МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Тверской государственный университет»

биологический факультет

Кафедра анатомии и физиологии человека и животных

УТВЕРЖДАЮ

Руководитель ООП проф. А.Н. Панкрушина «»2012 г.

Рабочая программа дисциплины

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ

Для студентов I курса Направление подготовки 020400.68 БИОЛОГИЯ Программы специализированной подготовки магистров:

«Зоология позвоночных»

«Медико-биологические науки»

«Физиология человека и животных»

«Экология»

Квалификация (степень) Магистр Форма обучения Очная Обсуждено на заседании кафедры Составитель:

«_» 2011 г. К.ф.-м.н., доцент Домбровская В.Е.

Протокол № Зав. кафедрой_ Тверь II. Пояснительная записка.

1. Цели и задачи дисциплины.

Дисциплина «Математическое моделирование биологических процессов»

рассматривает использование современной биологией различных разделов математики:

теории вероятностей и статистики, теории дифференциальных уравнений, теории игр, дифференциальной геометрии и теории множества для формализации представлений о структуре и принципах функционирования живых объектов.

Дисциплина входит в базовую часть общенаучного цикла и изучается студентами в первом семестре.

Целью дисциплины является подготовка студентов в области исследования сложных систем и процессов на основе методов математического моделирования.

Задачами преподавания дисциплины являются следующие:

- раскрыть содержание базовых понятий, предмета, методов и принципов моделирования;

- дать представление о видах моделирования и основных походах к построению математических моделей систем;

- исследование и оптимизация биологических процессов и систем на различных уровнях их организации;

- исследование и оптимизация биотехнических систем;

- разработка и оптимизация лечебно-диагностических систем;

- оптимизация разработки, испытаний и производства лечебно-профилактических препаратов.

2.Место дисциплины в структуре ООП магистратуры.

Данная дисциплина формирует у студентов магистратуры навыки статистического анализа и построения математических моделей стохастических процессов, необходимые для решения ряда прикладных биологических задач. Она непосредственно связана с дисциплиной «Компьютерные технологии в биологии».

3.Общая трудоемкость дисциплины составляет 1 зачетную единицу, 36 часов.

4. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Математическое моделирование биологических процессов».

Дисциплина нацелена на формирование и развитие у обучающихся следующих общекультурных и профессиональных компетенций:

способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической деятельности новые знания и умения, в том числе в новых областях знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности (ОКтворчески применять современные компьютерные технологии при сборе, хранении, обработке, анализе и передаче биологической информации (ПК-6);

самостоятельно использовать современные компьютерные технологии для решения научно-исследовательских и производственно-технологических задач профессиональной деятельности, для сбора и анализа биологической информации (ПК-13).

В соответствии с ФГОС ВПО в результате изучения дисциплины обучающиеся должны:

знать:

- цель, основные задачи и области применения методов математического моделирования в рамках специальностей, на которые ориентирована дисциплина;

- особенности биологических объектов моделирования и методики экспериментальной оценки их свойств;

- классификацию моделей по свойствам, используемому аппарату их синтеза, специфике моделируемого объекта;

- виды моделирования;

- классификацию языков моделирования.

уметь:

- адекватно ставить задачи исследования и оптимизации сложных объектов на основе методов математического моделирования;

- осуществлять формализацию и алгоритмизацию функционирования исследуемой системы;

- выбирать класс модели и оптимизировать ее структуру в зависимости от поставленной задачи, свойств моделируемого объекта и условий проведения эксперимента;

- выбирать адекватные методы исследования моделей;

- разрабатывать модели систем с использованием различных подходов к исследованию систем;

- принимать адекватные решения по результатам исследования моделей.

иметь представление:

- об общих проблемах и перспективах развития методов и средств математического моделирования в задачах исследования и оптимизации биологических процессов и систем;

- о математическом моделировании как методе, реализующем системные принципы исследования сложных систем.

- математическим аппаратом, необходимым для профессиональной деятельности.

5. Образовательные технологии дисциплины «Математическое моделирование биологических процессов».

В процессе освоения дисциплины «Математическое моделирование биологических процессов» используются следующие образовательные технологии, способы и методы формирования компетенций: метод малых групп, упражнения, подготовка письменных аналитических работ, выполнение расчетнографических работ, проектная деятельность в составе малых групп, моделирование, составление различных видов планов, таблиц, схем, обзоров, творческие задания. Все лабораторные занятия проходят в интерактивных формах.

Удельный вес проводимых интерактивных занятий составляет 100 % аудиторных занятий.

6. Формы контроля.

Текущий контроль знаний студентов и способы их проведения:

- индивидуальный опрос, - индивидуальные задания.

Промежуточный контроль знаний студентов и способы их проведения:

- индивидуальные задания, - защита рефератов.

Итоговый контроль знаний студентов и способы их проведения: зачет.

III. Учебная программа.

Тема 1. Введение. Математические модели в биологии.

Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. История первых моделей в биологии.

Современная классификация моделей биологических процессов. Регрессионные, имитационные, качественные модели. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.

дифференциальным уравнением первого порядка.

Модели, приводящие к одному дифференциальному уравнению. Понятие решения одного автономного дифференциального уравнения. Стационарное состояние (состояние равновесия). Устойчивость состояния равновесия. Методы оценки устойчивости. Решение линейного дифференциального уравнения Примеры:

экспоненциальный рост, логистический рост.

Тема 3. Модели, описываемые системой дифференциальных уравнений.

Основные понятия. Фазовая плоскость и фазовый портрет. Метод изоклин.

Устойчивость стационарного состояния. Исследование систем двух линейных уравнений. Характеристическое уравнение. Корни _1, _2 действительны и одного знака.

Корни _1, _2 действительны и разных знаков. Корни _1, _2 комплексные сопряженные.

Бифуркационная диаграмма. Системы двух нелинейных дифференциальных уравнений.

Метод Ляпунова линеаризации системы в окрестности Стационарного состояния.

Кинетические уравнения Лотки. Модель Вольтерра. Проблема быстрых и медленных переменных. Иерархия времен. Метод квазистационарных концентраций. Теорема Тихонова. Фермент-субстратная реакция Михаэлиса-Ментен. Мультистационарность.

Фазовый портрет мультистационарной системы. Типы переключения триггера. Отбор одного из равноправных видов. Колебания в биологических системах. Автоколебания и предельные циклы. Устойчивость предельных циклов. Брюсселятор. Колебания в гликолизе. Динамический хаос. Система Лоренца. Детерминированный хаос. Линейный анализ устойчивости траекторий. Диссипативные системы. Динамический хаос в сообществе из трех видов.

IV. Рабочая учебная программа Наименование разделов и тем Всего Аудиторные занятия Самостоятельная модели в биологии.

описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка.

дифференциальных уравнений.

Количество занятий в интерактивной форме 18 часов, что составляет 100 %.

V. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Задачи для самостоятельной работы студентов:

1.1. Найдите стационарные состояния уравнений:

1.2. Разложите функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки 0 x до 4 порядка:

6.1. Модель отбора (выбора одного из равноправных), учитывающая ограниченность в питательных ресурсах и быстрое их поглощение по сравнению с прецессами репродукции, в безразмерных величинах имеет вид:

6.2. Взаимоотношения типа хищник-жертва или паразит-хозяин могут быть описаны системой уравнений:

Задания для построения моделей:

Экспоненциальный рост популяции (решение уравнения, график временной зависимости для численности) Логистический рост (решение уравнения, график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний) Модель популяции с наименьшей критической численностью (график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний) Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея (построение временной зависимости для численности по графику зависимости, анализ устойчивости положения равновесия) Система линейных химических реакций (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых) Модель Лотки (модель химической реакции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических Классическая модель Вольтерра «хищник-жертва» (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических Модель отбора одного из равноправных (общая модель для двух видов и модель, учитывающая ограниченность в питательных ресурсах и быстрое их поглощение по сравнению с процессами репродукции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических 9. Модель конкуренции (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых) 10. Модель «хищник-жертва» (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых) 11. Модель биохимической регуляции белкового синтеза (генетический триггер Жакоба и Моно) (для m = 0 определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых) 12. Брюсселятор (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров 13. Модель гликолиза (упрощенная схема) (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы) Вопросы для подготовки к зачету:

1. Введение. Классификация моделей.

2. Модели, описываемые одним дифференциальным уравнением. Понятие стационарного состояния. Устойчивость.

3. Модели роста популяций. Экспоненциальный рост. Логистический рост.

Модель с наименьшей критической численностью. Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями (дискретная логистическая модель). Возрастная матрица Лесли.

4. Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма. Пример: система линейных уравнений для химических реакций.

5. Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Линеаризация в окрестности стационарного состояния.

Примеры: Системы уравнений Лотки и Вольтерра.

6. Мультистационарные системы. Переключение триггера. Отбор одного из равноправных видов. Триггер Жакоба и Моно. Триггерные системы в ферментативном катализе. Иерархия времен. Принцип «узкого места»

7. Колебания в биологических системах. Понятие предельного цикла. Модельные системы мягкого и жесткого рождения предельного цикла. Примеры.

Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Колебания в гликолизе.

Динамический хаос.

8. Модели взаимодействия популяций. Вольтеровские модели: модели конкуренции и хищник-жертва. Обобщенные модели Колмогорова, МакАртура, Базыкина. Структура параметрических портретов.

9. Распределенные системы. Активные автоволновые среды. Уравнение диффузии. Решение уравнения диффузии. Система реакция-диффузия.

Неустойчивость гомогенного стационарного состояния. Распространение волны в системах с диффузией.

10. Система реакция-диффузия для двух уравнений. Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Типы неустойчивостей.

Распределенная система «Брюсселятор» как модель активной среды.

VI. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Математическое моделирование биологических процессов».

а) основная литература:

Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику. М.: РХД, 2004.

б) дополнительная литература:

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М., 1985.

Бигон М., Харпер Дж., Таусенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества. М., 1989.

Рубин А.Б. Биофизика. Часть 1. М., 1999.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

MS Office, Internet Explorer.

http://www.biophys.msu.ru/general_courses/mmb/#seminar VII. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Математическое моделирование биологических процессов»

1. Персональные компьютеры для проведения рубежного контроля.

2. Мультимедийный проектор в комплекте с портативным персональным компьютером (ноутбуком) и экраном для демонстрации электронных наглядных пособий во время проведения учебных занятий.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и с учетом рекомендаций ПрООП ВПО по направлению 020400.68 Биология.