[ 5919
УДК 519.2/.6+368.5
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ В СИСТЕМЕ
АГРОСТРАХОВАНИЯ
В.Г. Киселёв
Вычислительный центр им.А.А. Дородницына РАН
Россия, 119333, Москва, ул. Вавилова, 40
E-mail: [email protected] Ключевые слова: агрострахование, урожайность, статистическая информация, актуарная математика, программы страхования, средний доход, вероятность разорения Аннотация: Приводятся особенности системы агрострахования и приводятся математические модели, описывающие экономическую деятельность участников операции страхования производства сельскохозяйственных культур: страховой фирмы и страхователя – производителя сельскохозяйственной продукции. Интересы всех этих участников определяются некоторым набором критериев, при вычислении которых возникают определенные сложности. В работе приводятся формулы для вычисления этих критериев в простом случае и предлагается некоторый подход для преодоления этих сложностей.
1. Введение Основным способом обеспечения финансовой устойчивости сельскохозяйственных производителей является страхование сельскохозяйственных рисков. Это один из многочисленных видов страхования. В условиях современного общества страхование превратилось в универсальное средство возмещения ущерба практически во всех отраслях человеческой деятельности. Практически для всех видов страхования, разработаны приемлемые методики, основанные на имеющихся в достаточной мере статистических данных и использующие современные достижения актуарной математики (последние достижения в актуарной математике приведены в переводной монографии [1]). Исключение составляет страхование в сельском хозяйстве и особенно в его растениеводческой отрасли.
В работах [2-3] отмечались основные особенности страхования сельскохозяйственного производства. Основная особенность заключается в том, что для обоснования различных программ агрострахования не хватает главного – достаточной информационной базы.
Второй важной особенностью является коррелированность страховых случаев, объясняющаяся тем, что многие застрахованные агрофирмы находятся в одной агроклиматической зоне, и если в некоторый год сложились неблагоприятные погодные условия в этой зоне, то недобор урожая будет у всех застрахованных хозяйств этой зоны и им всем придется выплачивать причиненный погодой ущерб, а это возможно только при наличии больших средств, которые страховая фирма может накопить в другие благоприятные годы. Это существенное отличие агрострахования от других классических видов страхования, когда страховые случаи независимы и одновременно происходят
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ- Москва 16-19 июня 2014 г.лишь у малой части страхователей и страховые выплаты можно производить за счет большого количества других участников страховой компании, не потерпевших ущерба.
Наконец, третьей особенностью, отличающей агрострахование от классических видов страхования, является оценка доли участия застрахованных природных факторов в недоборе урожая. Достоверная оценка потерь урожая является очень сложной задачей.
Величина потерь зависит не только от природных (объективных) факторов, но и от человеческого фактора, каким является производственная деятельность агрофирмы.
Для выработки приемлемых программ страхования урожая необходимо учитывать все перечисленные факторы а также интересы всех участников операции страхования, в которой участвуют три стороны: страховая компания, страхователь – аграрная фирма и государство. Участие государства, точнее – его поддержка этой акции, как показывает международный опыт, обязательно. Естественно, все эти требования необходимо учитывать при составлении конкретных программ страхования и их можно выполнить только привлекая методы системного анализа, в частности методы теории исследования операций, анализа многокритериальных задач с неполной информацией, а фундаментом таких исследований являются математические модели, которым и посвящено данное сообщение.
2. Основные программы агрострахования Поскольку система агрострахования в нашей стране находится только в стадии становления, то в обзоре различных программ страхования в сельскохозяйственном производстве будем в основном ссылаться на зарубежный опыт, где проблемам агрострахования всегда уделялось большое внимание.
Так как сельскохозяйственное производство состоит из двух отраслей – растениеводства и животноводства, то и страховые программы делятся на две группы – страховые программы в растениеводстве и страховые программы в животноводстве. Мы рассмотрим наиболее сложное страхование – страхование при производстве растениеводческой продукции.
Круг различных программ аграрного страхования достаточно широк, но в них практически всегда участвует государство. Существует два вида программ – программы страхования урожайности и программы страхования доходов, которые гарантируют компенсацию потерь производителя сельскохозяйственной продукции не только от недобора урожая, но и от падения цен на производимую продукцию.
В качестве примера зарубежных программ страхования приведем основные программы агрострахования в США.
Мультирисковое страхование урожая Эта программа является самой давней и самой популярной программой агрострахования, которая предоставляет защиту от падения урожайности, вызванного целым рядом рисков. Для большинства культур эти риски включают засуху, переувлажнение, заморозки и вымерзание, наводнение, вред, нанесенный вредителями и болезнями.
Уровень покрытия по данной программе базируется на средней урожайности каждого отдельного хозяйства. Если полученная в хозяйстве урожайность культуры меньше гарантированной, то застрахованному хозяйству будет выплачена сумма, которой не хватает до гарантированного уровня.
Мультирисковое страхование является самым дорогим и сложным, поскольку при данном виде страхования необходимо проводить мониторинг посевов и урегулировать
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ- Москва 16-19 июня 2014 г.убытки в каждом хозяйстве по каждому полю. В структуре тарифа на это уходит примерно 20-30% суммы страховой премии.
Страхование по индексу урожайности Покрытие ущерба в этой программе базируется на показателях района, а не индивидуального хозяйства, и выплата застрахованному хозяйству по этой программе производится тогда, когда средняя урожайность по району падает ниже гарантированного уровня урожайности.
Компенсация ущерба производится всем застрахованным хозяйствам пропорционально возделываемой площади. Конкретный фермер может не получить компенсацию, если у него урожайность низкая, а средняя урожайность по району выше гарантированного уровня. Данная программа не устраивает прогрессивные хозяйства, у которых урожайность чаще всего намного выше средней урожайности по району, поскольку данным хозяйствам не компенсируются собственные потери, если средняя урожайность по району выше гарантированной.
Страхование дохода от выращивания культуры Существует несколько видов программ такого содержания. Мы здесь опишем самую распространенную программу страхования дохода. Эта программа базируется на средней урожайности каждого индивидуального сельскохозяйственного производителя и защищает его от снижения дохода в результате падения урожайности и / или падения цен на производимую продукцию. Эту программу можно назвать мультирисковой программой страхования, но не урожая, а дохода.
Для расчета гарантированного дохода используется цена, которая является максимальной из двух цен – прогнозной весенней цены на урожай (базовой цены) и осенней цены в момент уборки урожая. Страховая же премия рассчитывается исходя из базовой (весенней) цены. Возмещение выплачивается тогда, когда полученный доход (вычисляется исходя из осенней цены в период уборки урожая) меньше гарантированного на всей застрахованной площади.
Это вариант программы базируется на показателях района, а не на показателях отдельного хозяйства.
По данной программе клиенты получают выплату, если среднегодовой доход всех хозяйств в районе снижается из-за падения урожайности и/или цены на продукцию. Заметим, что и по этой программе некоторые фермеры могут не получить компенсацию, если показатели индекса дохода не были ниже определенного уровня.
Структура всех собранных страховых премий в США распределяется следующим образом: по программам страхования доходов собирается 60% всех премий, по программам страхования урожая – 20%,по программам индекса дохода – 10%,по программам индекса урожайности – 3%. Остальные 7% страховых сборов составляют страховые премии от специальных программ с федеральным субсидированием по отдельным видам культур, фруктов, овощей.
3. Критерии, характеризующие программы страхования В разработке программы агрострахования участвуют три участника: страховая компания, страхователь – аграрная фирма (опосредованно) и государство. У каждой стороны имеются свои интересы, которые можно описать набором критериев. Значения критериев из этого набора определяют свойства каждой программы страхования. Отметим, что некоторые критерии из этого набора противоречивы, поскольку, например, страховая фирма желает максимизировать свой доход, а доход страховой фирмы полуXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ чается из выплат страхователя. Целью государства является стабилизация сельскохозяйственного производства и, как показывает мировой опыт, без государственных инвестиций реализация агрострахования нереальна.
Перечислим теперь минимальный набор критериев для оценки программы агрострахования.
Ф0 – доля участия государства в данной программе, Ф1 – средний доход агрофирмы, Ф2 – вероятность недополучения запланированного урожая (или, что то же, величина этого запланированного урожая)., Ф3 – средний доход страховой компании.
Ф4 – вероятность неразорения страховой компании, которая, в частности, определяется ее начальным капиталом.
Значения критериев из этого набора определяют свойства каждой программы страхования. В свою очередь, значения этих критериев зависят от некоторых параметров конкретной программы, которые необходимо назначить прежде, чем оглашать содержание программы.
В работах [3, 8]), приведены способы вычисления этих критериев на примере распространенной мультирисковой программы страхования. для случая страхования урожая одной культуры только одной фирмой на площади S и при условии, что известна эмпирическая функция распределения урожайности культуры. (О возможности построения такой функции будет сказано ниже). Пусть y и y – минимальная и максимальная урожайности соответственно, а Ey – ее среднее значение. Пусть цена единицы полученной продукции равна c. Страховая урожайность y – то значение урожайности, ниже которой страховая компания выплачивает страховое возмещение, равное стоимости недополученного урожая. Обычно значение страховой урожайности задают в виде y Ey, где 0 1 – некоторый коэффициент. При сделанных предположениях страховая сумма, исходя из которой определяется величина страхового взноса, равна cSy. Страховой взнос (страховая премия) – это плата за страхование – сумма, которую страхователь должен заплатить страховой компании, равен cS y, где 0 1 – страховой тариф – ставка страховой компании, задаваемая ею с учетом собственного финансового благополучия. С другой стороны, как это принято в страховом деле [1], страховая премия назначается из условия cS (1 ) Er, где >0 – величина страховой надбавки, а страховое возмещение r cS ( y y ),(нижний знак (+) означает функцию Хевисайда).Будем считать, что часть 0 1 страховой премии выплачивается из федерального и местного бюджетов. Следовательно, страхователь должен заплатить страховой фирме только величину (1 ). Такова программа страхования.
В работах.[2, 3] приведены следующие соотношения. Во-первых, показано, что т.е. величина страхового тарифа определяется величиной страховой надбавки. Там же показано, что средний доход страховой компании равен
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ние значений страховой урожайности (при фиксированном значении площади S ). Там 0, т.е. чем больше значение страховой урожайности, тем больже показано, что ше должно быть значение страхового тарифа, чтобы страховая компания не теряла доходность.Необходимым условием функционирования страховой компании является условие >0. Часть премии в размере cSEr идет на содержание фирмы (аренда и содержание помещения, проведение необходимых работ по страхованию, зарплата сотрудников, отчисления на развитие фирмы и так далее).
Будем считать, что агрострахование осуществляется при господдержке, величина которой определяется некоторым коэффициентом 0 1. Это часть платежа, который производится за счет федерального и местного бюджетов. Естественно, что чем больше господдержка, тем выгоднее агрофирме, заключающей договор. На доходы страховой компании величина господдержки напрямую не влияет, но сам факт заключения договора страхования существенно зависит от величины господдержки, поскольку при малой господдержке агрофирме может оказаться не выгодным заключение договора страхования. Кроме величины господдержки для страхователя важны все другие параметры страховой программы – величина застрахованной урожайности, тарифы и прочее.
Рассмотрим влияние страхования на экономические показатели агрофирмы. Первый показатель, ради чего и производится страхование, – это надежность получения урожая. Здесь все просто. Если страховая урожайность равна y, P( y y ) p, то это значит, что с вероятностью (1 p ) производитель будет получать запланированный урожай, а с вероятностью p будет недобор, который в какой-то мере будет компенсироваться страховой компанией.
В работах [2],[3] показано, что средний доход агрофирмы с учетом господдержки, выплаты страховой премии и получения страхового возмещения равен где выражение (1 ) назовем индикатором полезности страхования, поскольку его величина определяет средний доход агрофирмы. Если 0, то средний доход агрофирмы при страховании больше среднего дохода без страхования. Это возможно при малых значениях и больших значениях, т.е. при очень большой господдержке.
В [2],[3] было также показано, что где p – застрахованная вероятность получения урожая.
Как видно, опять все определяет выражение. Если оно положительно, то средний доход агрофирмы возрастает с увеличением y, в противном случае – убывает.
Следует отметить, что практически реальным является случай 0, когда при страховании средний доход агрофирмы убывает и он тем меньше, чем выше надежность получения урожая. В частности, это будет при нулевой господдержке. Этого и можно было ожидать, поскольку за надежность, следует платить.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
Наконец, о последнем, очень важном для страховой компании, критерии – вероятности ее неразорения Ф4.Для определения этого понятия необходимо рассмотреть функционирование страховой компании в динамике. При конкретной реализации процесса может так случиться, что в некоторый момент времени требуемые выплаты превысят имеющийся капитал. Такой момент времени называют моментом разорения. Вероятность (u, t ) P( t ) называют вероятностью разорения до момента t, при условии, что начальный капитал равен u. Соответственно (u, t ) 1 (u, t ) будет вероятностью неразорения.
Изучению этой характеристики страхования посвящено очень много исследований (см. [1, 6]), однако все они проведены в предположении, что известны характеристики соответствующих процессов, но в агростраховании максимум, что может быть известно, это эмпирическая функция распределения случайной величины – урожайности страхуемой культуры. В работе [2] приведены два метода вычисления вероятности неразорения для такого случая информированности.
Первый метод основан на решении задачи Коши для некоторого разностного уравнения для вероятности неразорения с заданным начальным условием (u, 0) 1, другой метод связан с использованием аппарата исследования цепей Маркова. Используя любой из этих методов, можно вычислить интересующий нас критерий – вероятность неразорения – и оценить требуемую величину начального капитала страховой компании.
Однако эти предложенные методы вычисления вероятности неразорения страховой компании разработаны для случая страхования одной культуры и одним хозяйством.
Заметим, что для уменьшения вероятности разорения страховая компания может прибегнуть к механизму перестрахования, когда оплата части рисков возлагается на другую страховую компанию, но за это требуется делиться частью страховой премии с этой страховой компанией.
4. Информационная база агрострахования Из изложенного выше следует, что для описания всех процессов, происходящих в системе агрострахования, необходимо знать распределение случайной величины – урожайности страхуемой культуры. Для этого необходимо иметь достаточно длинные статистические ряды. Такая информация имеется как для всей России в целом, так и для отдельных административных единиц в ежегодных статистических справочниках.
В работах [6-7] был проведен анализ таких рядов, который показал, что эти ряды не могут относиться к стационарным случайным величинам, и там же были названы причины этого факта. В частности, были отмечены основные факторы, влияющие на урожайность:
климатические условия, которые со временем имеют тенденцию к изменению;
научно-технический прогресс – использование новых перспективных сортов, современных технологий и современной техники;
человеческий фактор – качество выполняемых работ.
Таким образом, строить по имеющимся рядам эмпирические функции распределения и прогнозировать на перспективу урожайности, опираясь только на имеющиеся статистические данные, нужно весьма осторожно. Если первый – климатический фактор определяет в основном разброс получаемых урожаев, то второй и третий факторы в значительной степени определяют тренды средних значений.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
Но, с другой стороны, нам необходимо знать функцию распределения урожайности, которая тем точнее, чем больше привлекается измерений для ее построения. В данной ситуации остается один выход – воспользоваться методами имитационного моделирования [9-10], которые в данном случае будут заключаться в рассмотрении различных вариантов использования имеющейся информации, в частности, ее корректировке на основании каких-либо гипотез.Не останавливаясь подробно на деталях такого подхода, будем считать, что в нашем распоряжении имеется эмпирическая функция распределения случайной величины – урожайности страхуемой сельскохозяйственной культуры.
Как мы уже говорили выше, страховая компания заключает страховой договор со многими агрофирмами по целому ряду культур и для обоснованных действий должна знать информацию об урожайности страхуемых культур в данных хозяйствах. Однако поскольку таких агрофирм-страхователей может быть очень много, то следует ожидать, что для всех фирм необходимой информации не найдется. Поэтому нужен способ использования агрегированной информации. Что под этим подразумевается? На областном уровне хорошо известно деление всей территории на природно-экономические зоны, которые определяются средней оценкой пашни (в баллах), среднегодовой температурой, суммой температур выше десяти градусов, количеством осадков, продолжительностью безморозного периода.
Как уже говорилось выше, в каждом административном районе имеется необходимая информация о средней по району урожайности культур за ряд лет. Таким образом, район будем считать минимальной информационной зоной для страховой компании.
Эти минимальные информационные зоны можно укрупнить, объединяя районы, входящие в одну природно-экономическую зону. В эти укрупненные информационные зоны могут быть включены и районы соседних областей, если их природноэкономические показатели идентичны рассмотренным. Таким образом, территорию, которую обслуживает страховая компания, необходимо разбить на ряд информационных зон, и для каждой зоны должны быть выработаны определенные параметры программ страхования – тарифы и т. д. В каждой такой зоне, вообще говоря, должна быть одинаковой урожайность культур. Однако среди множества хозяйств, входящих в одну зону страхования, реальные урожайности различаются. Это объясняется рядом причин, о которых говорилось выше: тут и человеческий и природный факторы. Это различие можно учесть при заключении договоров страхования введением корректировки вида y j a j y, где y – средняя урожайность культуры в зоне страхования, а a j – поправочный коэффициент для j го хозяйства. Этот коэффициент, в частности можно получить, сравнивая средние урожайности по всей страховой зоне и конкретного хозяйства за последние несколько лет. С учетом этого поправочного коэффициента функция распределения урожайности этой культуры в данном хозяйстве будет Fj ( z ) F ( z / a j ), где F – эмпирическая функция распределения урожайности культуры для всей зоны. Задаваясь набором различных значений таких поправочных коэффициентов, можно рассчитать параметры страховой программы этой культуры, приведенные выше, и заключать договора с каждым хозяйством, исходя из этих значений.
Сделаем теперь важное замечание о коррелированности урожайностей сельскохозяйственных различных культур в зоне агрострахования региона.
Анализ временных рядов урожайностей культур показывает, что эти урожайности не являются независимыми. Это и понятно, поскольку, как правило, погодные условия, благоприятные для одной культуры, являются благоприятными и для других культур, выращиваемых в данном конкретном районе, и наоборот, такие катаклизмы, как засуха,
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
холодное лето и прочее неблагоприятно сказываются на урожайности всех культур.Однако это не всегда так. Например, на урожайность картофеля влияют, в основном, летние климатические условия, а для урожайности озимых зерновых важно также, какая была зима. Эти факторы необходимо учитывать при страховании нескольких культур и нескольких хозяйств. Свою точку зрения на учет этих факторов сформулируем в конце следующего раздела.
5. Cтрахование нескольких хозяйств и культур Обобщим теперь сказанное на более реальный случай, когда в страховании участвуют несколько агрофирм и страхуется несколько культур.
Пусть j означает номер хозяйства, J – множество всех хозяйств, участвующих в страховании своей продукции, k – номер культуры, K – множество всех культур Пусть считается известным, что j -я фирма заключила со страховой компанией договор на страхование k -й культуры на площади S kj со страховым уровнем y kj.
В работе [8] рассмотрен такой случай и получены некоторые результаты, характеризующие финансовую деятельность как страховой фирмы, так и фермеров.
Страховое возмещение j -й агрофирме по k -й культуре равно rkj ck S kj ( y kj ykj ), где смысл обозначений очевиден. Всего страховая фирма возместит всем хозяйствам по всем застрахованным культурам R rkj.
Страховая премия, полученная страховой фирмой от всех хозяйств по всем страхуемым бавка. Средний доход страховой компании равен Рассмотрим теперь вопрос о неразорении страховой компании. Динамика финансов страховой компании описывается соотношением Первые два слагаемые в этом выражении – детерминированные величины, третье – случайная величина. Для вычисления вероятности неразорения необходимо знать В [8] показано (используя, в частности, введенное понятие о зональном агростраховании), что при достаточно больших t случайная величина R(t ) является композицией K зависимых случайных величин, распределенных приближенно по нормальному закону, т.е. и сама она распределена приближенно по нормальному закону с параметрами
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
k -й культуре, а k k (t ) – коэффициент корреляции случайных величин Rk (t ) и Rk (t ).К сожалению, эти коэффициенты корреляции неизвестны, и их можно определить лишь эмпирически.
Следует сделать одно очень важное замечание. По-видимому, все, несколько идеализированные аналитические исследования, могут только помочь понять некоторые закономерности финансового состояния как страховой компании, так и агрофирмы, а реальные выводы необходимо делать, проводя эксперименты с помощью имитационного моделирования (см., например, [9, 10]) на некоторых искусственно спрогнозированных рядах урожайности. Эти случайные ряды урожайности должны учитывать скорректированную предыдущую статистику, возможные тренды, связанные с привлечением новых технологий, новых сортов и так далее.
На этих данных необходимо уточнять конкретные параметры программ страхования. Эти параметры должны быть конкретизированы для каждой культуры и для каждого региона и не должны быть фиксированными для всей страны, как это принято сейчас считать в соответствии с существующим законодательством. Этот подход, связанный с моделированием прогнозных значений урожайностей просто необходим для производителей сельскохозяйственной продукции, переходящих на инновационные технологии производства, что должно привести к значительному росту урожайности, который нужно уметь прогнозировать.
1. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д., Несбит С., Хикман Дж. Актуарная математика. М.: Янус-К, 2001.
2. Киселев В.Г., Актуарная математика в агростраховании. М.: ВЦ РАН. 2011. 29 с.
3. Киселев В.Г., Системный анализ основных систем агрострахования. М.: ВЦ РАН. 2012 28 с.
4. Рябикин В.И., Тихомиров С.Н., Баскаков В.Н. Страхование и актуарные расчеты. М.: Экономистъ, 2006. 459 с.
5. Бойков А.В. Страхование: актуарные расчеты и математические модели страхования. М.:
ОРГСЕРВИС-2000, 2008. 172 с.
6. Киселев В.Г. Особенности информационного обеспечения системы страхования сельскохозяйственного производства // Материалы Международной научно-практической конференции «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы». Орел, 2011. С. 236-240.
7. Киселев В.Г. Информационная база региональной системы агрострахования //Труды 5-й Международной конференции «Управление большими системами» М.: ИПУ РАН, 2011.
8. Киселев В.Г. Математические модели экономики страховой агрокомпании, М.: ВЦ РАН. 2013. 30с.
9. Шенон Р. Имитационное моделирование систем: искусство и наука. М.: Мир, 1978. 297 с.
10. Павловский Ю.Н., Белотелов Н.В., Бродский Ю.И. Имитационное моделирование. М.: Академия, 2008. 236 с.
«