«Известия ТРТУ №7 Тематический выпуск АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОИЗВОДСТВА И ПОТРЕБЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ Таганрог 2004 Известия ТРТУ Тематический выпуск УДК 658.512.2.011.5 Известия ТРТУ. Тематический выпуск Актуальные ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Известия ТРТУ №7

Тематический выпуск

АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

ПРОИЗВОДСТВА

И ПОТРЕБЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ

Таганрог 2004 Известия ТРТУ Тематический выпуск УДК 658.512.2.011.5 Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии».- Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. №7(42).- 139 c.

В настоящее издание включены статьи, в которых рассматриваются актуальные вопросы производства и потребления электроэнергии, представлены теоретические и практические решения отдельных задач в области энергетики, а также исследования в области моделирования сложных систем, проектирования и создания автоматизированных систем управления, использования новых информационных технологий в энергетической области.

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

ЖУРНАЛА "ИЗВЕСТИЯ ТРТУ"

Захаревич В.Г. (главный редактор), Калякин А.И. (зам. главного редактора), Каркищенко А.Н. (зам. главного редактора), Моськин В.Н. (отв. секретарь редколлегии), Василовский В.В., Вишняков Ю.М., Иванов Г.И., Колесников А.А., Коноплев Б.Г., Курейчик В.М., Ланкин В.Е., Обуховец В.А., Поликарпов В.С., Румянцев К.Е., Сухинов А.И., Тимошенко В.И., Цатурова И.А.

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ НОМЕРА

Финаев В.И.. (г.Таганрог, ТРТУ, председатель), Крутчинский С.Г.

(г.Таганрог, ТРТУ, зам. председателя), Косенко Е.Ю. (г.Таганрог, ТРТУ, ученый секретарь), Данилевич Я.Б. (г.С-Петербург, РАН), Мисриханов М.Ш. (г.Москва, РАО «ЕЭС России»), Гуда А.Н. (г.Ростов-на-Дону, РГУПС), Панич А.Е. (г.Ростовна-Дону, СКНЦ ВШ), Гайдук А.Р. (г.Таганрог, ТРТУ), Лачин В.И.

(г.Новочеркасск, ЮРГТУ (НПИ)), Гочияев Б.Р. (г. Кисловодск, Кисловодский университет АООП РФ), Саракитян Г.А. (Карачаево-Черкесская республика, Зеленчукские ГЭС), Еделев Д.А. (г.Пятигорск, РАН).

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор Горелова Г.В. (I раздел);

доктор технических наук, профессор Ромм Я.Е. (II раздел);

доктор технических наук, профессор Прокопенко Н.Н. (III раздел);

доктор технических наук, профессор Карелин В.П. (IV раздел);

© Таганрогский государственный ISBN 5-8327-0155- радиотехнический университет, Предисловие

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современное развитие мировой энергетики связано с решением ряда относительно самостоятельных проблем. Во-первых, необходимо кардинально повысить безопасность функционирования существующих вырабатывающих станций и всего комплекса энергосетей. Существующие в настоящее время прямые и косвенные потери, экологические и социальные последствия даже локальных аварий и внеплановых отключений указывают на недостаточную комплексную теоретическую проработку этой проблемы, отсутствие достаточных технических средств управления и непрерывной диагностики. Во-вторых, многие из существующих и широко распространенных технологических процессов у потребителей являются энергозатратными, при их разработке не учитывался этот важный критерий, приобретающий в настоящее время социальное значение.

Наконец, и это самое главное, наряду с повышением эффективности использования традиционных источников необходимо осуществлять поиск нетрадиционных экологически чистых и возобновляемых первичных источников.

К последним в первую очередь необходимо отнести энергию движения рек, приливов и отливов, а также устойчивые ветровые потоки. Достаточно отметить, что виртуальная мощность этого экологически чистой энергии на одного человека составляет 1000 МВт, что на 4 порядка больше душевого потребления электроэнергии в постиндустриальных странах (странах "золотого миллиарда").

Однако существующие типы преобразования этих потоков в электрическую энергию связаны с использованием традиционных вращающихся импеллеров.

Именно они приводят к целому ряду технически нерешенных задач.

Для Российской Федерации (РФ) указанная проблема имеет ряд специфических особенностей. Отметим только ряд из них. Во-первых, размеры территории, недостаточная инфраструктура некоторых экономически привлекательных регионов предопределяет в перспективе необходимость создания локальных и технически надежных энергосистем. Например, районы крайнего Севера, развитие которых невозможно без дешевой электроэнергии имеют устойчивые и мощные потоки воздуха практически достаточные по данным ЦАГИ для выработки промышленных объемов электроэнергии. Во-вторых, густонаселенные регионы Северного Кавказа ощущают резкий дефицит энергии по причине отсутствия надежных ЛЭП, характеризуются большими запасами ветровой и гидравлической энергии. Однако в силу указанных выше причин применение преобразователей с традиционными импеллерами здесь невозможно.

Именно поэтому ряд регионов РФ формируют свои энергетические программы.

Наконец, и это в перспективе самое главное, учет проблем при внедрении в Западных странах такого класса энергетических установок создает практически уникальную возможность прорывных технических и технологических решений.

Отечественная концепция ветро- и гидроэнергетических установок базируется на новаторских предложениях академика РАН Красовского А.А., выдвинувшего технически реализуемый подход создания модульных установок с управляемым колебательных рабочим движением. Такие преобразователи энергии не содержат вращающихся импеллеров, способны осуществить преобразования относительно небольших мощностей воздушных гидравлических потоков и за счет модульности (сцепки) позволяют создавать агрегаты, рассчитанные на практически неограниченную энергоотдачу.

Реализация предложенной концепции предполагает создание нового поколения технических средств автоматического управления и диагностики, которые могут непосредственно использоваться для повышения качественных показателей существующих энерговырабатывающих объектов и комплексов.

Именно указанному комплексу проблем и посвящен настоящий сборник научных трудов.

Большинство работ, представленных в настоящем номере, имеют практическую направленность. Некоторые материалы носят дискуссионный характер. Ряд статей опубликован в сокращенном виде, что связано с ограниченностью объема сборника. С полными вариантами таких работ можно познакомиться на сайте ТРТУ, www.tsure.ru. Авторами работ являются ученые, аспиранты и специалисты вузов, научно-исследовательских институтов, конструкторских бюро и промышленных предприятий.

Сборник состоит из четырех тематических разделов.

Первый раздел составляют работы, связанные с математическими методами решения задач производства и потребления электроэнергии с целью оптимизации этих процессов, создания автоматических систем управления и технической диагностики.

Второй раздел посвящен вопросам моделирования сложных систем в энергетической отрасли.

В третьем разделе представлены работы, в которых предлагаются методы создания автоматизированных систем управления энергетическими объектами.

В четвертый раздел включены работы по новым информационным технологиям связанные с работой в Internet.

Сборник научных трудов рассчитан на широкий круг научных работников и инженеров, область интересов которых связана с актуальными проблемами использования современных методов производства и потребления электроэнергии.

Многие материалы будут полезны студентам старших курсов технических университетов и аспирантам соответствующего профиля.

Тематический выпуск «Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии» журнала «Известия ТРТУ» ежегодно издается в ТРТУ.

В подготовке выпуска непосредственное участие принимали сотрудники кафедры Систем Автоматического Управления ТРТУ.

Редакционная коллегия будет благодарна за отзывы и замечания, которые следует направлять по адресу: 347928, Таганрог, ГСП-17а, пер. Некрасовский, 44, ТРТУ, каф. Систем Автоматического Управления.

РАЗДЕЛ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ

ДУБЛИРОВАНИЕ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

ТЕЛЕСИГНАЛИЗАЦИИ В СИСТЕМАХ ДИСПЕТЧЕРСКОГО КОНТРОЛЯ

И УПРАВЛЕНИЯ РАБОТОЙ УСТРОЙСТВ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ НА

УЧАСТКАХ ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ

Одними из важнейших функций системы диспетчерского контроля и управления устройствами электроснабжения (ДКУЭ) являются повышение достоверности информации телесигнализации (ТС) и автоматическое определение нештатных ситуаций. Если учесть, что между сигналами ТС существует множество различных взаимосвязей, то в решении этих задач могут помочь методы логического контроля правильности работы устройств электроснабжения.

Рассмотрим путь информации ТС в системах ДКУЭ, который можно описать цепочкой, представленной на рис. 1.

ОК ЦК УВ КС АРМ

ОК – устройства электроснабжения или объекты контроля; ЦК – цепи контроля; УВ – устройства ввода информации ТС; КС – каналы связи; АРМ – автоматизированное рабочее место энергодиспетчера (АРМ ЭЧЦ).

Нештатными ситуациями в рамках рассматриваемой структуры могут быть:

неисправности ОК, обрыв или подпитка цепей контроля, неисправности устройств ввода информации ТС, искажение данных в каналах связи.

Существует множество методов определения нештатной ситуации для каждого звена приведенной цепи в отдельности. Однако очень мало алгоритмов, использующих взаимосвязи ОК. Таким образом, в настоящее время становится актуальной задача определения адекватности состояний ОК текущей ситуации по состоянию других ОК.

При дальнейшем рассмотрении, между ОК можно выделить три вида взаимосвязей:

1) Между некоторыми ОК есть явная, универсальная связь, выражаемая через простую известную функцию, при присутствии во множестве ОК всех аргументов;

2) Между некоторыми ОК есть явная связь, выражаемая через простую известную функцию, при отсутствии некоторых аргументов.

3) Между некоторыми ячейками есть неявная и/или не универсальная и/или сложная связь.

В первом случае задача определения адекватности состояния ОК решается традиционными методами математического программирования. Отсутствие разнообразных алгоритмов определения адекватности состояний ОК можно объяснить тем, что при внимательном изучении проблемы, оказывается, что взаимосвязей первого вида не так уж и много, хотя на первый взгляд кажется, что это не так.

Одним из выходов в этой ситуации может быть целенаправленное добавление ОК, для восполнения недостающих аргументов в формальном описании взаимосвязей. И в тех случаях, когда к контролю какого-либо ОК предъявляются особо высокие требования безопасности, это является единственно правильным решением.

Однако, в общем случае, во множестве ОК присутствуют не все аргументы для решения поставленной задачи. Следовательно, в этих случаях вывод о состоянии объекта по косвенным признакам может иметь только вероятностный характер. В связи с этим необходимо разделить задачи, решаемые в системе ДКУЭ, в зависимости от требований к точности входных данных (более точная – менее точная информация) и для каждой из них сформулировать критерии достаточной точности или, иначе говоря, достаточной степени вероятности.

Например, если при определении адекватности состояния объекта А по косвенным признакам имеет место некоторая вероятность неадекватности состояния текущей ситуации, логично послать дополнительный запрос о его состоянии и/или вывести предупреждение энергодиспетчеру, а при превышении некоторого порога вероятности - установить автоматический запрет технологических процессов с участием объекта А.

Существует множество задач, для решения которых достаточно вероятности нахождения ОК в каком-либо состоянии. Следовательно, можно сделать вывод о необходимости разработки методов определения вероятностных значений для поддержки принятия решений о состоянии ОК.

Взаимозависимости между состояниями ОК в принципе могут быть представлены в виде известных формальных моделей и выражены посредством соответствующих функций. Однако применение этих функций в практических приложениях, в большинстве случаев, является невозможным по ряду причин.

Отсутствие во множестве ОК большинства необходимых аргументов этих функций - только одна из них. Основные проблемы являются следствием практической реализации и последующего изменения структуры этих систем.

Разнообразие применяемых проектных и технических решений, отличие элементной базы от идеальной (реле, лампочки и т.д.), избыточность логических схем (в целях надежности и безопасности), их постоянное локальное изменение (на различных предприятиях или в подразделениях), появление новых, постоянно совершенствующихся устройств электроснабжения и, соответственно, изменение проектных и технических решений по их увязке с существующими устройствами – все это привело к тому, что каждый контролируемый пункт стал уникальной сложной системой. Следовательно, при выявлении взаимосвязей между ОК необходимо опираться не только на общие формальные модели, но и на конкретные реализации систем.

Важными требованиями к методам определения адекватности состояния ОК являются универсальность и адаптивность. Применение для решения этих задач только традиционных методов математического программирования приведет к значительному увеличению размера алгоритма и увеличению диапазонов различных параметров, что неизбежно скажется на его эффективности. Принимая во внимание большое количество ОК, очевидно, что действительно универсальный метод практически невозможно реализовать традиционными методами, без потери эффективности.

Решение поставленной задачи также усложняют сжатые сроки внедрения системы ДКУЭ, трудоемкость извлечения зависимостей ОК из принципиальных схем и их перевода в программный код.

К тому же необходимо учитывать, что в сложном технологическом процессе работы энергосистем существуют глубокие неявные взаимосвязи, которые нельзя выявить только традиционными методами. Поэтому становится актуальной разработка новых методов выявления неявных признаков и структурно-временных отношений между различными изменениями состояний ОК.

Выход в сложившейся ситуации заключается в разработке гибридного интеллектуального метода определения адекватного состояния ОК, основанного на различных алгоритмах обработки информации о состоянии ОК, который должен совмещать в себе точные аналитические методы, использующие технологии традиционного математического программирования и методы искусственного интеллекта, позволяющие в автоматическом режиме извлекать закономерности из поступающей информации ТС. К тому же, он должен быть максимально универсальным, обладать способностью к машинному обучению и адаптации к конкретным условиям.

ГРАДИЕНТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

ГЕНЕРАТОРА ПОСТОЯННОГО ТОКА

Разработан метод синтеза градиентного управления, которое позволяет обеспечить устойчивость в целом и требуемое быстродействие системы управления возбуждением электрического генератора. Управление строится на основе функции Ляпунова в виде квадратичной формы.

1. Постановка задачи синтеза. Построение управлений возбуждением электрических генераторов, – важная проблема современной энергетики. В работах Ю.П. Петрова и его учеников [2, 3] предложен синтез оптимального управления, построенного на основе принципа максимума и обеспечивающего наибольшую область устойчивости при наличии ограничений на величину напряжения возбуждения. Метод агрегированных макропеременных позволяет наиболее полно учесть особенности внутренней структуры генераторов как объектов управления. Синтез нелинейных стабилизирующих управлений на основе модифицированных уравнений синхронного генератора [4] позволяет учесть естественные ограничения, присущие реальным объектам, и синтезировать устойчивые «в большом» нелинейные системы управления. Однако эти методы не позволяют обеспечить требуемое быстродействие системы возбуждения генераторов. Предложенный в данной работе метод синтеза градиентного управления решает эту задачу на основе функций Ляпунова и в общем случае может быть использован для построения нелинейных систем различного назначения.

Очень часто система управления возбуждением электрического генератора состоит из линейной части и нелинейности f ( x ), и ее уравнения имеют вид где x – n -мерный вектор состояния, т.е. вектор отклонений от установившегося движения системы; A, b – матрица и вектор коэффициентов; u – искомое управление. Предположим, нелинейность f (x) удовлетворяет условию k ( x) – некоторая положительно определенная функция переменных где состояния, причем существует число eps, такое что eps f ( x ) x x > 0 ; матрица A является гурвицевой; вектор x доступен измерению и при u 0 система (1) неустойчива в большом.

Предположение об устойчивости матрицы A в (1) не является ограничительным, так как в противном случае при измеряемом векторе состояния и управляемой паре A, b устойчивость линейной части рассматриваемой системы всегда можно обеспечить, если выбрать управление u следующим образом:

u u л uг. Здесь uг – стабилизирующее управление, с помощью которого обеспечивается устойчивость и требуемые качества нелинейной системы, а u k т x – линейное управление, обеспечивающее при необходимости устойчивость матрицы A bk. Например, вектор k можно выбрать методом модального управления [1]. В дальнейшем будем считать, что матрица A устойчива, u л 0, u uг.

Для построения стабилизирующего управления u uг ( x ) возьмем функцию Ляпунова в виде квадратичной формы Здесь Р – матрица, являющаяся решением уравнения Ляпунова Так как по условию матрица A является гурвицевой, то P 0.

При этих условиях функция V( x ) 0, поэтому для обеспечения устойчивости системы (1) в соответствии с известной теоремой Ляпунова достаточно, чтобы функция Ляпунова (2) имела отрицательно определенную производную. Эти условия можно выполнить, если выбрать управление u uг ( x ) следующим образом:

где ( x ) – положительно определенная функция, подлежащая определению.

Управление (4) называется градиентным, так как величина 2x P является градиентом функции Ляпунова (2) в пространстве состояний системы (1).

Теорема. Если выполняется условие где ( x ) – некоторая положительно полуопределенная функция, то положение равновесия системы (1) асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Производная по времени функции (2) вдоль траекторий системы (1), (4) имеет вид Покажем, что следует Рассмотрим вначале случай x Pb 0. При этом, согласно (4), u 0 и из (6) получим получим Подставим сюда выражение для sign xт Pb f ( x ) k( x ) 0 при всех x 0. Следовательно, из (8) вытекает неравенство можно принять где – некоторая положительно полуопределенная функция. Тогда из (9) с учетом (9`) получим неравенство Таким образом, в условиях теоремы производная по времени положительно определенной функции (2) вдоль траекторий системы (1), (4) является отрицательно определенной функцией. Отсюда следует справедливость утверждения теоремы.

Неравенство (10) позволяет доказать вытекающее из теоремы Следствие. Пусть ( x ) const. Тогда в условиях теоремы положение равновесия системы (1), (4) является экспоненциально устойчивым в целом, причем c( x ), – некоторые положительные величины.

где Доказательство. Из свойств квадратичных форм и равенства (2) следует неравенство где – соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы P. Тогда Подставляя (13) в (10), получим С учетом (12) отсюда выводим Очевидно, что из (14) следует выражение (11) при При ( x ) const градиентное управление имеет вид Поэтому, выбирая соответствующее значение параметра градиентного управления, можно обеспечить требуемую скорость затухания нормы решения системы (1), (4). Воспользовавшись известным соотношением t ( 3 5 )Т, характеризующим время затухания экспоненты t* – желаемое время затухания переходного процесса в системе.

где Основная особенность закона управления (4) заключается в том, что u равно нулю при обращении в нуль функции x т Pb. В реальных управление условиях невозможно точно установить момент прохождения функции x Pb через нуль. Поэтому для практической реализации выбирается некоторая погрешность eps определения нулевого значения этой функции. При этом реальное градиентное управление типа (4) принимает вид Градиентное управление (17) легко реализуется с применением современных вычислительных средств при достаточно большом числе разрядов.

2. Система управления генератором постоянного тока. В качестве примера применения развитого в работе метода синтеза градиентных управлений построим систему стабилизации напряжения генератора постоянного тока при ненасыщенной магнитной цепи якоря, который описывается уравнениями [1]:

где w,w – коэффициенты пропорциональности между скоростью изменения магнитного потока и ЭДС самоиндукции, возникающих в якорной обмотке и обмотке возбуждения, ( I ), ( I ) – усредненные нелинейные функции, соответствующих токов, C – конструктивная постоянная генератора. Причем I I, где I – максимальное значение тока в обмотке возбуждения.

Пусть x, а x I. В качестве управляющего воздействия примем напряжение возбуждения, т.е. u U.

Усредненная зависимость магнитного потока Ф от тока возбуждения I является неоднозначной и имеет гистерезис, однако в первом приближении им обычно пренебрегают.

Ток в обмотке возбуждения I найдем как обратную нелинейную функцию потока возбуждения Тогда система (18) примет вид Если уравнения (19) записать в форме (1), то Численное моделирование системы (19) проводилось при следующих значениях параметров: R 1 Ом ; R 10 Ом ; R 1 Ом ; C 0.1 Ф ;

от тока возбуждения была принята, равной потока и тока возбуждения, параметр q определяется конструкцией генератора, в нашем случае q 1.2.

Градиентное управление для системы (19) будет иметь вид (17) при 0.1.

Зададим желаемое время регулирования в системе t 1 c, тогда, согласно (16), найдем 6.3. Примем 6.5. Функцию k( x ) найдем из выражения Тогда управление (17) для системы (19) примет вид Графики переходных процессов, полученные при моделировании системы, приведены на рис. 1.

Как видно из графиков переходных процессов, система является устойчивой, время регулирования в системе при различных начальных условиях не превышает Заключение. Предложенный в работе метод синтеза градиентного управления позволяет обеспечить желаемую скорость затухания переходных процессов в системе. При этом замкнутая система управления является асимптотически устойчивой в целом. Предложенное градиентное управление может быть использовано для построения нелинейных систем различного назначения.

В качестве примера реализации градиентного управления синтезирована и исследована система управления генератором постоянного тока.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А.Р. Гайдук. Математические основы систем автоматического управления. – М.: Фирма «Испо-Сервис», 2002.-152 с.

2. Абдуллаев Н.Д., Петров Ю.П. Области устойчивости синхронной машины// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1980. № 6. – С. 172–173.

3. Абдуллаев Н.Д., Петров Ю.П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. – Л.: Энергоатомиздат, 1985. – 240 с.

4. Беляев В.Е., Гайдук А.Р. Аналитический синтез управления электрическим синхронным генератором// Энергетика. 1991. № 7. – С. 54–57.

АДАПТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

(СИСТЕМЫ) ТИПА «ЧЕРНЫЙ ЯЩИК» МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ

КВАДРАТОВ

Разработаны алгоритмы адаптивной идентификации неизвестного динамического объекта в режиме реального времени. Разработана процедура синтеза параметров настройки цифровой адаптивной модели.

Общее описание. Как известно, при адаптивном управлении энергетическими системами часто возникает задача идентификации объектов типа «черный ящик» в процессе их функционирования. Под «черным ящиком»

понимается система (объект), структура и параметры которой неизвестны.

В статье рассматриваются вопросы реализации адаптивной модели такой системы в виде цифрового адаптивного трансверсального фильтра с перестраиваемыми параметрами 1.

На рис. 1 показана схема идентификации неизвестной динамической системы с одним входом и одним выходом 2. На вход системы и адаптивной модели подается один и тот же сигнал gk, выходной сигнал x k= dk+ sk, сигнал ошибки k= x k- yk.

Выражение для выходного сигнала адаптивной модели имеет вид где весовые коэффициенты в соответствии с методом наименьших квадратов определяются по рекуррентным формулам

Адаптивная модель настраивается таким образом, чтобы ее выходной сигнал соответствовал выходному сигналу неизвестной системы по критерию наилучшего среднеквадратического приближения.

Близкое, или полное приближение возможно тогда, когда адаптивная модель имеет достаточное число перестраиваемых коэффициентов. После адаптации структура и значения параметров адаптивной модели могут соответствовать или не соответствовать структуре и параметрам неизвестной системы, однако взаимосвязь между входным и выходным сигналами будет одна и та же. Обычно на практике идентифицируемая система является шумящей, т.е. обладает внутренним источником случайных возмущений. Шумовую составляющую выходного сигнала можно считать аддитивной случайной помехой. В общем случае эта помеха некоррелирована с выходным сигналом неизвестной системы. Поэтому при правильной настройке параметров адаптивного фильтра сигнал на его выходе полностью соответствует сигналу на выходе неизвестного объекта за исключением шумовой составляющей sk, то есть, yk dk, а k=xk-yk sk.

Это означает, что весовые коэффициенты фильтра в результате процесса адаптации сходятся к оптимальным значениям, не зависящим от шума неизвестной системы. При идентификации непрерывного объекта оптимальный вектор весовых коэффициентов определяется, главным образом, его переходной характеристикой и видом входного сигнала.

Адаптивная модель объекта типа «черный ящик» подразумевает использование в следующих случаях.

1. Оптимальные величины весовых коэффициентов, полученные после окончания процесса адаптации, используются для построения математической модели объекта в виде дискретной передаточной функции По этой модели можно синтезировать дискретный регулятор для системы управления, работающей в режиме малых отклонений.

2. Адаптивная модель объекта функционирует в системе управления в режиме реального времени и обеспечивает необходимую информацию для перестройки параметров адаптивного регулятора.

3. Оператор-диспетчер отключает процесс адаптации, и тогда система управления работает с постоянными весовыми коэффициентами передаточной функции (3).

Синтез параметров настройки адаптивной модели. Параметрами настройки адаптивной модели, как и всех адаптивных линейных фильтров, являются длина фильтра L+1 и параметр сходимости алгоритма адаптации.

Методика выбора этих параметров в литературе не описана.

Хотя при идентификации объектов типа «черный ящик» обычно не имеется информации ни о характере и мощности входных сигналов, ни о структуре и параметрах объекта, все-таки для выбора параметров адаптивного фильтра желательно иметь некоторые априорные сведения о динамике объекта.

Анализ показал, что во многих практических случаях для устойчивого непрерывного объекта достаточно иметь информацию о времени установления его переходной характеристики, так как время адаптации модели связано со временем установления соотношением апериодических, так и для сильно колебательных процессов.

Из сказанного вытекает следующая процедура выбора параметров при известном значении tуст.

Задается интервал квантования сигналов по времени Т0.

Задается допустимое время процесса адаптации Задается желаемая точность идентификации с помощью допустимого относительного среднего значения СКО 0М1 (обычно М=0.05 - 0.1).

Определяется число итераций адаптивного процесса Определяется число весовых коэффициентов адаптивной модели Находится параметр сходимости алгоритма адаптации Если в формуле (6) не известно значение мощности входного сигнала P E [ g2 ], следует при расчетах использовать ее максимально допустимое значение, которое обычно задается условиями технической реализации адаптивной модели.

Из выражений (5) и (6) видно, что параметры L+1 и зависят от величины Tско и могут выбираться независимо друг от друга. Выбор значений Tско и M определяется конкретными требованиями к модели.

При идентификации в режиме реального времени для повышения точности адаптации можно использовать дополнительный канал автоматического расчета параметра (на рис.1 этот канал показан пунктирной линией). В этом случае текущее значение вычисляется программой на каждом шаге по формуле где величина E[g k] вычисляется с помощью блоков КВ (возведение в квадрат) и АС (адаптивное сглаживание) 3.

Результаты моделирования. На рис. 25 приведены графики адаптивных процессов, иллюстрирующие два режима работы адаптивной модели при различных значениях относительного среднего значения СКО –с перестраиваемыми весовыми коэффициентами и с постоянными значениями коэффициентов, которые устанавливаются после окончания процесса адаптации.

Здесь входной сигнал gk=1(t), откуда E[gk ] =1; T0=0.03c, tуст=12c.

Помеха на выходе идентифицируемого объекта представляет собой белый шум мощности E[sk ]=0.003. Время адаптации принято равным Tаtуст, откуда Tско=400.

На рис. 2 3 M=0.05; L+1=20; =0.0025.

На рис. 4 5 M=0.2; L+1=80; =0.0025.

Заключение. Анализ приведенных на рис. 25 графиков позволяет сделать следующие выводы:

Величина СКО адаптивной модели приблизительно равна сумме СКО переходного процесса и СКО установившегося режима.

При отсутствии помехи ошибка установившегося режима стремится к нулю при всех значениях М 1.

При наличии аддитивной помехи на выходе неизвестного объекта при достаточно малых значениях М шумовая составляющая сигнала на выходе модели может быть полностью подавлена, то есть среднеквадратическая ошибка системы в установившемся режиме приблизительно равна мощности помехи на выходе объекта.

Чем больше величина М, тем меньше СКО переходного процесса.

Для повышения точности идентификации объектов в переходных процессах нужно увеличивать М или уменьшать Тско. Ориентировочно в таких случаях можно задавать величины М0,1 0,3;

Тско (0.1-0.3)tуст / Т0. Однако следует учитывать, что при этом увеличивается шумовая составляющая сигнала на выходе адаптивной модели.

Использование модели с постоянными весовыми коэффициентами целесообразно только в установившихся режимах работы объекта либо при медленно меняющихся входных воздействиях, так как при скачкообразных сигналах составляющая ошибки переходного процесса слишком велика.

Большое количество экспериментов показало, что эти выводы носят достаточно общий характер и справедливы для систем идентификации широкого класса объектов при стационарных случайных и детерминированных входных воздействиях произвольного вида.

Рис.2. Адаптивная модель с переменными коэффициентами:

Рис.3. Адаптивная модель с постоянными коэффициентами:

Рис. 4. Адаптивная модель с переменными коэффициентами:

абез помехи на выходе объекта; бс помехой Рис. 5. Адаптивная модель с постоянными коэффициентами:

абез помехи на выходе объекта; бс помехой

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Б. Уидроу, С. Стирнс, Адаптивная обработка сигналов/ Пер. с англ. - М.:

Радио и связь, 1989.

2. И.В. Гудков. Адаптивный алгоритм идентификации динамического объекта типа "черный ящик". Тезисы доклада на Всероссийской СНК с Международным участием «Xi Туполевские чтения студентов», Казань, 2003г.

3. Н.В. Гудкова, В.И. Гудков, И.В.Гудков. «Программируемый адаптивный регулятор уровня дискретных сигналов». В сб. «Проблемы современной аналоговой микросхемотехники». Международный научнопрактический семинар, Шахты, 2003г.

РАДИАЦИОННО-СТОЙКИЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ ДЛЯ

ДИАГНОСТИЧЕСКИХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

Создание радиационно-стойкой радиоэлектронной аппаратуры, ориентированной на решение современных задач диагностики и автоматического управления объектов АЭС и космических аппаратов связано с построением целого класса специальных узлов различного функционального назначения и уровня интеграции. Применение для этих целей СБИС типа «Система на кристалле» в настоящее время вряд ли оправдано в силу низкой их радиационной стойкости.

Более рационально создание устройств сбора и предварительного преобразования исходной информации на базе ИС среднего уровня интеграции, эффективно используя при этом простейшую микронную технологию, которая при определенной геометрии полупроводниковых компонентов позволяет создавать устройства с высокой (до 1 Мрад) радиационной стойкостью [1].

Однако в этом случае подходы к построению широкодиапазонных аналоговых устройств, с учетом того, что возможности современной аналоговой микросхемотехники направлены на расширение диапазона рабочих частот и скорости нарастания выходного напряжения [2], не позволяют обеспечить низкий дрейф нуля, который бы соответствовал уровню, характерному для нерадиационно-стойких элементов. В связи с этим создание высококачественных измерительных (инструментальных) усилителей, являющихся неотъемлемой частью датчиков и аналоговых интерфейсов, приобретает важное практическое значение.

На рис. 1 приведена принципиальная схема стандартного, ставшего классическим инструментального усилителя.

Высокий коэффициент ослабления синфазного сигнала и низкий дрейф нуля (ЭДС смещения, Uсм), независящий от реализуемого дифференциального коэффициента усиление (Кд), обеспечиваются за счет идентичности ОУ1 и ОУ2 и высокой относительной точности параметров резисторов.

Рис. 1. Классический инструментальный усилитель где е3 – приведенное к входу ЭДС смещения ОУ3.

Если учесть влияние неидентичности элементов схемы, то R / R – относительного изменение i-го резистора;

где ei – абсолютное приращение приведенного ко входу ЭДС смещения i-го ОУ.

В приведенных соотношениях приняты идентичными ОУ1 и ОУ2, т.е. е1= е2= е. Таким образом, R – технологическая точность изготовления резисторов;

где R, e – температурные коэффициент сопротивления резисторов и ЭДС смещения ОУ;

t – диапазон рабочих температур схемы. Отметим, что граничная частота, т.е. полоса пропускания (уровень 3 дБ) измерительного усилителя определяется по формуле где f1 – частота единичного усиления операционных усилителей схемы.

Теоретически напряжение смещения, определяемое соотношением (2), можно скомпенсировать специальной настройкой цепей балансировки ОУ3. Однако при этом усложняется не только технологический процесс, но также, увеличивается число прецизионных резисторов схемы [1] и, что особенно важно, не уменьшается величина, определяемая влиянием температуры окружающей среды (7) и уровнем радиации.

Теоретические принципы собственной и взаимной компенсации [3], их конкретизация для схемотехники электронных усилителей [4] позволяют существенно уменьшить влияние указанных факторов на дрейф нуля рассматриваемого класса устройств. Как показано в [4], при реализации требуемых локальных коэффициентов передачи отдельных узлов безынерционных устройств уменьшение влияния ЭДС смещения нуля на суммарный дрейф схемы возможно только за счет взаимной компенсации влияния аналогичных параметров на результирующие характеристики. На рис.2. приведена принципиальная схема инструментального усилителя, обладающего указанными свойствами.

Здесь при условии, что R1=R2=R3=R4=R6=R7=R9=R10=R11=R, R5=R8=2R дифференциальный коэффициент усиления и дрейф нуля при аналогичных условиях определяются из следующих соотношений:

где e3 и е4 – приведенные ко входам ЭДС смещения ОУ3 и ОУ4.

Аналогично В соотношении (11) ЭДС смещения всех ОУ считается одинаковым. Таким образом, основные качественные показатели предложенной схемы определяются из следующих уравнений Следовательно, в приведенной принципиальной схеме измерительного усилителя дрейф нуля определяется разностью приведенных к входу ЭДС смещения всех ОУ. Что существенно уменьшает статическую погрешность датчиков и аналоговых интерфейсов, включая и случай, связанный с воздействием дестабилизирующих факторов. Увеличение влияния резистивных элементов схемы (соотношения (13), (14) и (6)) практически незначительно и, как показывают расчеты, не изменяется при любом коэффициенте усиления. Не менее важным является и расширение диапазона рабочих частот, что в ряде случаев может быть использовано для улучшения других качественных показателей проектируемых устройств.

Результаты моделирования рассмотренных схем измерительных усилителей при использовании счетверенного программируемого радиационно-стойкого ОУ-П [1] (e=1,9мВ, e=6,5 мкВ/0C), резисторов класса точности 0,1% с учетом изменения температуры окружающей среды температуре окружающей среды в диапазоне от – 40 0С до +80 0С приведены в таблице 1. Моделирование проводилось с использованием пакета прикладных программ DesignLab 8.1 (PSpise).

Примечания: KC – коэффициент ослабления синфазного сигнала;

UСМ – выходное напряжение смещения нуля.

Отметим, что на базе указанного радиационностойкого ОУ можно построить и другие высококачественные аналоговые устройства. Настоящие результаты хорошо согласуются с расчетными соотношениями (1)-(8) и (9)–(16) и вполне сопоставимы с лучшими образцами зарубежных экономичных инструментальных усилителей, не обладающих указанной выше радиационной стойкостью (табл. 2) ОУ-П [1] Примечание. Скорость нарастания выходного напряжения V определялось при погрешности 0,01%, Uсм в диапазоне температур от –40 0С до +80 0С.

Собственный шум схем в указанных полосах пропускания как в первом, так и во втором случаях значительно меньше Uсм и поэтому не влияет на результирующую погрешность преобразования. I0 – ток потребления при Eп= 5 В.

Полученные результаты показывают эффективность решения задачи построения радиационно-стойких аналоговых ИС путем сочетания технологических возможностей изменения геометрии полупроводниковых компонентов [1] и достижений микросхемотехники, направленных на минимизацию влияния, возникающих при этом погрешностей на характеристики и параметры функциональных устройств.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каталог разработок Российско-Белорусского центра аналоговой микросхемотехники/ Под ред. Крутчинский С.Г., Чибизов Д.Г. и др. - Шахты 2. Прокопенко Н.Н. Нелинейная активная коррекция в прецизионных налоговых микросхемах.- Ростов-на-Дону: СКНЦ ВШ,2000.–224с.

3. Крутчинский С.Г. Структурный синтез аналоговых электронных схем.

Ростов-на-Дону: СКНЦ ВШ. 2001 г.

4. Крутчинский С.Г. Структурный синтез прецизионных электронных усилителей сборник трудов Международной НПС «Проблемы современной аналоговой микросхемотехники».- Шахты, 2001.- с 3–20 с

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

При управлении энергетическим объектом (парогенератором, энергоблоком тепловой электростанции и т. п.) возникают задачи оптимизации функционирования объекта. При этом работа энергетического объекта в оптимальном режиме дает значительный экономический эффект. Для решения этих задач могут быть использованы системы автоматической оптимизации (САО), которые в процессе функционирования находят и поддерживают оптимальные параметры функционирования энергетического объекта. [1] При проектировании системы редко располагают достаточно полной априорной информацией об энергетическом объекте и его среде, что значительно уменьшает эффективность системы управления.

Известен класс нечетких систем управления [2], которые для своего функционирования не требуют полной информации об объекте управления и могут функционировать в условиях неопределенности. Существует возможность применения методов теории нечеткой логики для улучшения адаптивных свойств систем экстремального управления и расширения области применения подобного типа систем.

При построении САО энергетического объекта возникает ряд препятствий.

Во-первых, это значительная инерционность объекта управления. Во-вторых, это большая погрешность при расчете величины характеристики энергетического объекта, в качестве которой в большинстве случаев используется коэффициент полезного действия (КПД). Кроме того, энергетический объект функционирует в условиях внешних возмущений (изменение нагрузки, качества топлива и т.п.), снижающих эффективность его функционирования.

Для решения задачи оптимизации функционирования энергетического объекта может быть построена САО с нечеткой последовательной процедурой принятия решений [3].

Рассмотрим построение системы автоматической оптимизации инерционного объекта управления (ОУ). Примем, что на выходе ОУ действует аддитивная помеха (t) с характеристиками Пусть в моменты времени t = t0 + it, i=1,2,… производятся измерения характеристики объекта yik=y(xi, ti), где xi – значение управляющего параметра в момент времени t = ti, k =0,1,… – номер шага оптимизации. При отсутствии инерционности y(xi, ti) f(xi), где f(x) – статическая экстремальная характеристика ОУ. Для компенсации инерционности ОУ может быть использован метод, предложенный В.В.Казакевичем [4], предусматривающий использование динамической модели ОУ для коррекции САО.

Модель объекта представим дифференциальным уравнением второго порядка где T1, T2 – постоянные времени инерционного ОУ.

Зафиксируем момент времени начала k-го шага оптимизации t = t0k. В момент времени t = t0k значение управляющего воздействия x = x0 изменяется на величину рабочего шага xk. При этом правая часть (2) принимает значение f(x0 + xk) = a1 и остается постоянной в течение k-го шага оптимизации.

Решение уравнения (2) при начальных условиях y(0) = y0; y’(0) = a2 запишем в виде Для определения постоянных a1, a2, y0 применим метод наименьших квадратов [4]. Пусть где B1i=B1(ti), B2i=B2(ti), yik=y(ti), i=1,2,…,N, N – число измерений характеристики объекта. Значения постоянных a1, a2, y0, минимизирующие величину E 2 можно определить из системы уравнений:

Недостатком метода, предложенного В.В.Казакевичем, является необходимость проведения жестко заданного числа измерений N, независимо от статистических характеристик погрешностей измерений и внешних возмущений. С другой стороны, при условиях (1), метод наименьших квадратов дает оценки, обладающие ограниченной дисперсией [4], что позволяет использовать методы последовательного анализа А.Вальда [5].

Пусть на k-1 шаге оптимизации было получено значение характеристики f(xk1) по рассмотренному алгоритму. Будем проводить измерения значения характеристики ОУ группами по r измерений. Каждая группа измерений является отдельным экспериментом. После завершения каждой группы измерений будем определять оценку f(xk)=a1 по всем N измерениям. Результатом эксперимента будет случайная величина z, принимающая значения Допустим, что вероятность появления zi=1 постоянна, равна p и зависит от положения рабочей точки и вида характеристики. Тогда распределение величины z будет биномиальным с параметром p, значение которого неизвестно [2,3].

Пусть произведено n испытаний, m из которых дали результат zi = 1, для чего потребовалось N = nr измерений характеристики объекта. Рассмотрим две альтернативные гипотезы H1 и H0. Величина z имеет биномиальное распределение с параметром p1 и p0 соответственно; p1 > p0. Поскольку нам необходимо определить положение рабочей точки на правой или на левой ветви характеристики, выбираются значения параметров p1 > 0.5 (рабочая точка на левой ветви) и p0 < 0.5 (рабочая точка на правой ветви).

Для проверки гипотез применим последовательную процедуру А.Вальда. В этом случае правило принятия решения имеет вид [2,3] где - вероятность ошибки первого рода (отклоняется истинная гипотеза H0); вероятность ошибки второго рода (принимается гипотеза H0, тогда как истинной является H1).

Параметры p0, p1 являются четкими величинами, выбор которых зависит от априорных сведений относительно вида характеристики и случайных возмущений.

В случае инерционного ОУ и наличия неконтролируемых внешних возмущений точно определить значения этих параметров не представляется возможным.

Целесообразно использовать нечеткие оценки параметров САО [2], позволяющие уточнять значения параметров в процессе функционирования САО.

Рассмотрим нечеткие гипотезы где p1, p0 имеют функции принадлежности вида [2] i=1, 2; - некоторый параметр, характеризующий расплывчатость априорной информации. Если pi известно точно, то функция принадлежности имеет вид i(p) = {1, p = pi; 0, p pi}. Если задать значение = *, то можно определить значения pi, pi из (10) и рассмотреть совокупность из девяти четких гипотез, образованных парами (p1,p2 ), i,j=0,1,2. Уравнения порогов (0 ) ( 8 ) и используются в (7) при принятии решения. Нечеткая max( L,...,L САО при < 1 обладает более «осторожным» поведением, с меньшим (в среднем) требуемым числом испытаний на каждом шаге оптимизации.

Для определения коэффициентов нечеткой модели целесообразно использовать экспертные оценки параметров с последующей проверкой на имитационной модели САО. [6] Рассмотрим пример построения САО инерционным объектом энергетики. В качестве объекта управления возьмем модель котлоагрегата ТГМ-9 [4]. В качестве экстремальной характеристики объекта выступает зависимость КПД котлоагрегата k от коэффициента избытка воздуха в. Для целей моделирования эта зависимость может быть аппроксимирована отрезками парабол:

Модель объекта управления по каналу в может быть представлена последовательным соединением нелинейного преобразователя k(в) и двух инерционных звеньев первого порядка:

Постоянные времени T1=255 с. T2 = 110 с.

Модель САО была реализована в системе имитационного моделирования САО [6]. При этом параметры САО были выбраны следующим образом:

p1 = 0.65, p0 = 0.35, 1 = 0 = 0.05, =0.05, =0.01, величина рабочего шага a = 0.05. Случайные возмущения распределены по нормальному закону N(0,), =0.05. Интервал между измерениями =1с. Параметры алгоритма компенсации T1 и T2 совпадают с параметрами модели объекта, r = 20.

Результаты моделирования показали, что при этих условиях система устойчиво выходит на экстремум за 25 – 30 мин. Это время может быть сокращено при уменьшении параметра или выборе соответствующих точных значений коэффициентов. Однако качество процессов в САО при высоком уровне шума и значениях параметров p1 > 0.8, p0 < 0.2 значительно ухудшается.

В табл. 1 приведены результаты экспериментов при различных значениях p1 и p0. Время моделирования T = 100000 с. Начальное значение в(t=0)=1.50. При указанных условиях p1 = 0.7, p0 = 0.3 будут оптимальными значениями по качеству/быстродействию САО.

R – потери на рыскание, определяемые по формуле [7]:

Т – время достижения экстремума.

Дальнейшие исследования позволили установить, что:

1) Рассмотренная процедура коррекции не требует точного соответствия параметров алгоритма параметрам модели, допуская отклонение до 10% от истинной величины параметра.

2) Адаптивная САО может успешно функционировать при очень большом уровне шума (в примере – при =1.0 и более).

Проведенные исследования свидетельствуют о возможности создания САО с последовательной процедурой, успешно функционирующей в условиях сильных помех при наличии существенной инерционности ОУ и возможности изменения режима работы объекта.

Практическая полезность проведенных исследований состоит в том, что разработанные алгоритмы САО могут быть использованы при управлении реальными объектами энергетики. При этом для исследования характеристик и выбора параметров алгоритмов может быть использован метод имитационного моделирования САО, реализованный в системе [6].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самонастраивающиеся системы. Справочник. / Под ред. П.И.Чинаева. Киев: Наукова думка, 1969.

2. Методы робастного нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под ред.

Н.Д.Егупова. - М.: Изд -во. МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002.

3. Молчанов А.Ю. Финаев В.И. Адаптивная система автоматической оптимизации с нечеткими процедурами / Материалы конференции С- Системный подход в науках о природе, человеке и технике. Ч. 5.-Таганрог:

ТРТУ, 2003.

4. Казакевич В.В., Родов А.Б. Системы автоматической оптимизации.

-М.:Энергия, 1977, 288 с.

5. Вальд А. Последовательный анализ.- М.:ГИФМЛ, 1960.

6. Финаев В.И., Молчанов А.Ю. Метод моделирования самонастраивающихся систем управления / Известия ТРТУ. Специальный выпуск. Таганрог: ТРТУ, 2004, №1.

7. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974.

БЛОЧНОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИ

РАСЧЁТАХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ И СИСТЕМ

Введение. Во многих проектных задачах часто необходимо находить ряд решений, отличающихся друг от друга небольшими изменениями проектных данных. В эксплуатационных задачах энергетических систем, например, конфигурация в сети на заданный период времени считается неизменной, если не считать ремонтного или аварийного отключения линий. Для обеспечения надежности системы необходимо убедиться, что при отключении одной или более линий в исходной схеме электрической сети не произойдет перегрузки оставшихся в работе линий. Эта и подобные ей задачи требуют получения нескольких решений при небольших изменениях в исходной сети.

Особенно часто такие задачи возникают при оперативном управлении электрической сети.

В этих случаях результаты можно получить путем последовательного изменения матрицы коэффициентов исходной системы уравнений и ее решения с помощью известных стандартных алгоритмов [1 11]. Однако такой подход требует больших затрат времени на вычисления.

Если каждый новый вариант отличается от предыдущего изменением небольшого количества параметров сети, то можно использовать другой подход, основанный на так называемым методе канонизации решения алгебраических уравнений.

В работе [12] предложен оригинальный метод решения произвольных матричных уравнений, основанный на приведении преобразуемой матрицы к каноническим базисам [13]. Этот метод, с одной стороны, отличается от известных методов (псевдообращения, обобщенного обращения, спектрального разложения и т.д.) существенной простотой, а с другой стороны, позволяет значительно углубиться в исследование свойств матриц как таковых и решения матричных уравнений в общем виде.

Данная работа посвящена дальнейшему развитию метода канонизации в отношении блочных матриц, к которым неприменимы известные формулы Фробениуса и Шура [14], и применению его к решению электроэнергетических задач.

1. Основные положения метода канонизации. Канонизацией матриц названо представление любой матрицы A размера m n и ранга r в виде не обязательно единственной тройки матриц:

где и – левый и правый делители нуля максимального ранга для исходной матрицы, A – сводный канонизатор этой матрицы, вычисляемый как произведение правого и левого ее канонизаторов по формуле:

По определению делители нуля максимального ранга и канонизаторы вместе удовлетворяют следующему тождеству в блочной записи:

В [12] изложен эффективный способ одновременного формирования делителей нуля и канонизаторов. В соответствии с этим способом матрица A дополняется двумя единичными матрицами слева и снизу, так что получается конструкция типа планшета:

Затем выполняются элементарные преобразования строк и столбцов матрицы A с одновременным преобразованием входящих в конструкцию единичных матриц.

Цель такого преобразования – привести матрицу A к каноническим базисам:

Тогда блоки первоначально единичных матриц напротив (по строкам или столбцам) нулевых блоков правой верхней матрицы будут содержать делители канонизаторы A и A.

В частных случаях отсутствия у матрицы одного из делителей нуля (мы будем приравнивать такой делитель нулю, хотя, строго говоря, соответствующий блок содержит нулевое число строк или столбцов [15]) сводный канонизатор принимает значение одностороннего делителя единицы, т.е.

Принципиальным является то, что канонизация матриц путем повторного ее выполнения позволяет придать процедурам и результатам решения матричных уравнений аналитический характер. Ниже в табличной форме приведены условия разрешимости и формульное представление решений некоторых широко распространенных матричных уравнений.

Условия разрешимости и формульное представление решений уравнений Левостороннее Правостороннее Обертывающее Здесь буквами, и обозначены матрицы подходящих размеров с произвольными элементами, фигурными скобками выделены множества эквивалентных решений, все элементы которых порождаются варьированием указанных в нижнем индексе матриц.

2. Обращение блочной матрицы. Рассмотрим обратимую квадратную матрицу A размера n n, которую произвольным образом разобьем на два блока строчного вида (в каждом блоке число строк меньше числа столбцов):

Пусть для определенности первый блок содержит k строк, Поскольку все строки обратимой матрицы A линейно независимы, то при любом ее разбиении на блоки имеют место тождества:

Относительно же правых делителей нуля этих блоков сформулируем лемму.

Лемма. Если матрица A обратима, то при произвольном ее разбиении на т.е. справедливы неравенства:

Доказательство леммы. Матрица составленная из односторонних канонизатора и делителя нуля максимального ранга, всегда обратима как матрица преобразования базиса по типу (3) в n–мерном пространстве.

Умножим матрицу A (7) справа на матрицу (10), в результате чего получим:

делителя нуля, а возникновение единичного блока связано с объяснением (6) случая отсутствия у блока В силу обратимости сомножителей матрица (11) тоже обратима. Вычисляя определитель этой матрицы, получаем что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается второе неравенство (9). Доказательство леммы закончено.

Теперь сформулируем основной результат по обращению блочных матриц.

Теорема. Если обратимая матрица A разбита произвольным образом на блоки в соответствии с формулой то ее обратная матрица имеет блочную структуру где каждый из блоков независимо определяется любой из следующих формул:

на основе канонизации первого блока исходной матрицы:

на основе канонизации второго блока исходной матрицы:

Доказательство теоремы. По определению, обратной для невырожденной матрицы A является матрица Z, удовлетворяющая тождеству:

Доказательство будем осуществлять путем формирования решения уравнения (17) относительно матрицы.

Будем полагать, что обратная матрица разбита на столбцовые блоки (в каждом блоке число столбцов меньше числа строк):

размеры которых согласованы с размерами блоков матрицы A, т.е. первый блок содержит k столбцов.

Подстановка (7) и (18) в тождество (17) дает в блочной записи тождество или систему из четырех матричных тождеств:

Первое тождество (20) будем рассматривать как левостороннее уравнение линейно независимы, то в соответствии с таблицей это уравнение разрешимо всегда, а все множество его решений с учетом соотношений (6) определяется формулой Подстановка этого решения в третье тождество (20) и соответствующая перестановка слагаемых дают всегда разрешимое (в силу утверждения леммы) левостороннее уравнение относительно матрицы, единственное решение которого определяется формулой Подставив (23) в решение (21), получим одну из возможных формул для первого блока обратной матрицы использующую результаты канонизации первого блока матрицы A.

Теперь рассмотрим третье тождество (20) как левостороннее уравнение относительно матричного блока На основании линейной независимости строк A2 это уравнение тоже разрешимо всегда, а его решение имеет вид матричного блока Подставим решение (25) в первое тождество (20), в результате получим уравнение для матрицы. В силу утверждения доказанной леммы это уравнение всегда разрешимо, и его единственное решение имеет значение Подставив (27) в решение (25), получим другую возможную формулу для первого блока обратной матрицы:

использующую результаты канонизации второго блока матрицы A.

Аналогично получаются две формулы для второго блока обратной матрицы Z.

Доказательство теоремы закончено.

Таким образом, комбинируя записи (13) (16), можно получить четыре различные равносильные формулы для обратной матрицы.

A2R, матрицы (13) (16) всегда оказываются единственными. Покажем это на формуле (13). Все множество правых делителей нуля максимального ранга порождается формулой Подстановкой (29) в (13) можно убедиться в том, что результат вычислений не зависит от выбора произвольной обратимой матрицы. Множество же правых делителей единицы порождается формулой Подстановка (30) в формулу (13) дает результат:

который очевидным образом независимо от значения матрицы приводится к виду (13).

Аналогичный с учетом симметрии результат может быть сформулирован для случая разбиения обратимой матрицы A на столбцовые блоки.

3. Рекурсивное решение матричных уравнений. Решение уравнения с обратимой матрицей A всегда существует единственно и выражается формулой представлены в блочном виде:

где первые блоки для определенности содержат по k строк.

Осуществим последовательное решение двух уравнений, вытекающих из (32), (33). Возьмем левостороннее уравнение:

которое в соответствии с таблицей и линейной независимостью строк матрицы всегда разрешимо. Для решения такого уравнения справедлива формула с произвольной матрицей размера должно удовлетворять другому уравнению:

вытекающему из (32) и (33). Соответствующая подстановка дает равенство которое приводится к записи левостороннего уравнения:

относительно матрицы.

Итак, если найдется матрица, удовлетворяющая уравнению (38), то с учетом значения этой матрицы формула (36) будет давать решение исходного уравнения (31).

С учетом леммы можно утверждать, что уравнение (38) разрешимо всегда, а формула решения уравнения (31) имеет вид Подставляя (39) в формулу (36), получим окончательную формулу для решения уравнения (31):

4. Объединение решений двух уравнений. Другой путь получения аналогичных формул связан с объединением (определением пересечения) решений уравнений (35) и (37). Каждое из этих уравнений всегда разрешимо, а множества их решений определяются формулами:

Для определения пересечения этих решений приравняем их. В результате получим равенство которое можно записать в виде левостороннего блочного уравнения:

для матриц и. Умножая это уравнение слева на обратимую матрицу A, приводим его к виду откуда с учетом леммы и тождеств (6) следуют значения произвольных матриц:

соответствующих пересечению решений (23).

Подстановка матриц и из (43) в формулы (41) с учетом утверждения леммы дает формулы решения блочного уравнения (34).

5. Решение уравнений общего вида. Теперь перейдем к более сложному случаю необратимой матрицы A. Тогда в соответствии с таблицей уравнение (31) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняется условие:

При этом исчерпывающее решение записывается формулой заменяющей (32), где – произвольная матрица подходящего размера.

В этом случае для разрешимости уравнения (35) и справедливости формулы (36) необходимо и достаточно выполнения условия:

В свою очередь разрешимость уравнения (39) по таблице связана с выполнением условия:

Если же и это условие выполняется, то можно записать формулу для всех значений матрицы, при которых решение (36) одновременно удовлетворяет уравнениям (41).

Само же решение в соответствии с таблицей записывается в виде Аналогичные с учетом симметрии формулы могут быть получены для случая разбиения необратимой матрицы на столбцовые блоки.

6. Примеры. Пример 1. Решение балансового уравнения. Рассмотрим простой пример. Пусть задано матричное уравнение баланса ЭЭС с блочным разбиением по строкам:

Решение этого уравнения по формуле (32) имеет значение Осуществляя канонизацию первого блока матрицы коэффициентов, получим значения:

Можно убедиться в справедливости утверждения леммы:

Теперь воспользуемся формулами (13) – (14) для обращения матрицы A:

в результате чего получаем то же самое решение:

Выполняя аналогичные вычисления, можно убедиться, что выбор другого очевидного значения канонизатора для первой строки матрицы A не изменяет значения получаемого решения уравнения.

Пример 2. Рекурсивное решение балансового уравнения. На основе формул решения уравнения общего вида можно построить следующую процедуру решения матричного уравнения. Первые блоки (строки) матриц исходного уравнения из примера 1 будем рассматривать в качестве уравнения:

которое всегда разрешимо, и его решение определяется формулой:

При этом уравнение (38) принимает вид:

Как видно, размерность этого уравнения по сравнению с исходной задачей снижена на единицу. Путем обращения матрицы получим требуемое значение матрицы :

а затем и собственно решение:

Это уравнение тоже всегда разрешимо, и множество его решений имеет вид:

По аналогии с предыдущим шагом можно получить условие на скаляр :

откуда следует значение 1/ 5. Последовательная подстановка дает то же самое решение исходного уравнения.

Пример 3. Решение вырожденного уравнения. Рассмотрим матричное уравнение:

у которого в отличие от примера 1 матрица коэффициентов вырождена. Уравнение:

составленное из первых строк исходного уравнения, разрешимо всегда, а его множество решений имеет вид Теперь проверим выполнение условия (47):

Следовательно, исходное уравнение разрешимо. Произвольные элементы формулы (48) принимают значения:

а собственно все множество решений выражается формулой:

с произвольным элементом. Подстановкой можно убедиться в том, что это действительно решение исходного уравнения.

Заключение. В работе представлены различные приложения оригинального метода блочного решения произвольных матричных уравнений, возникающих в электроэнергетике. Его основанием являются эквивалентные преобразования преобразуемой матрицы к каноническим базисам.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валях Е. Последовательно–параллельные вычисления. – М.: Мир, 1985.

2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. – М.: Высш. шк., 1994.

3. Загускин В.Л. Справочник по численным методам решения уравнений. – М.:

Физматгиз, 1960.

4. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2000.

5. Penrose R.A. A generalized inverse for matrices // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1955. V. 51. P. 406 – 413.

6. Rothblum U.G. Computation of the eigenprojection of a nonnegative matrix at its spectral radius // Math. Prog. Study. 1976. V. 6. P. 188 – 201.

7. Ben–Israel A., Grevile N.T.E. Generalized Inverses: Theory and Applications. – N.Y.: Willey, 1974.

8. Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике / Перев. с англ. и научн. ред–е Е.М. Четыркина, Р.М. Энтова. – М.: Статистика, 1974.

9. Goldman A.J., Zelen M. Weak generalized isnverses and minimum variance linear unbiased estimators // J. Res. Nat. Bur. of Standards. 1964. V. 68B. P. 10. Судаков Р.С. Теория псевдополуобратных матриц и ее применение к задачам оценки надежности. – М.: Знание, 1981.

11. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ/ Пер. с англ. – М.: Мир, 1989.

12. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Косьянчук В.В., Зыбин Е.Ю. Решение линейных матричных уравнений методом канонизации // Вестник Киевского университета. Сер. Физико–математические науки. Вып. 1. – Киев: Изд-во Киевского нац. ун–та, 2002. С. 19 – 28.

13. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для вузов. В 2-х ч. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967.

15. Бондаренко В.М., Дрозд Ю.А. Представленческий тип конечных групп.

Модули и представления // Записки научн. семинаров ЛОМИ. 1977. Т. 71.С. 24 – 42.

16. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1981.

ИНВАРИАНТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Задача инвариантности отдельных режимных параметров работы электроэнергетических систем (ЭЭС) к разнообразным возмущениям в современный период является весьма актуальной. Например, можно указать следующие актуальные проблемы инвариантности в ЭЭС [1, 2]:

1. Поддержание постоянства частоты (50 Гц) в ЭЭС, как в нормальных, так и в аварийных режимах ЭЭС;

2. Поддержание заданных межсистемных перетоков в объединенной ЭЭС, в независимости от режимов в отдельных ЭЭС;

3. Поддержание постоянства напряжения в узлах нагрузки ЭЭС, в независимости от режимов по активной мощности в ЭЭС;

4. Поддержание постоянства пропусков воды в нижний бьеф самой нижележащей ГЭС каскада в период нереста рыб.

Существуют множество других задач, которые можно отнести к инвариантному управлению ЭЭС и энергетических объектов.

Одной из таких актуальных проблем (проблема 4) является оптимальное ведение режимов ГЭС и каскадов ГЭС с учетом условий сохранения запаса рыбных ресурсов в водохозяйственной природно-технической экоихтиосистеме [2 – 7]. Одним из главных требований экоихтиосистемы (наравне с требованиями соблюдения санитарных норм к качеству воды в реках и водомах) является поддержание постоянного уровня воды в пойме реки в период нереста рыб. Иначе говоря, в период нереста рыб отметка нижнего бьефа самой нижерасположенной ГЭС (гидроузла) должна быть неизменна (инвариантна) вне зависимости от режима работы всего каскада ГЭС.

Рассмотрим линейную (в том числе и водноэнергетическую) систему где x – n -мерный вектор состояния системы, u – s -мерный вектор управления, y – m-мерный вектор выхода, w – r-мерный вектор внешних возмущений.

Четверка постоянных матриц (1).

Сформулируем необходимое и достаточное условие инвариантности линейной системы (1) на основе частотных критериев управляемости и наблюдаемости. В работах [8 – 12] показано, что понятие инвариантности связано с понятием неуправляемости по возмущениям и ненаблюдаемости возмущений.

Объединение этих понятий можно осуществить, используя конструкцию матрицы Розенброка [13], которая имеет вид Эта матрица имеет размер Наличие неуправляемых и ненаблюдаемых мод колебаний линейной системы с комплексной частотой связывается с понижением нормального ранга матрицы т.е.

Данное утверждение имеет для линейной системы необходимый и достаточный характер.

Итак, условием инвариантности линейной системы к возмущениям w с комплексными частотами является потеря нормального ранга матрицы (2).

Здесь можно выделить три характерных случая:

1. Нормальный ранг матрицы R(p) равен т.е. матрица имеет полный нормальный строчный ранг. Тогда выполнение условия можно связать с существованием нетривиального решения матричного уравнения В силу сказанного, матрицу X Y можно определить как левый делитель нуля [15] матрицы (4) на комплексной частоте i и обозначить т.е. матрица имеет полный нормальный столбцовый ранг. Тогда должно существовать нетривиальное решение матричного уравнения на комплексной частоте и обозначить 3. Нормальный ранг матрицы (4) равен В этом случае одновременно существуют нетривиальные решения уравнений (6) и (8).

Определим условия существования делителей нуля (7) и (9).

Начнем с блок-матричного уравнения (4). Раскрывая его с точностью до выделенных блоков, получим Из последнего уравнения (10) следует, что матрица X, если она существует, должна быть пропорциональной левому делителю нуля Здесь F F 0, а некоторая матрица подходящего размера.

С учетом сказанного, первое уравнение (10) принимает вид Рассмотрим (11) как уравнение относительно матрицы Y. Условие его разрешимости выглядит следующим образом:

Таким образом, если условие (12) выполняется, то матрица имеет левый делитель нуля Повторяя аналогичные рассуждения в отношении уравнения (8), получаем условие существования решения в виде Ясно, что объединение (14) и (15) означает соответственно существование одновременно левого и правого делителей нуля и, значит, одновременную неполноту строчного и столбцового рангов матрицы (13) на комплексной частоте i. Матрица (1) является определяющей для разрешимости уравнений (7),(8).

Итак, можно утверждать, что матрица (13) характеризует управляемость и наблюдаемость линейной динамической системы (1) по возмущениям. Если у матрицы (13) существует левый делитель нуля, то система является ненаблюдаемой, если существует правый делитель, то система будет неуправляемой – неуправляемой, и, соответственно, если присутствуют оба делителя – неуправляемой и ненаблюдаемой. Однако в отличие от матрицы Розенброка, налицо снижение размерности решаемой задачи.

Тем не менее в данной задаче соответствующие делители можно не вычислять. Достаточно перейти от матрицы (13) к понятию пучка матриц [16] и связать свойства пучка с инвариантностью.

Для перехода к пучку матриц раскроем скобки в (13):

С формальной точки зрения мы приходим к так называемой несимметрической (обобщенной) задаче на собственные значения [9].

прямоугольный или квадратный вид. Остановимся на случае, когда матрицы n rF n rF. Случаи прямоугольных пучков матриц могут быть приведены к случаю квадратного пучка [17, 18].

Определим обобщенные собственные значения пучка (16) как элементы множества Существуют три характерных частных случая [17]:

1) конечное множество собственных значений;

2) пустое множество собственных значений;

3) бесконечное множество собственных значений.

Конечное множество собственных значений при этом Пустое и бесконечное множество связывается с неполнотой ранга матрицы бесконечным.

В задаче инвариантности ключевую роль играет бесконечное множество собственных значений пучка матрицы. Действительно, соотношение определяет условие обнуления выходного сигнала (1) на фиксированной частоте i. Если же искомое множество собственных значений F L AC R, F LC R является бесконечным, то тождество (20) строго выполняется на бесконечном множестве векторов (на всех возможных векторах), а это значит, что передаточная матрица (1).

(Действительно, если уравнение Ax 0 для любых x, то A 0 ).

Выражение (21) это не что иное, как известное условие инвариантности линейной системы [1].

Итак, множество (17) соответствует комплексным частотам входного сигнала, на которых «запирается» (аннулируется) передаточная матрица Если же множество таких комплексных частот бесконечно, то, следовательно, выполняется тождество (21), а рассматриваемая система является инвариантной.

На основе сказанного можно сформулировать следующий.

Частотный критерий инвариантности. Для того чтобы линейная система инвариантностью к возмущению w( t ), необходимо чтобы пучок матриц имел бесконечное множество обобщенных собственных значений Рассмотрим характерный частный случай. Пусть в исследуемой системе выполняются тождества Если теперь этот факт соотнести с формой пучка матриц (16) то отсюда вытекает достаточное условие инвариантности Другими словами, при выполнении условий (23) у инвариантной системы матрица динамики A аннулируется делителями нуля Действительно, с учетом условий (23) из уравнения F AC следующая формула для матрицы A Подстановка (26) в последовательность произведений матриц известного временного критерия инвариантности [9] приводит к тождествам Это, собственно, и требовалось доказать.

Проиллюстрируем полученные результаты на примерах.

Рассмотрим абстрактную динамическую систему, заданную тройкой матриц Необходимое условие инвариантности CF 0 здесь выполняется.

Определим делители нуля матриц C, F :

Используя (30), получаем Таким образом, произведение матриц F C 0, но матрица вырождена и условие (19) выполняется. Вычислим теперь F AC и определим пучок матриц (16) Очевидно, что при любых значениях в силу определения (17) имеем тождество Итак, пучок матриц (33) имеет бесконечное множество обобщенных собственных значений и согласно частотному критерию инвариантности рассматриваемая система (29) является инвариантной.

Для проверки данного утверждения можно непосредственно убедиться в выполнении условий (20) и (21).

Кроме того, передаточная функция системы имеет вид Пусть теперь матрица A в записи (29) принимает вид Новой системе соответствует пучок матриц который, в чем нетрудно убедиться, имеет единственное обобщенное собственное значение Согласно приведенному критерию инвариантности такая динамическая система не является инвариантной.

Наконец, пусть матрица A задана в виде Теперь приходим к следующему пучку матриц:

Вычисляя определитель формулируем утверждение т.е. множество обобщенных собственных значений является пустым и, значит, третья из рассматриваемых систем не является инвариантной.

Протестируем быстродействие процедур анализа инвариантности на основе вычисления пучков матриц и ранговых критериев. Для этого рассмотрим тройку матриц случайных чисел MatLab.

Сравнительный анализ будем проводить с использованием функции cputime, позволяющей вычислять процессорное время, затрачиваемое на решение задачи.

Для временного критерия вычислялись произведения матриц CAF,CA2 F,CA99 F, при этом процессорное время решения задачи составило tcputime 0,926 с.

вычислительных затрат в задаче большой размерности.

Теперь рассмотрим математическую модель каскада ГЭС (см. рис.), включающую четыре гидроузла [2 – 5].

Возмущенная математическая модель ГЭС имеет вид (42) xi,xi 2,xi 4,xi 6 уровни бьефов, xi1,xi3,xi5, xi7 пропуски через где ГЭС, ui управление расходами ГЭС через гидроагрегаты, Ti,..., Ti постоянные времени.

поддерживать постоянство нижнего бьефа ГЭС-4. Для исследования инвариантности этой компоненты вектора состояния зададим матрицу С в виде Вычислим правый делитель нуля матрицы C (43) и левый делитель нуля матрицы F из (42). Получим При этом выполняется условие (25). Таким образом, в рассматриваемой действующим на предыдущие гидроузлы.

числа Из (45) вытекает, что исследуемая система является нейтральной (находится на границе устойчивости), поскольку содержит четыре нулевых полюса. Пусть требуется определить условия на управление ГЭС, при котором бы сохранялась f j w j ( t ), j i, i 6 и, одновременно с этим, обеспечивалось заданное распределение полюсов зад ( A BK ) системы в целом (здесь K – матрица коэффициентов обратной связи).

С учетом (25) получаем, что такими условиями являются, во-первых, и, во-вторых, Итак, инвариантность и устойчивость водоэнергетической системы (42) будет обеспечено, если управление с обратной связью формируется согласно ограничениям (46), (47).

Если воспользоваться положениями работ [19, 20], то можно получить следующее параметризованное множество инвариантных обратных связей где а элементы – произвольны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мисриханов М.Ш., Седунов В.Н., Шунтов А.В. Основы резервирования в системах генерации и транспорта электроэнергии.-М. : Энергоатомиздат. 2002.

2. Мисриханов М.Ш. Многоуровневое иерархическое децентрализованное управление каскадом гидроэнергетических установок.-Махачкала. Дагестанское книжное издательство, 1976.

3. Мисриханов М.Ш. Многокритериальное оптимальное управление оперативными режимами сложных энерговодохозяйственных комплексов.

-Махачкала. Даг. ЦНТИ, 1977.

4. Мисриханов М.Ш. Аналитическое конструирование комплексной системы адаптивного управления мощностью и возбуждением гидроагрегата по критерию обобщенной работы.-Махачкала. Даг. ЦНТИ, 1979.

5. Мисриханов М.Ш. Многокритериальное оптимальное управление оперативными режимами сложных энерговодохозяйственных комплексов.

-Махачкала. Даг. ЦНТИ, 1977.

6. Красовский А.А., Мисриханов М.Ш. Универсальные алгоритмы оптимального оперативного управления гидроэнергетическими комплексами.

-Махачкала. Дагестанское книжное издательство, 1978.

7. Мисриханов М.Ш. Синтез по критерию обобщенной работы группового регулятора мощности многоагрегатной ГЭС.-Махачкала. ДагФАН СССР, 1981.

гидроэнергетических установок – как объектов управления.-Махачкала.

Дагестанское книжное издательство, 1977.

9. Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление матричными системами.

Сравнение подходов (Обзор) // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. № 4. 2002.

10. Мисриханов М.Ш. Ленточные критерии управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. № 4. 2002.

11. Мисриханов М.Ш. Синтез инвариантных систем на основе ленточных критериев управляемости и наблюдаемости // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. № 4. 2002.

модифицированных PBH-тестов // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. № 4. 2002.

13. Rosenbrock H.H. State space and multivariable theory. New York. J. Willey, 1970.

14. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы.-Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990.

15. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Косьянчук В.В., Зыбин Е.Ю. Решение линейных матричных уравнений методом канонизации // Вестник Киевского университета.

Серия: Физико-математические науки. Вып. 1.-Киев: Изд-во Киевского нац. ун-та.

2002. С. 19 – 28.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.: Наука, 1988.

17. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления.-М: Мир, 1999.

18. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения.

М.: Мир, 2001.

19. Мисриханов М.Ш. Аналитические решения уравнения Сильвестра. Первая и вторая форма решений // Повышение эффективности работы энергосистем.

Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А.

Шуина, М.Ш. Мисриханова М.: Энергоатомиздат. Вып. 5. 2003.

20. Мисриханов М.Ш. О проблеме устойчивости в инвариантном управлении // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А. Шуина, М.Ш.

Мисриханова. М.: Энергоатомиздат. Вып. 6. 2003.

ПСЕВДОСПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

электроэнергетической системы (ЭЭС):

где A – матрица динамики ЭЭС, x – вектор состояния ЭЭС, называется множество n комплексных чисел (комплексных частот), являющихся корнями характеристического полинома системы:

Каждое значение такого комплексного числа называется полюсом системы.

Поэтому спектр (2) называется также множеством полюсов системы или множеством собственных значений матрицы A.

Элементы матрицы A в реальных динамических системах, каковыми являются сложные ЭЭС, обычно определяются непосредственно из физических наблюдений, и поэтому содержат ошибки, свойственные всем наблюдениям. В этом случае матрица A E, которую мы имеем, является только некоторым приближением матрицы, соответствующей точным измерениям. В результате этого, вместо системы (1) приходится иметь дело с объектом вида:

и его спектром:

При этом множества друг от друга [1]. К аналогичным последствиям приводят другие многочисленные факторы, например, вычислительного характера. Разнообразные методы, учитывающие при решении практических задач влияние указанных возмущений, изложены, например, в [2 – 5].

С другой стороны, в ряде практических задач пользователю требуется не точное равенство нулю некоторого выражения, а лишь его «исчезающая малость» в сравнении с каким–то a priori установленным порогом. Таким образом, под решениями возникающих в процессе исследований уравнений фактически понимается значение переменной, обращающее значение заданной функции в пренебрежимо малую величину. Эти решения представляют целое множество точек, которые можно назвать псевдорешениями (–решениями) или почти решениями, если порог этой пренебрежимой величины несущественен или не оговорен явно.

Псевдорешения являются устойчивыми к малым возмущениям исходных данных, обладают свойством непрерывности, а задача «о нахождении почти решений» является вычислительно–корректной [6].

Заметим, что математические понятия, определения которых привлекают малый допуск, не являются новинкой. Таковы, к примеру, –энтропия, –субдифференциал, – оптимальные решения задачи оптимизации, инвариантные системы с точностью до и т.п. В этом ключе следует воспринимать интенсивно развиваемую в последние годы теорию псевдоспектров (–спектров) числовых матриц.

В данной работе делается попытка распространить понятие псевдоспектра на сингулярные пучки матриц и далее на динамические системы с введением ее новой характеризации в виде так называемых псевдонулей.

1. Псевдоспектр комплексной матрицы. Следующие фундаментальные теоремы определяют понятие псевдоспектра числовой матрицы A, заданной в общем случае над комплексным полем (комплексной матрицы).

Теорема 1. Пусть – матричная норма, индуцированная векторной нормой, тогда следующие определения псевдоспектра эквивалентными:

тогда следующее условие также эквивалентно предыдущим:

Итак, во–первых, согласно определению (5), псевдоспектр матрицы составляет множество точек z, при которых матричная норма функции резольвенты:

удовлетворяет неравенству Во–вторых, комментируя (6), можно сказать, что псевдоспектр содержит в качестве подмножеств спектры матриц A E (4) для всех матриц ошибок E, удовлетворяющих уравнению для собственных значений:

Далее будем также считать, что точка z на комплексной плоскости принадлежит псевдоспектру вектор v единичной «длины» (см. (7)), такой что индуцированная норма Если же обратиться к определению (8), то псевдоспектром считается множество комплексных чисел z, при которых все матрицы имеют минимальные сингулярные числа, не превосходящие некоторого конечного числа (допуска).

Заметим, что данная теорема для 2–норм была независимо доказана Дж.

Варахом [7] и Л. Трефезеном [8]. Ключ к доказательству общего случая был найден в дискуссионных работах [9, 10].

Следующая теорема относится к псевдоспектрам подобных матриц.

Теорема 2 [11]. Пусть матрицы A и B подобны, т.е.

тогда выполняется включение:

где Если zI n A – сингулярна (вырождена), то считается, что число обусловленности матрицы S.

Итак, невырожденное преобразование подобия S при отклонении числа обусловленности от единицы всегда «расширяет» псевдоспектр матрицы.

Из теоремы 2 вытекает практически очевидное следствие.

Следствие 2.1. Если матрица S представляет элементарные перестановки строк и столбцов матрицы A, то Действительно, число обусловленности матриц элементарных перестановок столбцов и строк всегда равно единице ( ( S ) 1 ), а это означает, что включение (13) преобразуется в строгое равенство (15).

Второе следствие детализирует псевдоспектр диагонализуемой (простой, недефектной [3]) матрицы.

Следствие 2.2 [12]. Если матрица A диагонализуемая, тогда справедливо включени:

где замкнутый диск радиуса Таким образом, псевдоспектр диагонализуемой матрицы содержится в сумме собственно спектра матрицы и замкнутого диска, образованного множеством чисел, по модулю не превосходящих произведение Множество диагонализирующих матриц S может быть представлено в виде [13]:

где Ri – правый собственный вектор матрицы A, отвечающий i–му собственному L – левый собственный вектор диагональной матрицы, которой значению, i подобна исходная матрица A, – произвольное ненулевое число.

Если обеспечивается тождество:

тогда согласно следствию 3.2 псевдоспектр матрицы будет удовлетворять включению Следующая теорема устанавливает связь между псевдоспектром и числовым рангом матрицы (или полем значений матрицы) [14, 15] и предоставляет практический вычислительный алгоритм определения псевдоспектра матрицы.

Теорема 3 [16]. Для любой числовой матрицы A справедливо включение где числовой ранг матрицы A, а символ «H» обозначает операцию эрмитова сопряжения.

Для вещественных матрицы A и векторов x числовой ранг определяется с помощью формулы малой полуоси. Для случая матрицы:

числовой ранг изображен на рис. 1.

Для комплексной матрицы вида:

числовой ранг приведен на рис. 2 и представляет собой конусообразное тело с эллиптическим основанием.

Из определения числового ранга (22) следует, что собственно спектр матрицы A A удовлетворяет включению т.е. все собственные значения матрицы A заключены внутри области, определяемой числовым рангом Из сопоставления определений и свойств псевдоспектра числовой матрицы, с одной стороны, и определения динамической системы в форме (1), с другой, следует, что без каких–либо ограничений понятие псевдоспектра может быть распространено на динамические системы. При этом собственно псевдоспектр линейной системы (1) может быть классифицирован по признакам устойчивых и неустойчивых спектров:

устойчивый псевдоспектр (например, ЭЭС) (3) с неустойчивый псевдоспектр Ясно, что, осуществляя предельный переход обеспечиваем В качестве числового примера на рис. 3 представлена 3D–визуализация псевдоспектра матрицы A размера 100 100 математической модели длинной линии Рис. 3. 3D–визуализация псевдоспектра матрицы A длинной линии 2. Нули системы. Сегодня при анализе задач управления в линейных многомерных системах вообще и ЭЭС, в частности, фундаментальную роль играет понятие нулей системы. При этом в зарубежной литературе за ними закрепилось называние конечных нулей.

Множество нулей многосвязной системы включает: передаточные нули (реакция на входные сигналы), инвариантные нули (реакция на входные сигналы и начальные условия), развязанные по входу нули (неуправляемые моды колебаний), развязанные по выходу нули (ненаблюдаемые моды колебаний), развязанные по входу и выходу нули (ненаблюдаемые и неуправляемые моды колебаний) [18].

Примечательно то, что описание многих свойств систем на языке конечных нулей носит характер, весьма близкий предметной области инженеров, занимающихся системами управления динамических объектов и технологических процессов.

Рассмотрим уравнение динамики линейной многомерной системы в форме «вход – состояние – выход»:

Передаточной матрицей системы (28) называется рациональная матрица вида Множество нулей передаточной матрицы (29) может быть сопоставлено с системой инвариантов – инвариантными полиномами или элементарными делителями [2, 18, 20]. Морс рассматривал множество инвариантных полиномов линейной многомерной системы, обозначая его через считать, что состоит из множества комплексных чисел, определяющих положение конечных нулей системы на комплексной плоскости, и из множества целых чисел, соответствующих каждому инвариантному нулю и представляющих структуру кратности этих нулей, а именно, алгебраическую, геометрическую и т.п.

кратности [20, 21]. Таким образом, в зависимости от контекста под понимать либо множество инвариантных полиномов системы (элементарных делителей), либо конечные нули вместе с их структурой кратности.

В общем случае (систем с несколькими входами и несколькими выходами) конечные нули могут быть охарактеризованы как нули передаточных полиномов, соответствующих числителям передаточных матриц F ( ) (29) в форме Смита– Макмиллана [22]:

U L ( ), U R ( ) – унимодулярные матрицы2, а матрица D( ) имеет вид где r min(m, s) ; bi и ai – монические3 полиномы, причем a1 делит a2, a2 делит a3, Обратимые полиномиальные матрицы с постоянными детерминантами.

передаточными полиномами матрицы F ( ) и представляют структуру конечных нулей системы. Различные характеризации передаточных нулей даны, например, в [20, 23].

В дальнейших исследованиях мы будем опираться на определение конечных нулей в терминах матрицы Розенброка.

Матрица Розенброка или системная матрица для объекта (28) имеет вид [23, 24] Как видно из формулировок (28), (32) матрица Розенброка имеет размер (n m) (n r ) и нормальный ранг [23]:

Сформулируем известное утверждение о нулях линейной многосвязной системы [23, 24].

Теорема 4. Линейная система (28) имеет непустое множество конечных нулей:

тогда и только тогда, когда нормальный ранг матрицы Розенброка уменьшается на каждом элементе (34), т.е.

Как видно из определения, данное утверждение имеет для линейной системы (28) необходимый и достаточный характер.

С другой стороны, системная матрица Розенброка (32) с формальной точки зрения представляет собой сингулярный пучок матриц [2, 4, 5].

3. Псевдоспектры сингулярных пучков матриц. Итак, пусть A и B – две матрицы, например, размера m n, заданные над полем комплексных чисел .

Множество всех матриц вида при называется сингулярным пучком матриц5.

Имеющие единичные коэффициенты при старших степенях (нормированные полиномы).

Общий случай обозначения матриц и векторов, относящихся к сингулярным пучкам, мы будем выделять полужирным шрифтом.

Символ здесь нужно трактовать как тождественное равенство.

Множество собственных пар (собственных значений и собственных векторов x) сингулярного пучка матриц (36) составляют пары:

В отношении (38) существуют три характерных частных случая [5]:

множество нетривиальных решений;

нетривиальных решений;

бесконечное множество нетривиальных решений.

Последний случай, например, имеет место при (37).

множество Вынесенное в определение (37) операция псевдообращения гарантирует поэтому можно взять за основу некоторую другую матрицу удовлетворяющую условиям регулярности [2]:

и обеспечивающую минимальность выбранной нормы.

Как видно из этого определения, псевдоспектр (39) для любого сингулярного пучка матриц всегда существует при произвольных A, 0 и всех ненулевых матриц B.

Теперь сформулируем и докажем теоремы в отношении псевдоспектра сингулярных пучков матриц.

Теорема 5. Следующие определения псевдоспектра сингулярного пучка матриц Доказательство.

такой вектор Определим новый вектор удовлетворяющий неравенству (43) (42): Предположим, что существует вектор такой что A zB v. Пусть также существует вектор u, u 1, удовлетворяющий неравенству:

для Мы можем завершить эту часть доказательства, если мы определим вектор w, соответствующий равенству где символ «H» означает эрмитово сопряжение векторов.

Для общих норм существование таких векторов следует из теоремы Хана– Банаха [9]. Поэтому в общем случае мы можем записать что соответствует для (42) (41): Предположим, что E, такой что Осуществляя соответствующую группировку в (45) и выполняя псевдообращение, получим:

и далее и, следовательно наименьшее сингулярное значение матрицы A zB это и есть 2–норма.

Заметим, что подходящим алгоритмом генерации матрицы является процесс (метод) Арнольди [25, 26], построенный на основе понятия подпространства Крылова числовой матрицы.

Теорема 6. Если пучки матриц том смысле, что тогда справедлива следующая цепочка утверждений:

и, следовательно, что и требовалось доказать.

4. Псевдонули динамической системы. Поскольку, как сказано выше, системная матрица Розенброка (32) представляет собой частный случай сингулярного пучка матриц типа zI утверждения теорем 5 и 6, которые можно без доказательств переписать в виде соответствующих утверждений.

Эквивалентность определения псевдонулей. Следующие определения псевдонулей Подчеркнем следующий факт: минимизация при условии, что множество псевдонулей динамической системы и обеспечивает наилучшую локализацию приближения к действительному множеству нулей (34).