WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |

«K 1602080000–03 Без объявл. Я82(03)–03 c Кусраев А. Г., ISBN 5–86134–116–8 (ч. 2) ISBN 5–86134–111–7 Кутателадзе С. С., 2003 c Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2003 Содержание Предисловие vi Глава 4. ...»

-- [ Страница 1 ] --

УДК 517.11+517.98

ББК 22.162

К94

Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы.

Теория и приложения. Ч. 2. 2-е изд., перераб. Новосибирск:

Изд-во Ин-та математики, 2003. viii+413 с.

ISBN 5–86134–116–8 (ч. 2).

ISBN 5–86134–111–7.

В монографии изложены основные результаты нового раздела функционального анализа субдифференциального исчисления.

Широко представлен новейший инструментарий этой области: техника пространств Канторовича, методы булевозначного и инфинитезимального анализа. Наряду с аналитическими вопросами большое место уделено технике вывода критериев оптимальности для выпуклых экстремальных задач, включая важные для приложений вопросы характеризации приближений к оптимальным решениям и значениям.

Первое издание вышло в 1992 г. в Сибирском отделении издательства Наука. В 1995 г. издательсто Kluwer Academic Publishers выпустило в свет расширенный перевод книги, который и стал основой для настоящего издания.

Книга предназначена для математиков, интересуюшихся современным аппаратом негладкого анализа и его приложениями.

Библиогр. 593.

Ответственный редактор академик Ю. Г. Решетняк K 1602080000–03 Без объявл.

Я82(03)– c Кусраев А. Г., ISBN 5–86134–116–8 (ч. 2) ISBN 5–86134–111–7 Кутателадзе С. С., c Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Содержание Предисловие vi Глава 4. Аппарат субдифференциального исчисления 4.1. Преобразование Юнга Фенхеля................ 4.2. Формулы субдифференцирования................ 4.3. Инволютивность преобразования Юнга Фенхеля 4.4. Операторы Магарам

4.5. Дезинтегрирование

4.6. Инфинитезимальные субдифференциалы......... 4.7. Комментарии

Глава 5. Выпуклые экстремальные задачи 5.1. Векторные программы. Оптимальность.......... 5.2. Принцип Лагранжа

5.3. Признаки оптимальности и приближенной оптимальности

5.4. Признаки инфинитезимальной оптимальности... 5.5. Признаки обобщенной оптимальности............ 5.6. Существование обобщенных решений............. 5.7. Комментарии

iv Содержание Глава 6. Квазидифференциалы 6.1. Пространство опорных множеств................. 6.2. Квазидифференцируемые отображения........... 6.3. Квазидифференциал композиции, супремума и инфимума

6.4. Дезинтегрирование квазидифференциалов....... 6.5. Необходимые условия экстремума................ 6.6. Учет ограничений типа включения............... 6.7. Комментарии

Глава 7. Локальные выпуклые аппроксимации 7.1. Топологии в векторных пространствах........... 7.2. Аппроксимирующие и регуляризирующие конусы 7.3. Пределы по Куратовскому и Рокафеллару....... 7.4. Аппроксимации, определяемые набором инфинитезималей

7.5. Аппроксимация композиции и суммы соответствий 7.6. Субдифференциалы негладких операторов....... 7.7. Комментарии

Приложение 1. Векторные решетки Приложение 2. Положительные операторы Приложение 3. Векторные меры Приложение 4. Булевозначные модели Приложение 5. Инфинитезимальный анализ Литература Авторский указатель Указатель обозначений Предметный указатель Предисловие Предмет настоящей книги субдифференциальное исчисление.

Главный источник этого раздела функционального анализа теория экстремальных задач.

Поясним происхождение и постановку основных проблем субдифференциального исчисления. Для этого рассмотрим абстрактную задачу минимизации в виде x X, f (x) inf.

Здесь X некоторое векторное пространство, а f : X R числовая функция, принимающая, быть может, бесконечные значения. Как обычно, в подобных обстоятельствах нас интересуют величина inf f (X) значение задачи и ее решения или оптимальные планы, иначе говоря, те x X, для которых f () = inf f (X) (если x они существуют).

Решить задачу в явном виде, т. е. предъявить значение и решение, удается крайне редко. В этой связи возникает необходимость упрощения исходной задачи, ее сведения к более обозримым модификациям, формулируемым с учетом деталей строения целевой функции f. Обычная гипотеза, принимаемая при поиске теоретических подходов к искомой редукции, состоит в следующем. Вводя дополнительную функцию l, рассматривают задачу:

При этом новая задача считается столь же сложной, как и исходная, при условии, что l линейный функционал на X, т. е. элемент алгебраически сопряженного пространства X #. Содержательная обоснованность этой естественно-научной гипотезы представляется весьма высокой.

Таким образом, исходная задача минимизации функции f включается, как это характерно для социологического подхода функционального анализа, в параметрическое семейство вариантов этой же задачи. Иначе говоря, теоретический анализ принято начинать, считая изначально известным отображение f : X # R, определенное соотношением Введенную функцию f называют преобразованием Юнга Фенхеля функции f. Заметим, что величина f (0) представляет собой значение первоначальной экстремальной задачи.

Описанная процедура сводит интересующую нас проблему к задаче о замене переменных в преобразовании Юнга Фенхеля, т. е.

о вычислении агрегата (f G), где G : Y X некоторый оператор, действующий из Y в X.

Подчеркнем, что f это выпуклая функция переменной l.

Уже это обстоятельство подсказывает, что наиболее полные результаты в избранном направлении следует ожидать в принципиальном случае выпуклости исходной функции f. В самом деле, в этой ситуации, определяя субдифференциал f в точке x соотношением мы видим следующее. Точка x решение исходной задачи минимизации в том и только в том случае, если выполнен критерий оптимальности Ферма:

Стоит отметить, что от приведенного критерия Ферма мало прока, если нет достаточно эффективных средств вычисления субдифференциала f (). Иначе говоря, мы приходим к вопросу о нахоx ждении правил для вычисления субдифференциалов сложных отображений (f G)(). При этом адекватное осмысление G как выпукy лого отображения требует наличия в X структуры упорядоченного векторного пространства. Например, представление суммы выпуклых функций в виде композиции линейного и выпуклого операторов:

предполагает введение в R покоординатного сравнения векторов.

Таким образом, мы с необходимостью приходим к операторам, действующим в упорядоченные векторные пространства. Среди проблем, возникающих на указанном пути, центральные места занимают задачи обнаружения явных правил для вычисления преобразований Юнга Фенхеля или субдифференциалов сложных отображений. Решение названных проблем и составляет основной предмет субдифференциального исчисления.

Важнейший случай выпуклых операторов представляется разработанным уже столь тщательно, что можно говорить о завершении определенного этапа теории субдифференциалов. Исследования настоящего времени ведутся главным образом в направлениях, связанных с поиском подходящих локальных аппроксимаций к произвольному не обязательно выпуклому оператору. Наиболее принципиальной представляется техника, основанная на концепции касательного конуса Ф. Кларка, которая была распространена Р. Т. Рокафелларом на случай общих отображений. Однако до состояния совершенства еще далеко. Все же стоит отметить, что основные технические приемы здесь также существенно опираются на субдифференциалы выпуклых операторов.

В этой связи основной объем мы отвели для выпуклого случая, оставив почти малоисследованной огромную территорию негладкого анализа. Повсюду остались зияющие пустоты. Слабым оправданием для нас может служить немалое количество прекрасных недавних книг, посвященных болевым точкам негладкого анализа. Запас технических приемов теории субдифференциалов весьма полон. Среди них принципы функционального анализа, методы теории упорядоченных векторных пространств, теория меры и тому подобное.

Многие задачи субдифференциального исчисления и негладкого анализа были решены в последние годы с помощью нестандартных методов математического анализа (в своих инфинитезимальной и булевозначной версиях). Работая над книгой, мы имели в виду намерение (и потребность) сделать новые идеи и методы доступными для широкого круга читателей. Рамки любой (в том числе и этой) книги слишком узки для свободного и независимого изложения всех необходимых фактов из перечисленных выше дисциплин.

По этой причине мы выбрали компромиссный путь частичных пояснений. В их отборе мы руководствовались многолетним опытом, почерпнутым из лекционных курсов, прочитанных в Новосибирском и Владикавказском государственных университетах.

Еще одно обстоятельство требует явного разъяснения, именно, воря, оно подразумевает многие применения теории субдифференцирования, получившие достаточное освещение в книге. В качестве таковых можно упомянуть вычисление составных преобразований Юнга Фенхеля, обоснование принципа Лагранжа и вывод критериев оптимальности в задачах векторной оптимизации. Однако гораздо больше тем остались незатронутыми и заголовок отражает наши первоначальные намерения и фантазии, доставляя также известный вызов для будущих исследований.

Первый вариант этой книги появился в 1987 году под названием Субдифференциальное исчисление. В 1992 году Сибирское отделение издательства Наука опубликовало переработанное издание, перевод которого на английский язык, осуществленный в 1995 году издательством Kluwer Academic Publishers, был в свою очередь модернизирован и значительно расширен по сравнению с русским оригиналом. Обновленный и дополненный вариант английского издания стал основой нынешней публикации.

При завершении работы над монографией по предложению издательства мы приняли решение о публикации книги в двух частях. Деление было осуществлено механически объявлением четвертой главы началом второй части книги. Каждая из частей снабжена собственными указателями и содержит общие для всего издания введение и список литературы, а также справочные материалы, делающие изложение менее зависимым от других источников.

В 1986 году один вслед за другим ушли из жизни Леонид Витальевич Канторович и Глеб Павлович Акилов, научившие нас функциональному анализу.

В 1999 году не стало Александра Даниловича Александрова, одного из основоположников геометрической теории выпуклых фигур и редактора первого варианта этой книги.

Памяти этих прекрасных людей и замечательных ученых мы посвящаем настоящую книгу с чувством безмерной признательности.

Аппарат субдифференциального исчисления Настоящая глава кульминация книги. Здесь на основе ранее развитых методов описываются основные формулы субдифференциального исчисления и используемые при их получении технические приемы.

Мы начинаем с вывода правил замены переменных в преобразовании Юнга Фенхеля. Затем с их помощью для сложных функций находятся формулы вычисления -субдифференциалов, представляющих собой некоторое обобщение понятия субдифференциала, призванное учесть возможность приближенного с точностью до решения экстремальных задач. Следует подчеркнуть, что анализ -субдифференциалов, превращающихся формально при = 0 в обычные субдифференциалы, имеет свои особенности и тонкости. Остальные технические разъяснения будут даны в нужных местах. Сейчас достаточно отметить, что соответствующие различия, вообще говоря, связаны с тем, что элемент нуль мал в любом сколь-либо разумном смысле, а малое может обозначать весьма значительную невязку.

При изучении преобразования Юнга Фенхеля встает вопрос об его инволютивности. На языке экстремальных задач речь в этом случае идет об условиях разрыва двойственности. Ввиду большой идейной и практической значимости названной проблемы мы обсуждаем несколько подходов и вариантов ее анализа.

Чрезвычайно важен вопрос о справедливости аналогов классического цепного правила исчисления: субдифференциал суперпоГл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления зиции равняется суперпозиции субдифференциалов. Ясно, что в общем случае такое правило не выполняется. В то же время при суммировании, интегрировании, взятии конечного супремума аналог цепного правила справедлив. Техника изучения эффектов, управляющих названными явлениями, получила наименование дезинтегрирование. Аппарат дезинтегрирования тесно связан с положительными операторами, сохраняющими порядковые отрезки, т. е. удовлетворяющими условию Магарам (с которым мы уже сталкивались).

Изучение порядково непрерывных операторов с этим свойством, называемых операторами Магарам, представляет и значительный самостоятельный интерес для общей теории K-пространств.

Всюду ниже под топологическим K-пространством понимается K-пространство, снабженное такой отделимой векторной топологией, что конус положительных элементов нормален. Напомним также, что понятие общего положения было введено только для непустых множеств (см. 3.1.11). Таким образом, в формулировках, содержащих условие общего положения, неявно предполагается непустота рассматриваемых множеств, хотя это часто не оговаривается.

В точных формулах замены переменного в преобразовании Юнга Фенхеля мы систематически используем знак вместо =. Как и в 3.4.4, знак означает равенство с тем дополнительным условием, что достигается точная (как правило, нижняя) граница в стоящем справа от него выражении.

Текущий параграф посвящен правилам вычисления преобразований Юнга Фенхеля составных выпуклых операторов.

4.1.1. Пусть X топологическое векторное пространство, E топологическое K-пространство и f : X E. Преобразованием Фенхеля f или сопряженным к f называют оператор f :

Юнга L (X, E) E, определенный соотношением С этим преобразованием мы сталкивались и ранее (см. 3.4.5). Повторяя указанную процедуру, с оператором f можно связать его второе преобразование Юнга Фенхеля второй сопряженный оператор f. Этот оператор для x X определяется формулой С очевидными оговорками x можно рассматривать как элемент пространства L (L (X, E), E) (точнее, L(L (X, E), E)), если отождествить точку x из X с -функцией x : T T x для T L (X, E).

С точностью до указанного отождествления второе преобразование Фенхеля f можно рассматривать как сужение повторноЮнга го преобразования Юнга пространство X.

Напомним, что для фиксированных e E и T L (X, E) вводится оператор из X в E, действующий по формуле T e : x T x + e и называемый аффинным. Если T e x f (x) для всех x X (в дальнейшем в таких ситуациях мы будем писать сокращенно: T e f ), то T e называют аффинной минорантой или аффинным опорным к f.

В соответствии с соглашениями из 3.2.3 мы будем отождествлять пространства L (X1, E) L (X2, E) и L (X1 X2, E) путем сопоставления операторам T1 L (X1, E) и T2 L (X2, E) оператора (T1, T2 ) L (X1 X2, E), действующего по правилу:

4.1.2. Для оператора f : X E справедливы утверждения:

Юнга Фенхеля T x f (x) + f (T );

(3) аффинный оператор T e является минорантой f в том и только в том случае, если (T, e) epi(f );

(4) f f, причем f = f в том и только в том случае, если f представляет собой верхнюю огибающую (= поточечную точную верхнюю границу) некоторого семейства непрерывных аффинных операторов;

то f +, и в этом случае f.

соответственно f не вызывает сомнений. Поэтому мы будем считать, что f + и f +, т. е. epi(f ) и epi(f ) непустые множества. Для x X и T L (X, E) положим по определению 4 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Тогда, как без труда проверяется, lT и ly линейные операторы и Указанные представления поясняют выпуклость f и f.

(2): Как видно из определений, если f (T ) =, то f +, а при f (x) = будет f +. В каждом из этих случаев нераФенхеля бесспорно. Если же f (T ) = = f (x), венство Юнга то указанное неравенство очевидно.

(3): Включение (T, e) epi(f ) означает, что e c := f (T ), (4): Если f (T ) E, то epi(lT ) epi(f ) и в силу указанного выше представления для epi(f ) видим, что epi(f ) epi(f ), т. е.

(f ) f. Допустим теперь, что (f ) = f +. Несомненно, что в этом случае f = sup{lT : f (T ) E}. Пусть f = sup{T e : T e f }.

Если T e f, то f (T ) e и, следовательно, f (x) T x f (T ) тривиален.

вытекают из представлений надграфиков из (1) соответствующих преобразований Юнга Фенхеля.

для всех x X. Но это означает, что f тождественно равен +, что влечет, в свою очередь, f (T ) = для любого T L (X, E).

4.1.3. При исследовании преобразований Юнга Фенхеля, как уже отмечалось, возникают две основные проблемы. Первая состоит в нахождении явных формул для вычисления преобразования Юнга Фенхеля при замене переменной. Вторая заключается в поиске обозримых условий его инволютивности. Как станет ясно из дальнейшего, указанные проблемы мотивированы теорией экстремальных задач. Более того, их решения легко применять к таким классическим вопросам, как обоснование справедливости принципа Лагранжа, нахождение признаков решений экстремальных задач и выяснение условий справедливости критериев оптимальности для пар двойственных задач.

Займемся проблемой замены переменной. Для этого, прежде всего, с произвольным множеством C в X и K-пространством E свяжем E-значную опорную функцию C (ср. 3.3.8), т. е. отображение C, действующее на оператор S на L (X, E) по правилу Отметим простые связи между опорной функцией надграфика отображения и его преобразованием Юнга Фенхеля.

Пусть f выпуклый оператор из X в F, где F упорядоченное топологическое векторное пространство. Пусть, далее, T L (X, F ) и S L (F, E). Тогда справедливы утверждения:

(1) (T, S) dom((epi(f )) ) в том и только в том случае, когда S 0 и T dom((S f ) );

(2) если S 0, то имеет место равенство Предположим, что epi(f ) =, ибо в противном случае доказывать нечего. Если c F +, S L (F, E) и T L (X, F ), то для любых (x, y) epi(f ) будет (x, y + c) epi(f ). Иначе говоря, правая часть этого неравенства конечна, нетрудно убедиться, переходя к точной верхней границе по (x, y) epi(f ), что Sc 0. В силу произвольности c 0 отсюда выводим, что S 0. С другой стороны, если в указанном соотношении сначала перейти к точной верхней границе по y (epi(f ))(x), полагая e := 0, а затем к точной верхней границе по x dom(f ), то будет (S f ) (T ) (epi(f )) (T, S).

Последнее означает, что T dom((S f ) ). Кроме того, при S очевидно выполняется:

Установленные только что два неравенства обеспечивают требуемое для (1) и (2).

6 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Непосредственно из определений оператора (1.3.5) и преобразования Юнга Фенхеля (4.1.1) выводим:

Тем самым доказательство завершено.

(4) Справедливы соотношения:

Если := epi(f ), то f = inf и первая формула следует из (3). Вторая формула очевидное следствие первой.

(5) Для сублинейного оператора f := P : X E справедливы соотношения:

последовательность (S P )(nx) не ограничена сверху, стало быть, P (S) = +.

4.1.4. Теорема. Пусть X и Y топологические векторные пространства и 1,..., n непустые выпуклые соответствия из X в Y такие, что множества n ( l=1 l ) и n (X) Y n находятся в общем положении. Тогда для любого T L (Y, E) имеет место точная формула Точность формулы означает, что конволюция в правой части точная, т. е. для каждого S L (X, E) такого, что существуют линейные непрерывные операторы S1,..., Sn из X в E, для которых Отсюда вытекает, в частности, что при (S, T ) = + доказываемое равенство справедливо. Пусть (S, T ) dom( ) и e := (S, T ).

Ясно, что dom( 1 )... dom( n ) =, а потому e >. Рассмотрим оператор A, действующий из X R в E по правилу A (x, t) := Sx te. Легко видеть, что (A, T ) E (3 (H( ))), где 3 перестановка координат, устанавливающая изоморфизм пространств При этом в силу условий теоремы конусы n ( l=1 3 (H ( l ))) и n (X R) Y, где n подходящая перестановка координат в (X R Y ), находятся в общем положении. В силу теоремы 3.2. существуют линейные непрерывные операторы A1,..., An из X R в E такие, что A = l=1 Al и (Al, T ) E (3 (H( ))) (l := 1, 2,..., n).

Отсюда вытекает, что для Sl := Al (·, 0) и el := A (0, 1) (l := 1,..., n) будет S = S1 +...+Sn, e = e1 +...+en, кроме того, (Sl, T ) el при Это и требовалось установить.

4.1.5. Из теоремы 4.1.4 вытекают следующие следствия:

равны тождественно + и находятся в общем положении. Тогда справедлива точная формула Доказательство получается совместным применением теоремы 4.1.4 и предложения 4.1.3 (2) к epi(f1 ),..., epi(fn ), поскольку (2) Если непустые выпуклые множества C1,..., Cn находятся в общем положении, то справедлива точная формула Нужно применить (1) к операторам E (Cl ) (l := 1,..., n).

(3) Пусть пространство F является векторной решеткой, S L + (F, E) и f1,..., fn : X F • выпуклые операторы. Если надграфики epi(f1 ),..., epi(fn ) непусты и находятся в общем положении, то имеет место точная формула По следствию (2) и предложению 4.1.3 (2) для любого T L (X, E) будет = (epi(f1 )... epi(fn )) (T, S) = (epi(f1 )... epi(f ) )(T, S);

причем последняя конволюция точная. Отсюда, привлекая вновь предложение 4.1.3 (2), немедленно получаем требуемое.

4.1.6. Теорема о сэндвиче для соответствий. Пусть непустые выпуклые соответствия X F и X F удовлетворяют условиям:

Тогда для всякого непрерывного положительного оператора S из F в E существуют элемент e E и линейный непрерывный оператор T из X в E такие, что для всех (x, c) и (y, d).

Действительно, из условия (2) вытекает, что F + (x) + произвольного S L (F, E). В силу условия (1) можно применить теорему 4.1.4. Стало быть, существуют операторы T1 и T2 из L (X, E), для которых Отметим, что величины (T1, S) и ( ) (T2, S) конечны и, кроме того, ( ) (T2, S) = (T2, S). Если теперь T := T2 = T1 и элемент e E удовлетворяет неравенствам то T и e искомые объекты.

4.1.7. Теорема о сэндвиче для выпуклых операторов. Допустим, что f, g : X E выпуклые операторы, не равные тождественно +, и при этом Тогда существуют элемент e E и линейный непрерывный оператор T из X в E такие, что := epi(g).

10 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления 4.1.8. Теорема. Пусть X, Y и Z топологические векторные пространства, E топологическое K-пространство. Пусть, далее, f1 : X Y E и f2 : Y Z E выпуклые операторы, не равные тождественно +. Если множества epi(f1, Z) и epi(X, f2 ) находятся в общем положении, то справедлива точная формула т. е. для (T1, T2 ) dom((f1 f2 ) ) существует непрерывный линейный оператор T из Y в E такой, что Пусть W := X Y Z. Определим операторы g1, g2 : W E и : W X Z следующими соотношениями:

Тогда для произвольных T1 L (X, E) и T2 L (Z, E) справедливы равенства Поскольку epi(g1 ) = epi(f1, Z) и epi(g2 ) = epi(X, f2 ), то выполнены условия следствия 4.1.5 (1). Таким образом, причем конволюция в правой части этой формулы точная. Заметим, далее, что Подставляя эти выражения в конволюцию g1 g2 и учитывая вид оператора, приходим к требуемому.

4.1.9. Из теоремы 4.1.8 можно извлечь различные следствия о вычислении преобразования Юнга Фенхеля составного отображения. Отметим сначала группу следствий, связанных с суперпозицией соответствий и отображений.

соответствия такие, что множества Z и X находятся в общем положении. Тогда выполняется точная формула Точность формулы означает, что для любых T1 L (X, E) и T L (Z, E) найдется линейный непрерывный оператор T L (Y, E), обеспечивающий справедливость соотношения Для доказательства нужно применить теорему 4.1.8 к операторам f1 := E ( ) и f2 := E ( ) и воспользоваться соотношениf1 = E ( ), epi(f1, Z) = Z E +, epi(X, f2 ) = ями f (2) Пусть F упорядоченное топологическое векторное пространство, f : X F • выпуклый оператор и g : F E • возрастающий выпуклый оператор. Если множества epi(f ) E и Xepi(g) находятся в общем положении, то для любого T L (X, E) имеет место точная формула По определению композиции epi(g f ) = epi(g) epi(f ). В наших допущениях можно применить (1). Следовательно, (epi (g f )) = epi(g) epi(f ), причем свертка в правой части точная. С учетом 4.1.3 (2) последнее можно переписать в виде При вычислении инфимума в правой части можно ограничиться положительными S и, вновь привлекая 4.1.3 (2), получим требуемую точную формулу.

(3) Если выполнены все условия предложения (2) и, сверх того, g := P верна точная формула Это частный случай формулы (2), так как для сублинейного g := P верно P (S) < + в том и только в том случае, когда (4) Пусть Y еще одно топологическое векторное пространство и заданы выпуклый оператор f : X E •, оператор S L (Y, X) и точка x X. Пусть gr(S x ) := {(y, S x y) : y Y } и множества gr(S x ) E и Y epi(f ) находятся в общем положении.

Тогда для каждого T L (Y, E) имеет место точная формула Как видно, epi(f S x ) = epi(f )gr(S x ). В силу наших допущений можно применить (1). Следовательно, (epi(f S x )) = epi(f ) (gr(S x )), причем свертка в правой части точная. В силу 4.1.3 (5) будет Таким образом, (gr(S x )) (T, U ) = 0, если T = U S, и в противном случае. Отсюда c учетом 4.1.3 (2) выводим:

и g : X E• частичный оператор, g(x) = f (x, y0 ) (x X). Если множества epi(f ) и X {y0 } E находятся в общем положении, то выполняется точная формула Нужно применить (4) к f и аффинному оператору S : X X Y, действующему по правилу x (x, y0 ).

4.1.10. Здесь уместно коротко остановиться на теоремах о векторном минимаксе. Рассмотрим непустые множества A и B, а также отображение f : A B E. Легко видеть, что справедливо неравенство Предположения, утверждающие, что при определенных условиях указанное неравенство является равенством, называют теоремами о минимаксе (при E = R) или теоремами о векторном минимаксе (при произвольном E). Простые достаточные условия минимакса связаны с понятием седловой точки.

Пару (a, b) A B называют седловой точкой отображения f, если f (a, y) f (a, b) f (x, b) для всех x A и y B. Если (a, b) седловая точка отображения f, то будет Приведем еще одну общую теорему о минимаксе, неявно содержащуюся в 4.1.9 (2).

(1) Теорема о векторном минимаксе. Допустим, что f и g удовлетворяют условиям предложения 4.1.9 (2) и, кроме того, g = g. Тогда для отображения h : X L + (F, E) E, где h (x, ) := f (x) g (), верно равенство В самом деле, положив T := 0 в 4.1.9 (2), заметим, что С другой стороны, Требуемое вытекает теперь из 4.1.9 (2).

(2) Если выполняются все условия из (1) и, сверх того, оператор g сублинеен, то Следует непосредственно из (1), если воспользоваться тем, что для сублинейного g := P будет dom(P ) = P.

Именно к последнему утверждению чаще всего относят наименование теорема о векторном минимаксе (ср. 1.3.10 (5)).

4.1.11. Рассмотрим теперь несколько следствий о вычислениях преобразования Юнга Фенхеля образов и прообразов.

выпуклое подмножество Y. Если и X C находятся в общем положении, то для каждого T L (X, E) имеет место точная формула жение 4.1.9 (1). При этом C (S).

для некоторого y Y множества и X {y} находятся в общем положении, то для каждого T L (X, E) имеет место точная формула Нужно лишь в (1) положить C := {y}. Эта формула уже отмечалась в 3.5.10.

(3) Предположим, что f : X F • выпуклый оператор, а C выпуклое подмножество F. Если epi(f ) и X C находятся и оператора T L (X, E) верна точная формула К соответствию : + epi(f ) и выпуклому множеству C можно применить предложение (1). При этом следует иметь в виду, что F ) (S) = + в противном случае.

epi(f ) и X (F + ) находятся в общем положении. Тогда для лебегова множества {f 0} := {x X : f (x) 0} справедлива точная формула Нужно применить (3) к выпуклому множеству C := F +, заметив при этом, что (F + ) индикаторный оператор конуса L + (F, E).

выпуклое множество C Y. Допустим, что epi(f ) и X C (F + ) находятся в общем положении. Тогда для выпуклого соответствия := {f 0} при каждом T L (X, E) верна точная формула Этот факт устанавливается последовательным применением (1) и (4).

4.1.12. (1) Если в 4.1.8 положить f1 := f и f2 := 0, то получим формулу где h(x) = inf{f (x, y) : y Y }.

выпуклые операторы и X Y выпуклое соответствие. Положим При том условии, что в общем положении находятся тройка выпуклых множеств epi(h), E +, {g 0} E +, а также пара epi(g), X Y (F + ), для каждого T L (X, E) верна точная формула где инфимум берется по всем L + (F, E) и наборам T1, T2, T L (X, E) и S1, S2, S3 L (Y, E) таким, что T = T1 + T2 + T3 и Прежде всего заметим, что Следовательно, в соответствии с (1) будет Применив 4.1.5 (1), получим точную формулу Остается применить 4.1.9 (3) к суперпозиции E (F + ) g.

выпуклые операторы. Пусть, далее, множества epi(f1, Z) и epi(X, f2 ) находятся в общем положении. Тогда для любых T1 L (X, E) и T2 L (Z, E) справедлива точная формула где инфимум в правой части берется по всем 1, 2 Orth+ (E), Рассуждая так же, как и в доказательстве теоремы 4.1.8, и сохранив те же обозначения, получаем соотношение Так как множества epi(g1 ) и epi(g2 ) находятся в общем положении, то применимо предложение 4.1.5 (3), в соответствии с которым имеет место точная формула где инфимум берется по всем 1, 2 Orth+ (E), 1 + 2 = IE.

Доказательство завершается так же, как и в 4.1.8.

4.1.14. Пусть A компактное топологическое пространство.

Возьмем отображение f : X A E • и положим Допустим, что для каждого A частичное отображение f : x f (x, ) (x X) является выпуклым. Тогда h : X E • также выпуклый оператор (см. 1.3.7 (1)). Пусть, кроме того, для каждого x {dom(f ) : A} частичное отображение fx : f (x, ), где A, является кусочно r-непрерывным (см. 2.1.12 (2)). Положим Тогда при указанных предположениях выпуклый оператор из X в C (A, E) и выполняется равенство h =, где A ограничение канонического оператора A на C (A, E).

(1) Если f удовлетворяет всем указанным условиям, F это K-пространство и P : E F возрастающий o-непрерывный сублинейный оператор, то для каждого T L (X, E) имеет место соотношение где инфимум берется по всем µ qca(A, Ln (E, F ))+, для которых µ(A) P.

Нужно привлечь 4.1.9 (3) и описание A из 2.1.13 (3).

(2) Если K-пространство E будет (, )-дистрибутивным, то также имеет место формула где инфимум берется по всем µ rca(A, Orth(E))+, для которых µ(A) = IE.

Нужно привлечь 4.1.9 (3) и описание A из 2.1.13 (4).

18 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления 4.2. Формулы субдифференцирования В этом параграфе выводятся основные формулы для вычисления субдифференциалов составных выпуклых операторов. Всюду ниже E считается K-пространством.

4.2.1. Рассмотрим топологические векторные пространства X и E. Допустим, что E упорядочено посредством некоторого положительного конуса E +. Символом L (X, E), как всегда, мы обозначаем множество всех непрерывных линейных операторов из X в E.

Возьмем выпуклый оператор f : X E •, где E • = E {+}, а наибольший элемент E •. Зафиксируем элементы E + и x0 dom(f ). Оператор T L (X, E) называется -субградиентом f в точке x0, если T x T x0 f (x) f (x0 ) + для всех x X. Множество всех -субградиентов оператора f в точке x0 называют -субдифференциалом f в точке x0 и обозначают символом f (x0 ).

(1) Итак, -субдифференциал f в точке x0 определяется формулой Заметим, что -субдифференциал f (x0 ) может быть пустым, состоять из единственного элемента или же содержать целые лучи.

Будем считать также, что f (x0 ) = при x0 dom(f ).

Возьмем произвольный вектор h X. Если существует точная нижняя граница множества {1 (f (x0 + h) f (x0 ) + ) : > 0}, то ее называют -производной оператора f в точке x0 по направлению h и обозначают символом f (x0 )h.

(2) Следовательно, -производная по направлениям оператора f в точке x0 определяется формулой При = 0 пишут f (x0 ) := 0 f (x0 ), f (x0 ) := f 0 (x0 ) и говорят о субградиентах, субдифференциале и производной по направлениям оператора f. Введем обозначения (h, ) := 1 (f (x0 +h)f (x0 )+) и := 0. Полезно подчеркнуть, что при = 0 разностное отношение (h, ), фигурирующее в определении -производной по направлению, возрастает по.

(3) Если x0 + h dom(f ), то для любых 0 < 0 для вычисления -производной необходимо знать, вообще говоря, все значения исследуемого отображения.

положим C(x) := E (C) (x) и C(x) := E (C) (x). Таким образом, Если x C, то согласно (1) C(x) = C(x) =. Обозначим также C (x) := E (C) (x) и C (x) := E (C) (x). Как видно из определения (2) для x C верна формула C (x) = µ(С x). В случае = 0 имеют место формулы C (x) = E Fd(C, x) и C(x) = {T L (X, E) :

(h Fd(C, x)) T h 0}.

4.2.2. (1) -производная по направлениям выпуклого оператора f в точке x0 есть сублинейный оператор. Опорное множество этого оператора совпадает с -субдифференциалом оператора f в точке x0 ; символически: f (x0 ) = f (x0 ).

20 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Действительно, возьмем x0 dom(f ) и предположим, что f (x) E. Рассмотрим произвольные h и k X, и пусть и строго положительные числа. Тогда при := ( + )1 в силу выпуклости f будет Переходя к точной нижней границе по и в соотношении получим: f (x)h + f (x)k f (x) (h + k). С другой стороны, для любого > 0 выполнено Ясно также, что f (x)0 = 0. Тем самым оператор f (x) сублинеен. Оставшаяся часть предположения очевидна.

(2) Пусть f : X E • выпуклый оператор, непрерывный в точке x int(dom(f )). Тогда f (x) = и Это вытекает из (1) в силу теоремы Хана Банаха Канторовича (см. 1.4.14 (2)), так как в рассматриваемой нами ситуации dom(f (x)) = X и оператор f (x) непрерывен.

4.2.3. Напомним, что при рассмотрении элемента x из X мы условились отождествлять этот элемент с оператором x : T T x, где T L (X, E). Так, в частности, запись x f (T0 ) означает выполнение соотношения справедливы следующие утверждения:

(1) для произвольных E + и T L (X, E) включение T f (x) имеет место в том и только в том случае, когда f (x)+ (1): Если f (x) + f (T ) T x +, то f (T ) < +, следовательно, f (x ) > для всех x X. Кроме того, x dom(f ) и, стало быть, f собственная выпуклая функция. Если же f (x) =, то по аналогичным соображениям f вновь будет собственной выпуклой функцией. Но для собственной выпуклой функции имеют место эквивалентности откуда и вытекает требуемое.

(2): Очевидно из определений.

место неравенства из определения 4.2.1 (1). Применив к этим неравенствам положительные операторы и соответственно и сложив затем полученные неравенства, с учетом равенства + = IE приходим к соотношению которое равносильно требуемому включению.

же время для S dom(f ) имеем Sx + f (x) f (S) < +. Сложив эти два неравенства получим соотношение равносильное включению x f (T ).

22 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления (5): Предположение x f (T ) дает в силу (4) T f (x).

Учитывая соотношения f (x) = f (x) и f (x) f (x) (см. 4.1.2 (4)), приходим к требуемому включению T f (x).

(6): Очевидно из определений.

4.2.4. Приведем еще несколько утверждений, являющихся по существу переформулировками или частными случаями уже отмеченных свойств.

(1) Включение T f (x) имеет место в том и только в том случае, если f (x) + f (T ) = T x.

Это следует из 4.2.4 (1) при = 0.

(2) Если f = f, то соответствие f является обратным к соответствию f ; символически: ( f )1 = f.

Это следует из 4.2.4 (5) и определения обратного соответствия 1.2.1 (2).

Если T f (x), то согласно (1) f (x) = T xf (T ), что вместе с неравенством f f дает f (x) = f (x).

Рассмотрим отображение h : X E •, действующее по формуле Ясно, что h выпуклый оператор.

(4) Выпуклый оператор h : L (X, E) E • принимает положительные значения, и справедливо представление В силу (1) нужно лишь заметить, что сопряженный оператор h имеет вид (5) -субдифференциал f в точке x совпадает с -лебеговым множеством оператора h, т. е.

Очевидно, что T f (x) тогда и только тогда, когда T y h(y) + для всех y X. Но это то же, что и h (T ).

упорядоченное топологическое векторное пространство. Пусть, далее, T L (X, F ) и S L (F, E). Тогда (T, S) (epi(f ))(x, f (x)) в том и только в том случае, когда S 0 и T (S f )(x).

Применив 4.2.3 (1) и 4.1.3 (1,2), а затем вновь 4.2.3 (1), выводим цепочку эквивалентностей содержащую обоснование требуемого утверждения.

4.2.5. Перейдем теперь к вычислению -производных и -субдифференциалов отображения f. Как уже отмечалось ранее, случаи > 0 и = 0 существенно отличаются друг от друга, несмотря на их внешнюю похожесть. Поэтому указанные случаи анализируются различными методами. Так, при = 0 сначала производят подсчет производных по направлениям, а затем применяют метод общего положения для нахождения соответствующих опорных множеств. В случае же = 0, привлекая правила замены переменных в преобразовании Юнга Фенхеля, находят формулы вычисления -субдифференциалов, которые после этого сворачивают в формулы для -производных на основе 4.2.1. На таком пути формально охватывается и случай = 0, причем возникающие формулы совпадают с уже найденными. Однако следует помнить, что условия, накладываемые на операторы при произвольных, существенно более жесткие, чем нужные для обслуживания, равного нулю. Ниже (см. 4.2. и 4.2.7) мы аккуратно оттеним указанное различие на (принципиальном!) примере -субдифференциала суммы, хотя в дальнейшем формулировать упрощающие условия при = 0 мы не будем.

Пусть C (выпуклое) множество в X. Элемент h X называют допустимым направлением для множества C в точке x C, если существует t > 0 такое, что x + th C (при этом из-за выпуклости C будет x + t h C для всех 0 < t < t). Совокупность таких направлений обозначают символом Fd(C, x). При x C для удобства полагают Fd(C, x) =.

(1) Множество допустимых направлений Fd(C, x) представляет собой выпуклый конус. При этом C(x) = E (Fd(C, x)).

24 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Если f : X E • выпуклый оператор и x dom(f ), то вводят обозначение Fd(f, x) := Fd(epi(f ), (x, f (x))). Следовательно, Fd(f, x) состоит из таких пар (h, k) X E, что t1 (f (x + th) f (x)) k при достаточно малом t > 0.

(2) Односторонняя производная по направлениям f (x) и конус допустимых направлений Fd(f, x) связаны между собой соотношением f (x) = inf Fd (f, x), т. е.

Это видно из определения односторонней производной по направлениям 4.2.1 (4).

положительный оператор. Тогда T (S f )(x) для некоторых x dom(f ) и T L (X, E) в том и только в том случае, если (T, S) E (Fd(f, x)). В частности, T f (x) и (T, IE ) E (Fd(f, x)).

Выводится непосредственно из определений.

4.2.6. Теорема. Если выпуклые операторы f1,..., fn : X E • и точка x X таковы, что конусы Fd(f1... fn, (x,..., x)) и n (X) E находятся в общем положении, то имеет место представление противном случае утверждение теоремы тривиально. Если f := f1 +... + fn, то для любого h X имеем Следовательно, в силу 4.2.2 (1) будет Рассмотрим конические соответствия K0 := Fd (f1... fn, (x,..., x)) и K := epi(f1 (x)... fn (x)). Заметим, что dom(K0 ) = dom(K). Кроме того, K0 (x) + E + K0 (x) для всех x X. Отсюда видно, что По условию конусы K0 и n (X) E n находятся в общем положении. Но тогда в общем положении находятся K и n (X) E n, ибо K0 K. Последнее же означает, что сублинейные операторы f1 (x),..., fn (x) находятся в общем положении. Остается привлечь формулу Моро Рокафеллара (см. 3.2.8).

4.2.7. Теорема. Если выпуклые операторы f1,..., fn : X E • находятся в общем положении и x X, то для произвольного E + справедливо представление f (x), то согласно 4.2.3 (1) будет В силу 4.1.5 (1) существуют операторы T1,..., Tn L (X, E) такие, всех l := 1, 2,..., n. Отсюда в силу 4.2.3 (1) имеем Tl l fl (x), значит, T 1 f1 (x) +... + n fn (x). Противоположное включение очевидно.

Вновь подчеркнем, что при = 0 формула из теоремы 4.2. переходит в аналогичную формулу из теоремы 4.2.6. В то же вреn мя требование общности положения конусов Fd ( l=1 fl, (x,..., x)) и n (X) E n слабее требования общности положения операторов 26 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления выпуклые операторы и, E +. Допустим, что свертка f2 f -точна в некоторой точке (x, y, z), т. е. +(f2 f1 )(x, y) = f1 (x, y)+ f2 (y, z). Если, кроме того, выпуклые множества epi(f1, Z) и epi(X, f2 ) находятся в общем положении, то справедливо представление Доказательство можно провести по схеме 4.2.7 с учетом 4.1.8.

Дадим иное доказательство, апеллирующее к результату 4.2.7.

Используя обозначения теоремы 4.1.8, для (T1, T2 ) (f2 f1 ) (x, y, z). Для операторов g1 и g2 выполнены условия теоремы 4.2.7.

Значит, существуют 1 и 2 из E +, для которых 1 + 2 = + и (T1, 0, T2 ) 1 g1 (x, y, z) + 2 g2 (x, y, z). Таким образом, принимая во внимание представления заключаем, что для некоторых T1, S1 L (X, E) и T2, S2 L (X, E) имеют место соотношения Отсюда Tl = Tl (l := 1, 2) и S := S1 = S2. Следовательно, противоположное включение очевидно.

4.2.9. Теорема. Пусть -свертка f2 f1 выпуклых операторов f1 : X Y E • и f2 : Y Z E • -точна в некоторой точке (x, y, z) X Y Z, т. е. + (f2 f1 )(x, z) = f1 (x, y) f2 (y, z). Если при этом выпуклые множества epi(f1, Z) и epi(X, f2 ) находятся в общем положении, то справедливо представление где объединение берется по всем 1, 2 E + и 1, 2 Orth(E + ) Допустим, что (T1, T2 ) (f2 f1 )(x, y). Используя 4.2.3 (1) и 4.1.13, а также -точность -свертки f2 f1 в точке (x, y, z), можно найти такой оператор S L (X, E) и ортоморфизмы 1, Orth(E)+, 1 + 2 = IE, такие, что (y, z), т. е. (T1, T2 ) входит в правую часть требуемого равенства.

Противоположное включение проверяется просто.

4.2.10. Теорема. Предположим, что f, g, h и удовлетворяют всем условиям теоремы 4.1.12 (2). Пусть, сверх того, h(x, y) = f (x) + для некоторых E + и (x, y) dom (h), g (x, y) 0.

Тогда для каждого E + имеет место представление где объединение берется по всем 1, 2, 3 E + и L (F, E)+, удовлетворяющим условиям В соответствии с 4.1.3 (1) при указанных условиях включение T f (x) означает существование операторов L + (F, E), T1, T2, T3 L (X, E) и S1, S2, S3 L (Y, E) таких, что T = T1 +T2 +T3, Пусть y Y удовлетворяет условиям теоремы. Заменим в последнем равенстве f (x) на h(x, y) и обозначим 28 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Тогда 1 + 2 + 3 ( g)(x, y) + + и, вновь привлекая 4.1.3 (1), получаем (T1, S1 ) 1 h(x, y), (T2, S2 ) 2 (x, y) (T3, S3 ) 3 (g) (x, y). Тем самым и установлено включение слева направо. Противоположное включение доказывается проведением тех же рассуждений в обратном направлении.

4.2.11. Следующие факты без труда выводятся из 4.2.7 и 4.2.8.

y (x) 1 (z) для некоторых x X, y Y, z Z. Если при этом множества Z и X находятся в общем положении, то возрастающий выпуклый оператор, причем в общем положении находятся выпуклые множества epi (f ) E и X epi (g). Тогда Вытекает из (1) и 4.2.4 (6) с учетом равенства epi(g f ) = epi(g) epi(f ).

(3) Пусть f : X E • выпуклый оператор, T x непрерывный аффинный оператор, где T L (Y, X) и x X. Если выпуклые множества T x E и Y epi(f ) находятся в общем положении, то Эта формула также следует из (1) и 4.2.4 (6) с учетом того, что при любом 0 множество (S T x ) состоит из единственной точки {T }.

(4) Если выпуклые множества C1,..., Cn находятся в общем положении и x C1... Cn, то Следует из 4.2.7 с учетом обозначений из 4.2.1 (5).

(5) Пусть C1,..., Cn заданные выпуклые множества и при этом x C1...Cn. Если конусы Fd(C1, x),..., Fd(Cn, x) находятся в общем положении, то Это следует из 4.2.6, если положить fl := E (Cl ) (l := 1,..., n).

Другое доказательство получится, если заметить, что Fd(C1...

Cn, x) = Fd(C1, x)... Fd(Cn, x) и применить 4.2.5 (1) и 3.2.5 (1).

L (X, E). Если x dom(f1 )... dom(fn ) и конусы Fd(f1, x) (l := 1,..., n) находятся в общем положении, то имеет место представление Достаточно применить (5) к множествам C1 := epi(f1 ),..., Cn := epi(fn ) с учетом 4.2.5 (3).

находятся в общем положении, то имеет место представление где объединение берется по всем T1,..., Tn и 1,..., n таким, что Достаточно обосновать включение, так как обратное включение проверяется непосредственно. Пусть g := T (f1... fn )) и S g(x). Тогда g(x) + g (S) Sx + и согласно 4.1.5 (3) можно подобрать операторы T1,..., Tn L + (F, E) и S1,..., Sn L + (X, E) такие, что T1 +...+Tn = T, S1 +...+Sn = S и g (S) = (T1 f1 ) (S1 )+... + (Tn fn ) (Sn ). Положим l := (Tl fl )(x) + (Tl fl ) (S1 ) S1 x.

Тогда l 0 (l := 1,..., n) и (l := 1,..., n), что и требовалось.

4.2.12. Пусть g : X F • выпуклый оператор, g(x) e для некоторых x X и e F. Если множества epi (g e) и (X F + ) находятся в общем положении, то справедливо представление Более того, учитывая равенство epi (h) = F + E +, заключаем, что выполнены условия следствия, а потому g(x) e по условию, то Осталось заметить, что 4.2.13. Пусть A компактное топологическое пространство.

Рассмотрим отображение f : X A E •. Допустим, что выполнены все условия из 4.1.14. Тогда для выпуклого оператора при любых E + и x dom(h) будет где объединение берется по всем µ и, удовлетворяющим условиям В самом деле, если выполнены условия из 4.1.14, то h =, где : X C (A, E • ) имеет вид (x) = ( f (x, ))A (x X).

В силу этого достаточно использовать 4.2.12 (2) и данное в 2.1.13 (3) описание субдифференциала ( ).A 4.3. Инволютивность преобразования Всякое замкнутое выпуклое множество в локально выпуклом пространстве есть пересечение всех содержащих его замкнутых полупространств. Применительно к надграфикам этот результат утверждает, что всякая полунепрерывная снизу выпуклая функция, определенная на локально выпуклом пространстве, является верхней огибающей всех своих непрерывных аффинных минорант. Отсюда вытекает, что оператор сопряжения инволютивен на классе выпуклых 32 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления полунепрерывных снизу функций. Распространение последнего факта на общие выпуклые операторы представляет собой важную и нетривиальную проблему, для решения которой указанный выше геометрический подход оказывается малоэффективным. В текущем параграфе излагается один возможный вариант решения этой проблемы, основанный на новой концепции полунепрерывности снизу выпуклого оператора.

4.3.1. В пределах данного параграфа X := (X, ) локально выпуклое пространство, а E это K-пространство со слабой единицей 1. Напомним, что разбиением единицы в булевой алгебре Pr (E) проекторов (на компоненты E) называют семейство ( ) sup { : } = IE. Символами {e}dd и [e] обозначаются соответственно компонента, порожденная элементом e E, и проектор на эту компоненту. Для a, b E • мы будем писать a b, если либо Последнее соотношение равносильно тому, что проектор [b a] совпадает с точной верхней границей проекторов [a] и [b], т. е. [b a] = [b] [a] = [b] + [a] [b] [a].

Пусть e := |a| + |b|. Соотношение a b равносильно каждому из следующих утверждений:

(c) для любого ненулевого проектора Pr (E), [e], существуют число > 0 и ненулевой проектор Pr (E) такие, что (d) существуют разбиение ( ) Pr (E) проектора [e] и семейство строго положительных чисел ( ), для которых Для удобства мы будем считать, что {+}dd = E и [+] = IE.

4.3.2. Пусть f x0 X и F какой-нибудь базис фильтра (x0 ). Тогда равносильны утверждения:

(1) для любых e f (x0 ), e E, и ненулевого проектора [f (x0 ) e] существуют ненулевой проектор и окрестность ( )F проектора [f (x0 )e] такое, что e f (x0 ) при каждом единицы ( )F Pr (E) такое, что e f (x) для всех x числе > 0 найдется разбиение единицы ( )F Pr (E) такое, что для всех x и F выполняется (b) (1/) c (f (x)), если x0 dom(f ).

Если какое-нибудь из условий (1)–(4) выполняется для F, то это же условие справедливо и для любого другого базиса того же фильтра (x0 ).

(1) (2): Пользуясь леммой Куратовского Цорна, выберем максимальное семейство ( )F попарно дизъюнктных проекторов таких, что e (f (x)) при x и F. Максимальность понимается относительно следующего упорядочения в множестве всех попарно дизъюнктных семейств порядковых проекторов:

то в силу (1) существуют ненулевой проектор Pr (E),, и окрестность F точки x0, для которых e f (x) при всех x.

Полагая :=, получим противоречие с максимальностью ( )F. Значит, = 0, а это означает, что ( )F разбиение проектора [f (x0 ) e].

(2) (3): Если ( )F разбиение проектора [f (x0 ) e], удовлетворяющее (2), то из него можно получить требуемое разбиение единицы, прибавив к какому-нибудь проектор := IE { :

(3) (4): Если x0 dom(f ), то в (3) следует положить e := f (x0 ) c, в противном случае e := (1/)c.

34 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления (4) (1): Предположим, что x0 dom(f ). Если [f (x0 ) e] и = 0, то e f (x0 ). Поэтому существуют ненулевой проектор 0 и число > 0, для которых 0 e 0 f (x0 ) 0 c. Согласно (4) имеется разбиение единицы ( )F, для которого c (f (x) f (x0 )) при x, F. Выберем F так, чтобы базис фильтра (x). Для e f (x0 ) и ненулевого проектора [f (x0 ) e] возьмем ненулевой проектор и окрестность F так, того же фильтра, существует F такой, что. Ясно, что неравенство e f (x) верно при всех x.

4.3.3. Отображение f : X E • называют полунепрерывным снизу в точке x0 X, если выполняется одно (а значит, и любое) из условий 4.3.2 (1–4). Обращаем внимание читателя на схожесть разных определений 3.4.7 и 4.3.3. Эти понятия встречаются в разных контекстах, и мы надеемся, что путаницы не возникнет. Сразу же отметим простейшие свойства полунепрерывных снизу отображений.

Будем говорить, что отображение f полунепрерывно снизу, если оно полунепрерывно снизу в каждой точке x0 X.

(1) Если отображение f : X E • полунепрерывно снизу в точке x0 X и Orth(E)+, то отображение f полунепрерывно снизу в той же точке.

(2) Сумма конечного числа отображений из X в E •, полунепрерывных снизу в точке, полунепрерывна снизу в той же точке.

Допустим, что отображения f1, f2 : X E • полунепрерывны снизу в точке x0. Если e f1 (x0 ) + f2 (x0 ), то имеет место представление e = e1 + e2, где el fl (x0 ) (l := 1, 2). Пусть f := f1 + f2 и 0 = [f (x0 ) e] [f1 (x0 ) e1 ] [f2 (x0 ) e2 ]. Тогда для также получаем представление = 1 + 2, где l [fl (x0 ) el ] (l := 1, 2), причем можно считать, что 1 2 = 0. Подберем теперь не равные одновременно нулю проекторы l получим e f (x) (x ).

(3) Точная верхняя граница непустого множества отображений из X в E •, полунепрерывных снизу в точке, полунепрерывна снизу в той же точке.

4.3. Инволютивность преобразования Юнга Фенхеля Рассмотрим семейство отображений (f : X E • ), полунепрерывных снизу в точке x0 X. Положим f := sup {f : }.

Пусть e f (x0 ). Если 0 = [f (x0 ) e], то существуют и 0 = 0 такие, что 0 e 0 f (x0 ) 0 f (x0 ). Ввиду полунепрерывности снизу f найдутся ненулевой проектор 0 и окрестность F, для которых e f (x) (x ). Но тогда для тех же x будет e f (x).

4.3.4. Введем теперь (интересный сам по себе) класс проскалярных аффинных операторов, связанный с указанной выше концепцией полунепрерывности. Ниже будет показано, что полунепрерывные снизу выпуклые операторы и только они являются верхними огибающими семейств проскалярных аффинных операторов. Предварительно приведем два простых факта.

E произвольное K-пространство. Тогда для произвольного оператора T L (X, E) равносильны утверждения:

(a) lim supx0 |T x| = inf V (0) supxV |T x| = 0 (супремумы вычисляются, как обычно, в E • );

(b) существуют окрестность нуля V X и элемент e E + такие, что T (V ) [e, e];

(c) существуют непрерывная полунорма p : X R и элемент e E + такие, что |T x| ep(x) для всех x X.

Если выполнено (1), то e = sup T (V ) < + для некоторой симметричной окрестности нуля V (0). Но тогда T (V ) [e, e].

Если же верно последнее включение, причем V абсолютно выпукло, то условие (3) справедливо для p := µ(V ). Наконец, из (3) вытекает, что lim sup T x = e · lim sup p(x) = 0 ввиду непрерывности p.

Оператор T L (X, E) мы будем называть o-ограниченным, если он удовлетворяет любому из равносильных условий (a)–(c) предыдущего предложения. Символом L0 (X, E) обозначим множество всех o-ограниченных линейных операторов из X в E.

(2) Оператор T L(X, E) полунепрерывен снизу в какойнибудь точке в том и только в том случае, если найдется разбиение единицы ( ) Pr (E) такое, что T L0 (X, E) для всех Ясно, что если линейный оператор полунепрерывен снизу в какой-нибудь точке, то он полунепрерывен снизу в любой точке.

36 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Пусть T полунепрерывен снизу в нуле. Возьмем e E +. Согласно 4.3.2 (2) существует разбиение ( )F проектора [e] такое, что e T x (x, F ). Здесь F базис фильтра (0). Заменив x на x в последнем неравенстве, получим | T x| e e.

В силу (1) это означает, что T L0 (X, E).

единицы. Для каждого подберем разбиение (, )F проектора так, чтобы |, T x|, e (x ). Это означает согласно (1), что, T L0 (X, E). Остается заметить, что (, )(,)F разбиение единицы.

4.3.5. Линейный оператор T : X E мы будем называть проскалярным, если он удовлетворяет любому из эквивалентных условий предложения 4.3.4 (2). Множество всех проскалярных линейных операторов обозначим символом L (X, E). Понятно, что T L (X, E) в том и только в том случае, если T линеен и выполнено одно из условий:

(a) T и T полунепрерывны снизу в нуле;

(b) T x = o- T x, где ( ) разбиение единицы в Pr (E) Под аффинным оператором A : X E так же, как и в 4.1, мы будем понимать оператор вида Ax = T e x := T x + e (x X), где T L (X, E) и e E. Аффинный оператор A := T e называют o-ограниченным или проскалярным, если T L0 (X, E) или T L (X, E) соответственно. Множество всех проскалярных минорант отображения f : X E • обозначим символом A (f ), т. е.

4.3.6. Рассмотрим теперь три вспомогательных факта.

(1) Пусть P сублинейный оператор из векторного пространства X в E •, где E это K-пространство. Допустим, что точка x0 dom(P ) и поглощающий конический отрезок C X таковы, что Тогда для всех x X выполняется неравенство P (c) или e P (x0 ) P (c). Если элемент x X таков, что x tC при некотором t > 0, то c := x/t C и, значит, e P (x0 ) P (x/t) или t(e P (x0 )) P (x). Переходя к супремуму в левой части последнего неравенства по указанным t, получим требуемую оценку.

Если множество таких t пусто, то супремум равен. Но в этом случае также верно равенство µ (C)x = +, поэтому µ (C)(x)(e В обоих случаях нужные неравенства выполняются.

(2) Пусть f выпуклый оператор из векторного пространства X в E •. Предположим, что точка x0 dom(f ) и конический отрезок C X таковы, что Тогда для каждого 0 < < 1 при всех x X верно < inf {g(x) : x C} = d 0. Пусть P := H(g) преобразование Хрмандера оператора g. Если |t| < и x (1)C, то x/(1+t) C, поэтому В силу (1) для всех x X и t R выполняется При t = 1 отсюда получаем Воспользовавшись соотношениями f (x) = g(x x0 ) + f (x0 ) и d = e f (x0 ), приходим к требуемой оценке 38 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления 4.3.7. Рассмотрим вопрос о существовании аффинных минорант у выпуклого оператора.

(1) Допустим, что f выпуклый оператор, действующий из локально выпуклого пространства X в E • и ограниченный снизу элементом a E на некотором открытом множестве U. Тогда для любой точки x0 U dom(f ) существуют аффинный оператор A : X E и окрестность нуля V такие, что Если выполнены указанные условия, то для некоторой непрерывной полунормы p на X будет Положим Полагая C := {p 1} в 4.3.6 (3), получим f (x) + g(x) 0 (x X).

По теореме о сэндвиче (см. 3.2.15) найдется аффинный оператор A : X E такой, что В частности, Если T h := A(x0 + h) Ax0, то T h g(x0 + h) f (x0 ) для всех h X. Подстановка в это неравенство выражения для g приводит к оценке Если h V := {p 1}, то T h 3(f (x0 ) e). Ввиду симметричности множества V отсюда выводим, что |T h| 3(f (x0 ) e) для всех hV.

4.3. Инволютивность преобразования Юнга Фенхеля (2) Если выпуклый оператор f : X m(E)• полунепрерывен снизу в некоторой точке x0 dom(f ), то A (f ) =, т. е.

существует хотя бы одна проскалярная аффинная миноранта оператора f.

Пусть e f (x0 ) и пусть разбиение единицы ( )F в Pr (E), где F базис фильтра окрестностей точки x0, таково, что (f (x) e) 0 для всех x и F. Оператор f ограничен снизу (элементом e E) на множестве. Поэтому согласно (2) существует o-ограниченная аффинная миноранта A оператора f, удовлетворяющая условию где окрестность нуля, содержащаяся в x0, и элемент c E + не зависит от. Отсюда видно, что формулы корректно определяют аффинный оператор A : X m(E), причем если T h := Ah A0, то T L0 (X, E) для всех F, т. е. T является проскалярным. Далее, просуммировав по F неравенства 4.3.8. Обратимся теперь непосредственно к вопросу об инволютивности преобразования Юна Фенхеля. Пусть X локально выпуклое пространство, а E расширенное K-пространство.

(1) Выпуклый оператор f : X E • полунепрерывен снизу в точке x0 dom(f ) в том и только в том случае, если Допустим, что f полунепрерывен снизу в точке x0 dom(f ).

В силу 4.3.7 существует оператор A A (f ). Если g := f A, то g полунепрерывен снизу в точке x0 и A (g) + A = A (f ). Поэтому требуемое означает, что g(x0 ) = sup {Ax0 : A A (g)}. В силу этих рассуждений можно считать с самого начала, что f 0. Положим 40 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Нужно показать, что g(x0 ) = f (x0 ). Допустим, что это не так, т. е.

g(x0 ) < f (x0 ). Тогда найдутся ненулевой проектор Pr (E) и число > 0 такие, что f (x0 ) 1 g(x0 ) + 31. Поскольку f полунепрерывен снизу в точке x0, то существует разбиение единицы ( )F Pr (E), где F базис фильтра окрестностей x0, такое, что F. Применим теперь предложение 4.3.7 (1) к оператору f в точке x0 U dom(f ), где U := int (). Тем самым найдем аффинный оператор A A0 ( f ) A0 (f ) (f 0), удовлетворяющий оценкам некоторая окрестность нуля, а A0 (f ) аффинных минорант оператора f. Подставляя в эти выражения e = (f (x0 ) 1), получим Первое неравенство дает A x0 g(x0 ), а из второго вытекает, что A проскалярный оператор, т. е. A A (f ). Таким образом, приходим к противоречию:

доказывающему равенство f (x0 ) = g(x0 ).

(2) Если оператор f полунепрерывен снизу, то утверждение (1) верно для всех x0 X.

dom(f ), сходящуюся к x0. Если a := g(x0 ) < +, то для любого e 0 найдется такое разбиение единицы ( )F Pr (E), что (0), где (0) подходящим образом фиксированный индекс.

Тогда для таких при 0 < t < 1 и zt, := tx0 + (1 t)x будет ибо f (x ) = g(x ) в силу уже доказанного. Далее, для фиксированного (0) имеем lim zt, = x. Ввиду полунепрерывности снизу g в точке x найдется разбиение единицы ( )F (), для которого Найдем такой индекс F (), чтобы := = 0. Для достаточно малых t > 0 имеем zt,, следовательно, Отсюда при t 0 получаем противоречивое соотношение e 0. Тем самым должно быть g(x0 ) = + = f (x0 ).

Предположим, наконец, что x0 cl dom (f ). Подберем функционал x X так, чтобы Рассмотрим аффинный оператор A : X E, действующий по правилу A : x e( x|x t), где e E + и := 1/( x0 |x t). Ес- + = f (x). Кроме того, Ax0 = ( x0 |x t)e = e. Следовательно, g(x0 ) = sup {Ax0 : A A (x0 )} sup (E + ) = + = f (x0 ).

4.3.9. Отметим простые следствия из установленных фактов.

Допустим, что X и E такие же, как и в 4.3.8.

(1) Выпуклый оператор f : X E • полунепрерывен снизу в точке x0 dom(f ) тогда и только тогда, когда Этот факт выводится из 4.3.8 так же, как и 4.1.2 (4).

42 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления (2) Для выпуклого оператора f : X E • равносильны утверждения:

(a) f полунепрерывен снизу;

(b) f является верхней огибающей множества всех своих проскалярных аффинных минорант;

(3) Пусть f и f определены относительно двойственности X L (X, E), т. е.

Для того чтобы f = f, необходимо и достаточно, чтобы отображение f было выпукло и полунепрерывно сверху.

(4) Сублинейный оператор P : X E • полунепрерывен снизу в том и только в том случае, если 4.3.10. Теперь мы откажемся от предположения о расширенности E. Пусть E локально выпуклое K-пространство. Это означает, что E является K-пространством и снабжено отделимой локально выпуклой топологией, в которой конус E + нормален. Обозначим символом A (f ) множество всех непрерывных аффинных минорант отображения f : X E •, т. е.

Из нормальности конуса E + легко следует, что L0 (X, E) L (X, E).

Однако результаты 4.3.9 показывают, что полунепрерывный снизу выпуклый оператор лишь кусочно является верхней огибающей множества своих o-ограниченных аффинных минорант. В этой связи введем такое определение. Для множества A (E )X мы будем писать f (x) = - sup{l(x) : l A}, если для любого e E, e < f (x), найдутся ненулевой проектор Pr (E) и отображение l A такие, что e l(x) f (x). При этом полагаем (+) = +.

4.3. Инволютивность преобразования Юнга Фенхеля (1) Теорема. Пусть X локально выпуклое пространство, E локально выпуклое K-пространство. Тогда если выпуклый оператор f : X E • полунепрерывен снизу в точке x dom(f ), то (2) Если X и E те же, что и в (1), то для любого полунепрерывного снизу сублинейного оператора P : X E • имеет место представление 4.3.11. В заключение данного параграфа приведем результат о булевозначной реализации полунепрерывных снизу отображений, дающий новый взгляд на изложенное выше. Так же, как и в 2. фиксируем булеву алгебру B, и пусть R поле действительных чисел в булевозначной модели V(B). Напомним, что по теореме Гордона 2.4.3 спуск R является расширенным K-пространством. Положим E := R.

Возьмем локально выпуклое пространство (X, ). Легко проверить, что (X, ) есть топологическое векторное пространство над полем R внутри V(B). В силу принципа переноса П4.6 (1) и принципа максимума П4.6 (3) существует элемент X V(B) такой, что пополнение (X, )]] = 1. Как обычно, мы будем считать, [[X что выполнено соотношение [[X плотное R -линейное подмножество X ]] = 1. Вновь используя принцип переноса, замечаем, что [[X полное локально выпуклое пространство]] = 1.

Теорема. Пусть полунепрерывное снизу отображение. Тогда существует единственный элемент V(B) такой, что [[ : X R • полунепрерывная снизу функция ]] = для всех x X. Наоборот, если V(B) и [[ : X R • полунепрерывная снизу функция ]] = 1, 44 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления причем для каждого x X либо [[ (x ) = +]] = 1, либо [[ (x ) < +]] = 1, то существует единственное полунепрерывное снизу отобX E •, для которого =. Соответствие ражение обладает следующими свойствами:

(1) выпукло (сублинейно или линейно) [[ выпукла (сублинейна или линейна)]] = 1;

Покажем, что отображение : X E полунепрерывно снизу, если и только если : X R • полунепрерывная снизу функция внутри V(B). Последнее означает, что выполняется равенство Вычисление оценок для первых двух кванторов общности приводит к следующей эквивалентной формулировке: для любых x0 X и e E должно быть или Заметим, что [[e < (x0 )]] в том и только в том случае, если e (x0 ). Следовательно, используя принцип перемешивания, можно найти разбиение ( ) проектора на компоненту { (x0 ) e} такое, что e (x) для всех x. Суммируя сказанное, заключаем, что [[ полунепрерывна снизу]] = 1 лишь в том случае, если выполнено условие: для всех x0 X и e E, e f (x0 ), существует разбиение ( ) проектора := [ (x0 ) e] такое, что e (x) при x. Последнее же есть условие полунепрерывности снизу отображения ввиду 4.3.2. Пусть cl (epi ( )) замыкание надграфика epi( ) X R в пространстве X R. Тогда внутри V(B) существует единственная полунепрерывная снизу функция : X R •, определяемая условием epi( ) = cl (epi ( )). При этом будет [[(x x ) ( (x) = (x))]] = 1, т. е. [[ (x) = (X )]] = для всех x X. Так как полунепрерывная снизу функция однозначно восстанавливается по своим значениям на плотном множестве, то верно и обратное, т. е. для полунепрерывной снизу функции : X R • при указанном условии имеется и притом единственX E • (а именно, ное полунепрерывное снизу отображение Оставшиеся утверждения сводятся к несложным вычислениям.

4.4. Операторы Магарам Субдифференцирование интегральных функционалов или операторов играет в выпуклом анализе такую же важную роль, какая в вариационном исчислении принадлежит правилу дифференцирования интеграла по параметру. Однако явление перестановочности операций субдифференцирования и интегрирования оказывается сложнее своего классического аналога и требует привлечения довольно тонких функционально-аналитических методов. Исследование указанного явления неразрывно связано с анализом специального класса сублинейных операторов, которому и посвящен настоящий параграф.

4.4.1. Пусть X и E некоторые K-пространства и P возрастающий сублинейный оператор из X в E. Говорят, что P удовлетворяет условию Магарам (= обладает свойством Магарам), если для любых x X + и e1, e2 E + из равенства P (x) = e1 +e2 следует существование таких x1, x2 X +, что x = x1 + x2 и P (xl ) = el (l := 1, 2).

Возрастающий порядково непрерывный сублинейный оператор, удовлетворяющий условию Магарам, называют сублинейным оператором Магарам. Заметим, что для линейного положительного оператора T : X E указанное здесь условие Магарам выполняется лишь в том случае, если T ([0, x]) = [0, T x] для всех x X +. Итак, линейный оператор Магарам это порядково непрерывный положительный оператор, сохраняющий порядковые отрезки.

Символом XP обозначим носитель P, т. е.

46 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Пусть, кроме того, Ep := {P (|x|) : x X}dd и Dm (P ) наибольший фундамент в максимальном расширении m(X) пространства X (см. 2.4.8), на который распространяется P по o-непрерывности. Таким образом, z Dm (P ) в том и только в том случае, если z m(X) и множество {P (x) : 0 x |z|} ограничено в E. Будем говорить, что сублинейный оператор Q : X E абсолютно непрерывен относительно P, если Q(x) {P (x)}dd для всех x X. Обозначим символом Orth (E) множество всех упорядоченных пар (, D ()) таких, что Orth(m(E)) и D () := {e E : e E}. Заметим, что алгебра ортоморфизмов Orth(m(E)) является расширенным K-пространством. Кроме того, сопоставление (, D ()) осуществляет биекцию Orth(m(E)) на Orth (E). Таким образом, на множестве Orth(E) имеется естественная структура f -алгебры и расширенного K-пространства.

4.4.2. Примеры.

(1) Всякий возрастающий сублинейный функционал удовлетворяет условию Магарам.

(2) Оператором Магарам является любой сублинейный ортоморфизм, т. е. возрастающий сублинейный оператор, действующий в K-пространстве и оставляющий инвариантной всякую компоненту.

(3) Пусть E произвольное K-пространство, A произвольное множество. Обозначим символом l1 (A, E) совокупность всех o-суммируемых семейств элементов E, индексированных посредством A:

Определим операторы P и T из l1 (A, E) в E формулами Тогда l1 (A, E) с естественными линеаризацией и упорядочением есть K-пространство, а P и T соответственно сублинейный и линейный операторы Магарам. Как видно, T P.

(4) Пусть l (A, E) пространство всех порядково ограниченных отображений из A в E. Нетрудно убедиться, что канонический сублинейный оператор A,E удовлетворяет условию Магарам.

Однако A,E не является оператором Магарам для бесконечного A, так как в этом случае нарушается условие порядковой непрерывности. Тем не менее сужение A,E на l1 (A, E) есть оператор Магарам.

В частности, оператором Магарам является конечно-порожденный канонический оператор n := {1,...,n},E : E n E, n : (e1,..., en ) (5) Пусть (Q,, µ) вероятностное пространство, а E банахова решетка. Рассмотрим пространство X := L1 (Q,, µ, E) интегрируемых по Бохнеру E-значных функций, и пусть P : X E интеграл Бохнера от положительной части Если банахова решетка E порядково полна и имеет порядково непрерывную норму (x 0 x 0), то X является K-пространством при естественном упорядочении (f 0 f (t) 0 для почти всех t Q), P сублинейный оператор Магарам.

4.4.3. Теорема. Пусть X и E некоторые K-пространства, а P сублинейный оператор Магарам из X в E. Тогда существует линейный и решеточный изоморфизм h расширенного K-пространства Orth (EP ) на правильное K-подпространство Orth (XP ) такой, что выполнены условия:

(1) h (Pr (EP )) является правильной подалгеброй булевой алгебры Pr (XP );

(2) h(Z (EP )) подрешетка и подкольцо в Z(XP );

(3) для любого возрастающего o-непрерывного сублинейного оператора Q : X E, абсолютно непрерывного Не ограничивая общности, можно предположить, что X = Xp и E = Ep. Для каждой компоненты L K-пространства E положим h(L) := {x X : P (|x|) L}. Ввиду сублинейности P множество h(L) есть векторное подпространство в X, причем h ({0}) = 48 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления и h(E) = X. Более того, h(L) есть компонента в X для любого L B (E). (Везде B (E) булева алгебра компонент в E.) т. е. y L, что и доказывает нормальность подпространства h(L).

Пусть множество A h(L) X + направлено вверх и ограничено сверху элементом x0 X +. Тогда множество P (A) L ограничено сверху элементом P (x0 ) и, учитывая o-непрерывность оператора P, получаем Тем самым sup (A) L. Отсюда заключаем, что h(L) есть компонента в X.

Легко заметить, что отображение h : B (E) B (X) изотонно:

L1 L2 влечет h(L1 ) h(L2 ). Покажем, что h инъективно. Предположим для этого, что h(L1 ) = h(L2 ) для некоторых L1, L2 B (E) и тем не менее L1 = L2. Возьмем элемент 0 < e L1 такой, что edL2. Так как e L1 E = P (X)dd, то найдутся 0 < c1 E и 0 < x X такие, что c1 e P (x). Если e2 := P (x) e1, то, благодаря условию Магарам, x = x1 + x2 и P (xl ) = el (l := 1, 2) для некоторых 0 < xl X (l := 1, 2). Но тогда x1 h(L1 ) и x1 h(L2 ), что противоречит предположению h(L1 ) = h(L2 ). Это доказывает инъективность h.

Пусть B упорядоченное по включению множество компонент в X, совпадающее с образом h, т. е. B := {h(L) : L B (E)}.

Установленное выше означает, что h изоморфизм упорядоченных систем B (E) и B. Выясним, какие операции в B соответствуют булевым операциям в B (E) при изоморфизме h. Прежде всего отметим, что Далее, пусть L1 L2 дизъюнктное разложение K-пространства E.

Тогда h(L1 ) h(L2 ) = {0}. Если же x X, то P (x) = e1 + e2, где el := PrLl (e) (l := 1, 2), стало быть, в силу условий Магарам для P существуют такие x1 и x2 из X +, что |x| = x1 + x2 и P (xl ) = el (l := 1, 2). Далее, для некоторых x1, x2 X имеем x = x1 + x2 и |xl | = xl (l := 1, 2). Последнее дает x1 h(L1 ) и x2 h(L2 ). Следовательно, X есть алгебраическая прямая сумма подпространств h(L1 ) и h(L2 ). Более того, если xl h(Ll ) (l := 1, 2), то P (|x1 | |x2 |) P (|x1 |) P (|x2 |) L1 L2 = {0}. Значит, P (|x1 | |x2 |) = 0 и, благодаря существенной положительности P (X = XP ), получим x1 dx2.

Итак, компоненты h(L1 ) и h(L2 ) образуют дизъюнктное разложение K-пространства X. Тем самым h(Ld ) = h(L)d для всех L B (E).

Поскольку отображение h : B (E) B сохраняет точные нижние границы и дополнения, оно является o-непрерывным мономорфизмом B (E) на o-замкнутую (правильную) подалгебру B базы B (X). Пусть B булева алгебра проекторов на компоненты из B, и обозначим тем же символом h соответствующий изоморфизм из Pr (E) на B Pr (X). Тогда по определению изоморфизма h будет h()x = 0 при x h( (E)d ) и h()x = x при x h((E)) для каждого Pr (E).

Рассмотрим какой-либо сублинейный оператор Q : X E, абсолютно непрерывный относительно P. По определению изоморфизма h для B (E) и x X выполнено Следовательно, d Q h() = 0 или Q h() = Q h(). Заменив в предыдущих рассуждениях на d, получим Q h( d ) = 0.

Отсюда Q h(). Тем самым мы приходим к требуемому соотношению Q = Q h(). Изоморфизм h продолжается единственным образом до изоморфизма пространства Orth (E) на правильное подпространство в Orth (X), образованное теми элементами из Orth (X), спектры которых принимают свои значения в булевой алгебре B = h (Pr (E)). Этот изоморфизм обозначим тем же симвоn разбиение единицы в алгебре Pr (E), то, очевидно, l Q = l Q (l h(l )) = l Q h() для всех l. Суммирование по l дает Q = Q h(). Наконец, если Orth (E)+, то = sup ( ) для некоторого фильтрованного вверх семейства ( ) в Z(E). Элеменn ты же Z(E) являются r-пределами ортоморфизмов вида l=1 l l.

Таким образом, для завершения доказательства остается лишь привлечь o-непрерывность оператора Q.

50 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления 4.4.4. Пусть X и E некоторые K-пространства и T : X E регулярный оператор такой, что |T | оператор Магарам. Тогда если (T x)+ > 0 для некоторого x X +, то существует такой проектор Pr (X), что T (x) > 0 и оператор T положителен.

Пусть T x 0, и рассмотрим множество всех проекторов Pr (X), удовлетворяющих неравенству 0 T x. Легко видеть, что = и в силу порядковой непрерывности оператора T всякая цепь в ограничена сверху. Следовательно, по лемме Куратовского Цорна существует максимальный элемент 0 множества. Если проектор 0 < 1 0 таков, что T 1 x 0, то и приходим к противоречию: 0 < 0 + 1. Значит, T 1 x для любого 0 = 1 [0, 0 ]. Покажем, что всякий такой проектор на самом деле удовлетворяет неравенству T 1 x 0. Для этого предположим, что 1 = 0, 1 d0 и (T 1 x) > 0. Пусть проектор на компоненту, порожденную элементом (T 1 x). Тогда 0 > T 1 x и в силу теоремы 4.3.3 имеем T h()1 x < 0. Отсюда вытекает, в частности, что h() 1 > 0, а поскольку h() 1 d0, то, благодаря упомянутому выше свойству проектора 0, получаем T h() 1 x 0. Это противоречие показывает, что T 1 x > 0 для всех 1 = 0, 1 d0. Пусть, наконец, [x] проектор на компоненту, T (ey ) = T 0 (ey ) = T 0 [ey ]x 0. Привлекая спектральную теорему Фрейденталя, известную из теории K-пространств, окончательно получим:

4.4.5. Теорема. Пусть X и E некоторые K-пространства и T : X E существенно положительный оператор Магарам. Тогда существует изоморфизм булевой алгебры G (T ) единичных элементов {T }dd на Pr (X) такой, что T (S) = S для всех S G (T ).

Пусть T0 единственное o-непрерывное продолжение оператора T на Dm (T ). Тогда сопоставление каждому оператору S G (T0 ) его сужения на X есть изоморфизм булевых алгебр G (T0 ) и G (T ). Булевы алгебры Pr (X) и Pr (Dm (T )) также изоморфны. Тем самым, не ограничивая общности, мы можем предполагать X = Dm (T ). Всякому проектору Pr (X) поставим в соответствие оператор () := T. Тогда возрастающее отображение из Pr (T ) в {T }dd, причем (0) = 0 и (IX ) = T. Ясно, что если проекторы и дизъюнктны, то носители операторов () и () также дизъюнктны, поэтому ()d(). Кроме того, для Pr (X) справедливы равенства следовательно, ( d ) = ()d. Итак, () G (T ) для всех Pr (X).

Рассмотрим два произвольных проектора 1 и 2 из Pr (X). Поскольку проекторы l := l 1 2 (l := 1, 2) дизъюнктны, то операторы (1 ) и (2 ) также дизъюнктны. С другой стороны, Значит, (1 2 ) = (1 ) (2 ). Таким образом, гомоморфизм булевой алгебры Pr (X) в булеву алгебру G (T ). Из существенной положительности оператора T следует, что если () = 0 для некоторого Pr (X), то = 0. Это означает, что на самом деле является мономорфизмом, и осталось установить его сюръективность.

Пусть S G (T ), и рассмотрим множество Пользуясь леммой Куратовского Цорна, покажем, что содержит максимальный элемент. В самом деле, непусто и для линейно упорядоченного множества ( ) в множество (T ) ограничено, так как оно содержится в [0, S]. Но тогда из предположения 52 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления X = Dm (T ) вытекает, что ( ) ограниченное множество. Если 0 := sup { : }, то 0 = o- lim и благодаря порядковой непрерывности оператора T имеем:

т. е. 0. Таким образом, в множестве имеется максимальный элемент. Покажем, что T = S. Для этого предположим противное, и пусть оператор S1 := ST принимает строго положительное значение на некотором 0 < x0 X. Тогда при подходящих 0 < < 1 и 0 = Pr (E) имеем (S1 x0 T x0 ) > 0. Оператор |S1 T | абсолютно непрерывен относительно T и по теореме 4.4.3 является оператором Магарам. Согласно предложению 4.4. существует такой проектор Pr (X), что (S1 T ) x0 > 0 и (S1 T ) 0. Первое из этих соотношений влечет > 0, что противоречит максимальности в. Этим обосновано соотношение S = T. Далее, по условию, S (T S) = 0, значит, 0 = (T )(T (Ix )) T ( (Ix )) 0. Последнее ввиду существенной положительности T приводит к равенству (IX ) = 0, равносильному включению Pr (X). Сюръективность тем самым доказана. Осталось заметить, что := 1 и есть искомый изоморфизм, ибо T (S) = (S) = S.

4.4.6. Отметим следующие следствия теорем 4.4.3 и 4.4.5.

операторы S1 и S2 из компоненты {T }dd дизъюнктны в том и только в том случае, если дизъюнктны их носители XS1 и XS2.

Дизъюнктность носителей XS1 и XS2 влечет, очевидно, дизъюнктность операторов S1 и S2 (этот факт не зависит от условия Магарам и верен для любых регулярных операторов). Для доказательства обратного заметим сначала, что если T1 и T2 положительные o-непрерывные операторы и T1 {T2 }dd, то XT1 XT2. В самом деле, допустив противное, можно подобрать такой проектор, что 0 < T1 T1 и XT1 dXT2, а это в силу предыдущего замечания противоречит включению T1 {T2 }dd.

Пусть теперь S1 и S2 дизъюнктны. Тогда дизъюнктны также проекторы T1 и T2 оператора T на компоненты {S1 }dd и {S2 }dd. С другой стороны, XSl = XT в силу сделанных выше замечаний. По теореме 4.4.5 должно быть XT1 dXT2, поэтому XS1 dXS2.

сублинейный оператор. Тогда равносильны условия:

(a) P удовлетворяет условию Магарам;

(b) существует изоморфизм h булевой алгебры Pr (EP ) на правильную подалгебру булевой алгебры Pr (XP ) такой, что P = P h() для всех Pr (EP );

(c) на Xp можно определить структуру упорядоченного модуля над кольцом Z(EP ) так, что естественное линейное представление Z(EP ) в XP есть кольцевой и решеточный изоморфизм Z(EP ) на подкольцо и подрешетку в Z(XP ), а оператор P является Z(EP )+ однородным.

4.4.7. Теорема. Для любого o-непрерывного сублинейного оператора P : X E равносильны утверждения:

(2) множество P состоит из операторов Магарам.

В силу 1.4.14 (2) P возрастает тогда и только тогда, когда P L+ (X, E). Если P оператор Магарам, то согласно 4.4.6 (2) он будет модульно сублинейным, а по 2.3.15 любой оператор T P является модульным гомоморфизмом. Допустив, что 0 e T x, можно подобрать такой ортоморфизм 0 IE, что e = (T x) = T h()x. Следовательно, T сохраняет отрезки, ибо 0 h() IX.

Порядковая непрерывность T P очевидна.

Предположим, что P состоит из операторов Магарам. Не ограничивая общности, положим X = XP. Обозначим Q(x) := P (x+ ) для x X. Ясно, что Q сублинейный оператор.

Поскольку Q = {[0, T ] : T P }, то Q также состоит из операторов Магарам. Если покажем, что Q оператор Магарам, то это же самое, разумеется, верно и для P. Пусть (T ) максимальное семейство попарно дизъюнктных элементов Q, которое существует в соответствии с леммой Куратовского Цорна. Если S (Q)dd, S > 0, то 0 < S0 S для некоторого S0 Q. Следовательно, S не может быть дизъюнктным всем T. Таким образом, (Q)dd = {T : }dd. Для произвольных индексов и рассмотрим оператор T := (1/2)T +(1/2)T. Так как T Q, то по условию T оператор Магарам, причем T и T абсолютно непрерывны относительно T. В силу 4.4.6 (1) носители XT и XT операторов T и T дизъюнктны. Нетрудно видеть, что (X := XT ) полная 54 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления система компонент в X. По теореме 4.4.3 для каждого существует o-непрерывный гомоморфизм h булевой алгебры Pr (EP ) на правильную подалгебру B булевой алгебры Pr (X ) такой, что T = T h() при Pr (EP ). При этом считаем всякий проектор BP действующим на всем X, т. е. считаем, что Pr (X ) Pr (X).

Определим отображение h : Pr (EP ) Pr (X) по формуле Нетрудно видеть, что h изоморфизм Pr (EP ) на некоторую правильную подалгебру в Pr (X). Пусть теперь S Q и S := S, где проектор на компоненту X. Тогда S = sup (S ) и, кроме того, справедливы равенства Наконец, учитывая, что Q есть верхняя огибающая своего опорного множества Q, получаем Остается сослаться на 4.4.6 (2).

4.4.8. В дальнейшем нам потребуется еще один факт о представлении порядково непрерывных операторов. Пусть X и E некоторые K-пространства, а m(X), как обычно, максимальное расширение пространства X с фиксированной алгебраической и порядковой единицей 1. Предположим, что на некотором фундаменте D ( ) m(X) определен существенно положительный оператор Магарам, действующий в E, причем D ( ) = Dm ( ). Пусть X0 := X D ( ), 0 сужение оператора на фундамент X0 и примем 0 за единицу в компоненте { 0 } Обозначим символом L (X, E) множество всех регулярных oнепрерывных операторов из X в E, ограничение которых на X0 входит в компоненту { 0 }dd, т. е.

Как видно, оператор S входит в L (X, E), если и только если он есть продолжение по o-непрерывности некоторого S0 { 0 }dd. Отсюда, в частности, следует, что L (X, E) компонента в Ln (X, E).

Рассмотрим множество X m(X), определенное соотношением 4.4.9. Теорема. Множество X является фундаментом в пространстве m(X), линейно и решеточно изоморфным пространству L (X, E). Изоморфизм осуществляется сопоставлением элементу x X оператора Sx L (X, E) по формуле Тот факт, что X нормальное подпространство в m(X), виден непосредственно из определений. С другой стороны, базы пространств L (X, E) и m(X) изоморфны согласно 4.4.5. Поэтому X будет фундаментом m(X), если только установить требуемый изоморфизм пространств m(X) и L (X, E).

Очевидно, что если x X, то Sx регулярный порядково непрерывный оператор из X в E. Заметим, что 0 оператор Магарам. Следовательно, если e G (1), т. е. e единичный элемент относительно 1, то по теореме 4.4.5 оператор Se является единичным элементом относительно 0, а потому Se { 0 }dd. Пусть (ex )R характеристика элемента x. Тогда по спектральной теореме Фрейденталя где интеграл в правой части есть r-предел интегральных сумм вида n +. Отсюда видно, что оператор Sx имеет представление т. е. оператор Sx получается из операторов вида Se, e := ex, посредством операций суммирования и o-предельного перехода. Так как 56 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления всякая компонента замкнута относительно этих операций, то должно быть Sx { 0 }dd. Таким образом, S0 { 0 }dd и Sx L (X, E).

Ясно также, что сопоставление x Sx есть инъективный линейный оператор из X в L (X, E) и при этом x 0 в том и только в том случае, если Sx 0.

Осталось показать, что для любого S L (X, E) найдется x X такой, что S = Sx. В самом деле, пусть T сужение S на X0, и рассмотрим характеристику (eT )R оператора T (относительно единицы 0 ). В силу 4.4.5 семейство (h (eT ))R есть разложение единицы в G (1), следовательно, для некоторого x m(E) имеем ex = h (eT ) при всех R. Более того, для любых R и x X0. Отсюда, привлекая спектральную теорему Фрейденталя и элементарные свойства o-суммируемых семейств, получаем для любого x X + соотношения Допустим теперь, что x X, (x ) X и sup (x ) = x. Тогда (x · x ) S(x), а поскольку D ( ) = Dm ( ), то семейство (x · x ) ограничено в D ( ). Значит, x · x D ( ) и Sx = (x · x ). Таким образом, x X и справедливо требуемое представление.

4.4.10. Изложенного в этом параграфе достаточно для того, чтобы подметить некоторую аналогию между операторами Магарам и o-непрерывными изотонными сублинейными функционалами и заподозрить справедливость положения: любой факт о функционалах указанного вида должен иметь свой параллельный вариант и для операторов Магарам. Теория булевозначных моделей вскрывает всю глубину такой аналогии и позволяет превратить высказанное эвристическое соображение в точный последовательный метод. Приведем без доказательства лишь один результат в этом направлении.

Так же, как и в 2.4.3 предполагаем, что B полная булева алгебра иR поле вещественных чисел в булевозначном универсуме V(B).

Теорема. Пусть X произвольное K-пространство, а E расширенное K-пространство R. Допустим, что P : X E сублинейный оператор Магарам, причем X = XP = Dm (P ) и E = EP.

Тогда существуют такие X и p V(B), что справедливы утверждения:

o-непрерывный изотонный сублинейный функционал, причем X = Xp = Dm (p)]] = 1;

(3) существует линейный и решеточный изоморфизм h из X на X такой, что P = P h;

(4) оператор P линеен в том и только в том случае, если внутри V(B) линеен функционал p;

(5) для линейного оператора верно включение P в том и только в том случае, если существует V(B), для которого 4.5. Дезинтегрирование В этом параграфе мы будем интересоваться равенством (T P ) = T P, а также родственными формулами для вычисления опорных множеств, сопряженных операторов, -субдифференциалов и т. п. Явление, выраженное этими формулами, называют дезинтегрированием, а сами эти формулы формулами дезинтегрирования.

Общие приемы дезинтегрирования унифицируют в привычной форме правил исчисления разнообразные факты теории K-пространств, в основе которых лежит теорема Радона Никодима. Здесь легко установить аналогию с тем, что исчисление опорных множеств дает единый подход к различным вариантам принципов продолжения, основанный на применении теоремы Хана Банаха Канторовича.

4.5.1. Рассмотрим K-пространства E и F, а также векторное пространство X. Пусть P : X E сублинейный оператор и T :EF положительный оператор. Тогда оператор T P сублинеен и выполнено очевидное включение (T P ) T T. Простые примеры убеждают, что это включение часто оказывается строгим.

58 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Так, если X = E и оператор P : E E действует по правилу e e+, Однако равенство [0, T ] = T [0, IE ] есть не что иное, как ограниченная версия теоремы Радона Никодима: для всякого оператора Последнее утверждение неверно уже для оператора T : R2 R2, T x := (f (x), f (x)) (x R2 ), где f : R2 R линейный положительный функционал.

Если для положительного оператора T : E F выполняется соотношение [0, T ] = T [0, IE ], то T удовлетворяет условию Магарам.

e E +. Если P (e) = T (e+ ), то P сублинейный оператор, причем P (e) = 0 f P (e) = T e. В силу 1.4.14 (3) существует S P = [0, IE ] такой, что f = Se. По условию S = T для подходящего самым T сохраняет порядковые отрезки.

4.5.2. Теорема. Пусть E и F некоторые K-пространства и Q сублинейный оператор Магарам из E в F. Тогда для любого векторного пространства X и произвольного сублинейного оператора P из X в E имеет место формула Напомним, что имеет место следующее правило линеаризации (см. 2.1.6 (3)):

Поэтому, принимая в расчет теорему 4.4.9, достаточно показать справедливость представления (T P ) = T P для произвольного линейного оператора Магарам T из E в F. Пусть D стоуновский компакт базы K-пространства E, а B (D) алгебра открытозамкнутых подмножеств D. Не ограничивая общности, можно предположить, что E является фундаментом в K-пространстве C (D) и функция, равная тождественно единице, входит в E. Рассмотрим пространство St(D, X) всех X-значных ступенчатых функций на D, т. е. u St(D, X) в том и только в том случае, если u := l=1 xl el для некоторых x1,..., xn X и e1,..., en B (D) (как обычно, e характеристическая функция множества e D). Обозначим символом [e] проектор в E, соответствующий открыто-замкнутому множеству e. Легко видеть, что соотношение корректно определяет сублинейный оператор P из St(D, X) в F.

Предположим, что A (T P ), и рассмотрим оператор A0 :

x · D Ax на подпространстве постоянных X-значных функций По теореме Хана Банаха Канторовича существует линейный оператор A : St(D, X) F такой, что A P и A продолжение A0 на все St(D, X).

Теперь для любого x X определим функцию x : B (D) F, полагая x (e) := A (xe ). Из определения x и из очевидного неравенства следует, что x аддитивная o-непрерывная функция.

Пусть Dm (T ) C (D) максимальная область определения оператора T, а E E1 C (D) и E2 C (D) таковы, что y Ek в том и только в том случае, если y · El Dm (T ) (k = l; k, l := 1, 2).

Определим оператор Sx : E2 F равенством где (ey ) характеристика элемента y E2.

60 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления Ограниченность x и существование интеграла для любого y E2 следуют из указанного выше неравенства для x, стало быть, Sx порядково непрерывный регулярный оператор, причем |Sx | T, где : E2 Dm (T ), : y y · (P (x) P (x)). Таким образом, Sx LT (E2, F ) для любого x X. Пусть теперь U : LT (E2, F ) E1 изоморфизм из теоремы 4.4.9 и V : x Sx оператор и для любых x X и e B(D) имеем С другой стороны, по определению x выполняются неравенства Из этих соотношений следует, что T S = A и S P. В частности, S L(X, E), что и доказывает требуемое, так как оставшееся неустановленным противоположное включение очевидно.

Комбинируя теорему 4.5.2 с техникой замены переменной в преобразовании Юнга Фенхеля, можно получить целый ряд формул дезинтегрирования для сопряженных операторов, -субдифференциалов. Приведем несколько примеров.

Сначала введем необходимые понятия. Выпуклый оператор f :

X E называют регулярным, если существуют элементы e1, e2 E и сублинейный оператор P : X E такие, что Если, кроме того, X также K-пространство, оператор f возрастает и o-непрерывен, а P оператор Магарам, то говорят, что f выпуклый оператор Магарам.

Нетрудно видеть, что выпуклый оператор f регулярен в том и только в том случае, если он допускает представление f = A,E A, где A слабо порядково ограниченное множество в L(X, E), u l (A, E), а A аффинный оператор из X в l (A, E), действующий по правилу 4.5.3. Теорема. Пусть f : X E регулярный выпуклый оператор, а g : E F выпуклый оператор Магарам. Тогда для любого S L(X, F ) имеет место точная формула Заметим прежде всего, что если T L+ (E, F ), S L(X, E) (g f ) (S) = +, то требуемая формула справедлива. Предположим, что S dom((g f ) ). Тогда в соответствии с правилом вычисления преобразования Юнга Фенхеля, установленного в 4.1.9 (2), существует оператор T dom(g ) такой, что По условию существуют сублинейный оператор Магарам P и элементы e1, e2 E, для которых P (e) + e1 g(e) P (e) + e2. Отсюда вытекает включение dom(g ) P, и в силу теоремы 4.4.5 заключаем, что T оператор Магарам.

Воспользуемся представлением f = A,E A u, где A и u те же, что и в 4.5.2. Применив формулу 4.1.9 (4) к сублинейному оператору T A,E и аффинному оператору A u и принимая во внимание соотношение (T A,E ) = T A,E, получим:

Поскольку последняя формула точная, найдется оператор A,E такой, что T A = S и (T f ) (S) = T (u). Пусть U := A, и снова воспользуемся правилом замены переменной в преобразовании Юнга Фенхеля, на этот раз для суперпозиции A,E A u. Тогда следовательно, Из всего сказанного следует, что T U = S и T f (U ) + g (T ) (g f ) (S), а это означает справедливость требуемого представления.

4.5.4. Стоит отметить два частных случая установленной теоремы.

аP :EF сублинейный оператор Магарам, то для любого S L(X, F ) имеет место точная формула (2) Если f то же, что и в (1), а T : E F линейный оператор Магарам, то для каждого S L(X, E) верна точная формула получаем точную формулу но при более жестком требовании о регулярности операторов f1 и f2, чем в 4.1.5 (1).

4.5.5. Приведем теперь несколько простых следствий, соответствующих примерам 4.4.2.

(1) Будем говорить, что семейство выпуклых операторов f : X E ( A) равномерно регулярно, если найдутся c := (c )A, e := (e )A l1 (A, E) и семейство сублинейных операторов P : X E ( A) такие, что существует сумма A P (x) для всех x X и при всех A. Очевидно, что если (f )A равномерно регулярное семейство выпуклых операторов (при этом (f (x))A l1 (A, E)), то корректно определен оператор причем f регулярный выпуклый оператор. В этой ситуации для каждого S L(X, E) справедлива точная формула где равенство A S = S здесь и всегда в дальнейшем означает, что A S x = Sx для всех x X.

(2) Пусть вновь (f ) равномерно регулярное семейство выпуклых операторов. Так как l1 (A, E) l (A, E), то (f (x))A входит в l (A, E). Значит, можно определить регулярный выпуклый оператор f : X E формулой При этом для каждого S L(X, E) имеет место точная формула те же, что и в 4.4.2 (5). Пусть : X L1 (Q,, µ, E) регулярный выпуклый оператор и Тогда для любого S L(X, E) имеет место точная формула 4.5.6. Теорема. Пусть f : X E регулярный выпуклый оператор и g : E F выпуклый оператор Магарам. Тогда для любых x X и F + имеет место представление 64 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления E +, то по определению В частности, T dom(g ), поэтому T 0. Применив T к первому из указанных неравенств и воспользовавшись вторым, получим Отсюда, благодаря произвольности x X, имеем T U (gf )(x).

Покажем обратное включение. Для этого рассмотрим оператор S (g f )(x). По формуле -субдифференцирования суперпозиции (см. 4.2.11 (2)) найдутся, µ F +, а также оператор T g(f (x)) такие, что = + µ и S µ (T f )(x). Последнее означает, что (T f ) (S) + T f (x) Sx + µ. В силу 4.5.4 (2) существует оператор самым или, что то же самое, T g(f (x)). Следовательно, S входит в правую часть требуемого равенства.

4.5.7. Приведем несколько следствий теоремы 4.5.6, несложные доказательства которых оставляем читателю.

линейный оператор Магарам, то справедливо представление E + и x X. Тогда имеет место представление Здесь же уместно отметить, что при A = N и = 0 получается субдифференциальный вариант классического правила почленного дифференцирования рядов:

A}. Тогда для любых x X и E + справедливо представление где объединение берется по всем E и семействам ( )A E и ( )A Orth(E), удовлетворяющим условиям:

(4) Пусть, f и E удовлетворяют условиям из 4.5.5 (2).

Тогда для каждых x X и E + выполняется представление операторы, а S : E F линейный оператор Магарам. Тогда верно представление 66 Гл. 4. Аппарат субдифференциального исчисления где объединение взято по наборам S1,...,Sn L(E, F ) и 1,...,n E таким, что 4.5.8. Можно получить более специальные формулы дезинтегрирования, используя теорию лифтинга или измеримых селекторов. Мы воздержимся от подобных детализаций. В заключение отметим только одно прямое обобщение оригинальной теоремы Штрассена о дезинтегрировании, которое можно легко получить из 4.5.7 (1) при = 0. Если X и E нормированные пространства, то для непрерывного сублинейного оператора P : X E положим P := Теорема. Пусть (Q,, µ) пространство с полной конечной мерой и E порядково полная банахова решетка с порядково непрерывной нормой. Рассмотрим сепарабельное банахово пространство X и семейство (Pt )tQ непрерывных сублинейных операторов Pt :



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
Похожие работы:

«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК ЕВРОПЕЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК ОБЩЕСТВО ГЕРОНТОЛОГОВ КАЗАХСТАНА С. А. САЛЕХОВ ПСИХОЭМОЦИОНАЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИОННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОЖИРЕНИЯ Монография ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД - АЛМАТЫ УДК 613.25...»

«1 Иркутская государственная сельскохозяйственная академия Библиотека К 80-летию ИрГСХА ТРУДЫ СОТРУДНИКОВ ИРКУТСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ АКАДЕМИИ Библиографический указатель (2009-2013 гг.) Иркутск 2014 2 УДК 016 ББК 91.3 Т 78 Печатается по решению научно-методического совета Иркутской государственной сельскохозяйственной академии Составители: Л. Ф. Мкртчян, Е. Т. Гутник Программное обеспечение АИБС ИРБИС: М. П. Чернакова Ответственный за выпуск : М. З. Ерохина Труды сотрудников...»

«УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. А.А. ДОРОДНИЦЫНА РАН Ю. И. БРОДСКИЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЕ ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. А.А. ДОРОДНИЦЫНА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК МОСКВА 2010 УДК 519.876 Ответственный редактор член-корр. РАН Ю.Н. Павловский Делается попытка ввести формализованное описание моделей некоторого класса сложных систем. Ключевыми понятиями этой формализации являются понятия компонент, которые могут образовывать комплекс, и...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВОЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВПО СПбГТЭУ) ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБЛАСТИ ПИЩЕВЫХ ПРОДУКТОВ И ПРОДУКЦИИ ОБЩЕСТВЕННОГО ПИТАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО НАЗНАЧЕНИЯ Коллективная монография САНТК-ПЕТЕРБУРГ 2012 УДК 664(06) ББК 39.81 И 66 Инновационные технологии в области пищевых...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тюменский государственный нефтегазовый университет Научно-исследовательский институт прикладной этики В. И. Бакштановский Ю. В. Согомонов ПРИКЛАДНАЯ ЭТИКА: ЛАБОРАТОРИЯ НОУ-ХАУ Том 1 ИСПЫТАНИЕ ВЫБОРОМ: игровое моделирование как ноу-хау инновационной парадигмы прикладной этики Тюмень ТюмГНГУ 2009 УДК 174.03 ББК 87.75 Б 19 Рецензенты: профессор, доктор философских наук Р. Г....»

«В. П. Казначеев Е.А. Спирин КОСМОПЛАНЕТАРНЫЙ ФЕНОМЕН ЧЕЛОВЕКА АКАДЕМИЯ МЕДИЦИНСКИХ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ КЛИНИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ МЕДИЦИНЫ В.П. КАЗНАЧЕЕВ Е.А. СПИРИН КОСМОПЛАНЕТАРНЫЙ ФЕНОМЕН ЧЕЛОВЕКА Проблемы' : AV ; комплексного изучения Ответственный редактор доктор медицинских наук JI.M. Н е п о м н я щ и х ИГОНБ Новосибирск НОВОСИБИРСК НАУКА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ББК 15. К Рецензенты доктор...»

«С. В. Сигова Восполнение кадрового дефицита на рынке труда Российской Федерации ББК 65.24 УДК 331 С34 Рецензенты: Рудаков М. Н., доктор экономических наук, профессор ПетрГУ Дружинин П. В., доктор экономических наук, заведующий отделом Института экономики КарНЦ РАН Сигова С. В. Восполнение кадрового дефицита на рынке труда Российской ФедераС34 ции / С. В. Сигова. – Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2009. – 188 с. ISBN 978-5-8021-1048-5 Монография посвящена вопросам совершенствования государственного...»

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.Ю. Николаева ПОЛИДИСЦИПЛИНАРНЫЙ СИНТЕЗ И ВЕРИФИКАЦИЯ В ИСТОРИИ Под редакцией д-ра ист. наук Б.Г. Могильницкого Издание подготовлено к печати в рамках проекта РФФИ №10-06-00264-а Издательство Томского универитета 2010 УДК 930.20 ББК 63 Н 63 Николаева И.Ю. Н63 Полидисциплинарный синтез и верификация в истории. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. – 410 с. ISBN 978-5–7511–1941–6 В книге представлена разрабатываемая автором исследовательская стратегия...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный экономический университет Я. Я. Яндыганов, Е. Я. Власова ПРИРОДНО-РЕСУРСНАЯ РЕНТА – ЭКОНОМИЧЕСКАЯ БАЗА РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ Под редакцией Я. Я. Яндыганова Рекомендовано Научно-методическим советом Уральского государственного экономического университета Екатеринбург 2011 УДК 333.54 ББК 65.28+65.9(Рос.) Я 60 Рецензенты: Кафедра экономической теории и предпринимательства Уральского государственного горного...»

«Министерство образования и науки РФ Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы В.Л. Бенин, Д.С. Василина РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МИРОВОЙ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ КУЛЬТУРЫ Уфа 2010 УДК 373.5.016 ББК 74.268.5 Б 48 Печатается по решению функционально-научного совета Башкирского государственного педагогического университета им.М.Акмуллы Бенин, В.Л., Василина, Д.С. Развитие творческих способностей учащихся на уроках мировой художественной культуры. – Уфа:...»

«Бюллетень новых поступлений на 31.10.2011 г. Разделы ББК 5 Здравоохранение. Медицинские науки ББК 5 Доценко, В. А. 5 экз. Д-71 Практическое руководство по санитарному надзору за предприятиями пищевой и перерабатывающей промышленности, общественного питания и торговли : [учеб. пособие] / В. А. Доценко. – 3-е изд., перераб. и доп. – СПб. : ГИОРД, 2011. – 832 с. – ISBN 978-5-98879-131-7 : 1107,00. ББК 51.2 Прохорова, Э. М. 30 П-84 Валеология : учеб. пособие / Э. М. Прохорова. – М. : Инфра-М, 2011....»

«i i i i БИБЛИОТЕКА БИОТЕХНОЛОГА Р. П. Тренкеншу, Р. Г. Геворгиз, А. Б. Боровков ОСНОВЫ ПРОМЫШЛЕННОГО КУЛЬТИВИРОВАНИЯ ДУНАЛИЕЛЛЫ СОЛОНОВОДНОЙ (DUNALIELLA SALINA TEOD.) Севастополь, 2005 i i i i i i i i УДК 639. Тренкеншу Р. П., Геворгиз Р. Г., Боровков А. Б. Основы промышленного культивирования Дуналиеллы солоноводной (Dunaliella salina Teod.) — Севастополь: ЭКОСИ–Гидрофизика, 2005. — 103 с. В монографии представлены результаты исследований продукционных характеристик Dunaliella salina Teod.,...»

«Curatio Sine Distantia! А.В. Владзимирский КЛИНИЧЕСКОЕ ТЕЛЕКОНСУЛЬТИРОВАНИЕ Руководство для врачей ДОНЕЦК – 2005 ББК 53.49+76.32 УДК 61671-001.5+61:621.397.13+61:621.398+61:681.3 ISBN 966-7968-45-6 Рецензенты: M.Nerlich, профессор, MD, PhD, президент Международного общества телемедицины и электронного здравоохранения (ISfTeH) Международный Центр телемедицины Регенсбурга, Университетская клиника, Регенсбург, Германия Ю.Е.Лях, д.мед.н., профессор, зав.каф. медицинской информатики, биофизики с...»

«НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ, доктора технических наук, профессора К.А. Пупкова и заслуженного деятеля науки РФ, доктора технических наук, профессора Н.Д. Егупова Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2007 УДК 681.5:681.3 (075.8) Издание осуществлено при поддержке ББК 14.2.6 Российского фонда фундаментальных Н56 исследований по проекту 06-08-06014-д Авторы: д-р техн. наук, проф. К.А. Пупков; д-р...»

«Медицинская геология изучает воздействие геологических объектов естественного (породы, руды, минералы, продукты эрозии, вулканической деятельности, подземные воды и др.) и техногенного происхождения (продукты переработки рудного и нерудного минерального сырья и т.д.), геологических процессов и явлений на здоровье людей и животных, состояние растений. Изучает она и обстановки, при которых такое воздействие становится возможным. Данное научное направление является, по сути, ответом на один из...»

«Н. А. ЧИСТЯКОВА ЭЛЛИНИСТИЧЕСКАЯ ПОЭЗИЯ ЛИТЕРАТУРА, ТРАДИЦИИ И ФОЛЬКЛОР ЛЕНИНГРАД ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1988 ББК 83.3(0)3 468 Р е ц е н з е н т ы : засл. деятель науки Молд. ССР, д-р филол. наук, проф. Н. С. Гринбаум, канд. филол. наук, доц. Е. И. Чекалова (Ленингр. ун-т) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Ленинградского университета Чистякова Н. А. Ч 68 Эллинистическая поэзия: Литература, традиции и фольклор. — Л.: Издательство Ленинградского...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина И.Ю. Кремер СТРАТЕГИИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕМЕЦКОГО КРИТИЧЕСКОГО ТЕКСТА Монография Рязань 2009 ББК 814.432.4 К79 Печатается по решению редакционно-издательского совета государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина в соответствии с...»

«Ю.Н. КАРОГОДИН седиментационная цикличность УДК 551.3.051 Карогодин Ю. Н. Седиментационная цикличность. M., Недра, 1980. 242 с. В книге рассмотрены вопросы, связанные с созданием науиой теории седиментационной цикличности. В ней обосновано место породио-слоевых тел - слоевых ассоциаций, циклитов среди тел геологического уровня организации материи. Рассматриваются качественные и колячеявенные методы и аряишшы выделения слоевых ассоциаций разного ранга в реа разрезах; обосновывается структурная...»

«Нанотехнологии как ключевой фактор нового технологического уклада в экономике Под редакцией академика РАН С.Ю. Глазьева и профессора В.В. Харитонова МОНОГРАФИЯ Москва 2009 УДК ББК Н Авторский коллектив: С.Ю. Глазьев, В.Е.Дементьев, С.В. Елкин, А.В. Крянев, Н.С. Ростовский, Ю.П. Фирстов, В.В. Харитонов Нанотехнологии как ключевой фактор нового технологического уклада в экономике / Под ред. академика РАН С.Ю.Глазьева и профессора В.В.Харитонова. – М.: Тровант. 2009. – 304 с. (+ цветная вклейка)....»

«УДК 332.1 (470.621) ББК 65.049 (2Рос.Ады) К 26 КАРПЕНКО С.В. Региональная экономическая система как квазикорпорация: функции, структура и инструменты управления (на материалах Республики Адыгея). [Электронный ресурс]: монография. / С.В. Карпенко, А.Ш. Хуажева [Электрон. дан. (2,1 Мб)]. – Майкоп: ООО МирИТ, 2011. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM); 12 см. – Систем. требования: Intel Pentium (или аналогичный процессор других производителей) 1 ГГ; 512 Mb RAM; свободное место на HDD 65 Mb;...»




























 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.