«С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко СОЧЛЕНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ В ДИНАМИКЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Иркутск 2012 УДК 621.01 ББК 34.41 Е 51 Рекомендовано к изданию редакционным советом ИрГУПС Рецензенты П.А. Лонцих, зав. каф. ...»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко

СОЧЛЕНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ

В ДИНАМИКЕ МЕХАНИЧЕСКИХ

КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Иркутск 2012

УДК 621.01

ББК 34.41

Е 51

Рекомендовано к изданию редакционным советом ИрГУПС Рецензенты П.А. Лонцих, зав. каф. управления качеством и механики НИ ИрГТУ, проф., д.т.н., директор Иркутского филиала Ассоциации по сертификации «Русский регистр»;

А.И. Федотов, зав. каф. «Автомобильный транспорт» НИ ИрГТУ, проф., д.т.н.

Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В.

Сочленения звеньев в динамике механических колебательных Е систем : монография. – Иркутск : ИрГУПС, 2012. – 156 с.

Монография посвящена современным проблемам динамики машин и оборудования в задачах вибрационной защиты. Предлагается методологическая основа решения теоретических и прикладных вопросов на основе структурных методов анализа и динамического синтеза виброзащитных систем. Значительное внимание уделяется особенностям построения математических моделей механических колебательных систем.

Показаны возможности метода построения математических моделей на основе введения сочленений твердых звеньев. Рассматриваются характерные для виброзащитной практики задачи динамического гашения колебаний. Режим динамического гашения трактуется с позиций теории обратных связей.

Приводится ряд технических приложений.

Монография представляет интерес для научных сотрудников, работающих в области динамики машин, мехатроники и робототехники, а также может быть полезна студентам инженерно-механических специальностей.

УДК 621. ББК 34. © Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В, © Иркутский государственный университет путей сообщения,

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

Глава 1. Методологические основы решения задач виброзащиты и виброизоляции машин и оборудования

1.1. Объекты защиты от вибраций. Типовые элементы

1.2. Тенденции развития направлений исследований

1.3. Связи в механических системах

1.4. Формы динамических взаимодействий ……………………......... 1.5. Структурные подходы в теории виброзащитных систем........... Библиография к 1-й главе………………………………………........... Глава 2. Изменение динамических свойств механических колебательных систем при введении сочленений звеньев................. 2.1. Общие положения. Постановка задач исследования ……........... 2.2. Построение математических моделей ……………………........... 2.3. Возможности моделирования в различных системах координат

2.4. Введение двух сочленений …………………………………......... Библиография ко 2-й главе ……………………………………............ Глава 3. Особенности наложения связей для механических систем с сочленениями

3.1. Общие положения …………………………………………............ 3.2. Некоторые обобщения теоремы о наложении связей ….............. 3.3. Возможности приложения теоремы ………………………........... Библиография к 3-й главе …………………………………….............. Глава 4. Взаимодействие твердых тел при сочленениях вращательного типа

4.1. Постановка задачи исследования. Общие положения ……......... 4.2. Сочленения в балочной системе с двумя степенями свободы …………………………………………………………............ 4.3. Особенности выбора системы координат ………………............. 4.4. Сравнительный анализ ………………………………………........ 4.5. Особенности динамических свойств ………………………......... Библиография к 4-й главе …………………………………….............. Глава 5. Механические колебательные системы с поступательными движениями. Возможные формы сочленения звеньев

5.1. Постановка задачи. Общие положения ……………………......... 5.2. Выбор координат относительного движения ……………........... 5.3. Особенности различных систем координат ……………….......... 5.4. Структурные интерпретации систем. Сложные режимы........... Библиография к 5-й главе …………………………………….............. Глава 6. Введение дополнительных связей в систему динамического гашения колебаний

6.1. Постановка задачи. Общие положения ……………………......... 6.2. Оценка динамических свойств. Введение дополнительных связей …………………………………………

6.3. Учет особенностей внешнего воздействия ……………............... Библиография к 6-й главе …………………………………….............. Глава 7. Рычажный гаситель колебаний в механической системе с объектом защиты от вибраций в виде твердого тела на упругих опорах

7.1. Общие положения …………………………………………............ 7.2. Построение математических моделей ……………………......... 7.3. Свойства систем. Выбор координат движения …………........... 7.4. Передаточные функции систем. Динамические свойства......... 7.5. Оценка динамических свойств ……………………………......... Библиография к 7-й главе ……………………………………............ Глава 8. Межкоординатные связи в теории виброзащиты ……….... 8.1. Постановка задачи. Общие положения …………………........... 8.2. Оценка динамических свойств ……………………………......... 8.3. Выбор систем координат y1, y2 …………………………............ 8.4. Передаточные функции системы и ее особенности ……........... Библиография к 8-й главе ……………………………………............ Глава 9. Некоторые технические приложения структурной теории виброзащитных систем

9.1. Динамический гаситель колебаний с Г-образными элементами …………………………………………………………... 9.2. Подвеска с возможностями динамического гашения колебаний …………………………………………………………..... 9.3. Способ регулирования жесткости виброзащитной системы и устройство для его осуществления ……………………………….. 9.4. Управляемое устройство для гашения колебаний …………...... Библиография к 9-й главе ………………………………………........ Заключение …………………………………………………………...

ПРЕДИСЛОВИЕ

Динамика современных машин в последние годы развивается, опираясь на ряд новых научных направлений, связанных с робототехникой, мехатроникой, вибродиагностикой и новыми технологиями, требующими в своих реализациях нетрадиционных средств технической поддержки и обеспечения безопасности производственных процессов. В этом плане вопросы взаимодействия рабочих органов машин с внешней средой попрежнему остаются актуальными для теоретических исследований и практических приложений. Вибрации и ударные нагрузки характерны для машин и оборудования многих отраслей промышленности и транспорта в частности.

Развитие различных видов транспортных средств, повышение скоростей движения, увеличение грузоподъемности, маневренности, надежности функционирования систем управления определяют высокий уровень требований к поискам и разработкам новых способов и средств управления динамическим состоянием технических объектов различного назначения.

Автоматизация управления состоянием технических объектов становится все более важным направлением исследований, в рамках которых нашли применение методы и аналитический аппарат теории систем, теории автоматического управления, теоретической механики и ее разнообразных приложений.

В предлагаемой работе нашли отражение результаты теоретических и прикладных исследований, проводившихся в Иркутском государственном университете путей сообщения по проблемам защиты машин и оборудования от вибрационных воздействий. Истоки начальных разработок связаны с участием в реализации ряда научных программ, проводившихся в разное время в таких организациях, как Институт машиноведения РАН, Иркутский вычислительный центр СО РАН, и вузах Сибири (Иркутский государственный технический университет, Иркутский государственный университет путей сообщения, Братский и Забайкальский государственные университеты). Большой вклад в развитие мехатронных подходов в динамике механических систем, теории и практики виброзащитных систем внесли проф., д.т.н. А.П. Хоменко, проф., д.т.н. Ю.Н. Резник, проф., д.т.н.

С.В. Белокобыльский и др. В ряде научных технических разработок приняли участие кандидаты технических наук А.В. Димов, Н.В. Банина, Р.Ю. Упырь, А.С. Логунов, Д.Н. Насников. Приоритеты научного направления получили закрепление в профессиональной среде многочисленными публикациями в научной периодике, получено несколько десятков российских патентов.

Результаты научных разработок имеют методологическое значение не только для специалистов, работающих в области современной динамики машин и ее разнообразных направлений, связанных с задачами управления динамическим состоянием, но и для специалистов широкого круга, имеющих дело с поиском и разработкой новых технических средств, в частности, в задачах транспортной динамики.

Авторы благодарят к.т.н. И.В. Фомину за существенный вклад в научные разработки.

Авторы:

С.В. Елисеев Ю.В. Ермошенко

ГЛАВА 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ ВИБРОЗАЩИТЫ И ВИБРОИЗОЛЯЦИИ МАШИН

И ОБОРУДОВАНИЯ

В теоретических работах по динамике машин, защите приборов и аппаратуры от вибраций механические колебательные системы чаще всего рассматриваются, как расчетные схемы технических объектов. Такие схемы состоят из определенного набора элементов, называемых типовыми звеньями. К их числу относятся упругие и диссипативные, массоинерционные элементы и устройства. Конструктивно-технические формы упругих и диссипативных элементов могут быть различными и часто представляют собой агрегаты, то есть достаточно сложные объединения элементов, образующих механические цепи и механизмы, в том числе. Для удобства аналитических расчетов упругие, диссипативные и инерционные свойства соотносят с элементами системы, имеющими абстрактный вид идеальных пружин, демпферов, материальных точек, невесомых или весомых стержней, абсолютно твердых тел конечных размеров (балок), систем сочлененных твердых тел. В реальной практике элементы механических колебательных систем могут обладать более сложным набором свойств, входить в различные соединения между собой и обладать нелинейными свойствами. Представления о существовании типовых элементарных звеньев и правилах их объединения упрощают процедуры составления дифференциальных уравнений, описывающих динамическое состояние виброзащитной системы.

1.1. Объекты защиты от вибраций. Типовые элементы I. Технические объекты, в отношении которых решаются задачи виброзащиты и виброизоляции, часто представляют собой сложные системы, особенно на транспорте. В качестве примера на рис. 1.1 приведены тележки электровозов, содержащих тяговые двигатели с передачами вращающих моментов на колесные пары. Динамические взаимодействия со стороны рельсового пути, внутренние динамические связи, а также взаимодействие с кузовом электровоза создают сложный комплекс элементов, совершающих разнообразные движения. Учитывая сложность исходных моделей и особенности задач исследования, широко используются упрощенные расчетные схемы, как показано на рис. 1.2. Важным обстоятельством при выборе расчетной схемы становится выбор математической модели, которая была бы в достаточной степени адекватна объекту защиты.

В работах отечественных и зарубежных ученых [1.11.5] представлена многосторонняя информация, отражающая специфические свойства элементов виброзащитных систем, методические основы технологии построения математических моделей. На рис. 1.3 (аг) представлены некоторые формы реализации упругих соединений тел. На рис. 1.3 (а) приведена принципиальная схема колебательной системы с упругим элементом жесткостью k ; на рис. 1.3 (бе) показаны некоторые примеры реализации упругих элементов, в частности элементов, реализуемых упругой балкой (рис. 1.3 в). Коэффициенты жесткости таких элементов определяются свойствами балок и условиями их закрепления. Как обобщенное представление об упругих свойствах систем может рассматриваться и более сложное устройство в виде обобщенной пружины [1.6], для которой определяется приведенная жесткость kпр (рис. 1.3 г, д, е), а сама пружина может иметь разные формы конструктивно-технической реализации.

Рис. 1.3. Примеры представления упругих элементов в механических Упругие элементы в технических системах очень разнообразны по своим конструктивно-техническим формам, даже в своих простейших вариантах. В теории колебаний [1.7] общепринятое условное обозначение отражает лишь одно свойство – зависимость смещения от приложенной силы – то есть главное внимание уделяется упругому взаимодействию.

Чаще всего упругое смещение соотносится со статической силой. Такая характеристика упругого элемента является основной в техническом паспорте пружины. Вместе с тем используется понятие о динамической жесткости пружин как зависимости, которая характеризуется связью смещения в точке контакта и параметрами гармонической прикладываемой силы.

Динамическая упругость, определяемая таким образом, может существенно отличаться от случая статического приложения силы. Конструктивное исполнение упругого элемента оказывает влияние на вид упругой характеристики в статическом и динамическом аспектах.

II. При анализе динамических свойств сложных объектов вполне естественной является тенденция выбора расчетных схем в виде механических колебательных систем с одной и двумя степенями свободы, поскольку более сложные системы становятся малодоступными для аналитических оценок. В этом случае масса объекта защиты, упругие и диссипативные свойства элементов формируют приведенные свойства системы. При изучении динамических свойств виброзащитных систем, связанных с учетом особенностей конструкций и систем взаимодействия их фрагментов, часто используются такие понятия, как приведенная масса объекта или его составной части, а также понятия приведенной жесткости, приведенного демпфирования и т. д. [1.8].

Таким образом, упругое устройство, с учетом его реального конструктивно-технического оформления, можно рассматривать как фундаментальное понятие, основанное на интегрированном представлении об упругой реакции, стремящейся вернуть систему в исходное положение. Отметим, что такое действие можно связывать с наличием в упругоколебательной системе отрицательной обратной связи [1.2, 1.9]. Вместе с тем работа упругого элемента сопровождается преодолением сопротивления внешних и внутренних сил, что приводит к диссипации энергии за цикл, уменьшает амплитуду свободных колебаний и проявляется, специфическим образом, в вынужденных колебаниях. В связи со спецификой задач исследования, те или иные свойства пружин могут рассматриваться на соответствующем уровне детализации и представлять собой параллельное соединение нескольких элементов (упругого, диссипативного и массоинерционного). Каждый из элементов, с такой точки зрения, является неделимым на более простые звенья представителем расширенного набора типовых элементов виброзащитных систем (усилительного, дифференцирующих первого и второго порядка). При этом полагается, что типовой элемент на входе имеет смещение, а на выходе – силовой сигнал или силу.

В дальнейшем развитии таких подходов используются правила параллельного сложения и последовательного соединения пружин (рис. 1.4 и 1.5).

В простейших формах эти связи имеют вид кинематических пар различного вида, чаще всего V класса, хотя по мере усложнения конструктивного вида упругих элементов контакты между элементами системы могут определяться и сложными кинематическими парами.

III. Внутренняя логика развития подхода, основанного на возможности обобщенных представлений о свойствах пружин, предопределяет не только использование понятий о приведенной жесткости (или упругости), приведенном сопротивлении, приведенной массе, но и введение понятия об обобщенной пружине, что уже упоминалось [1.6], как некотором устройстве достаточно общего вида, исполняющем роль связующего звена между объектом и основанием, между фрагментами системы и т. д. Формализованное представление об обобщенной пружине может дать передаточная функция в виде дробно-рационального выражения где коэффициенты ai (i = 0, n) и b j ( j = 0, m) определяются конкретными параметрами конструктивно-технического оформления обобщенной пружины. Удобство предлагаемого подхода заключается в возможности формализованной оценки всего многообразия пространства решений, связанных с выбором передаточной функции обобщенной пружины, которая может иметь форму комбинаций в соединении вышеупомянутых элементарных звеньев, представлять собой различные механизмы или колебательные структуры (рис. 1.6). Подробности таких представлений излагаются, например, в работах [1.1, 1.2].

При упрощении расчетных схем, например, в работах [1.10, 1.11] показана эффективность выбора для предварительного исследования базовых расчетных схем в виде систем с одной, двумя или тремя степенями свободы. При этом все изменения структуры и состава этих механических колебательных систем связаны с идеями введения дополнительных связей различной природы, как показано на рис. 1.7.

Упругий элемент в базовой модели (рис. 1.7 б) играет роль «подстраховочного» элемента, когда дополнительная связь (или обобщенная пружина) Wдоп (p) имеет отрицательный знак и соответствует статической или динамической неустойчивости. Глубокая аналогия между механическими колебательными системами и эквивалентными в динамическом отношении системами автоматического управления проявляется в том, что элементарные звенья механических колебательных систем могут иметь отрицательные значения передаточных функций (например, может быть построен упругий элемент с отрицательной жесткостью) [1.12]. Однако принципы построения набора типовых звеньев в теории автоматического управления (ТАУ) и структурной теории ВЗС [1.2] не всегда одинаковы, хотя по ряду правил и связей имеются совпадения. В структурной теории ВЗС типовые элементы не являются составными, а более сложные формируются (это звенья второго уровня) из комбинаций последовательно и параллельно соединенных звеньев, тогда как в теории автоматического управления ряд типовых звеньев может быть разложен на простые.

Рис. 1.7. Базовая модель виброзащитной системы:

а) система из упругого элемента и массы объекта m ; б) система из упругого элемента, массы m и дополнительной связи (обобщенной пружины), включенной параллельно звену с передаточной функцией (1.1) 1.2. Тенденции развития направлений исследований С учетом изложенных методологических позиций, рассмотрим особенности формирования направлений в разработке систем защиты оборудования, технологических и транспортных машин и их агрегатов, приборов и аппаратуры от действия вибраций. Задачи виброзащиты и виброизоляции часто рассматриваются с выделением двух аспектов, в которых внимание фиксируется на механической системе, состоящей из двух подсистем, соединенных между собой связями. К одной подсистеме относят процессы формирования колебаний и называют ее источником колебаний. В свою очередь, вторая подсистема становится объектом виброзащиты, колебания которого стремятся уменьшить. Силы связи, возникающие между источниками колебаний и объектом, называют динамическими воздействиями [1.1]. Не вдаваясь в подробности о видах сил, отметим, что уменьшение интенсивности колебаний объекта может быть достигнуто следующими способами:

- уменьшением уровня динамических воздействий, возбуждаемых некоторыми источниками, что можно отнести к снижению виброактивности источника;

- изменением конструкции объекта, при котором заданные воздействия (в расширенном понимании их можно рассматривать как механические, полагая, что динамические представляют лишь определенную часть механических) будут вызывать менее интенсивные колебания объекта или отдельных его частей;

- присоединением к объекту дополнительной механической системы, изменяющей характер его колебаний (метод динамического гашения колебаний, или введение динамических гасителей колебаний);

- установкой между объектами и источником воздействий дополнительных систем, называемых виброизоляторами.

По каждому из направлений имеется достаточно развитая научная база, в которой существенное значение приобретают конструктивные особенности технологических машин и оборудования. Для нас важным является то обстоятельство, что динамическое состояние объекта, в том числе и уменьшение уровня его колебаний, связано с введением в механическую систему дополнительных связей в различных конструктивно-технических формах. Этим достигается снижение виброактивности механизмов и машин, а также изменение структуры объекта, что связано, в свою очередь, с изменениями упругих и демпфирующих свойств объекта. В этом смысле представительными формами, отражающими физический смысл введения дополнительных связей, являются динамические гасители колебаний.

В соответствии с традиционными представлениями виброизоляторы (в том числе и пружины), демпферы и динамические гасители колебаний образуют в совокупности виброзащитные устройства. Такие устройства могут быть пассивными и состоять из инерционных, упругих и диссипативных элементов. Но могут быть и исключения, если используются активные устройства, которые более сложны и, как правило, обладают независимыми источниками энергии [1.3].

Отметим, что общим для перечисленных форм дополнительных устройств, вводимых в структуру механических систем (они называются виброзащитными), является то, что каждое из дополнительных устройств пассивной или активной природы реализует в системе силовое воздействие, то есть, по существу, является специально вводимой силой. Дополнительная сила зависит от тех или иных параметров динамического состояния механической системы. Если такая система определяется нами как виброзащитная, то интерес представляет, в первую очередь, динамическое состояние объекта защиты. Параметрами динамического состояния могут быть не только кинематические, но и динамические параметры. В целях обеспечения надежности работы виброзащитной системы в целом могут рассматриваться и другие параметры состояния системы, необходимые для соответствующих инженерных расчетов. Такой подход к виброзащитным системам предопределяет развитие более общих представлений об объектах защиты, динамических воздействиях. Это связано, в частности, с понятиями об управлении динамическим состоянием объекта защиты. Такое понимание задач виброзащиты и виброизоляции развивается в структурной теории виброзащитных систем, в которой нашли отражение представления о мехатронной природе процессов движения механических колебательных систем [1.2].

Отметим, что основные понятия динамики механических колебательных систем связаны с реализациями в различных конструктивнотехнических формах, что предполагает возможности интеграции свойств различных элементов в формах одной конструкции: упругость – демпфирование и упругость – инерционность, преобразование видов движения – наличие режимов динамического уравновешивания или динамического суммирования инерционных сил встречных направлений, зависимость упруго-инерционных, а следовательно и диссипативных свойств, от геометрических свойств систем или их структуры.

Отмеченное предопределяет возможность расширения представлений об элементной базе механических колебательных систем за счет введения новых элементов, отражающих специфические свойства в динамических взаимодействиях. В этом случае расширение набора элементной базы влияет на возможности создания структуры системы, что проявляется в новых конструктивно-технических решениях. Можно отметить и то обстоятельство, что в составе виброзащитных систем начинают рассматриваться не только отдельные элементы и их комбинации, но и механизмы, в числе которых, в первую очередь, можно было бы отметить рычажные, а также многие другие виды механических цепей.

Вопрос о связях в механических системах относится к нескольким научным направлениям, в том числе к аналитической механике [1.13], теории механизмов и машин [1.14], теории колебаний [1.7] и др. Например, в работе [1.13] отмечено: «Приспособления, осуществляющие зависимости между величинами, определяющими положение и скорости точек системы, называются связями». То есть связи в физическом смысле выступают в виде некоторых реальных ограничений; в первую очередь таковыми являются элементы механических колебательных систем. Простейший и наиболее важный класс представляют позиционные связи: они осуществляют зависимости между координатами точек системы и аналитически выражаются соотношениями называемыми уравнениями связи ( r - означает число уравнений связи).

При этом r 3N, а знаку равенства соответствует отношение системы по заранее предопределенному закону движения. В этом смысле полученные уравнения движения механических колебательных систем в форме преобразований Лапласа являются уравнениями связи.

Если рассматривать соотношения между материальными точками и абсолютно твердыми телами (в дальнейшем просто твердыми телами), то целесообразно выделить двухсторонние (уравновешивающие) или односторонние связи; двухсторонние связи задаются равенствами.

В дальнейшем для механических колебательных систем принимаются во внимание системы с голономными стационарными связями. Предполагается, что уравнения (1.2) позиционных связей независимы, то есть f1,i... fr не ограничены соотношениями вида что налагает определенные требования к матрицам системы (ранг матрицы, дефект матрицы, свойства якобиевой матрицы и др.) [1.13].

В этом случае система уравнений (1.2) будет неразрешима относительно y1, y2,... yr, и координаты могут быть выражены через остальные 3N - r координат yr +1... y3 N и время t. Получим соотношения вида:

в которых yr +1, y3 N независимы друг от друга. Их число n = 3N - r (если рассматривается голономная система) называется числом степеней свободы системы. Соотношения (1.4) определяют остающиеся координаты y1... yr через независимые. Такой подход позволяет отходить от использования независимых декартовых координат yr +1.... y3 N и вместо них вводить величины q1...qn = q3 N -r, определяющие конфигурацию системы.

В частности, это могут быть расстояния, углы, точки на поверхности, площади и т. д. Важным является соблюдение соотношений определяющих независимые декартовы координаты. Такие соотношения должны удовлетворять условию необращения в нуль якобиана, что выражает независимость величин yr +k и разрешимость уравнений (1.5) относительно q1...qn. В результате декартовы координаты всех точек системы окажутся выраженными через величины q1...qn, называемые обобщенными координатами, и через время t. Если связи стационарны, то можно так построить набор обобщенных координат (т. е. соотношение (1.5)), чтобы время t не входило в первоначальные уравнения (исключить t )).

Отметим, что «Объектом рассмотрения в аналитической механике являются материальная точка, система конечного числа свободных (в небесной механике) или подчиненных связям материальных точек, одно или несколько связанных друг с другом тел» – именно в такой форме в [1.13] вводится понятие о сочленениях твердых тел.

В некоторых задачах динамики сочлененных тел или механических систем с сочленениями элементов целесообразно задавать конфигурацию или структуру системы параметрами q1...qn...qn+ m. Их называют избыточными обобщенными координатами. Между n + m параметрами q1...qn+m существует m соотношений, которые могут содержать и время:

Эти соотношения, представляющие обобщенные уравнения связей, должны быть разрешимы относительно m из n + m величин qs, при этом дефект якобиевой матрицы должен быть равен нулю.

В общем случае конфигурация системы задается n независимыми параметрами q1...qn ; однако при определении скоростей ее точек можно пользоваться не непосредственно обобщенными скоростями q1...qn, а некоторыми их линейными формами с координатами, зависящими от обобщенных координат.

Если число соотношений n n, то за формы wn+1 можно принимать qn+1....qn. Величины ws называются квазискоростями [1.13].

Понятие «связи», рассмотренное выше, связано с представлениями о взаимодействиях между элементами механических систем. В физическом смысле связи в системах, если рассматриваются механизмы и устройства, в которых конструктивно-техническая реализация имеет особенности, определяются как кинематические пары различных классов.

Такие подходы развиты в теории механизмов и машин [1.14, 1.15].

В развитой форме аналитический аппарат для описания кинематических соотношений параметров сочлененных твердых тел нашел отражение в работах [1.16, 1.17]. В робототехнике, в частности в [1.18], «сочленение»

используется как некоторое обобщенное понятие, позволяющее объединить различные формы взаимодействия между элементами контактирующих твердых тел. В этом отношении можно было бы отметить возможности «виртуальных» сочленений, под которыми можно понимать некоторые формы самоорганизации движения в колебательных системах, когда тела движутся в фазе или в системе наблюдается режим динамического гашения колебаний. То есть использование понятия «сочленение» не противоречит понятиям «связь» или «кинематическая пара» того или иного вида. Можно полагать, что при наличии большего числа контактов между телами понятие «сочленение» становится более адекватным в представлениях о возможных конструктивно-технических связях. Такая ситуация возможна, например, в виброзащитных системах с рычажными связями [1.19].

Ряд вопросов теоретического плана рассмотрен в [1.20], посвященной технологиям построения математических моделей с сочленениями звеньев.

1.4. Формы динамических взаимодействий Обобщая представления об основных свойствах динамических систем, отметим, что введение дополнительных связей реализуется через присоединение одних элементов к другим. При этом важен учет особенностей и конструктивных форм соединений, поскольку они часто определяют динамические возможности систем. К примеру, можно отметить, что введение динамического гасителя как дополнительного устройства соответствует введению в механическую колебательную систему так называемых дополнительных связей [1.1]. Конструктивные особенности дополнительных связей можно увидеть в том, что дополнительные связи должны иметь точки крепления, то есть принимать форму дуальных элементов, и обеспечивать возможность создания из них, в динамическом смысле, некоторых структур или блоков, что определяется сочленениями. В простейших формах сочленение интерпретируется как кинематическая пара. Последнее позволяет в механических колебательных системах рассматривать в случае необходимости сочленения элементов систем или сочленения звеньев, а также сочленения твердых тел, часто принимающих форму сочленения стержней между собой или стержней и твердых тел. Учет сочленений необходим для динамических расчетов, поскольку их наличие определенным образом меняет динамику системы. В реальных конструкциях сочленение может обладать упругими и диссипативными свойствами, что может выражаться через дополнительные степени свободы взаимного движения.

Однако, делая жесткость упругих соединений высокой, мы можем переходить к введению или формированию сочленения как элемента, ограничивающего свободу движений.

Учет сочленений часто связан с рассмотрением в механических системах рычажных соединений, рычажных механизмов, рычажных связей, что привносит определенную специфику в оценку спектра динамических возможностей механических колебательных систем и, в частности, виброзащитных.

Рассмотрение конструктивно-технических форм реализации в технических системах функций упругих, диссипативных и упруго-диссипативных звеньев показывает, что так называемые элементарные звенья достаточно сложны по своему устройству, содержат соединения твердых тел между собой и могут называться шарнирами. В свою очередь шарниры являются кинематическими парами, которые в теории механизм и машин представлены в нескольких классификациях [1.14]. Наибольшее распространение получили кинематические пары V класса (вращательные шарниры, поступательные пары), IV класса (зубчатые передачи, кулачковые механизмы) и пары III класса (сферические шарниры).

I. Сочленение твердых тел характерно для машин, поскольку последние состоят из механизмов, а те, в свою очередь, представляют собой механические цепи, состоящие из твердых тел, соединенных кинематическими парами. В теоретической механике развит аналитический аппарат, позволяющий решать задачи статики, кинематики и динамики сочленений, например, при рассмотрении движения физических маятников с одной и двумя степенями свободы, бифилярных подвесов, горизонтальных маятников сейсмических приборов и др. [1.21]. Вместе с тем в строении механических колебательных систем имеется определенная специфика, так как такие системы состоят из твердых тел или материальных точек, соединяемых пружинами и демпферами, при этом на физических формах самого соединения внимание к его деталям, как правило, не фиксируется. Однако вид самого соединения, как такового, имеет значение. Надежная работа машин и механизмов в большинстве случаев обеспечивается удерживающими голономными связями. Если связи носят неудерживающий характер, то динамика взаимодействия соединимых тел будет иметь специфический характер.

Сочленение локализует место динамического взаимодействия, что требует разработки детализированной методики построения математических моделей, позволяющих определять те или иные параметры механических систем. В идеализированном виде сочленение привносит в систему определенные кинематические ограничения. Так, например, сочленение обеспечивает одинаковые скорости двум точкам, которые принадлежат разным телам. В этой точке возникают динамические реакции. Место расположения сочленения изменяет приведенные значения массоинерционных, упругих и других характеристик системы. В реальных условиях в сочленениях возникают силы трения. Если сочленения обладают упругими свойствами, то учет таких особенностей деталей связан с повышением сложности математических моделей, с увеличением числа рассматриваемых независимых степеней свободы движения. Переход к идеализированной системе может быть осуществлен увеличением жесткости сочленения, что в предельном переходе приводит к упрощению математической модели [1.22].

Определение динамических реакций в сочленениях, учет особенностей возникающих в сочленениях сил, условия самоторможения, влияние люфтов, автоколебания и др. рассматриваются в специальных разделах теории механизмов и машин. На рис. 1.8 приведены расчетные схемы, отражающие различные виды сочленений в колебательных движениях.

Рис. 1.8. Расчетные схемы механических колебательных систем с сочленениями:

а – стержень с массой; б – двойной маятник; в – система с устройством для преобразования движения; г – Г-образный динамический гаситель колебаний;

Приведенные расчетные схемы дают представление о физических особенностях движения, взаимном расположении сочлененных тел. Исследование динамических свойств систем с сочленениями естественным образом связано с изучением влияния мест расположения точек сочленения.

Если такие точки расположены вблизи центра тяжести и массы присоединяемых тел различаются достаточно сильно, то можно полагать относительно малые смещения центра. Однако ситуация меняется, если смещения существенно изменяют инерционно-массовые характеристики.

II. Одной из первых работ, посвященных динамике колебательных движений в механизмах, стала работа [1.15], в которой учтена специфика движения механизмов с учетом различных кинематических пар или вида сочленения твердых тел. Ряд вопросов конкретной направленности решен применительно к зубчатым механизмам, используемым в силовых передачах и приводах [1.23], винтовым несамотормозящим механизмам [1.1, 1.2], шарнирно-рычажным [1.24]. Большую роль сочленения играют в различных технических системах с квазинулевой жесткостью [1.25, 1.26], поскольку последние состоят из механизмов, а те, в свою очередь, представляют собой механические цепи из твердых тел, соединенных кинематическими парами [1.14]. В теории механизмов и машин имеется аналитический аппарат, позволяющий решать задачи статики, кинематики и динамики сочленений путем определения реакций в шарнирах. Вместе с тем вид самого соединения как такового имеет значение. Надежная работа машин и механизмов в большинстве случаев обеспечивается удерживающими голономными связями. Если связи носят неудерживающий характер, то динамика взаимодействия соединимых тел будет иметь специфический характер.

В рамках структурной теории механических колебательных систем, в частности виброзащитных систем, элементарное звено представляет собой некоторое устройство, имеющее две точки, которыми оно закрепляется в структуре системы. Именно с таких позиций рассматриваются последовательные и параллельные соединения звеньев расширенного набора типовых элементов в работах [1.1, 1.2, 1.27]. В системах с несколькими степенями свободы твердые тела могут быть связаны между собой кинематическими парами определенного вида: чаще всего используются вращательные и поступательные пары V класса, сферические шарниры.

Наличие сочленений элементов открывает возможности для обобщения представлений о возможных формах связей в виброзащитных системах, что позволяет перейти к представлениям об обобщенных динамических связях, принимающих в реальных конструктивных вариантах различные формы:

- элементарные звенья и их соединения между собой на уровне - элементарные звенья расширенного набора типовых элементов механических колебательных систем и их соединения между собой в структуры на основе правил последовательного и параллельного соединения дуальных элементов;

- механические колебательные цепи;

- механизмы различных видов (рычажные, винтовые, зубчатые и - активные системы формирования управляемых сил на основе сервоприводов.

В целом акцентирование внимания на сочленениях, так или иначе, тесно связано с рычажными взаимодействиями, что особенно характерно для динамики транспортных систем.

1.5. Структурные подходы в теории виброзащитных систем Развитие структурных подходов связано с работами [1.1, 1.2] и опирается на результаты исследований в области теории электронных, электрических и радиоцепей. Методы электромеханических аналогий позволяют сопоставить механические колебательные системы и, в частности, механические цепи и эквивалентные в динамическом отношении электрические цепи [1.2, 1.27], состоящие из типовых элементов электротехники (сопротивлений, емкостей, индуктивностей). Развитые системы моделирования позволяют отображать такие свойства механических систем, как рычажные взаимодействия, распределенность массоинерционных и упругих параметров, наличие нелинейностей. Принимая во внимание сложности учета нелинейных эффектов в вибрационных взаимодействиях, моделирование на электрических цепях может оказаться перспективным для многих задач исследования.

В работах [1.1, 1.2] показано, что структурные подходы, основанные на использовании механических цепей и правил преобразования дуальных элементов, приводят к таким же результатам, как и использование в качестве аналога структурных схем систем автоматического управления, эквивалентных в динамическом отношении исходным расчетным схемам. На рис. 1.9 (а) представлена расчетная схема объекта защиты в виде механической колебательной системы с двумя степенями свободы. На рис. 1.9 (б) и 1.9 (в) приведены, соответственно, структурная (детализированная и обобщенная) схема эквивалентной САУ, а также схема механической цепи (рис. 1.9 г) в виде, предполагающем возможность перехода к электрическому аналогу.

В [1.1, 1.2] отмечено, в частности, что для структурных преобразований механических цепей, если рассматриваются дополнительные связи, достаточно правил параллельного и последовательного соединения пружин. При этом понятие передаточной функции не используется, хотя вводятся понятия комплексного сопротивления и комплексной подвижности или податливости [1.5]. Основная идея работы состоит в том, что механическая цепь легко интерпретируется в электрическую цепь, для чего используются два варианта электромеханических аналогий [1.27]; вводится ряд новых элементов для колебательных систем, например, используется понятие о рычаге, как отдельном элементе колебательных структур, которое представляет интерес в задачах динамического синтеза на основе теории построения фильтров.

Подходы, изложенные в работах [1.1, 1.2], были развиты в предположении, что набор традиционных элементов механических колебательных систем может быть расширен за счет введения дифференцирующих звеньев второго порядка и др. В конечном итоге, это позволило предложить несколько научных идей, оказавшихся перспективными для динамического синтеза виброзащитных систем с позиций мехатроники.

Рис. 1.9. Расчетная (а), детализированная (б), обобщенная (в) схемы, а также схема-аналог (г) для построения электрической Введение понятия обобщенного элемента системы, как устройства, входом которого является смещение, а выходом – сила, связано с использованием передаточной функции, которая может рассматриваться, с одной стороны, как объединение простейших типовых элементов (неделимых, в некотором смысле), с другой стороны, обобщенное звено может быть построено по определенным правилам как некоторая структура той или иной степени сложности.

Для получения передаточных функций дополнительных связей механических колебательных систем можно использовать лишь два правила структурных преобразований (параллельное и последовательное соединение пружин). Последнее вполне физически объяснимо, так как все элементы механической колебательной системы, по существу, являются пружинами того или иного типа (по определению). По сравнению с теорией автоматического управления с ее структурными схемами, передаточные функции которых строятся на системе правил умножения, суммирования и обратных связей, в структурном изображении механических колебательных систем, как дополнительных обратных связей, существуют свои особенности, хотя конечные результаты совпадают. Структурные подходы в представлениях механических колебательных систем привели к развитию способов описания свойств систем с использованием понятий «приведенная масса», «приведенная жесткость упругих элементов» и т. д.

В оценке динамических свойств механических колебательных систем играют роль отношения жесткостей, отношения длин плеч для тел, совершающих плоское движение, что привело к введению понятий рычажных связей, рычажных звеньев и, в целом, к понятию определенного геометрического пространства, в котором совершается колебательное движение механической системы.

Структурные методы, опирающиеся на аппарат теории автоматического управления, основаны на представлениях о типовых звеньях систем автоматического управления и на правилах их соединения. Такие подходы достаточно развиты, но не являются единственными. Определенными перспективами обладают методы построения структурных интерпретаций систем автоматического регулирования и управления, развитые в [1.2]. Что касается механических колебательных систем, то их состав определяется своим набором звеньев, которые принадлежат к одному виду или семейству элементов (на входе – смещение, на выходе – сила), поэтому правила их соединения также носят специфичный характер.

На основе проведенного сравнительного обзора работ в области динамики машин, связанных с задачами виброзащиты и виброизоляции, можно сделать ряд выводов.

1. Расчетные схемы в задачах транспортной механики представляют собой механические колебательные системы, типовыми элементами которых являются массоинерционные звенья и устройства, реализующие силовые связи между ними. Последние представляют собой упругие элементы в виде различных пружин (винтовых, листовых и др.), а также элементов для рассеивания энергии (пневматические и гидравлические демпфера, фрикционные гасители и т. д.). И те и другие в диапазонах малых смещений могут рассматриваться как линейные устройства.

2. Массоинерционные элементы в механических колебательных системах могут принимать различные формы:

· в простейших случаях – материальные точки;

· в случаях плоского движения – твердые тела, обладающие массой и моментом инерции относительно центра тяжести;

· при пространственных движениях объекта защиты – твердое тело, обладающее массой и моментами инерции относительно трех осей в выбранной системе координат для описания движения объекта защиты;

· в сложных случаях движения возможны связи твердых тел, реализуемые через кинематические пары V, IV и III классов, а объект защиты или фрагменты виброзащитной системы принимают форму механизма.

3. Упругие и диссипативные элементы могут объединяться между собой по правилам последовательного и параллельного соединения, что находит на практике различные формы конструктивно-технической реализации (амортизаторы, гасители колебаний и т. д.).

4. В конкретных задачах транспортной динамики связи образуют вместе с массоинерционными элементами механические колебательные системы: при этом линии действия сил могут не совпадать, образуя определенную «метрику» механической колебательной системы. В качестве соединяющего элемента, если иметь в виду его физический образ, выступают устройства, которые представляют собой рычаги. Другими словами, в механических колебательных системах могут присутствовать или проявляться рычажные взаимодействия, хотя при построении расчетных схем и соответствующих математических моделей упомянутые обстоятельства не детализируются и отдельно не рассматриваются.

5. Сочленения играют существенную роль в динамике систем, обеспечивая реализацию рычажных связей, образуя шарниры, а также создавая взаимодействия звеньев системы, если последние имеют вид твердых тел. Сочленения могут принимать и более сложные виды, если взаимодействия двух звеньев формируются участием упругого или другого элемента, параметры которого принимают предельные значения и имеют также характер связей, которые могут быть удерживающими к неудерживающим.

6. Массоинерционные элементы, пружины и устройства для диссипации энергии относительного движения образуют традиционный набор элементов, возможные схемы, соединения которых определяют структуру и динамические свойства предлагаемых конструктивно-технических решений. Последнее предполагает и возможные формы дальнейшего развития, которые могут быть связаны и с расширением типового набора элементарных звеньев и видов соединений, разработкой технологии построения структуры механических колебательных систем с учетом особенностей введения дополнительных связей.

7. Структурные представления механических колебательных систем, в частности виброзащитных систем, обладают, с учетом вышеприведенных соображений, достаточно ощутимыми преимуществами. Последнее связано с тем, что структурные интерпретации, сохраняя возможности математических моделей, выстраиваемых на формализованной основе, обладают потенциалом оценки возможностей преобразования, характерных для теории графов, теории систем и теории автоматического управления.

Елисеев С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко, А.А. Засядко. – Иркутск : Изд-во Иркут.

гос. ун-та, 2008. – 523 с.

Елисеев С.В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко. – Новосибирск : Наука, 2011. – 394 с.

Фролов К.В. Прикладная теория виброзащитных систем / К.В. Фролов, Ф.А. Фурман. – М. : Машиностроение, 1985. – 286 с.

1.4. Harris’ Shock and vibration handbook. Fifth edition. Cyril M. Harris.

Allan G. Piersol. McGraw-Hill, Handbooks, USA, 2006. – 970 pp.

Вибрации в технике : справочник в 6 т. Т. 6. Защита от вибраций и 1.5.

ударов / под ред. К.В. Фролова. – М. : Машиностроение. – 1981. – Елисеев С.В. Обобщенная пружина в задачах машин и оборудования 1.6.

/ С.В. Елисеев, С.В. Белокобыльский, Р.Ю. Упырь // Збiрник наукових праць (галузеве машинобудування, будiвництво): Полтавський нацiональний технiчний унiверситет iменi Юрiя Кондратюка. Т. 1. – Полтава : ПолтНТУ, 2009. – Вып. 3(25). – С. 79–89.

Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. – М. : Наука, 1975. – 1.7.

Белокобыльский С.В., Ситов И.С. Приведенные жесткости двумерных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2007. – Вып. 4(16). – С. 46–54.

Елисеев С.В. Новые подходы в теории колебаний. Задачи управления 1.9.

динамическим состоянием колебательных систем на основе введения дополнительных связей // Винеровские чтения : материалы IV Всероссийской науч.-практ. конф. – Иркутск : ИрГТУ, 2009. – С. 46–60.

1.10. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Транспортные подвески. Математические модели. Выбор систем координат // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2011. – Вып.

1.11. Ермошенко Ю.В., Трофимов А.Н., Насников Д.Н., Паршута Е.А. Возможности упрощения механических колебательных систем // Вестник Иркутского регионального отделения Академии наук Высшей школы. – Иркутск, 2010. – Вып. 2(17). – С. 147–154.

1.12. Елисеев С.В. Упругие элементы с отрицательной жесткостью в виброзащитных системах. Возможности физической реализации / С.В.

Елисеев, Р.Ю. Упырь // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – Вып. 1(25). – 1.13. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. – М. : Госфизмат ;

1.14. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин / И.И. Артоболевский. – М. : Наука, 1975. – 638 с.

1.15. Левитский Н.И. Колебания в механизмах / Н.И. Левитский. – М. :

Наука, 1988. – 356 с.

1.16. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел / Й. Виттенбург. – М. :

1.17. Лилов Л.К. Моделирование систем связанных твердых тел. – М. :

Наука, 1993. – 273 с.

1.18. Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Лукьянов А.В. Упругие колебания роботов. – Новосибирск : Наука, 1992. – 286 с.

1.19. Елисеев С.В. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты / С.В. Елисеев [и др.]. – Иркутск : ИрГУПС, 2009. – 159 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, №737В 2009.

1.20. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями. Технология построения математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – Вып. 3(27). – С. 8–18.

1.21. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики : в 2 т. Т. 2. Динамика / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. – М. : Наука, 1980. – 640 с.

1.22. Хоменко А.П. Сочленения в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы системы / // А.П. Хоменко, С.В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – № 4(28). – С. 8–15.

1.23. Вейц В.Л. Колебательные системы машинных агрегатов / В.Л. Вейц, Е.А. Кочура, А.К. Федотов. – Л. : Изд-во ЛГУ, 1979. – 256 с.

1.24. Ермошенко Ю.В., Ситов И.С. Шарнирно-рычажные механизмы в передачах вращательного типа // Вестник Ижевского гос. технического университета. – Ижевск : ИжГТУ, 2010. – Вып. 4(48). – С. 39–43.

1.25. Говердовский В.Н. Развитие теории и методов проектирования машин с системами инфранизкочастотной виброзащиты : автореф. дис.

… д-ра. техн. наук / В.Н. Говердовский. – Новосибирск, 2006. – 42 с.

1.26. Алабужев П.М. Виброзащитные системы с квазинулевой жесткостью / П.М. Алабужев, А.А. Гритчин, Л.И. Ким ; под ред. К.М. Рагулькиса. – Л. : Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986. – 96 с.

1.27. Дружинский И.А. Механические цепи. – М. : Машиностроение, 1977. –

ГЛАВА 2. ИЗМЕНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

ПРИ ВВЕДЕНИИ СОЧЛЕНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ

Сочленения играют большую роль в динамике механических систем.

Их разнообразие предопределяет интерес к связям, возникающим между элементами механизмов, кинематическим парам и соединениям [2.1]. Понятие «сочленение» несколько отличается от понятий «соединение», «кинематическая пара», «связь», поскольку несет в себе, в определенном смысле, «предысторию» своего формирования.

В простейших вариантах звенья, соединяемые шарниром, допускают вращательно-качательные движения относительно друг друга. При этом сочленение из общего числа степеней свободы производит «исключение»

одной степени свободы в движениях. В практике виброзащиты могут встречаться звенья, замыкающие на себе через сочленения несколько элементов. Кроме соединения подвижных звеньев между собой часто встречаются соединения твердых тел с неподвижными звеньями или с основанием (или условно неподвижной системой) [2.2]. Вращательные сочленения твердых тел привносят в системы рычажные связи. Поскольку сочленения уменьшают число степеней свободы системы в целом, то достаточно рациональным подходом представляется первоначальное составление общей модели без ограничений движения. В этом случае математическая модель системы может быть представлена в преобразованиях Лапласа в виде уравнения где A – матрица операторных коэффициентов; y – вектор-столбец переменных; b – вектор столбец внешних воздействий (преобразования Лапласа).

Обычно матрица A имеет порядок nn и является симметричной.

При построении математических моделей систем с сочленениями могут использоваться различные системы обобщенных координат, главным образом такие, в которых координаты отражают относительное движение.

Сочленение может быть реализовано по отношению к элементу, совершающему «абсолютное» движение. Естественно при этом, что системы координат допускают соответствующие взаимные преобразования.

Выбирая системы координат соответствующим для поставленной задачи образом, отметим, что рассматриваемые пары или блоки сочленения будут находиться на диагонали матрицы. Введение сочленения означает исключение соответствующих столбцов и строк матрицы операторных коэффициентов, включая и «исключения» соответствующей правой части уравнения (2.1). Внешнее воздействие в этом случае перераспределяется соответствующим образом при выборе систем обобщенных координат, где необходимо соблюдать условия равенства виртуальных работ обобщенных сил в различных системах обобщенных координат [2.3].

2.1. Общие положения. Постановка задач исследования Рассмотрим ряд конкретных примеров использования процедур построения математических моделей, а также примеры сочленений. Набор возможных сочленений может обеспечивать сложные формы взаимодействий, в том числе и на основе кинематических пар IV, III и II классов [2.4].

На рис. 2.1 представлена расчетная схема виброзащитной системы (ВЗС), в которой имеется два блока, наличие которых отражается контурами I и II.

В основе блоков – твердое тело, обладающее массой и моментом инерции;

в составе ВЗС задействованы упругие элементы, предполагается, что смещение центра тяжести блока I не оказывает существенного влияния на динамику системы в целом, а силы сопротивления достаточно малы.

Рис. 2.1. Расчетная схема ВЗС, имеющей два контура взаимодействия Расчетная схема в виде колебательной системы с тремя степенями свободы ( y y 2 ) может рассматриваться как фрагмент ВЗС, в которой совместно работают блок I (контур I рис. 2.1) и блок II (контур II рис. 2.1), состоящий из твердого тела, опирающегося на упругие опоры. Контуры I и II находятся во взаимодействии через упругий связующий элемент k01. В свою очередь, твердое тело не только опирается на упругие опоры k и k2, но имеет упругую связь k0, линия действия которой проходит через центр тяжести балки в точке О. Примем, что A1 O = l1, B 2 O = l2, а присоединенная масса m не вызывает значительных изменений массоинерционных параметров системы. Силы сопротивления также считаются малыми. Полагая жесткости k01 и k0 достаточно большими, можно преобразовать расчетную схему к виду, показанному на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Преобразованная расчетная схема, содержащая сочленения Для рассматриваемой расчетной схемы могут быть получены математические модели, свойства которых зависят от выбора системы обобщенных координат. При этом представляет интерес формализм построения уравнений движения, на основе которых могут быть построены структурные схемы и определены передаточные функции системы. Последние дают возможность появления различных режимов движения и оценить роль и влияние введения сочленений.

Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий для расчетной схемы ВЗС, приведенной на рис. 2.2.

где y 2 – скорость элемента массой m2 в абсолютном движении, которая определяется из соотношения Знак минуc отражает изменение движения, вызванное рычагами второго рода, таким образом найдем, что где i = – передаточное отношение рычага.

Потенциальная энергия определяется выражением Получим дифференциальное уравнение движения для системы на рис. 2.2:

Для упрощения расчетов примем, что z1 = z2 = z3; k1 = 0 и k2 = 0, тогда передаточная функция системы примет вид где p = jw – комплексная переменная ( j = - 1 ).

В качестве примера на рис. 2.3 показано семейство амплитудночастотных характеристик, построенных на основе (2.8) при изменении параметра передаточного отношения рычага i в пределах 03 с шагом 0,5.

В качестве исходных приняты следующие параметры системы: m = 100 кг;

m1 = m2 = 20 кг; k = 10000 Н/м.

На рис. 2.3 через w1 w6 обозначены частоты динамического гашения колебаний. Соответствующие значения частот собственных колебаний в сопоставлении с частотами динамического гашения приведены в табл. 2.1.

Рис. 2.3. Семейство амплитудно-частотных характеристик системы Значения частот собственных колебаний в сопоставлении с частотами Значения намического гашения Значения частот собственных колебаний Из сравнения амплитудно-частотных характеристик следует, что при увеличении i происходит смещение частот динамического гашения влево, то есть разность частот w соб - w дин уменьшается. При этом частота собственных колебаний также уменьшается, но гораздо медленнее. На высоких частотах коэффициент передачи амплитуды колебаний после режима динамического гашения стремится к предельному значеm2 i + m2 i Более детализированная информация о свойствах динамического гасителя колебаний представлена в работе [2.5].

2.3. Возможности моделирования в различных системах координат Произведем ряд выкладок в развитие метода получения математических моделей систем с сочленениями, основанного на упрощениях некоторых более общих систем. При этом используются особенности, возникающие при наложении связей. Вернемся к исходной схеме, приведенной на рис. 2.1. Тогда выражения (2.5) и (2.6) для кинетической и потенциальной энергий можно преобразовать к виду где приняты (рис. 2.1) следующие обозначения: J 0 – момент инерции, m0 – масса промежуточного тела (может превращаться в m1 и m2, соединенные рычагом); m – масса объекта; k, k1, k0, k2 – упругие элементы, промежуточного тела, опирающегося на основание; z z3 – кинематические возмущения. Координаты точек A1 и A2 определяются следующим образом:

Для получения сочленений между элементами необходимо выполнение условий где исходные значения y10 = y0 - z2.

Определим для исследований координаты y 0, j и запишем ряд соотношений При движении объекта защиты в системе координат y 0, y2 и y1 выражение для кинетической энергии можно привести к виду:

Соответственно потенциальная энергия в данном случае определится В табл. 2.2 приведены значения коэффициентов уравнений в координатах, y1, y2 и y, полученных обычным образом [2.2].

Значения коэффициентов уравнений движения системы (рис. 2.1) Обобщенные силы по координатам y 0, y2 и y1 имеют вид Полученные уравнения описывают движение в системе координат, отражающих вертикальные перемещения массоинерционных элементов ВЗС. Такую математическую модель можно назвать базовой. Особенность матрицы заключается в том, что a 13 = a 31 = 0, a 23 = a 32 = 0; это зависит от характера динамических взаимодействий, определяемых структурой ВЗС (рис. 2.1) и выбором системы обобщенных координат.

Перейдем к системе координат x = y - y1, y 0 и j ; запишем ряд соотношений y = x + y1 = x + y0 - l1j и получим выражение для кинетической и потенциальной энергий Значения коэффициентов уравнений в координатах j, y 0 и x соответственно представлены в табл. 2.3.

Значения коэффициентов уравнений в координатах j, y 0 и x Обобщенные силы по координатам j, y 0 и x имеют вид Математическая модель в системе координат j, y 0 и x отличается от предыдущей модели (координаты y1, y2 и y ) тем, что «нулевые» клетки в матрице коэффициентов отсутствуют. Что касается координаты x = y - y1, то она может быть «обнулена» предположением, что k01 ® и образуется сочленение, которое можно рассматривать как кинематическую пару. Физически это означает, что масса m присоединяется к элементу ВЗС в т. А с массоинерционными параметрами m0, J 0 и изменяет их (и общую массу, и момент инерции). Движение системы будет описываться в этом случае координатами y 0 и j. Необходимые данные для получения передаточных функций можно получить, исключая столбец и строку, содержащие x (фактически переменная устраняется, а порядок матрицы уменьшается на единицу).

Для дальнейших расчетов введем систему координат y 0, y1 и x. Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергий в координатах y 0, y1 и x преобразуются к виду:

или = a10 y0 - a01 y1. В этом случае выражение для потенциальной энергии в развернутой форме в координатах y 0, y1 и x определится В табл. 2.4 представлены значения коэффициентов уравнений системы (рис. 2.1) в координатах y1, y0 и x.

Значения коэффициентов уравнений в координатах y1, y0 и x Обобщенные силы по координатам x, y 0 и y1 имеют вид В этой системе координат y1, y0 и x возможно также введение сочленения и по координате x. Для получения передаточной функции системы, которая имеет две степени свободы y 0 и y1, необходимо исключить соответствующие столбцы и строку. Отметим, что если x = 0, то y1 = y и движение системы при одном шарнире в точке А будет описываться координатами y 0 и y1. В данном случае рычаг имеет упругое опирание для своего центра вращения. Наибольший интерес представляет все же случай с двумя сочленениями.

Рассмотрим систему координат y10, y и x. Вводя ряд соотношений ( y10 = y - z2 ), запишем выражение для кинетической энергии системы:

где a 0 =, а также запишем выражение для потенциальной энергии систеb где + a01 y 2 + 2a01 x + 2a01 xz0 + z0 + 2a01a10 xy10 - 2a01 xy + 2a10 z0 y10 - 2a01 z0 y ), П5 = k01 x 2.

В табл. 2.5 приведены коэффициенты уравнений в координатах y10, При z 0 = a10 z 2 - z 3 получим следующие выражении для обобщенных сил:

В данной системе координат имеется возможность выхода на два сочленения: по координате y10 и по координате x. Используя матрицу (табл. 2.5) и исключая соответствующие строки и столбцы, получим уравнение движения для системы с двумя сочленениями z = z2, тогда уравнение (2.30) преобразуется к виду откуда передаточная функция системы принимает вид Сравнение (2.32) и (2.8) показывает, что структура передаточных функций является общей и предлагаемый подход позволяет построить необходимые математические модели.

Для получения полного совпадения результатов необходимо представить расчетную схему более детализированной. Для вывода (2.8) использовалась схема, показанная на рис. 2.2. Особенность этой расчетной схемы заключается в учете массоинерционных свойств рычажных связей. Рассмотрим в таком случае расчетную схему системы на рис. 2.4, которая отражает массоинерционные свойства системы. На расчетной схеме (рис. 2.4) показаны массы m1 и m 2 ; учет особенностей их движения является существенным фактором для совпадения выражений (2.8) и (2.32).

Рис. 2.4. Расчетная схема ВЗС на рис. 2.1, но с разнесенными массами m1 и m Выберем для дальнейших расчетов систему координат y, y10 и x, полагая при этом, что y10 = y0 + z, x = y - y1, где y0 = ay1 + by2. Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий системы Произведем ряд преобразований:

тогда получим (2.33), (2.34) в виде где z0 = a0 z 2 - z3. Сделав ряд вспомогательных выкладок, аналогичных вышеприведенным при выводе уравнений движения, получим уравнения движения в виде В табл. 2.6 приведены коэффициенты уравнений (2.38) (2.40).

Значения коэффициентов уравнений в координатах y, x и y Обобщенные силы в данном случае имеют вид Исключая из матрицы столбцы и строки по координатам x и y10, получим уравнение движения для системы с координатой y Для построения передаточной функции «смещение y по входу z2 »

Выражения (2.8) и (2.44) полностью совпадают, что собственно и требовалось доказать.

Выбирая систему обобщенных координат соответствующим образом, можно построить математическую модель механической системы с сочленениями. В этом случае система с сочленениями обладает меньшим числом степеней свободы, чем у исходной системы. Сочленение возможно между двумя телами при соединении двух тел в кинематическую пару вращательного вида (V класса). Однако возможны и соединения твердого тела с другим телом с потерей возможности относительного движения.

Предлагаемый метод получения математических моделей обладает возможностями реализации пусковых технологий в разработке новых способов и средств защиты объектов от вибрационных воздействий.

Особенности метода таковы, что выбор систем координат исходной системы и числа сочленений, их форм и мест расположения позволяет получать семейства технических решений, из которых могут быть выделены схемы, представляющие интерес для решения конкретных задач динамики машин.

2.1. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в задачах динамики колебательных систем. – Новосибирск : Наука, 2011. – 2.2. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Сочленения в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы движения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – Вып. № 4(28). – С. 8–15.

2.3. Лурье А.И. Аналитическая механика. – Москва : Наука, 1986. – 560 с.

2.4. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М. : Наука, 1968. – 2.5. Трофимов А.Н. Об оценке свойств рычажных динамических гасителей колебаний // Системы. Методы. Технологии. – Братск : БрГУ, 2011. – Вып. № 3(11). – С. 45–60.

ГЛАВА 3. ОСОБЕННОСТИ НАЛОЖЕНИЯ СВЯЗЕЙ

ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СОЧЛЕНЕНИЯМИ

В работах [3.13.3], посвященных изучению особенностей динамического состояния механических колебательных систем с сочленениями звеньев, рассмотрены возможности использования различных приемов для построения математических моделей. По существу, сопоставляются два подхода.

Первый заключается в том, чтобы получить математическую модель в специально выбранной системе обобщенных координат. Такая система содержит координаты относительного движения, которое, в случае формирования сочленения, «удаляется», а соответствующая координата относительного движения принимается равной нулю. В формализованном виде математическая модель системы с сочленениями может быть получена из матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений исходной системы путем исключения соответствующих строки и столбца, для которых координата принимается равной нулю; исключается при этом и соответствующая обобщенная сила. Перегруппировка обобщенных сил на соответствие обобщенным координатам происходит в процессе вывода уравнений и как отдельная операция может не вводиться.

Второй подход заключается в том, что расчетная (или исходная) схема сразу приводится к конечному виду, содержащему все необходимые сочленения с последующим выводом дифференциальных уравнений движений. Как показывает сравнение, оба подхода дают совпадающие результаты. Истоки подходов связаны с понятиями «наложения связей», которые нашли отражение в ряде работ, в частности в [3.4, 3.5], в которых одновременно рассматривалось влияние процессов наложения или устранения связей, в том числе на частоты собственных колебаний системы.

Сочленения, которые реализуются через соединения между собой различных звеньев (в частности, звеньев в виде твердых тел, в том числе и с неподвижным звеном), можно рассматривать как наложение связей. Так, например, связь y2 - y1 ® 0 (где, в свою очередь, y2 = y2 + z2, а y1 = y1 + z1 ) можно записать как линейное однородное уравнение относительно координат системы. Если y2 - y1 = 0 и задача заключается в выполнении этого условия при движении системы, то уравнение может принять вид Рис. 3.1. Расчетная схема виброзащитной системы с возможностями сочленения звеньев с массами m1 и m2 Разложим (3.3) по степеням координат yi, начиная с членов первого порядка. Если ограничиться только этими членами разложения, то уравнение связи можно представить в виде где A11, A12…A1n – постоянные числа.

Произведем в (3.4) подстановку до наложения связей, тогда получим

От такой подстановки собственные частоты не изменятся (по существу одна система обобщенных координат заменяется на другую). Кинетическая и потенциальная энергии в новых координатах r1 (i = 1, n) примут вид Отметим, что две квадратичные формы, из которых одна определенно положительна, одним линейным преобразованием могут быть приведены к каноническому виду. В частности, построив соответствующим образом линейные преобразования, можно получить В конечном итоге, для системы в целом можно записать где одно выражение – кинетическая энергия – определенно положительно и имеет вид а второе – Координаты x i, в которых кинетическая и потенциальная энергии выражаются суммами квадратов, называются нормальными координатами, что позволяет придавать уравнениям движения простые формы [3.4].

Малые колебания системы с n степенями свободы около положения устойчивого равновесия, определяемые изменениями обобщенных координат, имеют вид:

и представляют собой линейные наложения n главных гармонических колебаний. Введем выражение, которое отражает ряд подстановок, в результате которых частотное уравнение системы принимает вид Предположим теперь, что на систему накладывается связь (3.4), то есть формируется сочленение через процедуру устремления к нулю некоторой выбранной координаты относительного движения. В новых координатах ri такая связь имеет уравнение При этом, n–1 корней p 'k системы с сочленением располагаются между корнями pk частотного уравнения исходной системы Таким образом, если на систему с n степенями свободы наложена линейная связь, то частоты полученной системы с n–1 степенями свободы располагаются между частотами первоначальной системы. То есть наложение связи не нарушает условий движения в смысле их осуществимости и устойчивости, но приводит к сдвигам в спектре частот собственных колебаний. Теорема может быть также расширена на случай нескольких сочленений (или связей). Если на систему с n степенями свободы наложены n линейных связей то частоты системы с сочленениями удовлетворяют неравенствам где pk – частота заданной системы с n степенями свободы.

Связи (3.14) можно всегда представить уравнениями и налагать их на заданную систему не сразу все, а последовательно – одну за другой. Переход к координатам, связанным с qi соотношением (3.5), не изменяет уравнений естественных связей [3.4]. Положив r1 = 0, получим систему с n–1 степенями свободы, собственные частоты pk, которые удовлетворяют неравенству что можно преобразовать относительно координат si, связанных с r (i = 2,3...n) уравнениями Полагая S2 = 0, получим систему с n–2 степенями свободы, частоты которой pk будут удовлетворять неравенствам или на основании неравенства (3.12):

Продолжая процедуры и вводя последовательно сочленения (связи), можно получить неравенства (3.16), которые будут иметь место для частот системы после наложения на нее всех k связей (3.15).

Отметим, что предлагаемые приемы составления математических моделей позволяют детализировать представления о технологии формирования различных классов математических моделей и возможностях операции инверсии моделей, восстановления исходных моделей при «разборке»

сочленения.

Разные формы сочленений предполагают наличие особенностей в приемах соединений с учетом сложности их конструктивного исполнения.

Чаще всего движение элементов системы происходит в одной плоскости;

обычно выделяют два класса звеньев: неподвижные и подвижные. В связи с этим, одним из наиболее распространенных сочленений является шарнирное соединение в виде кинематической вращательной пары. В простейших вариантах звенья, соединяемые шарниром, допускают вращательно-качательные движения относительно друг друга. При этом сочленение из общего числа степеней свободы производит «исключение» одной степени свободы в движениях. Увеличение количества сочленений, соответствующих числу шарниров, обеспечивает уменьшение общего числа степеней свободы (или числа независимых переменных).

Кроме соединения подвижных звеньев между собой часто встречаются соединения твердых тел с неподвижными звеньями или с основанием (или условно неподвижной системой). Такое сочленение на рис. 3.2 показано подштриховкой.

Рис. 3.2. Расчетная схема ВЗС, имеющей сочленения: между подвижными звеньями, а также между подвижными и неподвижными звеньями (в точках А и В – сочленения в виде вращательных кинематических пар) Механические колебательные системы могут иметь сочленения различных типов, что обеспечивает особенности структуры системы и так называемой «метрики» [3.3]. Математическая модель системы может быть представлена в виде системы обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка где A – матрица операторных коэффициентов; y – вектор-столбец переменных; b – вектор-столбец внешних воздействий, y – переменная в области преобразований Лапласа.

В общем случае матрица A имеет порядок n n и является симметричной:

При построении математических моделей систем с сочленениями могут использоваться различные системы обобщенных координат, главным образом такие, в которых координаты отражают относительное движение. Сочленение может быть реализовано по отношению к элементу, совершающему «абсолютное» движение, то есть в неподвижной системе координат. Естественно при этом, что системы координат допускают взаимные преобразования.

Введение сочленения означает исключение соответствующих столбцов и строк матрицы коэффициентов, включая и «исключения» соответствующей правой части уравнения [3.6].

Физический смысл операции заключается в том, что сочленение, представленное разностью соответствующих координат, исключается в физическом смысле; вместе с переменной исключаются одновременно и коэффициенты матрицы, определяющие связи между убираемой парциальной системой и остальными. Правая часть уравнения, определяемого строкой, также исключается, поскольку физически «исчезает» точка приложения сил. Внешнее воздействие в этом случае перераспределяется соответствующим образом при выборе систем обобщенных координат, где необходимо соблюдать условия равенства виртуальных работ обобщенных сил в различных системах обобщенных координат. В работах [3.13.3] рассматривается ряд конкретных примеров использования процедур, построения математических моделей, а также примеры сочленений. Набор возможных сочленений может обеспечивать и более сложные формы взаимодействий, в том числе и на основе кинематических пар IV и III классов.

Важно отметить, что возможности учета особенностей сочленения, в плане построения математических моделей, могут быть распространены и на другие системы с голономными связями.

3.1. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями.

Технология построения математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск, 2010. – Вып. 3 (27). – С. 8–18.

3.2. Елисеев С.В. Возможности сочленения твердых тел в цепных механических системах / С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко, И.В. Фомина // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – №3 (27). – С. 138–146.

3.3. Хоменко А.П. Сочленения в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы системы / А.П. Хоменко, С.В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – № 4(28). – С. 8–15.

3.4. Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. – М. : Наука, 1968. – 3.5. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики : в 2 т. Т. 2. Динамика / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. – М. : Наука, 1980. – 640 с.

3.6. Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / С.В. Елисеев, И.В. Фомина, Ю.В. Ермошенко [и др.]. – Иркутск : ИрГУПС, 2009. – 128 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, №738-В 2009.

ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

ПРИ СОЧЛЕНЕНИЯХ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ТИПА

Сочленения, реализуемые кинематическими парами вращения V класса, обеспечивают возможности совершения твердыми телами (или звеньями) в структуре механической колебательной системы возвратновращательных движений друг относительно друга или относительно неподвижного основания. Твердое тело, присоединенное к объекту защиты, может играть роль динамического гасителя колебаний. В теории и практике виброзащиты и виброизоляции известны маятниковые и рычажные устройства. Твердое тело может входить в систему одной или несколькими точками соединений [4.14.3].

Некоторые примеры возможных сочленений приведены на рис. 4. [4.4].

Рис. 4.1. Принципиальные схемы механических колебательных систем с сочленениями: а) система с тремя степенями свободы с одним сочленением;

б) Г-образный (маятниковый) гаситель колебаний (одно сочленение);

в) система с одной степенью свободы – одно сочленение с подвижным основанием; г) многосвязная механическая цепь (два сочленения);

д) система с сочленениями в рычажный механизм Для исследования динамики систем с сочлененными твердыми телами используются различные способы. В частности, в месте предполагаемого сочленения вращательного типа можно ввести обобщенную координату, характеризующую относительное смещение, а упругую (или другую) связь после построения математической модели сделать очень большой по величине (упругость, демпфирование, инерционное взаимодействие). Тогда две координаты, характеризующие относительное движение, могут в пределе «слиться» в одну, а система «потеряет» одну степень свободы движения.

Предпосылкой такого подхода можно было бы считать рассмотрение каскадных виброзащитных систем, а также задач виброзащиты и виброизоляции, в которых принимается во внимание локальная упругость места закрепления виброизолятора или амортизатора [4.5].

Поскольку унифицированная форма дифференциальных уравнений может использовать любые системы обобщенных координат, в том числе и координаты относительных смещений, то возникает вопрос о трансформациях матриц на основе допустимых правил преобразования [4.6]. Вводя новые переменные, которые потенциально могут стать нулевыми, можно соответствующие столбец и матрицу исключить, что в физическом смысле означает введение сочленения. При этом число степеней свободы уменьшается. Дальнейшее исследование системы проводится обычными способами, но на упрощенной схеме. Физически это означает, что относительное движение между некоторыми точками ограничивается параметрами соединяющего звена, например, жесткость в соединении на несколько порядков выше, чем в других соединениях. Тогда система начинает колебаться как система с меньшим числом степеней свободы, что достаточно известно в инженерной практике. Собственно на приведенных представлениях и основаны подходы к выбору, обоснованию и упрощению расчетных схем систем вибрационной защиты объектов.

4.1. Постановка задачи исследования. Общие положения Рассмотрим механическую колебательную систему с четырьмя степенями свободы, представленную на рис. 4.2. Такая схема может отражать, например, взаимодействие перевозимого подпружиненного груза в кузове автомобиля и в целом имеет 4 степени свободы.

Рис. 4.2. Схема взаимодействия систем с 4 степенями свободы Интерес представляет создание технологии построения моделей, которые позволили бы учитывать влияние на динамические свойства особенностей крепления упругих элементов с жесткостями k3 и k0 (точки A2 и A1, а также т. В).

Возможные варианты преобразования колебательных систем в системы с сочленениями представлены на рис. 4.3, на котором показаны возможные точки соединений, превращающихся в сочленения. Так, при k, точки B1 и B2 (рис. 4.3, а) могут формировать сочленение; а также A1 и можно получить схему известного динамического гасителя колебаний [4.7]. Вводя координаты относительного смещения для схемы на рис. 4.3, а, yA = yA1 – yA2, при yA, можно получить схему на рис. 4.3, б и т. д. То есть выбирая точки сочленения, можно получить достаточно большое число вариантов схем, среди которых можно обнаружить расчетные схемы многих известных ВЗС.

Рис. 4.3. Принципиальные схемы механических колебательных систем, 4.2. Сочленения в балочной системе с двумя степенями свободы Рассмотрим балочную систему с двумя степенями свободы, обращая внимание на возможности введения сочленений в некоторых точках путем их «смещения». На расчетной схеме рис. 4.4 такая возможность представляется для случаев совпадения точек A1 и A2, B1 и B2, когда система теряет одну степень свободы, но сочленение в форме кинематической пары V класса или вращательного шарнира дает возможность твердому телу совершать возвратно-колебательные движения, соответственно, вокруг точек A и B. В дальнейшем будут рассмотрены возможности сочленений не только в системе координат y1 и y2, но и в других системах координат. Отметим, что кроме сочленений в точках A и B возможно рассмотрение ограничений движения по координатам т. A2 и т. B2 одновременно, что может быть определено условием y2 – y1 = 0. В этом случае система (рис. 4.4) превращается в систему с одной степенью свободы и совершает вертикальные поступательные движения на упругом элементе с жесткостью k1 + k2.

Рис. 4.4. Расчетная схема системы, имеющей две упругие опоры и совершающей Для схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения кинетической и потенциальной энергий где y1, y2 – координаты точек A1 и B2 в условно неподвижной (абсолютной) системе координат; y0 – координата центра тяжести; – угол поворота относительно центра тяжести (точки О); J – момент инерции относительно центра тяжести (точки О); M – масса балки. Соответственно l1 = A2O, l2 = B2O.

Введем ряд вспомогательных обозначений и соотношений:

1. Координаты y0,. Используя подходы, изложенные в [4.6], запишем дифференциальные уравнения движения для системы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y0 и :

Выражение (4.4), (4.5) определяет матричную форму записи в Построим структурную схему эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y0 и Эта система имеет кинематическое возмущение (z1 и z2), что может привести, в определенных ситуациях, к появлению режимов динамического гашения. Для системы характерны упругие перекрестные связи.

2. Координаты y1, y2. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.7, запишем уравнения движения в системе координат y1 и y2:

При этом матричная структура (4.7), (4.8) имеет вид Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в координатах y1 и y2 примет вид, как показано на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y1 и y Для рассматриваемой системы изменяется характер перекрестных связей – они становятся инерционными. Вместе с этим изменяются и внешние воздействия, которые теперь действуют на парциальных системах адресно (рис. 4.6).

3. Координаты y1,. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y1 и :

Для выражений (4.10), (4.11) матричная структура имеет вид Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления (САУ) для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в координатах y1 и примет вид, как показано на рис. 4.7. Особенность структурной схемы заключается в том, что перекрестные связи приобретают упруго-инерционный характер и могут «обнуляться» на определенных частотах, а внешнее возмущение действует только на один вход.

Рис. 4.7. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y1 и 4. Координаты y2,. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y2 и :

Для выражения (4.13) матричная структура имеет вид Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в координатах y2 и примет вид, показанный на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y2 и Отметим, что изменение обобщенных координат приводит к изменению в передаточных функциях перекрестных связей, что связано и с изменением частот в режимах динамического гашения.

5. Координаты y0, y1. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y0 и y1:

В этом случае для выражений (4.15), (4.16) матричная структура имеет вид Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в координатах y0 и y1 примет вид, как показано на рис. 4.9, что отражает изменения как в перекрестных связях, так и в параметрах парциальных систем.

Рис. 4.9. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y0 и y 6. Координаты y01, y2. Введем систему координат y01 и y2, для этого произведем следующие преобразования: y1 - z1 = y01, так как y1 = y0 - l1j, соответственно y0 = ( z1 + y0 ) a + y2b; y0 = az1 + y01a + y2b;j = d ( y2 - y1 ) = dy2 - dz1 - dy01. Запишем выражение (4.1) и (4.2) для кинетической и потенциальной энергий с учетом системы координат y01 и y Преобразуем выражение (4.2) к виду:

Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y01 и y2:

В этом случае для выражений (4.20), (4.21) матричная структура имеет вид 7. Координаты y01, y1. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y01 и y1, используя вышеприведенные действия:

В этом случае для выражений (4.23), (4.24) матричная структура имеет вид В табл. 4.1 приведены коэффициенты рассмотренных уравнений, приведенных к унифицированной форме в различных системах координат.

Варианты введения сочленений, соответственно представленных в табл. 4.1, приведены на рис. 4.10.

Коэффициенты уравнений движения в различных системах координат Рис. 4.10. Варианты введения сочленения в системе с двумя степенями свободы Расчетные схемы частного вида могут быть получены путем исключения столбца и строки в соответствующей матрице, связанной с системой координат: 1) y0,j – рис. 4.10 а, б; 2) y1, y2 – рис. 4.10 в, г;

рис. 4.10 е; 5) y '0= 0, y1 0, y2 0 ( y '0= y0 - z ) – рис. 4.10 ж;

6) yA = ( y A - z ) = 0, y1 0, y2 0 – рис. 4.10 з – точка А находится между центром тяжести и левой упругой опорой; 7) y 'B = ( y B - z ) = 0, y1 0, y2 0 рис. 4.10 и – точка В находится за пределами левой упругой опоры. В каждом из рассмотренных случаев, то есть каждому варианту сочленения соответствует своя математическая модель. Отметим, что в схемах, в которых одновременно y1 0, y2 0, необходимо принимать во внимание зависимость между координатами, определяемую рычажными связями. Особый случай представляет собой выбор в качестве сочленения точек А и В, которые либо находятся между точками закрепления упругих элементов, либо выходят за пределы этого пространства, что требует учета особенностей координат в механической системе, которые можно было бы назвать точками наблюдения. В данной ситуации точка наблюдения рассматривается как точка возможного сочленения.

Используя матрицы коэффициентов для систем, представленных в таблице 4.2, можно методом исключения столбцов и строк получить математические модели для любого частного случая. Рассмотрим в качестве примера задачу составления математической модели для расчетной схемы на рис. 4.11, что соответствует работе системы на рис. 4.4 в координатах y01 и y2. Отметим, что y01 = y1 - z1. Используем соотношения Рис. 4.11. Расчетная схема ВЗС в системе координат y01 и y Подставляя (4.26) в выражения (4.1) и (4.2), получим:

Система уравнений движения в рассматриваемом случае принимает вид что совпадает с уравнениями (4.20), (4.21).

В системе на рис. 4.11 частота собственных колебаний определяется по формуле Если принять, что z1 = z2 = z, то в системе на рис. 4.11 возможен режим динамического гашения на частоте Передаточная функция системы имеет вид На высоких частотах система запирается и Амплитудно-частотная характеристика системы представлена в соответствии с (4.34) и имеет вид как на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Амплитудно-частотная характеристика системы, расчетная схема По вариантам введения сочленений в табл. 4.2 приведена информация о возможных режимах работы (частотный аспект).

Частотные свойства режимов для системы с различными системами координат ВЗС, получаемых через введение сочленения, представленной на схеме рис. 4. координат собственных динамического на высоких (вид сочленения) Перечень вариантов введения сочленений может быть дополнен системами координат: y и y1, где ( y01 = y0 - z1 и y2 ); y и y2, где ( y01 = y0 - z2 и y2 ) и др.

Введение сочленений в различных вариантах на основе упрощения исходной расчетной схемы (рис. 4.4) позволяет сформировать и систематизировать класс математических моделей, полученных по определенной методике из систем балочного типа. Вместе с тем любая модель из этого класса может быть получена и автономно, однако методика составления дифференциальных уравнений в каждом таком случае будет требовать учета ряда специфических деталей. Связь координат y1 и y2 (и других) сама по себе отражает сочленения, создаваемые виртуальными массами, Ma2 + + Jd2, Mb2 + Jd2, которые появляются при преобразованиях и являются приведенными массоинерционными параметрами по отношению к твердому телу в виде балки. Отметим также, что соединения виртуальных масс двух элементов в механической системе выявляет надобность в рычаге.

В свою очередь, место закрепления упругих элементов разнесено на балке, что также формирует рычажные связи.

4.1. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В. Обобщенные подходы к построению математических моделей механических систем с Г-образными динамическими гасителями колебаний // Системы. Методы. Технологии. – Братск : БрГУ, 2011. – Вып. № 1(9). – С. 9–24.

4.2. Елисеев С.В. Динамический гаситель колебаний как средство управления динамическим состоянием виброзащитной системы [Электронное издание] // Наука и образование : электронное научно-техническое http://technomag.edu.ru/doc/204765.html (дата обращения: 10.04.2012).

4.3. Елисеев С.В. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты. / С.В. Елисеев [и др.]. – Иркутск. – ИрГУПС, 2009. – 159 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, № 737.

4.4. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями.

Технология построения математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – Вып. № 3(27). – С. 8–18.

4.5. Вибрация в технике : справочник в 6 т. Том 6. Защита от вибраций и ударов : под. ред. К.В. Фролова. – М. : Машиностроение, 1981. – 4.6. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в задачах динамики колебательных систем. – Новосибирск : Наука, 2011. – 4.7. Трофимов А.Н. Об оценке свойств рычажных динамических гасителей колебаний // Системы. Методы. Технологии. – Братск : БрГУ, 2011. – Вып. № 3(11). – С. 45–60.

4.8. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Сочленения в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы движения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск :

ИрГУПС, 2010. – Вып. № 4(28). – С. 8–15.

ГЛАВА 5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ

СИСТЕМЫ С ПОСТУПАТЕЛЬНЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ.

ВОЗМОЖНЫЕ ФОРМЫ СОЧЛЕНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ

В задачах виброзащиты и виброизоляции оборудования и машин, особенно на предварительной стадии оценки динамических свойств, возникает необходимость упрощения исходной расчетной схемы [5.1, 5.2].