МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТОНКИХ ХИМИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

АСПИРАНТУРА

Программа кандидатского экзамена по

05.13.18

специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

УТВЕРЖДАЮ

Ректор МИТХТ _А.К. Фролкова Протокол заседания Ученого Совета МИТХТ № 4 от 28.11. 2011г

ПРОГРАММА КАНДИДАТСКОГО ЭКЗАМЕНА

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ

05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Программа рассмотрена и рекомендована к использованию на зaседании кафедры Высшей и прикладной математики «12»10.2011г. (протокол № 2) и Ученом Совете Естественно-научного факультета «19»10.2011г. (протокол № 6/11).

Должность Фамилия/ Подпись Дата Начальник управления аспи- Голованова Т.И.

Проверил рантуры и докторантуры Профессор каф. ВиПМ Шевелев В.В.

Разработал Стр. 1 из

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТОНКИХ ХИМИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Программа кандидатского экзамена по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, 05.13. численные методы и комплексы программ»

ВВЕДЕНИЕ

В основе настоящей программы лежит материал курсов: функциональный анализ, математическая физика, теория вероятностей, математическая статистика, численные методы.

Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по управлению, вычислительной технике и информатике при участии МГУ им. М.В. Ломоносова.

Данная программа представляет собой базовую часть кандидатского экзамена по специальности.

Дополнительная часть кандидатского экзамена по специальности разрабатывается индивидуально для каждого аспиранта или соискателя с учетом области его научных исследований и темы диссертационной работы. Дополнительная программа утверждается Ученым Советом факультета.

Стр. 2 из

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТОНКИХ ХИМИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Программа кандидатского экзамена по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, 05.13. численные методы и комплексы программ»

СОДЕРЖАНИЕ

Элементы теории функций и функционального анализа. Понятие меры и интеграла Лебега. Метрические и нормированные пространства. Полнота и компактность. Пространства интегрируемых функций. Пространства Соболева.

Линейные непрерывные функционалы. Теорема Хана-Банаха. Линейные операторы. Сопряженные, самосопряженные, симметричные, положительно определенные операторы и их спектральные свойства. Дифференциальные и интегральные операторы. Теорема о неподвижной точке.

Экстремальные задачи. Выпуклый анализ. Экстремальные задачи в евклидовых пространствах. Выпуклые задачи на минимум. Математическое программирование, линейное программирование, выпуклое программирование. Задачи на минимакс. Основы вариационного исчисления.

Теория вероятностей. Математическая статистика. Аксиоматика теории вероятностей. Вероятность, условная вероятность. Независимость. Случайные величины и векторы. Элементы корреляционной теории случайных векторов.

Элементы теории случайных процессов. Точечное и интервальное оценивание параметров распределения. Элементы теории проверки статистических гипотез.

Элементы многомерного статистического анализа.

Численные методы. Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей. Сплайн-аппроксимация. Численное дифференцирование и интегрирование. Вычислительные методы линейной алгебры. Численные методы решения нелинейных уравнений и их систем. Численные методы поиска экстремума: градиентные, вариационные и проекционные методы. Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Разностные методы решения уравнений математической физики. Явные Стр. 3 из

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТОНКИХ ХИМИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Программа кандидатского экзамена по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, 05.13. численные методы и комплексы программ»

и неявные схемы. Консервативные разностные схемы. Разностные схемы для уравнений Пуассона, теплопроводности, диффузии и волнового уравнения.

Численные методы решения разностных уравнений эллиптического типа. Метод прогонки. Метод конечных элементов. Теория устойчивости разностных схем. Ускорение сходимости итерационных разностных схем.

Основные уравнения математической физики. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Характеристическое уравнение, характеристики. Канонический вид уравнений математической физики. Понятие о начальных и граничных условиях. Краевые задачи и их классификация. Условия на бесконечности. Задача Коши. Смешанная задача.

Аналитические методы решения краевых задач для уравнений математической физики. Метод разделения переменных, интегральных преобразований с конечными и бесконечными пределами (преобразования Фурье, Ханкеля, Лежандра, Лапласа, Меллина, Гильберта и др.), метод функций Грина. Задача Штурма-Лиувилля. Операционный метод и его применение к решению краевых задач математической физики. Основные специальные функции математической физики.

Алгоритмические языки и комплексы программ. Представление о языках программирования высокого уровня. Основные функции, выполняемые программным обеспечением научных исследований. Операционные системы: назначение, выполняемые функции. Операционные системы персональных компьютеров. Прикладное программное обеспечение научных исследований. Формы построения комплексов прикладных программ. Технология разработки комплексов прикладных программ. Структурное проектирование программ.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТОНКИХ ХИМИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ имени М.В. ЛОМОНОСОВА специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, 05.13. Программное обеспечение информационных систем. Базы данных, методы построения баз данных. Принципы построения систем управления базами данных.

Принципы проведения вычислительного эксперимента. Модель, алгоритм, программа.

Основные принципы математического моделирования. Понятие математической модели. Функции математических моделей при проведении научных исследований. Особенности и области применения математического моделирования. Элементарные математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике. Универсальность математических моделей. Основные этапы математического моделирования. Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы. Требования адекватности математической модели изучаемому явлению относительно выбранной системы его характеристик. Проблема выбора определяющих параметров. Вариационные принципы построения математических моделей.

Методы исследования математических моделей. Устойчивость. Проверка адекватности математических моделей. Математические модели в научных исследованиях. Математические модели в статистической механике. Модели динамических систем. Особые точки. Бифуркации. Динамический хаос. Эргодичность и перемешивание. Понятие о самоорганизации. Диссипативные структуры. Режимы с обострением.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, 05.13. 1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2009, 572 с.

2. Измаилов А. Ф. Численные методы оптимизации: учебное пособие / А.Ф.

Измаилов, А. Ф.Солодов. - М.:Физматлит, 2005. - 304 с.

3. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Либроком, 2009, 656 с.

4.Боровков А.А. Математическая статистика. СП-б.: Лань, 2010,703с.

5.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.

Изд.гр. URSS, 2002, 632 с.

6. Самарский А.А. Введение в численные методы. СП-б. Лань, 2009, 288 с.

7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1999, 799 с.

8. Базы данных: Учебник для высших и средних специальных заведений/ Под. ред. А.Д. Хомоненко. СП-б.: Корона –принт-2000.

9. Кауфман В.Ш. Языки программирования. Концепции и принципы. М.: ДМК Пресс.2010. 464 с.

10. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.:

Физматлит, 2005, 320 с.

11. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.

Изд.: Физматлит, 2010 г., 336 с.

12. Магницкий Н.А. Теория динамического хаоса. Изд.гр. URSS, 2011, 320 с.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТОНКИХ ХИМИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ имени М.В. ЛОМОНОСОВА специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, 05.13. 1.Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2002, 550 с.

2.Шевелев В.В., Осипов Р.А.Практическое применение операционного исчисления. М. МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2010, 58 с.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТОНКИХ ХИМИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ имени М.В. ЛОМОНОСОВА специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, 05.13. ния