«УДК 530.16 + 536-34.3:[535.2/.4 + 535.521.3] + 536.7+ 536.8 ББК 22.317 Редакция от 13.06.2004 была депонирована в ВИНИТИ: 16.07.2004, № 1249 - B2004 В. В. Савуков Уточнение аксиоматических принципов статистической ...»

Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д. Ф. Устинова

УДК 530.16 + 536-34.3:[535.2/.4 + 535.521.3] + 536.7+ 536.8

ББК 22.317

Редакция от 13.06.2004 была депонирована в ВИНИТИ: 16.07.2004, № 1249 - B2004

В. В. Савуков

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики

(теоретическое обоснование поискового проекта “Pith Fleck”)

Copyright © 1986 – 2010. The project “Pith Fleck” by Vladimir V. Savukov. Настоящие материалы являются объектом авторского права, регламентируемого международным законодательством и законом РФ "Об авторском праве и смежных правах".

Санкт - Петербург, 2010 г.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики Лист 2 ==================================================================

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Настоящая работа была написана достаточно давно – в 2001 году, на основании имевшегося у меня на тот момент представления о предмете разговора. Сегодня же я могу следующим образом охарактеризовать материал предлагаемой монографии:

– Бльшая часть содержания главы №2 «Анализ выполнимости аксиоматических принципов» и Приложения П1 «Математические свойства закона Кнудсена» – носит весьма спорный характер. Однако эта часть работы, в своё время, всё же сыграла позитивную роль, заключающуюся в мотивации выполнения натурных экспериментов.

– Содержание главы №3 «О практической реализации исследуемых процессов» и № «Имитационное моделирование исследуемых процессов» – определённо сохранило значимость для описания возможностей практического применения обнаруженных физических эффектов (см. ниже ссылки на публикации) в технике полупроводников.

– Приложение П2 «Физические эксперименты (фотометрия)» потеряло актуальность в связи с тем, что мною в 2008-2009 годах уже был проведён ряд соответствующих фотометрических работ, результаты которых опубликованы в следующих источниках:

Савуков В. В. Нарушение закона Ламберта при дифракции диффузного фотонного газа на многомерных регулярных структурах. // Деп. ВИНИТИ № 507-B2009, – 51 с. Савуков В. В. Нарушение изотропности диффузного излучения вследствие его дифракции на многомерных регулярных структурах. // «Оптический журнал», том 77, № (январь) 2010 г. – Все прочие части монографии носят выраженный «философско-методологический»

характер. Кто-то считает такого рода материал избыточным, кто-то – вполне уместным. Дело вкуса… Те, кто прочёл данную работу целиком (есть и такие!), нашли эту её составляющую "наименее скучной" (с точки зрения эмоционального восприятия).

С учётом всего вышесказанного, я счёл возможным сохранить эту раннюю работу в свободном сетевом доступе 3, — в первую очередь из-за содержания глав №3 и №4.

Однако предлагаемый материал, видимо, лучше читать уже после ознакомления с результатами реальных фотометрических экспериментов, ссылки на которые были даны.

BB Cabykob С наилучшими пожеланиями 18.01. URL: http://www.savukov.ru/viniti_0507_b2009_full_rus.pdf URL: http://www.savukov.ru/viniti_0507_b2009_short_rus.pdf URL: http://www.savukov.ru/opticjourn_77_01_2010_rus.pdf URL: http://www.savukov.ru/opticjourn_77_01_2010_eng.pdf URL: http://www.savukov.ru/viniti_1249_b2004_full_rus.pdf ================================================================== Лист Предисловие автора Уточнение аксиоматических принципов статистической физики Лист ==================================================================

РЕФЕРАТ

УДК 530.16 + 536-34.3:[535.2/.4 + 535.521.3] + 536.7 + 536. Уточнение аксиоматических принципов статистической физики / Савуков В. В.;

Б Г Т У «Военмех» им. Д. Ф. Устинова – СПб, 2004. – 179 с.: ил. – Библиогр.: 54 назв. – Рус. – Редакция от 13.06.2004 была депонирована в ВИНИТИ: 16.07.2004, № 1249 - B Монография посвящена исследованию границ применимости аксиоматических принципов, лежащих в основе статистической физики. Автором был выполнен гармонический анализ свойств обобщённой функции, описывающей индикатрису кнудсеновского (ламбертовского) рассеяния диффузного газа квантовых частиц на некоторой поверхности. На основании полученных результатов высказано теоретическое предположение о непременном существовании замкнутых физических систем, для которых состояние детального статистического равновесия не является единственно возможным стационарным макросостоянием, наиболее вероятным для заданных условий. В такого рода системах могут существовать состояния глобального статистического равновесия, характеризуемые пространственно анизотропными макроскопическими параметрами. Данные состояния должны быть типичны для твёрдотельной электроники, квантовой оптики и молекулярной динамики, когда имеет место упругое волновое рассеяние (дифракция) газа квантовых частиц (электронов проводимости, фотонов электромагнитного излучения или молекул газа) на границах заполняемого ими объёма.

Причиной таких эффектов является то, что в рассматриваемых ситуациях главная гипотеза статистической физики о "равновероятности пребывания замкнутых систем во всех доступных им микросостояниях" входит в противоречие с СРТ - теоремой Паули Людерса. Данная гипотеза должна быть определённым образом уточнена, в результате чего ныне существующая аксиоматика статистической физики превращается в весьма распространённый, но не единственно возможный частный случай. Из этого уточнения следует, что описание равновесных макросостояний изучаемых систем не может быть корректно осуществлено в границах применимости имеющегося аппарата статистической физики, ключевые понятия которой (определение вероятности макроскопического состояния, определение среднего значения физической величины на основе микроканонической гипотезы, и т. д.) – базируются на указанном априорном предположении.

Для аксиоматически независимого анализа изучаемых систем выполнено численное моделирование, имитирующее динамику движения единичной «пробной частицы».

Этот метод, который был здесь реализован для рассмотрения процессов переноса электронов проводимости в ограниченных полупроводниках, в отличие от имеющегося аппарата статистической физики не использовал каких-либо априорных предположений, постулатов и гипотез относительно того, как именно должно выглядеть наиболее вероятное стационарное макросостояние рассматриваемых систем. Макроскопические же характеристики моделируемых систем формировались за счёт естественного усреднения параметров движения пробной частицы по времени, а не в результате фазового усреднения, применимого лишь в случае справедливости микроканонической гипотезы.

В ходе выполнения автором указанных имитационных экспериментов было получено подтверждение ранее сделанных им теоретических выводов о характере реализации наиболее вероятных стационарных макросостояний в изучаемых системах, а также было предсказано существование некоторых неизвестных в настоящий момент термомагнитных эффектов. Если в дальнейшем натурный физический эксперимент подтвердит реальность существования указанных эффектов, то они могут быть использованы для создания новых теплоэнергетических устройств с особыми полезными свойствами.

==================================================================

РЕФЕРАТ

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ==================================================================

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Аксиоматические принципы статистической физики

Неравновесные процессы

Равновесные системы

Краткое обобщение содержания главы № 1

2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов

Аксиоматические принципы и детальное равновесие

Условие корректности аксиоматики статистической физики

Вероятность исхода индуцированного события квантового перехода........... Вероятность индукции события квантового перехода

Иллюстративное пояснение к законам Кнудсена и Ламберта

Выполнимость законов Кнудсена и Ламберта в квантовых системах............. Математический анализ физической корректности закона Кнудсена............. Краткое обобщение содержания главы № 2

3. О практической реализации исследуемых процессов

Значение изоэнергетических процессов для реальных систем

Теплоэнергетические устройства с дискретным циклом

Энтропия реальных физических систем

Второй закон термодинамики

Теплоэнергетические устройства с непрерывным циклом

О предпосылках, лежащих в основе текущего направления работ................ Краткое обобщение содержания главы № 3

4. Имитационное моделирование исследуемых процессов

Назначение имитационной модели

Общие принципы построения имитационной модели

Результаты имитационных экспериментов

Комментарий к результатам имитационных экспериментов

Краткое обобщение содержания главы № 4

Заключение

Список использованных источников

Приложение П1: Математические свойства закона Кнудсена

Приложение П2: Физические эксперименты (фотометрия)

Приложение П3: Рецензия на депонирование (БГТУ, Петербург).............. Приложение П4: Рецензия политехнич. университета (СПбГПУ)............... ==================================================================

СОДЕРЖАНИЕ

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Как известно, одна из основных целей всякой точной естественной науки (например, какой-либо области физики) заключается в обобщении ранее накопленного эмпирического (экспериментального) опыта. Обобщения такого рода, обычно выраженные в форме математических зависимостей, позволяют прогнозировать поведение тех или иных объектов, являющихся предметом рассмотрения соответствующей науки. Таким образом, указанные математические зависимости представляют собой, в конечном счете, не что иное, как уравнения эмпирической регрессии, более или менее удачно аппроксимирующие реальные характеристики изучаемых природных явлений.

Однако, для построения весьма сложных математических моделей, выходящих за границы примитивного эмпиризма, оказывается недостаточно исключительно только лишь результатов регрессионного анализа экспериментальных данных. Часто при глубоком и детальном описании исследуемых объектов возникает необходимость в привлечении некоторых дополнительных основополагающих понятий (основных принципов). Корректность использования данных понятий не может быть доказана в рамках базирующейся на них научной дисциплины. Поэтому соответствующие принципы имеют характер неких правдоподобных гипотез, априорно постулируемых как самоочевидные. Указанные постулаты составляют аксиоматику основанной на них науки.

Из вышесказанного следует, что достоверность результатов моделирования тех или иных реальных явлений определяется как качеством аппроксимации в рамках построения соответствующих «уравнений эмпирической регрессии», так и обоснованностью применения найденных зависимостей для изучения конкретной предметной области. Качество аппроксимации зависит от объёма ранее накопленного эмпирического материала и от возможностей метода регрессионного анализа, привлечённого для его обработки. Обоснованность же применения полученных математических зависимостей характеризуется корректностью использования аксиоматики научного аппарата для моделирования вполне определённого явления природы.

Значение корректности аксиоматики обуславливается тем, что сам по себе объём имеющихся экспериментальных данных ещё не определяет границы применимости полученных на их базе математических моделей: не важно, насколько достоверно то или иное регрессионное приближение, найденное для какой-то ранее исследованной предметной области, если явление, подлежащее рассмотрению в настоящий момент, этой области заведомо не принадлежит. Таким образом, имеющийся опыт создания научных теорий гласит: сколь угодно большое количество эмпирической информации не гарантирует перехода в методологическое качество основанных на них выводов.

Одним из весьма наглядных примеров для иллюстрации ограниченного характера применимости базовых постулатов тех или иных научных дисциплин может служить триумфальная (в течение двух веков) история развития классической механики, опирающаяся на весьма разумные и наглядные предположения Ньютона о свойствах пространства и времени. Однако, как и всякая физическая теория, ньютоновская физика оказалась адекватна действительности лишь в рамках применимости её базовых гипотез. Дальнейшее появление релятивистской физики (опыт Майкельсона) и квантовой механики («ультрафиолетовая катастрофа») явилось очередным подтверждением этого обстоятельства: ни одна теория не может претендовать на роль абсолютной истины, даже если она отлично согласуется с бльшей частью известных эмпирических данных.

================================================================== Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== В качестве другого примера такого рода можно привести гипотезу о принципиальной неделимости атомов, основанную на колоссальном опыте человечества в соответствующей предметной области 1. Данный опыт обобщал эмпирические знания, накопленные в течение более чем трёх тысяч лет. Все многовековые попытки алхимиков осуществить так называемую «трансмутацию» (превращение одних химических элементов в другие 2) потерпели полную неудачу, так как эти попытки предпринимались с помощью химических реакций, т. е. в рамках применимости атомистического учения.

Более того, очевидная бесплодность затраченных усилий надолго дискредитировала даже саму мысль о реальности достижения указанной цели. Лишь открытие так называемых ядерных реакций позволило, наконец, осуществить то, что считалось невозможным на протяжении нескольких десятков веков.

Всё вышеизложенное в настоящей главе носит вполне тривиальный и общеизвестный характер. Однако практика показывает, что людям свойственно абсолютизировать имеющийся у них опыт. Например, в утверждении Альберта Эйнштейна:

“Теория оказывается тем более впечатляющей, чем проще её предпосылки, чем значительнее разнообразие охватываемых ею явлений и чем шире область её применимости. Именно поэтому классическая термодинамика произвела на меня очень глубокое впечатление. Это единственная общая физическая теория, и я убеждён, что в рамках применимости своих основных положений она никогда не будет опровергнута” (1949 г.) большинство читающих его склонно обращать почти всё своё внимание на слова «никогда не будет опровергнута». Напротив же текст «в рамках применимости своих основных положений» — игнорируется практически полностью.

В связи с таким субъективным характером восприятия научных знаний здесь было решено особо акцентировать внимание на следующем важном обстоятельстве:

выводы любой научной дисциплины, даже если они пафосно декларируются как некие «фундаментальные законы природы», не висят сами по себе в воздухе, подобно улыбке Чеширского Кота. В основе указанных выводов всегда лежит совершенно определённая аксиоматика и вполне конечный (хотя, возможно, и довольно большой) объём эмпирической информации. Данные обстоятельства принципиально ограничивают пределы применимости результатов того или иного научного анализа. Сам факт наличия такого рода ограничений является неотъемлемым свойством научной методологии познания.

В настоящей работе предпринята попытка уточнения границ применимости тех аксиоматических принципов, на базе которых выстроен формализм статистической физики. Полученные выводы, разумеется, имеют отношение и к границам корректного применения термодинамики 3.

Атомистика — учение о дискретном строении материи из неделимых частиц.

Основная цель, как известно, состояла в том, чтобы превратить «неблагородные»

металлы (ртуть, свинец) — в золото.

Термодинамику в определённом смысле (предметная область изучаемых явлений) можно считать упрощённым феноменологическим аналогом статистической физики, хотя хронологически термодинамика появилась раньше, чем статистическая физика.

================================================================== Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Проблема обоснованности применения данной аксиоматики в тех или иных конкретных случаях представляет собой принципиально важный вопрос и является предметом самого пристального рассмотрения и многочисленных дискуссий с момента возникновения статистической физики (середина девятнадцатого века) до наших дней.

Интерес к вышеуказанной проблеме обусловлен следующими двумя причинами:

1. Аксиоматика статистической физики действительно до сих пор не свободна от существенных противоречий, которые во многих случаях носят качественный характер. Большинство этих противоречий связано с предпринятыми попытками обоснования необратимости реальных физических процессов, апостериорного доказательства H - теоремы Больцмана (статистического аналога второго закона термодинамики) и т. д. Типичное отношение к современному состоянию данного вопроса 1 отражено, например, в высказывании известного японского теоретика Риого Кубо, который в своей книге “Статистическая механика” [27, стр. 191-192] пишет:

“Обоснование статистической механики. Физика занимает ведущее место среди точных наук, а статистическая механика является одним из главных её разделов. Если теперь мы скажем, что в обосновании статистической механики имеется много неясностей, то это может вызвать удивление и недоумение читателя. Работая сам в этой области, автор настоящей книги чувствует некоторую неловкость, но положение действительно таково”.

2. Очевидно бесспорное наличие в природе таких макроскопических явлений 2, сам факт существования которых находится в явном противоречии, например, с уже упоминавшейся H - теоремой Больцмана. Конечно же, речь идёт о наблюдаемом астрономами характере динамических процессов в галактических и метагалактических масштабах. Практически в каждом учебнике физики можно обнаружить главу, посвящённую критике теории тепловой смерти Вселенной. Сама эта критика варьируется в диапазоне от декларативного утверждения о не замкнутости Вселенной как физической системы (к такого рода объектам H - теорема Больцмана не применима), до изощрённых попыток как-то объяснить реально наблюдаемые явления в рамках законов статистической физики и термодинамики: в данном направлении пройден весьма длинный путь — от простой флуктуационной гипотезы Больцмана (более века назад), до самых утончённых современных моделей Вселенной. Ниже дана характерная цитата из учебника “Термодинамика и статистическая физика” [38]:

“Всемирно-историческим результатом работы термодинамиков второй половины девятнадцатого века явилось открытие Второго Закона Термодинамики 3, формулировка условий равновесия и устойчивости изолированной термодинамической системы.

Более подробно информация, связанная с обоснованием аксиоматики статистической физики, изложена в соответствующей главе настоящей работы. Здесь же пока лишь просто констатируется сам факт наличия указанной проблемы.

Имеются в виду макроявления, не сводящиеся к статистическим флуктуациям.

Напоминаем, что данный закон — это феноменологический (т. е. основанный исключительно только на обобщении имеющегося опыта) аналог H - теоремы Больцмана в статистической физике.

================================================================== Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== … Важнейшие результаты в разработке и формулировке Второго Закона Термодинамики принадлежат Клаузиусу. В 1865 году он распространил Второй Закон Термодинамики – закон возрастания энтропии – на Вселенную, написав, что «Энергия мира постоянна.

Энтропия мира стремится к максимуму».

… Необоснованно расширяя Второй Закон Термодинамики и применяя его ко Вселенной, Клаузиус сделал неправильные философские выводы. Это послужило основой теории тепловой смерти Вселенной. Клаузиус и Томсон утверждали, что по мере достижения теплового равновесия во Вселенной наступит тепловая смерть, прекратятся все самопроизвольные процессы и Вселенная застынет среди безжизненного покоя.

… Больцман, опиравшийся на вероятностно - статистические представления, боролся с теорией тепловой смерти Вселенной. Он выдвинул возражение против неё, состоящее в том, что хотя Вселенная близка к состоянию равновесия, в её отдельных участках существуют огромные флуктуации, размеры которых велики по сравнению с размерами окружающего человека и наблюдаемого им мира и несопоставимо продолжительны по сравнению с длительностью его жизни. Но вместе с тем эти флуктуационные образования являются бесконечно малыми величинами по сравнению с бесконечно большой и вечно существующей Вселенной.

… Однако эти выводы нельзя признать правильными, поскольку представления о вероятности столь больших флуктуаций во Вселенной с точки зрения окружающего нас мира эквивалентны представлению о невероятности.

… Наблюдающиеся в видимой части Вселенной новые образования звёзд … с точки зрения гипотезы Больцмана являются крайне маловероятными.

В настоящее время для разъяснения сложившегося противоречия выдвигаются различные точки зрения.

… Не вдаваясь, однако, в детальное рассмотрение разногласий по этому вопросу, ограничимся следующими замечаниями. Прежде всего, существующие в настоящее время опытные данные свидетельствуют о том, что теория тепловой смерти Вселенной неверна;

весь человеческий опыт подтверждает, что в окружающем нас мире идёт непрерывное развитие, и нет никаких оснований и даже намёков считать, что процессы протекают с затуханием в направлении прекращения.

Наука свидетельствует о непрерывном круговороте и движении материи, о развитии и смене форм движения, о непрерывном превращении одних форм материи в другие, о их неограниченном разнообразии. Заслугой астрономов и астрофизиков является доказательство того, что во Вселенной происходят непрерывные сложные, многообразные взаимосвязи между звёздами и межзвёздным веществом, приводящие к непрерывно происходящему возникновению, развитию и гибели звёздных образований, галактик, миров” [38, стр. 102-107].

================================================================== Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Таким образом, применительно к H - теореме Больцмана нет возможности провести, например, аналогию с теоремой Ферм: мол, строгое доказательство пока не найдено, однако же, никаких исключений из рассматриваемых правил нет. Такая ситуация дала бы основание предположить 1, что появление указанного доказательства является лишь вопросом времени. Напротив, данные астрофизических наблюдений скорее говорят о том, что в масштабе Вселенной исключением, видимо, следует считать те ситуации, когда обсуждаемые выводы статистической физики всё-таки выполняются.

Здесь, к сожалению, невозможен сколько-нибудь подробный обзор трудов по затронутой интересной тематике. Поэтому ограничимся лишь констатацией того очевидного факта, что мы живём в мире, основная часть которого, видимо, устроена гораздо сложнее, чем это можно себе вообразить исходя из нынешних модельных представлений статистической физики и термодинамики. Автором сделано теоретически обоснованное предположение о том, что и в масштабах, менее грандиозных, чем вселенские, существуют некоторые виды физических систем, адекватное описание которых нельзя осуществить в границах применимости аксиоматики вышеуказанных научных дисциплин. Настоящая работа [54] посвящена начальному этапу исследования данных систем, выполняемому в рамках поискового проекта "Pith Fleck".

Именно, только предположить, — вспомним учение о неделимости атома, находившее подтверждение своей правоты на протяжении целых тридцати двух веков.

================================================================== Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== 1. Аксиоматические принципы статистической физики Существуют две области статистической физики, каждая из которых использует собственную аксиоматику: это теории неравновесных процессов и равновесных систем.

Аксиоматика теории неравновесных процессов содержит ряд тождественных по своему значению формулировок различных постулатов, среди которых одна из наиболее известных — это так называемая гипотеза молекулярного хаоса (Stozahlansatz).

Данная гипотеза была выдвинута Л. Больцманом в качестве возражения И. Лошмидту (парадокс обратимости – Umkehreinward, 1876 г.) и Э. Цермело (парадокс возврата, основанный на теореме возврата Пуанкаре – Wiederkehreinwand, 1896 г.), которые подвергли критике корректность H - теоремы, введённой Больцманом в аппарат статистической физики в качестве функционального аналога второго закона термодинамики.

Подробный анализ аксиоматики теории неравновесных процессов не является предметом настоящей работы. Однако стоит заметить, что гипотеза молекулярного хаоса, как, в прочем, и эргодическая гипотеза того же Больцмана, противоречат теории множеств. В классической молекулярно-кинетической теории (в отличие от квантовой) динамика частиц строго детерминирована. Жёсткий лапласов формализм описания физической системы принципиально исключает возможность наличия какого-либо «люфта» в параметрах движения частиц, который мог бы проявляться (и накапливаться) в результате, например, столкновения этих частиц между собой. Данные выводы не зависят от числа частиц в системе и от времени наблюдения за ней. Какой-либо индетерминизм при релаксации импульса и (или) энергии частиц в результате отдельных актов рассеяния — отсутствует по определению, т. е. является множеством меры нуль.

Сумма же любого числа нулей всегда останется нулём, поскольку «нельзя из ничего получить что-то». Таким образом, состояние классической системы всегда строго определено. Это абсолютно исключает необратимую потерю информации о первоначально заданном состоянии системы по истечении некоторого конечного (даже очень большого) промежутка времени, что как раз и предполагается гипотезой молекулярного хаоса.

В связи с вышеизложенным весьма нелогично выглядят до сих пор широко распространённые рассуждения следующего вида [02, стр. 389-391]:

"Поскольку сейчас имеется неоспоримое доказательство, как закона возрастания энтропии, так и атомистической структуры материи, необходимо признать, что состояние тела, полученное из его естественного состояния посредством обращения скоростей всех его молекул на противоположно направленные, в высшей степени невероятно и практически никогда в природе не реализуется 1.

Это утверждение звучит очень странно. На мой взгляд, два состояния классической (не квантовой) системы, отличающиеся друг от друга только знаком импульсов частиц, должны иметь принципиально одинаковую вероятность своей реализации. Каждое из описанных состояний ничуть не лучше и не хуже другого. Какая-либо искусственная селекция этих состояний на «естественные» и «невероятные» имеет целью лишь «подгонку» поведения описываемой физической системы под заранее декларированный результат, априорно считающийся единственно возможным – В. С.

================================================================== Глава 1. Аксиоматические принципы статистической физики.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Для того чтобы сделать более наглядным утверждение о малой вероятности состояния системы с обращёнными скоростями молекул, обратимся к примеру, рассмотренному в конце § 1 1. Если обратить скорость частицы, влетевшей в большой сосуд A и испытавшей в нём малое число столкновений, на противоположную, то частица через короткий промежуток времени влетит обратно в малый сосуд B.

Однако достаточно изменить направление обращённой скорости на малую величину 2 (при этом состояние частицы кажется столь же «вероятным»), для того, чтобы частица оставалась в бльшем сосуде A практически «навсегда»".

Разумеется, можно было бы попробовать найти логическое обоснование гипотезы молекулярного хаоса, выйдя за пределы именно классического детерминизма. Ранее упоминавшийся «люфт» в параметрах движения частиц мог бы, например, появиться как следствие индетерминированной по своему характеру редукции пакета вероятностей [11, стр. 164], имеющей место при релаксации импульсов квантовых частиц в процессе их изоэнергетического волнового рассеяния (дифракции) друг на друге или на каких-либо иных препятствиях. Однако такой подход требует признания того, что фазовая траектория каждой квантовой частицы 3 не является непрерывной на уровне подпространства импульсов. Более того, эта траектория не может быть даже описана разрывной функциональной зависимостью, подчиняющейся условиям Дирихле: если интерпретировать каждый акт рассеяния квантовой частицы как разрыв первого рода в подпространстве импульсов её фазового - пространства, то, например, однозначно определённому 4 чистому состоянию частицы до рассеяния будет соответствовать некое вероятностное множество состояний после рассеяния. Причём, согласно воззрениям копенгагенской школы, принципиально не могут существовать какие-либо "скрытые параметры", способные исключить указанную неоднозначность траекторной функции.

В данном примере рассматривается замкнутая система, состоящая из двух разновеликих по объёму сосудов, – большого сосуда A и малого сосуда B. Внутри системы находится некая частица идеального газа. Сосуды соединены между собой тонкой полой трубкой, по которой частица может переходить из одного сосуда в другой.

Да с какой собственно стати ?!! Как говорят в таких случаях шахматисты – «тогда это была бы другая партия». «Чуть-чуть изменённой» величине обращённой скорости соответствует также «чуть-чуть изменённая» величина скорости прямой. При учёте этого обстоятельства частица опять-таки легко и просто вернётся из большого сосуда в малый. А мы неминуемо обязаны учесть указанное обстоятельство, поскольку оно лежит в основе строго детерминистического формализма Лапласа, на котором базируются все модельные построения классической статистической физики – В. С.

Применительно к квантовым частицам понятие фазовой траектории может быть сохранено путём его переопределения на основании теоремы Эренфеста, описывающей динамику центра тяжести нормированного к единице объёма «жидкости вероятности» с плотностью = [11, стр. 54-59]. При этом обычно говорят не столько о линии фазовой траектории, сколько о траекторной трубке, ширина которой зависит от вероятностной «размытости» соответствующих сопряжённых параметров частицы.

Разумеется, значения каких-либо конкретных параметров этого «чистого состояния»

могут быть известны лишь с точностью до неопределённостей Гейзенберга.

================================================================== Глава 1. Аксиоматические принципы статистической физики.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== В свою очередь, описанная способность квантовых частиц «исчезать» и «появляться» в различных частях доступного им фазового пространства принципиально не исключает возможности существования в этом пространстве источников и стоков фазовых траекторий, имеющих не одинаковую плотность в одних и тех же локальных участках фазового объёма. Таким образом, вообще говоря, не запрещено наличие не равной нулю дивергенции потока фазовых траекторий в некоторых частях фазового пространства системы.

Существование подобных источников и стоков в фазовом пространстве допускается даже в рамках классических модельных представлений. Речь идёт о так называемом «приближении мгновенных столкновений» [34, стр. 321-322, 336]:

“Допустим, что газ настолько разрежён, что длина свободного пробега молекулы много больше радиуса действия межмолекулярных сил r0 и соответственно время свободного пробега много больше времени взаимодействия двух молекул 0 … В этом случае можно ввести понятие «столкновения» молекул, понимая под этим процесс изменения движения каждой из молекул, происходящий за то время, которое одна из молекул проводит в сфере действия второй. Мы можем в силу неравенства 0 считать процесс столкновения мгновенным. Так как скорости молекул конечны, то изменение координат молекул за время столкновения xi = vi 0 может считаться равным нулю, но изменение проекций скорости или импульса молекул vi = wi 0 и pi = Fi имеет конечное значение (мы должны считать, что при 0 0 ускорение wi и сила взаимодействия молекул Fi неограниченно возрастают, так что произведения wi 0 и Fi 0 стремятся к конечному пределу).

Таким образом, в этом приближении столкновение сопровождается лишь скачкообразным изменением импульса обеих молекул. … В момент столкновений фазовая изображающая точка молекулы в µ - пространстве скачком переходит из одного положения в другое (благодаря скачкообразному изменению импульса), и в силу этого уравнение непрерывности для функции распределения в µ - пространстве в принятом приближении не справедливо. Это значит, что в µ - пространстве существуют источники и стоки функции распределения, мощность которых определяется столкновениями между молекулами.

… столкновения между молекулами газа приводят к скачкообразному изменению проекций скорости (при неизменных координатах) и, следовательно, к скачкообразному перемещению изображающих точек в µ - пространстве. В этом приближении изображающие точки «гибнут» в одних частях µ - пространства и «рождаются» в других, не пересекая границ выделенного в µ - пространстве объёма. Это означает, что приближение «мгновенных» столкновений вынуждает нас ввести … источники и стоки молекул данной скорости в данной точке пространства”.

Между тем очень важно заметить, что в случае квантовых систем речь идёт о реальных источниках и стоках, поскольку здесь частицы в процессе переходов между ================================================================== Глава 1. Аксиоматические принципы статистической физики.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== микросостояниями действительно «исчезают» и «появляются» в различных областях фазового пространства без пересечения границ данных областей: при индетерминированной релаксации импульсов частиц во время указанных переходов – принципиально не существуют какие-либо промежуточные значения фазовых координат этих частиц 1.

Несколько забегая вперёд, заметим, что применительно к теории равновесных систем данное обстоятельство делает заведомо некорректным использование теоремы Лиувилля и следующей из неё микроканонической гипотезы [02, стр. 23, 40-45], [27, стр. 14, 104-105]. Введение же «квантовых аналогов» теоремы Лиувилля 2, обусловленное её формальным сходством с уравнением Шредингера [28, стр. 65], никак не меняет общей ситуации. Например, исходя из обратимого во времени и причинного уравнения Шредингера, с помощью теории возмущений Паули вывел своё уравнение (так называемое "Master equation"), описывающее стохастические, необратимые процессы [30, стр. 407-410]. Однако этот вывод основан на гипотезе о случайности фаз волновых функций системы в любой момент времени. Следовательно, опять-таки возникает вопрос о характере стохастического распределения указанных фаз, а значит, неизбежен и произвол при выборе функций, описывающих плотность вероятности этих фаз для заданных условий. Для соблюдения принципа равновероятности пребывания замкнутой квантовой системы во всех доступных ей областях фазового пространства необходимо осуществить надлежащую «подгонку» под требуемый ответ, назначив «волевым порядком» соответствующую по виду функцию плотности вероятности.

Статистическая физика равновесных систем базируется на гипотезе о равновероятности всех микросостояний, доступных данной системе. При этом имеется в виду следующее:

1. Наиболее вероятное стационарное 3 состояние замкнутой физической системы называется равновесным состоянием. Равновесное состояние является макроскопическим. Оно представляет собой совокупность всех 4 доступных системе микросостояний, т. е. таких конкретных состояний, каждое из которых может быть осуществлено при заданном уровне энергии.

2. В каждый фиксированный момент времени равновесное состояние реализуется через одно из составляющих его микросостояний. При этом система с одинаковой вероятностью может быть обнаружена в любом из микросостояний, образующих её равновесное макросостояние.

Определение равновесного состояния замкнутой физической системы, приведённое в пункте 1, не содержит каких-либо предположений о том, как именно должно Своего рода «нуль-транспортировка» из фантастических романов.

Уравнению Лиувилля, описывающему сохранение фазового объёма в классической теории, соответствует уравнение Шредингера для унитарного оператора, описывающего временню эволюцию квантовой системы.

Состояние системы, при котором её наблюдаемые макроскопические свойства не зависят явно от времени (так называемая стационарность в узком смысле).

В классической физике число возможных микросостояний замкнутой системы, вообще говоря, не ограничено. Но для квантовой системы это число всегда конечно.

================================================================== Глава 1. Аксиоматические принципы статистической физики.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== выглядеть указанное состояние. Данное определение всего лишь утверждает, что равновесное состояние замкнутой системы — это такое её состояние, в котором рассматриваемую систему можно обнаружить с наибольшей вероятностью. Дефиниция такого рода, конечно же, не вызывает никаких возражений.

Изложенный в пункте 2 постулат о равновероятности всех доступных микросостояний, образующих равновесное макросостояние замкнутой физической системы, носит характер априорно (без каких-либо логических доказательств) декларируемой правдоподобной гипотезы. На данной аксиоматике базируется весь существующий аппарат статистической физики, используемый для описания свойств равновесных систем. Ниже приведена типичная формулировка указанного постулата [23, стр. 31]:

“Основное предположение статистической термодинамики формулируется следующим образом: замкнутая система может находиться с равной вероятностью в любом допустимом стационарном квантовом состоянии. Это предположение используется, например, … при определении вероятности состояния, среднего значения физической величины. Оно применяется также при рассмотрении того, что происходит при установлении контакта между двумя

Замкнутая система определяется как система с постоянной энергией, постоянным числом частиц и постоянным объёмом 2.

Состояние считается допустимым, если оно совместимо с характеристиками системы. Это означает, что энергия такого состояния должна лежать в пределах возможного изменения энергии системы, а число частиц в данном состоянии должно равняться числу частиц, характеризующему систему”.

Гипотеза о равновероятности всех доступных состояний играет исключительно большую роль в статистической теории равновесных систем. Введение данной аксиоматики позволяет декларировать то, как именно должно выглядеть равновесное состояние замкнутой системы, а также даёт основания для введения в аппарат статистической физики понятия о микроканоническом распределении 3 [02, стр. 40-45]:

Здесь, разумеется, речь идёт о статистической физике. Однако используемое цитируемым автором не совсем точное наименование научной дисциплины ещё раз подчёркивает тесную связь между статистической физикой и термодинамикой – В. С.

На мой взгляд, эта формулировка не очень хороша, поскольку она не исключает, например, возможности стационарного энергообмена (или даже стационарного массообмена) рассматриваемой системы с окружающей средой – В. С.

Микроканоническая гипотеза позволяет при вычислении макроскопических параметров системы заменять чрезвычайно трудоёмкую операцию усреднения каких-либо характеристик по времени (усреднение такого рода требуется самим определением данных параметров, — [02, стр. 39], [28, стр. 336-342] и др.) на гораздо более простую операцию фазового усреднения. Однако указанная замена имеет смысл только лишь в случае заведомой справедливости использованной аксиоматики.

================================================================== Глава 1. Аксиоматические принципы статистической физики.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== “Мы введём для замкнутой системы, находящейся в состоянии статистического равновесия, функцию распределения ( q, p ) постулативно, обосновывая наш выбор тем, что все полученные из неё результаты блестяще совпадают с опытом 1. Причём это совпадение имеет место не только для вычисляемых средних значений величин, но и для малых отклонений от средних, наблюдаемых в системах (флуктуаций).

Такой подход является принятым и в других разделах теоретической физики. Уравнения классической механики Ньютона или уравнения электромагнитного поля Максвелла не выводятся из более простых принципов, а постулируются как законы природы, справедливость которых подтверждается огромным числом полученных из Введём постулативно для замкнутой системы, находящейся в статистическом равновесии, так называемое микроканоническое распределение, для которого плотность постоянна вдоль гиперповерхности постоянной энергии H ( q, p ) =. … Микроканоническому распределению соответствует гипотеза о равновероятности равновеликих областей фазового пространства, доступных системе, т. е. предположение, что вероятность некоторого состояния пропорциональна соответствующему объёму фазового пространства.

Микроканоническое распределение может быть наглядно сопоставлено с теоремой Лиувилля. В самом деле, пусть некоторому начальному состоянию системы соответствует объём фазового пространства, конечному состоянию –. По теореме Лиувилля =, но тогда, как следует из микроканонического распределения, вероятности обоих состояний одинаковы. Таким образом, мы приходим к правильному выводу, что механически детерминированному (т. е. с вероятностью, равной единице) переходу системы из начального состояния в конечное соответствует одинаковая вероятность обоих состояний.

Было бы неправильно думать, что такие рассуждения доказывают справедливость микроканонического распределения, так как в общем случае мы не знаем, как фазовая траектория системы проходит в доступной ей области фазового пространства.

Вообще, введение некоторых априорных вероятностей в статистическую физику является, по-видимому, необходимым для статистического рассмотрения вопроса. С этой точки зрения попытки обоснования статистического распределения ( q, p ) на основе детерминированного поведения механических систем вообще представляются необоснованными”.

В области применимости классической статистики, основанной на классической механике – примечание автора цитируемой книги.

================================================================== Глава 1. Аксиоматические принципы статистической физики.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Как уже говорилось ранее, принцип равновероятности доступных микросостояний вводится в статистической физике априорно (постулативно), т. е. подобно некоей аксиоме, не требующей каких-либо логических доказательств. Некорректность такого подхода к столь фундаментальному вопросу — очевидна.

Наряду с этим имеются попытки и апостериорного 1 подхода к провозглашению аксиоматических принципов статистической физики. Такие попытки известны столько же времени, сколько существует указанная аксиоматика. В данной связи чаще всего упоминается так называемая эргодическая 2 гипотеза и соответствующие теоремы 3:

– Эргодическая гипотеза (см. [02, стр. 39-45], [08, стр. 66], [19, стр. 72], [26, стр. 168-170], [27, стр. 19-20, 104-105]);

– Квазиэргодическая теорема (см. [02, стр. 40-45], [27, стр. 104-105]);

– Средняя эргодическая теорема (см. [28, стр. 336-342]).

Эргодическая гипотеза была выдвинута Людвигом Больцманом для обоснования выбора микроканонического распределения как средства для замены трудоёмкого усреднения по времени более простым фазовым усреднением. Согласно эргодической гипотезе существует только одна замкнутая фазовая траектория 4 на поверхности постоянной энергии. Это следует из того, что фазовая траектория должна проходить через все точки энергетической поверхности, причём через каждую точку может проходить только одна фазовая траектория. Поэтому фазовые точки изоэнергетического ансамбля должны быть расположены вдоль общей фазовой траектории.

В дальнейшем посредством использования теории множеств было доказано, что эргодическая гипотеза неправильна (А. Розенталь, М. Планчерель, 1913 г.). Поэтому П.

и Т. Эренфесты в своём известном обзоре по статистической механике («Enzyklopdie der mathematischen Wissenschaften», 1912, Bd. IV, Art. 32) выдвинули менее жёсткую квазиэргодическую гипотезу, согласно которой траектория системы через достаточно большой промежуток времени проходит сколь угодно близко к любой точке изоэнергетической поверхности, выделенной в фазовом пространстве. Доказано, что квазиэргодическая гипотеза справедлива для широкого класса механических систем. Однако она не имеет отношения даже к классической (не говоря уже о квантовой) статистической физике, так как время, в течение которого фазовая точка системы проходит вблизи всех точек поверхности постоянной энергии, столь велико, что не имеет никакого отношения ко времени релаксации реальной физической системы 5 [02, стр. 40-45].

Апостериорный — происходящий из принципов, основанных на обобщении фактов.

От греческого – работа и – путь.

Известно также множество иных предполагаемых вариантов решения данной проблемы, но пока не один из них не получил заметного признания (см., например, [26]).

Необходимость наличия лишь одной единственной замкнутой фазовой траектории противоречит описанной ранее возможности существования как разрывов отдельных траекторий, так и ненулевой дивергенции в фазовом пространстве квантовых систем.

Это вполне объяснимо, так как Больцман сформулировал свою гипотезу ещё в девятнадцатом веке, т. е., разумеется, в рамках классических представлений о динамике.

На такой же точке зрения стоят Р. Толмен («The principles of Statistical Mechanics», Oxford, 1938, p. 69) и Р. Фаулер («Statistical Mechanics», Cambridge, 1936, § 1.4).

================================================================== Глава 1. Аксиоматические принципы статистической физики.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== В 1931 г. фон Нейман доказал так называемую среднюю эргодическую теорему, которая была в том же году уточнена Биркгофом. Не вдаваясь в подробности, заметим, что эта теорема, в свою очередь, подразумевает наличие специальных свойств у преобразований Гамильтона: гамильтониан должен порождать метрически транзитивные преобразования. Если бы наличие таких свойств было доказано, содержание и выводы средней эргодической теоремы стали бы предметными. В этом направлении было выдвинуто предположение (Окстоби, Улем (1941)), согласно которому почти всякая группа непрерывных преобразований является метрически транзитивной. С другой стороны, Кац (1959) доказал, что фактически невозможно установить, порождает ли гамильтониан метрически транзитивные преобразования. Таким образом, и данный вариант «эргодического» подхода к проблеме апостериорного обоснования постулатов статистической физики так и не достиг цели, заявленной её авторами [28, стр. 336-342].

То место, которое занимает эргодическая гипотеза и соответствующие теоремы в аксиоматике ныне существующего аппарата статистической физики, может быть графически проиллюстрировано следующим образом [28, стр. 336]:

Рис. 1.1. Структура аксиоматики статистической физики ================================================================== Глава 1. Аксиоматические принципы статистической физики.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== – Аксиоматические принципы ныне имеющегося аппарата статистической физики носят характер априорных постулатов, декларируемых без каких-либо доказательств, — как некие правдоподобные самоочевидные гипотезы 1.

– Все известные попытки апостериорного доказательства корректности вышеупомянутых аксиоматических принципов пока не увенчались успехом 2.

– Аксиоматика как теории неравновесных процессов, так и теории равновесных систем, в конечном счете, сводится к одному и тому же постулату 3, а именно: система с одинаковой вероятностью может быть обнаружена в любом из микросостояний, образующих её равновесное макросостояние.

– Никем не доказан запрет на существование реальных физических систем, модельное описание которых может быть адекватно реализовано только заведомо вне области применимости указанного аксиоматического постулата статистической физики.

В следующей главе анализируется выполнимость рассматриваемых аксиоматических принципов в реальных физических системах (на примере исследования граничных эффектов в замкнутых системах, содержащих невырожденный газ квантовых частиц).

Спорный характер этого подхода обсуждался во Введении к настоящей работе.

Возможно, что данное отсутствие успеха является следствием ограниченной корректности именно самих декларируемых постулатов. В таком случае не приходится ожидать появления в будущем более удачных вариантов их апостериорного обоснования.

См., например, [02, стр. 40-45].

================================================================== Глава 1. Аксиоматические принципы статистической физики.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов Рассмотрим конкретные аспекты выполнимости аксиоматических принципов статистической физики для замкнутой физической системы.

Аксиоматические принципы и детальное равновесие Как уже говорилось ранее, аксиоматика статистической физики сводится к принципу равновероятности пребывания 1 равновесной замкнутой физической системы во всех доступных ей микросостояниях. Данный постулат, в свою очередь, предполагает, что средняя по времени вероятность прямого и обратного перехода системы между двумя выделенными группами микросостояний в доступной области фазового пространства — должна быть одинакова в обоих направлениях (это следует из определения равновесного состояния, которое содержит требование стационарности).

Более того, обычно декларируется, что статистическое равновесие в замкнутой системе обязано осуществляться непременно детальным образом. Иначе говоря, в состоянии детального равновесия для любой пары доступных системе микросостояний "A" и "B" среднестатистическая вероятность перехода в единицу времени из состояния "A" в состояние "B" должна быть равна аналогичной вероятности обратного перехода, т. е. из состояния "B" в состояние "A" ([02, стр. 402-403], [19, стр. 73, 200-201], [34, стр.

324-325, 338], [36, стр. 675-676, 681-683], [38, стр. 225], [51, стр. 136-137] и др.):

ВЫПОЛНЯЕТСЯ

ОДИНАКОВА

ВЫПОЛНЯЕТСЯ

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется изолированная физическая система, пребывающая в состоянии детального статистического равновесия. Рассмотрим два некоторых выделенных микросостояния системы – "A" и "B" (см. рис. 2.1).

Средние по времени вероятности прямого и обратного переходов A B одинаковы по определению. Кроме того, имеются варианты опосредованного перехода из состояВ квантовой механике считается методологически более правильным говорить не о равновероятности пребывания, а о равной вероятности обнаружения системы в том или ином микросостоянии.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== ния "A" в состояние "B" и обратно «транзитом» через другие состояния, например через "C". Последнее обстоятельство нуждается в особой оговорке. В классической статистической физике использование теоремы Лиувилля и микроканонической гипотезы предполагает наличие единственной и непрерывной фазовой траектории, т. е. из каждого конкретного микросостояния физическая система может перейти только в одно из двух других микросостояний (в зависимости от знака времени), непосредственно примыкающих к ней на линии фазовой траектории с одной и с другой стороны. Следовательно, изображённая на рис. 2.1 ситуация является возможной в случае, если вся фазовая траектория состоит всего лишь из трёх изображённых микросостояний: "A", "B" и "C".

Справедливости ради следует заметить, что принцип детального равновесия не является следствием аксиоматических принципов статистической физики, и потому, строго говоря, не обязателен к применению в рамках указанной аксиоматики. Возможны ситуации, когда принцип равновероятности доступных микросостояний в замкнутой системе выполняется, а принцип детального статистического равновесия – нет 1:

ВЫПОЛНЯЕТСЯ

ОДИНАКОВА

НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ

Рис. 2.2. Реализация глобального равновесия (вариант "а") Изображённая на рис. 2.2 схема реализации глобального статистического равновесия не является сугубо теоретической. Давно известно 2, что в квантовой механике принцип детального равновесия не соблюдается для частиц, обладающих спиновыми моментами. Однако принцип неразличимости квантовых частиц делает детальное равновесие формально корректным при учёте вероятностей, усреднённых по спинам начального и конечного состояний [34, стр. 324-325]. На макроскопическом уровне эти особенности отдельных актов переходов никак не проявляются, что дало основания называть такого рода отклонения от детального равновесия «не слишком сильными».

Но не наоборот!

Наиболее ранние работы по этому поводу: W. Heitler. Quantum Theory of Radiation, 252, 2nd Edition, 1944 ; J. Hamilton, H. Peng. Proc. Roy. Ir. Ac., 49 A, 197, 1944.

Даже в классической механике принцип детального равновесия верен лишь в предположении о сферической симметрии частиц газа. Ещё Л. Больцманом было отмечено, что для частиц несферической формы этот принцип несправедлив [34, стр. 338].

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== В контексте же настоящей работы более интересен подход к данному вопросу, изложенный Д. И. Блохинцевым в его статье "Принцип детального равновесия и квантовая механика" 1. В этой статье, в частности, показано, что в случае центрального закона взаимодействия между частицами принцип детального равновесия выполняется безусловно. Однако для взаимодействий, зависящих от угловых координат, требуется специальное рассмотрение, так как принцип детального равновесия в таких случаях выполняется не всегда [04, стр. 171-174], [05, стр. 928].

В текущем проекте предпринята попытка доказательства реальности существования физических систем, в которых статистическое равновесие реализуется по схеме, изображённой на рисунке 2.3:

НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ

НЕ ОДИНАКОВА

НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ

Рис. 2.3. Реализация глобального равновесия (вариант "б") Качественное отличие глобального равновесия, изображённого на рис. 2.3, от также глобального равновесия, схема которого приводилась ранее на рис. 2.2, состоит в следующем. В фазовом пространстве, фрагмент которого приведён на рис. 2.3, должны существовать некоторые равновеликие по объёму области, усреднённая по времени вероятность перехода между которыми будет отличаться в прямом и обратном направлениях (на рис. 2.3 видно, что вероятность перехода в состояние "A" из других состояний меньше, чем вероятность ухода из него; для состояния "B" — наоборот).

Очевидно, что если бы пропорции в количестве микросостояний различного вида соответствовали тому, что изображено на рис. 2.3, то данная физическая система не была бы стационарной, а значит и равновесной. Равновесие в этом случае возможно только тогда, когда в фазовом пространстве имеется различная кратность выделенных групп микросостояний. В статистической физике эта ситуация считается нереализуемой в пределах единой изоэнергетической поверхности. При рассмотрении же областей фазового пространства, принадлежащих разным энергетическим слоям, такое вполне реально. Например, частицам равновесного газа с максвелловским распределением по уровням энергии — соответствует их не одинаковая количественная кратность для различных изоэнергетических групп. Эта кратность компенсирует разницу в вероятностях отдельных переходов частиц между состояниями с не одинаковой энергией.

Д. И. Блохинцев, ЖЭТФ 17, 924 (1947), [05].

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== На рис. 2.4 как раз изображён тот случай, когда в равновесной изолированной физической системе отсутствие равновероятности отдельных изоэнергетических микросостояний компенсируется различной количественной кратностью этих состояний.

ГЛОБАЛЬНОЕ ГЛОБАЛЬНОЕ

Рис. 2.4. Реализация глобального равновесия (вариант "в") Важной особенностью глобального статистического равновесия, реализуемого по схеме на рис. 2.4, является его существенное отличие от других известных вариантов глобального равновесия (см. рис. 2.2) на макроскопическом уровне. Дело в том, что в физической системе, в которой имеет место такое равновесие, одинаковые по объёму области доступного фазового пространства должны «посещаться» системой не одинаково часто. Следовательно, различные макроскопические состояния, определяемые совокупностью микросостояний из соответствующих фазовых областей, будут осуществляться с различной вероятностью.

На рис. 2.5 дана графическая иллюстрация вышеописанного состояния глобального статистического равновесия. В изображённом изолированном сосуде наиболее вероятное состояние содержащегося в нём газа реализуется «анизотропным образом». При этом имеет место неоднородная концентрация частиц в различных частях объёма сосуда (какие-либо внешние потенциальные поля в системе отсутствуют). Кроме того, ================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== существуют постоянно направленные замкнутые (вихревые) потоки частиц, осуществляющие некие процессы переноса. Важно отметить, что эти макроскопические эффекты имеют стационарный (не флуктуационный) характер и являются прямым следствием не одинаковой вероятности пребывания системы в различных областях доступного ей фазового пространства. В частности, неоднородная плотность вероятности пребывания системы в разных частях фазового подпространства импульсов обеспечивает наличие потоков частиц. Аналогичная неоднородность применительно к геометрическому подпространству — создаёт градиент концентрации частиц внутри сосуда.

Условие корректности аксиоматики статистической физики Предположим, что реально существуют физические системы, для которых их состояния статистического равновесия реализуются вышеописанным глобальным (но не детальным) образом. Более того, указанные состояния осуществляются по схеме, предполагающей различную кратность пребывания этих систем в отдельных доступных им изоэнергетических микросостояниях. Данные системы могли бы обладать совершенно особыми практически полезными макроскопическими свойствами. Наличие указанных свойств принципиально не противоречит выводам таких научных дисциплин, как статистическая физика и термодинамика, поскольку рассмотрение этих систем находится за пределами «зоны ответственности» модельных представлений упомянутых наук 1.

Определим направление, в котором следует выполнять поиск физических систем данного специального типа. Очевидно, что надо попытаться найти такие варианты реализации квантовых процессов, при осуществлении которых имела бы место различная средняя вероятность прямого и обратного перехода (в единицу времени) системы между двумя равновеликими областями доступного фазового пространства. Как уже было показано ранее, наличие процессов перехода с такого рода «несимметричной вероятностью» — автоматически обеспечивает и существование не одинаковой вероятности пребывания (обнаружения) системы в разных участках фазового объёма.

Ограничим круг рассматриваемых явлений анализом динамики частиц невырожденного квантового газа, содержащегося в некотором изолированном объёме постоянной величины (требование замкнутости системы). Будем также считать данный газ идеальным в том смысле, что взаимодействием отдельных частиц между собой 2 можно пренебречь. Для фотонного газа требование идеальности выполняется почти всегда 3.

Для других случаев выполнение этого требования вводит надлежащее ограничение на объёмную концентрацию соответствующего вида частиц в системе.

Вышеупомянутое свойство идеальности газа позволяет при исследовании поведения системы, состоящей из N частиц, свести рассмотрение 6N - мерного фазового - пространства всей физической системы к анализу динамики отдельных частиц газа, См. Введение к настоящей работе.

Для совокупностей частиц, имеющих электрический заряд, учёт коллективных свойств этих частиц может быть выполнен путём переопределения их результирующего самосогласованного электромагнитного поля — как внешнего макроскопического поля для каждой частицы.

Кроме случаев, когда существенны проявления нелинейных эффектов в оптически плотных средах [43, стр. 211], или, например, когда необходимо учитывать гравитационное взаимодействие фотонов, что характерно для астрофизических процессов.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== каждая из которых пребывает в своём индивидуальном шестимерном фазовом - пространстве. Этот подход, реализованный, например, в так называемом методе «пробной частицы», позволяет получить полностью объективные 1 значения макроскопических параметров системы за счёт естественного временнго усреднения 2 характеристик движения единичной наблюдаемой частицы газа.

В рамках описываемой физической модели будем исследовать процессы изоэнергетического перехода отдельных частиц из одних состояний в другие. Такого рода переходы имеют место в тех случаях, когда присутствует упругое рассеяние частиц на границах содержащего их объёма или на каких-либо внутриобъёмных центрах. Как будет показано в дальнейшем, во многих практически значимых случаях изоэнергетические процессы релаксации импульсов количественно доминируют над неупругими процессами рассеяния частиц. Это обуславливает ведущую роль именно изоэнергетических процессов в формировании соответствующих макроскопических состояний.

Будем также считать, что средняя длина свободного пробега " " частиц за некоторое среднее время "" между отдельными актами релаксации их импульса 3 — имеет существенно бльший порядок величины по сравнению с длинами волн "" де Бройля, типичными для частиц исследуемого газа. Это даёт возможность использовать для описания эволюции системы «смешанную» модель, общепринятую в таких случаях:

акты рассеяния частиц рассматриваются как индетерминированные квантовые процессы, а динамика этих частиц в промежутках времени между актами их рассеяния (так называемый «свободный пробег») представляется как строго детерминированное движение локализованных в пространстве классических частиц.

Линейные размеры "L" замкнутого объёма, содержащего газ квантовых частиц, должны быть сопоставимы по порядку величины со средней длиной свободного пробега " " этих частиц. Данное свойство характеризуется значением числа Кнудсена физической системы, не меньшим единицы, что обеспечивает постоянное пребывание основного количества частиц газа в кнудсеновской области («газ Кнудсена 4»). Как будет показано в дальнейшем, такое требование не континуального поведения исследуемого газа является существенно необходимым 5 [17, стр. 56], [27, стр. 413], [28, стр. 273].

Т. е. не использующие при своём выводе априорные аксиоматические принципы.

Как уже говорилось ранее, именно такое усреднение (т. е. усреднение по времени) требуется непосредственно самим определением макроскопических параметров.

Данная формулировка предполагает корректность понятия - приближения, а именно:

частица в промежутках времени между актами рассеяния движется свободно, как квазиточечный волновой пакет. Перемещение центра плотности «объёма вероятности»

этого пакета — тождественно динамике классической корпускулярной частицы, которая в течение времени "" своего «свободного пробега» взаимодействует только с макроскопическими силовыми полями (если таковые есть) [11, стр. 54-59].

В молекулярной динамике этот газ принято называть «свободномолекулярным».

Заметим, что свойство не континуального поведения газа — не следует автоматически из требования его идеальности. Идеальность газа означает только отсутствие столкновений его частиц между собой. Пребывание же газа в кнудсеновской области предполагает малую вероятность любого вида внутриобъёмного рассеяния частиц.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Сосуд с газом квантовых частиц Рис. 2.6. Замкнутая система, содержащая кнудсеновский газ Сформулируем теперь те свойства изображённой на рис. 2.6 системы, наличие которых обязательно с точки зрения соблюдения аксиоматики статистической физики.

Указанные свойства сводятся к декларации ряда обобщённых требований, предъявляемых ко всему допустимому множеству параметров релаксации импульсов частиц квантового газа, — как на внутриобъёмных центрах рассеяния (если такие центры есть), так и на границах занимаемого газом объёма системы.

Упомянутые параметры релаксации представляют собой не что иное, как индикатрисы 1, характеризующие плотность вероятности рассеяния частицы в различных угловых направлениях. При этом вектор импульса частицы может менять свою ориентацию в геометрическом пространстве, но его абсолютная величина остаётся неизменной (как было решено ранее, рассмотрению подлежат только изоэнергетические процессы упругого рассеяния).

Принципиально важным обстоятельством является то, что в рассматриваемых случаях каждый отдельный акт рассеяния частицы является индуцированным 2 процессом. Для осуществления перехода частицы между различными частями её фазового - пространства требуется обязательное наличие самого факта события взаимодействия (столкновения) данной частицы с тем или иным рассеивающим элементом системы.

Таким образом, вероятность перехода частицы между двумя её микросостояниями 3 определяется, в свою очередь, следующими различными группами вероятностей:

Индикатриса — функциональная зависимость какой-либо величины от угловых направлений, как правило, в геометрическом пространстве.

Индуцированный — вынужденный, обусловленный внешним воздействием.

Применительно к квантовой системе не представляется возможным точно локализовать положение микросостояния частицы в её фазовом пространстве (вследствие неопределённостей Гейзенберга любое микросостояние занимает в - пространстве некоторый конечный объём, бльший нуля). Данное обстоятельство позволяет корректно использовать понятие именно вероятности, а не плотности вероятности, как это требуется для случая строго детерминированного описания классической системы.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== a). Вероятность реализации самого факта события, инициирующего квантовый переход рассматриваемой одночастичной системы (метод «пробной частицы») из её текущего микросостояния в любое другое микросостояние, совместимое с текущим.

b). Вероятность некоторого конкретного исхода события квантового перехода, выделенного из множества допустимых вариантов. При этом уже известно, что сам факт события перехода — точно имеет место. Иначе говоря, в данном случае речь идёт об «условной вероятности по Байесу» [09, стр. 35-36, 81], [12, стр. 443-444, 450], [16, стр. 312-315], [25, стр. 552], [31, стр. 109-115], [33, стр. 53-54, 64-66].

Вероятность исхода индуцированного события квантового перехода Рассмотрим вероятности как прямого, так и обратного перехода частицы между двумя выделенными микросостояниями "A" и "B" в её фазовом - пространстве. При этом будем считать, что имеет место вышеуказанный случай "b", т. е. сам факт некоторой реализации обоих видов переходов — осуществляется безусловно:

Поверхность, рассеивающая частицы квантового газа Рис. 2.7. Переходы между микросостояниями "A" и "B" В классической физике равенство вероятностей прямого и обратного переходов обусловлено детерминированным и обратимым во времени характером соответствующих законов динамики: если для некоторых заданных условий (параметры движения частицы, свойства рассеивающей поверхности) имеется отличная от нуля вероятность перехода из микросостояния "A" в микросостояние "B", то:

– Указанная вероятность перехода из состояния "A" в состояние "B" строго равна единице (отсутствие индетерминированности, т. е. «вероятностной размытости» событий, определяемых классическими законами).

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== – Вероятность перехода из состояния "B" в состояние "A" — также равна единице (следствие обратимости законов классической динамики во времени).

При этом обычно принимается ряд предположений достаточно общего характера.

В частности считается, что непосредственно перед столкновением с рассеивающим элементом частицы движутся по прямолинейным траекториям [28, стр. 206]. Уточнение такого рода упрощает определение угловых характеристик траекторий частиц до и после столкновения, и, в частности, делает необязательной оговорку о необходимости изменения знака магнитной индукции 1 (если она не равна нулю) в системе при раздельном рассмотрении прямого и обратного переходов между микросостояниями. Все отклонения от описываемой равновероятности переходов, гипотетически существующие для, например, частиц несферической формы [34, стр. 338], если и могут себя проявлять, то лишь на микроуровне, т. е. в рамках единичных актов рассеяния.

В квантовой физике также считается, что имеет место равенство вероятностей 2 во времени прямого и обратного переходов между двумя выделенными микросостояниями. Это равенство реализуется в рамках так называемой СРТ-теоремы Паули–Людерса:

если в природе есть вероятность осуществления некоторого процесса, то точно с такой же амплитудой вероятности в ней осуществим и некий сопряженный процесс, в котором частицы заменены соответствующими античастицами, проекции их спинов и импульсов изменили знак, а начальное и конечное положение частиц в геометрическом пространстве – поменялись местами. В настоящей работе уместно использовать менее строгое, чем СРТ-теорема, понятие Т-инвариантности, означающее симметрию вероятности осуществления физического процесса относительно инверсии знака времени 3.

Приведём несколько типичных цитат по этому поводу. Характерный взгляд на данный вопрос можно, например, обнаружить в книге А. И. Ансельма "Основы статистической физики и термодинамики" [02, стр. 402-403]:

“В случае равновесного состояния электронного газа f ( v ) = f 0 ( v ) и f ( v ) = f 0 ( v ), где f 0 – равновесная функция распределения Ферми или Максвелла 4.

Если рассеяние электронов происходит упруго, т. е. без изменения энергии ( = m v 2 / 2 = = m v 2 / 2 ), то v = v. В этом случае при В классической механике обратимость во времени имеет место в случае инвариантности внешних сил относительно перемены знака скоростей частиц [05, стр. 924].

В отличие от классической физики, в квантовой механике вероятности переходов между состояниями почти никогда реально не равны в точности нулю или единице, что объясняется индетерминированным характером рассеяния частиц.

Т-инвариантность нарушается лишь в процессах, заведомо не имеющих отношения к предмету настоящей работы, например, при слабых распадах K0, B0 и D0 - мезонов.

Корректнее было бы определить равновесную функцию, как некую функцию распределения, соответствующую наиболее вероятному макросостоянию системы – В. С.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Отсюда следует, что т. е. вероятности прямых и обратных переходов одинаковы. Условие (5.5) носит название принципа детального равновесия.

Очевидно, что соотношение (5.5), относящееся к элементарному акту рассеяния, не зависит от того, находится ли электронный газ в равновесном или неравновесном состоянии [выделено мной – В. С.]”.

В книге Д. И. Блохинцева "Основы квантовой механики" вышеописанная равновероятность прямых и обратных переходов между различными состояниями квантовой физической системы именуется как принцип детального баланса. Данный принцип здесь определён на основе рассмотрения акта рассеяния частиц в рамках модельных представлений матричной механики Гейзенберга:

где S – унитарный оператор, представляющий собой так называемую матрицу рассеяния. Матричные элементы оператора S (t, t0 ) определяют вероятности переходов из одного квантового состояния в другое: Pmn (t, t0 ) = Smn (t, t0 ), где Pmn (t, t0 ) – это вероятность перехода системы из состояния L = Ln (момент времени t0 ) в состояние L = Lm (момент времени t ). Именно такой подход является наиболее адекватным для случая, когда свободная частица осуществляет индуцированный (в результате акта рассеяния на препятствии) переход из одного удалённого ( t0 ) чистого 1 состояния в другое удалённое ( t + ) чистое состояние, что, например, характерно для случая дифракции Фраунгофера [04, стр. 174]:

“В квантовой статистике широко используется так называемый принцип детального баланса. Согласно этому принципу вероятность перехода из состояния n в состояние m равна вероятности перехода из состояния m в состояние n за тот же промежуток времени. На самом деле этот принцип имеет весьма ограниченное значение. Он верен лишь в первом приближении теории возмущений. Он верен также в некоторых специальных случаях, когда силы, действующие между частицами, — центральные.

Принцип детального баланса был бы верен точно в том случае, если бы матрица S была бы эрмитовой. На самом деле она есть матрица унитарная; поэтому величина Smn, вообще говоря, не равна величине Snm.

Здесь под «чистым» состоянием частицы понимается такое состояние одночастичной системы, которое является максимально полным для заданных условий. В частности, для свободной частицы могут быть одновременно и абсолютно точно (без какой-либо вероятностной дисперсии) заданы три составляющие её импульса px, py и pz. При этом координаты частицы оказываются совершенно не определёнными, так как состояние системы описывается плоской волной де Бройля, и частица не имеет пространственной локализации [02, стр. 78], [10, стр. 175-176], [34, стр. 376-379].

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Отсюда не следует делать заключения о необратимости квантовой механики. Известно из классической механики, что если силы не зависят от скоростей, то изменение скоростей всех частиц на обратные ведёт к тому, что всё движение воспроизводится в обратном порядке.

Можно доказать, что при этих же условиях и в квантовой механике имеет место совершенно такая же обратимость. Именно, вероятность за время t перейти из состояния, характеризуемого импульсами частиц p10, p2,... (состояние ), в состояние с импульсами p1, p2,... (состояние ) равна вероятности за такой же отрезок времени перейти из состояния, характеризуемого обращёнными импульсами p1, p2,... (обращённое состояние ), в состояние с импульсами p10, p2,... (обращённое состояние ) 1".

В книге Ю. Б. Румера и М. Ш. Рывкина "Термодинамика, статистическая физика и кинетика" равновероятность прямых и обратных переходов между состояниями квантовой физической системы анализируется в рамках модельных представлений, основанных на уравнении Шредингера. Получаемые при этом результаты, естественно, тождественны тем, что имели место при использовании аппарата матричной механики Гейзенберга [34, стр. 324-325, 338]:

“Введём теперь важный физический закон, называемый принципом детального равновесия. Законы, определяющие изменение микросостояний системы во времени, это – либо законы классической механики, либо законы квантовой механики. В случае замкнутой системы и те и другие законы симметричны по отношению к изменению знака времени – замене t на - t. В классической механике это следует из того, что основное её уравнение второго порядка по отношению ко времени. Поэтому при замене t на - t левая часть этого уравнения инвариантна, а правая часть, вообще, не содержит t явно. В квантовой механике бесспиновых частиц это следует из того, что замена t на - t превращает уравнение Шредингера для волновой функции ( qi, t ) системы в уравнение для комплексно сопряжённой функции (для системы частиц, не имеющих спина, гамильтониан H вещественен). Но комплексно сопряжённая волновая функция * ( qi, t ) опиСм. по этому поводу работу автора, Д. И. Блохинцев, ЖЭТФ 17, 924 (1947), где подробно рассмотрен этот вопрос — примечание цитируемого автора, [05].

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== сывает то же самое состояние, что и ( qi, t ), но с изменённым знаком вектора плотности тока вероятности j. С другой стороны, при замене t на - t начальное и конечное состояния системы меняются местами. Поэтому вероятность прямого и обратного перехода x y и y x должны быть одинаковыми и функция w(y, x, t) должна быть симметричной по первой паре аргументов:

Это утверждение и называется принципом детального равновесия.

Этот принцип в такой форме справедлив для замкнутой системы частиц без спина, причём и в том случае, если система находится в независящем от времени внешнем поле (все предшествующие рассуждения остаются справедливыми и в этом случае). В случае системы частиц, имеющих спиновые моменты, соотношение (64.6) уже не является справедливым. Можно, однако, доказать, что в этом случае принцип детального равновесия справедлив для вероятностей, усреднённых по спинам начального и конечного состояний.

Заметим, наконец, что название «принцип детального равновесия» связано с тем, что равенство (64.6) справедливо для любых двух пар точек x, y и динамическое равновесие чисел заполнения поддерживается переходами из x в y и из y в x непосредственно (по схеме: x y), а не посредством промежуточных состояний z (не

Будем считать, что имеет место принцип детального равновесия. С квантовомеханической точки зрения это значит, что мы либо рассматриваем газ бесспиновых частиц, либо проводим усреднение по спинам начального и конечного состояний. С точки зрения классической механики это означает предположение о сферической симметрии частиц газа (ещё самим Больцманом было отмечено, что для частиц несферической формы принцип детального равновесия несправедлив)”.

Естественно, во всех цитируемых случаях обращает на себя внимание тот факт, что декларируемую равновероятность переходов относят к единице времени, а не к числу самих событий переходов. Тем не менее, при изоэнергетическом характере индуцируемых процессов рассеяния и одинаковой кратности начального и конечного квантовых состояний, описанные равные вероятности переходов во времени означают среднестатистическую равновероятность исходов именно единичных актов рассеяния.

Действительно, изоэнергетический («упругий») характер рассеяния частиц предполагает сохранение первоначального числа этих частиц по окончании процесса перехода системы из одного состояния в другое 1. Следовательно, число частиц, участвуюНапример, при упругом рассеянии частиц на некоторой поверхности, для молекулярного газа исключается из рассмотрения явление абсорбции, для газа электронов проводимости в твёрдом теле — рекомбинации, а для фотонного газа — процессы поглощения световых квантов.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== щих как «прямом», так и в «обратном» переходах, должно совпадать. Это, собственно, и означает одинаковую кратность обоих рассматриваемых состояний системы.

При рассмотрении рассеяния частиц поверхностью 1 из одного удалённого чистого состояния в другое (см. рис. 2.7), становится очевидным следующее. За одинаковые промежутки времени, в течение которых осуществляются «прямой» и «обратный»

переходы между состояниями одинаковой кратности "A" и "B", число событий столкновений частиц со стенкой — обязательно будет равным для обоих случаев переходов.

Таким образом, сравнивая параметры изоэнергетических индуцированных переходов квантовой системы между двумя чистыми состояниями в «прямом» и «обратном» направлениях, можно утверждать следующее:

– Кратность начального и конечного состояний системы — всегда одинакова.

– Количество актов инициирования (индукции) переходов, определяемое числом столкновений частиц с рассеивающими элементами системы, также одинаково.

– Среднестатистическая вероятность перехода системы из одного состояния в другое, отнесённая к единице времени, — одинакова в обоих направлениях.

– Во время свободного движения частиц 2, образующих рассматриваемую систему, их чистые состояния не претерпевают изменений. Собственно процесс перехода между состояниями системы обуславливается актами релаксации импульсов частиц при их столкновении с рассеивающими элементами, например, с какой-либо поверхностью.

Из сказанного, очевидно, что переходы между состояниями непосредственно реализуются лишь при актах рассеяния частиц, а количество этих актов и самих частиц остаётся неизменным вне зависимости от направленности процесса перехода. Следовательно, равновероятность прямого и обратного переходов системы за один и тот же промежуток времени — означает равновероятность прямого и обратного переходов, реализуемых в результате осуществления каждого единичного 3 акта рассеяния частиц.

Таким образом, есть основания утверждать, что среднестатистические вероятности 4 как «прямого», так и «обратного» переходов в единицу времени между двумя выделенными изоэнергетическими состояниями замкнутой физической системы (классической или квантовой), могут быть равны между собой лишь при том условии, что имеет место одинаковое количество единичных актов рассеяния для обоих направлений за тот же промежуток времени 5. Иными словами, для осуществления статистического равновесия требуется одинаковая кратность (в единицу времени) самих событий релаксаций импульсов для «прямого» и «обратного» направлений.

Именно этот вариант изоэнергетического рассеяния имеет принципиальный интерес.

Т. е. во время движения в удалённой зоне, отстоящей от рассеивающего элемента на существенно бльшем расстоянии, чем характерные длины волн де Бройля частиц.

Как уже говорилось, для частиц со спином это равенство имеет место после надлежащего статистического усреднения по всем начальным и конечным состояниям.

Именно такого рода вероятности определяют макроскопические свойства систем, т. е.

те их свойства, которые единственно и имеют практическое значение.

Это утверждение тем более очевидно, что в качестве исследуемого объекта мы имеем право выбрать одночастичную систему или систему идеального газа, сводящуюся к совокупности одночастичных систем.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Вероятность индукции события квантового перехода Рассмотрим теперь вероятность инициирования (индуцирования) самого факта события перехода из текущего микросостояния системы в одно (классическая физика) или некоторое допустимое множество (квантовая механика) других микросостояний. В частности, оценим указанную вероятность события перехода для диффузного макросостояния газа в изображённой на рис. 2.6 системе.

Диффузное макросостояние газа соответствует его равновесному состоянию в классическом определении данного понятия (см. стр. 13), причём для всех частиц, имеющих одинаковую полную энергию (изоэнергетичность), справедливо следующее:

– Направление движения какой-либо частицы, находящейся в произвольном месте геометрического объёма системы, равновероятно для любой угловой ориентации вектора импульса этой частицы (изотропность импульсов).

– Существует одинаковая вероятность пребывания частиц в различных частях геометрического объёма системы (изотропность концентрации) 1.

Пусть событие перехода реализуется вследствие релаксации импульсов частиц на некоторых внутриобъёмных центрах рассеяния. На рис. 2.8 условно изображена такая картина изотропной внутриобъёмной релаксации:

Рис. 2.8. Изотропная внутриобъёмная релаксация импульсов частиц Поскольку для диффузного газа имеет место изотропный характер концентрации, а также равновероятная направленность движения частиц в занимаемом пространстве, то в этой ситуации нет оснований ожидать наличия какой-либо угловой или пространственной анизотропии в среднестатистической интенсивности (по количеству в единицу времени) столкновений частиц с рассеивающими элементами физической системы.

Напомним, что здесь речь идёт об изоэнергетических процессах переходов между состояниями. Поэтому те случаи, когда наличие градиента концентрации частиц обусловлено присутствием каких-либо внешних потенциальных полей (вспомним, хотя бы, барометрическую формулу), к рассматриваемой ситуации отношения не имеют.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Конечно, возможны ситуации, когда внутриобъёмная релаксация носит анизотропный характер. В качестве примера приведём макроскопический процесс определённо направленной диффузии газа, вызванный наличием градиента концентрации частиц в занимаемом ими геометрическом объёме. При этом длина свободного пробега частиц, а значит и средняя по времени частота осуществления актов релаксации их импульсов, зависит от направления движения этих частиц в пространстве (см. рис. 2.9):

Рис. 2.9. Анизотропная внутриобъёмная релаксация импульсов частиц Однако изображённый на рис. 2.9 случай характерен лишь для неравновесных процессов, в ходе которых осуществляется динамический переход системы из менее вероятного макроскопического состояния — в более вероятное 1.

Рассмотрим теперь ситуацию на границах геометрического объёма системы, заполненного газом частиц 2. В этом случае события перехода между микросостояниями реализуются вследствие релаксации импульсов частиц на той поверхности (стенке), которая ограничивает указанный объём.

На рис. 2.10 изображена схема рассеяния частицы отражающей поверхностью "S".

Положение частицы до акта рассеяния обозначено как "A", после рассеяния – "B", условная точка соприкосновения частицы с поверхностью – "0". Углы падения "" и отражения "" частицы отсчитываются относительно нормали "n-0" к поверхности 3.

Азимутальный угол рассеяния "" здесь измеряется относительно плоскости падения "A-0-C" частицы, но иногда углы азимута характеризуются двумя значениями, определяемыми отдельно для плоскостей падения "A-0-C" и отражения "B-0-D". В последнем случае эти углы отсчитываются относительно некоторого фиксированного азимутального направления на поверхности "S".

Например, истечение газа в окружающую среду из отверстия в баллоне, давление внутри которого превышает наружное за счёт более высокой концентрации частиц.

В замкнутых физических системах наличие таких границ — строго обязательно.

Иногда эти углы обозначают буквами "" и "", что менее удобно из-за их сходства.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== Угловые характеристики рассеяния частиц поверхностью Уже давно доказано 1, что диффузный газ будет находиться в состоянии термодинамического равновесия 2 с некоторой отражающей поверхностью, если угловые характеристики 3 рассеиваемого газа будут соответствовать двум следующим условиям:

– Азимутальное направление рассеяния частиц — должно быть равновероятно для всех возможных значений соответствующего угла "" (от 0 до 2 радиан). Смысл этого условия очевиден: при его несоблюдении изотропное поле скоростей частиц диффузного газа после взаимодействия этого газа со стенкой стало бы анизотропным, что вызвало бы появление постоянно направленных потоков рассеянного газа в определённых азимутальных направлениях.

– Плотность вероятности для угла отражения "" частиц, «покидающих» поверхность, должна быть описана точно такой же функциональной зависимостью, как и плотность вероятности для частиц, «прибывающих» на поверхность под углом падения В области оптики (закон Ламберта) — Фурье и Пуассон [35, стр. 63], в области молекулярной динамики (закон Кнудсена) — Epstein P. S., Phys. Rev., 1924, v. 23, 710. (Имеется перевод: В книге: "Газовая динамика". – М.: ИЛ, 1950, с. 283-309);

Gaede W. – Ann. d. Phys., 1913, B. 41, 331 [32, стр. 45].

Речь идёт как о детальном, так и о глобальном статистическом равновесии. На макроскопическом уровне эти два вида равновесия не различимы. В квантовой физике они также не различимы и на микроуровне — вследствие декларируемой идентичности тех состояний, которые отличаются лишь «взаимозаменой» однотипных частиц.

Напомним, что рассматриваются изоэнергетические процессы рассеяния. Поэтому релаксация импульса частицы газа сводится лишь к изменению угловой направленности вектора этого импульса, скалярная величина которого остаётся постоянной.

================================================================== Глава 2. Анализ выполнимости аксиоматических принципов.

Уточнение аксиоматических принципов статистической физики ================================================================== "". Необходимость этого условия опять-таки очевидна, так как в противном случае плотность прямого и обратного потоков частиц вдоль некоторых угловых направлений — перестала бы совпадать, что привело бы к нарушению изотропности свойств газа в пристеночном пространстве ввиду дисбаланса процессов переноса.

Вышеупомянутая зависимость, описывающая плотность вероятности падения (отражения) частицы как функцию соответствующей угловой характеристики, называется законом Кнудсена 1 или законом Ламберта 2, — в зависимости от вида изучаемой физической системы. Оба этих закона имеют абсолютно тождественную математическую форму представления и описывают идентичные параметры рассеяния 3 частиц различной природы на некоторой поверхности [17, стр. 52-53, 140], [36, стр. 150].