WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 | 3 | 4 |

«СБОРНИК ТЕЗИСОВ ЛУЧШИХ ДИПЛОМНЫХ РАБОТ 2013 года МОСКВА 2013 УДК 517.6 + 519.8 ББК 22 С23 Данный сборник посвящается 110-летию со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова – выдающегося математика, одного из ...»

-- [ Страница 1 ] --

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТ ВЕННЫЙ УНИВ ЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет

вычислительной математики

и кибернетики

СБОРНИК ТЕЗИСОВ

ЛУЧШИХ

ДИПЛОМНЫХ РАБОТ

2013 года

МОСКВА

2013

УДК 517.6 + 519.8

ББК 22

С23 Данный сборник посвящается 110-летию со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова – выдающегося математика, одного из крупнейших учёных XX века Печатается по решению Редакционно-издательского совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова Р ед а кц ио нн ы й со вет с бо р ни к а:

Е.И. МОИСЕЕВ, С.А. ЛОЖКИН, Б.И. БЕРЕЗИН, В.Н. ЛЫКОСОВ, С.М. НИКОЛЬСКИЙ, А.Н. ТОМИЛИН, И.Г. ШЕВЦОВА Сборник тезисов лучших дипломных работ 2013 года/ Сост.:

С23 Ильин А.В., Смирнов И.Н., Шевцова И.Г. – М.: Издательский отдел Факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД N 05899 от 24.09.2001 г.); МАКС Пресс, 2013. – 155 с.

ISBN 978-5-89407-509- ISBN В настоящий сборник вошли тезисы выпускных квалификационных работ, выполненных студентами факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова в 2013 году, представленные на конкурс лучших дипломных проектов.

УДК 517.6 + 519. ББК Издательский отдел Факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова Лицензия ИД N 05899 от 24.09.01 г.

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус Напечатано с готового оригинал-макета Формат 60х90 1/16.

Издательство ООО “МАКС Пресс” Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г.

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к.

Тел. 939-3890, 939-3891. Тел./Факс 939-3891.

Ильин А.В., Смирнов И.Н., Шевцова И.Г., ISBN 978-5-89407-509- составление, оформление, ISBN Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова,

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики

СБОРНИК ТЕЗИСОВ

ЛУЧШИХ

ДИПЛОМНЫХ РАБОТ

2013 года МОСКВА – Оглавление Кафедра математической физики Бесфамильная Мария Викторовна Многомасштабный метод оценки ширины контуров изображений. Кабылов Ерлан Алтынбекович Математическое моделирование динамики роста ВВП и государственного долга.............................. Михеев Пётр Андреевич Моделирование задачи рассеяния электромагнитного поля на конечной решетке отверстий в экране.................. Сазонова Софья Викторовна Исследование моделей матричной Фурье-фильтрации........ Ситдиков Искандер Талгатович Построение комбинированных методов повышения качества изображений.................................. Кафедра вычислительных технологий и моделирования Салуев Тигран Григориевич Применение тензорных разложений в задачах анализа и обработки Кафедра вычислительных методов Кувшинников Артем Евгеньевич Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Кафедра функционального анализа и его применений Лихоманенко Татьяна Николаевна Исследование биортогональных систем к системам, возникающим Кафедра автоматизации научных исследований Аникеев Федор Александрович Параллельные методы решения кинетических уравнений...... Гришанин Александр Андреевич Разработка и исследование численных моделей квантовых точек. Кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления Атамась Евгений Иванович Алгоритм обращения некоторого класса динамических систем с Буров Дмитрий Анатольевич О начальных стадиях ламинарно-турбулентного перехода в задаче Васин Дмитрий Анатольевич Некоторые методы обращения динамических систем........ Мальцева Анна Всеволодовна Некоторые вычислительные аспекты проблемы одновременной Кафедра общей математики Кац Дмитрий Сергеевич Построение асимптотик решений дифференциальных уравнений с Кафедра суперкомпьютеров и квантовой информатики Хартикова Анастасия Сергеевна Компьютерное моделирование состояний электрона в молекулярном ионе водорода............................ Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Кафедра исследования операций Тимошенко Артем Александрович Кафедра оптимального управления Анисимов Александр Владимирович Некоторые классы динамических управляемых моделей...... Дряженков Андрей Александрович Неравенства наблюдаемости с оптимальным пороговым моментом Иванов Денис Александрович Задачи граничного управления для волнового уравнения с переменными коэффициентами в пространствах Соболева........ Самошкина Евгения Юрьевна Кафедра системного анализа Агальцов Алексей Дмитриевич Исследование обобщённого преобразования Радона и его экономические приложения............................ Галочкина Татьяна Владимировна Исследование математической модели радиотерапии глиомы... Каушанский Вадим Яковлевич Математическое моделирование вероятности дефолта в моделях Шубина Наталия Александровна Изучение методов построения покрытия многомерной сферы... Кафедра математической статистики Алекритский Дмитрий Игоревич Стохастические дифференциальные уравнения для случайных процессов со смешанными гауссовскими распределениями..... Климовская Анна Владиславовна Исследование распределений, возникающих при высокочастотной Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Кузнецова Мария Георгиевна Влияние стратегии выбора порога при обработке зашумленных Медведев Никита Михайлович Применение скрытых марковских моделей для анализа ЭКГ... Садовой Иван Андреевич Разделение речевых потоков с помощью вейвлет-анализа...... Стржельбицкая Мария Михайловна Построение поверхности волатильности опционов.......... Кафедра математических методов прогнозирования Зимовнов Андрей Вадимович Криволинейный скелет полигональной модели............ Игнатьев Олег Анатольевич Бинарные функции многозначных аргументов. Минимизация их представлений в классе формул, обобщающих дизъюнктивно нормальные формы булевых функций................... Кириллов Александр Николаевич Дизъюнктивные нормальные формы специального вида для функций с малым количеством нулей.................... Панов Алексей Витальевич Бинарные функции многозначных аргументов. Обобщения и исследования дизъюнктивных нормальных форм для таких функций Соколов Евгений Андреевич Комбинаторные оценки обобщающей способности и их применение для построения композиций линейных классификаторов...... Фигурнов Михаил Викторович Системы точек с вырожденными матрицами попарных расстояний Кафедра математической кибернетики Бородин Михаил Алексеевич Криптоанализ криптосистемы Мак-Элиса, построенной на основе Плоткина Юлия Сергеевна Нижние оценки функции Шеннона длины проверяющего теста при константных неисправностях на выходах элементов в некоторых Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Кафедра автоматизации систем вычислительных комплексов Акимов Дмитрий Александрович Выделение полупрозрачных частиц переднего плана в видео на Глонина Алевтина Борисовна Применение метамоделей для задачи выбора механизмов обеспечения отказоустойчивости распределенных вычислительных систем Ерофеев Михаил Викторович Разработка стабильного во времени метода анализа прозрачности Зимарина Дарья Сергеевна Разработка и исследование метода размещения контроллеров в программно-конфигурируемых сетях с учетом требований отказоустойчивости................................ Конев Артём Александрович Применение методов глубокого обучения для распознавания изображений.................................. Новикова Татьяна Владимировна Методы распознавания текста на фотографиях с мобильных Пироженко Илья Сергеевич Поиск возможностей распараллеливания в программах множественного выравнивания и сравнение эффективностей параллельных реализаций.............................. Пискун Анна Валерьевна Исследование возможности обнаружения вредоносного исполнимого кода на основе остовных последовательностей......... Самосадный Кирилл Алексеевич Сумин Денис Александрович Использование оптического потока для построения и анализа трёхмерного видео............................... Ушаков Сергей Сергеевич Распознавание объектов городских сцен в облаках трёхмерных точек Шальнов Евгений Вадимович Сопровождение людей в видеопоследовательности.......... Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Кафедра алгоритмических языков Алейников Павел Вячеславович Анализ русскоязычных текстов для генерации системы синтаксических правил............................... Касимова Анна Артуровна Признаки регулярности бесконтекстных языков, заданных графами Леонова Вероника Олеговна Информационная система для хранения и обработки свойств научных трудов............................... Мошкина Анна Владимировна Библиотечная поддержка стековых вычислительных моделей... Парамонов Сергей Валерьевич Распознавание существования некоторых решений дифференциальных и разностных уравнений.................... Попеско Ульяна Владиславовна О моделировании сетей с программируемыми правилами коммутации пакетов сетями конечных автоматов реального времени.... Ростовский Артем Владимирович Алгоритмы преобразования графовых описаний формальных языков Свиридов Антон Андреевич Методы определения кластеров публикаций в социальных сетях. Шариков Георгий Феликсович Генерация лексико-синтаксических шаблонов на основе извлекаемых из текста конструкций....................... Кафедра системного программирования Абакумов Константин Викторович Обработка потоковых слабоструктурированных данных в реальном времени................................ Асташкин Глеб Владимирович Статическое представление бинарного кода, полученное из набора Гомзин Андрей Геннадьевич Определение тематической направленности текстового содержимого микроблогов.............................. Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Коцыняк Артём Михайлович Средство вывода методов для планировщика, основанного на иерархических сетях задач, по примерам решений.......... Пантелеев Иван Михайлович Разработка информационной системы для прокладывания маршрутов в сети междугородного автобусного транспорта....... Федоренко Денис Глебович Исследование и разработка методов разрешения лексической многозначности на основе неполной базы знаний............. Шубин Станислав Павлович Синтез архитектурных моделей систем управления реального времени на основе применения генетических алгоритмов........ Темы дипломных работ, защищенных в 2013 году (отделение специалистов)............................ Темы дипломных работ, защищенных в 2013 году (отделение магистратуры)............................ Темы дипломных работ, защищенных выпускниками прошлых лет.................................. Многомасштабный метод оценки ширины контуров изображений Бесфамильная Мария Викторовна email: [email protected] Научные руководители: к.ф.-м.н. Лукин Алексей Сергеевич, к.ф.-м.н. Юрин Дмитрий Владимирович Определение качества изображений является одной из самых распространенных задач, которая чаще всего встречается при сжатии видео или повышения качества изображения. Задача разработки автоматических методов анализа качества изображений является довольно сложной.

На изображении могут присутствовать различные виды артефактов, например, после кодирования на изображении может наблюдаться эффект разделения на блоки, размытость или шум из-за датчика или при передаче по каналам связи. В соответствии с наличием эталонного источника, методы можно разделить на 3 группы: с полными исходными данными, без исходных данных и с частичными исходными данными [1].В реальных ситуациях чаще всего оригинал изображения не доступен, поэтому в существующих системах используется второй тип метрик.

Дипломная работа посвящена анализу качества изображения путем оценки степени размытия границ объектов. Задача состоит в том, чтобы определить насколько нечетким является тот или иной объект на изображении. Ширины контуров объектов напрямую зависят от степени размытия. Таким образом, разработан алгоритм, вычисляющий ширины контуров изображений. На основании полученных результатов могут быть построены меры степени размытия изображения, присутствия артефакта ложного оконтуривания, результаты могут быть применены при сжатии изображений и видео, использованы в алгоритмах повышения качества, а также в биомедицинских приложениях.

Для решения поставленной задачи был разработан алгоритм, основанный на анализе многомасштабного представления изображения. В пространстве переменных разрешений рассматривается набор изображений, полученных сверткой с Гауссовым ядром Гауссиан симметричен, а, следовательно, свертка с таким ядром является изотропной. Также, Гауссиан обладает свойством сепарабельности, что позволяет производить операции дифференцирования и интегрирования отдельно по каждому из разрешений. Прямым дифференцированием легко показать, что таким образом определенная функция L(x, y, ) удовлетворяет уравнению [2]. Это означает, что в процессе размытия изображеТезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года ний особенности могут сливаться и исчезать, но не могут возникать новые особенности, т.е. артефакты.

Основная идея предложенного метода заключается в том, чтобы найти максимальный отклик пикселей контуров по масштабам. Для того, чтобы функция модуля градиента имела точку максимума, вводится нормализация функции модуля градиента [3]. Таким образом, применяя алгоритм детектирования контуров Канни, получаем набор изображений Далее для каждого пикселя контура ищется масштаб, на котором достигается максимум модуля градиента. Каждый пиксель проецируется на соседние масштабы и вдоль направления вектора градиента ищутся пиксели, удовлетворяющие условиям на значения модуля градиента. Если в рассматриваемом пикселе достигается максимум, то применяется алгоритм уточнения масштаба. Идея заключается в приближении функции модуля градиента в точке максимума параболой, для которой в последствии вычисляется координата вершины. Таким образом можно найти масштаб, на котором достигается максимум функции модуля градиента, а следовательно и определить ширину контура.

Разработанный алгоритм является более простым для реализации по сравнению с методом, основанным на решении уравнения анизотропной диффузии [4]. Он не требует вычисления производных высших порядков или построения касательных поверхностей [3] и их сечений максимального веса. Таким образом разработанный алгоритм является более простым алгоритмически, в реализации и вычислительно более эффективным.

1. H. Liu, I. Heynderickx. Visual attention in objective image quality assessment based on eyetracking data. IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol., vol. 21, no. 7, pp. 971-982, 2011.

2. J.J. Koenderink, The structure of images. Biol. Cybern., vol. 50, pp.

363–370, 1984.

3. T. Lindeberg. Edge detection and ridge detection with automatic scale selection. Proc. CVPR’96, San Francisco, California, pp. 465-470, 1996.

4. P. Perona, J. Malik. Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diusion. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 12, no. 7, pp. 629-639, 1990.

Математическое моделирование динамики роста ВВП и государственного долга Работа удостоена диплома I степени Кафедра математической физики Научный руководитель: д.ф.-м.н., Куркина Елена Выпускная квалификационная работа посвящена созданию информационной системы для анализа и прогнозирования динамики государственного долга (ГД), ВВП, инфляции и других важнейших макроэкономических показателей.

Проблема сокращения ГД является острейшей проблемой современности для ряда развитых стран: США, Италии, Испании, Греции и других.

Особенно эта проблема остро встала после глобального финансового кризиса, и пока оптимального её решения не найдено. Задача моделирования и прогнозирования динамики ГД и поиска механизмов, управляющих государственным долгом, является актуальнейшей задачей.

Работа состоит из двух частей. В первой части рассматривается и анализируется несколько моделей, используемых при расчёте ГД [1–4], производится их сравнительный анализ на примере нескольких развитых стран.

Показано, что разностная модель Е. В. Балацкого даёт наилучшие прогнозы по росту государственного долга и хорошо описывает реальные данные.

Во второй части работы описывается информационная система, предназначенная для анализа и прогнозирования динамики ГД, ВВП и визуализации расчётов с удобным интерфейсом. Информационная система является законченным программным продуктом, рассчитанным для широкого пользования. Создана база экономических данных на языке SQL с возможным расширением. Создано программное обеспечение на языке C# для расчётов трендов основных экономических показателей методом наименьших квадратов и вычислений по модели Е. В. Балацкого.

Проведено исследование и прогнозирование динамики ГД с использованием информационной системы для нескольких развитых стран с большим государственным долгом. Для каждой страны построены два различных прогноза — оптимистический и инерционный. Инерционный соответствует наметившемуся в последние годы тренду. Оптимальный прогноз отвечает лучшим экономическим показателям страны, достигнутым за эти годы. Кроме того, информационная система позволяет вручную задавать экономические показатели, необходимые для расчёта по модели Балацкого, и анализировать их степень влияния на изменение ГД.

Созданная информационная система является действительным инструментом для анализа динамики ГД и может быть использована экономистами.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года 1. Балацкий Е. В. Принципы управления государственной задолженностью «Мировая экономика и международные отношения», №5, 1997.

2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математические методы и модели.

3. Соколовский Л. Е. Финансирование бюджетного дифицита и внутренний государственный долг «Экономика и математические методы», №2, 1991.

4. Вавилов А., Трофимов Г. Стабилизация и управление государственным долгом России «Вопросы экономики», №12, 1997.

Моделирование задачи рассеяния электромагнитного поля на конечной решетке отверстий в экране Работа удостоена диплома III степени Кафедра математической физики Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Ильинский В дипломной работе рассмотрена задача нахождения дифракционной картины для рассеяния электромагнитного поля на системе отверстий в экране, возникающая при расчете компьютерно-синтезируемых голограмм [1].

Технология компьютерно-синтезируемой голографии привлекательна для использования в промышленности, так как одна голограмма способна заменить сложную оптическую систему. Однако её практическое применение осложнено большой вычислительной сложностью расчетов [2] (при расчете число отверстий в экране может достигать 1011 ). По этой причине для решения задачи рассеяния используют приближенные модели.

В работе описаны две приближенные модели, основанные на методе Кирхгофа [3, §8.3] — более точная векторная модель и упрощенная скалярная модель. Скалярная модель вообще не учитывает векторную природу электромагнитного поля и рассматривает его как скалярную величину. Это позволяет существенно упростить формулы и ускорить расчет.

Однако из-за меньшей точности скалярная модель может применяться не всегда. Цель работы состояла в получении решений по обеим моделям и исследовании области применимости скалярной модели, в которой решение по скалярной модели незначительно отличается от решения по векторной.

Сравнение моделей состояло из двух частей — сравнения для одного отверстия и сравнения для системы отверстий. В случае одного отверстия удалось показать, что отношение полученных по обеим моделям яркостей дифракционных картин выражается аналитически и зависит только от направления распространения и поляризации падающей волны, направления на точку наблюдения и ориентации площадки наблюдения. Зависимость различий между моделями от этих параметров была детально исследована. В частности, для случая одного отверстия получено, что:

1. При переходе от векторной модели к скалярной не смещаются дифракционные максимумы.

2. При распространении падающей волны вдоль нормали к экрану и параллельной экрану площадки наблюдения, скалярная модель в точности соответствует векторной.

3. При угле поворота падающей волны до 45 и угле дифракции до погрешность скалярной модели относительно векторной не превышает 30%.

Для системы отверстий исследоваласт зависимость точности скалярной модели (в сравнении с векторной) от двух основных параметров — апертуры и угла дифракции. Для каждого набора параметров проводилась серия численных экспериментов с различными случайными системами отверстий. Было установлено, что:

1. Погрешность скалярной модели является быстро меняющейся функцией от координат на площадке наблюдения с характерным размером неоднородностей порядка одной длины волны.

2. Максимумы погрешности возрастают с увеличением угла дифракции и апертуры.

3. При небольших углах дифракции погрешность скалярной модели является приемлемой для практического применения. В частности:

• Для апертуры до 110 при углах дифракции до 5 погрешность находится в пределах 40% и практически незаметна при визуальном сравнении дифракционных картин • Для апертуры 70 погрешность находится в тех же пределах • Для апертур до 30 и углах дифракции до 45 погрешность не Полученные в работе результаты свидетельствуют о том, что во многих практических случаях в целях ускорения расчета вместо векторной модели допустимо использовать более простую скалярную.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года 1. Brown B. R., Lohmann A. W. Computer-generated Binary Holograms IBM Journal of Research and Development (IBM) 13: 160–168, 1969.

2. Князьков Д. Ю. Задача расчета электромагнитных полей в голографической литографии // Материалы Международной научнотехнической конференции «Суперкомпьютерные технологии: разработка, программирование, применение» (СКТ-2010) г. Таганрог:

ТТИ ЮФУ, 2010. Т. 1. С. 251–253.

3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики М.: Наука, 1973.

Исследование моделей матричной Работа удостоена диплома I степени Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Разгулин В последние десятилетия в физической оптике активно исследуются нелинейные оптические системы с пространственно-распределенной обратной связью (ОС) ([1],[2]). Большой интерес к системам с ОС объясняется тем, что эти системы являются, по существу, универсальными оптическими компьютерами для изучения процессов самоорганизации, автоволновой неустойчивости и хаоса.

Сравнительная простота экспериментальной реализации и высокая скорость выполнения операции оптической фильтрации Фурье привели к тому, что техника пространственной фильтрации получила широкое распространение в нелинейно-оптических системах с обратной связью. В таких системах в контур оптической связи помещается система из двух тонких линз с управляемым пространственным фильтром (ПФ). Выбор ПФ определяет основные качественные свойства фазово-амплитудного преобразования, осуществляемого контуром обратной связи, и, следовательно, пространственно-временную динамику в целом.

В предыдущих исследованиях ([1],[3]) рассматривался поточечный фильтр-мультипликатор = (1,..., n,... ), воздействующий на фурье-образ функции f H следующим образом:

где {en }+ – полная ортонормированная система собственных функций в гильбертовом пространстве H.

В данной работе рассматривается новая модель операторной фурьефильтрации, в которой управляемое воздействие на дискретный фурьеобраз функции f происходит с помощью бесконечной комплекснозначной матрицы P = {lj } C и может быть описано формулой В данной работе при некоторых ограничениях на матричный фильтр получены следующие результаты:

1. Впервые предложена постановка задачи для системы с матричным фурье-фильтром. Описанная модель является более общим случаем моделей, рассмотренных в работах [1],[3]. Полученные результаты согласуются с результатами предыдущих исследований.

2. Доказаны существование и единственность решения этой задачи, а так же непрерывная зависимость решения от начальных данных и фильтра.

3. Исследованы условия возникновения пространственнонеоднородных периодических решений вследствие бифуркации Андронова-Хопфа. Проведен ряд численных экспериментов, иллюстрирующих это явление.

Некоторые результаты работы изложены в [4].

1. Разгулин А.В., Чушкин В.А. О задаче оптимальной фурьефильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью, Журн. вычисл. матем. и математ. физики, 2004, Т. 44, N 9, С. 1608 - 1618.

2. Degtiarev E.V., Vorontsov M. A. Spatial ltering in nonlinear twodimensional feedback systems: phase-distortion suppression, J. Opt.

Soc. Amer. B. 1995, Vol. 12, N.7, P.1238-1248.

3. Потапов М.М., Чечкина К.А. Об одной модели амплитудно-фазовой фильтрации в нелинейной оптической системе с обратной связью, Вестник Московского университета, серия 15, 1993, N.4, с. 31-36.

4. Разгулин А.В., Сазонова С.В., Волков Г.О.

Об одной задаче управляемой фурье-фильтрации, Ломоносовские чтения, сборник тезисов, стр. 123, ВМК МГУ, 2011.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Построение комбинированных методов повышения качества изображений Работа удостоена диплома II степени Ситдиков Искандер Талгатович Кафедра математической физики Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Крылов Андрей В дипломной работе была рассмотрена задача подавления артефакта ложного оконтуривания на цифровых изображениях в оттенках серого. Артефакт ложного оконтуривания проявляется в возникновении волн, или осцилляций, от контрастных контуров изображения при полной или частичной потере высокочастотной информации. На практике артефакт ложного оконтуривания может появиться как в результате обработки изображения (повышения разрешения, сжатия с потерями, повышения резкости, шумоподавления и т.д.), так и из-за особенностей процесса измерения (например, на изображениях магнитно-резонансной томографии).

Простейшим способом синтеза артефакта ложного оконтуривания является удаление высокочастотных компонент спектра Фурье изображения.

При этом наблюдается эффект, известный как эффект Гиббса.

Одним из наиболее распространенных методов подавления артефакта ложного оконтуривания является минимизация полной вариации функции интенсивности изображения, для чего решается следующая задача минимизации [1]:

где f : R — изображение с артефактом, u : R — искомое изображение, · 2 = | · |2 dx, TV[u] = |u(x)| dx — функционал полной вариации, а — регуляризирующий параметр, отвечающий за силу подавления осцилляций (увеличение дает более гладкое решение). К недостаткам такого подхода можно отнести то, что вместе с осцилляциями он удаляет мелкие детали (в особенности, текстуры) изображения.

Чтобы сохранить больше структурной информации в изображении, нами были предложены комбинированные методы подавления артефакта ложного оконтуривания, адаптивно варьирующие значение регуляризирующего параметра в зависимости от локальных характеристик изображения. Для этого была поставленна следующая задача минимизации:

где весовая функция : R позволяет варьировать силу подавления осцилляций (меньшие значения (x) повышают гладкость решения в точке x). В ходе исследования было выявленно, что значения должны убывать по мере удаления от ближайшего контура изображения. В качестве примера весовой функции была рассмотрена где (x) — расстояние от точки x до ближайшего контура, а d — характерная полуширина осцилляций Гиббса, которая считается известной.

Был разработан алгоритм, реализующий построенные комбинированные методы:

1. Детектирование контуров искаженного изображения методом Канни [2] с = 1 без порогов и гистерезиса.

2. Маскирование [3] с целью удаления контуров, порожденных осцилляциями.

3. Вычисление карты расстояний до ближайшего немаскированного контура.

4. Вычисление весовой функции.

5. Минимизация функционала J2 методом Нестерова [4].

Чтобы сделать построенные методы применимыми в интерактивных приложениях и приложениях реального времени, были созданы параллельные реализации всех сопутствующих алгоритмов на языке программирования C++ с использованием технологии CUDA.

Построенные методы дают лучшие результаты в сравнении с существующими подходами как по объективным показателям качества (PSNR, SSIM), так и по субъективным оценкам (визуальное восприятие). Эффективная параллельная реализация позволяет обрабатывать мегапиксельное изображение меньше, чем за 100 мс, что по крайней мере в 10 раз быстрее обработки на центральном процессоре. По тематике дипломной работы был представлен доклад на международной конференции [5].

1. Nasonov A. V., Krylov A. S. Adaptive Image Deringing. 19th International Conference on Computer Graphics GraphiCon’2009, 2009.

2. Canny J. A Computational Approach to Edge Detection. IEEE Transactions on PAMI, 1986, vol. 8, no. 6, pp. 679–698.

3. Krylov A. S., Nasonov A. V. Adaptive Total Variation Deringing Method for Image Interpolation. Proceedings of ICIP, 2008, pp. 2608–2611.

4. Nesterov Yu. Smooth minimization of non-smooth functions.

Mathematical Programming, 2005, vol. 103, no. 1, pp. 127–152.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года 5. Ситдиков И. Т., Насонов А. В., Крылов А. С., Динг Йонг Параллельная реализация алгоритмов вычисления областей для анализа эффекта ложного оконтуривания на изображениях. Труды 15-й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение», 2013, т. 2, сс. 55–58.

Применение тензорных разложений в задачах анализа и обработки данных Работа удостоена диплома II степени Кафедра вычислительных технологий и моделирования email: [email protected] Научный руководитель: чл.-корр. РАН Тыртышников Многомерные массивы чисел естественным образом возникают в колоссальном количестве физико-математических задач, решаемых численными методами. Классические прикладные задачи математической физики, такие, как задачи акустики и дифракции, решаемые в объёмной области, приводят к оперированию трёхмерными и даже шестимерными массивами. К массивам ещё большей размерности приводит решение задач вычислительной химии.

В связи с экспоненциальным ростом объёма данных в многомерном массиве с ростом его размерности особенно остро при решении многомерных задач встаёт проблема компактного представления данных. Для матриц эта проблема, связанная обычно и с вычислительной сложностью решения систем линейных уравнений, уже нашла немало решений, начиная с разреженных представлений и малоранговых аппроксимаций и заканчивая использованием специальной структуры матриц (например, тёплицевой).

В данной работе рассматривались методы малопараметрического представления массивов больших размерностей с приложением к конкретным задачам математической физики. Основное внимание было уделено открытому в ИВМ РАН ТТ–разложению тензоров и его модификациям для сжатия векторов и матриц [1-2]. Исследовано применение ТТ–разложения для проведения некоторых расчётных задач, таких, как интерполяция функций и суммирование медленно сходящихся рядов. Обобщена на случай произвольных порядков теорема о ТТ–представлении тёплицевых матриц [3].

Также в ходе данной работы была реализована дискретизация в ТТ– формате интегрального уравнения акустики методом коллокации и исследованы возможности решения возникающих при этом линейных систем с сжатыми матрицами и векторами методом AMEn [4-5].

1. I. V. Oseledets. Tensor-train decomposition. SIAM J. Sci. Comput., 33(5):2295–2317, 2011.

2. I. V. Oseledets. Approximation of 2d 2d matrices using tensor decomposition. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 31(4):2130–2145, 2010.

3. V. Kazeev, B. N. Khoromskij and E. E. Tyrtyshnikov. Multilevel Toeplitz matrices generated by tensor-structured vectors and convolution with logarithmic complexity. Technical Report 36, MPI MIS, Leipzig, 2011.

4. S. V. Dolgov and D. V. Savostyanov. Alternating minimal energy methods for linear systems in higher dimensions. Part I: SPD systems. arXiv preprint 1301.6068, 2013.

5. S. V. Dolgov and D. V. Savostyanov. Alternating minimal energy methods for linear systems in higher dimensions. Part II: Faster algorithm and application to nonsymmetric systems. arXiv preprint 1304.1222, 2013.

Метод частиц для двумерных задач газовой Работа удостоена диплома III степени Кувшинников Артем Евгеньевич Кафедра вычислительных методов Научный руководитель: д.ф.-м.н., доц. Богомолов Сергей В данной дипломной работе исследуется возможность применения метода частиц к задачам газовой динамики. Идею метода частиц легко пояснить на примере линейного уравнения переноса. Она состоит в том, что детерминированный процесс, N реализаций которого являются решением системы порождает меру с плотностью u(x, t) по формуле или Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года После дифференцирования и интегрирования по частям мы приходим к дифференциальному уравнению переноса Решая систему обыкновенных дифференциальных уравнений, мы получаем слабое решение уравнения переноса.

Таким образом, метод основан на представлении функции в качестве конечной суммы -функций Дирака или приближенном представлении обобщенной функции с помощью квадратурной формулы:

где неизвестными являются узлы, а веса одинаковы — N. Здесь (x) — пробная функция.

Простейшим является представление о функции u(x) как о ступенчатой (П-образной). В одномерном случае площадь под графиком функции u(x) заменяется набором частиц-прямоугольников, центры которых — координаты частиц, что соответствует формуле прямоугольников приближенного интегрирования. В двумерном случае частицы представляют собой цилиндры. Алгоритм метода состоит в решении системы уравнений движения частиц по явному методу Эйлера, нахождении новых размеров частиц, исходя из условий неперекрывания, и учета сил давления.

В качестве примера рассмотрено решение задачи Коши квазилинейного уравнения переноса в одномерном случае и проведено сравнение метода с разностными схемами, представленными в [1-3]. С использованием метода частиц были решены модельные задачи распада разрыва для газовой динамики и распространения треугольного импульса для нелинейной акустики. Показано, что условие «энтропийного» согласования препятствует формированию распада разрыва, но способствует корректному решению задачи в случае, если разрыв уже сформировался. Эти выводы соответствуют результатам работы [4]. Предложенный алгоритм был обобщен на многомерный случай по аналогии с [5]: для двумерного квазилинейного уравнения переноса численно решена задача Коши с начальным условием вида «прямоугольник», для системы двумерных уравнений газовой динамики построено решение задачи о распространении фронта ударной волны. Основные усилия в работе были потрачены на добавление в двумерный алгоритм механизма «рождения-гибели» частиц, что привело к получению решения, не противоречащему имеющимся в литературе результатам. Фронт ударной волны размазывается на ширину одной частицы. Явная схема обеспечивает легко распараллеливаемую программную реализацию.

Полученные результаты свидетельствуют о возможности применения метода частиц для более сложных задач и расширении метода на трехмерный случай.

1. Галанин М. П., Савенков Е. Б., Токарева С. А. Применение разрывного метода Галеркина для численного решения квазилинейного уравнения переноса. М., 2005, 35 с. (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, №105).

2. Toro. E. F. Riemann solvers and numerical methods for uid dynamics.

Springer, 2009.

3. Liska. R., Wendro B. Comparison of several dierence schemes on 1D and 2D test problems for the Euler equations. // SIAM Journal on Scientic Computing, 2003, Vol. 25, No. 3, pp. 995–1017.

4. Богомолов С. В., Звенков Д. С. Явный метод частиц, несглаживающий газодинамические разрывы. // Математическое моделирование, 2007, т. 19, №3, с. 74–86.

5. Богомолов С. В. Метод частиц. Несжимаемая жидкость. // Математическое моделирование, 2003, т. 15, №1, с. 46–58.

Исследование биортогональных систем к системам, возникающим в уравнениях Лихоманенко Татьяна Николаевна Кафедра функционального анализа и его применений Научный руководитель: академик РАН Моисеев Евгений Вопрос базисности систем — основной вопрос теории приближения функций довольно общего вида функциями относительно простыми. Основополагающий факт этой теории — теорема Вейерштрасса о плотности алгебраических полиномов в пространствах C[0, 1], Lp (0, 1). Замечательным расширением этой теоремы стала теорема Мюнца [1] для систем степеней с произвольными показателями (1914 г.).

Вопросы полноты и базисности имеют огромное значение при решении уравнений смешанного типа, которые имеют сравнительно недолгую историю. Как известно, спектральный метод является одним из наиболее эффективных методов исследования уравнений смешанного типа, где и появляется необходимость исследовать полноту и базисность систем.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года В частности в работе [2] Е.И. Моисеевым была решена задача Франкля в специальной области. При решении задачи необходимо было исследвухсерийной системы {cos 4n}, {sin (4n 1)} в пространстве L2 0,. Решение задачи было найдено с помощью спектральных методов в виде ряда, биортогональная система совсем недавно была получена в работе [3].

Возникает естественное желание обобщить полученный результат на системы более общего вида. В данной работе доказана( базисность (базис Рисса) двухсерийных систем вида {cos 4n}, sin 4 n + + n= в пространстве L2 0, = + k при всех k Z. В явном виде выписаны биортогональные системы, которые необходимы для получения интегральных представлений решений уравнений смешанного типа, а также для оценки их поведения и равномерной сходимости рядов, представленных в решении. Был введен следующий класс функций:

Определение 1 Будем говорить, что система функций {gn ()} приn= надлежит классу функций R, если система {gn) образует баn= зис Рисса в L2 0, и ортогональна в L2 0,, причем n gn () = Было показано, что полученные выше( результаты можно распространить на системы вида {gn ()}, sin 4 n + + n=1, где gn R.

{cos 4n}, {sin (4n 1)}, было получено интегральное предn=0 n= ставление задачи Франкля в специальной области [2].

1. Ch. Muntz Uber den Approximationssatz von Weierstrass H.A. Schwartz Festschrift. Berlin, 1914, p. 303-312.

2. Моисеев Е.И. О решении задачи Франкля в специальной области Дифференц. уравнения. 1992.

3. Моисеев Е.И., Лихоманенко Т.Н. О базисности одной тригонометрической системы, возникающей в задаче Франкля Дифференц.

уравнения. 2013. Т. 49. № 3. С. 325–331.

Параллельные методы решения Кафедра автоматизации научных исследований Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Зайцев Федор Важным направлением исследований в проблеме управляемого термоядерного синтеза является разработка методов расчета функции распределения заряженных частиц. По функции распределения вычисляются температура и ток в плазме, радиальные потоки частиц и энергии, тепловые нагрузки на элементы установки, проводится прогнозирование поведения плазмы и интерпретация измерений. Поведение частиц высоких энергий определяет энергобаланс в плазме и эффективность термоядерной электростанции [1-2].

Повышенные требования к точности применяемых математических моделей и численных алгоритмов налагают эксперименты с термоядерной плазмой, проводимые на крупнейшем в мире токамаке JET (Великобоитания), а также задачи проектирования и строительства международной установки ITER (Франция) Ц прототипа термоядерной электростанции.

В настоящее время в большинстве подходов для расчета функции распределения используются упрощенные 3-х или 4-х мерные модели, основанные на усредненных тем или иным способом кинетических уравнениях.

Такие модели в ряде случаев оказываются не достаточно точными. Однако современные суперкомпьютеры позволяют перейти к рассмотрению более сложных моделей, основанных практически на исходных принципах.

В дипломной работе для описания поведения заряженных частиц применяется Ланжевеновский подход [3]. Рассматривается ансамбль частиц, поведение каждой из которых описывается уравнением движения в шестимерном фазовом пространстве (три геометрические и три скоростные переменные) при наличии силы со стороны электромагнитного поля и случайной силы, вызванной кулоновскими столкновениями. Случайная сила моделируется с помощью действующего в пространстве скоростей трехмерного оператора кулоновских столкновений с усредненными по гироуглу коэффициентами.

Предложенный численный метод основан на интегрировании системы о.д.у. для траектории каждой частицы из ансамбля с помощью схемы с перешагиванием и моделировании случайной силы методом Монте-Карло.

Рассмотрены архитектуры суперкомпьютеров типа Blue Gene и компьютеров с графическими акселераторами.

В результате выполнения дипломной работы созданы численные методы решения задачи для ЭВМ с параллельной архитектурой, разработано программное обеспечение, проведены методические расчеты, найдена Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года зависимость ускорения времени расчета от числа частиц и числа процессоров, оценена эффективность использования аппаратуры, продемонстрирована возможность применения алгоритмов и программного обеспечения для решения практических задач.

1. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1993, 336 с.

2. Зайцев Ф. С. Математическое моделирование эволюции тороидальной плазмы. М.: МАКС Пресс, 2011, 640 с.

3. Snook I. The Langevin and Generalised Langevin Approach to the Dynamics of Atomic, Polymeric and Colloidal Systems.

Amsterdam: Elsevier, 2007.

Разработка и исследование численных моделей квантовых точек Кафедра автоматизации научных исследований Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Попов Александр Квантовые точки Ц это составляющие гетероструктуру наноразмерные кристаллы полупроводника [1]. Если размер кристалла меньше, чем длина волны электрона, то электронные состояния становятся квантовыми, с дискретными уровнями энергии, как у простого атома. Это дает возможность применять их в различных областях индустрии [2].

Необходимость численного решения обусловлена потребностью нахождения энергетических уровней и волновых функций электронов в квантовой точке с заданной формой и размером, что позволило бы моделировать точку, с заданными оптическими свойствами.

Для нахождения энергетических уровней квантовой точки необходимо решить стационарное уравнение Шредингера с заданной функцией потенциала. Численное моделирование сводится к построению матрицы и поиску ее собственных значений. Интерес представляют несколько первых собственных значений, поэтому использовались методы прямой и обратной итерации, а также метод Ланцоша [3]. В одномерном случае матрица, которую необходимо оборачивать, имеет небольшой размер. При переходе к задаче с большим количеством измерений, вычислительная сложность значительно возрастает, поэтому для решения поставленной задачи было использовались суперкомпьютерные вычисления.

В рамках данной работы было проведено моделирование в одномерном, двумерном и трехмерном случае. Получены зависимости собственных значений от структуры потенциала квантовой точки. В случае трех измерений написана программа, опирающаяся на библиотеки SLEPc и PETSc.

Разбиение по вычислительным узлам проводилось разбиением пространства по каждому измерению, для наиболее оптимального использования тороидальной топологии Blue Gene/P, на котором выполнялось тестирование и проводились расчеты. Было проведено сравнение быстродействия различных методов, изучена масштабируемость написанных программ.

1. Попов А. М. Вычислительные нанотехнологии. М.: МАКС Пресс, 2. Леденцов Н. Н., Устинов В. М., Щукин В. А., Копьев П. С., Алферов Ж. И., Бимберг Д. Гетероструктуры с квантовыми точками:

получение, свойства, лазеры. Санкт-Петербург: Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 4.

3. Голуб Дж. Ван Воун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

Алгоритм обращения некоторого класса динамических систем с запаздыванием Работа удостоена диплома II степени Кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Ильин Александр Рассматривается векторная линейная стационарная система управления с соизмеримыми запаздываниями и устойчивой нулевой динамикой где Ai, Bi, Ci — заданные матрицы соответствующих размерностей, x(t) Rn — фазовый вектор, y(t) Rk — выход системы, (t) Rk — её вход, t [0; ),, 2,..., k – постоянные соизмеримые запаздывания. Введем оператор запаздывания d : d[x(t)] = x(t ) Тогда система может быть Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года где A(d), B(d), C(d) —заданные полиномиальные матрицы. Относительно системы предполагаются унимодулярность матрицы CB и ограниченность входа вместе с первой производной. Требуется по значениям известного выхода y получить оценку неизвестного входа.

В работе была получены каноническая форма с выделением нулевой динамики для векторных систем с запаздыванием, построен алгоритм обращения таких систем, использующий разрывную обратную связь, и показана его устойчивость к неидеальностям в релейном элементе.

1. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичёв В.В. Методы робастного обращения динамических систем. М., Физматлит 2009.

2. Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. Ч 3. А.В. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Алгоритмы обращения линейных скалярных динамических систем: метод управляемой модели // Диффеpенц. уpавнения. 1997. Т. 33, № 3. С. 329-339.

4. А.В. Ильин, С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Робастное обращение векторных систем // Дифференц. уравнения, 1998, Т.34, № 11, стр. 1478О начальных стадиях ламинарно-турбулентного перехода в задаче Работа удостоена диплома III степени Кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Магницкий Дипломная работа посвящена изучению начальной стадии перехода от ламинарного режима течения к турбулентному и возникающих при этом эффектов. Методами численного моделирования исследуется задача обтекания цилиндра в ограниченном двумерном канале вязким сжимаемым газом.

В качестве математической модели были выбраны довольно известные уравнения Навье-Стокса [3], поставлены необходимые начально-краевые условия. Для решения применялись методы численного моделирования высокого порядка точности, что продиктовано необходимостью изучения хаотической динамики, которое невозможно при численных осцилляциях решений. Для аппроксимации производных по пространству использовался консервативный метод конечного объема [4] с согласованным методом вычисления потоков, реализованный схемой типа WENO [5] пятого порядка. Интегрирование по времени осуществлялось с помощью TVD метода Рунге-Кутты третьего порядка. Для качественной аппроксимации криволинейной границы цилиндра на прямоугольной сетке использован метод погруженной границы.

В работе задача обтекания рассматривается при фиксированном на входе значении числа Маха, меньшем единицы. Была также исследована динамика газа при изменении бифуркационного параметра, в качестве которого было выбрано число Рейнольдса. Рассматривалась потеря устойчивости стационарного решения и образование вихревой дорожки Кармана.

При изменении параметра обнаружена первая бифуркация, приводящая к нестационарному решению и исследовано изменение подъемной силы, действующей со стороны газа на цилиндр при переходе из одного режима обтекания в другой.

Дальнейшее исследование может быть посвящено некоторым другим конфигурациям (два параллельных цилиндра, два последовательных, цилиндр и прямоугольник и т.д.).

Основными результатами являются: создание программновычислительного комплекса для моделирования течения сжимаемого вязкого газа в ораниченном прямоугольном канале и обтекания некоторых твердых тел в таком течении; рассмотрение полученных результатов с точки зрения хаотической динамики методикой Н. А. Магницкого [2], обнаружение некоторых периодических и квазипериодических решений;

исследование зависимости средних значений (по времени) подъемной силы от числа Рейнольдса.

1. Евстигнеев Н. М., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О природе турбулентности в задаче движения жидкости за уступом. // Дифференциальные уравнения, 2009. Т. 45, №1, с. 69–73.

2. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

4. Eymard R., Gallout T. R., Herbin R. Finite Volume Methods.

Amsterdam: Elsevier, 2000. Vol. 7 of Handbook of Numerical Analysis.

5. Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted Essentially Non-oscillatory Schemes. // Journal of Computational Physics, 1994. Vol. 115, Pp. 200– Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Некоторые методы обращения динамических Кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Ильин Александр В работе рассматривается задача обратной динамики (задача обращения или инвертирования) для линейной стационарной динамической системы со скалярным неизвестным входом и известным выходом:

где z(t) Rn, (t), (t) R, t [0, ). A, b, c - вещественные матрицы соответствующих размерностей — известные параметры системы. Неизвестный входной сигнал — непрерывная ограниченная функция с известной мажорантой: (t) {(t) : (t) C[0, ), |(t)| 0 }. Система предполагается минимально фазовой.

Задача состоит в построении инвертора — динамической системы, на вход которой подаётся выход исходной системы, и выдающей оценку входа исходной системы.

В работе исследована возможность улучшения алгоритма обращения, описанного в [1] за счёт применения скользящего режима второго порядка.

Аналогично [1] была построена управляемая модель исходной системы, но для стабилизации системы в отклонениях использовалось управление, обеспечивающее в системе скользящий режим второго порядка [2 - 4].

Проведено численное моделирование работы инверторов, показано повышение точности при использовании скользящего режима второго порядка в сравнении со скользящим режимом первого порядка.

Рассматриваемый алгоритм был применён на практике для построения динамической системы (инвертора), решающей следующую задачу:

по значению напряжения на входе электрического двигателя постоянного тока и скорости вращения вала двигателя оценить значение момента внешних сил, приложенных к валу. Получаемая оценка может быть использована для выявления заклинивания и осуществления силового управление без датчиков усилия.

Для решения этой задачи была проведена идентификация двигателя — получены модели двигателя, по-разному учитывающие силы трения.

Построены инверторы для моделей двигателя, использующие алгоритмы скольжения первого и второго порядка, проведено моделирование их работы и сравнение оценок.

1. Ильин А. В., Коровин С. К., Фомичев В. В. Методы робастного обращения динамических систем. ФИЗМАТЛИТ, 2009.

2. Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи. ФИЗМАТЛИТ, 1997.

3. S. V. Emel’yanov, S. K. Korovin, and A. Levant. High order sliding modes in control systems. Computational Mathematics and Modeling, 1996.

4. Емельянов С. В., Коровин С. К., Левантовский Л. В. Новый класс алгоритмов скольжения второго порядка. Математическое моделирование, 1990.

Некоторые вычислительные аспекты проблемы одновременной стабилизации Кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления Научный руководитель: д.ф.-м.н., доц. Фурсов Андрей Работа посвящена проблеме поиска областей устойчивости аффинных полиномов в пространстве параметров. Указанная проблема возникает при решении различных задач теории управления. Так, одной из актуальных задач современной теории автоматического управления является задача стабилизации динамического объекта в условиях параметрической неопределенности, когда один или несколько параметров объекта могут скачкообразно поменяться в процессе функционирования этого объекта. В этом случае мы приходим к задаче одновременной стабилизации [1,2,5,6], т.е. к задаче поиска универсального стабилизатора для конечного набора динамических объектов.

При решении задачи одновременной стабилизации линейных стационарных объектов одним из эффективных методов является так называемый метод параметризации в рамках полиномиального подхода, суть которого состоит в поиске стабилизатора заданной структуры, когда выбору подлежат параметры регулятора (коэффициенты его передаточной функции). Фактически, при замыкании объекта регулятором с неопределенными параметрами мы приходим к задаче поиска таких коэффициентов, которые обеспечивают устойчивость знаменателя передаточной функции замкнутого объекта. При этом знаменатель представляется аффинным полиномом, относительно которого ставится задача о существовании и нахождении областей устойчивости. В работах [1,2,6] для поиска универсального стабилизатора предложен численный алгоритм поиска областей Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года устойчивости для аффинных полиномов специального вида, однако, при этом не исследован вопрос сходимости этого алгоритма. Вместе с тем, вопрос о работоспособности алгоритма важен, поскольку его работа требует существенных затрат вычислительных ресурсов. В дипломной работе исследуется вопрос его сходимости и разработан алгоритм с гарантированной сходимостью, основанный на методе внутренней аппроксимации множеств в многомерном пространстве параллелотопами [3, 4].

Для простоты в работе часть результатов излагается на примере полиномов 3-й степени. При этом все полученные результаты обобщаются для полиномов произвольных степеней.

Первая часть дипломной работы посвящена анализу одного из возможных подходов к решению задачи поиска областей устойчивости для аффинных полиномов, изложенный в работах Коровина С. К., Кудрицкого А. В., Фурсова А. С. [1,2], где для поиска таких областей использованы следующие методы и алгоритмы:

1) методы интервального анализа;

2) методы и алгоритмы исследования устойчивости параметрических полиномов;

3) алгоритм SIVIA (Set Invertor Via Interval Analysis) — алгоритм обращения множеств [4].

Важным показателем работы алгоритма SIVIA является поведение меры (функции (m)) так называемого множества неопределенности, возникающего в процессе работы алгоритма. Для успешной работы алгоритма необходимо, чтобы (m) 0 при увеличении m (m — соответствующий шаг алгоритма). В дипломной работе показано, что возможно различное поведение функции (m) для различных классов параметрических полиномов. Указанная функция может как стремиться к нулю, так и стабилизироваться на некотором постоянном значении, отличном от нуля. Вскрыт механизм отсутствия свойства стремления к нулю функции (m) при применении подхода из работ [1,2].

Для обеспечения гарантированной сходимости алгоритма поиска областей устойчивости аффинных полиномов предложен новый метод поиска таких областей — метод внутренней аппроксимации, предполагающий два основных этапа:

1) внутренняя аппроксимация множеств в многомерном пространстве коэффициентов полиномов с помощью параллелотопов;

2) применение алгоритма SIVIA к каждому параллелотопу (гарантированная сходимость алгоритма в этом случае доказана).

Таким образом разработанный новый метод внутренней аппроксимации позволяет обеспечить стремление к нулю функции (m) и в тех случаях, когда не срабатывает метод, изложенный в [1,2,6].

1. Коровин С. К., Кудрицкий А. В., Фурсов А. С. Конструктивный алгоритм поиска регулятора, одновременно стабилизирующего семейство объектов // Нелинейная динамика и управление: Сборник статей, Вып.7 / Под ред. С.В. Емельянова, С. К. Коровина М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010, с.5-16.

2. Коровин С. К., Фурсов А. С. Одновременная стабилизация: синтез универсального регулятора // Автоматика и телемеханика, 2011, №9, с.61-73.

3. Г. Алефельд, Ю. Херцбергер Введение в интервальные вычисления // М.: Мир, 1987.

4. Л. Жолен, М. Кифер, О. Дидри, Э. Вальтер Прикладной интервальный анализ // М. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 5. Б. Поляк, П. Щербаков Робастная устойчивость и управляемость // М.— Наука, 2002.

6. А. С. Фурсов Одновременная стабилизация: теория построения универсального регулятора для семейства динамических объектов // Диссертация. Москва. 2012.

Построение асимптотик решений дифференциальных уравнений с вырожденными коэффициентами Работа удостоена диплома I степени Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Коровина Мария Исследуются уравнения вида Здесь k N, H — дифференциальный оператор с голоморфными коэффициентами, u Ek (SR, ), то есть, функция u голоморфна в секторе SR, = { < arg r <, |r| < R} и имеет в нем не более чем kэкспоненциальный рост при r 0.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Ранее в работе [1] для случая k = 1, а в работе [2] для случая k > было доказано существование ресургентных решений таких уравнений, что позволяет строить асимптотические разложения этих решений, используя методы ресургентного анализа, основанные на применении преобразования Лапласа-Бореля (функция называется k-ресургентной, если ее k-преобразование Лапласа-Бореля бесконечно продолжимо).

Также ранее в работе [1] для случая k = 1, а в работе [3] для случая k > 1 было доказано, что если полином H(0, p) имеет только простые корни, то решения таких уравнений представляются в виде суммы элементов, соответствующих корням pj этого(полинома, асимптотические разложения которых имеют вид uj (r) = exp rj rj sj ri, при k = некоторые числовые коэффициенты. Были вычислены коэффициенты i и j в работе [1] — для случая k = 1, а в работе [3] — для случая k = 2.

В данной дипломной работе были получены решения рассматриваемых уравнений в случае, когда символ оператора H не зависит от переменной r. Также в данной работе для случая, когда оператор H обладает голоморфными коэффициентами, но выполнено условие простоты корней полинома H(0, p), были вычислены коэффициенты i, j, sj асимптотиj ческих разложений решений исследуемых уравнений для произвольного k N. В частности доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Решения уравнения H k rk+1 dr u = 0 имеют вид где сумма берется по объединению {ps } корней полинома H(p), ns — кратности этих корней, а Cs,l — произвольные константы.

Пусть далее, Hi (p) — полиномы по p, получаемые разложением коэффициентов оператора H по формуле Тейлора:

Теорема 2. Пусть в уравнении H r, r2 dr u = 0 порядка n корни поd линома H0 (p) являются простыми. Тогда решения этого уравнения имеют вид u(r) = j uj (r), где сумма берется по объединению {pj } корней полинома H0 (p), а функции uj (r) имеют асимптотические разложения где Cj — произвольные константы, j = H1 (pj )/H0 (pj ), а sj — числовые коэффициенты, вычисляемые по формуле где Также в работе уравнения вида H r, k rk+1 dr u = 0, для которых выполнено условие простоты корней полинома H(0, p), были рассмотрены в существенно более сложном случае — при k > 1, и были найдены формулы для вычисления коэффициентов i, j, sj асимптотических разлоj жений их решений.

1. Коровина М.В., Шаталов В.Е. Дифференциальные уравнения с вырождением и ресургентный анализ. // Дифференц. уравнения. 2010.

Т. 46. №9. С. 1259–1277.

2. Коровина М.В. Cуществование ресургентного решения для уравнений с вырождением высших порядков. // Дифференц. уравнения.

2011. Т. 47. №3. С. 349–357.

3. Коровина М.В. Асимптотики решений уравнений с высшими вырождениями. // ДАН. 2011. Т. 437. №3, С. 302–304.

Компьютерное моделирование состояний электрона в молекулярном ионе водорода Работа удостоена диплома I степени Хартикова Анастасия Сергеевна Кафедра суперкомпьютеров и квантовой информатики email: [email protected] Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Ожигов Юрий В работе моделируется состояние электронов в простых молекулах с использованием методов Монте-Карло. Разработана программа, демонстрирующая возможности статистических методов в решении уравнения Шредингера для получения как волновой функции, так и энергии основных состояний.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года В программе применяется диффузионный метод Монте-Карло в координатном пространстве для исследования атома водорода H, молекулярного иона водорода H+ и атома водорода H2 [1]. Этот метод является хорошей иллюстрацией фейнмановских интегралов по путям. При использовании обычного персонального компьютера достигается точность порядка 1%. Основная программа написана на языке С++ и скомпилирована в виде разделяемой библиотеки, в то время как для визуализации графиков был выбран язык Python и библиотека matplotlib. Для передачи данных из C++ в Python была использована библиотека ctypes с выделением памяти внутри скрипта на Python и вызовом функций из разделяемой библиотеки. Данный подход объединяет высокую производительность кода, скомпилированного на C++, и мощь визуализации на Python.

Для исследования молекул с количеством электронов до 10 в программе используется диффузионный метод Монте-Карло в полном пространстве детерминантов Слэйтера [2]. Отличительной особенностью данного подхода по сравнению с традиционными методами является существенное уменьшение необходимой памяти и вычислительной сложности за счет использования меньшего числа детерминантов (до двух порядков). Это расширяет возможности метода FCI. Достигнутая точность вычислений составляет порядка 0.1% по сравнению с теоретическим пределом метода FCI.

Как побочный результат, программа предоставляет библиотеку функций для решения уравнения Шредингера методом Хартри-Фока с количеством базисных функций до 128, возможностью выбора базиса в формате GAUSSIAN и со временем вычисления не более нескольких секунд на персональном компьютере с частотой процессора 2ГГц и оперативной памятью 2Гб. Данные результаты удалось достичь за счет использования современных алгоритмов вычисления электронных интегралов (до интегралов в секунду) [3].

1. Kosztin Ioan, Faber Byron, Schulten Klaus. Introduction to the Diusion Monte Carlo Method // Am. J. Phys., Vol.64, No.5, 1996. P.633.

2. Booth George H., Thom Alex J.W., Alavi Ali. Fermion Monte Carlo without xed nodes: A Game of Life, death and annihilation in Slater Determinant space // J. Chem. Phys., Vol.131, No.5, 2009. P.054106Gill Peter M.W., Head-Gordon Martin, Pople John A. An Ecient Algorithm for the Generation of Two-Electron Repulsion Integrals over Gaussian Basis Functions // International Journal of Quantum Chemistry: Quantum Chemistry Symposium, Vol.23, 1989. P.269-280.

Оценка стоимости азиатских опционов Работа удостоена диплома III степени Тимошенко Артем Александрович Кафедра исследования операций email: [email protected] Научный руководитель: к.ф.-м.н., доц. Морозов Владимир Азиатский опцион - это один из видов финансовых деривативов, выплаты по которым определяются средней ценой актива за определенный период времени. Азиатские опционы могут быть классифицированы на два типа по времени возможного исполнения: азиатские опционы европейского типа могут быть предъявлены к исполнению только в конечный заданный момент времени T, в то время как опционы американского типа могут быть предъявлены в любой момент в заданный промежуток времени: t [0, T ]. Выплаты предъявителю опциона определяются следующим образом: P = max((St At ), 0) в случае незакрепленного страйка и P = max((K At ), 0) в случае фиксированного страйка, где = ±1 для колл- и пут-опционов соответственно, а At — среднее, определяемое как:

На данный момент не существует точного аналитического решения для оценки стоимости азиатского опциона европейского типа с арифметическим средним, однако существуют достаточно точные методы ее аппроксимации. В данной работе был развит один из таких методов, впервые предложенный в статье «The Value of an Asian Option». В частности, нами были получены в явном виде формулы для оценки нижней и верхней границы стоимости опциона, порядок малости разницы между которыми составляет 102. Аналогичные результаты также получены для модели с непрерывными дивидендами.

Для оценки стоимости азиатских опционов американского типа в работе приводятся точные формулы в случае среднего геометрического и приближенные в случае арифметического среднего. При этом численным образом построена граница области немедленного исполнения и исследованы ее свойства для различных значений безрисковой процентной ставки и волатильности рынка.

1. Rogers С. G., Shi Z. The Value of an Asian Option. Journal of Applied Probability, 1995.

2. Hansen A., Jorgensen P. Analytical Valuation of American-Style Asian Options. Management Science, 2000.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года 3. Dai M., Kwok Y. K. Characterization of Optimal Stopping Regions of American Asian and Lookback Options. The Annals of Applied Probability, 1992.

Некоторые классы динамических Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Григоренко Первая часть дипломной работы посвящена аналитическому исследованию задачи оптимального управления для нелинейной модели динамики экономических показателей Солоу [1] при наличии смешанного ограничения на управление. В модели пять макроэкономических показателей и производственная функция, удовлетворяющая неоклассическим условиям. Смешанное ограничение на управление является следствием условия ограничения снизу объема потребления на одного работающего. Для модели доказано существование оптимального управления, на основании теоремы о необходимых условиях оптимальности для задач со смешанными ограничениями [2] построены оптимальные управления и траектории.

Вторая часть работы посвящена построению картины синтеза для задачи быстродействия с целевым множеством - положением равновесия, для модели Лотки Вольтерра с двумерным управлением ограниченным гладким непустым компактом. На основании принципа максимума Понтрягина [3], получена структура оптимальных управлений и проведены расчеты оптимальных траекторий при различных значениях параметров модели.

Третья часть работы посвящена исследованию прикладной модели межотраслевого баланса [4], экстремальной задачи для такой модели и программного обеспечения для расчетов этой экстремальной задачи. Соответствующая модели задача нелинейного программирования имеет переменных, 14 нелинейных ограничений типа неравенства и нелинейный функционал. Параметры модели рассчитываются по реальным данным.

Стандартное программное обеспечение для ее решения, использованное в [4], (функция fmincon в среде MATLAB) решает задачу за длительное время. Рассматривается задача об анализе работы программы и ее модернизации с целью уменьшения времени расчета данного класса моделей.

При анализе работы программы выявлено, что в исходной задаче больше всего времени тратится на вычисление в задаче НЛП функционала и нелинейные ограничения. В процессе работы функции fmincon, функционал и нелинейные ограничения для различных значений переменных высчитываются порядка 200 тысяч раз. Предложены процедуры оптимизации подсчета функционала и нелинейных ограничений. В результате модернизации программы удалось добиться ускорение 1,2 раза для параллельного режима и в 2,4 раза для последовательного режима. Для ускорения работы программы был произведен перевод ее на C++. Программа тестировалась по результатам вычислений правильно работающей программы [4].

1. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 2. Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: ЦПИ при мех-мате МГУ, 3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф.

Математическая теория оптимальных процессов. Изд-во Наука, 4. Позамантир Э.И., Тищенко Т.И. Оценка народнохозяйственного эффекта модернизации и развития сети автомобильных дорог России. Ц Экономика и математические методы, 2005, Т.41, Вып.1. С.65Неравенства наблюдаемости с оптимальным пороговым моментом для одномерного Дряженков Андрей Александрович Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Потапов Михаил Рассматриваются задачи левостороннего граничного управления для волнового уравнения с переменными коэффициентами и однородным условием третьего рода на неуправляемом правом конце отрезка:

Целью приложения граничного управления u = u(t) является перевод системы из состояния покоя в заданное целевое состояние Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Задачи предполагается решать численно вариационным методом Потапова М. М. [1]. Априорная информация, необходимая для обоснованного применения этого метода, извлекается из конструктивных неравенств наблюдаемости вида для двойственных задач наблюдения. Выводу таких неравенств и посвящена данная работа.

Основные результаты дипломной работы:

1. Для случая слабых обобщенных решений задачи управления получены неравенства наблюдаемости с оптимальным пороговым моментом и отделенными от нуля константами µ при всех T T, позволяющие вычислять устойчивые приближения к оптимальным управлениям при всех таких T, в том числе и на промежутках критической длины T = T. Эти результаты опубликованы в [2] и докладывались на конференции [3].

2. Для случая сильных обобщенных решений при T > T получены неравенства наблюдаемости с оптимальным пороговым моментом T, но с константами µ = µ0 (T T ), вырождающимися при T T. Показано, что данное вырождение вызвано именно повышением гладкости обобщенных решений, а не недостатками техники доказательств.

Эти результаты частично докладывались на конференции [4].

3. В классах сильных обобщенных решений для критических промежутков T = T получены конструктивные неравенства наблюдаемости на подпространствах, сопряженных ко множествам достижимости. Под конструктивностью здесь понимается не только возможность явного определения или вычисления оценочных констант µ, но и описание структуры соответствующих подпространств. Результаты для критических промежутков частично докладывались на конференции [5].

Все полученные результаты можно использовать для отыскания приближенных решений рассматриваемых задач управления, а также двойственных к ним задач одностороннего граничного наблюдения, с помощью вариационного метода [1]. В работе приведены результаты численных экспериментов для задач граничного управления в классах сильных обобщенных решений на промежутках критической длины T = T.

1. Васильев Ф. П., Куржанский М. А., Потапов М. М., Разгулин А. В.

Приближенное решение двойственных задач управления и наблюдения. М.: МАКС Пресс, 2010. — 384 c.

2. Потапов М. М., Дряженков А. А. Оптимизация порогового момента в неравенстве наблюдаемости для волнового уравнения с краевым условием упругого закрепления // Труды МИАН. 2012. Т. 277. С.

215–229.

3. Потапов М. М., Дряженков А. А. Конструктивные неравенства наблюдаемости для волнового уравнения с оптимальным пороговым моментом // Конференция Пятницкого. Тезисы докладов. М.: Издво ИПУ РАН, 2012. С. 273–274.

4. Потапов М. М., Дряженков А. А. Неравенство наблюдаемости для волнового уравнения на критическом интервале времени // Конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования».

Тезисы докладов. М.: РУДН, 2013. С. 450–451.

Задачи граничного управления для волнового уравнения с переменными коэффициентами в пространствах Соболева Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Потапов Михаил Рассматриваются задачи двустороннего граничного управления основных классических типов, а также различных их сочетаний, для волнового уравнения с переменными коэффициентами Требуется соответствующим выбором граничных управляющих воздействий перевести систему из начального нулевого состояния в заданное конечное состояние Задачи ставятся на временных промежутках докритической длины T T, где Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Так как при этом достижимы не все целевые состояния, то решения понимаются в смысле наименьших квадратов:

Здесь A — оператор управления, преобразующий пару граничных управлений в пару, составленную из финального состояния и финальной скорости процесса.

Главной целью работы является разработка численного метода решений таких задач и его строгое математическое обоснование. Для уравнений с переменными коэффициентами на докритических промежутках в данной дипломной работе это было сделано впервые.

Вычислительный алгоритм представляет собой двухэтапную версию вариационного метода М.М. Потапова [1-2], а для определения значений параметров алгоритма выводятся конструктивные неравенства непрерывной обратимости оператора управления с известными (вычислимыми) значениями постоянной > 0. Оценки вида (2) являются двойственными по отношению к конструктивным неравенствам наблюдаемости которые играли первостепенную роль для обоснованного применения вариационного метода на временных промежутках сверхкритической длины [1-2].

В дипломной работе получены следующие основные результаты:

1. В классе сильных обобщенных решений конструктивные неравенства (2) получены для всех основных типов краевых условий и всех T с отделенными от нуля при T T значениями. ПровеT денные численные эксперименты подтвердили эффективность предложенного алгоритма, в том числе и при обработке зашумленных данных. Данные результаты докладывались на конференции [3] и приняты к публикации в [4].

2. В классе слабых обобщенных решений при выводе конструктивных оценок вида (2) возникает ряд дополнительных трудностей, поэтому в дипломную работу включены лишь завершенные результаты для относительно более простого случая двусторонних граничных управлений типа Дирихле на промежутках T < T. Показано, что, в отличие от класса сильных обобщенных решений, в данном случае оценочная константа 0 при T T, то есть неравенство (2) вырождается при приближении временного интервала к критическому значению (1).

1. Васильев Ф. П., Куржанский М. А., Потапов М. М., Разгулин А. В.

Приближенное решение двойственных задач управления и наблюдения. – М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2010. – 384 с.

2. Потапов М. М., Иванов Д. А. Задачи граничного управления для волнового уравнения на докритических промежутках // Сборник тезисов 4-ой международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. Д. Кудрявцева (г. Москва 25 – 29 марта 2013 г.).

М.: Изд-во РУДН, 2013. С. 452-453.

3. Потапов М. М., Иванов Д. А. Задачи двустороннего граничного управления для волнового уравнения на докритических промежутках в классах сильных обобщенных решений // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. № 4. (в печати).

Экстраградиентный метод в седловых играх Кафедра оптимального управления Научные руководители: д.ф.-м.н., проф. Васильев Федор к.ф.-м.н. Артемьева Людмила Анатольевна В дипломной работе рассматриваются седловые игры двух лиц. Для поиска точки равновесия в седловых играх двух лиц предлагается экстраградиентный метод (ЭМ), доказывается сходимость нового варианта ЭМ — модифицированного прямого экстраградиентного (МПЭ) — в итерационной и дифференциальной формах. В приложении приводятся результаты численного анализа различных вариантов ЭМ, по которым можно видеть, что новый предложенный метод дает очень хорошие результаты (написаны две программы: в среде Maple и в среде Matlab).

В задаче требуется найти точку (w, p, y, r ) W0 E m2 Y0 E m1, удовлетворяющую следующим условиям:

Коротко опишем, в чем заключается игра. Пусть у нас есть два участника, каждый из которых решает свою задачу математического программирования, то есть минимизирует целевую функцию при заданных ограничениях. С этой целью каждый участник составляет свою функцию Лагранжа Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года и ищет седловую точку соответствующей функции. Предполагается, что функция каждого игрока зависит от седловой точки другого как от параметра, поэтому седловая точка, выбираемая каждым игроком, влияет на выбор седловой точки другого игрока. Такой взаимозависимый выбор седловых точек в совокупности порождает седловое отображение. Неподвижная точка этого отображения называется точкой равновесия нашей игры. Эту задачу можно также свести к задаче поиска седловой точки функции Лагранжа L(x, ), общей для двух игроков.

МПЭ метод в итерационной форме для нашей задачи:

При выполнении следующих пяти условий: y1. множество X0 выпукло, замкнуто; y2. функции S(x), f (x), g(x) выпуклы и непрерывнодифференцируемы на X0 ; y3. выполняется локальное условие Липшица;

y4. множество S точек равновесия седловой игры непустое; y5. длина шага метода k : 0 < min k max < 1, а начальная точка (x0, 0 ) выбирается из множества X0 0 произвольным образом, — в работе доказывается следующая теорема о сходимости:

Теорема Пусть выполнены условия у1 – у5 (max < min{1, 5L1 }). Тогда последовательность {(xk, k )}, порожденная МПЭ методом, монотонно сходится к одной из точек равновесия {(x, )} седловой игры двух лиц:

МПЭ метод в дифференциальной форме:

Точка равновесия здесь определяется как предел при t решения ЗК для системы ОДУ с обратной связью.

В работе доказываются следующие теоремы:

Теорема Пусть выполнены условия у1’ – у5’, и константа Липшица L1 > 0 соответствует ограниченному множеству S0. Тогда существует единственное решение (x(t), (t)) задачи Коши, определенное при всех t 0, причем (x(t), (t)) S0, (x(t), (t) + (t)) S0, ((t), (t) + (t)) S0.

Теорема Пусть выполнены у1’ – у5’, и константа Липшица L1 > 0 соответствует ограниченному множеству S0, max < min{ 8L1, 1}. Тогда решение (x(t), (t)) ЗК при t монотонно сходится к некоторой точке равновесия (x, ) седловой игры двух лиц:

На основе численного анализа различных ЭМ, можно сделать вывод, что для решения задач целесообразно использовать МПЭ метод.

1. Артемьева Л. А. Экстраградиентный метод поиска точки равновесия в седловых играх двух лиц. // ЖВМиМФ 2011, 51, №.12, С.

2143-2157.

2. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. // МЦНМО, 2011 г.

3. Антипин А. С., Попова О. А. О равновесной модели кредитного рынка: постановка задачи и методы решения. // ЖВМиМФ 2009, 49, №.3, С. 465Ц481.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука 1975.

Исследование обобщённого преобразования Радона и его экономические приложения Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Шананин В дипломной работе исследуются обобщённое преобразование Радона мер на неотрицательном ортанте и тесно связанные с ним интегральные операторы типа Радона, которые обобщают многие классические преобразования: Лапласа, Фантаппье и другие. Пусть q — гладкая положительно однородная функция на неотрицательном ортанте, µ — мера на нём, h — непрерывная функция на [0, +). Обобщённое преобразование Радона определяется как производная в смысле теории распределений а интегральный оператор типа Радона — формулой (Rq µ)(p1,..., pn ) = h(q(p1 x1,..., pn xn )) dµ(x) (Rq µ)(p1,..., pn, ·), h(·).

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Исследование операторов Rq и Rq мотивировано экономическими приложениями и связано с необходимостью учитывать замещение производственных факторов на микроуровне при производстве в отрасли.

В работе даются ответы на следующие вопросы:

1. Можно ли по Rq µ (Rq µ) найти µ?

2. Если можно, то по каким формулам?

3. Каковы необходимые и достаточные условия на функцию f (p, t) (f (p)) для того, чтобы она была представима в виде f = Rq µ (f = Rq µ) для некоторых q, µ, h?

Основным результатом, касающимся вопросов обращения операторов Rq и Rq, является нахождение операторов Aq и Ah таких, что при достаточно общих ограничениях на q, h и на абсолютно непрерывные меры dµf (x) = f (x)dx коммутативна диаграмма где M — преобразование Меллина. Коммутативность такой диаграммы позволяет записать формулы обращения в виде f = M 1 Aq M Rq µf и мула обращения совпадает с хорошо известной формулой Меллина для обращения преобразования Лапласа.

Основным результатом, касающимся вопросов характеризации, является нахождение псевдодифференциальных операторов Меллина op(q1,q22 ), которые связывают различные операторы Rq1 и Rq2 :

Такая связь позволяет свести задачу характеризации операторов Rq и Rq к задаче характеризации для преобразования Лапласа, которая была успешно решена ещё в 50-е годы XX-го века (С. Н. Бернштейн, В. Гильберт, С. Бохнер). Так в работе получается обобщить теорему Бернштейна о вполне монотонных функциях со случая одного оператора — преобразоh вания Лапласа — на случай целого класса операторов Rq.

Отдельно рассмотрен наиболее простой и важный с экономической точки зрения случай функций q = q, q (x) = (x +... + x ), 0 < 1, соответствующий постоянной эластичности замещения производственных факторов. Случай = 1 был рассмотрен в работе [1]. Переход от = к произвольному 0 < < 1 с математической точки зрения связан с переходом к новой арифметике, в которой в качестве сложения выступает операция ab = (a +b ). В работе показано, что в случае мер, растущих на бесконечности не быстрее экспонент, оператор Rq будет инъективным.

Показано, что если меры µ и конечны и убывают на бесконечности как |x| max(,), то из Rq µ = Rq, =, будет следовать, что µ =, причём меры µ и сосредоточены на объединении координатных лучей. Приведён пример нетривиального пересечения образов операторов Rq и Rq при =.

1. Henkin G. M., Shananin A. A. Bernstein theorems and Radon transform.

Application to the theory of production functions. Translations of mathematical monographs. Vol. 81, pp. 189–223, 1990.

2. Шананин А. А. Обобщённая модель чистой отрасли производства.

Математическое моделлирование, 9:9, с. 117—127, 1997.

3. Агальцов А. Д. Исследование обобщённого преобразования Радона и его экономические приложения. Труды 55-й научной конференции МФТИ. Управление и прикладная математика. Т. 1, 2012, с. 34–36.

4. Агальцов А. Д. Теоремы характеризации и обращения для обобщённого преобразования Радона. Труды МФТИ, 2013 (подано в печать).

Исследование математической модели Работа удостоена диплома II степени Галочкина Татьяна Владимировна email: [email protected] Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Братусь Глиомы представляют собой самый распространенный вид первичной опухоли мозга, исследованию динамики их развития посвящено большое количество работ. В данной работе рассматриваются глиомы низкой степени злокачественности: они обладают высокой степенью проникновения и обычно неизлечимы, но среднее время выживания составляет более лет из-за низкой скорости пролифераци.

Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года Основной целью данной работы было изучение модели динамики развития опухоли с учетом особенности реакции клеток глиомы низкой степени злокачественности на воздействие радиотерапии, а также постановка и решение задачи подбора оптимальных параметров лечения для максимизации времени выживания пациента после курса радиотерапии.

В данной работе непрерывная динамика развития опухоли описывается системой уравнений в частных производных на основе уравнения реакции-диффузии Колмогорова–Фишера, реакция клеток опухоли на воздействие радиотерапии соответствует модели, предложенной в [1]. В отличие от других работ по данной теме, воздействие радиотерапии рассматривается как немгновенное и неабсолютное: после облучения только часть раковых клеток повреждается, и их смерть наступает не сразу же после облучения. Такой подход был предложен в [2].

Пусть u(t, x) — концентрация активных раковых клеток, v(t, x) — концентрация раковых клеток, поврежденных в результате воздействия радиотерапии, обе переменные пространственные: x R2. Тогда рассматриваемая модель описывается следующими системами уравнений:

непрерывной системой, отвечающей динамике развития опухоли, и дискретной системой, описывающей перераспределение концентраций раковых клеток в момент облучения дозой dk :

u(0, x) = u0 (x), v(0, x) = v0 (x), Было проведено исследование сосредоточенной и распределенной модели и доказан ряд утверждений, касающихся как общего поведения системы, так и отдельно непрерывной и дискретной систем; для сосредоточенной модели получена явная формула времени выживания. Основным результатом проведенных исследований можно назвать вывод о том, что в распределенной модели при дополнительных предположениях относительно функций u(t, x), v(t, x) предельное множество непрерывной системы, если оно существует, является константным.

Далее в работе был рассмотрен стандартный курс радиотерапии: ежедневное облучение пациента в течение N недель с учетом выходных дней, режим облучения изменяется раз в неделю. Была поставлена следующая задача максимизации времени выживания пациента по окончании курса лечения:

при ограничениях на разовую дозу облучения и на суммарный эффект, оказываемый радиацией на здоровые клетки. Для решения задачи условной максимизации был применен метод возможных направлений, все параметры были взяты из [1] и соответствуют реальным данным. Полученные численно оптимальные дозы радиации для каждой недели как для сосредоточенной, так и для распределенной модели, оказались очень близкими по значению к используемым врачами на практике, хотя в исходной постановке задачи никаких дополнительных предположений о реальных дозах сделано не было. Данный результат свидетельствует об адекватности выбранной модели и корректности постановки задачи оптимизации.

Дальнейшее исследование модели заключалось в рассмотрении периода между облучениями в качестве дополнительного параметра курса радиотерапии. При фиксированных дозах, выбранных в точности равными используемым на практике, время выживания пациента после окончания курса радиотерапии оказалось существенно больше при более частом облучении, однако общее время жизни с начала курса лечения растет при увеличении интервала между облучениями. Также была численно решена задача максимизации при использовании в качестве параметров как доз радиации для каждого периода облучения, так и интервала между облучениями. Были получены различные варианты оптимальных значений параметров, однако чаще всего встречались и соответствовали наибольшим значениям функционала режимы с ежедневным облучением дозами близкими к реально используемым.

1. Albert van der Kogel, Michael Joiner Basic clinical radiobiology. Oxford University Press, 2009.

2. V. M. Perez-Garcia, J. Belmonte, M. Bogdanska Delay eects in the response of low grade gliomas to radiotherapy: a mathematical model and its therapeutical implications. Mathematical medicine and biology (submitted).

Математическое моделирование вероятности дефолта в моделях кредитного риска Работа удостоена диплома III степени email: [email protected] Научный руководитель: к.ф.-м.н. Лапшин Виктор Задача построения функции дожития и интенсивности дефолта в моделях кредитного риска, рассматриваемая в дипломной работе, является Тезисы лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ 2013 года актуальной проблемой финансовой математики. Ее решение имеет реальное практическое применение в моделях кредитного скоринга.

Рассмотрим наблюдения за n заемщиками. Пусть T1,..., Tn — времена дефолтов, а C1,..., Cn — времена цензурирования, то есть когда заканчиваются наблюдения за заемщиками. Требуется, исходя из этих данных, построить функцию дожития S(t) = P(T < t). Решение данной задачи позволяет моделировать дефолт заемщиков, информация о которых цензурирована.

В работе было предложено использовать непараметрический подход, который также учитывает требования на гладкость, формализованные некоторым способом. Главным достоинством такого подхода является то, что заранее не делается никаких предположений о виде интенсивности дефолта, а требования на ее гладность являются экономически обоснованными. Для решения задачи используются методы вариационного исчисления, с помощью которых было получено, что решение имеет вид экспоненциального сплайна, а также рекуррентные формулы для коэффициентов этого сплайна.

В работе также была рассмотрена модифицированная постановка задачи с функционалом гладкости со второй производной. Данная задача не решается аналитически, поэтому было предложено ее решать численно.

Пространство H аппроксимируется сеточным пространством H, в котором ищется решение с помощью метода Ньютона.

Основной сложностью подхода, использующего гладкость, является правильное определение параметра гладкости, иначе кривая может быть переглажена или недоглажена. В работе был использован статистический критерий Cross–Validation, и были получены формулы для его применения.

Все описанные в работе методы и алгоритмы реализованы в виде программы в среде Matlab.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007.

2. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление.

М.:Физматгиз, 1961.

3. Gu C. Smoothing Spline ANOVA Models. Springer New York, 2002.

4. Tapia R., Thompson J. Nonparametric Function Estimation, Modeling and Simulation. SIAM, Philadelphia, 1990.

Изучение методов построения покрытия Шубина Наталия Александровна email: [email protected] Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Лотов Александр Численное построение покрытий многомерной единичной сферы имеет большое практическое значение. В частности, покрытия используются в методах полиэдральной аппроксимации многомерных выпуклых компактных тел (ВКТ) на основе расчета их опорной функции для направлений, задаваемых точками базы покрытия. Например, актуальной является аппроксимация множеств достижимости динамических систем [1] и множеств достижимых критериальных векторов в задачах многокритериальной оптимизации [2].

В дипломной работе исследуется известный, но не изученный метод построения покрытия, основанный на построении равномерной сетки Tl на гипергранях многомерного куба c помощью задания l равномерно располоk,d женных точек на каждом ребре куба. База покрытия TP T K на вписанной в куб сфере направлений S получается путем перспективной проекции узлов сетки Tl на сферу S d1 с центром проекции в начале координат.

В работе выведена точная формула для вычисления радиуса покрытия, порождаемого методом ПТК, в зависимости от числа точек базы поk,d крытия TP T K в многомерном случае:

где n Z+, n 1, а число точек на ребре куба l связано с общим числом точек на сфере k формулой:

Основным результатом дипломной работы является получение оценки для асимптотический эффективности d T K покрытия, порождаемого меP тодом ПТК. Асимптотическая эффективность выражает отношение радиусов гипотетического оптимального покрытия и покрытия, порождаемого методом ПТК, т.е. показывает, насколько покрытие близко к оптимальному:



Pages:     || 2 | 3 | 4 |


Похожие работы:

«ГОДОВОЙ ОТЧЕТ ОТКРЫТОГО АКЦИОНЕРНОГО ОБЩЕСТВА Проектно – изыскательский и научно - исследовательский институт по проектированию энергетических систем и электрических сетей ЭНЕРГОСЕТЬПРОЕКТ ЗА 2010 ГОД МОСКВА ГОДОВОЙ ОТЧЕТ ОАО ИНСТИТУТ ЭНЕРГОСЕТЬПРОЕКТ ЗА 2010 ГОД. Общие сведения об открытом акционерном обществе Институт 1. ЭНЕРГОСЕТЬПРОЕКТ: 1.1. Полное наименование организации: Открытое Акционерное Общество Проектно-изыскательский и научно-исследовательский институт по проектированию...»

«ИНВЕСТИЦИОННЫЙ МЕМОРАНДУМ ЛИПЕЦКОЙ ОБЛАСТИ на 2013 год 1. Общие положения 1.1. Инвестиционный меморандум Липецкой области (далее - Меморандум) устанавливает основные приоритеты развития и поддержки инвестиционной деятельности в Липецкой области. 1.2. Центром ответственности за реализацию положений настоящего Меморандума является Управление инвестиций и международных связей Липецкой области (далее - Координатор). 1.3. Мониторинг выполнения положений Меморандума осуществляется Координатором. 1.4....»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ УРАЛЬСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ХИМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ С ОПЫТНЫМ ЗАВОДОМ 75 лет Выпуск 72 ЕКАТЕРИНБУРГ 2005 Реферат К своему 75-летию УНИХИМ выпускает настоящий сборник трудов, представляющий основные направления его деятельности за последние 5 лет, а также результаты исследований, выполненных в предыдущие периоды, но по разным причинам оставшиеся неопубликованными. Сохраняя статус федерального государственного...»

«Разработаны и внесены Управлением по Утверждены Постановлением надзору в химической, нефтехимической и Госгортехнадзора России от нефтеперерабатывающей 22.12.97№ 52 промышленности Общие правила взрывобезопасности для взрывопожароопасных химических, нефтехимических и нефтеперерабатывающих производств ПБ 09-170-97 ВВЕДЕНИЕ Общие правила взрывобезопасности для взрывопожароопасных химических, нефтехимических и нефтеперерабатывающих производств, 2-е издание, переработанное и дополненное (ОПВБ-II),...»

«О НАС СК УКРТЕХНОСФЕРА Генеральный директор, инженер-механик, Кандидат экономических наук, Академик Академии строительства Украины. Долгие годы работает в системе МиниРуководители и специалистерства монтажных и специальных строительных работ Украины (ныне Украинсты Строительной компании ская государственная корпорация по выполнению монтажных и специальных УКРТЕХНОСФЕРА долгие годы строительных работ Укрмонтажспецстрой). За значительный личный вклад в работают в сфере строительства в развитие...»

«ГОУ ВПО Уфимский государственный нефтяной технический университет Конкурс: Обеспечение промышленной и экологической безопасности на взрывопожароопасных и химически опасных производственных объектах Номинация конкурса: 1 ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПО ПОВЫШЕНИЮ БЕЗОПАСНОСТИ АВТОЗАПРАВОЧНЫХ СТАНЦИЙ Руководитель проекта: Халилова Регина Асхатовна, аспирант кафедры Промышленная и пожарная безопасность. Механический факультет. Авторы проекта: Гильмуллина Алия Фануровна, студентка 5...»

«1 С С 2 3 1. Цели и задачи освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Основы проектирования и оборудование являются: изучение основ организации и выполнения проектирования химических производств органических веществ. Задачами освоения дисциплины являются: обоснование района размещения проектируемого производства предприятий органического синтеза, порядка формирования и содержание задания на проектирование, основных этапов проектирования; получение навыков в выполнении научно-технического...»

«ЕЖЕКВАРТАЛЬНЫЙ ОТЧЕТ Открытое акционерное общество “Магнитогорский металлургический комбинат” (Open Joint Stock Company Magnitogorsk Iron & Steel Works) Код эмитента: 00078-A за 3 квартал 2009 г Место нахождения эмитента: 455000 Россия, г. Магнитогорск, Челябинская область, Кирова 93 Информация, содержащаяся в настоящем ежеквартальном отчете, подлежит раскрытию в соответствии с законодательством Российской Федерации о ценных бумагах И.о. Президента ООО Управляющая компания ММК С.В. Кривощёков...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА факультет Управления и дизайна Кафедра управления персоналом и государственного и муниципального управления ДИПЛОМНЫЙ ПРОЕКТ на тему: Совершенствование деятельности органов муниципального управления по формированию и реализации молодежной политики (на примере г. о. Балашиха Московской...»

«АРХИТЕКТОРЫ ДИЗАЙНЕРЫ ДЕКОРАТОРЫ 2012 САНКТ-ПЕТЕРБУРГ АРХИТЕКТОРЫ ДИЗАЙНЕРЫ ДЕКОРАТОРЫ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА №1 2012 FINESTREET PUBLISHING www.nestreet.ru add / персоналии 2 / ADD №1 ADD №1 / 1 add / персоналии 2 / ADD №1 ADD №1 / 3 add / слово редактора Уважаемые читатели, позвольте представить вам наш новый продукт — каталог Архитекторы, дизайнеры, декораторы (ADD). Это приложение к журналу Жилая среда, которое мы планируем выпускать один раз в год. На мой взгляд, даже его первый выпуск оказался...»

«Открытое акционерное общество Сибирский научно-аналитический центр (ОАО СибНАЦ) ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ по теме: Создание распределенной модели данных об отраслях экономики Ханты-Мансийского автономного округа - Югры и разработка на ее основе проекта Стратегии социально-экономического развития Ханты-Мансийского автономного округа - Югры до 2020 года и на период 2030 года Сценарии развития отраслевых комплексов. Формирование моделей данных об отраслях экономики автономного округа...»

«658.382.3:621.31.004.2 ПРАВИЛА ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЭЛЕКТРОУСТАНОВОК ПОТРЕБИТЕЛЕЙ И ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЭЛЕКТРОУСТАНОВОК ПОТРЕБИТЕЛЕЙ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН (издание переработанное и дополненное с учетом опыта эксплуатации действующих электроустановок потребителей) РАЗРАБОТАНЫ: ТОО Фирма Казэнергоналадка и Союзом инженеров-энергетиков при участии научно-исследовательских, проектных, эксплуатационных, ремонтных и наладочных организаций Республики Казахстан....»

«АНКЕТА-ВОПРОСНИК для самооценки организации по требованиям СТБ ISO/TS 16949 – 2010 АНКЕТА-ВОПРОСНИК Для проведения самооценки просим Вас заполнить эту анкету, подписать её и вернуть в БелГИСС. Запрещается копировать анкету без разрешения БелГИСС. Требования: СТБ ISO/TS 16949 - 2010 _ наименование организации _ наименование продукции, применительно к которой осуществляются работы по сертификации системы менеджмента качества _ _ Ф.И.О., должность лица, ответственного за систему менеджмента...»

«МЕЖДУНАРОДНЫЕ СТРОИТЕЛЬНЫЕ НОРМЫ СНГ Проект СТРОИТЕЛЬСТВО В СЕЙСМИЧЕСКИХ РАЙОНАХ Основные положения (Первая редакция) МНТКС 2003 г. Project_SNiP_First Redaction МСН СНГ стр. 2 МСН Строительство в сейсмических районах (проект) Проект МСН подготовлен Рабочей Группой МНТКС в составе: Я.М.Айзенберг, д.т.н., проф., засл.деят.науки РФ – председатель РГ (Россия) Э.Е.Хачиян, д.т.н., проф., академик НАН РА – зам.председателя РГ (Армения) В.И.Бронштейн, д.т.н., проф. – член РГ (Россия) Г.К.Габричидзе,...»

«Василий Лата, Владимир Мальцев ГАЛИЛЕО: КАК ЕВРОПА ДВИЖЕТСЯ В КОСМОС Галилео – европейский проект создания спутниковой системы навигации, который воз ник в 1999 г. по инициативе Европейской комиссии и Европейского космического агентства (ESA) с целью обеспечения Европы собственной независимой глобальной навигационной системой. Проект Галилео нельзя рассматривать изолированно, в отрыве от развития геострате гической обстановки и состояния военных потенциалов. Поэтому необходимо рассмо З треть...»

«АНАЛИЗ ПОДЗАКОННЫХ АКТОВ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН В ОБЛАСТИ ЛИЦЕНЗИРОВАНИЯ 20 июня 2008 г. Данный анализ опубликован благодаря помощи американского народа, предоставленной Агентством США по международному развитию (USAID). Анализ был подготовлен Нигиной Салибаевой, кандидатом юридических наук, доцентом кафедры международного права ТГНУ и Проектом USAID по улучшению бизнес среды. АНАЛИЗ ПОДЗАКОННЫХ АКТОВ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН В ОБЛАСТИ ЛИЦЕНЗИРОВАНИЯ ОГОВОРКА Мнение автора, высказанное в данной...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО Кемеровский технологический институт пищевой промышленности УТВЕРЖДАЮ Ректор института В.П. Юстратов _ 2008 Ип 02.00-06/08 Положение Работы выпускные квалификационные, проекты и работы курсовые. Правила оформления Кемерово 2008 Работы выпускные квалификационные, проекты Ип 02.00-06/08 и работы курсовые. Правила оформления Содержание 1 Цель.. 2 Область применения.. 3 Нормативные ссылки.. 4 Правила оформления пояснительной записки выпускной...»

«РУКОВОДСТВО ПО КАЧЕСТВУ СТП ДВГГУ 01–01–2008 ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ Страница 1 из 112 ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ: ректор ДВГГУ М. И. Костенко _200г. СТАНДАРТ ПРЕДПРИЯТИЯ РУКОВОДСТВО ПО КАЧЕСТВУ СИСТЕМА МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА РАЗРАБОТАН ответственным представителем по качеству ДВГГУ ПРИНЯТ И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ приказом ректора ДВГГУ № 255-0 от 29.10.2008 г. Вводится впервые Настоящее Руководство по качеству не может быть полностью или частично воспроизведено, тиражировано и...»

«МУРМАНСКАЯ ОБЛАСТНАЯ ДУМА ВЕДОМОСТИ Мурманской областной Думы № 86 Официальное издание Мурманск 2008 Редакционный совет: А.Д.Крупадеров (председатель совета), М.Н.Мельникова (заместитель председателя), А.А.Шальнева (секретарь совета), А.А.Пирогова Ведомости Мурманской областной Думы № 86 Официальное издание. Информационный бюллетень Ведомости Мурманской областной Думы издается в соответствии с Законом Мурманской области О порядке опубликования и вступления в силу нормативных правовых актов,...»

«СП 122.13330.2012 МИНИСТЕРСТВО РЕГИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СВОДПРАВИЛ СП 122.13330.2012 ТОННЕЛИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЕ И АВТОДОРОЖНЫЕ Актуализированная редакция СНиП 32-04-97 Издание официальное Москва 2012 СП 122.13330.2012 Предисловие Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. № 184-ФЗ О техническом регулировании, а правила разработки – постановлением Правительства Российской Федерации О порядке разработки и утверждения...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.