МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Математический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по развитию образования

_Е.В.Сапир

"_"2012 г.

Рабочая программа дисциплины послевузовского профессионального образования (аспирантура) Алгебраические и теоретико-числовые методы в криптографии по специальности научных работников 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел Ярославль 2012 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Алгебраические и теоретико-числовые методы в криптографии» в соответствии с общими целями основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) (далее - образовательная программа послевузовского профессионального образования) являются:

- усвоение аспирантами знаний об основных алгебраических структурах, об основных понятиях, проблемах и методах алгебры, теории чисел, алгебраической геометрии и комбинаторной теории групп;

- изучение вопросов применения понятий и методов алгебраической геометрии и комбинаторной теории групп в криптографии;

- формирование у аспирантов общей математической культуры.

2. Место дисциплины в структуре ООП послевузовского профессионального образования (аспирантура) Дисциплина «Алгебраические и теоретико-числовые методы в криптографии»

относится к разделу «Обязательные дисциплины» (подраздел «Дисциплины по выбору аспиранта») образовательной составляющей образовательной программы послевузовского профессионального образования по специальности научных работников 01.01. Математическая логика, алгебра и теория чисел.

Алгебраические и теоретико-числовые методы широко используются в криптографии. В конце XX в. – начале XXI в. в криптографии стали активно использоваться методы алгебраической геометрии, началась работа по построению криптосистем на базе некоммутативных алгебраических структур. Были построены криптосистемы, базирующиеся на комбинаторной теории групп.

Для изучения данной дисциплины необходимы знания и умения, полученные в процессе обучения по программам специалитета или бакалавриата – магистратуры (дисциплины «Алгебра», «Математическая логика и теория алгоритмов» и «Теория чисел»). Дисциплина «Алгебраические и теоретико-числовые методы в криптографии»

развивает и дополняет соответствующий раздел обязательной дисциплины «Специальность».

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины В результате освоения дисциплины «Алгебраические и теоретико-числовые методы в криптографии» обучающийся должен:

Знать: основные определения, понятия и проблемы алгебраической геометрии и комбинаторной теории групп.

Уметь: применять математический аппарат алгебраической геометрии и комбинаторной теории групп для решения профессиональных задач, в том числе с использованием вычислительной техники.

Владеть: аппаратом алгебраической геометрии и комбинаторной теории групп.

4. Структура и содержание дисциплины «Алгебраические и теоретико-числовые методы в криптографии»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.

Курс № Раздел Виды учебной работы, Формы текущего Неделя п/п Дисциплины включая самостоятельную контроля успеваемости работу обучающихся, и (по неделям) трудоемкость (в часах) Форма промежуточной Форма обуч.: очная/заочная аттестации Сам. работа задачи курса. Обзор основных результатов.

многообразия кубических кривых приложения эллиптических кривых в криптографии групп в криптографии Содержание разделов дисциплины.

Тема 1. Введение. Принципы построения и изучения курса. Краткое содержание.

Роль и место курса в формировании специалистов. Рекомендации по изучению курса, самостоятельной работе и литературе. О формах контроля и отчетности при изучении курса.

Тема 2. Алгебраические основы Поля, подполя. Простые поля. Характеристика поля.

Расширения полей. Конечно порожденные и простые расширения. Их строение.

Расширения конечной степени. Теорема о башне полей для расширений конечной степени.

Алгебраические и трансцендентные элементы поля относительно его подполя.

Минимальный полином алгебраического элемента, некоторые его свойства. Строение расширения поля, полученное присоединением алгебраического элемента.

Алгебраические расширения полей. Теорема о башне полей для алгебраических расширений.

Конечные поля. Теорема о числе элементов конечного поля. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Дискретное логарифмирование в циклической группе.

Автоморфизм Фробениуса. Группа автоморфизмов конечного поля. Сепарабельные и несепарабельные расширения поля.

Неприводимые полиномы над конечными полями, некоторые их свойства. Функция Мебиуса. Формула обращения Мебиуса. Число неприводимых полиномов данной степени над конечным полем с данным числом элементов. Мультипликативные теоретикочисловые функции.

Реализация основных операций конечного поля: сложение, умножение, возведение в степень, обращение.

Алгебраическое замыкание поля. Теорема о существовании алгебраического замыкания счетного поля.

Трансцендентные расширения полей. Базисы трансцендентности расширений полей.

Евклидовы кольца и кольца главных идеалов.

Тема 3. Алгебраические многообразия Нетеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе. Алгебраические множества и топология Зариского. Аффинные многообразия. Теорема Гильберта о нулях.

Регулярные и рациональные функции. Размерность аффинного многообразия.

Касательное пространство Зарисского к аффинному многообразию в точке. Особые и неособые точки.

Дифференцирования колец. Связь между касательным пространством Зарисского в точке и дифференцированиями в этой точке.

Проективные пространства. Проективные алгебраические множества. Проективные многообразия. Поле рациональных функций проективного многообразия Аффинные карты проективного пространства.

Дискретные нормирования поля. Эквивалентность нормирований.

Дискретные нормирования полей степени трансцендентности. Дивизоры на кривых.

Рациональная параметризация кривой. Рациональные многообразия.

Тема 4. Кубические кривые Гессиан и точки перегиба плоских кривых.

Нормальная форма Вейерштрасса уравнения кубической кривой. Дискриминант и j-инвариант. Точки перегиба кубических кривых.

Групповая операция на эллиптической (неособой кубической) кривой.

Нерациональность неособых кубических кривых.

Тема 5. Дополнительные вопросы теории кубических кривых Теорема Римана - Роха для эллиптической кривой. Эллиптические кривые над полем комплексных чисел. Римановы поверхности. Эллиптические функции. Функция Вейерштрасса. Морфизмы кривых. Точки конечного порядка и многочлены деления.

Эндоморфизмы и автоморфизмы эллиптических кривых. Неравенство Хассе.

Тема 6. Некоторые приложения эллиптических кривых в криптографии Проверка чисел на простоту при помощи эллиптических кривых.

Разложение чисел на простые множители при помощи эллиптических кривых.

Некоторые протоколы эллиптической криптографии. Распределение ключей по протоколу Диффи – Хеллмана. Распределение ключей по протоколу Massey – Omura.

Использование группы точек эллиптической кривой. Протокол распределения ключей Менезеса – Кью – Ватсона (MQV-протокол).

Электронная подпись Эль Гамаля и ее обобщения.

Схема электронной подписи Эль Гамаля с возвратом сообщения (Nyberg – Rueppel алгоритм) с использованием группы точек эллиптической кривой.

Тема 7. Методы комбинаторной теории групп в криптографии Задание групп образующими элементами и определяющими соотношениями.

Фундаментальные проблемы М. Дэна. Преобразования Тице. Свободные группы.

Факторгруппы и подгруппы. Метод Рейдемейстера – Шрейера. Подгруппы свободных групп. Теорема Нильсена. Вербальные подгруппы и приведенные свободные группы. Теорема о строении конечно порожденной абелевой группы. Тождества в группах. Многообразия групп. Нильпотентные и разрешимые группы.

Автоморфизмы и эндоморфизмы групп. Проблемы автоморфной и эндоморфной сводимости для элементов и наборов элементов групп. Фундаментальные группы топологических пространств. Группы узлов и кос. Свободные произведения и свободные произведения с объединением. HNN-расширения. Теорема П.С. Новикова.

Распознавание групповых свойств, теорема С.И. Адяна.

Уравнения в свободных группах, теоремы Г.С. Маканина, А.А. Разборова, В.Г.Дурнева и И.Г. Лысенка.

Криптосистемы, базирующиеся на проблеме сопряженности и проблеме эндоморфной сводимости для наборов элементов групп. Некоторые подходы к обоснованию их стойкости.

5. Образовательные технологии В преподавании используются методические пособия, программные комплексы.

В преподавании курса используются активные и интерактивные технологии проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой.

Часть практических занятий проводится в дисплейном классе с целью разработки, тестирования и модифицирования приложений, реализующих алгоритмы на графах.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы обучающихся В качестве средств текущего контроля используется 2 контрольных работы, а также написание в течение семестра 1 реферата на выбранную тему. Итоговая форма контроля (зачет) дает возможность выявить уровень профессиональной подготовки аспиранта по данной дисциплине.

1. Доказать, что для любого поля его аддитивная группа не изоморфна его мультипликативной группе.