«HECTAHtrAPTHb AHANW3 I IA BEKTOPHbIE PELIJETKIA РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Нестандартные методы анализа А. Е. Гутман, Э. Ю. Емельянов, А. Г. Кусраев, С. С. ...»

H E C T A H N A P T Hb IE M E T O N b I A H A N N 3 A

HECTAHtrAPTHb AHANW3

I

IA

BEKTOPHbIE PELIJETKIA

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

Нестандартные методы анализа

А. Е. Гутман, Э. Ю. Емельянов,

А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе

НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ

И

ВЕКТОРНЫЕ РЕШЕТКИ

Новосибирск Издательство Института математики 1999 УДК 517.11+517.98 ББК 22.16+22.12 K94 Нестандартный анализ и векторные решетки /Гутман А. Е., Емельянов Э. Ю., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С.

Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. x+380 с.

(Нестандартные методы анализа).

ISBN 5–86134–068–4.

Монография посвящена приложениям нестандартных методов анализа к теории векторных решеток. Основное внимание уделено проблеме комбинирования инфинитезимальных и булевозначных конструкций для исследования классических проблем теории векторных решеток, связанных с построением конкретных реализаций абстрактных функционально-аналитических объектов: пространств Банаха Канторовича, мажорированных операторов, векторных мер, интегральных операторов и т. п.

Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся современными приложениями нестандартного анализа к проблемам функционального анализа.

Ответственный редактор и редактор серии С. С. Кутателадзе Издание осуществлено при финансовой поддержке:

Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ, коды проектов 94–01–00001, 94–01–00529-а, 97–01–00001), Р И Международного научного фонда (ISF, коды проектов NYU000, NYU300), Международной Соросовской образовательной программы (ISSEP, коды проектов 385 p, p98–1358).

K 1602080000–08 Без объявл.

Я82(03)– ISBN 5–86134–068– c Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Содержание От редактора vi Глава 1. Нестандартные методы и пространства Канторовича (А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе) 1.1. Теория множеств Цермело Френкеля........... 1.2. Булевозначные модели теории множеств......... 1.3. Теории внутренних и внешних множеств......... 1.4. Теория относительно стандартных множеств..... 1.5. Пространства Канторовича....................... 1.6. Действительные числа в булевозначных моделях........................................... 1.7. Функциональное исчисление в K-пространствах.. 1.8. Решеточно нормированные пространства......... 1.9. Нестандартные оболочки......................... 1.10. Мера Леба........................................ 1.11. Булевозначное моделирование в нестандартном универсуме........................................ 1.12. Инфинитезимальное моделирование внутри булевозначного универсума....................... 1.13. Продолжение и разложение положительных операторов........................................ 1.14. Осколки положительных операторов............. 1.15. Порядково непрерывные операторы.............. 1.16. Циклически компактные операторы.............. Литература............................................. iv Содержание Глава 2. Функциональное представление булевозначного универсума (А. Е. Гутман, Г. А. Лосенков) 2.1. Предварительные сведения

2.2. Понятие непрерывного расслоения................ 2.4. Функциональное представление булевозначного Глава 3. Сопряженные банаховы расслоения Глава 4. Бесконечно малые в векторных решетках 4.7. -Инвариантные гомоморфизмы нестандартных 4.10. Порядковые и регулярные оболочки решеточно 4.11. Ассоциированные пространства 5.7. Проблема моментов Гамбургера для мажорантных 5.9. Теорема Бохнера для мажорируемых От редактора Нестандартные методы анализа в современном понимании состоят в привлечении двух различных стандартной и нестандартной моделей теории множеств для исследования конкретных математических объектов и проблем. Такие методы получили существенное развитие во второй половине XX века и сформировались в несколько направлений.

Первое из названных направлений вслед за его основоположником А. Робинсоном часто называют запоминающимся, хотя и несколько эпатажным, термином нестандартный анализ (теперь чаще говорят о классическом или робинсоновском нестандартном анализе). Робинсоновский нестандартный анализ характеризуется широким использованием давно известных в практике естествознания, но долгое время запрещенных в математике XX века концепций, связанных с представлениями об актуальных бесконечно больших и актуальных бесконечно малых величинах. В этой связи сейчас за ним закрепилось наименование инфинитезимальный анализ, выразительно напоминающее о классическом анализе бесконечно малых.

Инфинитезимальный анализ бурно развивается и уже внес капитальные изменения в систему общематематических представлений.

Прежде всего это связано с тем, что в нем предложено новое понимание метода неделимых, восходящего к глубокой древности, и осуществлен синтез подходов к дифференциальному и интегральному исчислениям, восходящих к их основоположникам. В наши дни инфинитезимальный анализ находит широкое распространение и проникает во все разделы современной математики. Наибольшие изменения происходят в этой связи в негладком анализе, в теории вероятностей и теории меры, в качественной теории дифференциальных уравнений и в математической экономике.

Второе направление булевозначный анализ характеризуется широким использованием таких терминов, как спуски и подъемы, циклические оболочки и миксинги, B-множества и изображения объектов в моделях. Развитие этого направления, становление которого связано со знаменитыми работами П. Дж. Коэна по проблеме континуума, привело к принципиально новым идеям и результатам в ряде направлений функционального анализа, прежде всего в теории пространств Канторовича, в теории алгебр фон Неймана, в выпуклом анализе и теории векторных мер.

В монографии [1], изданной в 1990 году Сибирским отделением издательства Наука и переизданной в 1994 году издательством Kluwer Academic Publishers на английском языке [2], впервые с единых методологических позиций были рассмотрены оба указанных выше направления, составляющих ядро современных нестандартных методов анализа.

Читательский интерес и стремительное развитие самой дисциплины поставили задачу отразить современное состояние дел, изложив новые темы и результаты. При работе над реализацией проекта выяснилось, что остаться в прежних рамках одной книги уже невозможно. В этой связи было принято решение о подготовке серии монографий под общим названием Нестандартные методы анализа, каждая из которых трактует различные аспекты этого математического направления. Серию открыла монография [3], английское издание [4] которой появилось практически одновременно с русским.

Настоящее издание, продолжающее серию, посвящено приложениям к теории векторных решеток. Возникновение этой теории принято относить к началу тридцатых годов двадцатого века и связывать, прежде всего, с именами Л. В. Канторовича, Ф. Рисса и Г. Фрейденталя. Развиваясь в общем русле функционального анализа, теория векторных решеток стала изучать специфические свойства классических банаховых пространств и операторов в них, связанные с наличием естественной структуры порядка.

В середине семидесятых годов начался новый период бурного роста достижений в теории векторных решеток. Причина этого явления заключена в необыкновенной полезности идей указанной теории в математических исследованиях, ориентированных на социальные науки и, прежде всего, экономику. Особую роль в синтезе теории упорядоченных векторных пространств, оптимизации и математической экономики сыграло творчество Л. В. Канторовича.

Важнейшим новым обстоятельством в развитии теории векторных решеток стало открытие особой роли пространств Канторовича в булевозначных моделях теории множеств. Построенные Д. Скоттом, Р. Соловеем и П. Вопенкой, в связи с толкованием упомянутых выше работ П. Дж. Коэна, эти модели оказались неразрывно связанными с теорией векторных решеток. Основополагающая теорема Е. И. Гордона показала, что элементы дедекиндово полных векторных решеток служат изображениями вещественных чисел в подходящим образом подобранной нестандартной модели теории множеств.

Тем самым получил строгое обоснование эвристический принцип Канторовича, состоящий в том, что элементы векторных решеток суть обобщенные числа.

Некоторые итоги развития теории векторных решеток в семидесятые и восьмидесятые годы подведены в монографии [5], опубликованной в 1992 году Сибирским отделением издательства Наука и переизданной в расширенном виде в 1996 году издательством Kluwer Academic Publishers на английском языке [6]. В названных изданиях, в частности, были впервые намечены контуры новых синтетических подходов к теории векторных решеток на основе широкого использования современных нестандартных методов анализа. Цель настоящей монографии представить результаты, полученные на новых путях в последнее десятилетие.

Монография составлена из пяти глав, тесно связанных между собой кругом рассматриваемых вопросов и общей методологией.

Для удобства читателя изложение ведется так, чтобы главы можно было изучать независимо друг от друга. Для этого, в частности, каждая глава снабжена соответствующим введением и собственным списком литературы. В то же время предметный указатель и указатель обозначений едины для всей книги и размещены в ее конце.

Глава 1 дает общее введение в нестандартные методы анализа, используемые в теории векторных решеток. В этой связи знакомство с ее первыми параграфами полезно читателю, независимо от его дальнейших намерений по изучению книги. Эта глава содержит значительный набор разнообразных приложений, среди которых следует выделить комбинирование нестандартных моделей и приложения к теории циклически компактных операторов. Глава 1 написана А. Г. Кусраевым и С. С. Кутателадзе.

Главы 2 и 3 относятся к булевозначному анализу. В первой из ставляющего собой непрерывное расслоение моделей теории множеств. Класс непрерывных сечений такого поливерсума удовлетворяет всем основным принципам булевозначного анализа. Более того, любая из подобных булевозначных алгебраических систем реализуется как класс сечений подходящего непрерывного поливерсума.

Глава 2 подготовлена А. Е. Гутманом в соавторстве с Г. А. Лосенковым.

В главе 3 предлагается новый подход к определению сопряженного расслоения, мотивированный изучением реализаций сопряженных банаховых пространств в булевозначных моделях. Глава 3 написана А. Е. Гутманом в соавторстве с А. В. Коптевым.

Глава 4 написана Э. Ю. Емельяновым и посвящена, главным образом, адаптации методов инфинитезимального анализа к исследованию внутренних вопросов теории векторных решеток. Наряду с этим здесь проясняются некоторые далеко не очевидные свойства бесконечномерных аналогов операции взятия стандартной части конечного вещественного числа.

Глава 5 написана А. Г. Кусраевым и С. А. Малюгиным и относится к теории векторных мер. Как известно, изучение мер со значениями в банаховом пространстве ведется иными средствами, чем исследование булевозначных мер. Основное место в главе уделено изложению принципиально нового единого подхода к указанным направлениям в теории меры, основанного на концепции решеточно нормированного пространства. Полезно подчеркнуть, что локально выпуклые пространства и векторные решетки представляют собой частные случаи решеточно нормированных пространств. Важно также, что такие пространства часто возникают как изображения банаховых пространств в булевозначных моделях.

Из отдельных приложений этой главы отметим критерий интегральной представимости мажорируемого оператора квазирадоновой мерой, новый вариант теоремы Фубини и анализ вариантов проблемы моментов Хаусдорфа и проблемы моментов Гамбургера.

Авторы и редактор старались обеспечить должное единство стиля и уровня изложения, стремясь избежать ненужных повторов и длиннот. Как обычно, идеал остался недостижим. Вина за этот и иные недочеты книги лежит только на редакторе.

1. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы анализа. Новосибирск: Наука, 1990. 344 с.

2. Kusraev A. G. and Kutateladze S. S. Nonstandard Methods of Analysis. Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers, 1994. 435 pp.

3. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Булевозначный анализ. Новосибирск: Изд.-во Института математики, 1999. 384 с.

4. Kusraev A. G. and Kutateladze S. S. Boolean Valued Analysis.

Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers, 1999. 322 pp.

5. Векторные решетки и интегральные операторы/Бухвалов А. В., Коротков В. Б., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. C., Макаров Б. М.

Новосибирск: Наука, 1992. 214 с.

6. Kutateladze S. S. (ed.) Vector Lattices and Integral Operators.

Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers, 1996. 462 pp.

Нестандартные методы и пространства Канторовича А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе Нестандартные методы и пространства Канторовича Общепризнанным фактом является особая роль тридцатых годов двадцатого столетия в развитии современной науки. В эти годы проявилась наметившаяся на рубеже веков тенденция к коренной перестройке математики, приведшая к созданию ряда новых математических дисциплин и, прежде всего, оформлению функционального анализа. В последнее время стало осознаваться и специфическое место семидесятых годов, в которые произошли существенные перемены как в объеме, так и в существе математических теорий. В указанный период отмечается качественный скачок в уровне понимания взаимосвязей и взаимозависимостей, связанный как с выработкой новых синтетических подходов, так и с решением глубоких проблем, долго неподдававшихся решению.

Упомянутые процессы коснулись и теории упорядоченных векторных пространств одного из актуальных и привлекательных разделов функционального анализа. Это направление, возникшее на рубеже тридцатых годов под влиянием работ Ф. Рисса, Л. В. Канторовича, Г. Фрейденталя, Г. Биркгофа и др., переживает сейчас известный период обновления, связанный с освоением математических идей, относящихся к нестандартным моделям теории множеств.

Булевозначные интерпретации, приобретшие значительную популярность в связи с окончательным решением проблемы континуума, данным П. Дж. Коэном, открыли новые возможности в реализации эвристического принципа переноса Л. В. Канторовича в теории K-пространств.

Возрождение инфинитезимальных методов, легитимизированное нестандартным анализом А. Робинсона, обосновало логическую мечту Г. В. Лейбница и открыло перспективы общей монадологии векторных решеток. Новые нестандартные методы в теории K-пространств находятся в процессе становления.

Расширяя известные строки Н. С. Гумилва [17, с. 309], може но сказать, что в настоящее время K-пространства...сбрасывают кожи, чтоб душа старела и росла.... Многие возникающие лакуны еще не заполнены и не только в связи с отсутствием должного понимания, но и просто из-за недолгого периода разработки соответствующих проблем. В то же время ряд принципиальных вопросов все еще ждет своего осмысления и привлечения новых идей.

c А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе В этой главе представлены необходимые сведения как по адаптации, так и по применению аппарата нестандартных моделей теории множеств к изучению K-пространств и классов действующих в них линейных операторов.

В параграфах 1.1–1.4 собраны необходимые для дальнейшего сведения о формальных теориях множеств, используемых в современных работах по функциональному анализу.

Прежде всего речь идет о классической аксиоматике Цермело Френкеля. Помимо этого, освещены булевозначные модели, восходящие к работам Д. Скотта, Р. Соловея и П. Вопенки. Кроме того, представлены теория внутренних множеств Э. Нельсона и один из наиболее сильных и удачных вариантов теории внешних множеств, предложенный Т. Каваи. Эти теоретико-множественные формализмы широко применяются в современном инфинитезимальном анализе. Наконец, эскизно излагается теория относительно внутренних множеств Е. И. Гордона и И. Пэрера.

Параграфы 1.5–1.8 посвящены булевозначному анализу векторных решеток. Как известно, принципиально новая нестандартная возможность, открытая в теории упорядоченных пространств, состоит в формализации эвристического принципа Л. В. Канторовича, состоящего в том, что элементы произвольного K-пространства это аналоги вещественных чисел. Булевозначный анализ строго показывает, что точки K-пространства служат изображениями чисел в подходящим образом выбранной модели теории множеств. Излагаемый нами формализм относится сейчас к числу фундаментальных и обязательных концепций теории упорядоченных пространств.

Параграфы 1.9–1.12 посвящены инфинитезимальным конструкциям. Апология инфинитезимали, данная А. Робинсоном, немедленно открыла новые возможности в теории банаховых пространств.

Центральной конструкцией здесь стало понятие нестандартной оболочки пространства, т. е. результата факторизации внешнего подпространства элементов с конечной нормой по монаде пространства (= набору элементов с бесконечно малой нормой). Об адаптации нестандартных оболочек к теории решеток идет речь в параграфе 1.9. Другая важная конструкция нестандартного анализа мера Лба рассмотрена в параграфе 1.10.

Параграфы 1.11 и 1.12 посвящены мало разработанной теме о комбинировании булевозначных и инфинитезимальных методов.

Нестандартные методы и пространства Канторовича Теоретически здесь мыслимы два подхода. Первый может состоять в изучении булевозначной модели, реализованной во внутреннем мире теории внешних множеств. Этот подход намечен в параграфе 1.11. Другой подход состоит в изучении подходящего фрагмента нестандартной теории множеств (например, в форме ультрапроизведения или ультрапредела), размещенного внутри соответствующего булевозначного универсума. Такой подход изложен в параграфе 1.12.

Важно подчеркнуть, что при внешней схожести рассматриваемые формализмы приводят к принципиально различным конструкциям в теории K-пространств. Возникающие особенности аппарата иллюстрируются анализом циклических топологических понятий, имеющих важное значение в прикладном булевозначном анализе.

Параграфы 1.13–1.16 посвящены нестандартному анализу в теории операторов. Прежде всего, мы обращаемся к положительным линейным операторам, относящимся к центральным объектам теории упорядоченных векторных пространств. Принципиальная возможность, доставляемая нестандартными методами, состоит в том, что возникающие формализмы позволяют существенно упростить анализ операторов и векторных мер, сводя дело к функционалам и скалярным мерам, а иногда даже и к обыкновенным числам.

В параграфах 1.13–1.16 общие приемы нестандартного анализа операторов демонстрируются в связи с проблемами продолжения и разложения операторов, с анализом устройства гомоморфизмов и операторов Магарам. Мы также выделяем новый класс циклически компактных операторов. Известное место отведено проблеме порождения осколков положительного оператора. Дело в том, что осуществить их полное описание удается последовательным использованием нестандартного анализа как в булевозначном, так и в инфинитезимальном вариантах. Завершает текущую главу булевозначный анализ одного из важнейших фактов классической теории уравнений альтернативы Фредгольма. Мы приводим ее интерпретацию для нового класса уравнений с циклически компактными ядрами.

В качестве аксиоматического обоснования математики в настоящее время широко используется теория множеств Цермело Френкеля, сокращенно ZF. Напомним вкратце некоторые ее понятия и введем необходимые обозначения. Подробности можно найти в [18, 25].

1.1.1. Язык теории множеств ZF использует следующие символы (совокупность которых называют алфавитом ZF): символы переменных x, y, z,... ; скобки (, ); пропозициональные связки (= знаки алгебры высказываний),,,, ¬; кванторы, ; знак равенства = и символ специального двуместного предиката. Область изменения переменных ZF мыслят как мир универсум множеств.

Вместо (x, y) пишут x y и говорят, что x элемент y.

1.1.2. Формулы теории множеств ZF определяются обычной рекурсивной процедурой. Иначе говоря, формулы ZF это конечные тексты, получающиеся из атомарных формул вида x = y и x y, где x, y переменные ZF, с помощью разумной расстановки скобок, кванторов и пропозициональных связок. При этом теория множеств ZF это наименьшее множество формул, содержащее аксиомы ZF и замкнутое относительно правил вывода (см. ниже 1.1.4).

1.1.3. При работе с ZF для удобства привлекаются широко распространенные в математике сокращения. Вот некоторые из них:

P(x) := класс всех подмножеств x := {z : z x};

1.1.4. Теория множеств ZF включает обычные аксиомы и правила вывода теорий первого порядка с равенством, фиксирующие стандартные способы классических умозаключений (силлогизмы, исключенное третье, modus рonens и т. п.). Помимо этого, приняты шесть специальных или собственных аксиом (записанные с общепринятыми сокращениями, см. 1.1.3):

(1) Аксиома экстенсиональности:

(3) Аксиома множества подмножеств:

(4) Схема аксиом подстановки:

(5) Аксиома фундирования:

(6) Аксиома бесконечности:

Теория множеств ZFC (Цермело Френкеля с аксиомой выбора) получается из ZF добавлением еще следующей аксиомы:

1.1.5. Теория множеств Цермело Z получается из ZFC путем удаления аксиомы фундирования 1.1.4 (5) и замены схемы аксиом подстановки 1.1.4 (4) следующими ее следствиями:

Тем самым специальные аксиомы теории Z аксиомы 1.1.4 (1–3, 6, 7), 1.1.5 (1, 2).

Итак, теории Z, ZF и ZFC имеют один и тот же язык, одни и те же логические аксиомы и отличаются лишь набором специальных аксиом.

1.1.6. Примечания.

(1) Теория множеств Цермело Френкеля несколько ограничивает математика- филистера аксиомой фундирования, по сути, предложенной Дж. фон Нейманом в 1925 г. В то же время именно она обеспечивает фундамент общепринятого теоретико-множественного взгляда на мир множеств как на универсум фон Неймана, иерархически вырастающий из пустого множества математического проатома.

(2) Аксиоматика Цермело Френкеля не закрыла пути поиска альтернативных программ теоретико-множественного обоснования.

По этому поводу см., в частности, [6].

1.2. Булевозначные модели теории множеств Здесь мы эскизно изложим способ построения булевозначных моделей теории множеств. Полное изложение имеется в [38, 63, 115].

1.2.1. Пусть B фиксированная полная булева алгебра. Булевозначной интерпретацией n-местного предиката P на классе X первого порядка с предикатами P0, P1,..., Pn, а R0, R1,..., Rn фиксированные булевозначные интерпретации этих предикатов на класс X. Для формулы (u1,..., um ) языка L и x1,..., xm X обычной рекурсией по длине определяется оценка (истинности) [[ (x1,..., xm ) ]] B. Для атомных формул полагают На шагах индукции применяют правила:

булевы операции в B, причем a b := a b.

1.2.2. Говорят, что утверждение (x1,..., xm ), где x1,..., xm X, а (u1,..., um ) формула, истинно (верно, справедливо и т. п.) в алгебраической системе X := (X, R0,..., Rn ), и используют запись X |= (x1,..., xm ), если [[ (x1,..., xm ) ]] = 1. Все логически истинные утверждения верны в X. Если предикат P0 есть равенство, то требуют, чтобы в B-системе X := (X, =, R1,..., Rn ) выполнялись аксиомы равенства. При выполнении этого требования в B-системе X будут справедливы все логически истинные предложения логики первого порядка с равенством, выразимые в языке L := {=, P1,..., Pn }.

1.2.3. Рассмотрим теперь булевозначную интерпретацию языка теории множеств Цермело Френкеля с аксиомой выбора на классе X. Напомним, что язык этой теории L := {=, } есть язык первого порядка с двумя двуместными предикатами = и. Интерпретации этих предикатов обозначим через [[ · = · ]] и [[ · · ]], соответственно.

Таким образом, [[ · = · ]], [[ · · ]] : X X B, причем Наша ближайшая цель охарактеризовать B-системы X := (X, [[ · = · ]], [[ · · ]]), являющиеся моделями теории ZFC, т. е. такие, что X |= ZFC. Последнее равносильно тому, что в X выполняются все аксиомы ZFC. Так, например, согласно правилам 1.1.1 справедливость аксиомы экстенсиональности 1.1.4 (1) означает, что для любых x, y X верно 1.2.4. B-систему X называют отделимой, если для любых элементов x, y X соотношение [[ x = y ]] = 1 влечет x = y. Произвольную B-систему X можно преобразовать в отделимую путем факторизации по отношению эквивалентности := {(x, y) X 2 :

[[ x = y ]] = 1} (фактор-класс вводится с помощью хорошо известного приема Фреге Рассела Скотта, см. [38]).

Говорят, что B-система X изоморфна X := (X, [[ · = · ]], [[ · · ]] ), если существует биекция : X X, для которой [[ x = y ]] = [[ x = 1.2.5. Теорема. Существует единственная с точностью до изоморфизма B-система X, удовлетворяющая следующим требованиям:

(1) X отделимая B-система (см. 1.1.4);

(2) аксиомы равенства истинны в X;

(3) аксиомы экстенсиональности 1.1.4 (1) и фундирования 1.1.4 (5) истинны в X (см. 1.1.3);

1.2.6. B-систему, удовлетворяющую требованиям 1.1.5 (1–5), называют булевозначной моделью теории множеств и обозначают символом V(B) := (V(B), [[ · = · ]], [[ · · ]]). Класс V(B) именуют также булевозначным универсумом. Основные свойства V(B) выражены в следующих принципах.

(1) Принцип переноса. Любая аксиома, а значит, и любая теорема теории множеств ZFC истинны в V(B) ;

Элемент x называют перемешиванием семейства (x ) относительно (b ) и обозначают mix b x.

(3) Принцип максимума. Для любой формулы (u) теории ZFC (возможно, с константами из V(B) ) существует элемент x0 V(B) такой, что Отсюда, в частности, следует, что если [[ (!x) (x) ]] = 1, то существует, и притом единственный, элемент x0 из V(B), для которого выполняется [[ (x0 )]] = 1.

1.2.7. Существует единственное отображение x x из V в V, удовлетворяющее требованиям:

Это отображение называют каноническим вложением универсума всех множеств в булевозначный универсум.

(3) Ограниченный принцип переноса. Пусть формула (u1,..., un ) ограничена, т. е. в ee построении 1.2.8. Для элемента X V(B) его спуск X задается правилом X := {x V(B) : [[ x X ]] = 1}. Множество X является циклическим, т. е. выдерживает всевозможные перемешивания своих элементов.

1.2.9. Пусть F притом единственное, соответствие F из X в Y такое, что для любого множества A X внутри V(B) будет F (A) = F(A). При этом [[ F отображение из X в Y ]] = 1 в том и только в том случае, если F отображение из X в Y.

В частности, отображение f : Z Y внутри V(B), где Z V, определяет единственную функцию f : Z Y, удовлетворяющую условию f(z) = f (z ) для всех z Z.

1.2.10. Пусть X P(V(B) ). Определим функцию f : dom(f ) B формулами: dom(f ) = X и im(f ) = {1}. Согласно 1.1.5 (4) существует элемент X V(B) такой, что Элемент X (единственный в силу аксиомы экстенсиональности) называют подъемом X. При этом справедливы формулы:

где mix(X) X, а (b ) разбиение единицы в B.

1.2.11. Пусть X, Y P(V(B) ) и F соответствие из X в Y.

Равносильны утверждения:

(1) существует, и притом единственное, соответствие F из X в Y внутри V(B) такое, что имеет место равенство dom(F) = dom(F ) и для каждого подмножества A множества dom(F ) выполнено (2) соответствие F экстенсионально, т. е.

Соответствие F будет отображением из X в Y в том и только в том случае, если [[ F : X Y ]] = 1.

В частности, отображение f : Z Y порождает функцию f :

Z Y такую, что f(x ) = f (x) для всех x Z.

1.2.12. Предположим, что на непустом множестве X задана Bструктура, т. е. определено отображение d : X X B, удовлетворяющее аксиомам метрики :

Тогда существуют элемент X V(B) и инъекция : X X := X такие, что d(x, y) = [[ (x) = (y) ]] и любой элемент x X имеет представление x = mix b x, где (x ) X, а (b ) разбиение единицы в B. Этот факт позволяет рассматривать множества с Bструктурой как подмножества V(B) и оперировать с ними с помощью описанных выше правил.

1.2.13. Примечания.

(1) Г. Такеути назвал булевозначным анализом раздел функционального анализа, который использует одноименные модели теории множеств. В последнее время этот термин трактуют расширительно, включая в него методы, основанные на одновременном использовании двух различных булевозначных моделей теории множеств.

Стоит подчеркнуть, что создание булевозначных моделей не было связано с теорией векторных решеток. Необходимые для этого языковые и технические средства окончательно сформировались в рамках математической логики уже к 1960 г. Однако все еще не было той генеральной идеи, которая впоследствии привела к бурному прогрессу в теории моделей.

Такая идея пришла с открытием П. Дж. Коэна, установившего в 1963 г. абсолютную неразрешимость (в точном математическом смысле) классической континуум-проблемы. Именно в связи с осмыслением метода форсинга Коэна возникли булевозначные модели теории множеств, создание которых принято связывать с именами П. Вопенки,Д. Скотта, Р. Соловея (см. [18, 25, 38, 63, 115]).

(2) Метод форсинга естественно делится на две части общую и специальную.

Общая часть аппарат булевозначных моделей теории множеств. Здесь полная булева алгебра B совершенно произвольна.

Специальная часть состоит в построении специфической булевой алгебры B, обеспечивающей нужные (чаще патологические, экзотические) свойства объектов (например, K-пространства), получаемых из B. Обе части имеют самостоятельный интерес, но наиболее впечатляющие результаты дает их сочетание. В большинстве исследований по булевозначному анализу используется лишь общая часть метода форсинга. Можно ожидать, что дальнейший прогресс в булевозначном анализе будет связан с применением метода форсинга в полном объеме.

(3) Подробное изложение материала этого раздела имеется в [29, 36, 38, 63, 115], см. также [18, 56]. Приемы, изложенные в 1.2.8–1.2.11, в разных вариантах широко используются в исследованиях по теории булевозначных моделей. В [28, 48] им придана форма спусков и подъемов, более приспособленная к задачам анализа.

Погружение 1.2.12 множеств с булевой структурой в булевозначный универсум осуществлено в [23]. В основе такого погружения лежит метод Соловея Тенненбаума, предложенный ими ранее для погружения полных булевых алгебр [72].

1.3. Теории внутренних и внешних множеств Удобное обоснование инфинитезимальных методов анализа дает теория внутренних множеств, предложенная Э. Нельсоном в конце семидесятых годов, теория IST. Формализм этой теории мгновенно приобрел широкую популярность. Причина этого в том, что подход Э. Нельсона развеял бытовавшие до него представления об особом идеальном характере актуальных бесконечно больших и малых величинах.

1.3.1. Алфавит формальной теории IST получается добавлением к алфавиту теории ZFC одного-единственного нового символа символа одноместного предиката St, выражающего свойство быть стандартным множеством. Иначе говоря, в число допустимых фрагментов текстов IST мы включаем записи вида St(x) или, более развернуто, x стандартно, или, наконец, x стандартное множество. Итак, содержательной областью изменения переменных IST служит мир Цермело Френкеля универсум фон Неймана, в котором теперь выделены стандартные и нестандартные множества.

Формулы IST определяются обычной процедурой. При этом к числу атомарных формул добавляются тексты: St(x), где x переменная. Каждая формула ZFC является формулой IST, обратное утверждение очевидно не верно. Для различения формул используют следующую терминологию: формулы ZFC называют внутренними, формулы IST, не являющиеся формулами ZFC, называют внешними. Таким образом, текст x стандартно это внешняя формула теории IST.

Классификация формул IST приводит к вычленению внешних и внутренних классов. Если внешняя формула IST, то текст (y) описывают словами: y элемент внешнего класса {x : (x)}.

Термин внутренний класс используется в том же смысле, что термин класс в теории Цермело Френкеля. В случаях, когда это не может привести к недоразумениям, внешние и внутренние классы называют просто классами. Внешние классы, составленные из элементов некоторого внутреннего множества, мы называем внешними множествами, или, более полно, внешними подмножествами данного множества.

Полезно вновь обратить внимание на то, что внутренний класс, составленный из элементов внутреннего множества, это снова внутреннее множество. Помимо сокращений, принятых в ZFC, в теории внутренних множеств используются дополнительные соглашения.

Вот некоторые из них:

Внешнее множество x часто называют стандартным ядром x.

1.3.2. Аксиомы IST получаются добавлением к перечню аксиом ZFC следующих трех новых схем, носящих, как указывалось ранее, название принципов нестандартной теории множеств:

(3) Принцип стандартизации:

1.3.3. Теорема Поуэлла. Теория IST является консервативным расширением теории ZFC.

Приведенная теорема означает, что внутренние теоремы теории внутренних множеств IST являются теоремами теории Цермело Френкеля. Иначе говоря, при доказательстве стандартных теорем о множествах из универсума фон Неймана мы вправе пользоваться формализмом IST с той же степенью надежности, которую мы имеем при работе в рамках теории ZFC.

1.3.4. Выразительные возможности, которыми обладает аксиоматическая теория множеств IST, весьма значительны, но имеется все же существенное ограничение, связанное с отсутствием в ней переменных для внешних множеств. Этот недостаток не позволяет, например, работать с такими важными инфинитезимальными конструкциями, как нестандартная оболочка и мера Лба.

В настоящее время имеется несколько вариантов формального обоснования инфинитезимальных методов в рамках аксиоматических теорий внешних множеств, см. [62, 68, 76, 86, 87]. С точки зрения приложений все эти формализмы практически равнозначны. Здесь мы приведем один из наиболее сильных вариантов теории внешних множеств NST, предложенный Т. Каваи [86, 87].

Алфавит теории NST получается обогащением алфавита ZFC двумя постоянными VS и VI. Содержательно VS мыслят как универсум стандартных множеств, а VI как мир внутренних множеств (в любой содержательной интерпретации).

При этом стоит подчеркнуть, что VS и VI рассматриваются как конкретные внешние множества, т. е. VS VE и VI VE, где VE := {x : x = x} класс всех внешних множеств. Иногда вместо x VS пишут St(x) или x стандартное множество. Аналогичным образом вводят предикат Int( · ), выражающий свойство быть внутренним множеством.

Обычным способом определяются формулы. При этом для формулы теории ZFC символом S (соответственно I ) обозначается релятивизация на VS (соответственно на VI ), т. е. формула, поТеории внутренних и внешних множеств лучающаяся заменой всех переменных в на переменные, пробегающие стандартные (соответственно внутренние) множества.

Если формула теории ZFC, то, рассматривая ее как формулу теории NST, иногда пишут E и применяют термин E-формула.

Аналогичный смысл вкладывают в понятия S-формулы и I-формулы.

Используют обычные сокращения типа (st x) := (x VS ) ;

( x) := (x VI ) ; n(x) := x конечно (= не имеет взаимно однозначного отображения на собственное подмножество) и т. п.

1.3.5. Специальные аксиомы NST делятся на три группы (так же обстоит дело и в иных вариантах теории внешних множеств).

Первую группу составляют так называемые правила образования внешних множеств. Вторую аксиомы связи миров множеств VS, VI и VE. Наконец, в третью группу входят обычные постулаты нестандартного анализа принципы переноса, идеализации и стандартизации.

1.3.6. Начнем с устройства универсума VE.

(1) Суперправило для образования внешних множеств: если аксиома ZFC, за исключением аксиомы фундирования, то E аксиома NST.

Таким образом, в NST действуют аксиомы теории Цермело и выполнена схема аксиом подстановки. Более того, принимается (2) Суженная аксиома фундирования:

Иными словами, регулярность постулируется у внешних множеств, не имеющих внутренних элементов.

Подчеркнем, что VS VE. Иначе говоря, выполнена обычная аксиома приемлемости в [38, 3.4.17].

Напомним в этой связи, что внешнее множество A имеет приемлемый размер (или S-размер), если существует некоторая внешняя функция, отображающая VS на A. При этом пишут A Vasize.

1.3.7. Вторая группа аксиом NST содержит следующие утверждения:

(1) принцип моделирования для мира стандартных множеств: VS это универсум фон Неймана, т. е. для каждой аксиомы теории ZFC стандартизация S аксиома NST;

(2) аксиома транзитивности для внутренних множеств: (x VI )x VI, т. е. внутренние множества составлены только из внутренних элементов;

(3) аксиома вложения: VS VI, т. е. стандартные 1.3.8. Третью группу постулатов NST составляют такие схемы аксиом:

(2) принцип стандартизации:

Возникающее a, очевидно, единственно. Его обозначают A и называют стандартизацией A.

(3) принцип идеализации (схема аксиом насыщения):

1.3.9. Теорема Каваи. Теория NST является консервативным расширением теории ZFC.

1.3.10. Как обычно, в VE можно выделить универсум VC, составленный классическими (= стандартными или обычными в робинсоновском формализме) множествами, используя класс стандартных ординалов OnSt. Именно, При этом возникает робинсоновская стандартизация : VC VS, определенная схемой рекурсии:

Робинсоновская стандартизация обеспечивает справедливость принципа Лейбница в форме для произвольной формулы = (x1,..., xn ) теории ZFC и ее релятивизаций C и S на VC и VS соответственно.

1.3.11. Мир радикальной (и классической) установки нестандартного анализа также допускает аксиоматическое описание.

Опишем теорию UNST, проанализированную Т. Каваи. В UNST переменные изображают внешние множества. Имеются выделенные константы VC, VI и. Соответствующие внешние множества, естественно, называют классическим миром, универсумом внутренних множеств и робинсоновской стандартизацией. Специальные аксиомы UNST аналогичны NST.

1.3.12. Устройство универсума UNST определяют следующие постулаты:

(1) Суперправило образования внешних (2) Суженная аксиома фундирования 1.3.13. Аксиомы связи миров множеств:

(1) Принцип моделирования для классических (2) Аксиома транзитивности для внутренних множеств (3) Аксиома транзитивности для классических классические множества составлены из классических элементов;

внешние подмножества классического множества являются классическими;

(5) Аксиома робинсоновской стандартизации:

Очевидно, что в связи с 1.3.13 (5) существует единственное множество VS, составленное из стандартизаций VS := (VC ). В UNST элементы VS называют стандартными множествами. По аналогии с 1.3.5 (2), говорят, что множество A имеет классический размер (или c-размер), если существует внешняя функция из VC на A. При этом пишут A Vcsize.

1.3.14. Постулаты нестандартного анализа в UNST имеют следующий вид:

(1) принцип переноса в форме Лейбница (см. 1.3.10);

(2) принцип идеализации в виде схемы аксиом насыщения для множеств классического размера (см.

Наконец, стандартизация A в UNST множества A (представляющего собой подмножество элемента VS ) состоит в процедуре Из 1.3.12 непосредственно вытекает следующее утверждение.

1.3.15. Теорема. Теория UNST является консервативным расширением теории ZFC.

В дальнейшем при работе с аналитическими объектами мы будем придерживаться свободной точки зрения, близкой к неоклассической и радикальной установкам нестандартного анализа. В частности, поле вещественных чисел нами часто рассматривается как стандартный элемент мира внутренних множеств, а классическая реализация R отождествляется со стандартным ядром R. Символика, принятая в нестандартном анализе для бесконечно малых, монад и т. п., совпадает с представленной в [38].

1.3.16. Примечания.

(1) Аксиоматический подход к нестандартному анализу стал завоевывать популярность после работ Э. Нельсона [95, 96], предложившего аксиоматику теории внутренних множеств IST. При этом произошло существенное изменение взглядов на существо инфинитезимальных методов (см. [38, 52]). Главное в произошедших переменах отказ от стыдливого взгляда на инфинитезимали как на монстров, имеющих некоторое экзотическое значение. Теорему 1.3. см. в [95].

(2) Аксиоматические теории внешних множеств были предложены К. Хрбачеком [76] и Т. Каваи [86]. Излагаемый вариант теории следует [87]. Из последних работ отметим также [14, 57], предлагающие, по сути, удобные формализмы градуированной теории внешних множеств, связанные с концепцией относительной стандартности. Нестандартную теорию классов, расширяющую теорию Гделя е Бернайса, предложил Е. И. Гордон, см. [68].

(3) В. Кановей и М. Рейкен [82] предложили теорию ограниченных множеств BST, которая отличается от IST добавлением аксиомы ограниченности (x) (y) x y и необходимой модификацией принципа идеализации (принцип идеализации IST явно противоречит аксиоме ограниченности). Ясно, что теории BST достаточно для приложений, в то же время некоторые конструкции в ней упрощаются.

1.4. Теория относительно стандартных В этом параграфе мы рассмотрим теорию относительно стандартных множеств в рамках теории внутренних множеств Э. Нельсона.

1.4.1. Наличие актуальных бесконечно малых чисел в нестандартном анализе дает возможность формировать новые (а по существу узаконивает давно отвергнутые) понятия для изучения классических объектов анализа. В частности, интересным приобретением являются новые математические понятия микропредел конечной последовательности и микронепрерывность функции в точке. Число a называют микропределом последовательности a[N ] := (a1,..., aN ), где N бесконечно большое натуральное число, если для всех бесконечно больших M, меньших N, будет aM a. Функцию f :

dom(f ) R называют микронепрерывной в точке x из dom f, если при x dom f и x x выполняется f (x ) f (x). Эти определения оправданы следующими нестандартными критериями непрерывности:

(1) стандартное число a R будет пределом стандартной последовательности (an ) тогда и только тогда, когда a микропредел a[N ], где N бесконечно большое натуральное число;

(2) стандартная числовая функция f непрерывна в стандартной точке x стандартной области определения dom(f ) тогда и только тогда, когда f микронепрерывна в точке x.

Здесь, как и в других эквивалентностях такого рода, существенно, что (an ), a, f, x и dom(f ) стандартны. Встает вопрос о наличии простых нестандартных критериев в общем случае, когда в данное определение входят произвольные нестандартные элементы. Ситуация, когда это необходимо, возникает довольно часто.

Наиболее простой пример получается при попытке дать нестандартное определение того, что limn limn f (xn, yn ) = a, даже в случае стандартных f и a. В самом деле, из (1) получаем эквивалентное условие (N +) limn+ f (xN, yn ) a. Однако f (xN, · ), вообще говоря, нестандартная функция при N + и эквивалентность (1) к ней не применима. Этот пример наводит на мысль о необходимости введения бесконечно малых существенно более высокого порядка, чем данное := xN, т. е. таких, которые остаются бесконечно малыми, даже если считать конечным.

1.4.2. Ниже для обозначения предикатов f функция, f конечное множество, области определения и области значений f, а зуются сокращения Fn(f ), Fin(f ), dom(f ), rng(f ), Fn(f ), соответственно. Отметим, что Fin(x) означает лишь, что мощность x есть элемент (т. е. натуральное число), возможно, и бесконечно большой, если x нестандартно.

Назовем элемент x допустимым (Su(x)), если (st X) (x X).

Введем определимый в IST предикат x стандартно относительно y формулой:

Двуместный предикат x st y обладает следующими свойствами:

В последнем утверждении St одноместный предикат быть стандартным из теории внутренних множеств Э. Нельсона, см. 1.3.

1.4.3. Ниже для обозначения предикатов аналогично сокращениям 1.3.1 вводятся сокращения:

1.4.4. Релятивизованный принцип переноса. Если это внутренняя формула, содержащая в качестве свободных переменных только x, t1,..., tk (k 1), то для любого допустимого имеет место формула 1.4.5. Релятивизованный принцип идеализации. Пусть некоторая внутренняя формула такова, что (x, y), наряду с x, y, может содержать еще какие-нибудь свободные переменные. Тогда для любого допустимого выполняется 1.4.6. Можно показать, что релятивизованный принцип стандартизации теперь не имеет места. Однако уже установленные принципы 1.4.4 и 1.4.5 достаточны для решения класса задач, о которых говорилось в 1.4.1. Приведем несколько результатов в этом направлении.

Пусть x R произвольное (не обязательно стандартное) чисбесконечно малое и писать x 0, ло. Будем говорить, что x если (st y R+ ) |x| < y. Естественны также следующие определения: x -бесконечно большое, если 1/x -бесконечно малое; x -конечное, если x не является -бесконечно большим.

1.4.7. Теорема. Если f : R R и a, b R произвольные (не обязательно стандартные) элементы, = (f, a, b), то Ввиду 1.4.2 f, a, b стандартны относительно. Теперь в силу принципа переноса 1.4.4 будет Обратно, зафиксируем произвольное стандартное st и рассмотрим внутреннее множество M тех, для которых |f (a+)b| <. По условию M содержит все -бесконечно малые. Рассмотрим множество M1 := { : (0, ] M }. Оно также внутреннее множество, содержащее все -бесконечно малые. Следовательно, sup M не может быть -бесконечно малым и, стало быть, существует стандартное M1. Остается применить принцип переноса.

1.4.8. Теорема. Пусть f : R2 R и a R стандартны и для любого x из некоторой окрестности нуля существует limy0 f (x, y).

Тогда Пусть a := limx0 limy0 f (x, y).

Положим g(x) := limy0 f (x, y). Тогда g() a для любого 0. Отметим, что g стандартная функция, следовательно, g() st.

Теперь ввиду теоремы 1.4.7 и 1.4.2 (2) равенство g() = limy0 f (, y) эквивалентно утверждению В силу предложения 1.4.2 (4) f (, ) () f (, ) g(). Но так как g() a, то f (, ) a.

Докажем обратное утверждение. При этом достаточно установить предложение Зафиксируем произвольное стандартное и рассмотрим внутреннее множество Легко понять, что M содержит все бесконечно малые числа. В самом y 0). Отсюда |f (x, y) a| <. Теперь очевидно, что M содержит и некоторый стандартный элемент.

1.4.9. Рассмотрение предыдущих двух пунктов без труда переносится на случай произвольного топологического пространства.

Пусть X топологическое пространство, допустимый элемент и X st. Для элемента x X, стандартного относительно, определим -монаду µ (x) как пересечение всех -стандартных окрестностей x:

(1) При указанных предположениях множество U X, стандартное относительно, открыто в том и только в том случае, если µ (x) U для любого x U, стандартного относительно.

(2) Пусть X и Y допустимые топологические пространства, f : X Y, a X и b Y. Если := (X, Y, f, a, b), то имеет место следующая эквивалентность:

1.4.10. В заключение этого параграфа мы представим вкратце аксиоматическую теорию RIST относительно внутренних множеств.

Язык этой теории получается из языка теории Цермело Френкеля добавлением одного двуместного предиката st. Как и выше, выражение x st y читается как x стандартно относительно y. Формула теории RIST внутренняя, если она не содержит предиката st. Так же, как и в 1.4.3 определяются внешние кванторы st, st, st n, Аксиомы RIST включают все аксиомы теории Цермело Френкеля. Предикат st удовлетворяет следующим трем аксиомам:

Кроме того, теория RIST (как и IST) включает три новые схемы.

Схемы аксиом переноса и идеализации те же, что и в 1.4.4 и 1.4.5, а в схеме аксиом стандартизации необходимо ограничить класс формул в соответствии с замечанием 1.4.6.

1.4.12. Схема аксиом идеализации. Пусть (x1,..., xk, y) внутренняя формула со свободными переменными x1,..., xk, y, причем, возможно, есть и другие свободные переменные. Пусть 1,..., k фиксированные множества и не является стандартным относительно (1,..., k ). Тогда выполняются следующие утверждения.

(1) Принцип ограниченной идеализации:

(2) Принцип неограниченной идеализации:

1.4.13. Для формулировки схемы аксиом стандартизации введем класс -внешних формул F, где фиксированное множество.

Если F класс формул теории RIST, то F определяется как наименьший его подкласс, удовлетворяющий следующим условиям:

(3) если формула (x, y) входит в F, то при этом и формула (y) (x, y) входит в F ;

(4) если формула (x, y) входит в F, а такое множество, что множество стандартно относительно, 1.4.14. Схема аксиом стандартизации. Если фиксированное множество и некоторая -внешняя формула, то 1.4.15. Теорема. Теория RIST является консервативным расширением теории ZFC.

1.4.16. Примечания.

(1) Материал, вошедший в пункты 1.4.2–1.4.9, взят из статьи Е. И. Гордона [14], см. также [68]. В этой же работе установлено, что существуют такое бесконечно большое натуральное число N и такое число x [0, 1], что любое число, N -бесконечно близкое к x, не является N -стандартным. Поскольку существование стандартной части числа является следствием принципа стандартизации, отсюда выводится, что релятивизованный принцип стандартизации не имеет места. В частности, можно сделать вывод, что принцип стандартизации теории IST не является следствием остальных аксиом этой теории (подробности см. в [14, 68]).

(2) Аксиоматическая теория RIST, изложенная в 1.4.10–1.4.14, была предложена И. Пэрером [104]. Там же установлена теорема 1.4.15. Ранее И. Пэрер осуществил (непротиворечивое относительно ZFC) расширение теории IST посредством добавления последовательности не определимых в IST предикатов Stp (x) (x стандартно степени 1/p), см. [102]. Другие результаты в этом направлении см.

в [103, 105].

1.5. Пространства Канторовича Теория векторных решеток изложена в ряде превосходных монографий, см. [2, 21, 22, 61, 92, 106, 107, 118]. Векторные решетки принято называть также пространствами Рисса. Здесь мы коротко рассмотрим порядково полные векторные решетки.

1.5.1. Пусть F линейно упорядоченное поле. Упорядоченное пространство над полем F, а векторный порядок в E, т. е. отношение порядка в E, согласованное со структурой векторного пространства. Последнее означает, что неравенства в E можно складывать и умножать на положительные элементы поля F. Задание векторного порядка в векторном пространстве E над полем F равносильно указанию подмножества E+ E положительного косо свойствами: E+ + E+ E+ ; E+ E+ нуса пространства E (0 F); E+ E+ = {0}. При этом порядок и конус E+ связаны соотношением Упорядоченное векторное пространство, являющееся решеткой, называют векторной решеткой. Для элементов x, y векторной решетки E и приняты обозначения: x y := sup{x, y}, x y := inf{x, y}, |x| := sup{x, x}, x+ := sup{x, 0}, x := (x)+.

Пространством Канторовича или, короче, K-пространством называют такую векторную решетку, в которой всякое порядково ограниченное множество имеет точные границы. Если же в векторной решетке имеются точные границы лишь у счетных множеств, то ее называют K -пространством. Всюду ниже E символизирует произвольное K-пространство.

Элементы x, y E называют дизъюнктными и пишут x y, если |x| |y| = 0. Множество где M E, именуют дизъюнктным дополнением множества M. Отметим некоторые простые свойства дизъюнктного дополнения:

Компонентой (или полосой) в E называют множество вида M, где M E, M =. Совокупность всех компонент, упорядоченная по включению, образует полную булеву алгебру B(E), в которой булевы операции выглядят так:

Алгебра B(E) носит название базы E.

1.5.2. Для каждой компоненты K в K-пространстве E имеет место представление E = K K. Тем самым однозначно определен оператор проектирования [K] на подпространство K параллельно K, называемый порядковым проектором на K (или просто проектором на K, если контекст исключает путаницу). При этом выполняются неравенства 0 [K]x x для всех 0 x E. Наоборот, если линейный проектор в E удовлетворяет неравенствам 0 x x для всех 0 x E, то K := (E) является компонентой, а порядковым проектором на K. В множестве всех порядковых проекторов P(E) вводят порядок, полагая im() im(). Полезно иметь в виду равносильное определение = =.

Упорядоченное множество P(E) является полной булевой алгеброй, в которой булевы операции имеют вид:

Элемент e E называют единичным, или осколком единицы, если e (1 e) = 0. Множество E(E) := E(1) всех единичных элементов снабжают индуцированным из E порядком. Упорядоченное множество E(E) является полной булевой алгеброй, в которой булево дополнение имеет вид: e := 1 e для e E(1).

1.5.3. Теорема. Отображение K [K] есть изоморфизм булевых алгебр B(E) и P(E). Если же в E имеется порядковая единица, то отображения 1 из P(E) в E(E) и e {e} из E(E) в B(E) также являются изоморфизмами булевых алгебр.

1.5.4. K-пространство E называют расширенным, если в нем любое непустое множество попарно дизъюнктных положительных элементов имеет супремум. Перечислим важнейшие примеры расширенных K-пространств. Для экономии места ограничимся вещественным случаем (за исключением примера (4)).

(1) Пространство M (,, µ) := L0 (,, µ) классов эквивалентности почти всюду конечных измеримых функций на, где (,, µ) пространство с мерой µ, причем µ предполагается конечной (или, более общо, µ должна обладать свойством прямой суммы, см. [21]). База K-пространства M (,, µ) изоморфна булевой фактор-алгебре /µ1 (0) булевой алгебре измеримых множеств по модулю множеств нулевой меры.

(2) Пространство C (Q) непрерывных функций, определенных на экстремально несвязном компакте Q, со значениями в расширенной числовой прямой и принимающих значения ± лишь на нигде не плотных множествах [2, 22]. База этого K-пространства изоморфна булевой алгебре открыто-замкнутых множеств компакта Q.

(3) Пространство Bor(Q) классов эквивалентности борелевских функций, определенных на топологическом пространстве Q. Две функции эквивалентны, если они совпадают на дополнении к множеству первой категории. База K-пространства Bor(Q) изоморфна булевой алгебре борелевских подмножеств Q по модулю множеств первой категории.

(4) Пространство A самосопряженных (не обязательно ограниченных) операторов в гильбертовом пространстве, присоединенных к коммутативной алгебре фон Неймана A (см. [9]). База K-пространства A изоморфна булевой алгебре всех проекторов, входящих в A.

1.5.5. Пусть E и F называют положительным, если T x 0 для каждого 0 x E, и регулярным, если T = T1 T2, где T1, T2 положительные операторы. Говорят, что оператор T порядково ограничен или o-ограничен, если T (M ) порядково ограниченное множество в F для любого порядково ограниченного M E. Если F это K-пространство, то классы регулярных и порядково ограниченных операторов совпадают. Более того, справедливо следующее утверждение.

1.5.6. Теорема Рисса Канторовича. Если E векторная решетка и F это произвольное K-пространство, то пространство L (E, F ) всех регулярных операторов из E в F само является Kпространством.

1.5.7. Оператор T : E F называют порядково непрерывным или o-непрерывным (секвенциально o-непрерывным или порядo) ково -непрерывным), если T x 0 в F для любой сети (x ), oo) сходящейся к нулю в E (соответственно, T xn 0 в F ) для любой последовательности (xn ), o-сходящейся к нулю в E. Множества всех порядково непрерывных и порядково -непрерывных операторов из E в F обозначают соответственно символами L (E, F ) и L (E, F ).

Теорема. Пусть E и F векторные решетки, причем F порядково полно. Тогда множества L (E, F ) и L (E, F ) являются полоn сами в L (E, F ).

1.5.8. Пространством Канторовича Пинскера называют Kпространство, в котором существует фундамент с достаточным числом порядково непрерывных функционалов (или, что то же самое, если на его базе может быть определена существенно положительная локально конечная вполне аддитивная мера).

Теорема. Если пространство с мерой (, A, µ) обладает свойством прямой суммы, то L0 (, A, µ) будет пространством Канторовича Пинскера. Наоборот, произвольное пространство Канторовича Пинскера линейно и порядково изоморфно фундаменту в L0 ( ) для подходящего пространства с мерой (,, µ) со свойством прямой суммы.

Отметим дополнительно, что если в E фиксирована порядковая единица 1, то существует единственный такой изоморфизм, переводящий 1 в класс эквивалентности функции, тождественно равной единице на. Пространство E будет расширенным в том и только в том случае, если его образ при указанном изоморфизме совпадает с L0 ( ).

1.5.9. Примечания.

(1) Создание теории векторных решеток принято связывать с исследованиями Г. Биркгофа, Л. В. Канторовича, М. Г. Крейна, Х. Накано, Ф. Рисса, Г. Фрейденталя и др. В наше время теория и приложения векторных решеток обширная область математики, хорошо представленная в монографической литературе [9, 21, 22, 71, 92, 106, 107, 118].

Необходимые сведения из теории булевых алгебр см. в [7, 58, 69].

(2) Класс порядково полных векторных решеток, иначе говоря, K-пространств, был выделен Л. В. Канторовичем в его первой основополагающей работе [19]. Здесь же он выдвинул эвристический принцип переноса для K-пространств, состоящий в том, что элементы K-пространства суть обобщенные числа.

Принцип Канторовича нашел многочисленные подтверждения в исследованиях как самого автора, так и его последователей. По существу, этот принцип стал одной из тех стержневых идей, которые, играя организующую и направляющую роль в развитии нового направления, привели в конечном итоге к глубокой и изящной теории K-пространств, богатой разнообразными приложениями.

(3) Уже в начальный период развития теории предпринимались попытки формализации указанных эвристических соображений. На этом пути появились так называемые теоремы о сохранении соотношений, которые утверждают, что если некоторое высказывание, включающее конечное число функциональных соотношений, доказано для вещественных чисел, то аналогичный факт автоматически оказывается верным и для элементов K-пространства (см. [9, 22]). Однако оставались неясными внутренний механизм, управляющий феноменом сохранения соотношений, границы применимости подобных утверждений, а также общие причины многих аналогий и параллелей с классической теорией функций. Вся глубина и универсальный характер принципа Канторовича были раскрыты в рамках булевозначного анализа (см. 1.6, 1.7, а также [5, 29, 38]).

(4) Определения порядково непрерывного и порядково -непрерывного оператора, равно как и теорема 1.5.7 принадлежат Т. Огасаваре.

1.6. Действительные числа в булевозначных Булевозначный анализ начинается с изображения поля действительных чисел в булевозначной модели. Последнее оказывается расширенным K-пространством. В зависимости от того, какая булева алгебра B положена в основу построения булевозначной модели V(B) (алгебра измеримых множеств, или регулярных открытых множеств, или проекторов в гильбертовом пространстве и т. п.), будут получаться различные K-пространства (пространства измеримых функций, или полунепрерывных функций, или самосопряженных операторов). Тем самым открывается удивительная возможность перенесения всей совокупности знаний о числах на многие классические объекты современного анализа.

1.6.1. Под полем действительных чисел мы понимаем алгебраическую систему, на которой выполняются аксиомы архимедова упорядоченного поля (с различными нулем и единицей) и аксиома полноты. Напомним два известных утверждения:

1.6. Действительные числа в булевозначных моделях (1) Существует, и притом единственное с точностью до изоморфизма, поле действительных чисел R.

(2) Если P архимедово упорядоченное поле, то найдется изоморфное вложение h поля P в R такое, что образ h(P) есть подполе R, содержащее подполе рациональных чисел. В частности, h(P) плотно в R.

1.6.2. Применив к 1.6.1 (1) последовательно принципы переноса и максимума, найдем элемент R V(B), для которого [[ R поле действительных чисел ]] = 1. Более того, для любого R V(B), такого что [[ R поле действительных чисел ]] = 1, справедливо равенство [[ упорядоченные поля R и R изоморфны ]] = 1. Иными словами, в модели V(B) существует поле действительных чисел R, единственное с точностью до изоморфизма.

1.6.3. Отметим также, что формула (R), представляющая собой формальную запись аксиом архимедова упорядоченного поля, ограничена, поэтому [[ (R ) ]] = 1, т. е. [[ R архимедово упорядоченное поле ]] = 1. Пропустив утверждение 1.6.1 (2) через принцип переноса, заключаем, что [[ R изоморфно плотному подполю поля R ]] = 1. На этом основании будем считать в дальнейшем, что R поле действительных чисел в модели V(B), причем R плотное его подполе.

Рассмотрим теперь спуск R алгебраической системы R. Иными словами, спуск несущего множества системы R рассматриваем вместе со спущенными операциями и порядком. Для простоты операции и порядок в R и R обозначим одинаковыми символами +, ·,.

1.6.4. Теорема Гордона. Пусть R упорядоченное поле действительных чисел в модели V(B). Тогда R (со спущенными операциями и порядком) представляет собой расширенное K-пространство с единицей 1 := 1. При этом существует изоморфизм булевой алгебры B на базу P(R) такой, что справедливы эквивалентности 1.6.5. Расширенное K-пространство R является в то же время точной f -алгеброй с кольцевой единицей 1 := 1, причем для каждого b B проектор (b) есть оператор умножения на единичный элемент (b)1. Из сказанного выше видно, что отображение b (b)1 для b B также есть булев изоморфизм B на алгебру единичных элементов E(R). Этот изоморфизм обозначают той же буквой.

1.6.6. Напомним, что если E это K-пространство с единицей и x E, то проекцию единицы на компоненту {x} называют следом x и обозначают символом ex. Для вещественного числа символом ex обозначают след положительной части элемента 1 x, т. е. ex := e(1x)+. Отображение ex для R называют спектральной функцией или характеристикой элемента x.

Для каждого элемента x R имеют место соотношения:

Следующий результат утверждает, что всякая архимедова векторная решетка реализуется как подрешетка R в подходящей булевозначной модели.

1.6.7. Теорема. Пусть E архимедова векторная решетка, изоморфизм булевой алгебры B на базу B(E) и пусть R поле действительных чисел в модели V(B). Существует элемент E V(B), удовлетворяющий условиям:

(1) V(B) |= E векторная подрешетка поля R, рассматриваемого как векторная решетка над R ;

(2) E := E векторная подрешетка R, инвариантная которой всякое множество положительных попарно дизъюнктных элементов имеет супремум;

(3) существует o-непрерывный решеточный изоморфизм (4) для каждого b B оператор проектирования на компоненту, порожденную в R множеством ((b)), совпадает с (b).

1.6. Действительные числа в булевозначных моделях 1.6.8. Элемент E V(B) из теоремы 1.6.7 называют булевозначной реализацией векторной решетки E. Следовательно, булевозначными реализациями архимедовых векторных решеток служат векторные подрешетки поля действительных чисел R, рассматриваемого как векторная решетка над полем R.

Укажем теперь несколько следствий из 1.6.4 и 1.6.7, сохранив те же обозначения:

(2) Образ (E) совпадает со всем R тогда и только тогда, когда E расширенное K-пространство.

(3) Расширенные K-пространства бывают изоморфны в (4) Пусть E расширенное K-пространство с единицей 1. Тогда в E можно, и притом единственным образом, определить умножение так, что E превращается 1.6.9. К подсистемам поля R приводят булевозначные реализации не только архимедовых векторных решеток, см. 1.6.7. Сформулируем, например, несколько утверждений из [31].

Теорема. Имеют место следующие утверждения:

(1) Булевозначной реализацией архимедовой решеточно упорядоченной группы служит подгруппа аддитивной группы поля R.

(2) Архимедово f -кольцо содержит две взаимно дополнительные компоненты, одна из которых есть группа с ненулевым умножением и реализуется как в (1), а другая имеет в качестве булевозначной реализации (3) Архимедова f -алгебра содержит две взаимно дополнительные компоненты, одна из которых есть векторная решетка с нулевым умножением и реализуется как в 1.6.7, а другая как подкольцо и подрешетка поля R, рассматриваемого как f -алгебра над R.

1.6.10. Комплексной векторной решеткой называют комплексификацию EiE, где i мнимая единица, вещественной векторной решетки E. Часто при этом требуют дополнительно существование модуля у любого элемента z E iE. В случае K-пространства это требование избыточное, так что комплексное K-пространство комплексификация вещественного K-пространства. Говоря о порядковых свойствах комплексной векторной решетки E iE, имеют в виду ее вещественную часть E. Понятия подрешетки, идеала, компоненты проектора и т. п. естественно распространяются на случай комплексной векторной решетки путем надлежащей комплексификации.

1.6.11. Примечания.

(1) Булевозначный статус понятия K-пространства устанавливает теорема Гордона 1.6.4, полученная в [10]. Этот факт можно сформулировать так: расширенное K-пространство есть интерпретация поля вещественных чисел в подходящей булевозначной модели. При этом оказывается, что любая теорема (в рамках теории ZFC) о вещественных числах имеет свой аналог для соответствующего K-пространства. Перевод одних теорем в другие осуществляется посредством точно определенных процедур: подъем, спуск, каноническое вложение, т. е., по сути дела, алгоритмически.

Тем самым установка Канторовича элементы K-пространства суть обобщенные числа обретает в булевозначном анализе четкую математическую формулировку.

С другой стороны, эвристический принцип переноса, игравший вспомогательную наводящую роль во многих исследованиях в добулевозначной теории K-пространств, превращается с помощью булевозначного анализа в точный исследовательский метод.

(2) Если в 1.6.4 B это -алгебра измеримых множеств по модулю множеств ненулевой меры µ, то R изоморфно расширенному K-пространству измеримых функций M (,, µ).

Этот факт (для лебеговой меры на отрезке) был известен еще Скотту и Соловею (см. [108]). Если B полная булева алгебра проекторов в гильбертовом пространстве, то R изоморфно пространству тех самосопряженных операторов, у которых спектральная функция действует в B.

1.7. Функциональное исчисление в K-пространствах Указанные два частных случая теоремы Гордона интенсивно и плодотворно эксплуатировал Г. Такеути, см. [112], а также библиографию в [38]. Объект R для общих булевых алгебр рассмотрел также Т. Йех [79, 80], переоткрыв по существу теорему Гордона.

Отличие состоит в том, что в [79] (комплексное) расширенное Kпространство с единицей определяется другой системой аксиом и именуется полной стоуновой алгеброй.

(3) Реализационную теорему 1.6.7 получил А. Г. Кусраев [31].

Близкий результат (в других терминах) имеется в работе [81], в которой развивается булевозначная интерпретация теории линейно упорядоченных множеств. Следствия 1.6.8 (3, 4) хорошо известны (см.

[9, 22]).

Понятие максимального расширения для K-пространства другим способом ввел А. Г. Пинскер. Им же доказано существование единственного с точностью до изоморфизма максимального расширения для произвольного K-пространства. А. И. Юдин установил существование порядкового пополнения архимедовой векторной решетки. Соответствующие ссылки имеются в [9, 22]. Все эти факты без труда выводятся из 1.6.4 и 1.6.7 (подробности см. в [5]).

(4) Как уже отмечалось в 1.6.11 (1), первоначально попытки формализации эвристического принципа Канторовича приводили к теоремам о сохранении соотношений (см. [9, 22]). Современные формы теорем о сохранении соотношений, использующих метод булевозначных моделей, можно найти в [12, 80], см. также [38].

1.7. Функциональное исчисление в Важнейшие структурные свойства векторных решеток представление пространствами функций, спектральная теорема, функциональное исчисление и т. п. являются изображениями свойств поля действительных чисел в подходящей булевозначной модели. Остановимся коротко на булевозначном подходе к функциональному исчислению в K-пространствах.

1.7.1. Ниже нам потребуется понятие интеграла по спектральной мере. Пусть (, ) измеримое пространство, т. е. непустое множество и фиксированная -алгебра подмножества множеB называют спектральной мерой, ства. Отображение µ :

если µ( \ A) = 1 µ(A) и для любой последовательности (An ) элементов -алгебры.

Пусть B := E(E) булева алгебра единичных элементов Kпространства E с фиксированной единицей 1. Возьмем измеримую функцию f : R. Для произвольного разбиения числовой прямой := (k )kZ, k < k+1 (k Z), limn± n = ±, положим Ak := f 1 ([k, k+1 )) и составим интегральные суммы где суммы вычисляются в E. Если существует такой элемент x E, что sup{(f, )} = x = inf{(f, )}, где точные границы берутся по всевозможным разбиениям := (k ) числовой прямой, то говорят, что функция f интегрируема по спектральной мере µ или существует спектральный интеграл Iµ (f ), и пишут при этом 1.7.2. Теорема. Пусть E := R, а µ спектральная мера со значениями в B := E(E). Тогда для любой измеримой функции f интеграл Iµ (f ) единственный элемент K-пространства E, удовлетворяющий условию где {f < } := {t : f (t) < }.

Из этой теоремы видно, что если существует интеграл Iµ (f ) E, то отображение µ({f < }) совпадает со спектральной функцией элемента Iµ (f ). В частности, если E расширено, то Iµ (f ) существует для любой измеримой функции f. Более того, из теоремы 1.6.4, используя элементарные свойства поля R, можно легко получить следующий результат.

1.7. Функциональное исчисление в K-пространствах 1.7.3. Теорема. Пусть E расширенное K-пространство, а µ: некоторая спектральная мера. Спектральный интеграл Iµ (·) это секвенциально o-непрерывный (линейный мультипликативный и решеточный) гомоморфизм из f -алгебры измеримых функций M (, ) в E.

1.7.4. Пусть e1,..., en : R B конечный набор спектральных функций со значениями в -алгебре B. Тогда существует единственная B-значная спектральная мера µ, определенная на борелевской -алгебре B(Rn ) пространства Rn, для которой каковы бы ни были 1,..., n R.

1.7.5. Возьмем упорядоченный набор элементов x1,..., xn, лежащих в K-пространстве E с единицей 1. Пусть exk : R B := E(E) спектральная функция элемента xk. В соответствии с доказанным предложением существует спектральная мера µ : B(Rn ) B, для которой Как видно, мера µ однозначно определяется упорядоченным набором X := (x1,..., xn ) E n. Поэтому пишут µX := µ и говорят, что µX спектральная мера набора X. Для интеграла от измеримой функции f : Rn R по спектральной мере µX приняты обозначения Если X := (x), то пишут также x(f ) := f (x) := Iµ (f ), а µx := µX именуют спектральной мерой элемента x. Для функции f (t) = t при t R из 1.7.2 вытекает спектральная теорема Фрейденталя:

Напомним, что пространство B(Rn, R) всех борелевских функций на Rn является расширенным K -пространством и точной f -алгеброй.

1.7.6. Теорема. Спектральные меры набора X := (x1,..., xn ) и элемента f (x1,..., xn ) связаны соотношением где f : B(R) B(Rn ) гомоморфизм, действующий по правилу A f 1 (A). В частности, для измеримых функций f B(Rn, R) и g B(R, R) будет (g f )(X) = g(f (X)), если только существуют f (X) и g(f (X)).

Согласно 1.7.2 для каждого R верно Значит, спектральные меры µf (X) и µX f 1, определенные на B(R), совпадают на интервалах вида (, ). Отсюда обычными в теории меры рассуждениями выводится, что эти меры совпадают везде.

Для обоснования второй части нужно лишь заметить, что (g f ) = f g и применить дважды уже установленное.

Из 1.7.3 и 1.7.6 получаем следующий факт.

1.7.7. Теорема. Для упорядоченного набора X := (x1,..., xn ) элементов расширенного K-пространства E отображение представляет собой единственный секвенциально o-непрерывный гомоморфизм f -алгебры B(Rn, R) в E, удовлетворяющий условию 1.7.8. Вкратце остановимся на двух реализациях расширенного K-пространства R, которые можно получить с помощью 1.6.4. Напомним, что для компакта Q символом C (Q) обозначается множество всех непрерывных функций из Q в R, принимающих бесконечные значения лишь на нигде не плотных множествах (см. 1.5.4 (2)).

Пусть K(B) множество всех разложений единицы в B.

1.7. Функциональное исчисление в K-пространствах 1.7.9. Теорема. Пусть B полная булева алгебра. Множество K(B) с подходящими операциями и порядком представляет собой расширенное K-пространство. Отображение, сопоставляющее элементу x R разложение единицы [[ x < ]] для R, является изоморфизмом K-пространств R и K(B).

1.7.10. Теорема. Пусть Q стоуновский компакт полной булевой алгебры B, а R поле действительных чисел в модели V(B).

Векторная решетка C (Q) изоморфна расширенному K-пространству R. Изоморфизм устанавливается сопоставлением элементу x R функции x : Q R по формуле 1.7.11. Примечания.

(1) Понятия единицы, единичного элемента и характеристики (спектральной функции элемента) ввел Г. Фрейденталь. Им же установлена спектральная теорема, см. 1.7.5, а также [9, 22]. Из теоремы 1.7.9 вытекает, что для полной булевой алгебры B множество разложений единицы является расширенным K-пространством, база которого изоморфна B. Этот факт принадлежит Л. В. Канторовичу [22]. Реализацию произвольного K-пространства в виде фундамента в K(B) получил А. Г. Пинскер (см. [22]). Из 1.6.8 (1) и 1.7.10 вытекает реализация произвольного пространства в виде фундамента C (Q). Этот факт впервые установили независимо Б. З. Вулих и Т. Огасавара (см. [9, 22]).

(2) Из 1.7.4 вытекает, что всякая спектральная функция со значениями в -алгебре определяет спектральную меру на борелевской -алгебре действительной прямой.

Этот факт впервые указал В. И. Соболев в [59]. Однако в [59] предполагалось, что такую меру можно получить методом продолжения Каратеодори. Как показал Д. А. Владимиров, для полной булевой алгебры счетного типа продолжение по Каратеодори возможно лишь в том случае, когда она регулярна. Итак, метод продолжения, приводящий к 1.7.4, существенно отличается от продолжения по Каратеодори и основан на представлении Люмиса Сикорского булевых -алгебр. М. Райт получил утверждение 1.7.4 как следствие из установленной им теоремы Рисса для операторов со значениями в K-пространстве.

(3) Борелевские функции от элементов произвольного K-пространства с единицей, по всей видимости, впервые были рассмотрены В. И. Соболевым (см. [9, 59]). Теорема 1.7.6 в приведенной общности получена в [41]. В [41] строится также борелевское функциональное исчисление (счетных и несчетных) наборов элементов произвольного K-пространства. Булевозначное доказательство теоремы 1.7.7 приводится также в [79].

(4) Другие аспекты булевозначного анализа векторных решеток см. в [11, 12, 29, 38, 56, 79, 81, 112, 113].

1.8. Решеточно нормированные пространства Функциональные пространства часто допускают естественную нормировку посредством элементов векторной решетки. Это обстоятельство определяет некоторые структурные свойства изучаемых пространств. Помимо этого, норма со значениями в векторной решетке позволяет выделить интересный класс мажорируемых операторов. Начальные сведения об указанных объектах излагаются в текущем параграфе. Подробности можно найти в [29, 34, 36].

1.8.1. Рассмотрим векторное пространство X и вещественную векторную решетку E. Не оговаривая каждый раз, будем считать, что все рассматриваемые векторные решетки архимедовы. Отображение p : X E+ назовем векторной (E-значной) нормой, если оно удовлетворяет аксиомам:

Векторную норму p именуют разложимой или нормой Канторовича, если Тройку (X, p, E) (или проще X, (X, p), опуская подразумеваемые параметры) называют решеточно нормированным пространством, если p есть E-значная норма на векторном пространстве X. Если норма p разложима, то и само пространство X называют разложимым.

Если (X, p, E) решеточно нормированное пространство, причем E нормированная решетка, то на X можно ввести смешанную норму:

Нормированное пространство X := (X, ||| · |||) в этой ситуации называют также пространством со смешанной нормой. В силу неравенства |p(x) p(y)| p(x y) и монотонности нормы в E векторная норма p будет непрерывным оператором из (X, ||| · |||) в E.

1.8.2. Возьмем сеть (x )A в пространстве X. Говорят, что она bo-сходится к элементу x X и пишут bo-lim x = x, если существует убывающая сеть (e ) в E+ такая, что inf e = 0 и для любого найдется индекс () A, для которого p (x x ) e при всех (). Сеть (x ) назовем bo-фундаментальной, если сеть (x x )(, )AA является bo-сходящейся к нулю. Решеточно нормированное пространство называют bo-полным, если всякая oфундаментальная сеть в нем o-сходится к элементу этого пространства. Аналогично определяется полнота относительно сходимости с регулятором. Нетрудно показать, что если E банахова решетка, то пространство со смешанной нормой (X, ||| · |||) банахово в том и только в том случае, когда (X, p, E) полно относительно сходимости с регулятором.

Разложимое bo-полное решеточно нормированное пространство называют пространством Банаха Канторовича.

Пусть (Y, q, F ) пространство Банаха Канторовича, причем F = q(Y ). Говорят, что Y расширено, если mF = F, т. е. если расширенным является нормирующее пространство F. Это равносильно тому, что Y разложимо, bo-полно и всякое дизъюнктное семейство в нем bo-суммируемо. Пространство Y называют максимальным расширением решеточно нормированного пространства (X, p, E) при соблюдении условий:

(3) если Z разложимое bo-полное подпространство Y 1.8.3. Теорема. Пусть (X, ) банахово пространство в модели V(B). Положим X := X и p :=. Имеют место утверждения:

(1) (X, p, R) это расширенное пространство Банаха Канторовича;

(2) на пространстве X можно ввести структуру точного унитарного модуля над кольцом := C так, что Возникшее таким образом расширенное пространство Банаха Канторовича X := (X, ) := (X,, R) называют спуском банахова пространства (X, ).

1.8.4. Теорема. Для любого решеточно нормированного пространства (X, p, E) существует единственное с точностью до линейной изометрии банахово пространство X внутри V(B), где B B(p (X) ), для которого спуск X является максимальным расширением (X, p, E).

1.8.5. Банахово пространство X внутри V(B) называют булевозначной реализацией рассматриваемого решеточно нормированного пространства X, если X есть максимальное расширение X.

Пусть X и Y булевозначные реализации пространств Банаха Канторовича X и Y соответственно, нормированных посредством одного и того же расширенного K-пространства E. Пусть, далее, L (B) (X, Y ) пространство линейных ограниченных операторов из X в Y внутри V(B), где B B(E). Обозначим через Lb (X, Y ) множество линейных операторов из T : X Y, ограниченных в следующем смысле: существует Orth(E) такой, что T x x при всех x X. Спуск операторов T T осуществляет линейную изометрию решеточно нормированных пространств L (B) (X, Y ) и Lb (X, Y ).

1.8.6. Пусть X нормированное пространство. Допустим, что в L (X) имеется полная булева алгебра B проекторов единичной нормы, изоморфная B. В этой ситуации мы будем отождествлять булевы алгебры B и B и писать B L (X). Назовем X нормированным B-пространством, если B L (X) и для любого разбиения единицы (b ) в B выполнены два условия:

Условия (1) и (2) равносильны следующим условиям (1 ) и (2 ) соответственно:

(1 ) для каждого x X существует наибольший проектор Из (2 ) следует, в частности, что для x X и попарно дизъюнктных проекторов b1,..., bn B.

Элемент x X, удовлетворяющий условию b x = b x, где (b ) разбиение единицы, будем называть перемешиванием семейства (x ) (относительно (b )). При соблюдении условия (1) перемешивание единственно. Условие (2) допускает такую эквивалентную формулировку: единичный шар BX замкнут относительно перемешиваний.

Нормированное B-пространство назовем B-циклическим, если в нем существует перемешивание любого ограниченного по норме семейства относительно любого разбиения единицы в B. Учитывая сказанное выше, можем утверждать, что нормированное пространство X будет B-циклическим тогда и только тогда, когда для любого разбиения единицы (b ) B и произвольного семейства (x ) BX существует единственный элемент x BX такой, что b x = b x для всех.

Изометрию нормированных B-пространств назовем B-изометрией, если она линейна и перестановочна с каждым проектором из B. Будем говорить, что Y это B-циклическое расширение Bпространства X, если Y является B-циклическим и существует Bизометрия : X Y такая, что всякое B-циклическое подпространство в Y, содержащее (X), совпадает с Y. Можно показать, что для банахова B-пространства существует единственное с точностью до B-изометрии B-циклическое расширение.

Возьмем банахово пространство (X, ) внутри V(B). Пусть ограниченная часть K-пространства C (= порядковый идеал в C, порожденный единицей). Ограниченную R, порожденный единицей). Ограниченную часть пространства X, т. е. множество {x X : (x) }, называют ограниченным спуском X и обозначают иногда символом X. Ограниченный спуск банахова пространства является банаховым пространством со смешанной нормой |||x||| := p(x), где z := inf{0 < R : |z| 1} для z.

1.8.7. Теорема. Для банахова пространства X равносильны следующие утверждения:

(1) X разложимое пространство со смешанной нормой, причем нормирующая решетка является K-пространством ограниченных элементов;

(3) B-циклическое расширение пространства X является B-изометричным ограниченному спуску некоторого 1.8.8. Предположим, что X нормированное B-пространство B-циклическое банахово пространство. Пусть X и Y обознаиY чают булевозначные реализации X и Y.

Пространство LB (X, Y ) всех ограниченных линейных операторов, перестановочных с проекторами из B, является B-изометричным ограниченному спуску пространства L (X, Y ) ограниченных линейных операторов из X в Y внутри V(B). Более того, оператору T LB (X, Y ) соответствует элемент T := T из V(B), определяемый где одновременно обозначает вложения X в X и Y в Y.

1.8.9. Пространство X # := LB (X, ) будем называть B-сопряженным к X.

Пусть X пространство, сопряженное к X. Обозначим через и B отношения изометрического изоморфизма и изометрического B-изоморфизма между банаховыми пространствами. Предположим дополнительно, что X, Y, X и Y таковы же, как и в 1.8.8.

(2) Если X это B-циклическое пополнение X, то имеет алгебра) и B полная булева алгебра ее проекторов. Рассмотрим унитарный A-модуль X. Отображение · | · : X X A называют A-значным скалярным произведением, если для любых x, y, z X и a A выполнены условия:

Располагая A-значным скалярным произведением, можно ввести в X норму по формуле а также векторную норму При этом |||x||| = x (x X), т. е. (5) определяет смешанную норму на X.

Можно показать, что пара (X, |||·|||) представляет собой B-циклическое банахово пространство в том и только в том случае, если (X, · ) пространство Банаха Канторовича [36].

Модулем Капланского называют унитарный A-модуль с A-значным скалярным произведением, удовлетворяющий любому из этих двух эквивалентных условий.

1.8.11. Теорема. Ограниченный спуск произвольного гильбертова пространства в модели V(B) является модулем Капланского Гильберта над стоуновой алгеброй. Наоборот, если X модуль Капланского Гильберта над, то существует гильбертово пространство X в V(B), ограниченный спуск которого унитарно эквивалентен X. Это пространство единственно с точностью до унитарной эквивалентности внутри V(B).

1.8.12. Как обычно, элемент X V(B) называют булевозначной реализацией модуля Капланского Гильберта X.

Предположим, что L B (X, Y ) пространство ограниченных линейных операторов из X в Y внутри V(B). Пусть Hom(X, Y ) обозначает пространство всех ограниченных -линейных операторов из X в Y, где X и Y модули Капланского Гильберта над стоуновой алгеброй. Легко видеть, что Hom(X, Y ) = LB (X, Y ).

Теорема. Пусть X и Y гильбертовы пространства внутри V(B). Пусть X и Y обозначают ограниченные спуски X и Y.

Для каждого ограниченного -линейного оператора элемент := является ограниченным линейным оператором из X в Y внутри V(B). Более того, [[ c ]] = 1 для некоторого c R. Отображение является B-линейной изометрией между B-циклическими банаховыми пространствами Hom(X, Y ) и 1.8.13. Примечания.

(1) Впервые понятие решеточно нормированного пространства появилось в работе Л. В. Канторовича [19]. Аксиома разложимости 1.8.1 (4) необычна и в последующем иногда опускалась как несущественная. Eе принципиальное значение выяснилось в рамках булевозначного анализа (см. [29]). В упомянутой работе Л. В. Канторовича были введены также мажорируемые операторы, см. также [20].

Продвинутая теория мажорируемых операторов построена лишь в последние 10–15 лет (см. [29, 34, 39]).

(2) Пространства со смешанной нормой в смысле этого параграфа изучались в [32], см. также [34]. Там же имеются различные приложения концепции смешанной нормы к геометрии банаховых пространств и теории линейных операторов. Ограниченный спуск ранее изучал Г. Такеути в связи с алгебрами фон Неймана и C алгебрами в булевозначных моделях [112, 113].

(3) Современная структурная теория AW -алгебр и AW -модулей начинается с работ И. Капланского [83–85]. Такие объекты естественно возникают на пути алгебраизации теории операторных алгебр фон Неймана. Результаты о булевозначной реализации AW алгебр и AW -модулей получил М. Озава [97–100].

1.9. Нестандартные оболочки В геометрической теории банаховых пространств важное место занимает понятие нестандартной оболочки.

1.9.1. Пусть (E, · ) внутреннее нормированное пространство. Элемент x E называют конечным (бесконечно малым), если x конечное (бесконечно малое) число. Обозначим через n(E) и µ(E) внешние множества соответственно всех конечных и всех бесконечно малых элементов пространства E. Тогда n(E) (внешнее) векторное пространство над полем R, а µ(E) его подпространство. Фактор-пространство n(E)/µ(E) обозначают символом E. На E вводят норму формулой где : n(E) E фактор-гомоморфизм. При этом (E, · ) внешнее нормированное пространство, именуемое нестандартной оболочкой E. Если внутренняя размерность E конечна, то пространство E называют гиперконечномерным. Если пространство (E, · ) стандартно, то E с индуцированной из E нормой будет внешним нормированным пространством, а ограничение на E изометрическим вложением E в E. Обычно считают, что E E.

1.9.2. Теорема. Пространство E банахово для каждого внутреннего (не обязательно полного) нормированного пространства E.

Пусть BX (a, r) замкнутый шар в X с центром в a радиуса r. Возьмем последовательность вложенных шаров BE (xn, rn ), где (xn )n N E, xn = xn, (rn )n N R и limn rn = 0. Можно считать, что rn убывает. Тогда последовательность внутренних замкнутых шаров BE (xn, rn + rn /2n+1 ) E вложенная. В силу принципа идеализации существует элемент x E, содержащийся в каждом из этих шаров. Элемент x = x общая точка шаров BE (xn, rn ).

1.9.3. Допустим, что E внутренняя нормированная решетка. Тогда в E можно ввести отношение порядка так, чтобы факторгомоморфизм оказался положительным. Точнее, если x := x и y := y, то полагают по определению Теорема. Нестандартная оболочка E банахова решетка с секвенциально o-непрерывной нормой. Более того, всякая возрастающая и ограниченная по норме последовательность в E будет порядково ограниченной.

В то же время следует подчеркнуть, что нестандартная оболочка внутренней нормированной решетки может и не являться Kпространством (и даже K -пространством; например, c0, где c решетка сходящихся к нулю последовательностей).

1.9.4. Теорема. Для любой внутренней нормированной решетки E равносильны утверждения:

(3) E имеет o-непрерывную норму;

(4) в E не существует замкнутой подрешетки, изометрически и порядково изоморфной c0.

1.9.5. Говорят, что нормированная решетка богата конечномерными подрешетками, если выполняется следующее условие: для каждого конечного набора x1,..., xn E, n N, и произвольного 0 < R существуют конечномерная подрешетка E0 E и элементы y1,..., yn E0 такие, что xk yk < (k := 1,..., n).

Стандартная банахова решетка E богата конечномерными подрешетками в том и только в том случае, если E содержится в некотором гиперконечномерном подпространстве оболочки E.

1.9.6. Предположим теперь, что E и F внутренние нормированные пространства и T : E F внутренний линейный ограниченный оператор. Множество внутреннее и ограничено снизу. Поэтому существует T := inf c(T ).

Если T всех x E видно, что T (n(E)) n(E) и T (µ(E)) µ(E). Следовательно, корректно определен внешний оператор T : E F формулой Оператор T линеен (над R) и ограничен, причем T = st( T ).

Естественно называть T нестандартной оболочкой T.

Если E и F нормированные решетки, а оператор T положителен, то T положительный секвенциально o-непрерывный оператор.

1.9.7. Нетрудно видеть, что для ограниченных операторов S и T выполняется (S T ) = S T, а кроме того, IE = IE, где IX тождественный оператор на X. Таким образом, операция нестандартной оболочки представляет собой ковариантный функтор (в подходящих категориях нормированных пространств). Возникает огромное число вопросов относительно общих свойств этого функтора. Как взаимодействует функтор нестандартной оболочки с другими функторами теории банаховых пространств (решеток)? Как преобразуются известные в геометрической теории банаховых пространств свойства (Радона Никодима, Крейна Мильмана и т. п.) при действии этого функтора? Как устроены оболочки конкретных пространств?

Аналогичные вопросы можно сформулировать и для операторов. С основными идеями и методами можно ознакомиться по обзорам [70, 73, 75]. Здесь же мы вкратце упомянем три направления исследования и сформулируем простые утверждения иллюстративного характера.

1.9.8. Вопрос об аналитическом описании нестандартных оболочек наиболее полно изучен для случая классических банаховых пространств, см. [75].

Теорема. Справедливы утверждения:

(1) Если E внутреннее ALp -пространство, где p, p 1, (2) Если E внутреннее ALp -пространство, где p, p 1, (3) Если Q внутренний компакт, а C(Q) внутреннее пространство непрерывных функций из Q в R, то C(Q) линейно изометрично C(Q), где Q внешнее пополнение Q в некоторой равномерности.

В аксиоматической теории внешних множеств можно получать лишь общие результаты такого рода. Однако если работать в классической установке нестандартного анализа (т. е. в конечном фрагменте универсума фон Неймана), то возможно детальное описание нестандартных оболочек. Так, например, если нестандартная суперструктура 0 -насыщена (ограничение снизу) и при этом обладает свойством 0 -изоморфизма (ограничение сверху), то нестандартная оболочка банаховой решетки Lp ([0,1]) изометрически изоморфна lp сумме k экземпляров пространства Lp ([0, 1]k ), где k = 20.

1.9.9. Обратимся к локальной геометрии нормированных пространств. Напомним, что некоторые свойства нормированного проГлава странства являются локальными в том смысле, что они определяются устройством и расположением конечномерных подпространств изучаемого пространства. В этом смысле нестандартные оболочки устроены намного лучше. Так, например, часто случается, что если какое-то свойство выполнено приближенно на конечномерных подпространствах, то это же свойство в нестандартной оболочке выполняется уже точно.

Пусть E и F банаховы решетки. Говорят, что E финитно представима в F (как банахова решетка), если для каждой конечномерной подрешетки E0 E и любого > 0 существует линейный и решеточный изоморфизм T : E0 F такой, что x T x (1 + ) x для всех x E0.

Теорема. Предположим, что E стандартная банахова решетка, богатая конечномерными подрешетками (1.9.5), а F внутренняя банахова решетка. Тогда E финитно представима в F в том и только в том случае, если стандартное ядро E линейно изометрично и решеточно изоморфно подрешетке в F.

1.9.10. Обратимся теперь к некоторым теоретико-модельным свойствам банаховых пространств.

Введем следующий язык первого порядка LB. Сигнатура этого языка {=, +, p, Q} Q, где Q множество рациональных чисел.

Всякое банахово пространство E можно рассматривать как модель LB, интерпретируя = и + соответственно как равенство и слокак {x E : x 1}, Q как {x E : x 1} и, жение, p наконец, каждое r Q как операцию умножения на r.

S ограниченный квантор, а k конъюнкция формул вида u = v, p(u), Q(u), называют ограниченной позитивной.

Если формула и m натуральное число (= 0), то m новая формула, которая строится следующим образом. В подформулах 1,..., n заменяют u = v на p(m(u v)), p(u) на p((1 1/m)u), Q(u) на Q((1 + 1/m)u). Если m выполняется в E для всех m N, то говорят, что выполнено в E аппроксимативно.

Банаховы пространства E и F называются аппроксимативно эквивалентными, если в них выполняются аппроксимативно одни и те же ограниченные позитивные формулы.

1.10. Мера Лба Теорема. Справедливы следующие утверждения:

(1) Банаховы пространства являются аппроксимативно эквивалентными в том и только в том случае, если они имеют изометричные нестандартные оболочки.