WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

2300

УДК 517.977.5

РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ

В.Ф. Кротов

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Россия, 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65

E-mail: [email protected] О.В. Моржин Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН Россия, 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65 E-mail: [email protected] Е.А. Трушкова Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН Россия, 117997, Москва, Профсоюзная ул., E-mail: [email protected] Ключевые слова: динамические системы, оптимальное управление, обобщенные решения, итерационный метод Аннотация: Доклад посвящен итеративному методу построения обобщенных решений задач оптимального управления дифференциальными системами с линейным неограниченным управлением, в частности, для билинейных систем. Такие задачи характеризуются отсутствием минимума (максимума) на ординарном классе допустимых процессов (непрерывные траектории, кусочно-непрерывные управления) и достижением его на некотором замыкании этого класса, включающем процессы с разрывными траекториями.

1. Введение Рассматриваются задачи оптимального управления динамическими системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, вообще нелинейными, но линейными по управлению, при отсутствии ограничений на последние. В таких задачах, важных для практики, характерно отсутствие минимума (максимума) на традиционном классе допустимых процессов (непрерывные траектории, кусочно– непрерывные управления) и достижение его на некотором замыкании этого класса, включающем процессы с разрывными траекториями, которым соответствуют бесконечные управления на бесконечно малых отрезках времени (импульсы, быстрое движение ). Имеются и другие особые свойства подобных оптимальных процессов:

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

ВСПУ- Москва 16-19 июня 2014 г непрерывные участки траекторий суть так называемые особые решения уравнений принципа максимума Понтрягина; имеют место скрытые управления и пониженный порядок уравнений динамической системы, вырожденность задачи. Все эти особенности выявились уже в соответствующей задаче Эйлера вариационного исчисления и сводящихся к ней прикладных задачах [1]. В монографиях [2–5] был предложен аппарат исследования подобных задач, адекватный указанным особенностям, а в книгах [6,7] описаны необходимые условия оптимальности типа принципа максимума Понтрягина для таких систем. В монографии [8] подобные системы рассматриваются в контексте дискретно–непрерывных систем, описываемых дифференциальными уравнениями с мерами. При исследовании сложных задач оптимального управления достаточно высокого порядка непосредственное решение уравнений принципа максимума затруднительно, и используются прямые итеративные методы оптимизации путем последовательного улучшения управляемого процесса. Такой метод разработан в статье [9] и представляет собой соответствующее обобщение нелокального (глобального) метода последовательного улучшения управления [10, 11]. Метод описывается применительно к общей постановке задачи, затем детализируется применительно к билинейной задаче и иллюстрируется сравнительными численными экспериментами на простейшей задаче управления спином квантовой частицы. Такие эксперименты, в частности, позволяют оценить конечные значения ограничений на управления, при которых они могут не учитываться в итерациях, а полученное разрывное решение (последняя итерация) аппроксимироваться граничными значениями управления согласно указанной в статье простой процедуре. Дело в том, что каждая итерация разрывного решения нагляднее, существенно проще, чем в задаче с ограничениями, дает больший сдвиг значения минимизируемого функционала, и, соответственно, общее число итераций оказывается меньше.

2. Постановка задачи Рассматривается нелинейная задача оптимального управления:

I(m) = F (x(T )) inf, (1) x(t) = g(t, x(t)) + h(t, x(t))u(t), x(0) = x0, x Rn, u R, t [0, T ], (2) где x(t) непрерывная кусочно–дифференцируемая функция; управление u(t) скалярная кусочно–непрерывная функция. Заданы непрерывно–дифференцируемые функции F (x), g(t, x), h(t, x), начальное состояние x0 и момент T. Обозначим через D множество допустимых процессов m = (x(t), u(t)). Будем полагать: inf I(m) >.

D В рамках оптимизационной задачи (1), (2) вводится в рассмотрение задача улучшения [2, 3]: задан процесс m0 = (x0 (t), u0 (t)) D; требуется найти процесс m D, на котором I(m) < I(m0 ). Последовательное повторение операции улучшения представляет собой итерационный метод решения задачи (1), (2) в виде соответствующей последовательности процессов ms = (xs (·), us (·)), I(ms ) min I(m).

D Для задачи (1), (2) характерно отсутствие минимума функционала I, поэтому обобщим ее, введя в рассмотрение, подобно [1, 2], разрывы траектории x(t). Рассмотрим решения (, t, x) системы d = h(t, ), (0, t, x) = x, R, (3) d

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

с параметрами t, x, а также соответствующую линию (t, x) = {(, t, x) | R} в пространстве Rn и при заданных значениях (t) R ее куски ( (t), t, x) = {(, t, x) | [0, (t)]}, если (t) 0, и ( (t), t, x) = {(, t, x) | [ (t), 0]}, если (t) < 0. Пусть пара функций (x(t), u(t)) удовлетворяет условиям класса D, кроме непрерывности траектории x(t) в точке t =, где допускается разрыв 1-го рода. Такие разрывы будем считать допустимыми, если x(+) (, x()), т. е. существует = (): ( (),, x()) = x(+). Расширим класс D допустимых процессов до класса E пар m = (x(·), u(·)) с конечным числом допустимых разрывов на отрезке [0, T ].

Отметим, что в силу граничных условий разрывы при t = 0 и t = T имеют место как правило, тогда как разрывы на интервале (0, T ) всего лишь возможны. Далее будем рассматривать процессы, допускающие разрывы лишь в граничных точках t = 0 и t = T. Разрывная траектория процесса m E строится следующим образом. Задаем значение (0) и, интегрируя (3) при t = 0, x = x0, находим траекторию ( (0), 0, x0 ) мгновенного скачка из состояния x0 в состояние x(0+) = ( (0), 0, x0 ).

Далее движение реализуется заданной программой u(t) в силу уравнения (2). При t = T задаем значение (T ) и строим траекторию ( (T ), T, x(T )) мгновенного скачка из состояния x(T ) в состояние x(T ) = ( (T ), T, x(T )). Для последующего получения допустимого процесса исходной задачи (1), (2) эти траектории аппроксимируются достаточно большими значениями управления u(t) в малой окрестности значений t = 0 и t = T соответственно (см. ниже). Величины (0) и (T ) играют роль управляющих параметров. Обобщенное управление – набор такое управление будем называть импульсным.

Таким образом, каждому обобщенному управлению соответствует обобщенная траектория x(t), разрывная по t в точках t = 0 и t = T и представляющая собой

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

непрерывную кривую в Rn, склеенную из кусков линий (0, x0 ), (T, x(T )) и x(t), t (0, T ) (рис. 1,а):

Уточним схему построения кривой (t, x). Система (3) интегрируется дважды:

сначала на промежутке < 0. В результате получаем две ветви кривой (t, x), как показано на рис. 1. Причем кривая (t, x) может получиться незамкнутой (рис. 1,б) и замкнутой (рис. 1,в). При этом ( (0), 0, x(0+)) и ( (T ), T, x(T )) это точки на кривых (0, x0 ) и (T, x(T )). Задав значение (0), получаем участок кривой (0, x0 ) от точки x0 до ( (0), 0, x(0+)), т. е. линию ( (0), 0, x(0)). Аналогично, определив (T ), получаем ( (T ), T, x(T )). При этом значения sign( (0)) и sign( (T )) определяют направления движения по кривым (0, x0 ) и (T, x(T )) соответственно. В случае замкнутой кривой (0, x), проиллюстрированной на рис. 1,в, в заданную точку можно прийти двояко, выбрав то или иное направление.

Далее под E будем понимать множество обобщенных процессов удовлетворяющих описанным выше условиям. На введенном множестве E рассмотрим задачу минимизации: J(m) = F (x(T )) min.

Суммируя вышеизложенное, обобщенную задачу оптимального управления для случая разрывов в точках t = 0 и t = T можно записать в следующем виде:

(4) (5) (6) (7) Теорема 1. Класс процессов E, допускающих разрывы в точках t = 0 и t = T, есть замыкание класса D в следующем смысле: для любого процесса существует последовательность {ms = (xs (t), us (t))} D такая, что Доказательство теоремы 1 представлено в статье [9].

Обозначенные выше понятия проиллюстрируем на простом примере.

Пример 1. Рассматривается задача Если a = 0, то, очевидно, при любом управлении получаем траекторию x = 0, а значение функционала I равно нулю.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

При a > 0 получаем улучшение начального приближения u0 (t) 0, t [0, T ], дающего значение I(x0, u0 ) = 0:

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Учитывая, что lim t() = 0, полагаем |u| =, = signu, > 0 и делим оба дифференциальных уравнения на u = 0. В результате получаем предельную систему где и – новые переменные; параметр (0) > 0. Решаем предельную систему:

Здесь считаем, что [0, /2]. Предельная система позволяет обобщить исходную задача оптимального управления: рассматриваем импульсное управление, разрывную траекторию x(t), где x(0) = x(0) = (a, 0)T, но x(0+) = (0, a)T.

Рис. 3 иллюстрирует получение непрерывной обобщенной траектории.

По аналогии с достаточными условиями оптимальности [2, 3] далее формилируется теорема об условиях оптимальности для обобщенной постановки (4)–(7), допускающей импульсные управления.

Введем в рассмотрение функционал где функция (t, x) непрерывно-дифференцируемая, причем класс таких функций обозначим через. Обозначив через перепишем функционал L в виде Функционал L является обобщенным лагранжианом для обобщенной задачи (4)–(7).

Теорема 2 (достаточные условия оптимальности). Пусть существуют функция (t, x) и процесс m = ((t), u(t), (0), (T )) E, удовлетворяющие следуюx щим условиям:

1) G((T ), x(T )) = min G(, x);

3) R(t, x(t), u(t)) = max R(t, x, u).

Тогда m есть минималь функционала J на E: J(m) = min J(m).

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Доказательство. Для рассматриваемого класса функций справедливо равенство L(m) = J(m) для всех m E. Действительно, пусть m = (x(t), u(t), (0), (T )) E; тогда в силу (6) имеем Подставляя эту функцию в выражение для обобщенного лагранжиана и интегрируя, получим = F (x(T )) + (T, x(T )) (T, x(T )) + (0, x(0+)) (0, x(0+)) = J(m).

Далее, для любого допустимого процесса m E и процесса m, удовлетворяющего всем условиям теоремы, можем записать что влечет за собой справедливость равенства J(m) = min J(m). Теорема доказана.

Замечание 1. Необходимые условия для выполнения соотношений пп. 1) – 3) теоремы 2 имеют вид: x (t, x(t)) = (t), где (t) есть решение задачи Коши (8) Здесь через W (, x) обозначена n n–матрица частных производных решения систеn По аналогии с задачей улучшения для (1), (2) формулируется задача улучшения для обобщенной постановки (4)–(7): задан процесс m0 E; требуется получить процесс m E такой, что J(m) < J(m0 ). На эту задачу здесь доопределяется метод глобального улучшения, предложенный и исследованный в [10, 11].

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Процедура улучшения.

0. Задаем обобщенное управление (u0 (t), 0 (0), 0 (T )), т. е. пару чисел 0 (0), 0 (T ) и кусочно-непрерывную функцию u0 (t). Находим соответствующую траекторию x0 (t), как описано выше, с помощью последовательного интегрирования слева направо : задачи Коши (3) при t = 0, x = x0, [0, 0 (0)], если 0 (0) > 0, и [ 0 (0), 0] в противном случае; системы (6) при x(0+) = ( 0 (0), 0, x0 ); задачи Коши (3) при t = T, x = x0 (T ), [0, 0 (T )], если 0 (T ) > 0, и [ 0 (T ), 0] в противном случае. Вычисляем значение функционала F (x0 (T )) = F (( 0 (T ), T, x0 (T ))).

1. Находим функцию (t, x), (9) Последние соотношения можно переписать в виде При любых заданных (t, x) 0 и (x) 0 эта задача Коши для линейного уравнения в частных производных, интегрируемая справа налево (в направлении от T к 0), дает искомую функцию (t, x). В то же время необходимые условия для (9) совпадают с соотношениями (8), если в последних заменить процесс m на m0, и представляют собой уже задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения для поиска (t, x).

2. Построение улучшенного режима проводим слева-направо последовательно для t = 0, t (0, T ) и t = T. А именно, разрывная трактория допустимого процесса строится следующим образом:

1) интегрируем уравнение (3) при t = 0, x = x0 и находим значение (0) из условия (10) 2) находим решение x(t) задачи Коши x(t) = g (t, x(t)) + h (t, x(t)) u(t, x(t)), где (11) в предположении, что знаменатель не обращается в нуль (вопрос об отличии от нуля знаменателя требует дополнительного исследования);

3) интегрируем уравнение (3) при t = T, x = x(T ) и находим значение (T ) из условия (12) 4) вычисляем новое значение функционала F (x(T )) = F (( (T ), T, x(T ))).

Справедлива следующая

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Теорема 3. Описанная выше процедура гарантирует выполнение неравенства J(m) J(m0 ). При этом если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств:

то справедливо строгое неравенство J(m) < J(m0 ).

Доказательство теоремы 3 приведено в статье [9].

Замечание 2. В (10) и (12) имеются в виду множества глобальных минимумов функций G0 ( ) и G(, x(T )) соответственно.

Замечание 3. Возможна ситуация, когда предельная система имеет периодическое решение (циклические режимы), что позволяет ограничить значения соответствующим периодом. Тем самым существенно упрощается минимизация по в (10) и (12).

Замечание 3. Для исходной задачи (1),(2) в классе D было показано [10], что процесс, удовлетворяющий принципу максимума Понтрягина, не улучшаем представленным алгоритмом. В данном случае для обобщенной задачи это не всегда так, потому что строгое выполнение первого или третьего из неравенств теоремы 3 также соответствует улучшению процесса.

Рассмотрим процесс, полученный на последней итерации реализации описанной выше процедуры улучшения, который обозначим через Для установления связи между обобщенным процессом m и исходной задачей (1), (2) приведем схему его аппроксимации элементами из D. Для этого зафиксируем малое > 0 и построим с его помощью управление Большое по модулю управление u (t) на малых интервалах времени [0, | (0)|) и [T | (T )|, T ) можно называть быстрым по аналогии с [14]. Уменьшая, с помощью управлений u (t) получим последовательность m = (x (t), u (t)) D допустимых процессов задачи (1), (2) такую, что I(m ) J(m). Дополнительные рассуждения по аппроксимации приведены в доказательстве теоремы 1, приведенном в статье [9].

Рассматривается задача оптимального управления для билинейной системы, являющаяся частным случаем задачи (1), (2):

(13) (14)

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

где M, A, B – (n n)-мерные матрицы; матричные функции A(t), B(t) непрерывно дифференцируемые; матрица M неположительно-определенная.

Для задачи (13), (14) обобщенная постановка (4)–(7) принимает вид:

(15) (16) (17) (18) где предельная система (3) приобретает форму (19) Для наиболее компактной записи алгоритма улучшения введем в рассмотрение фундаментальную матрицу решений этой предельной системы (, t) = exp (B(t) ). C ее помощью решение задачи Коши (19) можно записать в виде (, t, x) = (, t)x.

Представленную выше процедуру глобального улучшения конкретизируем для задачи (15)–(18). При этом функцию (t, x) будем искать в линейном виде T (t)x (по аналогии с [11]) из условий (8).

Процедура улучшения в задаче (15)–(18).

0. Задаем обобщенное управление (u0 (t), 0 (0), 0 (T )). Находим соответствующую траекторию x0 (t), как описано выше, слева направо (в направлении от 0 к T ): при t = 0 x0 (0+) = ( 0 (0), 0)x0 ; при t (0, T ) интергируя систему (17); при t = T x0 (T ) = ( 0 (T ), T )x0 (T ). Вычисляем значение функционала F (x0 (T )).

1. Находим функцию (t, x) = T (t)x из необходимых условий (8), т. е. находим функцию (t) как решение справа налево задачи Коши 2. Построение улучшенного режима проводим слева направо последовательно для t = 0, t (0, T ) и t = T. А именно, разрывная трактория допустимого процесса строится следующим образом:

1) находим значение (0) из условия 2) находим решение x(t) задачи Коши x(t) = (A(t) + B(t)u(t, x(t))) x(t), где (20) 3) находим значение (T ) из условия

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

4) вычисляем новое значение функционала F (x(T )) = F (( (T ), T )x(T )).

Замечание 4. Формула (20) следует из (11) для случая билинейной системы (17) и является обобщением аналогичной формулы введенной в [13] в случае постоянных матриц A, B.

Замечание 5. Пусть критерий (13) рассматривается относительно неоднородной билинейной системы, где g(t, x) = A(t)x, h(t, x) = B(t)x + C(t), C(t) – непрерывнодифференцируемая вектор-функция. В этом случае конструкции процедуры улучшения в целом остаются теми же, что в с случае однородной системы. Например, формула (20) обобщается в следующем виде:

(21) Рассматривается задача оптимального управления:

(22) (23) где управление u(t) кусочно-непрерывно на [0, T ], а управление v(t) – непрерывнодифференцируемая на (0, T ) вектор-функция, значения v(0), v(T ) которой при t = 0, t = T соответственно определены и конечны; U – выпуклое компактное множество; матричные функции A(t, v), B(t, v) непрерывно-дифференцируемые; матрица M неположительно-определенная.

Для задачи (22), (23) обобщенная постановка имеет вид:

(24) (25) (26) (27) где (, t, x, v(t)) – решение предельной системы (28) Здесь при t = 0, t = T соответствующие величины v(0), v(T ) играют роль параметров. Отметим, что возможен выбор этих величин в виде функций переменной,

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

однако в силу малости временных промежутков, соответствующих предельной системе, будем считать v(0), v(T ) на этих малых промежутках постоянными.

Опишем в общих чертах предлагаемый для задачи (24) – (27) подход.

Процедура улучшения.

0. Задается процесс m0 = (x0 (t), u0 (t), v 0 (t), 0 (0), 0 (T ), v 0 (0), v 0 (T )) E.

1. Рассматривается задача вида (24) – (27), в которой проводится улучшение заданных u0 (t), t (0, T ), 0 (0), 0 (T ), v 0 (0) и v 0 (T ), но управление v(t) v 0 (t) на интервале (0, T ) не изменяется. При этом предельная система (28) интегрируется для каждого значения v(t), t = 0, T. По аналогии с задачами (10) и (12) решаются задачи минимизации функций G0 (, v(0)) = (0, (, 0, x0, v(0))) и G(, x, v(T )) = = F ((, T, x, v(T ))) + (T, x) по (, v(0)) и (, v(T )) соответственно. Если получается (0) = 0, то величина v(0) считается равной v 0 (0+); аналогично, если получаем (T ) = 0, то считаем v(T ) = v 0 (T ).

2. В задаче вида (24) – (27) при u(t), (0), (T ), v(0) и v(T ), найденных на предыдущем шаге и не изменяемых на данном шаге, осуществляется улучшение только по управлению v 0 (t). Для расчета улучшающего управления v(t), t (0, T ), может быть применен, например, глобальный метод [11] с соблюдением требования непрерывной дифференцируемости v(t) на интервале (0, T ).

3. В результате получаем улучшенный процесс Разработана (на языке C++) программная реализация рассматриваемых алгоритмов улучшения управлений, которая применена к численному исследованию одной модельной задачи управления спином квантовой частицы [15]. Описание вычислительных экспериментов с результатами представлены в статье [9].

Исследованы задачи оптимального управления нелинейными дифференциальными системами с линейным неограниченным управлением. Для рассмотренных задач характерно отсутствие минимума (максимума) на ординарном классе допустимых процессов (непрерывные траектории, кусочно–непрерывные управления) и ряд других особенностей, требующих предварительного теоретического исследования для их алгоритмизации. Построено расширение этого класса, на котором достигается минимум. Оно включает процессы с разрывными траекториями, которым соответствуют бесконечные управления на бесконечно малых отрезках времени (импульсы, быстрое движение ). Определена последовательность допустимых процессов с непрерывными траекториями, аппроксимирующих по значению минимизируемого функционала подобные решения. Установлены достаточные условия оптимальности разрывных решений и дифференциальные уравнения последних, следующие из них.

Оптимальные процессы склеены из импульсов и непрерывных участков траекторий, которые суть так называемые особые решения уравнений принципа максимума Понтрягина.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Построена и обоснована процедура улучшения подобного обобщенного процесса и прямой итеративный метод оптимизации путем его последовательного улучшения.

Более детально последний исследован применительно к задаче оптимального управления билинейными системами. Эти результаты обобщены на случай, когда имеется несколько управлений, из которых только одно обладает указанными свойствами.

Работа выполнена в соответствии с Программой № 14 ОЭММПУ РАН Анализ и оптимизация функционирования систем многоуровневого, интеллектуального и сетевого управления в условиях неопределённости, а также при поддержке РФФИ (проекты №№ 14-08-90035-Бел_а, 12-01-00256-а).

1. Кротов В.Ф. Разрывные решения вариационных задач. I, II // Изв. вузов. Математика.

1960. № 5. С. 89-98; 1961. № 2. С. 75-89.

2. Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969.

3. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

4. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977.

5. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука. Физматлит, 1997.

6. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Пер с англ. М.: Наука, 1977.

7. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. 2-е изд.

М.: Физматлит, 2003.

8. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005.

9. Кротов В.Ф., Моржин О.В., Трушкова Е.А. Разрывные решения задач оптимального управления. Итерационный метод оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2013. № 12. С.

10. Кротов В.Ф., Фельдман Н.Н. Итерационный метод решения задач оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 160-168.

11. Krotov V.F. Global methods in optimal control theory. New York: Marcel Dekker, 1996.

12. Кротов В.Ф. Об оптимизации управления квантовыми системами // Докл. РАН. 2008. Т.

13. Кротов В.Ф., Булатов А.В., Батурина О.В. К оптимизации линейных систем с управляемыми коэффициентами // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. С. 64-78.

14. Daryin A.N., Kurzhanski A.B., Minaeva Yu.Yu. On the theory of fast controls under disturbances // Proc. 18 World Congr. IFAC. Milano, August 28 - September 2, 2011. http://www.ifacpapersonline.net/Detailed/48625.html 15. Murphy M., Montangero S., Giovannetti V., et al. Communication at the quantum speed limit along a spin chain // Phys. Rev. A. 2010. Vol. 82. 022318.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ



Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет В.А. Дубровский, М.В. Зубова Энергосберегающие системы растопки и подсветки факела топочных камер котлов Монография Красноярск СФУ 2012 УДК 621.181.02:621.31 ББК 31.361 Д79 Рецензенты: В.А. Охорзин, д-р техн. наук, проф., чл.- кор. АН ВШ, проф. каф. прикладной математики Сибирской аэрокосмической академии; В.Н. Чурашов, канд. экон. наук, доц., зав. сектором института экономики и промышленного производства СО...»

«С.В. Сидоров ИННОВАЦИИ В СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЕ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА УПРАВЛЕНИЯ Монография Шадринск 2006 УДК 373 ББК 74.24 С 347 Сидоров С.В. Инновации в сельской школе: теория и С 347 практика управления: Монография / Под ред. С.А. Репина. – Шадринск: Изд-во ПО Исеть, 2006. – 266 с. Рецензенты А.Ф. Аменд, доктор педагогических наук, профессор (Челябинский государственный педагогический университет, г. Челябинск) Кафедра теории и практики профессионального образования Ленинградского областного института...»

«Иванов А.В., Фотиева И.В., Шишин М.Ю. Скрижали метаистории Творцы и ступени духовно-экологической цивилизации Барнаул 2006 ББК 87.63 И 20 А.В. Иванов, И.В. Фотиева, М.Ю. Шишин. Скрижали метаистории: творцы и ступени духовно-экологической цивилизации. — Барнаул: Издво АлтГТУ им. И.И. Ползунова; Изд-во Фонда Алтай 21 век, 2006. 640 с. Данная книга развивает идеи предыдущей монографии авторов Духовно-экологическая цивилизация: устои и перспективы, которая вышла в Барнауле в 2001 году. Она была...»

«Ю.Н.Филатов ЭЛЕКТРОФОРМОВАНИЕ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ (ЭФВ-ПРОЦЕСС) Под редакцией профессора В.Н.Кириченко Москва 2001 УДК 677.494:677.46.021.5 Ю.Н.Филатов. Электроформование волокнистых материалов (ЭФВпроцесс). М.:., 2001. - 231 стр. В монографии описаны основы т.н. ЭФВ-процесса современной наукоемкой технологии, использующей сильное электрическое поле для сухого формования из полимерных растворов микроволокнистых материалов ФП (фильтров Петрянова) и их аналогов. Основное внимание в монографии...»

«Дальневосточный федеральный университет Школа региональных и международных исследований А.А. Киреев Дальневосточная граница России: тенденции формирования и функционирования (середина XIX – начало XXI вв.) Монография Владивосток Издательство Дальневосточного федерального университета 2011 http://www.ojkum.ru УДК 341.222 ББК 66.4 К43 Рецензенты: В.А. Бурлаков, к. полит. н., доцент В.Г. Дацышен, д.и.н., профессор С.И. Лазарева, к.и.н., с.н.с. О.И. Сергеев, к.и.н., с.н.с. На обложке: Место стыка...»

«Российская Академия Наук Институт философии СПЕКТР АНТРОПОЛОГИЧЕСКИХ УЧЕНИЙ Выпуск 2 Москва 2008 1 УДК 141 ББК 87.3 С 71 Ответственный редактор доктор филос. наук, доктор филол. наук П.С. Гуревич Рецензенты доктор филос. наук Ф.И. Гиренок доктор филос. наук В.М. Розин Спектр антропологических учений. Вып. 2 [Текст] / Рос. С 71 акад. наук, Ин-т философии ; Отв. ред. П.С. Гуревич. – М. : ИФРАН, 2008. – 000 с. ; 20 см. – Библиогр. в примеч. – 500 экз. – ISBN 978-5-9540-0121-1. Данная монография...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Арзамасский государственный педагогический институт им. А.П. Гайдара ГОУ ВПО Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского (ННГУ) Институт стратегических исследований ННГУ НРОО Фонд европейских исследований в Нижнем Новгороде Европа: Проблемы интеграции и развития Монография в 2-х томах Том 1 Часть 2 Нижний Новгород, 2008 УДК 94(4) ББК Ф 4(0) 6 Е 22 Под общей редакцией академика...»

«П. П. Парамонов, А. Г. Коробейников, И. Б. Троников, И. О. Жаринов Методы и модели оценки инфраструктуры системы защиты информации в корпоративных сетях промышленных предприятий Монография Санкт-Петербург 2012 1 УДК 004.056 ББК 32.81 К-68 Рецензент: Доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Копытенко, Санкт-Петербургский филиал Института земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н. В. Пушкова (СПбФ ИЗМИРАН) Коробейников А.Г., Троников И.Б., Жаринов И.О. К68 Методы и...»

«Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет Ольга Борисовна Бессерт Обучение индивидуальному чтению Монография Архангельск 2008 УДК 81.24 ББК 81.2-92П Б 53 Рецензенты: Л.Б. Кузнецова, канд. филос. наук М.И. Ковалева, канд. пед. наук Бессерт О.Б. Б 53 Обучение индивидуальному чтению: монография / О.Б. Бессерт. - Ар­ хангельск: Арханг. гос. техн. ун-т, 2008. - 276 с. ISBN 978-5-261-00410-3 Рассмотрен один из новых подходов к решению проблемы обучения...»

«В.Г.Садков, В.Е. Кириенко, Т.Б. Брехова, Е.А. Збинякова, Д.В. Королев Стратегии комплексного развития регионов России и повышение эффективности регионального менеджмента Издательский дом Прогресс Москва 2008 2 ББК 65.050 УДК 33 С 14 Общая редакция – доктор экономических наук, профессор В.Г.Садков Садков В.Г. и др. С 14 Стратегии комплексного развития регионов России и повышение эффективности регионального менеджмента /В.Г. Садков, В.Е. Кириенко, Т.Б. Брехова, Е.А. Збинякова, Д.В. Королев – М.:...»

«ЦЕНТР МОЛОДЁЖЬ ЗА СВОБОДУ СЛОВА ПРАВА МОЛОДЁЖИ И МОЛОДЁЖНАЯ ПОЛИТИКА В КАЛИНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ Информационно-правовой справочник Калининград Издательство Калининградского государственного университета 2002 УДК 347.63 ББК 67.624.42 П 685 Авторский коллектив А.В. Косс, кандидат юридических наук – отв. редактор (введение; раздел I, гл. 2; разделы II-III), И.О. Дементьев (раздел I, гл. 4), К.С. Кузмичёв (раздел I, гл. 3), Н.В. Лазарева (раздел I, гл. 1, 2; разделы II-III), Н.В. Козловский (раздел...»

«КУЛЬТУРНЫЙ ЛАНДШАФТ МОРДОВИИ (ГЕОЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ И ЛАНДШАФТНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ) САРАНСК ИЗДАТЕЛЬСТВО МОРДОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2003 УДК 712(470.345) ББК Д82 К90 Рецензенты: доктор географических наук Е. Ю. Колбовский кандидат географических наук В. Н. Сафонов Авторский коллектив: А. А. Ямашкин, И. Е. Тимашев, В. Б. Махаев, В. А. Моисеенко, Ю. К. Стульцев, В. Ф. Вавилин, Н. А. Кильдишова, М. В. Ямашкина, В. Н. Масляев Авторы фотографий: Н. А. Бармин, Н. В. Проказова, В. Ф. Федотова Научный...»

«АКАДЕМИЯ ГУМАНИТАРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.Н. Троепольский МЕТАФИЗИКА, ФИЛОСОФИЯ, ТЕОЛОГИЯ, или СУММА ОСНОВАНИЙ ДУХОВНОСТИ Москва 1996 ББК 70. 87.21. А.Н. Троепольский. Метафизика, философия, теология, или Сумма оснований духовности: Монография. - М.: Издательство “Гуманитарий” Академии гуманитарных исследований, 1996. - 176 с. - ISBN 5-89221-007-3. Представленный в книге логический анализ некоторых философских теорий позволяет автору путем их критического...»

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В. Д. Бордунов МЕЖДУНАРОДНОЕ ВОЗДУШНОЕ ПРАВО Москва НОУ ВКШ Авиабизнес 2007 УДК [341.226+347.82](075) ББК 67.404.2я7+67ю412я7 Б 82 Рецензенты: Брылов А. Н., академик РАЕН, Заслуженный юрист РФ, кандидат юридических наук, заместитель Генерального директора ОАО Аэрофлот – Российские авиалинии; Елисеев Б. П., доктор юридических наук, профессор, Заслуженный юрист РФ, заместитель Генерального директора ОАО Аэрофлот — Российские авиалинии, директор правового...»

«И.В. Кузнецова ДЕВОЧКА-ПОДРОСТОК КАК ПАЦИЕНТ Эндокринная гинекология физиологического пубертата: оптимальный минимум коррекции Информационный бюллетень УДК 618.2 ББК 57.16 К89 К89 Девочка-подросток как пациент. Эндокринная гинекология физиологического пубертата: оптимальный минимум коррекции. Информационный бюллетень / И.В. Кузнецова. — М.: Редакция журнала StatusPraesens, 2014. — 20 с. ISBN 978-5-905796-41-8 В настоящем информационном бюллетене представлены вопросы, посвященные оказанию...»

«московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. Ломоносова ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ И.П.Пономарёв Мотивация работой в организации УРСС Москва • 2004 ББК 60.5, 65.2 Пономарёв Игорь Пантелеевич Мотивация работой в организации. — М.: EдитopиaJ^ УРСС, 2004. — 224 с. ISBN 5-354-00326-1 В данной монографии сделана попытка дальнейшего развития теории мо­ тивации, построена новая модель мотивации работника работой и описано про­ веденное эмпирическое исследование в организациях г. Москвы. Предложенная...»

«Российская академия наук Кольский научный центр Мурманский морской биологический институт Н. М. Адров ДЕРЮГИНСКИЕ РУБЕЖИ МОРСКОЙ БИОЛОГИИ к 135-летию со дня рождения К. М. Дерюгина Мурманск 2013 1 УДК 92+551.463 А 32 Адров Н.М. Дерюгинские рубежи морской биологии (к 135-летию со дня рождения К. М. Дерюгина) / Н.М. Адров; Муман. мор. биол. ин-т КНЦ РАН. – Мурманск: ММБИ КНЦ РАН, 2013. – 164 с. (в пер.) Монография посвящена научной, организаторской и педагогической деятельности классика морской...»

«В.В. Макаров, В.А. Грубый, К.Н. Груздев, О.И. Сухарев стемпинг аут в эрадикации инфекций Часть 1 Убой и утилизация животных М ОН О Г РАФ И Я Владимир Издательство ВИТ-принт 2012 УДК 619:616.9 С 79 Стемпинг аут в эрадикации инфекций. Ч. 1. Убой и утилизация животных: монография / В.В. Макаров, В.А. Грубый, К.Н. Груздев, О.И. Сухарев. – Владимир: ФГБУ ВНИИЗЖ, 2012. – 62 с.: ил. Монография из двух частей представляет собой обзор публикаций, руководств, положений, официальных изданий, документов,...»

«Нанотехнологии как ключевой фактор нового технологического уклада в экономике Под редакцией академика РАН С.Ю. Глазьева и профессора В.В. Харитонова МОНОГРАФИЯ Москва 2009 УДК ББК Н Авторский коллектив: С.Ю. Глазьев, В.Е.Дементьев, С.В. Елкин, А.В. Крянев, Н.С. Ростовский, Ю.П. Фирстов, В.В. Харитонов Нанотехнологии как ключевой фактор нового технологического уклада в экономике / Под ред. академика РАН С.Ю.Глазьева и профессора В.В.Харитонова. – М.: Тровант. 2009. – 304 с. (+ цветная вклейка)....»

«Philip Kоtler Northvestern University Marketing Essentials Филип Котлер Основы маркетинга Перевод с английского В. Б. Боброва Общая редакция и вступительная статья Е. М. Пеньковой Москва Издательство Прогресс 1991 ББК 65.9 (7США) К73 Редакторы: О.Г. Радынова, Ю.И. Куколев К 0607000000-355 Беэ объявл. ББК65.9(7США) Издание подготовлено фирмой Чоро при участии фонда За экономическую грамотность ©1984 by Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ 07632 ISBN-0-13-557232-0 © Перевод на русский язык,...»




























 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.