УТВЕРЖДАЮ

Ректор СамГТУ, профессор

Калашников В.В.

_

«» _ 2002 г.

ПРОГРАММА

вступительного экзамена в аспирантуру СамГТУ по специальности 01.01.02.

«Дифференциальные уравнения»

Алгебра и аналитическая геометрия 1. Матрицы и действия над ними.

2. Определители и их свойства.

3. Решение систем линейных уравнений (СЛУ): методом Гаусса, обратной матрицы;

формулы Крамера, однородные и неоднородные СЛУ.

4. Векторная алгебра: скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведения и их свойства.

5. Комплексные числа и действия над ними, формулы Эйлера.

6. Прямая на плоскости и в пространстве, плоскость в R3 и их взаимное расположение.

7. Канонические уравнения кривых второго порядка и их графики: эллипс, гипербола, парабола.

8. Канонические уравнения поверхностей второго порядка в R3.

9. Линейные пространства, евклидовы пространства, скалярное произведение.

10. Линейные операторы, действия над операторами. Обратный, сопряженный, самосопряженный операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

11. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.

Математический анализ 1. Элементы теории множеств. Отображения.

2. Предел переменной величины (последовательности при n, функции при x x0 или при x ). Свойства пределов.

3. Признак Коши существования предела.

4. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

5. Замечательный предел.

6. Непрерывность отображения. Равномерная непрерывность функций.

7. Производная функции одного переменного. Дифференцируемость функции.

8. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя.

9. Производные высших порядков. Формулы Тейлора.

10. Первообразная и неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

11. Определенный интеграл по Риману, по Лебегу. Несобственные интегралы;

12. Функции ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса.

13. Функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных.

14. Градиент, производная по направлению функции многих переменных. Условный экстремум.

15. Интеграл по мере множества. Двойной, тройной интегралы.

16. Замена переменных в кратном интеграле.

17. Векторные поля. Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.

18. Формулы Остроградского-Гаусса, Стокса. Потенциальные и соленоидальные поля.

19. Положительные числовые ряды. Признаки сходимости.

20. Знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная сходимость.

21. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости функционального ряда. Степенные ряды.

22. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость по параметру. Признаки Вейерштрасса, Дини.

23. Ряд Фурье и преобразование Фурье Ортонормированные системы функций в евклидовом пространстве. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Неравенство Бесселя. Замкнутые и полные системы. Равенство Парсеваля. Тригонометрическая система и ее замкнутость. Тригонометрические ряды Фурье. Условия равномерной сходимости и сходимости в точке.

Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье. Понятие о кратных рядах Фурье. Преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье. Обратное преобразование Фурье. Интеграл Фурье.

24. Мера и интеграл Лебега.

Меры Жордана и Лебега на прямой. Счетная аддитивность меры Лебега. Измеримые функции. Сходимость почти всюду и сходимость по мере, связь между ними.

Интеграл Лебега по измеримому множеству конечной меры. Связь интегралов Лебега и Римана. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла.

Теория функций комплексного переменного 1. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация. Тригонометрическая, показательная, алгебраическая формы комплексного числа. Операции с комплексными числами.

2. Функция комплексного переменного. Аналитическая функция, условия КошиРимана.

3. Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции.

Понятие конформного отображения. Примеры конформных отображений.

4. Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральные теоремы Коши.

Интегральная формула Коши.

5. Изолированные особые точки. Разложение функции комплексного переменного в ряд Лорана в окрестности особой точки. Типы особых точек. Понятие вычета функции комплексного переменного относительно особой точки. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов.

6. Функция-оригинал. Преобразование по Лапласу. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

7. Свертка функций. Интегральные уравнения типа свертки.

Теория вероятностей и математическая статистика 1. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Асимптотика Пуассона для формулы Бернулли.

2. Непрерывная случайная величина. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Плотность вероятности случайной величины и ее свойства.

3. Характеристики положения случайной величины: математическое ожидание и его свойства, мода, медиана.

4. Характеристики разброса случайной величины: дисперсия и ее свойства, среднее квадратичное отклонение.

5. Совместное распределение вероятностей двух случайных величин. Условные функции распределения.

6. Закон распределения функции одного случайного аргумента, периодической функции, функции, не имеющей обратной.

7. Эмпирическая функция распределения, гистограмма распределения.

8. Статистические критерии Пирсона и Колмогорова о соответствии эмпирического и теоретического распределении.

9. Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценивание при помощи доверительного интервала.

10. Числовые характеристики случайного процесса. Свойства корреляционной функции. Взаимная корреляционная функция и ее свойства.

11. Спектральная теория стационарных случайных процессов. Свойства спектральной плотности. Взаимная спектральная плотность.

12. Основные законы распределения случайной величины: нормальный, показательный, гамма-распределение.

1. Численные методы решения нелинейных уравнений. Сходимость метода итерации.

2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Достаточные условия сходимости методов.

3. Интерполяция функций многочленами. Интерполяционные формулы Ньютона.

4. Среднеквадратичное приближение. Метод наименьших квадратов.

5. Численные методы интегрирования. Оценка погрешности методов.

6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

7. Конечноразностная аппроксимация производных от функций нескольких переменных.

8. Сеточные методы решения краевых задач в частных производных: метод сеток, метод коллокаций, метод наименьших квадратов, 9. Конечно - разностные схемы для уравнений теплопроводности, Лапласа и волнового уравнения. Сходимость, устойчивость и погрешность конечно - разностных 10. Понятие о вариационных методах решения краевых задач в механике сплошных сред. Методы Ритца, Бубнова - Галеркина, обобщенные методы Ритца и Бубнова Галеркина.

Понятие о дифференциальных уравнениях (ДУ). Обыкновенные ДУ и ДУ с частными производными. Понятие о решении (интеграле) ДУ.

Основные понятия. Общие и частные решения ДУ.

Задача Коши для ДУ первого порядка. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для ДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. Подстановка Эйлера-Бернулли и метод вариации произвольной постоянной.

Однородные ДУ и сводящиеся к ним.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Общие и специальные уравнения Риккати.

Особые точки ДУ на примере ДУ первого порядка: узел, седло, фокус, центр, дикритический узел.

Примеры использования ДУ: задачи о торможении движущегося тела, об остывании тела, о разряде конденсатора, о форме движущегося зеркала.

Ортогональные траектории к однопараметрическому семейству кривых.

Теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши.

ДУ первого порядка, не разрешенные относительно производной. Огибающая однопараметрического семейства кривых. Уравнения Клеро и Лагранжа. Особые решения ДУ.

Метод изоклин.

Дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши для ДУ n - го порядка.

Основные способы понижения порядка для ДУ второго порядка.

Основные способы понижения порядка для ДУ порядка выше второго. Формула Коши.

Линейные ДУ: основные понятия и теоремы. Признаки линейной зависимости и линейной независимости частных решении линейного однородного ДУ n - го порядка.

Структура общего решения линейного однородного ДУ n - го порядка. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского - Лиувилля.

Решение линейных однородных уравнений n - го порядка с постоянными коэффициентами.

Структура общего решения линейного неоднородного ДУ n - го порядка.

Нахождение частного решения методом вариации произвольных постоянных.

Нахождение частного решения линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида.

Колебания линейного осциллятора (на примере механического и электрического осцилляторов).

Уравнения Эйлера, Чебышева. Уравнение Бесселя. Свойства функций Бесселя. Частные случаи функций Бесселя. Ортогональность функций Бесселя и их корни. Разложение произвольной функции в ряд по функциям Бесселя.

Решение линейных однородных ДУ с переменными коэффициентами с помощью рядов.

Понижение порядка линейного однородного ДУ при известных частных решениях.

Элементы теории установившихся колебаний. Построение периодических решений линейных ДУ с постоянными коэффициентами с помощью тригонометрического ряда.

Решение уравнения колебаний с разрывным внешним воздействием путем "склеивания" частных решений.

Понятие о методе малого параметра.

Понятие об осцилляции решений линейного однородного ДУ второго порядка.

Основные понятия. Сведение системы ДУ к одному ДУ более высокого порядка (метод исключения).

Решение нормальной системы линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

Нахождение частного решения нормальной системы линейных неоднородных ДУ методом вариации произвольных постоянных.

Первые интегралы системы ДУ.

Понятие о краевых задачах для ДУ.

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений Непрерывная зависимость решения ДУ первого порядка и параметров от начальных условий на конечном отрезке изменения аргумента.

Понятие об устойчивости по Ляпунову решений системы ДУ.

Устойчивость систем линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Дифференциальные уравнения первого порядкам в частных производных Квазилинейные ДУ с двумя независимыми переменными и их геометрическая интерпретация. Задача Коши.

Нелинейные ДУ с п независимыми переменными.

Основные понятия и определения. Классификация уравнений второго порядка Основные понятия о дифференциальных уравнениях (ДУ) с частными производными: решение, порядок ДУ, линейность, квазилинейность, однородность, вырождение. Понятие характеристической формы и классификация линейных ДУ второго порядка. Классификация ДУ высших порядков и систем ДУ высших порядков. Решение линейных и квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка.

Классификация ДУ с двумя переменными. Характеристические кривые и характеристические направления. Приведение ДУ второго порядка с двумя переменными к каноническому виду.

Понятие об интегральных уравнениях, их классификация.

Вывод основных уравнений математической физики Уравнение малых поперечных колебаний струны.

Уравнение малых продольных колебаний упругого стержня.

Уравнения колебаний мембраны. Вывод уравнений звуковых колебаний.

Температурное поле, основной закон теплопроводности Фурье, вывод уравнения теплопроводности.

Задачи, сводящиеся к уравнению Лапласа: установившаяся температура в однородном теле, потенциальное течение несжимаемой жидкости.

Типы краевых условий. Постановка краевых задач.

Решение волнового уравнения методом характеристик.

Задача Коши для волнового уравнения. Метод волн. Теорема о непрерывной зависимости решения задали Коши от начальных данных. Физический смысл решения задачи Коши по формулам Даламбера.

Понятие об обобщенных решениях (на примере волнового уравнения).

Решение задачи о колебаниях бесконечной струны с нагрузкой (решение неоднородного волнового уравнения).

Решение краевых задач для волнового уравнения на полупрямой и на отрезке по формулам Даламбера.

Задача Коши для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными (доказательство существования, сходимости и единственности решения).

Задала Гурса.

Решение задачи о колебаниях бесконечного объема. Формула Пуассона. Физическая интерпретация формулы Пуассона. Цилиндрические волны. Решение неоднородного волнового уравнения в R3.

Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны (построение решения, доказательство равномерной сходимости ряда). Анализ решения волнового уравнения.

Колебания струны под действием удара. Продольные колебания стержня.

Общая схема метода Фурье для уравнения гиперболического типа. Задача ШтурмаЛиувилля. Собственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля и их свойства.

Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах. Вынужденные колебания струны с подвижными концами.

Единственность решения смешанной задачи.

Оператор Лапласа в криволинейных координатах.

Свободные колебания прямоугольной мембраны. Узловые линии.

Малые радиальные колебания газа в сфере.

Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндрической трубке.

Постановка краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности. Теорема о максимуме и минимуме для уравнения параболического типа. Единственность решения задачи Коши о распространении тепла на бесконечной прямой.

Применение метода Фурье к решению уравнений параболического типа: задача об охлаждении стержня через его границу, шара через его поверхность, бесконечного цилиндра через его боковую поверхность.

Обобщенные функции Хевесайда и - функция Дирака и их свойства.

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности (функция Грина) на прямой. Построение функции Грина.

Решение задачи о распространении тепла на бесконечной прямой при помощи функции Грина и преобразования Лапласа. Решение задач на полупрямой. Решение задачи о распространении тепла в трехмерном (двумерном пространстве).

Уравнения Лапласа и Пуассона, постановка краевых задач. Формула Грина.

Простейшие свойства гармонических функций. Единственность решения краевых задач.

Методы решения краевых задач для уравнений эллиптического типа: метод Фурье, метод Грина. Задача Дирихле, теоремы единственности и устойчивости. Задача Неймана, неединственность решения. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Формула Пуассона для шара и круга. Теория потенциала. Сведения краевых задач для уравнений эллиптического типа к интегральному уравнению.

Классификация линейных интегральных уравнений. Задачи приводящие к интегральным уравнениям. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами.

Существование решения. Понятие о приближенных методах решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1971. 240 с.

2. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М: Высшая школа, 1978. 288 с.

3. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1963. 548 с.

4. Петровский И.Ю. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

М.: Наука, 1970. 280 с.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982.

6. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Нестрюк Н.А. Дифференциальные уравнения:

примеры и задачи. М.: Высшая школа, 1989. 383 с.

7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.468 с.

8. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.:

Наука. 1985.231 с.

9. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 10. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. :

Наука, 1969.424с.

11. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб. пособие.

М.: Наука, 1977. 735 с.

12. Смирнов В. И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. 2 М.: Наука, 1981. 655 с. Т.4.

М.: Наука, 1981.4.2.

13. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных: Учеб.

пособ. М.: Наука, 1983. 424 с.

14. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука. 1982. 336 с.

15. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1982.

16. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 222 с, 17. Владимиров B.C. Уравнения математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука.

18. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики:

Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1970. 710 с.

19. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: в 2-х частях. М.: Наука, 20. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М.: Наука, 21. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 2 -х томах. М.: Наука, 1981.

22. Никольский С.М. Курс математического анализа: в 2 - х томах. М.: Наука, 1983.

23. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1981.

24. Смирнов В.И. Курс высшей математики: в 4-х томах. М.: Наука, 25. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 26. Самарский АЛ. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.

27. Самарский А.А. Теория Разностных схем. М: Наука, 1989.

28. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Численные методы. М: Наука, 1987.

29. Бицадзе А.В. Основы теории функций комплексного переменного. М: Наука, 1972.

30. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного, Программа составлена:

Докт. физ.-мат. наук, профессором В.П. Радченко канд. физ. -мат. наук, профессором М.Е. Лернером Утверждена на заседании кафедры «Прикладная математика и информатика»

5 сентября 2002 г.