бесконечного. Аристотель считал, что завершенноая бесконечность непознаваема и не поддается представлению. Аналогично мнения придерживались, например, Н.Кузанский, К.Ф.Гаусс, Н.И.Лобачевский.
Тем не менее практика математического мышления привела к необходимости оперировать завершенными бесконечностями, и принимать математические теории, сщественно основанные на понятии актуальной бесконечности. Следует подчеркнуть, что занимающий центральное место в математике (начиная с XVII века) математический анализ (т.е. дифференциальное и интегральное исчисление) оказалось невозможно обосновать без привлечения актуально бесконечных множеств.
Кантор с самого начала работал с бесконечными множествами как с законченными объектами. Канторовская теория множеств (как теория прежде всего актуально бесконечных множеств), несмотря на встретившиеся трудности (см. раздел о парадоксах и кризисах), имела большой успех, и очень быстро оказалась в самом центре всех происходивших в то время математических событий. Оказалось возможным строить всю математику на основе первичных понятий канторовской теории множеств. В целом положение остается таким же и в нынешнее время, хотя уже появились признаки того, что математика "перерастает" теорию множеств.
Основное направление исследования понятия бесконечности в настоящее время — анализ возможностей сведения бесконечного к конечному.
Существуют по крайней мере два подхода к обоснованию понятия бесконечности в математикие: финитский, и реалистический (платонистский). В наиболее непосредственной форме идея непосредственного оправдания бесконечных множеств на основе их реалистического толкования была высказана К.Геделем.
Впрочем, в большинстве направлений современной философии математики понятие бесконечности не связывается с какой-либо физической реальностью.
Господствующая точка зрения состоит в том, что бесконечность в математике — исключительно мысленная конструкция, выполняющая определенную функцию в систематизации математических операций, которая была бы необходимой даже в том случае, если бы мироздание оказалось конечным в каком-то существенном смысле.
Это значит. что современная философия математики берет это понятие преимущественно в гносеологическо плане, рассматривая его как элемент понятийных систем, и отделяет проблему математической бесконечности от проблмы бесконечности в физике и космологии.
Если взглянуть на проблему бесконечности с точки зрения математической практики, то ситуацию можно описать следующим образом. Физический смысл (и практическое применение) имеют только конечные в том или ином смысле математические объекты (например, рациональные числа). Но дело в том, что в современной математике конечного относительно немного. Большинство уравнений не допускают точных решений, или же решения представимы в виде символических объектов (функций), которые еще надо перевести в пригодную для практического использования численную форму, а это можно сделать только приближенно. Таким образом, имеются конечные (финитные) математические объекты и их идеальные (бесконечные) прообразы. Вся вычислительная (прикладная) математика основана на финитизации бесконечных денотатов (символьных выражений) действительных чисел, и работает с конечными образами бесконечных денотатов. При этом вопрос о том, является ли бесконечный денотат (комбинация символов) актуально-бесконечным, или же потенциально бесконечным, в вычислительной математике полностью игнорируется.
Монопольное положение тории множеств как фундамента всей математики было поколеблено в 1970-х годах, когда обнаружилось, что существует огромный класс алгебраических категорий (так называемые элементарные топосы), в которых имеются внутренние средства для выражения (в принципе) всего того, что может быть выражено с помощью множеств, хотя в каждом конкретном случае получаются какие-то иные "математики". Это открытие смело можно сопоставить с открытием неевклидовых геометрий, только в данном случае речь идет об открытии бесчисленного количества не-теоретико-множественных "математик". Впрочем, математик (без кавычек) тем самым отнюдь не стало много, математика осталась единой, но черезвычайно широко раздвинула свои границы. Следует заметить, что сама теория множеств, если ее рассматривать как (алгебраическую) категорию, является примером топоса (весьма частным), а аксиомы, определяющие категории, логически независимы от аксиом теории множеств. Это означает, что в перспективе фундаментом всей математики на какое-то время может стать именно теория алгебраических категорий (созданная С.Маклейном и С.Эйленбергом около 1945-го года).
4. Кризисы в математике. Парадоксы в логике и теории множеств Речь идет 1) о первом кризисе оснований математики, который возник в Древней Греции во времена Пифагора после обнаружения несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, и был разрешен (по мнению современных историков математики) Евдоксом Книдским, создавшим теорию отношений; 2) о втором кризисе, который связан с созданием в 17-м веке дифференциального и интегрального исчисления, и суть его заключалась в том, что эти исчисления не имели строгого обоснования до середины 19-го века; 3) и о третьем кризисе, который начался с обнаружения парадоксов в Канторовской теории множеств.
Закончен ли этот третий кризис — тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например, отсутствие строгого обоснования у континуального интеграла).
Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а также целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г.Фреге). Но, возможно, одним из самых недооцененных явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963-м году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения.
5. Программы обоснования математики начала XX века: логицизм (Г.Фреге, Б.Рассел, А.Н.Уайтхед), интуиционизм (Л.Э.Я.Брауэр, Г.Вейль) и формализм (программа Д.Гильберта).
В работах по философии математики широко употребляется словосочетание "основания математики". Речь не идет об ”основаниях" как об основах (основы — это, например, теория множеств или теория алгебраических категорий), речь идет об основаниях в смысле обоснования, т.е. в смысле логической обоснованности неких исходных предпосылок всей математики. В этом разделе мы будем употреблять термин основания в смысле обоснования.
В настоящее время под основаниями математики понимается совокупность исследований, направленных на анализ строгости доказательств и непротиворечивости математических теорий. Как особая область исследований основания математики появились в начале XX века в связи с проблемой устранения парадоксов, появившихся в теории множеств.
Первая задача оснований математики — обоснование строгости признанных доказательств, и освобождение существующих математических теорий от известных парадоксов. Эту задачу надо считать в настоящее время в целом решенной.
Вторая задача оснований математики — выявление условий полной надежности математических теорий в смысле строгости доказательств и отсутствия противоречий. На данный момент преобладает мнение, что в рамках чисто логических подходов эта задача нразрешима.
Парадоксы, обнаруженые в теории множеств в конце 19-го и начале 20-го веков, повлекли за собой то, что ныне называется третьим кризисом оснований математики. Многим крупным математикам показалось, что математика гибнет и ее надо спасать. Наиболее простой выход предложил в 1907-м году Э.Цермело: он аксиоматизировал теорию множеств, после чего в аксиоматизированной теории известные к тому времени парадоксы стали невозможными. Заметим, что аксиомами Цермело (в виде, усовершенствованном позднее Френкелем) математики пользуются до сих пор, и это, верятно, самая важная система аксиом современной математики.
Но далеко не всех удовлетворил путь, предложенный Цермело. Было выдвинуто три большие программы обоснования (т.е. "спасения") математики, имеющие не только математическое, но и философское значение.
Первая из них, предложенная англичанами Б.Расселом и А.Н.Уайтхедом, заключалась в том, чтобы свести всю математику к логике, непротиворечивость которой предполагалась сама собой разумеющейся. Предшественником Рассела и Уайтхеда был Г.Фреге, ныне считающийся основателем аналитической философии.
Идея программы логицизма была намечена Готлобом Фреге (1848-1925) еще в г., до появления парадоксов (а истоки современные иссследователи находят у Лейбница). Основное развитие эта идея получила уже в XX веке в книге Бертрана Рассела (1872-1970) и Альфреда Норта Уайтхеда (1861-1947) Principia Mathematica (3 тома, 1910-1913). Речь идет о том, что истинность и непротиворечивость математики должна обосновываться через редукцию ее основных теорий (прежде вего арифметики) к элементарным логическим исчислениям. Аксиомы математических теорий должны, как надеялись логицисты, представляться в виде тавтологий, имеющих чисто логическое оправдание. Исходным пунктом этих надежд было безусловно правильное положение, что простые требования логики являются наиболее надежной частью нашего понятийного мышления. Математика, по мнению Рассела, есть только боле зрелая логика. Логицисты исходили из того, что каждое математическое понятие может быть определено в понятиях логики, а каждое математическое утверждение может быть представлено в виде общезначимого суждения в непротиворечивом логическом исчислении. В процессе работы над своей программой Рассел и Уайтхед также аксиоматизировали теорию множеств, и формализовали значительный фрагмент содержательной математики.
Однако выяснилось, что для того, чтобы, так сказать, свести концы с концами, им пришлось выйти далеко за пределы того, что большинство математиков согласны были считаь сферой действия логики. Сами исследования в рамках логицизма привели к существенной коррекции первоначальных установок логицизма, и в некотором смысле к его (само)опровержению. Оказалось, что математика по своему содержанию существенно шире логики, и что существуют математические принципы, которые заведомо не могут быть представлены в форме общезначимых логических суждений. Такими принципами являются аксиомы теории множеств:
аксиома выбора и аксиома бесконечности.
В 1931 году К.Гедель показал, что логика, даже при самом ее широком понимании, принятом Расселом и Уайтхедом, заведомо не полна в отношении математики в том смысле, что она недостаточна для выражения в полном объеме истин арифметики, и теорий, более богатых, чем арифметика.
Вторая программа обоснования математики, называемая интуиционизмом, была выдвинута примерно в то же время (в 1907-м году) голладцем Л.Э.Я.Брауэром (1881-1966). Брауэр утверждал, что истинность и обоснованность математических теорий должна опираться исключительно на собственные интуиции математики, и прежде всего на первичную интуицию числа и на интуитивное представление о правильной математической конструкции. Брауэр был противником формализации и формальной аксиоматизации, и считал логику частью математики. Отрицалось существование актуально бесконечных множеств, и отрицалась законность некоторых логических средств доказательства, в частности, закона исключенного третьего, и принципа доказательства от противного применительно к бесконечным объектам. Математический объект, по Брауэру, существует в том случае, если он либо дан нам в виде интуитивно ясного, либо может быть конструктивно построен, исходя из некоторых первичных интуитивно ясных объектов. При этом конструктивность не получала точного определения, основной упор делался на интуитивную ясность. Заметим, что такие объекты в качестве существующих и непротиворечивых признаются всеми математиками, но Брауэр, в отличие от многих, ограничивал круг существующего в математике только такими объектами.
Брауэр также считал математику особым родом умственной деятельности, для которого естественный язык и логика не являются обязательными и даже адекватным средствами выражения. Логика становилась не слишком существенной частью самой матматики. Все это означало призыв к созданию какой-то совершенно новой математики, лишь частично совпадавшей с уже известной.
Одним из последователей Брауэра некоторое время был крупный математик (известный также своми работами по физике и философии) Герман Вейль.
Интуиционистская программа в целом должна быть признана несостоятельной, так как в рамках интуиционистской математики невозможно построить многие важные разделы современной математики (прежде всего математический анализ), имеющие практические применения.
Наконец, несколько позднее со своей программой обоснования математики выступил один из ведущих математиков начала 20-го века Д.Гильберт (1862-1943).
Суть его замысла состояла в том, чтобы брать каждую отдельную математическую теорию, формализовывать ее, аксиоматизировать, и специальными методами, сугубо конструктивными и не использующими понятия актуальной бесконечности (финитными) обосновывать непротиворечивость и полноту системы аксиом этой теории. Полнота здесь означает, что каждое содержательно истинное в данной теории утверждение после формализации должно формально выводиться из не более чем счетного перечня аксиом с помощью допустимого набора правил вывода.
Именно это центральное в программе Гильберта предположение оказалось в конечном счете неверным вследствие теоремы Геделя о неполноте.
Как уже было сказано, две другие программы обоснования математики также оказались несостоятельными с точки зрения достижения тех целей, ради которых они были задуманы. Тем не менее, отдельные фрагменты этих программ сохраняют свою значимость по сей день, и совершенно очевидно, что те усилия, которые были приложены создателями программ обоснования, не пропали даром. Например, усилиями логицистов и членов команды Гильберта в значительной степени была создана математическая логика в ее современном виде. Что касается интуиционизма, то интуиционистскими методами не удалось, например, получить существенную часть теорем математического анализа, который со времен Ньютона и Лейбница остается ядром всей современной математики, и в особенности ее приложений к физике и технике. Однако после появления в 1930-х годах строгого понятия алгоритма эстаферу от интуиционизма принял математический конструктивизм, представители которого внесли немалый вклад в современную теорию вычислимости. Кроме того, в 1970-е и 1980-е годы обнаружились существенные связи между некоторыми идеями интуиционистов (даже теми, которые казались ранее абсурдными) и математической теорией топосов.
Математика, имеющаяся в некоторых топосах, весьма напоминает ту, которую пытались создать интуиционисты.
6. Аксиоматический метод в математике. Формализация. Математическое доказательство.
Аксиоматический метод является едва ли не основным методом организации и развития математического знания. Появившись еще в древнегреческой математике (прежде всего у Евклида), он прошел три основные этапа развития. Этап содержательной аксиоматизации, когда аксиомы выражали самоочевидные свойства какой-то одной и очень конкретной системы математических объектов, сменился в середине 19-го века этапом полуформальной аксиоматизации, суть которого в том, что аксиомы лишаются статуса самоочевидности, и становятся просто определением математического объекта, а объектов (или систем объектов), удовлетворяющих данным аксиомам, оказывается, как правило, очень много.
Критически значимым для метода полуформальной аксиоматизации оказался 1899-й год, когда Д.Гильберт в своей книге "Основания геометрии" представил исчерпывающую аксиоматизацию евклидовой геометрии (у самого Евклида были существенные пробелы). Полуформальный аксиоматический метод остается основным "орудием труда" математиков и по сей день. Но примерно в то же время (несколькими годами позднее), когда вышла книга Гильберта, были заложены и основы метода формальной аксиоматизации. Обнаружилось, что все содержательные утверждения, которые возможны в математике, могут быть выражены в виде предложений (формул) особого символического языка (точнее — разных языков примерно одного и того же типа, называемых сейчас языками первого порядка). В частности, формулами являются и аксиомы. Это дало возможность точно определить математическое доказательство как конечную последовательность формул (предложений), получающихся из аксиом по точно определенным правилам. Сами математические доказательства, определенные таким способом, стали объектами изучения в математике. Появилась возможность строго доказывать полноту (или неполноту), непротиворечивость и другие свойства формализованных теорий.
Поговорим о формализации в математике несколько подробнее.
Формализация — метод выявления и уточнения научного знания путем придания ему строго фиксированной формы.
Одним из таких методов является аксиоматизация, т.е. построение аксиоматической теории. В этом случае исходному знанию, которое первоначально является интуитивным, носит содержательный характер и описывается на естественном языке, придается определенная структура — выделяются наиболее общие утверждения, которым придается статус аксиом, все остальные положения теории выводятся чисто логически из этих аксиом в качестве теорем; все термины, кроме исходых, входящих в аксиомы, вводятся по определению и их можно использовать тольо в смысле данных определений. Впервые метод формализации был применен при построении первой логической теории — силлогистики.
Несколько позже этот метод Аристотеля был использован Евклидом при построенн классической геометрии.
Строго говоря, употребление естестенного языка при формализации является нежелательным. Именно по этой причине аксиоматика Евклида оказалась не полной. Ему не удалось в качестве аксиом задать все свойства геометрических объектов, которые реально использовались при доказательстве теорем. Ряд положений он применял интуитивно, неявным образом опираясь на термины, смысл которых не был формализован. Полную систему аксиом для евклидовой геометрии впервые построил Д.Гильбрт в книге "Основания геометрии" (1899 г.).
Более совершенным методом формализации является метод построния формальных теорий — исчислений. С этой целью предварительно осуществляется формализация естественного языка, т.е. создается специальный язык символов. В этом языке задаются правила порождения осмысленных последовательностей символов (например, формул), которые становятся содержательными утверждениями благодаря их интерпретации. Отдельные утверждения объявляются аксиомами. Ввводятся правила преобразований одних последовательностей символов в другие, которые выступают в качестве логических правил дедукции. При этом сама дедукция превращается в формальный вывод, т.е. в такую последовательность шагов, осуществление которых не требует обращения к смыслу используемых понятий. Тем самым формализуется содержательное понятие доказательства. В настоящее время такой метод формализации широко применяется в математике и логике.
Другим примером использования мтода формализации является построение формального аналога интуитивного понятия алгоритма. Было предложено несколько способов такой формализации, которые оказались эквивалентными друг другу. Это обстоятельство подтверждает тезис Чёрча, высказанный им в 1936 году, о том, что предложенные формальные аналоги полностью описывают смысл исходного интуитивного понятия алгоритма.
Метод формализации является важным теоретическим методом познания, т.к.
целый ряд вопросов может быть решн только при наличии соответствующих формальных построений. Относительно формализованных систем знания (исчислений или теорий) ставятся и решаются вопросы об их непротиворечивости (т.е. о невозможности доказательства в системе некоторого утверждения и его отрицания), о полноте (т.е. о доказательстве в ней каждого содержательно истинного утверждения, которое может быть сформулировано на языке теории).
Построение формального аналога понятия алгоритма позволило доказывать теоремы о неразрешимости некоторых проблем, т.е. о несуществовании алгоритмов,решающих эти проблемы.
Д.Гильберт выдвинул программу обоснования математики, первым пунктом которой было требование ее формализации. Однако последущие исследования показали ограниченность метода формализации. Так, в 1931 году К.Гёдель доказал теорему о том, что обычная арифметика натуральных чисел в принципе не может быть формализована так, чтобы эта формализация оказалась одновременно непротиворечивой и полной. Все истинные предложения арифметики нельзя вывести ни из какой фиксированной системы аксиом. Это указывает на принципиальную неустранимость содержательных методов исследования даже в такой науке, как математика.
Что касается "обычных" математических доказательств (в полуформально аксиоматизированных теориях, каковыми является большинство математических теорий), то здесь центральное место занимают вопросы о строгости и достоверности таких доказательств. По-существу, единственной разработанной теорией, решающей вопросы о строгости и достоверности положительно, является концепция В.Я.Перминова, исходящая из допущения априористской природы математического знания. Для сторонников нефундаменталистского подхода к философии математики эта концепция, по-видимому, неубедительна, так как с социокультурной парадигмой априоризм несовместим.
Тем не менее, рассмотрим вопрос об априоризме несколько подробнее, так как именно на допущении о факте априорности первичных математических понятий основывается, в суности, единственное сколь-нибудь убедительное обоснование того, что математические доказательства являются в принципе надежно обоснованными.
Математическим априоризмом называется такой взгляд на природу математических понятий, согласно которому они отражают структуру не реальности, а самого разума и в этом смысле являются независимыми от опыта.
Такое их понимание впервые вводится Лейбницем, и поддерживается И.Кантом (1724-1804), играя важную роль в его теории познания. С точки зрения Канта, исходные положения арифметики и геометрии являются концептуальным выражением представлений о пространстве и времени, имеющих внеопытную природу. Математика изучает именно их, а не свойства (физической) реальности.
Несколько подробнее скажем о взгляде Канта на математику. Вся математика и математическая физика отнесены Кантом к области созерцания. Кантовское определение математики таково:
Математика — мышление о предметах, конструируемых рассудком в образах чистого созерцания (т.е. созерцания, свободного от ощущений).
Все, что измышляет чистый разум вне созерцаний ("дикурсивное мышление" или "трансцендентальные идеи") Кант относил к метафизике.
Возвращаясь к математическому априоризму, следует сказать, что объективные предпосылки его возникновения заключены в самом характере исходных представлений математики, их устойчивости и интуитивной ясности.
Априористская концепция математики является попыткой объяснить эти особенности математического знания.
В XIX веке ряд философов пытался примирить математический априоризм с опытным и эволюционным пониманием теоретического знания. Согласно Спенсеру, стороны реальности, важные для выжэивания рода, закрепляются в механизмах мышления и затем выступают в качестве ьезусловных внешних предписаний мыслительной деятельности. Априорное для индивида, с этой точки зрения, является апостериорным для рода и может быть объясненоисходя из приспособительной природы знания, а не из предположения о существовании неизменных врожденных форм чувственности. Эта идея лежит в основе эволюционной эпистемологии, которая развивалась в XX веке в работах К.Поппера (1902-1994), К.Лоренца и др. Эволюционное объяснение априорного знания приводит к представлению о том, что устойчивость и надежность исходных принципов математики и логики не явлется абсолютной, и они могут быть заменены в будущем некоторыми другими принципами, более адекватными с точки зрения приспособления к среде.
Попытка развития концепции чистого априоризма, свободного от натурализма и субъективизма, была предпринята Э.Гуссерлем (1859-1938) в "Логических исследованиях" (1901). По Гуссерлю, всякий акт опытного восприятия мира связан с активностью разума, порождающего чистые эйддейтические формы, не подверженные историческому изменению. Априорное (эйдейтическое) знание у Гусерля не является независимым от опыта в своем генезисе, но оно безусловно независимо от нго в своем статусе в смысле невозможности его критики со стороны опыта. Исходя из наблюдения актов измерения и счета человеческое сознание, по Гуссерлю, восходит к чистым и неизменным математическим формам, образующим структуру мышления, приложимую к определенным сферам опыта или к опыту в целом. Априористская концепция Гусерля построена на убеждении, что сама активность мышления способна преодолевать ограниченность субъективного и коллективного опыта и от частного и субъективного опыта восходить к мысленным формам, имеющим абсолютное значение для познания.
Существуют также попытки объяснить природу математического априоризма исходя из законов функционирования языка (Н.Хомский, Я.Хинтикка), или из понятия деятельности (Д.Лукас) и др.
Изложим теперь основные положния той версии математического априоризма, которая развивается В.Я.Перминовым.
Перминов признает, что в традиционном априоризме имеются слабые места, уязвимые для критики. Например, является неясным понятие чистого созерцания, которое способно доставлять нам исходные сведения о математических объектах, обладающие самоочевидностью и вневременной значимостью. Что касается позиции Гуссерля, то, исключив анализ целей мышления как неприемлемую метафизику, он (Гуссерль) вынужден выводить нормы мышления из самого его материала, что неизбежно возвращает его к идее относительности всех принципов.
Перминов начинает с утверждения о том, что в процесс действия мы необходимо предписываем реальности некоторые общие требования к предмету, оправданные с точки зрения принципиальной возможности действия: реальность представляется как состоящая из конечных предметов, разделенных в пространстве и времени, идеально стабильных и аддитивных в смысле независимости своих свойств от увеличения или уменьшения совокупности. Вся реальность рассматривается при этом как неограниченная или способная к неограниченному увеличению совокупности такого рода примеров. Эти представления, порождаемые деятельностью наряду с общими субъектно-объектными категориями, Перминов называет предметной (или категориальной) онтологией (идеальными предметными представлениями). Исходные очевидности элементарной математики могут быть теперь поняты как представления, заданные структурой предметной онтологии.
С этой точки зрения интуитивной основой математики являются не представления опыта, а предметная (категориальная) онтология как определенный аспект универсальной праксеологической онтологии. Этот вывод в целом согласуется с кантовской характеристикой математического мышления. Однако следует отказаться от понятия времени как интуитивного основания арифметики.
Деятельностный анализ понятия числа показывает, что оно фиксирует в себе только структурные аспекты универсальной предметности и не имеет отношения к идее процесса в его объетивном или субъективном понимании.
Более подробно с концепцией В.Я.Перминова можено познакомиться по его книгам "Философия и обоснование математики" и "Развитие представлений о надежностьи математического доказательства".
В целом надо, однако, признать, что современная теория познания еще далека от общепризнанного решения проблемы априоризма. Прояснение природы математического априоризма остается одной из наиболее глубоких проблем современной философии математики и теории познания в целом.
7. Теоремы К.Геделя и их значение Речь идет о двух теоремах, доказанных Куртом Геделем (1906-1978), и опубликованных в 1932-м году. Первая теорема (теорема Геделя о неполноте) утверждает, что в любой достаточно богатой формализованной и аксиоматизированной математической теории при условии ее непротиворечивости существуют утверждения содержательно истинные, но не выводимые формально из аксиом. "Достаточно богатая" здесь означает, что аксиомы данной теории позволяют определить в ее рамках натуральные числа со всеми их свойствами. В частности, сама формализованная и аксиоматизированная теория натуральных чисел (арифметика) удовлетворяет условию первой теоремы Геделя. Для доказательстве этой теоремы Гедель особым образом построил формулу, котрая утверждала свою невыводимость из аксиом. Ситуация очень напоминает парадокс лжеца: если эта формула представляет собой истинное утверждение: то она невыводима, а если не истинна, то выводима, а следовательно, истинна. Но тогда вся теория противоречива. Вторая же теорема Геделя гласит, что непротиворечивость достаточно богатой формализованной теории не может быть доказана средствами самой этой теории. Несколько лет спустя А.Тарским и А.Черчем были доказаны две другие важные теоремы, в некотором смысле близкие к первой теореме Геделя и дополняющие ее.
Появление всех этих теорем имело следующие непосредственные последствия. Вопервых, стало окончательно ясно, что невозможно достичь целей, провозглашенных логицистами: математика, даже арифметика, не сводится к формальной логике. А во-вторых (и это оказалось гораздо более существенным) из теорем Геделя следовало, что и программа Гильберта обречена на неудачу. В самом деле, основной гипотезой, на которую опирался Гильберт, было предположение о том, что в каждой теории после ее формализации и аксиоматизации (и если она при этом окажется непротиворечивой) любую ее теорему можно формальным образом вывести из аксиом. Первая теорема Геделя утверждает, что для самых интересных математических теорий (арифметика, теория множеств и т.п.) это невозможно в принципе.
Заметим, что в 1978 году Пэрис и Харрингтон нашли вполне конкретную теорему о натуральных числах (так называемую усиленную теорему Рамсея), которую невозможно формально вывести из аксиом натуральных чисел. Подробности можно найти, например, в книге Ю.И.Манина "Вычислимое и невычислимое", с. 100.
8. Существование математических объектов. Математический платонизм.
Аргументы "за" и "против".
Одной из главных проблем в философии математики является проблема статуса математических объектов: существуют ли они, и если да, то в каком смысле.
Общепринятая в настоящее время в математике точка зрения (предложенная Д.Гильбертом) заключается в следующем: математический объект "существует" в том и только в том случае, если его определение логически непротиворечиво.
Безусловно "существующими" считаются объекты, допускающие конструктивное построение, исходя из неких первичных простых объектов, существование которых считается очевидным. Таким образом, в этом случае необходимо говорить об особом понимании термина "существует", заметно отличающемся, например, от понимания, принятого в естественных науках. С точки зрения естественных наук (и некоторых философов) математические объекты "не существуют". Что, впрочем, нисколько не мешает им явно или неявно присутствовать и играть важную (часто решающую) роль в получении и формулировках огромного числа научных результатов из самых разнообразных наук (и не только естественных). Поэтому можно утверждать, что в случае математики речь идет об особого рода реальности, не выражаемой через реалии физического мира. Математический платонизм заключается в признании наличия особого "мира идей", в котором и пребывают "первопричины", сущности математических объектов. Математика как человеческая деятельность с точки зрения платонизма оказывается выражением реалий этого мира идей на особом (математическом) языке. Суть математического платонизма в том, что математические объекты истолковываются как внечувственные сущности, существовавшие до появления математики и математических теорий. Математики только открывают их, а не изобретают. Исходные объекты математики(числа, множества, фигуры, функции и т.п.) понимаются в математическом платонизме как непосредственное отражение в понятиях идеальной внечувственной реальности.
Взглады на природу математических абстракций, которые можно назвать реалистическими, или платонистскими, высказывались Лейбницем, Больцано, Г.Фреге, Б.Расселом, К.Геделем и многими другими.
Г.Фреге полагал, что законы логики обладают реальной значимостью в том смысле, что они соответствуют некотрым фундаментальным сущностям, открытым для нашего разума непосредственно и в законченной форме.
Б.Рассел связывал математичесие понятия с универсалиями, необходимо присутствующими в нашем языке. Делая высказывание "человек находится в комнате", мы, по мнению Рассела, фиксируем два предмета (человек и комната), доступные чувственном исследованию, и отношение "находиться в", которое внечувственно, но не менее реально. Математические понятия, по мнению Рассела, относятся именно к такого рода внечувственной реальности.
С точки зрения К.Геделя, адекватное решение проблемы обоснования математики нуждается в допущении особого рода внечувственных предметов, точно так же как обоснование физики нуждается в допущении реального существования предметов опыта. По мнению Геделя, мы должны допустить и существование и особой интеллектуальной (внечувственной) интуиции, позволяющей нам фиксировать основные свойства математических предметов.
Широко распространено понимание того, что математика, основанная на теории множеств, имеет явную тенденцию к платонистскому (само)восприятию:
множества, функции, числа, и другие объекты субъективно воспринимаются математиком как нечто столь же реальное и субстанциальное, как и объекты физического мира, и практика работы математика не дает никаких примеров, противоречащих такому восприятию. В этой связи принято говорить о "рабочем платонизме" большинства математиков, активно занимающихся научными исследованиями.
Например, утверждается, что множества следует считать реально существующими в том смысле, что в математическом понятии множества выражены прежде всего свойства реальных предметных множеств, непосредственно схватывемых нашими чувствами. При такой трактовке реальности платонизм оставляет идею внечувственности математических предметов и приближается к традиционному эмпирическому воззрению на природу математики.
Известный американский специалист по философии математики П.Бенацерраф предложил следующую цепочку рассуждений, которая, по его мнению, доказывает ложность математического платонизма:
1. Люди существуют в пространстве и времени.
2. Если существуют абстрактные математические объекты, они существуют вне пространства и времени.
3. Если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа.
Следовательно, 4. Если математический платонизм верен, тогда человеческие существа не не могут иметь к абстрактным математическим объктам познавательного доступа.
5. Человеческие существа имеют-таки математическое знание.
Следовательно, 6. Математический платонизм неверен.
В статье Н.С.Розова "Социологический реляционизм С.Фукса и объяснение “рабочего платонизма” в математике" (журнал Философия науки, 2006, № 3, С. 39обосновывается точка зрения, согласно которой позиция математиков, разделяющих идеи математического платонизма, есть всего-навсего коллективная иллюзия, которая, впрочем, не вредит фатально результатам их (математиков) работы.
Ярким примером диаметрально противопоожной точки зрения является позиция крупного современного английского физика и математика Роджера Пенроуза, высказанная им в книге "Тени разума". Пенроуз полагает, что существование платоновского мира идей прямо следует из теоремы Геделя о неполноте.
Следует отметить также, что в последние годы два известных математика, А.Н.Паршин (чл.-корр. РАН) и А.Ю.Хренников, независимо друг от друга предприняли попытки построения математических моделей платоновского мира идей, причем независимо друг от друга выбрали принципиально одинаковые подходы (на основе так называмых p-адических чисел). Детали можно узнать в их книгах, приведенных в списке литературы.
Концепция математического платонизма активно критикуется философами, однако в их аргументации (например, в приведенном выше рассуждении П.Бенацеррафа) имеются и слабые места. Что, возможно, еще существеннее, критики платонизма не могут предложить никакой столь же интуитивно убедительной для математиков альтернативы. Представления, находящиеся в русле аналитической философии (не говоря уже о концепциях, испытывающих влияние постмодернизма) не могут объяснить, например, "непостижимую эффективность математики в естественных науках" (Э.Вигнер), в то время как платонизм некое объяснение предлагает. Нельзя не упомянуть в связи с платонизмом и о теории наблюдения в квантовой физике, согласно которой сознание наблюдателя в принципе невозможно представить расположенным в том же (физическом) мире, в котором находится наблюдаемый объект. Так или иначе, налицо серьезная проблема, выходящая далеко за рамки собственно философии математики.
Отметим еще и концепцию А.Бадью, более близкую к платонистской точке зрения, чем к формально-языковой или к прямолинейно материалистической. (Сам Бадью говорит о "платоновском жесте".) У Бадью математика оказывается одним из языков, нак которых с нами "говорит" Бытие, или (пользуясь метафорой Хайдеггера) одним из "домов Бытия". Впрочем, возможно, что следовало бы говорить о различных "квартирах" в "Доме Бытия".
9. Математика как язык науки Приведем вначале несколько высказываний известных личностей.
Нильс Бор: математика — не только наука, но и язык науки.
Ричард Фейнман: математика — это язык плюс мышление, это как бы язык и логика вместе.
Количство подобных высказываний можно многократно умножить.
Когда речь заходит о математике как языке науки, то имеются в виду прежде всего возможности и границы математизации знания. Самые разнообразные науки, казалось бы, все более математизируются, но насколько обоснованно, например, известное утверждение о том, что наука только тогда достигает совершенства, когда начинает пользоваться математикой? Существует ряд аргументов за и против возможности безграничной математизации. Разбор некоторых их них и составляет основное содержание данного раздела. Речь пойдет также о причинах, вызывающих потребность в математизации, и о некоторых закономерностях этого процесса. Даже в случае физики глубинные причины того, что эта наука успешно пользуется математикой, являются во многом загадочными. В конечном счете объяснить эту успешность (равно как и неуспешность математизации в некоторых других науках) можно только путем более глубокого проникновения в сущность самой математики.
Обычный, естественный язык, является языком качественных понятий, и при всей своей мощи не способен выразить некоторые (и даже весьма существенные) аспекты окружающей нас действительности. Для этого используются иные средства, которые также имеют права называться языками. Вряд ли справедливо говорить, что математика — это язык искусственный.
«