1

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики и компьютерных наук Кафедра информационных систем МООР П.К.

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Рабочая программа для студентов специальности 080801.65 – «Прикладная информатика в экономике» заочной формы обучения Тюменский государственный университет Моор П.К. Основы вычислительной математики. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 080801.65 – «Прикладная информатика в экономике» заочной формы обучения. Тюмень, 2010. 11 стр.

Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:

Основы вычислительной математики [электронный ресурс] / Режим доступа:

http://www.umk.utmn.ru, свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой информационных систем.

Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой информационных систем, д.т.н., профессор А.Г. Ивашко © Тюменский государственный университет, 2010.

© Моор П.К., 2010.

1. Пояснительная записка 1.1 Цели и задачи дисциплины Дисциплина "Основы вычислительной математики" имеет целью ознакомить с основами вычислительной математики.

Задачи дисциплины:

- обучить методам решения вычислительных задач и разработки алгоритмов и программ их решения;

- выработать навыки применения численных методов для решения конкретных задач;

1.2 Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студенты должны:

Знать: методы решения основных задач вычислительной математики:

приближения функций, методов решения уравнений и систем уравнений, методов численного интегрирования, методов решения дифференциальных уравнений;

Уметь: применять теоретические знания к решению задач вычислительной математики, разрабатывать алгоритмы и программы;

Иметь представление: о методах приближенных вычислений, основных задачах вычислительной математики;

Владеть навыками: работы в области решении задач вычислительной математики.

2. Структура и трудоемкость дисциплины Таблица 1.

Вид учебной работы Всего часов Семестр Аудиторные занятия (всего) 8 В том числе: - Лекции 4 Лабораторные работы (ЛР) 4 Самостоятельная работа (всего) 55 Контрольные работы + Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен) зачет Общая трудоемкость 63 3. Тематический план Таблица 2.

Тематический план № Виды учебной работы и Итого самостоятельная работа, в час. часов по математики. Вычислительные методы для Введение в вычислительную математику Методы решения уравнений и систем Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Модуль 2. Вычислительные методы для Численное интегрирование Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Планирование самостоятельной работы студентов Модуль Методы решения систем Анализ ситуаций, линейных алгебраических собеседование, Приближение функций Анализ ситуаций, Модуль Экстремум функций анализ ситуаций, Самоконтроль и Численное решение анализ ситуаций, Самоконтроль и Содержание дисциплины Модуль 1. Основы вычислительной математики. Вычислительные методы для решения алгебраических задач.

Тема 1. Введение в вычислительную математику. Математические модели и численные методы. Меры близости: метрика и норма. Погрешность.

Тема 2. Методы решения нелинейных уравнений и систем. Методы решения уравнений: дихотомии, простых итераций, Ньютона. Методы решения систем.

Тема 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений и систем. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений: Гаусса с выбором главного элемента, простых итераций, Зейделя. Метод прогонки.

Тема 4. Приближение функций. Задачи приближения функций:

аппроксимация, интерполирование, экстраполирование. Линейное интерполирование. Интерполирование многочленами. Интерполирование сплайнами. Аппроксимация методом наименьших квадратов.

Модуль 2. Вычислительные методы для задач математического анализа.

Тема 1. Численное интегрирование. Постановка задачи. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Эйлера.

Тема 2. Экстремум функций. Постановка задачи. Минимум функции одного перемен-ного. Метод золотого сечения. Минимум функции многих переменных.

Метод скорейше-го спуска.

Тема 3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Поста-новка задачи Коши. Метод Рунге-Кутта. Постановка краевой задачи. Метод прогонки.

5. Планы семинарских занятий 1. Методы решения уравнений. Метод дихотомии, хорд, Ньютона.

2. Методы решения систем уравнений. Метода Гаусса, Зейделя.

3. Интерполирование функций. Полином Лагранжа.

4. Интерполирование функций. Кубические сплайны.

5. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов 6. Численное интегрирование. Метода прямоугольников, трапеций Симпсона.

7. Поиск экстремума функции. Метод золотого сечения.

8. Решение задач для ОДУ 6. Темы лабораторных работ Задания лабораторного практикума выполняются с использованием среды разработки Microsoft Visual Studio.

Задание 1.

1. Разработать программные модули для решения уравнения методами:

- дихотомии;

- хорд;

- Ньютона;

- простых итераций.

2. Найти все корни уравнения x2*sin(5*x) –x-0,5 = 0, расположенные на отрезке [0;2] методом дихотомии с точностью 0,00001.

3. Для корня, расположенного на отрезке [0;1] найти корень точностью 0,00001 всеми перечисленными выше методами и сравнить количество необходимых итераций.

Задание 2.

1. Разработать программные модули для решения систем линейных уравнений методами:

- Гаусса с выбором главного элемента;

- прогонки;

- Зейделя.

Проверить работу программ на тестовых примерах.

Задание 3.

1. Разработать модуль для вычисления значения функции, заданной таблицей, в некоторой точке при интерполировании многочленом Лагранжа в форме Ньютона. Заданы значения функции в 4 точках:

Построить для заданных значений интерполяционный многочлен в форме Ньютона и вычислить его значение для х=4. Какой степени Задание 4.

1. Разработать модуль для вычисления значения функции, заданной таблицей, в некоторой точке при интерполировании кубическим сплайном. Заданы значения функции в 4 точках:

Построить интерполирующий сплайн и вычислить его значения для Задание 5.

1. Разработать модуль для вычисления значения функции, заданной таблицей, в некоторой точке при аппроксимации по методу наименьших квадратов. Заданы значения функции в 4 точках:

Построить аппроксимирующий многочлен степени 1 по методу наименьших квадратов и вычислить его значение для заданных Для заданий 3-5 построить графики полученных функций.

Задание 6.

1. Разработать программные модули для вычисления определенного интеграла с точностью 0,00001 методами - прямоугольников;

- трапеций;

- Симпсона.

Сравнить количество необходимых разбиений отрезка для этих методов.

Задание 7.

1. Разработать программный модуль для нахождения минимума функции x2*sin(5*x) –x-0,5 = 0, расположенного на отрезке [0,5;1,5], методом золотого сечения с точностью 0,00001.

Задание 8.

1. Разработать программный модуль для нахождения решения задачи Коши для дифференциального уравнения для x=2 методом Эйлера с шагом 0,2 и 0,1. Сравнить полученные результаты.

8. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости Контроль качества подготовки осуществляется путем проверки теоретических знаний и практических навыков с использованием a) Текущей аттестации:

проверка промежуточных контрольных работ и прием лабораторных b) Промежуточной аттестации:

Тестирование по разделам дисциплины.

Зачёт в конце 5-го семестра (к зачёту допускаются студенты после сдачи всех лабораторных работ).

Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала.

Контроль качества подготовки осуществляется путем проверки теоретических знаний и практических навыков с использованием промежуточной аттестации в виде зачета в конце 5-го семестра.

Вопросы к зачету:

1. Вычислительная математика: предмет и задачи. Погрешность.

2. Методы решения уравнений: дихотомии, простых итераций, Ньютона.

3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений: Гаусса с выбором главного элемента, простых итераций, Зейделя.

4. Метод прогонки.

5. Задачи приближения функций: аппроксимация, интерполирование.

6. Интерполирование многочленами.

7. Интерполирование сплайнами.

8. Аппроксимация методом наименьших квадратов.

9. Численное интегрирование. Постановка задачи. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Эйлера.

10. Экстремум функций. Постановка задачи. Минимум функции одного переменного. Метод золотого сечения.

11. Минимум функции многих переменных. Метод скорейшего спуска.

12. Постановка задачи Коши. Метод Рунге-Кутта.

13. Постановка краевой задачи. Метод прогонки.

9. Образовательные технологии Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций, компьютерных лабораторных работ и проведение контрольных мероприятий (контрольных работ, промежуточного тестирования, экзамена).

лекционные и компьютерные лабораторные занятия; на лабораторных занятиях контроль осуществляется при сдаче лабораторного задания в виде программы (на одном из используемых языков программирования) и пояснительной записки к задаче. В течение семестров студенты выполняют задачи, указанные преподавателем к каждому занятию.

активные и интерактивные формы компьютерное моделирование и анализ результатов при выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности при выполнении лабораторных работ, подготовка к аудиторным занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов. Подготовка индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний: текущему 10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Основная литература:

1. Гаврилова Н. М. Основы вычислительной математики: учебное пособие. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2009. - 184 с.

Дополнительная литература:

1. Зализняк В. Е., Щепановская Г. И. Теория и практика по вычислительной матема-тике: учеб. пособие для студ. вузов. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2010. - 174 с.

2. Пантина И. В., Синчуков А. В. Вычислительная математика: учебник – М.:

«Маркет ДС», 2010. – 176 с.

3. Волков Е.А. Численные методы: учеб. пособие для студ. вузов. – М.: Наука, 11. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий требуются учебные аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием. Для выполнения лабораторных работ необходимы классы персональных компьютеров с набором базового программного обеспечения разработчика – системы программирования на языке С#.