МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им.

В.П. АСТАФЬЕВА»

(КГПУ им.В.П.Астафьева)

Институт математики, физики и информатики

ПРОГРАММА

вступительных испытаний для поступающих в аспирантуру Направление подготовки 01.06.01 Математика и механика Программа аспирантуры «Математическая логика, алгебра и теория чисел»

Красноярск - 2014 Пояснительная записка Предлагаемая программа вступительного экзамена призвана обеспечить полноценную подготовку поступающих в аспирантуру по программе «Математическая логика, алгебра и теория чисел».

Структура и содержание программы отвечает характеру и уровню знаний, умений и навыков, необходимых будущему аспиранту для успешного обучения в аспирантуре и работе над диссертацией.

Работа с программой нацеливает на закрепление в профессиональном сознании абитуриентов комплексного целостного знания, позволяющего в период обучения в аспирантуре и работы над диссертацией, осуществлять эффективную научноисследовательскую, преподавательскую и воспитательную деятельность.

Отбор содержания вопросов, выносимых на экзамен, основывается на вычленении наиболее существенных знании в области геометрии и топологии.

В ходе ответов на предлагаемые вопросы абитуриенту следует показать владение понятийно-терминологическим аппаратом, проявить знание основных теоретических постулатов, законов, закономерностей, противоречий, уметь охарактеризовать их место и роль в исследовательской и образовательной деятельности.

Цель вступительного испытания - определить готовность и возможность поступающего освоить выбранную программу подготовки и выявить научные интересы и потенциальные возможности в сфере научно-исследовательской работы.

Задачи:

1. Диагностировать уровень сформированности методологической культуры абитуриента.

2. Выявить уровень владения знаниями геометрии и топологии, а также понимание современной проблематики данной области научного знания.

3. Активизировать на поиск научной проблематики для потенциального научного исследования.

Содержание основных разделов программы:

1. Группы.

Теоремы о гомоморфизмах. Действие групп— орбиты и стационарные подгруппы.

Разрешимые группы, простые группы, классические группы. Теоремы Силова. Абелевы группы.

2.Кольца и модули.

Теоремы о гомоморфизмах. Кольца. Делимость в кольцах, факториальные кольца, нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта.

3.Представления групп и алгебр.

Представления и модули представлений. Унитарность и приводимость. Теорема Машке.

Лемма Шура. Характеры. Представления групп su-два, ss-три и конечных подгрупп.

Индуцированные представления— закон взаимности Фробениуса. Теорема Клиффорда.

Тензорное произведение представлений. Представления алгебр.

4.Поля Алгебраические расширения. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа.

Конечные поля. Алгебраически замкнутые поля. Трансцендентные расширения.

5. Полугруппы Элементарные понятия, гомоморфизмы, идеалы, связки, регулярные полугруппы, отношение Грина.

Примерный перечень вопросов 1.Исчисление высказываний. Логические операции. Множества и слова. Язык исчисления высказываний. Система аксиом и правил вывода. Теорема дедукции.

2.Равносильность формул. Нормальные формы. Критерий тождественой истинности формулы.

3.Непротиворечивасть и полнота исчисления высказываний.

4.Независимость аксиом исчисления высказываний.

5.Алгебраические системы. Изоморфизмы, гомоморфизмы и автоморфизмы алгебраических систем. Элементарные свойства и примеры.

6.Группа: аксиомы, следствия из аксиом, примеры.

7.Необходимое и достаточное условие того, что подмножество группы является подгруппой.

8.Пересечение подгрупп. Порождающее множество.

9.Кольца: аксиомы, следствия из аксиом, примеры.

10.Кольца вычетов.

11.Поля: аксиомы, следствия из аксиом, примеры.

12.Подкольцо, подполе. Пересечение подколец, подполей.

13.Группы подстановок.

14.Теорема о разложении подстановки в произведение независимых циклов.

15.Четность подстановки, теорема о разложении подстановки на транспозиции.

16.Декримент. Четность подстановки.

17.Теорема о равенстве числа четных и нечетных подстановок в группе подстановок.

18.Кольца матриц: операции над матрицами, проверка аксиом.

19.Диагональные матрицы и трансвекции. Умножение произвольной матрицы на диагональную и трансвекцию.

20.Теорема о разложении матрицы на диагональную и трансвекции.

21.Теорема о существовании обратной матрицы.

22.Определитель произведения матриц.

23.Применение определителей к системам линейных уравнений.

24.Применение определителей к вычислению обратной матрицы.

25.Поле комплексных чисел: определение, существование и единственность.

26.Общая линейная группа и ее важнейшие подгруппы – специальная, ортогональная, унитарная.

27.Векторное пространство над полем: аксиоматика, примеры. Векторное пространство как алгебраическая система.

28.Линейная зависимость векторов. Линейно эквивалентные системы векторов.

29.База и ранг системы векторов. Размерность пространства.

30.Координаты вектора. Изоморфизм любого пространства пространству строк.

31.Связь между базами векторного пространства. Преобразование координат вектора при смене базы пространства.

32.Подпространства. Сумма, пересечение подпространств. Прямая сумма, линейная оболочка подпространств.

33.Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств.

34.Ранг матрицы. Теорема о ранге.

35.Теорема о ранге произведения матриц.

36.Системы линейных уравнений: критерий совместности.

39.Системы линейных уравнений: общее решение – определение и отыскание.

40.Однородные системы. Связь произвольных систем с однородными.

41.Однородные системы: пространство решений, фундаментальные системы решений.

42.Отыскание базы суммы и пересечения подпространств.

43.Теорема Фредгольма.

44.Эквивалентности и фактор-множества.

45.Фактор-пространство.

46.Теорема о размерности фактор-пространства.

47.Кольца многочленов от одной переменной.

48.Алгоритм деления с остатком.

49.Наибольший общий делитель двух многочленов.

50.Линейное уравнение с двумя неизвестными в кольце многочленов: критерий разрешимости.

51.Взаимно простые многочлены.

52.Линейное уравнение с двумя неизвестными в кольце многочленов: общее решение.

53.Корни и значения многочленов. Теорема Безу.

54.Производная многочлена. Формула Тейлора.

55.Задача интерполяции, интерполяционный многочлен Лагранжа.

56.Кратные корни. Теорема о корне многочлена и его производной.

57.Кольца с однозначным разложением: определения, примеры.

58.Кольцо многочленов как кольцо с однозначным разложением.

59.Пример целостного кольца для которого разложение на неразложимые множители не обрывается.

60.Пример целостного кольца для которого разложение на неразложимые множители неоднозначно.

61.Идеалы. Порождающее множество идеала. Главный идеал фактор-кольца.

62.Кольцо многочленов как кольцо главных идеалов.

63.Теорема о существовании корня: доказательство существования.

64.Теорема о существовании корня: доказательство единственности.

65.Кольца с условием максимальности – два равносильных определения.

66. Теорема Гильберта о базах.

67. Сравнения. Полная система вычетов. Приведённая система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма 1. Бардаков В.Г. Лекции по алгебре Ю.И.Мерзлякова: Учебое пособие / Новосиб.гос.ун-т:

Новосибирск, 2012. 311 с.

2. Мальцев И.А. Дискретная математика / -- Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2007. – 288 с.: ил.

3. Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрия. М.: МЦНМО, 2007. – 2-е изд., перераб.и доп. – 328 с.: ил.

4. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского – 3-е изд., испр.и доп. – М., МЦНМО, 2004 – 88 с.

5. Никулин В.В., Шафаревич И.Р., Геометрии и группы, Наука, М., 1983, 240 с.

6. Анищенко С.А. Лекции по геометрии: учебное пособие. / Изд.2, дораб.и доп.:

Краснояр.гос.пед.ун-т им.В.П.Астафьева. – Красноярск, 2004-2006, 2009.

7. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика, М., Наука, 1979. 320 с.: ил.

8. Новиков П.С. Элементы математической логики (2-е изд.). М.: Наука, 1973.

9. Виноградов И.М. Основы теории чисел, М.: Наука, 1981.

Критерии оценки Оценка ответов поступающего осуществляется по 5-бальной шкале.

Количество Критерии соответствия баллов 5 баллов Дан полный развернутый ответ на три вопроса из различных тематических - грамотно использована научная терминология;

-правильно названы и определены все необходимые для обоснования признаки, элементы, основания, классификации;

-указаны основные точки зрения, принятые в научной литературе по - аргументирована собственная позиция или точка зрения, обозначены наиболее значимые в данной области научно-исследовательские проблемы.

4 балла Дан правильный ответ на три-два вопроса из различных тематических - применяется научная терминология;

-названы все необходимые для обоснования признаки, элементы, классификации, но при этом допущена ошибка или неточность в определениях, - имеются недостатки в аргументации, допущены фактические или терминологические неточности, которые не носят существенного характера;

-высказано представление о возможных научно-исследовательских проблемах Менее 4 Дан правильный ответ хотя бы на один вопрос из предложенного баллов тематического раздела:

-названы и определены лишь некоторые основания, признаки, характеристики -допущены существенные терминологические неточности;

-собственная точка зрения не представлена;

-не высказано представление о возможных научно-исследовательских Дан неправильный ответ на предложенные вопросы из тематических разделов, отмечается отсутствие знания терминологии, научных оснований, признаков, характеристик явления, не представлена собственная точка зрения по данному