Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Линейная алгебра»

Направление 080100 Экономика

для подготовки студентов — бакалавров очного отделения

Автор — составитель программы:

к.ф.-м.н., доцент Попеленский Ф. Ю.

Рабочая программа утверждена решением Ученого совета МШЭ МГУ Протокол № от «_» 2011 г.

Москва 2011 Требования к знаниям и умениям по дисциплине 1. Необходимые предварительные знания и умения. Для усвоения курса необходимы знания и умения по алгебре и геометрии в рамках школьной программы.

2. Курс «Линейная алгебра» считается усвоенным, если прослушавший его студент:

(a) имеет представление о сущности и назначении дисциплины, знает теоретические обоснования и границы применимости методов линейной алгебры.

(b) умеет грамотно применять теоретические знания и практические навыки при решении задач методами линейной алгебры, умеет выделять, формулировать и формализовать частные задачи линейной алгебры в процессе построения математических моделей.

Общий объем аудиторных занятий по данному курсу – 128 часов, в том числе 64 часа – лекции, 64 часа – семинары.

Итоговый контроль – в форме экзаменов по окончании I и II семестров.

Учебно-тематический план Всего Лекции Практичес п/п Наименование темы часов кие занятия Раздел 1. Введение в аналитическую геометрию Тема 1. Введение. 2 Входная контрольная работа. 0 Тема 2. Прямые на плоскости. 2 Тема 3. Векторы на плоскости. 2 Тема 4. Скалярное произведение на 2 плоскости.

Итого по разделу 1 8 Раздел 2. Системы линейных уравнений.

Тема 1. Системы линейных уравнений. 2 Тема 2. Однородные и неоднородные 2 системы.

Итого по разделу 2 4 Раздел 3. Матрицы, операции над ними.

Тема 1. Операции над матрицами. 2 Тема 2. Определитель, след. 2 Тема 3. Обратная матрица. 2 Итого по разделу 3 6 Раздел 4. Векторные пространства Тема 1. Векторные пространства. 2 Тема 2. Наборы векторов. 2 Тема 3. Подпространства. 2 Итого по разделу 4 6 Раздел 5. Замена координат.

Анализ и разбор экзаменационных вопросов. 4 Раздел 6. Линейные операторы Раздел 7. Собственные векторы и собственные значения.

Тема 2. Собственные векторы и собственные значения симметрического оператора.

Раздел 8. Квадратичные формы.

Тема 3. Классификация кривых и поверхностей второго порядка.

Раздел 9. Приложения.

Анализ и разбор экзаменационных вопросов. 4

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1. Введение в аналитическую геометрию Представление о задачах линейной алгебры, возникающих в простейшей экономической модели двухотраслевой экономики.

Аналитическая геометрия плоскости. Задание фигур равнениями и неравенствами: прямая, полуплоскость, окружность, круг, угол, отрезок.

Окружность. Уравнение окружности. Прямые, уравнение прямой y=kx+b, ax+by+c=0. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Перпендикулярные прямые. Взаимное расположение двух прямых, соответствующая система линейных уравнений. Взаимное расположение прямой и окружности, касание.

Векторы на плоскости, операции над векторами, коллинеарные векторы, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Понятие о линейной зависимости, линейной комбинации. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление длин и углов. Проекции вектора на ось (другой вектор).

Перпендикуляр. Площадь параллелограмма и треугольника, определитель второго порядка. Нормальный и направляющий векторы прямой.

Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Середина отрезка, деление отрезка в данном отношении.

Раздел 2. Системы линейных уравнений.

Системы линейных уравнений. Равносильные системы. Матрицы.

Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Базисные и свободные переменные.

Теорема Кронекера-Капелли. Нетривиальная совместность однородной системы уравнений. Общее решение неоднородной системы.

Параметризация пространства решений. Фундаментальное решение.

Сравнение с маломерным случаем.

Раздел 3. Матрицы, операции над ними.

Матрицы. Действия над ними: транспонирование, сложение, умножение на число, произведение. Нулевая и единичная матрицы.

Диагональные, симметрические матрицы. Свойства операций.

Определители и их свойства. Методы вычисления определителей. След матрицы, его свойства. Связь определителя с рангом. Поведение определителя, следа и ранга при умножении матриц. Матрицы вида X'X и XX'. Миноры. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы через алгебраические дополнения и с помощью присоединенной матрицы.

Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.

Двухотраслевая модель Леонтьева.

Раздел 4. Векторные пространства Векторные пространства. Арифметическое R. Операции с векторами, их свойства. Линейно зависимые/независимые системы векторов. Базис и размерность пространства. Подпространства векторного пространства.

Линейная оболочка системы векторов. Ранг системы векторов, вычисление ранга методом элементарных преобразований и с помощью миноров. Пространство решений однородной системы линейных уравнений, базис в пространстве решений однородной системы, методы построения. Подпространство, размерность, пересечение и сумма подпространств.

Раздел 5. Замена координат и преобразование уравнений.

Новый и старый базисы. Матрица перехода. Новые и старые координаты. Преобразование уравнений. Понятие о классификации.

Эллипс, гипербола, парабола. Некоторые сведения о кривых второго порядка.

Раздел 6. Линейные операторы.

Понятие о линейном операторе. Примеры (оператор проектирования и т.п.). Матрица линейного оператора. Композиция операторов и произведение матриц. Образ, ядро, ранг оператора. Преобразование матрицы оператора при замене базисов. Операторы из n-мерного пространства в себя. Обратимость. Связь с соответствующей системой линейных уравнений, с определителем и рангом. Матрица обратного оператора.

Раздел 7. Собственные векторы и собственные значения.

Скалярное произведение в n-мерном пространстве. Неравенство Коши—Буняковского. Ортонормированный базис. Ортогональный базис.

Ортогонализация. Понятие о скалярном произведении в R.

Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования. Сохранение ортогональным преобразованием следа матрицы вида XX', где X – векторстолбец. Собственные числа, собственные векторы. Характеристический многочлен. Методы решения характеристических уравнений.

Вещественность собственных значений. Ортогональность собственных векторов. Собственные подпространства. Идемпотентные самосопряженные операторы и идемпотентные матрицы.

Диагонализуемость симметрического оператора в базисе из собственных векторов. Возведение диагонализуемой матрицы в степень и извлечение из нее квадратного корня. Разложение Холецкого.

Раздел 8. Квадратичные формы.

Квадратичная форма, матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (произвольным невырожденным преобразованием, ортогональным преобразованием).

Положительно (отрицательно) определенные формы. Критерий Сильвестра. Ортогональные операторы, примеры. Нахождение главных осей эллипса и эллипсоида. Приведение уравнения кривой или поверхности в каноническому виду. Классификация. Невырожденные случаи. Ортогональное дополнение. Проекция вектора на подпространство. Связь с теоремами о двух и трех перпендикулярах.

Раздел 9. Приложения методов линейной алгебры.

Метод наименьших квадратов. Метод главных компонент. Сравнение его с МНК. Общий случай, отличия от случая симметрических операторов. Запись линейной и квадратичной функции в матричном виде.

Матричный вид их производных. Блочные матрицы. Операции с блочными матрицами. Вычисление определителя, обратная матрица.

Кронекерово произведение матриц, его свойства.

Учебно-тематический план занятий Лекция 1. Введение.

Представление о задачах линейной алгебры, возникающих в простейшей экономической модели двухотраслевой экономики.

Аналитическая геометрия плоскости. Координатные оси, координаты точек, расстояние между точками. Задание фигур равнениями и неравенствами, прямая, полуплоскость, окружность, круг, угол, отрезок.

Окружность. Уравнение окружности.

Лекция 2. Прямые на плоскости.

Прямые, уравнение прямой y=kx+b, ax+by+c=0. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Перпендикулярные прямые.

Взаимное расположение двух прямых, соответствующая система линейных уравнений. Взаимное расположение прямой и окружности, касание.

Лекция 3. Векторы на плоскости.

Векторы на плоскости, операции над векторами, коллинеарные векторы, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Понятие о линейной зависимости, линейной комбинации. Системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Лекция 4. Скалярное произведение на плоскости.

Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление длин и углов. Проекции вектора на ось (другой вектор). Перпендикуляр. Площадь параллелограмма и треугольника, определитель второго порядка.

Нормальный и направляющий векторы прямой. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Середина отрезка, деление отрезка в данном отношении.

Лекция 5. Системы линейных уравнений.

Системы линейных уравнений. Равносильные системы. Матрицы.

Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Базисные и свободные переменные.

Теорема Кронекера-Капелли. Нетривиальная совместность однородной системы уравнений.

Лекция 6. Неоднородные системы линейных уравнений Общее решение неоднородной системы. Параметризация пространства решений. Фундаментальное решение. Сравнение с маломерным случаем.

Лекция 7. Операции над матрицами.

Матрицы. Действия над ними: транспонирование, сложение, умножение на число, произведение. Нулевая и единичная матрицы.

Диагональные, симметрические матрицы. Свойства операций.

Лекция 8. Определитель и след, свойства, связь с рангом.

Определители и их свойства. Методы вычисления определителей.

След матрицы, его свойства. Связь определителя с рангом. Поведение определителя, следа и ранга при умножении матриц. Матрицы вида X'X и XX'. Миноры.

Лекция 9. Обратная матрица.

Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы через алгебраические дополнения и с помощью присоединенной матрицы.

Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.

Двухотраслевая модель Леонтьева.

Лекция 10. Векторные пространства Векторные пространства. Арифметическое R. Операции с векторами, их свойства. Линейно зависимые/независимые системы векторов. Базис и размерность пространства. Подпространства векторного пространства.

Линейная оболочка системы векторов.

Лекция 11. Наборы векторов, их свойства.

Ранг системы векторов, вычисление ранга методом элементарных преобразований и с помощью миноров. Пространство решений однородной системы линейных уравнений, базис в пространстве решений однородной системы, методы построения.

Лекция 12. Подпространства.

Подпространство, размерность, пересечение и сумма подпространств.

Лекция 13. Замена координат.

Новый и старый базисы. Матрица перехода. Новые и старые координаты. Преобразование уравнений. Понятие о классификации.

Лекция 14. Кривые второго порядка.

Эллипс, гипербола, парабола. Некоторые сведения о кривых второго порядка.

Лекции 15-16. Резерв.

Анализ и повторение сложных тем по результатам контрольных работ.

Лекция 1. Линейные операторы.

Понятие о линейном операторе. Примеры (оператор проектирования и т.п.). Матрица линейного оператора. Композиция операторов и произведение матриц. Образ, ядро, ранг оператора.

Лекция 2. Линейные операторы и замена базисов.

Преобразование матрицы оператора при замене базисов.

Лекция 3. Обратимые линейные операторы.

Операторы из n-мерного пространства в себя. Обратимость. Связь с соответствующей системой линейных уравнений, с определителем и рангом. Матрица обратного оператора.

Лекция 4. Евклидовы пространства.

Скалярное произведение в n-мерном пространстве. Неравенство Коши—Буняковского, Ортонормированный базис. Ортогональный базис.

Ортогонализация. Понятие о скалярном произведении в R.

Ортогональные матрицы. Сохранение ортогональным преобразованием следа матрицы вида XX', где X – вектор-столбец.

Лекция 5. Собственные векторы и собственные значения симметрического оператора.

Собственные числа, собственные векторы. Характеристический многочлен. Методы решения характеристических уравнений.

Вещественность собственных значений. Ортогональность собственных векторов. Собственные подпространства. Идемпотентные самосопряженные операторы.

Лекция 6. Диагонализуемость.

Диагонализуемость симметрического оператора в базисе из собственных векторов. Возведение диагонализуемой матрицы в степень и извлечение из нее квадратного корня. Разложение Холецкого.

Лекция 7. Квадратичные формы.

Квадратичная форма, матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (произвольным невырожденным преобразованием, ортогональным преобразованием).

Лекция 8. Знакоопределенные формы.

Положительно (отрицательно) определенные формы. Критерий Сильвестра. Ортогональные операторы, примеры. Нахождение главных осей эллипса и эллипсоида.

Лекция 9. Классификация кривых и поверхностей второго порядка.

Приведение уравнения кривой или поверхности в каноническому виду. Классификация. Невырожденные случаи.

Лекция 10. Ортогональная проекция.

Ортогональное дополнение. Проекция вектора на подпространство.

Связь с теоремами о двух и трех перпендикулярах.

Лекция 11. Методы НК и главных компонент.

Метод наименьших квадратов. Метод главных компонент. Сравнение его с МНК.

Лекция 12. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Общий случай, отличия от случая симметрических операторов.

Лекция 13. Матричное дифференцирование.

Запись линейной и квадратичной функции в матричном виде.

Матричный вид их производных.

Лекция 14. Блочные матрицы.

Блочные матрицы. Операции с блочными матрицами. Вычисление определителя, обратная матрица. Кронекерово произведение матриц, его свойства.

Лекция 15-16. Подготовка к экзамену.

Повторение сложного материала по результатам контрольных работ.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Практикум по высшей математике для экономистов под ред.

Кремера Н.Ш.

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.

Гельфанд. И.М. Лекции по линейной алгебре.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра Айвазян С.А. Основы эконометрики (том 2, приложение) Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра.

Курс лекций Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра.

Задачи и упражнения