«Ю.А. Скобцов, Ю.В. Родин, В.С. Оверко Моделирование и визуализация поведения потоков крови при патологических процессах Донецк 2008 УДК 532:621.3:612.15:616-092]-073.001.57 C 44 Скобцов Ю.А., Родин Ю.В., Оверко В.С. ...»

К ним, например, относятся фундаментальная монография К. Каро и Т. Педли [1]. Сборники статей часто содержат математическую теорию, но она представлена только отдельными фрагментами.

Первой научной монографией, посвященной математическому и физическому анализу процессов в кровеносной системе, стала книга Т. Педли [2]. В этой монографии проводится математический анализ артериальной гидромеханики.

Ядром монографии Т. Педли являются две задачи. Во-первых, дать теоретическое объяснение некоторым профилям скорости в артериях.

Во-вторых, что имеет большее значение при исследовании поражений артерий, дать подробное описание распределения напряжения сдвига на стенке в артериях, связанного со скоростью массопереноса через стенку артерии и тем самым (предположительно) с возникновением утолщений артериальной стенки. Вторая задача особенно важна, поскольку до сих пор не существует метода точного измерения in vivo напряжения сдвига на стенке как функции времени. Большая доля осуществленных измерений профиля скорости приходится на аорту. Разные участки стенки аорты обладают разными свойствами массопереноса и разной подверженностью к образованию атеромы; поэтому аорта является сосудом, для которого желательно получить теоретическую зависимость напряжения сдвига от положения рассматриваемой точки и времени. В некоторых работах было рассчитано развитие течения в упругой трубке. Обнаружено, 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях что упругость важна только на расстоянии от входного конца, равном приблизительно радиусу трубки, и эффект сильно зависит от граничного условия, состоящего в том, что радиус на входе жестко фиксирован.

В работе [3] дается краткий обзор вывода желательной формы записи уравнений Навье — Стокса, выбора наиболее удобной расчетной сетки, перехода к конечно-разностной форме представления уравнений, разработки алгоритма решения, определения устойчивости получаемой разностной схемы в применении к решению задач о течении несжимаемых физиологических жидкостей. Местные сужения в артериях могут возникать вследствие отложения внутрисосудистых бляшек, растущих внутрь сосуда со стороны стенки.

Уравнения Навье — Стокса с зависимостью от времени, представленные в форме «завихренность — функция тока», были успешно использованы несколькими авторами для учета эффекта пульсационного течения.

Аналитические исследования слабых стенозов начали проводиться с 1968 г., однако первое численное исследование этой проблемы опубликовано Ли и Фаном в 1970 г. после того, как осесимметричное колоколообразное сужение было конформно отображено на прямоугольную область для решения стационарных уравнений Навье — Стокса, где был использован метод Тома [1].

Оберкампф и Го получили решение той же задачи об осесимметричном колоколообразном сужении, однако они применили неортогональное преобразование для перехода к прямоугольной области и пользовались полудискретным методом прямых [1]. Чен с соавт. в серии статей изучали установившиеся, колебательные и пульсационные течения при наличии квадратных и прямоугольных сужений, причем для исследования применялся явный метод Фромма [1].

Новейшее исследование пульсационного течения через суженные жесткие и растяжимые трубы было представлено Дали [1]. Профиль сужения был взят в форме дуги окружности, и алгоритм расчета был составлен с использованием произвольного метода Лагранжа — Эйлера для расчета нестационарных многомерных течений вязкой жидкости.

В [4] рассмотрена физическая основа организации системы кровообращения, ее сходство и отличия от других гидродинамических систем.

Подчеркнуто соответствие структуры и функций отдельных звеньев системы тем задачам, которые необходимы для успешной деятельности системы.

В статье [5] изучено поле пульсаций пристенного давления в трубе за стенотическим сужением. Выявлены резкий рост давления в конечной области сразу за стенозом и существование четкого максимума давления перед точкой присоединения отрывного течения. Получены приближенные оценки для расстояния от стеноза до точки максимального давления и значения самого давления в этой точке. Изучение поведения частотного спектра, пульсаций давления позволило выявить в нем низкочастотные максимумы. Установлено, что они определяются соответствующими крупномасштабными вихрями в областях отрывного и присоединенного течений, а их частоты — характерными частотами формирования этих вихрей. Выявленные максимумы являются основным отличием исследованного спектра от спектра пульсаций пристенного давления, характерного для полностью развитого турбулентного течения в трубе.

В работе [6] кровеносный сосуд моделируется осесимметричным каналом переменного радиуса с твердыми стенками. Кровь считается ньютоновской жидкостью. Радиус канала — известная функция продольной координаты r = f(z), длина канала — L. Представленный метод позволяет не проводить дополнительные итерации на каждом шаге по времени для определения граничного условия для вихря скорости на твердой поверхности.

В работе [7] проведено исследование пространственных стационарных и нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в неэластичных трубках с несимметричным расширением. Скорость и давление рассчитываются с использованием конечно-разностных алгоритмов, ориентированных на использование неортогональных криволинейных, согласованных с границей области течения систем координат. Для исследования нестационарных течений используют разнесенную сетку, а для стационарных течений, напротив, — неразнесенную. При решении стационарных задач был применен новый алгоритм, основанный на алгебраическом разложении скоростей на две части.

Авторы [8] предложили модель роста оторвавшегося от стенки сосуда тромба в пристеночном потоке, учитывающую не только влияние гидродинамических потоков на протекающие в системе химические реакции, но и обратное влияние растущего тромба на картину течения.

При этом использовались аналитические решения для определения поля скоростей жидкости вблизи тромба. Проведенное численное исследование модели показало, что гидродинамические потоки могут оказать существенное влияние на процессы тромбообразования. В частности, их наличие может приводить к разрушению цилиндрически симметричных концентрационных фронтов реагентов и образованию так называемых химических пятен. В результате их эволюции образуются тромбы сложной структуры. Показано, что процесс тромбообразования зависит от соотношения характерных значений скорости крови в сосуде и скоростей химических реакций.

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях В работе [9] представлены реологическая модель крови как суспензии недеформируемых твердых частиц в лимфе и закономерности движения такой модельной жидкости в сосудах. В случае стационарного движения крови в сосудах круглого сечения профиль скорости в основном соответствует параболическому профилю течения Пуазейля вязкой жидкости с добавками гармонического вида в зависимости от радиуса частиц. Путем осреднения по площади поперечного сечения сосуда проведена редукция общей двумерной нестационарной задачи к одномерной нестационарной. В случае нестационарного пульсового движения крови исследуемая математическая модель допускает распространение волн, затухание которых обусловлено как влиянием вязкости, так и за счет эритроцитов в структуре крови.

В статье [10] проанализированы две характерные особенности процесса взаимодействия потока жидкости с гибкой деформируемой непроницаемой стенкой. Первая из них связана с установлением возможности управления параметрами потока для подавления гидроупругой неустойчивости типа Толмина — Шлихтинга и уменьшения лобового сопротивления конструкции. С этой целью проанализированы условия возникновения дивергенции и флаттера с бегущими волнами. Вторая особенность наблюдается при движении жидкости в канале с коллапсирующими стенками, в том числе в кровеносных сосудах. Гидродинамическое давление определяется по результатам численного решения начально-краевой задачи для уравнений Навье — Стокса с граничными условиями на деформируемой поверхности. Прогиб стенки удовлетворяет уравнению в частицах производных балочного типа. Численное интегрирование уравнений выполнено методом конечных элементов. Сформулированы рекомендации по формированию оптимального метода регулирования процесса обтекания.

В статье [11] исследованы особенности пульсации потока вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечной цилиндрической трубке с проницаемыми стенками. Коэффициент проницаемости предполагается изменяющимся по длине трубки. Колебания гидроупругой системы описаны интегродифференциальным уравнением с переменными коэффициентами относительно поперечного перемещения конструкции. Оценка характеристик волновых процессов в системе выполнена по результатам анализа решения начально-краевой задачи Штурма — Лиувилля с граничными условиями на деформируемой поверхности. Приведены приближенные аналитические соотношения для определения коэффициента вязкоупругого демпфирования и амплитудно-частотных характеристик волновых процессов. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании особенностей гидроупругих характеристик кровеносных сосудов.

В [12] рассмотрено интимальное утолщение в результате атеросклеротических поражений или интимальная гиперплазия в большом кровеносном сосуде — основная причина пороков сердца, ведущих к смерти.

Пластическая операция на сосудах, шунтирующая хирургия и эндартерэктомия (с восстановлением бляшки хирургическим путем или без такового) — некоторые из методов, применяемых в настоящее время к закупоренным кровеносным сосудам. На основе клинического доказательства, что возмущенный поток частиц играет ключевую роль в начальном и прогрессирующем атеросклерозе и интимальной гиперплазии, проанализированы соответствующие гемодинамические параметры стенки, которые указывают допустимые места интимальных утолщений и/или благоприятные условия для формирования тромбов. Эти параметры, основанные на сдвиговом напряжении стенок, давлении стенок или осаждении частиц, применены, чтобы интерпретировать экспериментальные/клинические наблюдения интимального утолщения. При использовании параметров как индикатора внутренние конфигурации ветвления кровеносного сосуда проанализированы и изменены для различных целей: раннее обнаружение высокостенозированных сегментов сосуда, прогноз прогрессирования болезни и реконструкция сосуда для потенциального улучшения его проходимости на длительное время. В настоящее время внимание сосредоточено на определении чувствительных мест в разветвленных кровеносных сосудах и их последовательной реконструкции с использованием гемодинамических параметров стенки. Определенно, усредненный во времени сдвиг напряжения стенки, его пространственный градиент, колебательный индекс сдвига и градиент угла напряжения сдвига стенки сравнимы с экспериментальными данными для сосудистых соединений. Тогда колебательный индекс сдвига, стенная плотность частиц и градиент угла сдвига напряжения стенки сегментарно усреднены для различных раздвоений сонной артерии и сравнимы с клиническими данными интимального утолщения.

Предложенные реконструкции сокращают несколько гемодинамических параметров (таких как пространственный градиент сдвига напряжения стенки, градиент угла сдвига напряжения стенки и градиент нормального давления). Таким образом, сокращается вероятность рестеноза.

В [13] полностью развитый поток в спиральном канале исследован с целью моделирования тока крови вокруг неплоских изгибов в артериальной системе. Медицинское исследование показало, что формирование атеросклеротических повреждений тесно связано с областями слабого стенного сдвига, поэтому было выдвинуто предположение, что наблюдаемая неплоская конфигурация может приводить к более однородному распределению сдвига. Спиральные потоки, приводимые в движение 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях колеблющимся градиентом давления, изучаются аналитически и численно. В высокочастотном пределе выражение получено для установившегося течения второго порядка, приводимого в движение течением от стоксовых уровней. Для вычисления потоков, обусловленных синусоидальными или физиологическими градиентами давления в различных конфигурациях, используется метод конечных разностей. Возможные преимущества рассмотренных спиральных артериальных изгибов над плоскими изучены на основе стенного распределения сдвига и замедления разделения пограничного слоя.

Основная цель численных исследований [14] состоит в том, чтобы установить хирургические рекомендации для оптимальных конфигураций каротидных эндартерэктомических восстановлений, которые могут в должной мере способствовать снижению количества случаев послеоперационных осложнений, то есть тромбозов, инсультов и/или рестенозов.

Лежащие в основе гипотезы заключаются в том, что неоднородная гемодинамика, или возмущенные потоки, связаны с заболеваниями сосудов и, следовательно, минимизация признаков возмущенного потока ведет к геометрическому проектированию разветвлений, которые снижают послеоперационные осложнения. При рассмотрении трехмерного ламинарного течения крови в плоскости вблизи препятствий (атеросклеротических бляшек) в неподвижных стенках раздвоенной сонной артерии получены результаты, которые включают осредненные по времени характеристики возмущенного потока. К ним относятся сдвиг напряжения в стенке, сдвиг пространственного градиента напряжения в стенке и сдвиг угла отклонения напряжения в стенке. Кроме того, показаны и оценены траектории и закономерности критического осаждения частиц крови (моноцитов). В пределах данных физиологических связей конфигурация сосуда была изменена, чтобы сократить величины основных характеристик, связанных с тромбозом (формирование комка крови) или рестенозом (например, возобновленный атеросклероз и/или гиперплазия). Количественные результаты и полученная база данных очень важны для будущих клинических экспериментов.

В [15] эксперимент in vitro выполнен, чтобы изучить свойства акустического поля в грудной клетке человека, которое сгенерировано потоком в кровеносном сосуде. Рассматриваются случаи неповрежденных и частично прегражденных сосудов, а крутые твердостенные полые осесимметричные цилиндрические вставки для изменения внутренних диаметров и длины используются как стенозы. Анализ шумовых полей позволяет обнаружить характерные признаки присутствия стенотической преграды в сосуде. Это общее увеличение уровня шумов и генерирование новых частотных составляющих в спектре. Компоненты идентифицироТечение в круглых трубках ваны с характеристичными частотами вихреобразования в возмущенной области потока после сужения сосуда и с резонансными частотами колебаний постстенозированного сегмента сосуда.

2.2. Течение в круглых трубках 2.2.1. Стационарное течение в круглых трубках с жесткими стенками Рассмотрим стабилизированное течение в круглой цилиндрической трубе, ось которой совпадает с осью х. Компоненты скорости вдоль осей x, y, и z обозначим через u, v и w. Кинематическую вязкость обозначим через v, давление — P.

Стабилизированным течением называют такое стационарное течение, при котором скорость потока и профиль скорости не зависят от продольной координаты. Если направление движения совпадает с осью x, то проекции скорости на оси z и y равны нулю, а проекция на ось x будет зависеть только от y и z. Такое движение имеет место в цилиндрической трубе на значительном расстоянии от входа.

В общем случае u = u(x, y, z), w = v = 0, p = p(x, y, z). Из уравнения неразрывности следует стабилизированного движения.

Уравнение Навье — Стокса в проекциях на оси имеет вид Видно, что Перейдем к цилиндрической системе координат:

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях С учетом (2.3) уравнение (2.2) принимает вид С учетом осевой симметрии (нет зависимости скорости от угла Граничные условия для уравнения (2.4):

где r0 — радиус трубы.

Решение уравнения (2.4) имеет вид Тогда окончательно получаем В безразмерном виде получим что представлено на рис. 2.1.

Рисунок 2.1. Безразмерный профиль Пуазейля Учитывая, что d p = p = Const, Q = 2 urdr, где p — перепад давления, определяем расход:

где l — длина трубы.

Выражение (2.7) представляет собой закон Пуазейля.

Средняя скорость Максимальное значение скорости (r = 0 ) 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях Сопоставление (2.8) и (2.9) показывает, что u max на оси трубы в 2 раза больше расходной иср скорости:

Безразмерный профиль скорости представляет собой параболоид вращения:

Определим сопротивление, используя формулу (2.8) и выражение для перепада давления:

получаем величину коэффициента сопротивления:

где R e =. Полученная формула (2.13) представляет собой закон сопротивления ламинарного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.

2.2.2. Нестационарное течение в круглых трубках с упругими стенками В работе [16] осуществлена постановка задачи и получены разрешающие уравнения периодического течения вязкой жидкости в толстостенном гиперупругом сосуде. Предполагается, что жидкость является однородной несжимаемой ньютоновской средой. Сосуд рассматривается как толстостенный цилиндр из ортотропного гиперупругого материала, подверженный начальным продольным и окружным деформациТечение в круглых трубках ям. На жидкость воздействует периодически изменяющийся градиент давления.

Использование предположения об осесимметричности потока и о том, что длина волны давления много больше радиуса сосуда, позволяет упростить исходную систему уравнений. Для того чтобы избежать трудностей, обусловленных подвижностью границы потока, вводится трансформация радиальной координаты со временем.

При использовании данной модели для описания течения крови в крупном кровеносном сосуде человека артериальное дерево ниже по течению моделируется с использованием замыкания Кельвина — Фойгта, что позволяет учитывать отражение пульсовой волны от периферии кровеносной системы.

В этой же работе один из разделов посвящен описанию численной методики решения задачи гидроупругого деформирования цилиндрических сосудов, разработке алгоритмов решения изучаемого класса задач и апробации методики. Проведено сравнение с результатами аналитических и численных решений ряда задач теории деформируемого твердого тела и гидродинамики.

Результирующая система нелинейных дифференциальных уравнений раскладывается в ряд по последовательности ортонормированных функций радиальной координаты. Частные производные по продольной координате приближаются центральными разностями второго порядка точности. Полученная задача Коши решается методом Рунге — Кутта или Адамса при известных начальных и конечных условиях. Достоверность результатов проверяется на модели движения вязкой жидкости в деформируемом сосуде. Рассматривается достаточно длинный (по отношению к диаметру) участок прямой трубки с круговым сечением и жесткими стенками. Трубка заполнена вязкой несжимаемой ньютоновской жидкостью, подверженной периодически изменяемому градиенту давления.

При отсутствии перемещений стенок сосуда радиальная составляющая скорости жидкости равна нулю, и продольная компонента скорости w не зависит от координаты х. Уравнение Навье — Стокса приобретает следующий вид:

причем соотношение примем независимым от х. Пусть к участx ку сосуда приложен градиент давления, зависящий от времени:

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях где А — константа. Тогда, записывая w как получим уравнение для w1:

После интегрирования данного выражения можно записать решение в явном виде:

где Re{} — действительная часть выражения в скобках; J 0 — функция Бесселя первого рода нулевого порядка, определяемая формулой Для приложенного градиента давления при А = 1 и значения параметра Уомерсли = 3,34 точное решение, вычисляемое по формуле, представлено на рис. 2.2.

Рисунок 2.2. Продольная скорость потока в жесткой трубке как функция времени и радиальной координаты, вычисленная Используемый метод (комбинирование разложения Галеркина по радиусу с приближением производных по продольной координате х конечными разностями) позволил существенно сократить размерность системы и вычислительные затраты, так как для получения необходимой точности результата достаточно 4–6 слагаемых ряда. С ростом N повышается точность расчетов, но вместе с тем растет размерность системы уравнений. Это влечет за собой дополнительные требования к мощности вычислительной системы и объему оперативной памяти.

При оценке сходимости решения были проведены расчеты для N = 3, 4,..., 8. Для каждого значения N брался профиль продольной скорости, соответствующий 90°, и вычислялась относительная ошибка, то есть степень отклонения полученного профиля от решения.

При выборе числа слагаемых ряда, то есть значения N, приходится находить компромисс между точностью вычислений и продолжительностью счета. Как правило, в рассматриваемых задачах использовалось N = 6. Также проведено исследование течения вязкой несжимаемой жидкости, порождаемого периодически изменяющимся градиентом давления, в толстостенном сосуде с гиперупругими стенками на примере течения крови в крупных кровеносных сосудах.

Рассмотрены задачи гидроупругого деформирования в предварительно растянутых сосудах, в сужающихся сосудах, в районе локального утолщения стенки. Отдельно изучены распределения напряжений внутри стенки сосуда, а также некоторые электрические аналоги артериального дерева.

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях 2.3. Моделирование энергетических воздействий на атеросклеротическую бляшку Увеличение разрешающих возможностей современных ультразвуковых приборов позволило по данным ДС судить о морфологических характеристиках атеросклеротической бляшки, взаимосвязи между прижизненной структурой атеросклеротической бляшки и опасностью возникновения осложнений. Так, с помощью данного метода исследования можно не только с точностью до 95 % определить степень стеноза, но и одновременно получить информацию о строении атеросклеротической бляшки и ее поверхности. Этот метод также позволяет оценить эмболический потенциал бляшки, то есть выявить такие бляшки, на которых возможно формирование микротромбов, склонных к изъязвлению, распаду. По данным различных авторов, возможность ДС в определении структурных особенностей атеросклеротических бляшек варьирует от 85 до 90 %. В настоящее время часто используется дуплексное сканирование вместо контрастной ангиографии при решении вопроса о целесообразности проведения превентивной операции.

Для хирурга очень важна степень протяженности атеросклеротической бляшки, так как данный параметр определяет объем хирургического вмешательства.

По данным различных авторов, существует зависимость между степенью стеноза и структурой атеросклеротической бляшки. При малых степенях стеноза в меньшем количестве случаев встречаются гетерогенные атеросклеротические бляшки, а по мере возрастания степени стеноза все больше бляшек приобретают гетерогенную структуру.

Прослеживается следующая тенденция: для малых степеней стеноза (0–40 %) не характерно наличие кровоизлияний внутрь бляшки, изъязвлений, а также признаков пристеночного тромбообразования.

С ростом процента стеноза, то есть с ростом самой бляшки, признаков такой трансформации становится больше, и при средних степенях стеноза с симптомной стороны превалируют гетерогенные поражения. Повидимому, при дальнейшем разрастании бляшек укрепляется и их соединительнотканный матрикс, что на определенных этапах может сделать бляшки более устойчивыми к аутодезинтеграции, поэтому в наблюдениях с критическими стенозами частота встречаемости гомогенных бляшек опять возрастает.

Однако в доступной литературе не исследован поток крови в месте стенозов в зависимости от угла атаки бляшки.

2.3. Моделирование энергетических воздействий на атеросклеротическую бляшку 2.3.1. Математическая постановка задачи Данный раздел посвящен методам математического моделирования движения жидкости в кровеносных сосудах при наличии атеросклеротических бляшек. В основе этих методов лежит численное решение системы уравнений Навье — Стокса и уравнения неразрывности при следующих допущениях:

— течение двумерное, осесимметричное, стабилизированное;

— жидкость несжимаемая;

— массовые силы отсутствуют.

Система замыкается следующими граничными условиями: для компонент скоростей на стенке задавались условия прилипания и неперетекания, на оси — условие симметрии, на входе — профиль Пуазейля, на выходе — «мягкие» граничные условия. Для давления на всех границах задавались градиентные условия: на стенке — полученное из соответствующей проекции уравнений Навье — Стокса, на оси симметрии — равенство радиального градиента нулю. С использованием переменных «завихренность — функция тока» система преобразовывалась к виду:

1) уравнение переноса завихренности;

2) уравнение Пуассона для функции тока;

3) уравнение Пуассона для давления, выписанные в цилиндрической системе координат. Граничные условия сформулированы для соответствующих переменных. В качестве основной использовалась неконсервативная запись уравнений. Уравнения и граничные условия приводились к безразмерному виду. Физическая область с произвольной границей с помощью соответствующей замены переменных отображалась на расчетную, в качестве которой выбран прямоугольник.

Дискретизация проводилась путем разложения функций в ряд Тейлора на равномерной сетке. Для решения полученных систем алгебраических уравнений использовались метод установления и численные методы гидродинамики. Уравнения переноса завихренности и Пуассона для функции тока решались совместно. По рассчитанным полям скоростей давление определялось путем решения уравнения Пуассона для давления.

Так как расчетная область имеет цилиндрическую симметрию, используется цилиндрическая система координат, в которой исходные уравнения Навье — Стокса в размерном виде имеют соответственно следующий вид:

1. Уравнение переноса продольной составляющей скорости:

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях 2. Уравнение переноса поперечной составляющей скорости:

3. Уравнение неразрывности:

Граничные условия для этой системы состоят из условий для скоростей:

— условия прилипания: u = 0, v = 0 при r = rW (на стенке); (2.17) — условия периодичности:

u(x, r) = u(x + l0, r), v(x, r) = v(x + l0, r) (периодичности);

— условия для давления:

Здесь необходимо отметить следующий существенный факт: на входе и на выходе из секции для давления задавались упрощенные граничные условия. При допущении, что вертикальная компонента скорости близка к нулю в этих сечениях, из уравнения (2.14) был исключен член, содержащий ее, и получено выражение для продольного градиента давления (2.21).

2.3. Моделирование энергетических воздействий на атеросклеротическую бляшку 2.3.2. Безразмерные уравнения После соответствующего «обезразмеривания» уравнения принимают следующий вид:

Граничные условия формулируются следующим образом:

— для скоростей:

U ( X, R) = U ( X + 2, R), V ( X, R) = V ( X + 2, R) (периодичности); (2.27) — для давления:

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях Из ряда работ известно, что при применении формулировки «вихрь — функция тока» при решении подобных задач сходимость была быстрее, чем в физических переменных U, V, P, включая рассмотрение давления.

Было также установлено, что точность решения в физических переменных оказывается крайне чувствительной к допуску на сходимость, введенному в блок для определения давления.

Введем в рассмотрение безразмерный вихрь и безразмерную функцию тока:

Продифференцировав уравнения (2.22) по R и (2.23) по X и произведя почленное вычитание одного из другого, получаем с учетом (2.25) уравнение переноса вихря. Выполнив подстановку (2.19) в (2.18), получим уравнение Пуассона для функции тока. Продифференцировав (2.22) по X и (2.23) по R и произведя почленное сложение, получим уравнение Пуассона для давления:

— уравнение переноса вихря:

— уравнение Пуассона для функции тока:

— уравнение Пуассона для давления:

R R R R X R X X R

2.3. Моделирование энергетических воздействий на атеросклеротическую бляшку Граничные условия записываются следующим образом:

Граничные условия для вихря:

Граничные условия для давления не меняются.

2.3.3. Расчетные соотношения и граничные условия Если решать приведенную выше систему уравнений (2.33)–(2.35) для каждой конкретной геометрии труб переменного сечения, то необходимо для каждого варианта использовать свои граничные условия, учитывающие различия конфигураций расчетной области. Для обеспечения универсальности граничных условий была выполнена замена переменных:

При этом область с любой конфигурацией переходит в прямоугольную область, но вид уравнений изменяется в соответствии с формулами 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях После этого уравнения и граничные условия (2.33)–(2.40) приобретают следующий вид:

2.3. Моделирование энергетических воздействий на атеросклеротическую бляшку

V V U V V V V

Граничные условия для давления запишем через вихрь:

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях В качестве начального приближения при численном расчете использовались выражения для вихря и функции тока в приближении пуазейлевского течения:

Модельное поле для давления (нулевое приближение) выбрано в виде:

Решая уравнения (2.33) и (2.34) с использованием граничных условий (2.36)–(2.41) и начального приближения для вихря и функции тока (3.57) и (3.58), можно получить скорости, поля функции тока и завихренности. На рис. 2.3–2.6 представлены расчеты поля давления в сосудах со стенозом. Расчеты проводились при Re = 50.

На рис. 2.3 видно, что в районе склеротической бляшки имеют место искривления линий равного давления (уменьшение по модулю слева направо), следовательно, перепад давления на верхней поверхности бляшки будет больше, чем на нижней, соответственно, в бляшке должны возникнуть горизонтальные напряжения.

Для сравнения на рис. 2.7–2.9 приведены реальные ультразвуковые изображения сосудов с атеросклеротической бляшкой. Сравнение показывает хорошее совпадение расчетных и реальных полей скоростей и давлений в пораженных сосудах.

2.3. Моделирование энергетических воздействий на атеросклеротическую бляшку Рисунок 2.3. Изолинии давления Рисунок 2.4. Поле скоростей при Рисунок 2.5. Поле скоростей Рисунок 2.6. Поле скоростей при высоте 0,4R и ширине 0,3R при высоте 0,4R и ширине 0,4R Рисунок 2.7. УЗ-изображение Рисунок 2.9. УЗ-изображение 3 сосуда с бляшкой 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях Зная значение компонент скорости, можно определить значение локального сопротивления трения: полного сопротивления трения в трубе переменного сечения с заданной синусоидальной формой образующей.

Таким образом, в окончательном варианте для нахождения полей,, U, V решались уравнения (2.33), (2.34) с граничными условиями (2.36)–(2.41). Поле давления рассчитывалось из уравнения (2.35) с граничными условиями (2.54)–(2.57).

Согласно полученной математической модели, путем ввода в уравнения 3 основных углов наклона бляшек мы получили возможность визуализации энергетического вихря, воздействующего на дистальную по отношению к кровотоку поверхность бляшки.

Следовательно, чем более тупой угол атаки бляшки, тем больше энергетика вихря, разрушающего бляшку, и выше опасность микроэмболизации дистального русла. Полученные результаты опубликованы в [17].

В частных случаях (стеноз сонных, почечных сосудов, подколенной артерии) микроэмболизация, развиваясь порой бессимптомно, вызывает выраженные периферические нарушения.

Таким образом, в разд. 2.3 разработаны математические модели движения жидкости в кровеносных сосудах, в основе которых лежит численное решение системы уравнений Навье — Стокса и уравнения неразрывности при следующих допущениях: течение двумерное, осесимметричное, стабилизированное; жидкость несжимаемая; массовые силы отсутствуют. Исследование течения потока крови путем ввода в уравнения трех основных углов наклона атеросклеротических бляшек дало возможность визуализации энергетического вихря, воздействующего на дистальную по отношению к кровотоку поверхность бляшки. Показано, что чем более тупой угол атаки бляшки, тем больше энергетика вихря, разрушающего бляшку, и выше опасность микроэмболизации дистального русла. Полученные результаты позволяют учитывать форму атеросклеротической бляшки и расширить показания к превентивному хирургическому лечению, которые ранее определялись только по степени стеноза (сужения) сосудов.

2.4. Моделирование поведения потока крови в сосудах с атеросклеротическими бляшками 2.4.1. Двумерная постановка и решение задачи Для определения гидродинамических особенностей течения в сосудах со стенозом решалась полная система уравнений Навье — Стокса, дополненная уравнением неразрывности. В качестве первого приближения 2.4. Моделирование поведения потока крови в сосудах с атеросклеротическими бляшками задача была решена в двумерной постановке, кровяной поток считался несжимаемой жидкостью [1]. Расчетная область приведена на рис. 2.10, на котором показана атеросклеротическая бляшка.

Рисунок 2.10. Схема расчетной области Система расчетных уравнений имеет вид Система содержит следующий безразмерный параметр: Re = — число Рейнольдса.

В качестве начальных данных задается исходное поле скоростей и давления. В качестве начального поля скоростей выбран профиль Пуазейля. На продольный градиент давления налагалась синусоидальная волна возмущений.

Для удовлетворения граничных условий на препятствии применим описанный в работе [30] метод фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам в расширенной области D0 D. Вспомогательную задачу для системы уравнений (2.60), (2.61) можно сформулировать следующим образом:

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях значения составляющих скорости ветра и температуры на нижней границе.

Для численного решения сформулированной задачи в качестве основы был взят описанный в [18] метод расщепления. В отличие от [18] в настоящей работе для аппроксимации конвективных членов использованы разности против потока, что приводит к повышению устойчивости расчетного алгоритма для более высоких чисел Рейнольдса и Пекле.

Пусть в некоторый момент времени t n = n ( — шаг по времени, n — число шагов) известны поля скорости V = (u,w), давления P. Тогда процедуру определения неизвестных функций в момент времени t n+1 = (n + 1) представим в виде трехэтапной схемы расщепления.

На первом этапе определим промежуточные значения скорости, температуры и концентрации по уравнениям На втором этапе по вычисленным на первом этапе промежуточным значениям скорости проведем расчет поля давления по уравнению Пуассона:

2.4. Моделирование поведения потока крови в сосудах с атеросклеротическими бляшками На третьем этапе определим окончательные (на временном слое n + 1) значения скорости, температуры и концентрации по уравнениям На основании вышеизложенного можно определить следующий цикл вычислений:

1. По известному в начальный момент времени полю скорости из уравнений (2.65), (2.66) находится промежуточное поле скорости. При этом определяется правая часть уравнения (2.67).

2. После этого решается уравнение Пуассона (2.67) с целью определения давления.

В дальнейшем подправляется на текущем временном слое поле скорости с использованием уравнений (2.68), (2.69).

Поиск решения рассматриваемой задачи происходит в прямоугольной области D D0. В качестве начальных данных задаются исходные поля скорости и давления.

Начальный профиль скорости зададим следующим образом:

Для давления за начальное распределение примем гидростатическое.

Следовательно, рассматриваемое избыточное давление P будет равно Теперь обратимся к краевым условиям.

Во входном сечении рассматриваемой области, то есть при x = 0, значения скорости, давления, температуры совпадают с начальными условиями:

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях На выходе, то есть при x = L, используются следующие условия:

На нижней границе рассматриваемой области, то есть при z = 0, примем следующие граничные условия:

При расчете полей искомых величин на 1-м этапе проводится прямое продвижение по времени с контролем условия устойчивости в виде ограничения на максимальный шаг по времени [18]:

При исследовании устойчивости схемы численного расчета для первого этапа был использован метод дифференциальных приближений [19, 20], основанный на определении условий положительности коэффициентов диффузии соответствующих дифференциальных приближений.

Отметим, что при отрицательных коэффициентах диффузии у диссипативных членов дифференциального приближения допускается экспоненциально возрастающее во времени решение, что говорит о неустойчивости [18]. Для уравнений второго и третьего этапов был использован метод фон Неймана [20], в котором решение уравнений представляется рядом Фурье с конечным числом членов и устойчивость определяется тем, что каждое отдельное колебание затухает.

Численное исследование течения крови в магистральных артериях с тромбозом показало, что наблюдается значительное увеличение скорости и, как следствие, образование области с пониженным давлением, что приводит к турбулизации потока и возможному образованию кавитационных каверн. Следует отметить, что турбулизация потока как непосредственно способствует разрушению бляшки, так и играет роль катализирующего фактора при возникновении кавитационных явлений.

Увеличение касательных напряжений при турбулизации потока приводит 2.4. Моделирование поведения потока крови в сосудах с атеросклеротическими бляшками к разрушению макромолекул, в обычном случае стабилизирующих поток, и способствует возникновению дополнительной неустойчивости [21].

Обычно предполагается, что кавитация возникает спонтанно, как только местное давление падает ниже давления насыщающих паров, но в действительности обстановка оказывается значительно сложнее. В частности, доминирующее влияние оказывает поверхностное натяжение, причем его значение настолько велико, что традиционные предположения могут даже не давать первого приближения к действительности [22]. В других случаях решающее влияние могут оказывать растворенные примеси и такие, казалось бы, посторонние факторы, как акустическое, поверхностное воздействие и степень турбулентности. Даже взаимодействие двух или более таких явлений может оказать значительное влияние на риск возникновения кавитации [22]. Риск образования кавитационных каверн также возрастает при гипертермии потока в пораженном сосуде.

На рис. 2.11 (с. 71) видно, что наличие анастомоза обусловливает существенную неоднородность в распределении поля давления, на наветренной стороне наблюдается увеличение гидродинамического давления по сравнению с основным потоком, а на подветренной стороне возникает зона с отрицательным давлением на поверхности бляшки. Возникающее локальное отрицательное давление служит источником дополнительных напряжений на поверхности и в совокупности с неоднофазностью потока крови может привести к возникновению неразвитой кавитации. По расчетным данным был вычислен коэффициент кавитации s = 48,5, что говорит об отсутствии развитого кавитационного обтекания, но не исключает возникновения кавитационных явлений в моменты времени, соответствующие максимальному увеличению скорости. Пульсирующий характер течения и высокая температура среды облегчают условия возникновения данного эффекта. Как следствие этого, образующиеся пузырьки переносятся в область с более высоким давлением и разрушаются, вследствие чего возникают значительные (до сотни атмосфер) приращения местного давления, что, в свою очередь, приводит к изъязвлению подветренной части бляшки (рис. 2.12).

Кроме того, наблюдается значительное увеличение скорости непосредственно в сужении и за ним (рис. 2.13), что приводит к турбулизации потока, ввиду чего возникают значительные касательные напряжения на подветренной стороне бляшки (турбулентные напряжения больше ламинарных примерно на два порядка). Это может привести к срыву верхнего плотного слоя бляшки и ее дальнейшему разрушению. Возникающие в турбулентном следе пульсации давления способствуют разрушению поверхности бляшки и могут служить дополнительным катализатором 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях возникновения кавитационных явлений. Следует отметить, что пульсационный характер течения приводит к непостоянству расхода, поэтому вычисление числа Рейнольдса неоднозначно. В данном расчете Re = (средняя вязкость равна 4,5 сантипуаза), в области локального сужения оно возрастает до 2200, что близко к критическому значению для гладких цилиндрических труб, и в совокупности с такими возмущающими факторами, как пульсационность, шероховатость стенок пораженного сосуда и неправильная форма проходного сечения, приводит к возникновению турбулентного следа. Рассчитано, что увеличение скорости потока в узком сечении при степени анастомоза 60 % приводит к уменьшению местного давления приблизительно на 1300 Па. Скорость возникающего вихревого течения существенно ниже скорости основного потока, что говорит о несущественности механизма размывания задней поверхности бляшки. Линии тока представлены на рис. 2.14.

Рисунок 2.12. Поле скорости в области, имитирующей сосуд с Рисунок 2.13. Детализация поля скорости в области Рисунок 2.14. Линии тока при пульсационном обтекании потоком крови атеросклеротической бляшки Полученные распределения гидродинамических характеристик потока позволяют оценить механизмы деструктивного воздействия на бляшку:

1) в области с пониженным давлением может возникать кавитация, паровые пузырьки переносятся в область с большим давлением вниз по потоку (на задней стенке), могут также схлопываться, что приводит к изъязвлению бляшки;

2.4. Моделирование поведения потока крови в сосудах с атеросклеротическими бляшками 2) возникновение турбулентного пятна на границе вихревой области приводит к тому, что касательные напряжения могут увеличиваться на два порядка.

2.4.2. Моделирование поведения потока крови при стенозе сосуда в пространственной области Для решения задачи в трехмерной постановке использовался метод, принципиально аналогичный методу, описанному в предыдущем разделе, кровяной поток считался несжимаемой жидкостью [1]. Расчеты проведены для области, имитирующей сосуд с анастомозом в 30 %. Расчетная область приведена на рис. 2.15.

Рисунок 2.15. Схема расчетной области Система расчетных уравнений имеет вид 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях Система содержит следующий безразмерный параметр: Re = — число Рейнольдса.

В качестве начальных данных задается исходное поле скоростей и давления. В качестве начального поля скоростей выбран профиль Пуазейля. На продольный градиент давления налагалась синусоидальная волна возмущений.

Запишем вспомогательную задачу для системы уравнений (2.70)–(2.73):

значения составляющих скорости ветра и температуры на нижней границе.

Метод численного решения системы уравнений (2.74)–(2.76) аналогичен описанному в подп. 2.3.1.

Начальный профиль скорости зададим следующим образом:

Для давления за начальное распределение примем гидростатическое.

Следовательно, рассматриваемое избыточное давление P будет равно нулю, то есть P(0, x, у, z) = 0.

2.4. Моделирование поведения потока крови в сосудах с атеросклеротическими бляшками Из данных рис. 2.16 (с. 71) можно определить, что максимум завихренности находится в верхней точке нижнего препятствия, что создает дополнительные напряжения на стенке бляшки. Обратимся теперь к исследованию полей скорости и давления.

Нестационарность поля скорости приводит к тому, что поля скорости и давления становятся существенно нестационарными, причем максимум скорости смещается в область вниз по потоку. Значительное возрастание скорости приводит к существенному понижению давления, что совместно с увеличением завихренности может служить причиной возникновения кавитационных явлений. Нестационарные поля давления представлены на рис. 2.16–2.21 (с. 71–73).

Локальное увеличение скорости приводит не только к уменьшению давления, но и к возникновению отрицательного давления, что способствует срыву поверхностного слоя бляшки (рис. 2.21). Полученные результаты опубликованы и использовались в работах [23–27].

Итак, в разд. 2.4 исследована проблема разрушения атеросклеротических бляшек: на микроуровне разработаны физическая и математическая модели пульсирующего течения в области, имитирующей пораженный сосуд. Исследование гидродинамических особенностей течения в сосудах со стенозом осуществлялось на основе полной системы уравнений Навье — Стокса, дополненной уравнением неразрывности.

Исследование модели показало, что наблюдается значительное увеличение скорости в области анастомоза и, как следствие, образование каверн.

Увеличение скорости в области сужения приводит к возрастанию местного числа Рейнольдса и возникновению турбулентного следа за бляшкой. Возникающие при этом пульсации давления способствуют разрушению поверхности бляшки и могут служить причиной возникновения кавитационных явлений. Увеличение касательных напряжений при турбулизации потока приводит к разрушению макромолекул, обычно стабилизирующих поток, и способствует возникновению дополнительной неустойчивости. Полученные распределения гидродинамических характеристик потока в пространственной области позволяют точнее оценить механизмы деструктивного воздействия на бляшку:

а) в трехмерной области с пониженным давлением может возникать явление кавитации, при котором паровые пузырьки переносятся в область с большим давлением вниз по потоку (на задней стенке) и схлопываются, что приводит к изъязвлению бляшки;

б) возникновение турбулентного пятна на границе трехмерной вихревой области приводит к тому, что касательные напряжения могут увеличиваться на два порядка.

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях Риск образования кавитационных каверн также возрастает при гипертермии потока в пораженном сосуде, что имеет большое прикладное значение (например, это следует учитывать при повышении температуры после операции). Таким образом, впервые исследованы условия возникновения кавитации и турбулентности, которые разрушают бляшку.

Исследованные патофизиологические механизмы гидродинамики кровообращения позволяют более качественно диагностировать заболевание, своевременно выбрать адекватные меры терапевтического лечения, профилактики ишемических нарушений и расширить показания к превентивному хирургическому лечению.

2.5. Исследование поведения потоков крови в извитых сосудах Кроме наличия атеросклеротических бляшек, нарушению кровоснабжения мозга (и, следовательно, значительному увеличению риска возникновения инсульта) способствует извитость кровеносных сосудов (в данном случае сонных артерий). В этом разделе исследовано влияние степени искривления кровеносного сосуда на изменение расхода жидкости в пораженном сосуде.

2.5.1. Патологическая извитость Встречаемость ПИ ВСА составляет, по различным данным, от 5 до 7 % случаев среди взрослого населения [45–47]. В настоящее время ПИ ВСА занимает второе место среди причин, обусловливающих развитие ХСМН [45]. Большинство фундаментальных работ, посвященных изучению аномалий сонных артерий, в отличие от таковых по каротидному стенозу выполнено на данных патологоанатомических вскрытий и прижизненной ангиографии [51]. Извитость экстракраниальной части внутренней сонной артерии отмечена в 16 % церебральных ангиограмм [45].

Основываясь на данных секционного материала, можно утверждать, что ПИ ВСА встречается в 30 % случаев в зоне предшествующего ишемического инсульта [45, 48].

Появление неинвазивного метода исследования сосудов — дуплексного сканирования, сочетающего в себе преимущества визуализации и количественной оценки кровотока, позволило расширить представления об этой патологии [49]. Опубликованные в конце 1990-х гг. результаты популяционных исследований с использованием методики дуплексного сканирования продемонстрировали высокую частоту деформаций внутренней сонной артерии не только у людей, имеющих цереброваскулярные симптомы, но и у лиц, не имеющих симптомов сосудистой недостаточности головного мозга.

Изучение аномалии внутренней сонной артерии, ее роли и места в развитии острых и хронических нарушений мозгового кровообращения, разработка оптимальных методов лечения являются актуальной проблемой сосудистой хирургии, требующей научного разрешения. В настоящее время существует множество различных методик хирургической коррекции данной патологии. По литературным данным, хирургическую коррекцию ПИ первыми успешно выполнили в 1959 году Quattelbaum, Upson и Kistin [50]. В настоящее время оперативное лечение данной патологии крайне разнопланово.

Другим аспектом проблемы является вопрос о развитии гемодинамически незначимых конфигурационных аномалий, при каком виде и степени извитости необходимо оперировать пациента, какие рекомендации ему дать для последующей курации при обнаружении гемодинамически незначимых конфигурационных аномалий.

Целью данного раздела является дать гипотетическую оценку развития S-образной извитости ВСА методами математического моделирования.

С 1999 по 2004 год в отделении ангионеврологии отдела неотложной и восстановительной хирургии сосудов ИНВХ им. В.К. Гусака АМН Украины г. Донецка оперировано 197 пациентов с различными вариантами ПИ ВСА, обусловившей разные степени ХСМН. Хочется отметить, что большинство пациентов для оперативного лечения отобраны на основании скрининговой программы населения Донецкой области, проводимой по инициативе дирекции ИНВХ АМНУ им. В.К. Гусака (ультразвуковое дуплексное ангиосканирование с транскраниальным сканированием).

Рассматривая гистологическую структуру ПИ ВСА, мы выделяем четыре зоны: зона анастомоза, предызвитости, извитости, постстенотического расширения. Зоны ВСА представлены на рис. 2.22.

Данные гистологических исследований зоны анастомоза свидетельствуют о практически нормальном строении стенки артерии. В зоне предызвитости имелись разрывы при отсутствии эластических волокон в медии. Для зоны ПИ характерны: диспластические изменения, локализованные непосредственно в зоне поражения ПИ, замещение эластических волокон на соединительные; деструктивные изменения в участке ПИ являются ответной реакцией на механическую стимуляцию, созданную кровотоком; при ПИ ВСА, особенно под острым углом, отмечается сужение просвета артерии из-за выпячивания дубликатуры сосудистой стенки.

При малой кривизне ПИ сосудистая стенка значительно толще за счет всех слоев, чем стенка по большой кривизне, где она тоньше, иногда 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях встречаются микроаневризмы. В интиме отмечалось неравномерное гиперплазирование и фиброзирование, пропитывание липидами (вторичный атеросклероз), внутренняя эластическая мембрана была расщеплена участками, многослойна, прерывиста, в медии выявлялись очаговое мозаичное перераспределение гликозаминогликанов, фуксинофилия, картина неоколлагеноза (преимущественно коллаген III типа), мозаичная пикринофилия — свидетельство об активном процессе фиброзирования.

В адвентиции выявляется фиброзный процесс с наибольшей выраженностью по малой кривизне ПИ, который фиксирует артерию в изогнутом положении; постоянная фиксация артерии в изогнутом состоянии приводит не только к стенозированию, но и к перестройке в сосудистой стенке с формированием подушкообразного утолщения зоны постстенотического расширения, в таких расширениях выявлен коллаген IV типа.

Рисунок 2.22. Условные зоны конфигурационно измененной ВСА Примечания: 1 — зоны анастомоза, 2 — зона предызвитости, 3 — зона ПИ, 4 — зона На основе данных гистологического исследования и анализа осложнений сделаны выводы о более безопасной реплантации ВСА в ОСА без предшествующей ее резекции, с формированием нового устья, как показано на рис. 2.23.

Рисунок 2.23. Предпочтительная схема операции По данной методике оперировано 145 пациентов. При контрольных осмотрах пациентов с обязательным ультразвуковым исследованием в сроки до 5 лет после операции не отмечено осложнений со стороны зон реконструкции.

2.5.2. Исследование поведения потока крови при патологической извитости сонной артерии По данным ряда исследователей, изучавших патомеханику кровотока, в зоне патологической извитости сонных артерий возникают гемодинамические феномены, такие как отрыв пограничного слоя, повышение напряжения сдвига, формирование области турбулентного тока крови, что способствует пристеночному тромбозу. С другой стороны, ПИ является гемодинамическим барьером, который при определенных условиях может привести к снижению объемного кровотока в артерии и возникновению сосудисто-мозговой недостаточности [6, 7].

Проблемам расчета течений крови в сосудах посвящены многие работы, в частности работы авторов [8, 9]. В данной статье исследовано влияние степени искривления кровеносного сосуда на изменение расхода жидкости в пораженном сосуде.

Расчетную область определим следующим образом: к искривленному участку исследуемого сосуда примыкают прямолинейные входной и выМоделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях ходной участки, необходимые для стабилизации потока и последующей постановки нейтральных граничных условий на выходе расчетной области.

Поток крови будем считать несжимаемой жидкостью, стенки жесткими.

Динамика поведения потока описывается системой уравнений Навье — Стокса. Для обеспечения общности расчета система приведена к безразмерному виду.

Система содержит следующий безразмерный параметр: Re = — число Рейнольдса. В данном случае Re = 500.

В качестве начальных данных задается исходное поле скоростей и давления.

В качестве начального поля скоростей выбран профиль Пуазейля.

Начальный профиль скорости зададим следующим образом:

Для давления за начальное распределение примем гидростатическое.

Следовательно, рассматриваемое избыточное давление P будет равно нулю, то есть P(0, x, у, z) = 0. Метод численной реализации и проверки устойчивости изложен в работах [10, 11].

Рассмотрим два случая кривизны внутренней границы искривленного участка:

где a — полуось эллипса вдоль оси х, b — вдоль оси у.

Для компенсации этого эффекта должен возникать радиальный градиент давления [11]. Проведенные расчеты подтверждают это. Кроме того, деформация профиля давления, возникающая в результате возникновения радиального градиента, приводит к развитию отрывных зон и возвратных течений и возникновению силы, способствующей растяжению искривленного участка. Поля давления и линии тока крови представлены на рис. 2.24, 2.25 (с. 74).

На них изображены поля давлений и линии тока для двух рассмотренных случаев. Из их сравнения видно, что уменьшение радиуса кривизны приводит не только к увеличению отрывной зоны, начинающейся в среднем сечении, но и к возникновению отрыва потока еще в двух местах: на внешней границе искривленной зоны и вниз по потоку на прямолинейном участке.

2.5. Исследование поведения потоков крови в извитых сосудах Рисунок 2.26. Профиль скорости на входе в искривленную область Рисунок 2.27. Профиль скорости на выходе из искривленной области 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях Рисунок 2.28. Профиль скорости на выходе из искривленной области На рис. 2.26–2.28 представлена деформация поля скорости после прохождения искривленной области. На рис. 2.26 приведен профиль скорости до прохождения искривленной области. Отсутствие излома говорит о том, что отсутствуют отрывные зоны. Излом профиля на рис. 2.27. и 2.28 свидетельствует о возникновении отрывных зон.

Кроме того, что данный эффект сильнее проявляется в случае б), профиль скорости в этом случае становится более заполненным, что говорит о возможной турбулизации течения и увеличении трения на твердых стенках. Увеличение области отрывных течений приводит к уменьшению проходного сечения, что вместе с увеличением трения приводит к сокращению расхода [8–11]. В данной работе было рассчитано отношение расходов на выходе расчетной области в случаях а) и б):

Как видно, уменьшение расхода значительное, но не критичное.

Гораздо более важную роль играет возникновение нескольких отрывных зон (случай б)). В целом возникновение системы вихрей свидетельствует о растущей неустойчивости потока. В случае же внешних возмущений, увеличения пульсаций давления в частности, будет наблюдаться резкое снижение расхода, а при значительной деформации поля давления — даже обратное течение. Таким образом, смыкание сосудов приводит к увеличению областей отрывных течений и, как следствие, потере потоком устойчивости. Дальнейшее развитие вихревых структур приводит к резкому снижению расхода, а значительная деформация поля давления обусловливает возникновение обратных течений, что блокирует нормальный кровоток в пораженном сосуде.

2.5.3. Исследование поведения потоков крови при S-образной патологической извитости сонных артерий Исследуем поведение потока крови при наличии (двойной) S-образной извитости. На рис. 2.29–2.32 (с. 75–76) представлены поля давления и линии тока различных конфигураций S-образной патологической извитости.

На рис. 2.29 представлены поля давления и линии тока в случае двойной извитости. На рис. 2.29 б показано образование аневризмы, которая возникает как компенсационный механизм для увеличения пропускной способности кровеносного сосуда и, кроме того, как результат увеличения статического давления в изогнутой области. Это приводит к тому, что, однажды возникнув, извитость кровеносных сосудов будет прогрессировать. Более того, возникновение области с пониженным статическим давлением на внутренней поверхности искривленной области приведет к тому, что извитые сосуды будут схлопываться. Это проиллюстрировано на рис. 2.31, 2.32 (с. 76–77).

На рис. 2.32 показано поле скорости и направление векторов скорости. Можно отметить, что после прохождения искривленной области значительно сужается проходная часть сосуда, что приводит к уменьшению расхода и, как следствие, к уменьшению поступления кислорода в мозг.

2.5.4. Гипотеза развития S-образной извитости ВСА Из вышесказанного следует, что при дегенеративных изменениях в стенке извитого сосуда (а без изменения гистологической структуры невозможно возникновение конфигурационных аномалий) кровоток по зоне изгиба носит ремоделирующий характер. Мы считаем, что любой изгиб при определенных условиях стремится к схлопыванию, то есть возникает ангулярный перегиб. Данный процесс во времени схематично изображен на рис. 2.33.

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях Кроме теоретических расчетов, эту гипотезу подтверждают и экспериментальные данные. Например, на рис. 2.34 (с. 77) представлено изображение сонных артерий, полученное на МРТ. На нем видна патоИсследование поведения потоков крови в извитых сосудах логическая извитость (петля) сонных артерий. При этом на правом изображении сонной артерии видна последняя степень патологической извитости. На левом изображении присутствует І степень патологической извитости. На рис. 2.35 (с. 77) для примера показан операционный снимок сонной артерии (той же, что на рис. 2.34).

2.5.5. Влияние образования аневризмы на течение в сосуде с S-образной извитостью Далее рассмотрим течение в сосудах с S-образной извитостью и исследуем влияние образования аневризмы на характеристики потока.

Данные расчетов приведены на рис. 2.36–2.38 (с. 78–79).

На рис. 2.36 показан извитой сосуд без деформации поперечного сечения. При прохождении жидкости по искривленному участку происходит ускорение жидкости и, как следствие этого, локальное изменение давления в поперечном направлении, достигающее своего максимума на внешней (по отношению к центру кривизны) стороне изогнутого участка. Кроме этого, неоднородность давления по поперечному сечению приводит к возникновению отрывных зон и уменьшению проходного сечения сосуда.

Как следствие силового воздействия на внешнюю стенку искривленного сосуда, а также как компенсаторный механизм для увеличения проходного сечения возникает аневризма. При увеличении локально максимальное давление растет на внешней стенке и смещается вниз по потоку.

Однако рост давления на внешней стенке замедляется (рис. 2.37, 2.38).

Можно предположить, что аневризма достигает оптимального значения, при котором диаметр проходного сечения первого искривления сравним с диаметром неискривленного сосуда (рис. 2.38).

Если рассмотреть второе искривление, то можно отметить, что с ростом аневризмы поле давления становится более однородным, что приводит к уменьшению отрывной зоны и, соответственно, к увеличению проходного сечения сосуда.

В заключение можно сказать, что возникновение аневризмы в сосудах с S-образной извитостью носит компенсаторный характер и приводит к улучшению кровотока, однако этот положительный эффект нивелируется уменьшением эластичности сосудов. В качестве рекомендаций к оперативному вмешательству можно предложить не удаление S-образной извитости, а фиксацию аневризмы оптимального размера, что позволит улучшить кровоток без оперативного вмешательства.

Результаты, представленные в данном разделе, опубликованы в работах авторов [29–38].

2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях Таким образом, исследовано поведение потоков крови в извитых сосудах при различных радиусах кривизны. Показано, что значительная деформация поля давления при больших радиусах кривизны приводит к возникновению обратных течений, что блокирует нормальный кровоток в пораженном сосуде. Изгиб артерии при определенных условиях стремится к схлопыванию, и, следовательно, может возникнуть ангулярный перегиб. Полученные результаты справедливы и для других типов извитости, поскольку они, как правило, содержат S-образную извитость.

2.6. Исследование и визуализация поведения потоков крови в ветвящихся сосудах Распределение потоков крови после выполненной операции (каротидной ЭАЭ) является актуальной проблемой современной ангионеврологии. В данном разделе исследуется поведение потоков крови в развилке, то есть там, где происходит ветвление сосудов. Сама развилка является источником многих проблем хотя бы с самых общих позиций, так как представляет некоторую неоднородность. Здесь нарушается ламинарность течения крови, присутствуют зоны отражений пульсационных волн и т.п. Напомним, что «излюбленным» местом образования атеросклеротических бляшек является развилка общей сонной артерии на внутреннюю и наружную (бляшки формируются во внутренней сонной артерии после развилки), что представлено на рис. 2.39 (с. 79). Отметим, что элемент развилки является также центральным при хирургической операции на сосудах. Развилка образуется, например, при вшивании сосуда-протеза, и выбор геометрической конфигурации (угол между сосудами, соотношение диаметров ветвящихся сосудов) обусловливает дальнейшее поведение потоков крови (после операции). Следует отметить, что многие послеоперационные осложнения являются следствием выбора неправильной конфигурации.

Несмотря на значительные успехи хирургического лечения больных с артериальной патологией, достигнутые в настоящее время, различные послеоперационные осложнения встречаются еще довольно часто. Все осложнения ближайшего послеоперационного периода можно условно разделить на две большие группы: неспецифические, характерные для всех сосудистых операций вообще, и специфические, типичные для отдельных операций или какой-либо патологии.

Острый тромбоз артерий и сосудистых протезов в основном развивается в ближайшие 7 суток послеоперационного периода. Частота острого тромбоза после восстановительных операций на брюшной аорте и артериях нижних конечностей варьирует от 5 до 30 %. Это осложнение возниИсследование и визуализация поведения потоков крови в ветвящихся сосудах кает реже после аортоподвздошных, чем после бедренно-подколенных реконструкций. Справедливо считается, что главной причиной острого тромбоза являются хирургические ошибки. Все хирургические ошибки можно разделить на концептуальные и технические. К разряду концептуальных ошибок относится прежде всего недооценка морфологического и функционального состояния артерий за пределами реконструируемого сегмента (пути оттока и притока). Так, известно, что тяжелое окклюзирующее поражение артерий голени резко увеличивает количество тромбозов после бедренно-подколенного или бедренно-берцового шунтирования. Вероятность тромбоза повышается при шунтировании как в изолированный сегмент подколенной или берцовой артерий, так и при аортобедренном шунтировании у больных с «многоэтажными» окклюзиями. Сюда же можно отнести неправильный выбор объема реконструктивной операции. К примеру, если при аортобедренном шунтировании одновременно не корригируется имеющийся стеноз ГБА, то вероятность острого тромбоза возрастает. Другим примером может служить использование неадекватных по параметрам аутовены или по своим качествам аллопротезов. Наконец, следует упомянуть и о превышении показаний к восстановительным сосудистым операциям. Попытка улучшить кровообращение конечности при отсутствии реальных условий местной операбельности почти неминуемо заканчивается тромбозом. Ошибки хирургической техники являются самой частой причиной острого тромбоза. Они разнообразны и не всегда поддаются учету. По данным некоторых авторов, в 30 % всех случаев острого тромбоза не удается точно установить причину. Чаще всего встречаются следующие ошибки: стеноз сосудистых анастомозов, повреждение сосудистой стенки зажимами, оставление интимального клапана при эндартерэктомии, неполная дезоблитерация артерии, перегиб сосудистого протеза, скручивание его по оси или сдавление в канале, чрезмерное натяжение сосудистого протеза, ведущее к деформации анастомозов, нарушение геометрии сосудистого анастомоза, оставление сгустков крови в просвете сосудистого протеза после включения в кровоток, ошибки в приготовлении аутовенозного трансплантата. Сужение сосудистого анастомоза может быть обусловлено различными причинами: несоответствием артериотомии и диаметра сосудистого протеза; слишком большим захватом в шов краев сшиваемых сосудов; сшиванием толстостенной артерии и малокалиберной вены.

Чтобы избежать слишком больших гемодинамических нарушений в зоне сосудистого анастомоза, следует избегать большой разницы в диаметрах сшиваемых сосудов; при анастомозе типа «конец в бок» оптимальным считается угол в 45°, а поперечник артериотомии должен приближаться к диаметру сосудистого протеза. Отслоенная и свободно провисающая в 2. Моделирование потоков крови в сосудах при различных патологиях просвет артерии интима нарушает кровоток и ведет к тромбозу. Поэтому после дезоблитерации артерии следует обязательно убедиться в отсутствии интимального клапана и при необходимости фиксировать интиму швами. Отслойка интимы может произойти во время наложения анастомоза, если она не захватывается надежно в шов. После пропитывания сосудистых протезов кровью в них могут остаться сгустки. Они должны быть тщательно удалены до включения кровотока. Перегибу сосудистых протезов в искусственных каналах способствует их недостаточное натяжение, раскручиванию по оси — невнимательное отношение к осевой метке на сосудистом протезе. Чтобы избежать скручивания аутовены при бедренно-подколенном шунтировании, ее проводят по каналу на бедре в заполненном состоянии. Слишком большое натяжение сосудистого протеза также вредно, так как приводит к его сужению и к нарушению правильной конфигурации анастомозов. Дополнительное напряжение швов анастомоза может привести к их прорезыванию. Много ошибок допускается в процессе приготовления аутовенозного трансплантата. Так, слишком большое давление при гидравлическом растяжении вены приводит к незамеченному разрыву интимы с последующим тромбообразованием на этом месте; перевязка венозных притоков вплотную к основному стволу может привести к захвату его стенки и локальному сужению, а оставление длинной культи притоков ведет к образованию «слепого мешка» как очага тромбообразования; оставление перетяжек из периадвентициальной ткани также стенозирует просвет вены; грубое манипулирование при выделении вены, как и использование сильных раздавливающих зажимов, приводит к повреждению эндотелия и созданию благоприятных условий для тромбоза. Наконец, причинами острого послеоперационного тромбоза, хотя и редко, могут служить нарушение сердечной деятельности и центральной гемодинамики (гипотония при инфаркте миокарда, аритмия), гиповолемия или неадекватная гепаринизация.

Итак, правильный выбор геометрической конфигурации дает возможность при оперативном вмешательстве исключить факторы, способствующие дополнительной дестабилизации потока, и снизить риск послеоперационных осложнений.

2.6.1. Течение крови при разветвлении сосудов Поток крови будем считать несжимаемой жидкостью, стенки жесткими. Численное исследование поведения потоков проведено путем решения полной системы уравнений Навье — Стокса, приведенной выше (2.14)–(2.17). Для обеспечения общности расчета система приведена к безразмерному виду. В качестве начальных данных задается исходное 2.6. Исследование и визуализация поведения потоков крови в ветвящихся сосудах поле скоростей и давления. В качестве начального поля скоростей выбран профиль Пуазейля. При решении использовались численные методы, основы которых изложены в [2, 3, 18–20, 30].

Сложность расчета течения в изогнутом канале обусловлена тем, что движение не может происходить всюду параллельно искривленной оси и должны быть поперечные (вторичные) составляющие скорости.

Действительно, частица жидкости, чтобы двигаться по кривой траектории радиуса R со скоростью w, должна испытывать действие боковой силы, обеспечиваемой в потоке градиентом давления и сообщающей частице боковое ускорение w2/R. Далее градиент давления, действующий на все жидкие частицы, распределен почти однородно, а вследствие прилипания скорость частиц вблизи стенки много меньше, чем в ядре потока. Поэтому радиус кривизны траектории частицы в ядре должен быть больше, чем у стенки. Иными словами, жидкость из ядра вытесняется к внешней стороне изгиба, а жидкость у боковой части стенки возвращается к внутренней стороне. Таким образом, порождается вторичное замкнутое течение. Это вторичное течение, в свою очередь, влияет на распределение продольной скорости, и между ними возникает взаимодействие сложной природы.

Есть три источника несимметрии течения в разветвлении даже при осесимметричном течении на удаленном входе в основной ствол: различные площади ветвей, различные углы ответвления, различные расходы, что представлено на рис. 2.40. Существуют экспериментальные измерения Талукдера для ветвящихся сосудов [2].