«В.В. Леденев, В.Г. Однолько, З.Х. Нгуен ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ Рекомендовано Научно-техническим советом университета в качестве монографии Тамбов Издательство ФГБОУ ВПО ТГТУ 2013 1 УДК ...»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тамбовский государственный технический университет»

В.В. Леденев, В.Г. Однолько, З.Х. Нгуен

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

И РАЗРУШЕНИЯ

Рекомендовано Научно-техническим советом университета в качестве монографии Тамбов Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

2013 1 УДК 624.04 ББК 4581.1 Л39 Р е ц е н з е н т ы:

Доктор технических наук, профессор кафедры «Строительная механика»

ФГБОУ ВПО «Воронежский ГАСУ»

В.С. Сафронов Доктор технических наук, доцент кафедры «Городское строительство и автомобильные дороги»

ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

А.Ф. Зубков Леденев, В.В.

Л39 Теоретические основы механики деформирования и разрушения : монография / В.В. Леденев, В.Г. Однолько, З.Х. Нгуен. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2013. – 312 с. – 100 экз. – ISBN 978-5-8265-1208-1.

Приведены фундаментальные уравнения линейной и нелинейной теории упругости, основные физические и реологические уравнения для плоских и пространственных задач, примеры их решения, виды краевых задач и методы их решения.

Рассмотрены основы механики разрушения твердых тел и грунтов, предельные состояния, классические теории прочности, условия пластичности, факторы, влияющие на надежность конструкций и конструктивных систем.

Предназначена для магистрантов, обучающихся по направлению 270100 «Строительство».

УДК 624. ББК 4581. © Федеральное государственное бюджетное ISBN 978-5-8265-1208- образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»), © В.В. Леденев, В.Г. Однолько, З.Х. Нгуен,

ВВЕДЕНИЕ

При проектировании, строительстве и эксплуатации необходимо обеспечить прочность, жесткость и устойчивость конструкций, зданий и сооружений, требуемую долговечность и эксплуатационные качества.

Перечень дисциплин, в котором рассматриваются эти вопросы, приведен на рис. 1. Между ними имеется тесная и неразрывная связь.

Условия Равновесие узлов системы МКЭ.

равновесия Принцип Лагранжа.

Физические Уравнение Уравнение Мизеса– Закон Гука уравнения Мора–Кулона Шлейхера–Боткина Закон Кулона (для заданных поверхностей сдвига) Соотношения Коши Геометрические и кинематические Кинематические соотношения соотношения теории пластического течения модели Рис. 1. Упругопластическая модель: связи с определяющими уравнениями механики грунтов (структурная схема) На конструкции, здания и сооружения воздействуют статические, динамические, повторно-переменные, подвижные, температурные, сейсмические нагрузки, агрессивные среды, начальные напряжения, оказывают влияние дефекты, аварийные смещения опор и др.

К силовым нагрузкам относят сосредоточенные силы, распределенные по линии, площади, объему; нагрузки, моменты, группы сил или(и) моментов, различные их комбинации. Нагрузки характеризуются величиной, направлением, расположением, временем действия, законом изменения во времени.

Различают кратковременные и длительные динамические воздействия. Под кратковременной нагрузкой понимают нагрузку, время действия которой мало по сравнению с периодом собственных колебаний системы Т ( < Т ), под импульсной ( 0, µ > 0.

Теорема единственности. При заданных массовых Fi (xs ) и поверхностных qi (xs ) силах и перемещениях i (xs ) краевая задача определяет единственное решение ij (xs ) (если оно существует) в классе непрерывных с непрерывными производными в области v + s функций. При su 0, единственность в том же классе функций имеет место и для перемещений ui (xs ).

Теорема взаимности Бетти. Работа сил Fi, qi на перемещениях ui, вызванных второй системой сил Fi, qi, равна работе сил Fi, qi на перемещениях ui, вызванных первой системой сил Fi, qi или Тензор Грина. Единственное решение краевой задачи при дополнительных условиях: перемещение и поворот в точке отсутствуют Gik ( xs, s ) представляет собой тензор Грина краевой задачи упругости неоднородных тел, соответствующей заданию на границе тела силовых граничных условий. Он определяется формой тела и упругими модулями (xs ), µ(xs ) и не зависит от внешних сил.

• Метод возмущений Метод возмущений – один из наиболее эффективных общих методов теории упругости неоднородных тел, применимый при произвольной неоднородности упругих свойств.

Рассмотрим краевую задачу для неоднородного анизотропного упругого s тела при заданных на поверхности тела силах плотностью qi ( x s ) здесь тензор упругих модулей где c 0 – константы; – параметр.

Краевая задача для ul Краевая задача для ulk где Решение исходной краевой задачи • Постановки основных краевых задач Силовые граничные условия на контуре L или где n1, n2 – компоненты внешнего единичного вектора, нормального к контуру L, кинематические условия смешанные условия Постановка плоской задачи в перемещениях. Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях здесь Постановка плоской задачи в напряжениях при силовых граничных условиях на контуре L Условие совместности Уравнения равновесия Постановка плоской задачи относительно функций ij, ui на контуре L области • Функция напряжений в плоской задаче Тензорная форма функции напряжений Дифференциальное уравнение относительно функции F(x1, x2) условия на границе s области или для односвязной области где f1, f 2 – заданные на L функции:

P1, P2 – проекции равнодействующей поверхностных сил, действующих на дуге (s0, s ), • Метод возмущений в плоской задаче Краевая задача, заданная для напряжений ij дифференциальными уравнениями и граничными условиями Решение данной задачи в виде степенного по ряда Краевая задача для ij краевая задача для ij где Краевая задача, заданная для функций напряжений F (x1, x2 ) дифференциальными уравнениями и граничными условиями:

где f1, f 2 – заданные на L функции.

Решение задачи краевая задача для F краевая задача для Fk где • Уравнения плоской задачи в полярных координатах Закон Гука для изотропного тела здесь Уравнения равновесия Условие совместности Силовые граничные условия • Уравнения плоской задачи в прямоугольных координатах причем функция F0 является бигармонической а функция Fk, k 1 удовлетворяет уравнению где Краевая задача для неоднородного анизотропного тела при заданных на поверхности s тела силах плотностью qi ( x s ) Тензор упругих модулей где cijlm – константы.

Перемещения ul (x s ) здесь Gij (x s, s ) – тензор Грина краевой задачи, 3.4. МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ (А.В. Андреев, 1981 г.) Малые перемещения материальных точек определяются двумя векторными полями:

где U и – векторы, характеризующие малые перемещения и малые жесткие повороты.

В этой модели возникает напряженное состояние с несимметричным тензором напряжений ( xy yx ). В зонах концентрации напряжений с высоким градиентом происходит моментная депланация сечений. Моментный депланационный сдвиг d отличается от обычного, что образуется в главных осях вследствие разницы величин поперечных перемещений вдоль одной из главных осей. Обычный сдвиг возникает в осях, повернутых по отношению к главным. В классической теории упругости приняты симметричный тензор деформаций и отсутствие сдвига в главных осях.

Приведем основные уравнения плоской (в осях xy) задачи моментно-депланационной теории упругости Уравнения равновесия имеют вид В моментно-депланационной теории упругости при плоской деформации три компонента деформации xs, ys, xys выражаются через четыре функции u ( x, y ), ( x, y ), ud ( x, y ), d ( x, y ).

Если обычные напряжения x, y, xy, а депланационные dx, dy, dxy, dyz, то результирующие уравновешивающие напряжения Уравнения равновесия имеют вид Для плоской деформации закон Гука представляют в виде где xy, yx – деформации депланационного сдвига осей x и y.

По Л.И. Седову (1976) среда изотропна, если компонеты тензоров, определяющих ее свойства, не меняются при любых ортогональных преобразованиях, т.е. свойства одинаковы по всем направлениям.

В анизотропных средах свойства в разных направлениях разные.

Теория анизотропных сред развивалась в трудах Н.Г. Микляева и Я.Б. Фридмана (1969), А.Л. Рабиновича (1970), Е.К. Ашкенази (1972), С.Г. Лехницкого (1977), А.В. Павленко (1982), С.А. Амбарцумяна (1987), Е. Рейснера (1961), А.А. Трещева (2008 – 2010) и др.

В [79] рассмотрено влияние неоднородности грунтовых оснований на распределение напряжений. В первую очередь приведены данные для оснований с горизонтальными малодеформируемыми подстилающими слоями. Это работы О.Я. Шехтер (1937), К.Е. Егорова (1939 – 1960), М.И. Горбунова–Посадова (1946 – 1953), И.К. Самарина и Г.В. Крашенинниковой (1930).

Так, для погонной сосредоточенной нагрузки максимальное сжимающее напряжение при µ = 0, где h – мощность сжимаемого слоя.

Так же в [79] обсуждается влияние толщины сжимаемого слоя на распределение контактных напряжений.

В лаборатории ФГБОУ ВПО «ТГТУ» проведены многочисленные эксперименты по изучению влияния угла наклона подстилающего слоя, его толщины шероховатости жесткого слоя, эксцентриситета и угла наклона силы на характер перемещения моделей и несущую способность основания.

По данным натурных наблюдений установлено влияние наклона верхнего, более сжимаемого слоя на характер повреждений зданий.

4.1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

• Напряженное и деформированное состояния сплошного тела [30, 38, 73, 75, 76].

Ряд предложений и ограничений 1. Тело является сплошным (сплошной средой). Напряжения на любой площадке внутри и на поверхности являются силами, отнесенными к единице площади. Моментными напряжениями, которые вводятся в ряде современных работ, пренебрегают, как это делается в классической теории упругости.

2. Связь между компонентами деформации и проекциями перемещения и их первыми производными по координатам является линейной, т.е. рассматривают только малые деформации.

3. Между компонентами напряжений и деформаций существуют линейные зависимости, т.е. материал следует обобщенному закону Гука. Коэффициенты этих линейных зависимостей могут быть как постоянными (однородное тело), так и переменными функциями координат, непрерывными или прерывными (в случае однородного тела).

4. Начальных, т.е. существующих без внешней нагрузки напряжений, в том числе и температурных, не учитывают; конкретных задач динамики не рассматривают.

Связь между составляющими деформации и проекциями перемещения в трех системах координат при малых деформациях 1. Декартова система (x, y, z):

2. Цилиндрическая система (,, z ) :

3. Сферическая система (,, ) :

Связь между составляющими деформации и проекциями перемещения в декартовой системе координат при больших деформациях сплошной среды в трех системах координат 1. Декартова система координат:

2. Цилиндрическая система:

3. Сферическая система:

Уравнения движения сплошной среды в декартовой системе координат при малых деформациях • Обобщенный закон Гука

или

Выражение упругого потенциала или • Преобразование упругих постоянных при переходе к новой системе координат Уравнения и выражения в системе координат x, y, z Напряжения старой системы координат в связи с напряжениями новой системы координат

4.1. Символ qij к формулам преобразования коэффициентов aij Формулы преобразования для коэффициентов деформации Формулы преобразования для модулей упругости Преобразование упругих постоянных при повороте координатной системы Преобразование коэффициентов деформации aij a66 = 4( a11 + a22 2a12 a66 ) sin cos + a a16 = [2a22 sin 2a11 cos + ( 2a12 + a66 )(cos sin )] sin cos + a26 = [2a22 cos 2a11 sin ( 2a12 + a66 )(cos sin )] sin cos + 4.2. Символ qij к формулам преобразования коэффициентов Формулы упругих постоянных ортотропного тела при введении технических упругих постоянных Ei, Gij, ij Инварианты для ортотропного тела Преобразование приведенных упругих постоянных ij • Криволинейная анизотропия Обобщенный закон Гука в криволинейной системе координат

Обобщенный закон Гука в цилиндрической системе координат =a12 r + a22 +

=a + a +

Обобщенный закон Гука в случае ортотропного тела с цилиндрической анизотропией при введении упругих характеристик – модуля Юнга и сдвига и коэффициента Пуассона • Общие уравнения теории упругости и постановка основных задач. Важнейшие вариационные принципы Основная система уравнений равновесия в декартовой системе координат (x, y, z, t )

y = a12 x + a 22 y +

где X, Y, Z – проекции объемных сил на единицу объема.

Уравнения движения

y = a12 x + a22 y +

=a + a +

где – плотность материала тела.

Первая основная задача. На всей поверхности задаются внешние усилия.

Граничные условия Вторая основная задача. На всей поверхности задаются проекции перемещения на три несовпадающих напряжениях, например, проекции u *, v *, w*, на оси декартовой прямоугольной системы координат. Граничные условия будут иметь вид Смешанная задача. На части поверхности задаются усилия, а на другой части перемещения. Для случая ортотропного тела, движущегося под действием внешних усилий, или испытывающего свободные колебания, уравнения движения в проекциях перемещения имеют такой вид:

УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ

• Растяжение стержня под действием осевой силы и собственного веса (рис. 4.1).

Напряжения Деформации Перемещения Здесь 1, 2, 3, u 0, 0, w0 – постоянные, характеризующие жесткое перемещение тела в пространстве, не сопровождаемое деформациями; первые три характеризуют перемещения при повороте вокруг осей координат, а вторые три – поступательные перемещения вдоль осей.

Условия закрепленного бесконечно малого элемента на оси z около координат Тогда перемещения будут В общем случае анизотропии стержень не только удлиняется в направлении силы и сокращается в поперечных направлениях, но еще испытывает сдвиги во всех плоскостях, параллельных координатным.

Эти сдвиги характеризуются коэффициентами a34, a35, a Абсолютное удлинение стержня Напряжения от собственного веса (рис. 4.2) где – удельный вес материала.

Перемещения от собственного веса В общем случае анизотропии ось искривляется и уравнение изогнутой оси будет При этом центр нижнего конца перемещается не только вдоль z, но и в стороны, и проекции перемещения его на оси координат определяются по формулам Если стержень закреплен так, что центр нижней поверхности остается на вертикали, то перемещение его по вертикали будет прежним Напряжения и деформации определяются по формулам (рис. 4.3) Предполагая, что элемент оси z закреплен около начала координат, тогда перемещения будут Полное удлинение в направлении оси z Объемное расширение, т.е. изменение единицы объема, зависит от коэффициентов взаимного влияния и определится по формулам или Изменение объема всего тела 4.3. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

• Распределение напряжений в упругом полупространстве под действием осесимметричной нормальной нагрузки (рис. 4.4).

Дано упругое однородное трансверсально-изотропное полупространство, ограниченное бесконечной плоскостью с плоскостями изотропии, параллельными ограничивающей.

На этой ограничивающей плоскости по площади некоторого круга распределены нормальные усилия, обладающие симметрией вращения относительно нормали, проведенной через Рис. 4.4. Схема к задаче центр круга, принимаемый за начало O цилиндрической системы координат (ось z направлена нормально к границе внутрь).

p(r ) – интенсивность нагрузки, которая удовлетворяет условиям:

1) она конечна при всяком r; 2) в любом конечном интервале r > число точек разрыва непрерывности и экстремальных точек конечно и 3) интервал r dr сходится. Тогда напряжения определяются по формулам Здесь функция (t ) определяется по формуле где J 0 – функция Бесселя нулевого порядка вещественного аргумента.

• Распределение напряжений в упругом полупространстве под действием сосредоточенной силы и произвольной нормальной нагрузки (рис. 4.5).

Распределение напряжений в трансверсально-изотропном полупространстве дается формулами Напряжения от силы P, приложенной не в начале координат, а в произвольной точке 0 с координатами, (рис. 4.6).

Напряжения в декартовой системе координат x, y, z здесь r,, z, rz – напряжения в цилиндрической системе.

Пусть нагрузка распределена по некоторому участку S ограничивающей плоскости и является нормальной и заданной функцией x и y – p( x, y ) (см. рис. 4.6), тогда напряжения будут определяться по другим формулам. Пример, для z Некоторые задачи механики неоднородных сред. Андреев В.И.

(2002) рассмотрел задачи о концентрации напряжений вблизи подземного цилиндрического отверстия; осесимметричная термоупругая деформация с учетом двухмерной неоднородности материала, термонапряженное состояние массива со сферической полостью с учетом двухмерной неоднородности, расчет неоднородной в меридиальном направлении анизотропной полусферической оболочки.

Так, оболочка, армированная в кольцевом и меридиональном направлениях отличалась. Если количество арматуры на единицу площади сечения в направлении угла постоянно, то в направлении изменяется. Тогда E1 = E 2 = const, E 2 = E (), E3 = E = const, т.е неоднородность материала будет в меридиональном направлении.

Пусть µ 2 и µ 3 коэффициенты армирования в направлении и, то модули упругости Цытович Н.А. (1963) приводит данные Г.И. Клейна (1960), Н.Н. Иванова (1929), О.К. Фрелиха (1936) для непрерывно-неоднородного по глубине полупространства где – показатель степени неоднородности.

В книге Г.И. Марчука и В.И. Агошкова (1981) описаны проекционно-сеточные методы (Ритца, Бубнова–Галеркина, наименьших квадратов и др.), кусочно-линейные аппроксимации, методы решения некоторых краевых задач, рассмотрены примеры построения базисных функций.

Методы вычислительной математики изложены и в ранее изданной книге Г.И. Марчука (1977). Большое внимание уделено итерационным методам.

Подробнее см. в [6, 10, 12, 15, 20, 21, 25, 29, 47, 58, 68, 70, 75, 82, 83].

НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ ГРУНТОВ

Это механика, разрешающая система уравнений которой нелинейна. В качестве объекта исследования является среда с двумя основными особенностями: с внутренним трением и многокомпонентностью (обычно трехкомпонентная среда – частицы грунта + вода + воздух).

Нелинейность разрешающей системы проявляется в трех случаях:

1) при зависимости консолидационных параметров от изменяющейся пористости – нелинейные консолидационные свойства;

2) при нелинейной связи между напряжениями, деформациями и их производными во времени – физическая нелинейность;

3) при нелинейной связи между компонентами деформаций и градиентами перемещений – геометрическая нелинейность.

Для решения задач используются уравнения состояния, вытекающие из теории пластичности. В основе теории пластического течения лежит принцип максимума Мизеса: скорость диссипации механической энергии в единице объема во время пластического деформирования имеет максимальное значение для действительного напряженного состояния из всех возможных, допускаемых данным критерием пластичности.

Принимают следующие допущения:

– поверхность нагружения не должна быть вогнута; направление вектора приращения пластических деформаций должно совпадать с нормалью к поверхности нагружения в точке нагружения (ассоциированный закон пластического течения).

При учете вязкопластичности вводят понятие мгновенной поверхности нагружения.

К числу основных факторов, определяющих процесс деформирования, относят:

физическое состояние грунта;

деформацию грунтов при активном нагружении;

пластические деформации, зависящие нелинейно от напряжения, а также от пути нагружения и вида напряженного состояния;

дилатацию (доуплотнение или разуплотнение), зависящую от плотности грунта, его физического состояния, степени приближения к предельному состоянию, траектории нагружения, характера воздействия;

многофазность грунтов;

запаздывание пластических деформаций во времени, особенно для связных грунтов;

характер воздействия (статические, температурные, коррозионные, динамические нагружения).

Для анализа нелинейного поведения грунтов используют различные методы вычислительной математики: конечно-разностные, вариационно-разностные, конечных и граничных элементов и др.

Кроме того, используют и другие нелинейные методы расчета:

нелинейную деформационную теорию пластичности;

ассоциированный закон пластического течения Друккера– Прагера, неассоциированный закон пластического течения, критического состояния, пластического течения с упрочнением, обобщенный ассоциированный закон течения упрочняющихся пластических сред и др.

Величины пластических деформаций зависят от пути нагружения и вида напряженного состояния. При сдвиге грунт либо доуплотняется (контракция), либо разуплотняется. Знак и величина дилатационной части объемной деформации зависят от: плотности грунта, степени приближения к предельному состоянию, траектории нагружения. Пластические деформации запаздывают во времени. Время запаздывания зависит от вида грунта, величины и характера воздействия.

Феноменологическое описание реологических процессов в грунтах проводится на основе теории наследственной ползучести, теорий течения и упрочнения.

5.2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ Изложенная в [23, 25, 29, 46, 68, 75, 82, 83] теория деформирования систем из упруго-идеальнопластического материала, для которого соблюдается ассоциированный закон пластического течения, в которой сохраняется гипотеза о малости суммарных упругопластических деформаций. Теория идеальной пластичности игнорирует многие усложнения, например, упрочнение и эффект Баушингера. Построение теории пластичности (Треска, Сен-Венана, Мизеса) следовало принципу пластического течения, т.е. установлению связи между скоростями тензора деформаций и тензора напряжений. Пластичность называется идеальной, если в процессе нагружения не происходит изменения поверхности пластичности. Развитию теории пластичности способствовали работы Рейса, Прагера и Койтера.

Теория течения упрочняющихся тел развивалась трудами Мелана, Прагера, Койтера, Хилла. Деформационная теория пластичности формировалась параллельно (А.А. Илюшин, Г. Генки, В.Д. Клюшников).

Наибольшего успеха теория идеальной пластичности получила при разработке теории предельного равновесия (А.А. Гвоздев, 1936).

Сформированы три основные теоремы:

первая теорема (статическая) – предельная нагрузка не ниже той, которая соответствует статически допустимому полю напряжений;

вторая (кинематическая) теорема – предельная нагрузка не выше той, которая соответствует кинематически возможному механизму пластического деформирования;

третья теорема (двойственная) – максимум нагрузки по первой теореме и минимум по второй совпадают и равны предельной нагрузке для конструкции.

Выявлены механизмы пластического разрушения (Г. Генки, 1948), позволяющие конструировать поля скоростей деформаций по характеристикам уравнений течения. Рассмотрено образование разрывов в полях перемещений (Р. Хилл, 1956; Д.Д. Ивлев, 1966).

Исследованию механизма разрушения пластин и оболочек посвящены работы А.Р. Ржаницына, В.З. Власова, С.П. Тимошенко.

Физической основой теории пластичности является способность материалов деформироваться без заметного увеличения нагрузок (пластическое течение). При этом напряжение в материале достигает определенного значения (предела текучести).

Деформации разделяют на упругие и пластические:

Поверхность нагружения (предельная поверхность в теории пластичности) также разделяет составляющие полных деформаций. В теории идеальной пластичности поверхность нагружения считается фиксированной и не зависит от истории деформирования.

Уравнение предельной поверхности (условие пластичности) имеет вид Если () < 0, то деформации, вызываемые малыми измененияij < 0.

ми напряжений, упругие или исходит только по поверхности пластичности.

В идеальной пластичности не допускается состояние, когда Для описания процесса образования пластических деформаций используют постулат Друкера (1951) где – действительное напряжение; ij – любое возможное напряij жение, для них выполняются условия пластичности – приращение пластической деформации, соответстij вующее напряжению.

Из постулата следует, что поверхность пластичности ограничивает выпуклую область и вектор приращения пластической деформации перпендикулярен к поверхности пластичности в точке.

Уравнение, связывающее скорости пластических деформаций с напряженным состоянием, называют ассоциированным законом пластического течения где – параметр, пропорционально которому изменяется внешняя нагрузка.

Условия пластичности (Треска, Сен-Венана), по которым течение происходит при достижении максимальными касательными напряжениями определенного уровня (т), следующие:

где i, i = 1, 2, 3 – главные напряжения; т – предел текучести при одноосном напряженном состоянии; главные касательные напряжения По Мизесу условие пластичности имеет вид Условия Треска–Сен-Венана описывают нерегулярную поверхность пластичности с ребрами, а Мизеса – регулярную – эллипсоид вращения.

Для краевой задачи имеем:

уравнение равновесия, заданное на объеме:

краевые условия в напряжениях условия Коши где – вектор нормали к поверхности, ограничивающей тело; x, p – векторы скоростей изменения внешней нагрузки;, ui, j, u,i – скороij j сти напряжений, деформаций и перемещений.

Предполагается скачкоообразный переход из упругого в пластическое состояние (диаграмма Прандтля или жесткопластического тела).

Состояние пластического механизма системы характеризуется условиями (состояние предельного равновесия по А.А. Гвоздеву):

система находится в равновесии;

усилия не превосходят предельных величин и удовлетворяют условиям пластичности;

система может деформироваться без изменения внутренних и внешних сил;

момент в пластических шарнирах равен пластическому.

Деформируемая система рассматривается как некоторая кинематическая цепь с заданным числом степеней свободы. Начальная конфигурация системы – недеформированное состояние. Множества деформированных состояний порождает пространство этих состояний (метрическое пространство).

В аналитической механике деформации рассматривают как перемещения вдоль связей системы.

Линии скольжения – два ортогональных семейства линий, касательные в каждой точке которых совпадают по направлению с площадками скольжения (рис. 5.1). Последние в каждой точке ортогональны. На площадках скольжения касательные напряжения обладают экстремальными свойствами: они максимальны по сравнению с касательными напряжениями на соседних площадках, проходящих через ту же точку. Касательные к линиям скольжения образуют угол + ( / 4) и + (3 / 4) с осью Ox1. Примером линий скольжения являются линии Чернова.

Дифференциальные уравнения семейств линий скольжения имеют вид [40] Напряженное состояние в условиях плоской деформации можно рассматривать как наложение всестороннего равного растяжения с главными напряжениями 0 на чистый сдвиг с касательным напряжением max ; бесконечно малый элемент, выделенный линиями скольРис. 5.1. Линии скольжения жения, испытывает одинаковое растяжение в направлении линий скольжения (рис. 5.2).

Свойства линий скольжения сформулированы в теоремах Г. Генки.

Выделены центрированное и равномерное поле линий скольжения. Изменение полной скорости вдоль линий скольжения равно нулю (рис. 5.3).

В [36] рассмотрели линии разрыва в скоростях перемещений.

Рис. 5.2. Напряженное состояние элемента, Рис. 5.3. Напряжения в различных площадках

5.3. УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ

Формула условий текучести для изотропных тел имеет вид Для идеального пластического материала K 2 = const. Полагая, что среднее нормальное напряжение не влияет на условия текучести, последнее можно представить с помощью компонента дивиатора напряжений Здесь j1 = S ii = 0. Функция f симметрична относительно начальной точки.

По Губерту М. и Мизесу Р. условием текучести является постоянство интенсивности касательного напряжения где 12 – касательная напряжения в случае чистого сдвига.

На основе результатов экспериментов Треска предложено применять во всех случаях максимальное касательное напряжение равным S / 2, т.е. наибольшему касательному напряжению в случае простого растяжения. Математическая формулировка этого предложения дана Сен-Венаном в виде Пластическая деформация влечет за собой некоторое упрочнение, и предел упругости повышается в направлении деформирования.

При сложном напряженном состоянии вводят в рассмотрение поверхность нагружения. Она определяет области упругого и пластического деформирования. Форма и положение поверхности нагружения зависит от текущего напряженного состояния и от всей предыдущей истории нагружения.

Условие изотропного упрочнения выражается через квадратичный инвариант девиатора напряжений где Т – интенсивность касательного напряжения.

При f (q) = 12 получают условие Губерта–Мизеса. Если Т = = g(Г)F, где g(Г) – функция, характеризующая данный материал (модуль пластичности); Г – интенсивность деформаций сдвига, то за меру упрочнения принимают работу пластической деформации где eij ) – компоненты пластической деформации.

5.4. КРИТЕРИИ НАЧАЛА ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Полагают, что до некоторого уровня напряженного состояния имеют место лишь упругие деформации. На этом этапе напряженное состояние не зависит от пути нагружения. Граница между упругим состоянием и следующим состоянием пластического деформирования в окрестности исследуемой точки есть функция напряженного состояния где f – поверхность текучести.

Для изотропного тела Полагая, что 2 не влияет на свойства пластичности материала, Это уравнение цилиндрической поверхности, перпендикулярной плоскости Плоскость, равнонаклонная к осям 01, 02, 03, называется девиаторной. Конец вектора девиатора тензора напряжений лежат в девиаторной плоскости.

Состояние пластического деформирования достигается, если изображающая точка (конец вектора = 1e1 + 2 e2 + 3 e3 ) выходит на цилиндрическую поверхность (поверхность текучести), заключенную между описанной и вписанной призмами.

Уравнения граней призм соответственно Уравнение окружности цилиндра (след в девиаторной плоскости) Так как изображающая точка может находится либо на грани шестигранной призмы, либо на ребре, то условие пластичности можно записать в виде Учитывая, что главные касательные напряжения выражаются через главные нормальные напряжения то выше записанные критерии пластичности называют соответственно критерием наибольшего касательного напряжения и критерием интенсивности касательных напряжений Для плоского напряженного состояния (например, 3 = 0 ) условие наибольшего касательного напряжения Этому условию соответствует шестигранник. Условие наибольшего приведенного напряжения Жесткопластическая модель. Объем материала разделяют на две области – пластическую и жесткую. На границе областей материал скачкообразно переходит в пластическое состояние. Границами раздела пластических и жестких зон являются линии скольжения или их огибающие.

В практике наблюдают, а в теоретических исследованиях определяют линии разрыва напряжений и скоростей перемещений.

Пластическая деформация. Приложенная внешняя нагрузка вызывает изменение размеров и формы тела. Различают деформации линейные, угловые, поверхностные и объемные. Их можно разделить на абсолютные, относительные и логарифмические (натуральный логарифм отношения измененного в результате деформирования размера к первоначальному размеру элемента тела или всего тела до начала деформирования).

У металлов процесс пластической деформации в основном осуществляется путем скольжения. Скольжение (для металла) – перемещение одной части кристалла относительно другой, при котором кристаллическое строение обеих частей остается неизменным. При сложном напряженном состоянии пластическая деформация приводит к изменению всех упругих характеристик материала. Этот эффект называют деформационной анизотропией. Первоначально изотропный материал становится анизотропным. Сдвигающее напряжение, необходимое для начала пластической деформации скольжения, для данного металла, при данной температуре и скорости деформации есть величина постоянная, не зависящая от ориентировки плоскостей скольжения относительно действующих на тело сил [25, 77].

Остаточное формоизменение поликристаллического тела складывается из пластической деформации зерен (изменения их формы и размеров) и их относительного смещения. Плоскости скольжения в отдельных зернах произвольно ориентированы. При нагружении пластическая деформация в первую очередь возникает в зернах с благоприятной ориентировкой плоскостей скольжения. При линейном растяжении–сжатии пластические деформации сначала возникают в зернах, у которых плоскости скольжения расположены под углом 45° к направлению действия силы.

Внешним проявлением сдвигов являются линии скольжения на поверхности поликристаллического тела, впервые обнаруженные Людерсом (1854) и Д.К. Черновым (1885). По этим линиям можно судить о направлении максимальных сдвигающих напряжений. В [40, 51] даны определения предела текучести как нормального напряжения при линейном сжатии или растяжении, соответствующего включению в пластическую деформацию большинства зерен металла.

Неодновременное включение в пластическую деформацию зерен поликристаллического тела приводит к следующим явлениям:

– нарушению линейной зависимости деформаций от напряжения при нагружении выше предела пропорциональности;

– упругому последействию: образец под постоянной нагрузкой, не превышающий предела текучести, с течением времени получает дополнительную деформацию, а после снятия нагрузки – остаточную деформацию, со временем уменьшающуюся или исчезающую;

– релаксации напряжений – с течением времени убывает усилие (напряжение), необходимое для поддержания постоянной деформации образца;

– упругому гистерезису, заключающемуся в том, что линия нагружения не совпадает с линией разгрузки, образуя кривую гистерезиса и характеризующую работу деформации;

– эффекту Баушингера: образец предварительно деформированный за предел текучести уменьшает сопротивление деформации при последующей деформации обратного знака;

– наличию площадки текучести.

Пластическая (холодная) деформация приводит к значительному изменению механических, физических и химических свойств металла. С увеличением степени деформации возрастают пределы упругости, пропорциональности, текучести и прочности. Увеличивается твердость металла. Одновременно уменьшаются показатели пластичности (относительные удлинения и сужения, ударная вязкость).

Однородная деформация – перемещения являются линейными функциями координат, а величины относительных деформаций постоянны. Плоскости и прямые линии остаются плоскостями и прямыми после деформации. Параллельные прямые и параллельные плоскости остаются параллельными после деформации. Сфера, мысленно выделенная внутри тела, превращается в эллипсоид. Два геометрически подобных и подобно расположенных элемента тела остаются геометрическими подобными.

Линии скольжения – траектории главных касательных напряжений. Это ортогональная сетка (поле) из двух криволинейных семейств линий. Касательные к каждой линии скольжения в любой точке совпадают с направлением главных касательных напряжений.

Основные свойства линий скольжения (рис. 5.4):

они непрерывны;

образуют два семейства;

взаимно ортогональны;

пересекают траектории главных напряжений под углом 45°;

угол между касательными к двум линиям скольжения одного семейства в точках пересечения их линиями другого семейства остается постоянным.

а – ортогональная сетка прямых; б – одно поле состоит из прямых линий, другое из кривых (простое поле); в – центрированное поле, образуемое пучком прямых и концентрическими окружностями; г – простое; д – взаимно ортогональные кривые; е – ортогональная сетка логарифмических спиралей Рис. 5.5. Линии скольжения в жесткопластическом теле, ограниченном плоскостью, при вдавливании в него абсолютно жесткого штампа с плоским основанием (решение Прандтля) На рисунке 5.4 показано поле линий скольжения при внедрении плоского пуансона в пластическое полупространство при отсутствии контактного трения.

По данным Р. Хилла возможна и другая схема линий скольжения (рис. 5.5).

Жесткопластическая модель. Объем металла разделяют на две области – пластическую и жесткую. На границе областей материал скачкообразно переходит в пластическое состояние. Границами раздела пластических и жестких зон являются линии скольжения или их огибающие.

В практике наблюдают, а в теоретических исследованиях определяют линии разрыва напряжений и скоростей перемещений.

ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГРУНТОВ

Приведем идеи Ю.К. Зарецкого [25], исходя из теории пластического течения упрочняющихся сред.

Приращения полных деформаций где d ij = cij, kl d kl, cij, kl – матрица упругих характеристик, опредее ляемых при разгрузке; d ij = жители; d ij – определяется суммированием приращения деформаций по всем регулярным участкам поверхности нагружения f r = 0.

В пределах области, ограниченной поверхностью нагружения, грунт ведет себя упруго, а за ее пределами развиваются необратимые деформации сдвига и объема, характеризуемые инвариантами eiр и.

Функция нагружения имеет вид где i и – параметры упрочнения, * – предельные деформации сдвига; d – объемная деформация, соответствующая максимальному уплотнению грунта.

Для несвязных грунтов предельные деформации зависят от обжатия и возрастают с увеличением угла внутреннего трения. Для связных грунтов предельные деформации (при j P > 0,2 ) практически не зависят от обжатия.

След поверхности нагружения на плоскости инвариантов тензора напряжений ( i ) состоит из четырех участков, имеет ряд сингулярных точек, в которых касательная терпит разрыв и зависит от параметров упрочнения.

Первая из них является описанием диаграммы объемного деформирования, вторая – диаграммы сдвига, третья – положительной диаграммой (до уплотнения).

где – безразмерный параметр.

При нагружении по траектории гидростатического давления выделяется область, внутри которой напряжения сдвига не приведут к накоплению пластических деформаций (характеризует структурную прочность грунта в условиях сложного напряженного состояния).

Вязкопластичность глинистых грунтов. В вышеприведенной модели вводится мгновенная f r0 и стабилизированная f r поверхности нагружения, скорости вязкопластических деформаций, режим нагружения Реология – наука, устанавливающая общие законы образования и развития во времени деформации любого вещества от различных причин в различных термодинамических и физико-химических условиях.

Для прогноза деформации неустановившейся затухающей ползучести применяют линейную (в отношении напряжений) теорию наследственной ползучести Больцмана–Вольтерра.

Уравнение состояния при однократном загружении имеет вид где (t) – изменение относительной деформации во времени; (t) / E – мгновенная деформация в момент времени t при модуле деформации E; k(t – t0) (t0)t0 – ядро ползучести.

При непрерывном загружении Ядро ползучести – скорость ползучести при постоянном напряжении, отнесенная к единице действующего давления.

Для глинистых грунтов где и – параметры ползучести, определяемые опытным путем.

Уравнение Бингама–Шведова имеет вид где = 1/ – коэффициент вязкости; 0 – начальное (yz = 0) сдвиговое напряжение.

Основными элементами механических реологических моделей являются упругий (пружина) и вязкий (цилиндр, заполненный жидкостью с расположенным внутри поршнем).

При последовательном соединении упругого и вязкого элементов получают уравнение Максвелла где – коэффициент вязкости.

В случае параллельного соединения упругого и вязкого элементы получают модель тела Фойгта Более сложная модель представляет собой систему из упругого элемента, последовательно соединенного с двумя параллельно соединенными упругим и вязким элементом (модель тела Кельвина).

Если при нагружении тело получило упругую деформацию = /E, а затем в течение времени t1 происходит процесс ползучести, а далее напряжение мгновенно уменьшается до нуля, то упругая составляющая деформации уменьшается на = /E, а далее происходит процесс обратной ползучести (обратное последействие). При t 0, т.е. вся деформация ползучести является обратимой и последействие в теле Кельвина упругое.

Рассмотрим предложения В.М. Бондаренко (2004). Для бетона как стареющего материала обработка экспериментальных данных осуществлялась в рамках инварианта С.В. Александровского–В.Д. Харбала:

где E0 – модуль мгновенной деформации; с0 – мера простой ползучести без учета старения бетона; c0 – мера простой ползучести стареющего бетона; t0, t – начало нагружения, время.

Мера простой ползучести – относительная деформация ползучести бетона при b 0,3b, накопившаяся к моменту времени t при загружении образцов в t0 < t и приходящаяся на 1 МПа действующего постоянного напряжения cb (t, t 0 ) = cr (t, t 0 ) / b.

Она равна тангенсу угла наклона к оси напряжений секущей хорды, проходящей через начало координат и рассматриваемую точку.

= / = (1 ) / = /(1 ) – характеристика нелинейности деформирования бетона.

В современных теориях силового сопротивления бетона в качестве эталонного режима принимают неизменные во времени напряжения. Деформации ползучести, соответствующие эталонному режиму, называются деформациями простой ползучести.

Реологическое уравнение силового сопротивления бетона имеет вид где E – полная относительная деформация; – напряжение; sМ – функция напряжений для деформации ползучести; t0, t, – время начала нагружения, текущее время, время окончания отсчета нагружения;

чальная мера деформаций простой ползучести; (t0 ) – функция старения для ползучести, введенная с целью разделения временных влияний возраста и нагружения.

В формулах первый член – относительные мгновенные деформации; второй член – относительная кратковременная ползучесть (быстронатекающая ползучесть); третий – относительные режимные деформации ползучести.

5.7. МОДЕЛИ ОСНОВАНИЯ БУРОНАБИВНОЙ СВАИ

Математическая модель грунта принята [27] на основе теории пластического течения. Деформации грунта и их приращения складываются из упругой и пластической части. Приращения упругих деформаций связаны с приращениями напряжений законом Гука. Приращения пластических деформаций определяются на основании обобщенного ассоциированного закона течения. Функции нагружения приняты в виде соотношений где K z и C z – функции упрочнения для каждого участка поверхности нагружения.

Решение задачи выполнено методом конечных элементов при совместном рассмотрении вышеприведенного уравнения и матричного уравнения {U } R – вектор узловых перемещений; {F } и {Fq } – векторы массовых внешних сил; {F p } – вектор сил, определяемый соотношением где {B} – матрица, характеризующая геометрическую форму элемента; [D] – матрица упругих характеристик; R – расстояние от оси симметрии; { p } – вектор пластических деформаций.

Расчетная область аппроксимировалась осесимметричными треугольными элементами второго порядка.

В области, занятой сваей, вводится дополнительная фиктивная сила где [ Dсв ] – матрица упругих характеристик ствола сваи.

В конечном виде матричное уравнение Рис. 5.6. Изолинии отношений гавных напряжений при = 0,2:

По расчетам [15] зоны предельного равновесия образуются вдоль боковой поверхности сваи и развиваются с ростом нагрузки. Затем происходит развитие предельных зон под подошвой и вдоль боковой поверхности и потеря несущей способности.

Обстоятельную информацию о методе конечных элементов можно получить из работ О. Зенкевича (1975), Ж. Деклу (1976), Дж. Одена (1976), Ф. Сьярля (1980).

На рисунках 5.6 и 5.7 приведены результаты решения задачи о действии на водонасыщенный несвязный грунт нагрузки от жесткого шероховатого ленточного фундамента шириной 20 м (М. Хазма, П. Гронси, 1979).

Использована билинейная зависимость между напряжениями и деформациями в виде где Ei – начальный тангенциальный модуль; p0 – атмосферное давление; – главное эффективное напряжение; K и n – безразмерные параметры, зависящие от свойств грунта.

Рис. 5.7. Зависимость осадки фундамента шириной 20 м от нагрузки при разных отношениях начальных величин главных напряжений

II. МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ

Наибольший вклад в механику разрушения внести Ш. Кулон (1773), В.Д.М. Ренкин (1857), О. Мор (1882), А. Гриффитс (1920), Я.Д. Фридман (1941), Е.О. Орован (1950), А. Надаи (1954), Дж. Ирвин (1960), Д. Друкер (1964), В.В. Новожилов (1965), С.Н. Журков (1969), Л.И. Седов (1976), Г.П. Черепанов (1983), Ю.В. Зайцев (1991), Д.А. Коллинз (1994).

Глава 6. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

МАТЕРИАЛОВ И ГРУНТОВ ОСНОВАНИЙ. ВЯЗКОСТЬ

Ползучесть материалов (металлов) – изменение деформаций во времени при постоянном нагружении. В общем случае ползучести изменение деформаций сопровождается изменениям напряжений. Устанавливается зависимость между деформациями, напряжениями, скоростями их изменения и временем. Предложены три технические теории ползучести: старения, течения и упрочнения [33, 40, 48, 59, 64].

Принимают, что компоненты скоростей деформаций ползучести определяются формулой где f – потенциал ползучести.

Интенсивность скоростей деформаций Из совместного решения последних двух уравнений получают Уравнение f = 0 называют гиперповерхностью ползучести.

Полагают материал изотропным и изменение объема при ползучести не происходит ( c = 0). Зависимости компонентов скоростей деформаций ползучести от компонентов девиатора напряжений имеют вид Теория старения. Используют гипотезу о существовании потенциала деформаций ползучести В функцию f входит второй инвариант девиатора напряжений и параметр Удквиста. Функция f зависит от меры скоростей деформаций ползучести, т.е. интенсивности скоростей деформаций ползучести.

Потенциал ползучести f1 зависит от второго инварианта девиатора напряжений, интенсивности деформаций и времени.

Уравнения поверхности потенциала ползучести Учитывая, что где sij = ij ij 0 – компоненты девиатора напряжений, имеют При заданной температуре между деформацией, напряжением и временем существует определенная зависимость в координатах,, t.

Рассекая поверхность плоскостями, перпендикулярными оси, получают кривые ползучести (рис. 6.1, 6.2, 6.3).

Важнейшей характеристикой является предел ползучести – напряжение, при котором через определенный промежуток времени деформация ползучести при данной температуре получит заранее заданную величину.

Пунктир – предел ползучести (напряжение, при котором через определенный промежуток времени деформация ползучести при данной температуре получит заранее заданную величину, например 1% за 100 000 часов при 500° с; 1 / 100 000 …).

Рис. 6.1. Проекция кривой ползучести на плоскость t:

– мгновенная деформация (упругая или упруго-пластическая);

– деформация ползучести; I – неустановившаяся ползучесть;

II – установившаяся ползучесть; III – прогрессирующая ползучесть Рис. 6.2. Кривые ползучести при разных уровнях температуры Рис. 6.3. Кривые ползучести при разных уровнях напряжения Теория течения. Потенциал ползучести f зависит от второго инварианта девиатора напряжений, интенсивности скоростей деформаций ползучести и времени Наиболее распространенной зависимостью скорости деформаций ползучести от напряжения и времени является степенная где n – коэффициент для определенного материала, зависящий от температуры; В – для определенного материала функция времени и температуры.

Для неодноосного напряженного состояния Теория упрочнения. Потенциал скоростей деформаций ползучести зависит от второго инварианта девиатора напряжений, интенсивности деформаций ползучести и параметра Удквиста По теории упрочнения скорость деформации ползучести является функцией напряжения и деформации ползучести, от времени не зависит.

Релаксация – изменение во времени напряжений при постоянной деформации (рис. 6.4). Полная деформация = e + c = const, т.е. составляющие полной деформаций во времени перераспределяются. Деформация ползучести растет, а упругая часть уменьшается.

После снятия нагрузки происходит процесс упругого и пластического последействия (рис. 6.5).

Полная деформация Рис. 6.5. Кривые упругого (1) и пластического (2) последействия Дифференцируя это уравнение по времени, получаем:

За счет увеличения деформации ползучести напряжение будет непрерывно уменьшаться.

Неустановившаяся и установившаяся ползучесть. Первая протекает при изменяющихся во времени напряжениях; вторая – при постоянных. Установившаяся ползучесть существует в случае статически определимых задач при постоянных во времени внешних силах.

В статически неопределимых задачах при определенном напряжении добавочно рассматривают деформации, изменяющиеся во времени за счет ползучести материала.

Исследования показали, что при неустановившейся ползучести напряжения непрерывно изменяются во времени, приближаясь к величинам, полученным в решении задачи установившейся ползучести.

Для затухающей ползучести [83] установившейся ползучести прогрессирующей ползучести Ядро ползучести – скорость ползучести по действием единичного напряжения. Наиболее распространенными являются экспоненциальные ядра Они описывают затухающую ползучесть.

Эффект Баушингера – после того, как материал испытал воздействие осевого усилия одного знака (например, растяжения) в области пластических деформаций, сопротивляемость этого материала пластической деформации при воздействии сил другого знака понижается (рис. 6.6).

Выносливость материала. Вибрационной прочностью называется способность материала противостоять переменной нагрузке без наступления усталостного разрушения. Несущая способность материала снижается с увеличением числа циклов (рис. 6.7), уменьшением коэффициента асимметрии цикла. Особую опасность представляет разнознаковое нагружение.

Рис. 6.6. Схема к пояснению эффекта Баушингера Рис. 6.7. Кривая испытаний на выносливость (кривая А. Веллера, 1858):

Приведем некоторые данные из [64, 72]. В упругом теле компоненты малых деформаций являются линейными функциями компонент напряжений. Материал вязкий, если скорость необратимых перемещений точек относительно друг друга возрастает с ростом напряжений, вызывающих деформацию вещества. В случае идеально вязкого вещества компоненты необратимых деформаций возрастают пропорционально соответствующим компонентам напряжений. Скорость и движение считаются малыми. Инерционными членами, содержащими ускорение элементов материала, можно пренебречь. Внешние и внутренние силы находятся в статическом равновесии. Часто принимают материалы в упругой области сжимаемые, а в пластической – несжимаемые (µ = 0,5). Вязкость твердых веществ становится заметной при повышенных температурах (прямой стеклянный стержень, нагруженный грузом при температуре, приближающейся к температуре размягчения стекла). Скорость удлинения пропорциональна величине груза. Характерные диаграммы деформирования приведены на рис. 6.8.

Пусть е – упругая деформация, рl – остаточная деформация удлинения, так что е и рl – упругий и остаточный относительные сдвиги в наклонном направлении Рис. 6.8. Типичные кривые испытаний на растяжении:

а – ползучесть; б – при постоянной скорости изменений деформаций;

в – при постоянной скорости изменения напряжений; г – релаксация напряжений;

е – при постоянной скорости изменения напряжений = const для упругого материала для идеально вязкого необратимого несжимаемого материала При простом растяжении вязко-упругого тела где µ – коэффициент вязкости.

Чисто вязкое вещество. Для него можно пренебречь бесконечно малыми упругими частями деформации. Если вещество не сжимаемо и течет с малыми скоростями, а возникающим ускорением можно пренебречь, то тело находится в статическом равновесии. Тогда между напряжениями и скоростями будут следующие зависимости [33, 48]:

где µ – коэффициент вязкости;, – весьма малые скорости деформаций

6.3. ДЕФОРМАЦИИ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ ВО ВРЕМЕНИ

Деформирование строительных конструктивных систем во времени рассмотрено в [12, 37, 58, 70, 76, 80].

Многочисленными наблюдениями установлено развитие деформаций зданий и сооружений в виде изгиба, выгиба, кручения, увеличения неравномерности перемещений во времени. Причинами этого являются: проявление реологических свойств грунтов основания и строительных конструкций, узловых соединений, изменения гидрогеологических условий, нарушение условий эксплуатации, деградация материалов, воздействия температурно-влажностных полей, фильтрационных процессов в грунтах, перераспределения усилий и напряжений в элементах системы Над некоторыми особо ответственными объектами (гидротехнические сооружения (А.Н. Марчук, 1983), элеваторы, мосты, башенные сооружения) ведутся постоянные наблюдения с замером перемещений, напряжений и деформаций. В настоящее время в мире имеется более 40 «падающих» башен.

Особое значение приобретает разработка методов корректировки перемещений фундаментов, например, путем локального изменения жесткости конструктивных систем.

Одним из путей наблюдения за поведением конструкций зданий и сооружений является наблюдение за раскрытием трещин в течение длительного времени.

Наблюдения показали, что часто перемещения, трещины увеличиваются не плавно, а скачкообразно.

6.4. ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛОВ

Информацию можно найти в [44, 48, 55, 69, 75, 77].

• Критерии кратковременной прочности Напряженное состояние в точке характеризуется тремя главными напряжениями 1, 2, 3. При определенном их сочетании происходит разрушение. Определение механических характеристик материалов в большинстве случаев производят в опытах на сжатие–растяжение. На базе этих усилий строят критерии прочности для сложного напряженного состояния.

Часто, общее условие прочности представляют в виде где qk – некоторый набор параметров, влияющих на прочность.

Иногда из числа влияющих аргументов исключают напряжения или деформации • Первая теория прочности (критерий прочности по наибольшим нормальным напряжениям) Разрушение наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает опасного значения:

Условия прочности имеют вид Этот критерий прочности не учитывает влияния двух упругих главных напряжений. В общем виде При плоском напряженном состоянии Последние условия прочности можно представить через x, y, xy Если потенциал по-разному сопротивляется разрушению при растяжении р и сжатии с, то Безопасную зону ограничивает четырехугольник со сторонами []t и []с.

• Вторая теория прочности (критерий прочности по наибольшим главным изменениям) Гипотеза основана на допущении, что разрушение наступает при наибольшем удлинении 1 = max (при 1 > 2 > 3 ), в общем случае:

Если закон Гука соблюдается вплоть до момента разрушения, то где [] = разр / E.

Для плоского напряженного состояния Условия прочности через x, y, xy выглядят в виде Теория оправдана для хрупких материалов.

• Третья теория прочности (критерий прочности по наибольшим касательным напряжениям) Предельное состояние в точке достигается при max, достигающем опасного предельного состояния 0. При трехосном предельном состоянии:

Эти условия можно выразить через главные нормальные напряжения Для одноосного напряженного состояния тогда В случае плоского напряженного состояния В напряжениях x, y, xy эти условия имеют вид Критерий прочности применим к пластичным материалам.

• Четвертая теория прочности (энергетический критерий) Разрушение наступает тогда, когда в точке энергия деформации достигла опасного для данного материала значения. При малых деформациях полная энергия деформации, отнесенная к объему, равна изменению энергии деформации объема U о и энергии деформации формы U ф где [U ф ] – безопасное значение энергии деформации формы.

Для одноосного напряженного состояния в момент разрушения Удельная энергия формоизменения при растяжении Для безопасного состояния В случае плоского напряженного состояния Этот критерий определяет момент наступления пластического деформирования. Поверхности текучести (или треугольник, или эллипс) разделяют области упругого (внутренняя) и пластичного (внешняя) деформирования.

• Пятая теория прочности (критерий прочности Мора) Используется графическая интерпретация напряженного состояния в точке путем построения кругов в осях,. Допускается, что:

1) предельное состояние возникает на площадях, проходящих через направление главного напряжения 2 ;

2) величина 2 не влияет на возникновение предельного состояния;

3) рассматривается только одна окружность, построенная на отрезке (1 3 ) как на диаметре;

4) материал может по-разному сопротивляться сжатию и растяжению.

Для линейного напряженного состояния Можно построить предельные окружности при различных отношениях 1 / 2. Для них возможно построить огибающую, касающуюся каждой из окружностей в некоторой точке. Изгибающая нигде не пересекает ни одну из предельных окружностей. Определяется ориентация плоскости, на которой возникает скольжение.

Иногда ординаты огибающей предельных окружностей возрастают в сторону отрицательного направления ( ; d / d 0).

Это происходит при наличии сжимающего нормального напряжения на предельной площади.

Часто применяют линейную зависимость между 1 и где m и k постоянные.

Используя выражения для m и k, получим:

Вводя коэффициенты запаса []t = t / nt и []c = c / nc, получают:

• Анизотропия прочности Рассматривают случаи разной сопротивляемости разрушению материалов при сжатии–растяжении.

Для плоского напряженного состояния условия прочности имеют вид где qk – набор параметров, характеризующих прочностные свойства в зависимости от ориентации главных осей напряженного состояния по отношению к характеризующим направлениям структуры материала.

В осях O1 2 уравнение (1, 2, q k ) = 0 это уравнение замкнутой кривой, внутри которого расположено начало координат Для ортотропного материала условия прочности представляют в виде где Ai, k, m, n – характеристика свойства материалов.

Условия симметрии по индексам следуют из условий • Кинетическая теория прочности Исходя из представлений о функциональном характере движения атомов твердого тела, описывают разрушение как процесс разрывов межатомных связей, накопления микродефектов и микротрещин.

Экспериментально установлено, что долговечность образцов, находящихся под напряжением при постоянной температуре где С и – постоянные коэффициенты.

Опытами установлено, что в координатах lg образуются пучки прямых, веером сходящихся в полюсе на уровне долговечности 0 = 10–13 с.

Уравнение долговечности имеет вид где Т – термодинамическая температура, U () = k() = U 0, k = = 1,381023 Дж – постоянная Больцмана, – постоянная, U 0 – число, получаемое экстраполяцией зависимости U от где 0 = 10–13 с, Eфл – энергия флуктуации, энергия, превосходящая среднюю энергию атома, достаточную для того, чтобы он покинул свое место, U () = Eфл и = фл, т.е. долговечность определяется временем флуктуации.

• Прочность при циклическом напряжении Напряжения с амплитудой a и круговой частотой колеблются около среднего значения m Если m = 0, то цикл симметричен, m 0 – асимметричен, min = 0 – цикл отсутствует. Для симметричного цикла коэффициент асимметрии цикла R = –1, при min = 0, R = 0.

Наибольшее напряжение ограничивают пределом При m 0, a 0 критерий прочности строят на базе диаграмм предельных амплитуд цикла в осях O m a. Для каждого m откладывают в качестве предела выносливости a. Принимают кривую предельных амплитуд. Если a = 0, то разрушение происходит при m = в ( в – предел выносливости). Если m = 0, то разрушения происходят при m = 1 ( 1 – предел выносливости при симметричном цикле). Область безопасных комбинаций m и a. Так, при значений m и a ограничено прямой Используют и метод двух прямых для определения области безопасных сочетаний a и m.

• Длительная прочность Разрушение происходит по схемам вязкого (пластического) и хрупкого разрушения в зависимости от уровней нагрузок и температур.

Процесс разрушения развивается во времени в связи с ползучестью.

При этом возникают и развиваются повреждения. Cтроят кривую длительной прочности, по осям ординат откладывают напряжения, а по оси абсцисс – время до разрушения для данного напряжения. Часто экспериментальные точки откладывают в логарифмических координатах ( lg lg t ). Кривая длительного напряжения получается двумя отрезками прямых. Первый (ближе к оси lg ) соответствует вязкому разрушению при высоких уровнях нагрузок, а второй – хрупкому в результате накопления микротрещин.

Из линейного уравнения поврежденности Если i постоянно на интервале времени, то где i – время разрушения при напряженности i.

Часто процесс развития деформаций описывают зависимостью где – скорость получения деформаций; B, n – постоянные; – текущее значение напряжения.

Релаксационные процессы в напряженных полимерах. Использован принцип суперпозиции Больцмана для вязкоупругих материалов, для которых зависимость между напряжениями и деформациями включает время.

Допускалось, что упругие силы зависят не только от мгновенно получаемых смещений, но и от предшествующих деформаций. Величины деформаций, полученные в разное время, складываются.

Зависимость напряжений от деформаций, основанная на этих гипотезах, имеет вид где j (t s ) – функция влияния, убывающая при возрастании (t s ) ;

t – время наблюдения; s – время, предшествующее моменту наблюдения.

Как видно, деформация в момент t зависит не только от (t ), действующей в этом времени, но и от напряжения (s ), которое действовало в предшествующий малый период времени s.

Глава 7. ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ,

КОНСТРУКЦИЙ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ

Дополнительные сведения можно получить из [7, 8, 11, 12, 16, 18, 22, 23, 24, 26, 31, 33, 38, 39, 42, 4, 55, 58, 62, 71 – 73, 75, 82, 83].

7.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

Разрушение. Имеются различные определения этого понятия, например, разделение тела на части под действием напряжения – процесс, развивающийся во времени, и проходящий последовательно подготовительную, критическую и закритическую стадии; процесс накопления повреждений до критической концентрации и др. Различают разрушения: кратковременное, длительное, локальное, смешанное, глобальное, вследствие развития трения и др. Значительное влияние на склонность материалов к разрушению и скорость процесса оказывают и такие факторы как температура, состояние поверхности детали или конструкции, ее размеры и форма; характеристики окружающей среды, вид напряженного состояния, история и траектория нагружения или деформирования, концентраторы напряжений, начальные и тепловые напряжения, сочетание ряда неблагоприятных факторов и др.

Хрупкое разрушение характеризуется малой энергоемкостью и развивается автокаталитически при достижении определенного напряжения, не требуя его дальнейшего увеличения. Перемещение во времени и неоднородная по объему температура поля вызывают значительные термические напряжения. При повышении температуры снижается упрочнение, вызванное различными способами.

Различают [77] хрупкое разрушение от отрыва и пластическое от среза. Рассмотрим факторы, влияющие на процесс разрушения.

Скорость деформирования. С повышением скорости снижаются пластические свойства металла и проявляется склонность к переходу из пластического в хрупкое состояние.

Температура. Идея А.Ф. Иоффе (1924). С понижением температуры величина сопротивления отрыву практически не изменяется, а сопротивление срезу увеличивается. Материал из пластического состояния переходит в хрупкое.

Отношение сопротивления отрыву к сопротивлению срезу.

По Давыденкову Н.Н. (1936) если это отношение меньше единицы, то имеет место хрупкое поведение материала, а больше единицы – пластическое.

Задача Гриффитса формулируется следующим образом [24]. Бесконечная хрупкая пластинка единичной толщины растягивается в одном направлении равномерно распределенными на бесконечности напряжениями. В пластинке имеется плоская трещина, расположенная перпендикулярно к направлению нагрузки. Необходимо найти критическое напряжение, при достижении которого размер трещины начнет увеличиваться.

Гриффитс исходил из энергетических предпосылок, полагая, что равновесному состоянию соответствует минимум полной энергии системы. Вариация полной энергии в окрестности равновесного состояния системы должна быть равна нулю:

где U1 – уменьшение потенциальной энергии деформирования вследствие снижения напряжений при увеличении размеров;

l – длина трещины; A1) = 2l, где – плотность поверхностной энергии; K – коэффициент интенсивности напряжений;

При = 0 возможно начало роста трещин. Если x 0, то можно вычислить критическую длину трещин:

и критическое напряжение для заданной полудлины:

Идеи Ирвина (1958). Он преобразовал концепцию энергетического баланса Гриффитса в силовую концепцию, основанную на анализе поля напряжений у вершины трещины. Ирвин ввел понятие силы G, вызывающей продвижение трещины на единицу длины, эквивалентной интенсивности потери энергии полем напряжений у вершины трещины. В качестве критерия перехода к нестабильному разрушению он принял момент, когда у вершины трещины достигается критическая интенсивность напряжений, вычисляемая по формулам линейной теории упругости.

Вблизи вершины трещины материал переходит в пластическое состояние. Развитие трещин называется квазихрупким разрушением.

Ирвин ввел понятие коэффициента интенсивности напряжений, зависящего от формы тела, граничных условий и определяется из решения глобальной задачи.

Условие предельного равновесия трещины получено в форме При этом начинается рост трещины. Вместо принятой Гриффитсом плотности энергии, соответствующей силам поверхностного натяжения, введена эффективная плотность поверхностной энергии эфф (эфф > ), включающая плотности энергии от других явлений, например, пластическим деформированием поверхностного слоя.

Напряжения у вершины трещины вычисляются по формулам Вестергаарда:

где r – расстояние от вершины трещины до точки, в которой определяется напряжение; – угол между осью х, лежащей в плоскости распространения трещины, и радиусом-вектором r ; K1 – коэффициент интенсивности напряжений, зависящий от приложенного напряжения и геометрии трещины (размерности: [FL–3/2], Н/м–3/2, МПам1/2).

Для трещины длиной 2с в бесконечной пластинке K = c.

Индекс при K означает первую отрывную форму смещения трещины в направлении оси х (рис. 7.1).

При плоской деформации:

при плоском напряженном состоянии:

где – температурный коэффициент линейного расширения.

I – отрыв (KI); II – поперечный сдвиг (берега трещины скользят друг по другу) (KII);

III – разрезание ножницами (берега трещины скользят друг по другу параллельно направляющему фронту трещины) (KIII) Разрушения при сейсмических воздействиях. Они возникают в сооружениях в связи с колебаниями их оснований при движении поверхности Земли во время землетрясений.

В [54] подробно рассмотрены вопросы прочности и деформативности материалов, конструкций и их соединений. Обсуждаются результаты экспериментов отечественных и зарубежных, особенно японских ученых с разными материалами, конструкциями, режимами нагружения. В основном, это циклические воздействия (нагружения или перемещения), часто с концентратами напряжений.

Отмечен ряд особенностей работы материала. К примеру, выявлен эффект постепенного размягчения металла при действии постоянных и достаточно высоких амплитуд колебаний, т.е. снижения максимальной нагрузки, соответствующей одной и той же амплитуде перемещений. По мере возрастания максимального напряжения цикла происходит увеличение ширины гистерезисных петель.

Описаны характерные повреждения конструкций, зданий и сооружений в ряде землетрясений. Рассмотрены пространственные поступательно-крутильные колебания при симметричном и несимметричном расположении центров масс и жесткостей.

Приведены антисейсмические мероприятия и их эффективность, данные о влиянии грунтовых условий на интенсивность сейсмических воздействий.

Основы расчета и проектирования зданий в сейсмических районах изложены в [24].

Изнашивание материалов – процесс постепенного изменения размеров тела. Определяет скорость и интенсивность изнашивания.

Различают изнашивания: механическое, коррозионное, коррозионномеханическое, абразивное, вследствие пластического деформирования, при хрупком разрушении, усталостное, адгезионное, тепловое, окислительное, в условиях агрессивного действия жидкой среды, навигационное, эрозионное, коррозионно-абразивное. Подробную информацию можно получить в [77].

В [1, 12, 24, 32, 36, 37, 42] приведены обстоятельные данные о механизме разрушения материалов и конструкций.

Разрушение конструкций зданий и сооружений В [1, 12] описаны примеры разрушений, их причины, способы восстановления экспериментальных качеств зданий и сооружений.

Приведен перечень ошибок, допускаемых при изысканиях, проектировании, строительстве и эксплуатации.

Важнейшими проблемами строительной науки являются:

недопущение прогрессирующего разрушения [17, 52, 63];

повышение живучести конструктивных систем при выходе из работы или ослаблении отдельных элементов (В.И. Колчунов, Н.В. Клюева, 2008 – 2012);

оценка остаточного ресурса строительных конструкций, зданий и сооружений при случайных или наблагоприятных условиях [19, 32, 37, 52, 54];

разработка методов расчета сооружения во взаимодействии с деформируемыми основаниями [12, 16, 58, 61];

разработка теории силового сопротивления конструкций и конструктивных систем с более полным учетом механических и реологических характеристик материалов [2, 3, 6, 7, 12, 13, 15, 16, 24, 37, 54, 58, 62, 64, 68];

разработка и внедрение неразрушающих методов контроля качества и приборов трехосного определения механических характеристик материалов; внедрение мониторинга при возведении уникальных зданий.

Некоторые особенности работы металла под нагрузкой. Подробнее см. в [2, 3, 15, 22, 26, 32, 40, 42, 43, 57, 75, 77].

Длительная прочность. Разрушение образца в условиях ползучести может происходить как с образованием шейки (вязкое разрушение), так и без него (хрупкое разрушение). В первом случае разрушение имеет внутризеренный характер, во втором – межзеренный. Важной характеристикой является предел длительной прочности – максимальное напряжение, которое может выдержать материал, не разрушаясь в течение определенного времени: 100, 500, 1000 (нижний индекс – продолжительность работы материала в часах).

Масштабный фактор – сопротивление образца разрушению уменьшается с увеличением размеров поперечного сечения.

Радиационный эффект – твердые тела, подвергающиеся облучению частицами большой энергии, претерпевают значительные изменения, связанные с образованием дефектов кристаллической решетки [32, 77]. Радиационные дефекты устраняются путем обжига.

Эффект П.А. Ребиндера. Происходит облегчение деформации разрушения твердых тел при протекании их в среде, содержащей вещества, обладающие физико-химическим средством к данному телу.

Так, вследствие обратимой адсорбции материалом поверхностноактивных веществ из окружающей среды, облегчается упругая и в особенности пластическая деформация и разрушение материала.

Основные механические свойства металлов [44]:

прочность – сопротивляемость материала внешним силовым воздействиям без разрушения;

упругость – свойство материала восстанавливать свою первоначальную форму после снятия внешних нагрузок;

пластичность – свойство материала сохранять деформированное состояние после снятия нагрузок;

хрупкость – способность материала разрушаться при малых деформациях;

ползучесть – способность материала непрерывно деформироваться во времени без увеличения нагрузки;

твердость – свойство поверхностного слоя материала сопротивляться упругой и пластической деформации или разрушению при внедрении в него индектора из более прочного материала.

жаропрочность – способность материала противостоять пластической деформации и разрушению при длительной нагрузке в условиях высоких температур.

Основными прочностными характеристиками металла являются:

временное сопротивление и – наибольшее условное напряжение в процессе разрушения образца (разрушающая нагрузка, отнесенная к первоначальной прочности образца);

предел текучести у – напряжение, при котором деформации растут без увеличения нагрузки;

предел упругости – напряжение, до которого при разгрузке не возникают остаточные деформации;

предел пропорциональности р – напряжение, до которого материал работает линейно по закону Гука.

Основные факторы, способствующие хрупкому разрушению стали: содержания вредных примесей (фосфор, сера, азот, кислород, водород и т.д); старение; низкая температура эксплуатации; наличие поля меняющихся напряжений; концентрация напряжений; динамический характер воздействий; крупность зерен и др.

Со временем несколько увеличивается предел текучести и временное сопротивление, снижается пластичность (старение стали). Если материал загрузить до пластического состояния, а затем снять нагрузку, то появляется остаточная деформация. При повторном нагружении материал работает упруго до предшествующей пластической деформации.

При сложном напряженном состоянии переход в пластическое состояние зависит от знака и соотношения значений действующих напряжений.

Разрушение стали. Рассматривают разрушение поликристаллического материала в три стадии: подготовка разрушения на атомном и молекулярном уровне, завершающаяся возникновением повреждений и макротрещин в зернах кристаллической структуры стали; зарождение макротрещин как необратимое повреждение стали; развитие трещин, приводящее к полному разрушению.

Критерии хрупкого разрушения стали. Устанавливаются экспериментально с использованием теорий хрупкого и квазихрупкого разрушения. Измеренными параметрами критериев являются [43]:

температура; усилие; линейные и сдвиговые деформации; работа, затраченная на разрушение; рабочая площадь сечения; относительная остаточная деформация удлинения и сужения в изломе; отношение площади вязкой поверхности излома к общей площади и др.

В [42, 43, 69] приведены температурные критерии разрушения и параметры прочности конструктивных форм низкой хладостойкости:

предел текучести и временное сопротивление, относительное сужение образца в условиях одноосного растяжения, сопротивления отрыву, максимально возможный локальный предел текучести стали в зоне концентрации напряжений, номинальное разрушающее напряжение в растянутом элементе при наличии концентраторов напряжений, доля волокнистого излома в разрушенном сечении элемента при наличии концентрации напряжений, критический коэффициент интенсивности напряжений при плоской деформации (критический коэффициент интенсивности напряжений, критическая удельная энергия развития трещины, критическое раскрытие трещин при плоском напряженном состоянии).

Критическая температура перехода от вязких разрушений к квазихрупким называется первой критической температурой Тс21. При этом изменяется механизм разрушения – косой (45°) излом при сдвиге сменяется прямым изломом с преобладанием отрыва. Иногда условием определения Тс21 является уменьшение работы разрушения или сужения в изломе до 0,5 или даже до 0,2 от их величины при вязком разрушении.

Факторы хрупкого разрушения: снижение температуры; повышение скорости деформирования; реализация условий однородного или объемного напряженного состояния при растягивающих главных напряжениях; концентрация напряжений как неоднородное напряженное состояние при двухосном и трехосном растяжении и др.

При хрупком разрушении При вязком разрушении где Ro и Rs – сопротивление отрыву и срезу (сдвигу).

Хрупкое разрушение происходит внезапно, без заметных предшествующих пластических деформаций. Конструкции становятся чрезвычайно чувствительными к случайным перегрузкам и ударам. Разрушение может произойти при воздействиях, соответствующих нормальной эксплуатации. Традиционные расчеты прочности растянутых и изгибаемых элементов не отражают их фактическую несущую способность.

7.2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНОМ СОСТОЯНИИ

Приведем данные из [69]. Эти теоремы рассмотрены и в [40, 72, 75].

Имеются статическая и кинематическая теоремы, позволяющие дать двустороннюю оценку предельных нагрузок.

Статически возможным называют такое состояние, для которого удовлетворены условия в каждой точке тела. Точки, изображающие напряженное состояние в пространстве напряжений ij, лежат или внутри поверхности начала пластичности, или на ней [40].

Известны два типа предельных состояний материала: хрупкое разрушение и текучесть [75]. Под предельным состояниям понимают наступление разрушения и развитие пластических деформаций.

На диаграмме деформирования или i i есть граница =. При >, p >> l. В этом случае материал считается жесткопластическим.

Рис. 7.2. Силы, приложенные к поверхности текучести где т – предельная величина вектора напряжений на границе поверхности текучести т (рис. 7.2); * – вектор безопасного напряжения внутри области, ограниченной поверхностью текучести; d p – приращение вектора пластической деформации.

Статическая теорема о предельном состоянии: предельная нагрузка, определяемая по статически возможным состояниям, не больше истинной предельной нагрузки.

Статически возможное состояние – состояние, при котором удовлетворены условия на поверхности для напряжений и уравнения равновесия в каждой точке тела, а точки, изображающие напряженное состояние в пространстве напряжений ij, лежат или внутри поверхности начала пластичности, или на ней f т (* ) 0.

По принципу возможных перемещений:

После вычитания почленно из первого равенства второго, и некоторых преобразований получим:

Теорема дает приближение к предельной нагрузке снизу.

Кинематическая теорема о предельном состоянии: нагрузка, соответствующая кинематическим возможным состояниям, не меньше предельной нагрузки.

Кинематическое возможное состояние – состояние, для которого удовлетворены условия на поверхности для перемещений и условия совместности деформаций в каждой точке тела.

Согласно принципу возможных перемещений, где d p* и du* – кинематические возможные поля (рис. 7.3) на границе поверхности текучести т.

Рис. 7.3. Статически возможное допустимое состояние Согласно рис. 7.3, Окончательно, при малости объемных сил:

Таким образом, предельная нагрузка по кинематическим возможным состояниям дает приближение сверху к истинной предельной нагрузке.

Ржаницын А.Р. рассматривает [65] предельное равновесие статически определимых и неопределимых балок. Наиболее выгодным будет такое состояние балки, когда опорные моменты равны пролетным.

Для неразрезных балок используют аналогию зависимости вертикальных перемещений от кривизны оси балки и изгибающих моментов от нагрузки Эта аналогия является следствием принципа двойственности статических и геометрических уравнений [65, c. 134].

В многопролетной балке состояние предельного равновесия достигается при образовании такого количества шарниров текучести, которое необходимо для превращения ее в измененную систему.

7.3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ГРУНТОВ

Предельное равновесие – напряженное состояние, при котором незначительное увеличение внешней нагрузки приводит к нарушению установившегося положения равновесия и вызывает потерю устойчивости грунта. Подробную информацию можно найти в [5, 6, 16, 21, 27, 29, 36, 37, 46, 47, 70, 74, 80, 82].

Предельное напряженное состояние характеризуется достижением напряжения комбинации, при которой устанавливается предельное равновесие между внешней нагрузкой и внутренними силами сопротивления.

Основы теории предельного равновесия развиты в трудах Ш. Кулона (1773), В. Ренкина (1857), Л. Прандтля (1920), Г. Рейсснера (1921), К.Терцаги и Р. Пека (1925), А.Ю. Ишлинского (1947), С.С. Голушкевича (1948), В.В. Соколовского (1952), М.В. Малышева (1953), Р. Хилла (1956), В.Г. Березанцева (1960), М.И. Горбунова-Посадова (1962), Н.Н. Маслова (1968), Р.Т. Шильда (1975), А.С. Строганова (1977), Н.А. Цытовича (1983) и др.

Более подробно анализ проблемы можно найти в работах В.Г. Березанцева (1960), А. Надаи (1963), М.В. Малышева (1998), а также в докторской диссертации А.М. Караулова (2009).

Предельное состояние наступает при различных комбинациях напряжений (теория прочности). Для сыпучих сред применяют две основных теории: Мора–Кулона и Мизеса–Шлейхера. Согласно первой, предельное состояние наступает при определенном соотношении касательного и нормального напряжений на одной площадке. По второй теории предельное состояние наступает при определенном соотношении интенсивности касательных напряжений и среднего нормального напряжения.

Теория Мора–Кулона. На площадках скольжения с нормалью п наибольшее касательное напряжение Для среды, обладающей также и сцеплением, где H = c / tg – сопротивление всестороннему растяжению.

Мор объединил условие Кулона для сыпучей среды и Треска– Сен-Венана В случае, если огибающую аппроксимировать наклонной прямой, то Для идеально сыпучего грунта По условию Сен-Венана для идеально связных грунтов Теория Мизеса. Интенсивность касательных напряжений есть величина постоянная По условию Мизеса–Шлейхера где m – среднее нормальное напряжение.

Боткин А.И. предложил (1940) для грунтов линейный вид этой зависимости где H = n / tg – параметры прямой i m и – угол трения на октаэдрической площадке.

Для одноосного сжатия–растяжения (условие Мизеса–Губера) В пространстве главных напряжений i условие предельного состояния выражают в виде предельной поверхности Боткин А.И. использовал (1940) понятие об октаэдрических (равнонаклонных к главным осям) площадках oct и k oct – характеристики прочности.

По Малышеву М.В. (1994) До наступления предельного состояния напряженное состояние определяется тензором ij. После достижения напряжениями гиперповерхности f ( ij ) возникают пластические деформации. Они могут происходить с упрочнением или без него.

Условие прочности записывается в виде В шестимерном пространстве компонентов напряжений Это условие является уравнением гиперповерхности, от которой начинается проявление пластичности.

Размеры, форма и положение поверхности пластичности зависят от всех типов загружения. По постулату Друкера эта поверхность является выпуклой.

Ассоциированный закон пластического течения. Математическое выражение закона, совмещенное с условием прочности, где f ( ij ) – пластический потенциал; d – множитель Лагранжа.

В процессе пластического деформирования не происходит изменение объема, т.е.

Для материалов с упрочнением Линии скольжения. По Курдюмову В.И. (1916) линии скольжения – геометрическое место плоскостей скольжения эллипсов напряжений в различных точках сыпучего тела. Дальнейшее развитие теории предельного равновесия (В.В. Соколовский 1942, 1954, 1960 и В.Г. Березанцев 1952, 1970) связано термином линий скольжения как линий, касательные к которым совпадают с плоскостями скольжения и вдоль них выполняется условие предельного состояния Кулона Имеется два семейства линий скольжения. Гениев Г.А. считает (1982), что видимые смещения происходят вдоль одного из них, совпадающего с направлением максимальных скоростей деформаций сдвига.

Шильд Р. (1975) теоретически показал, что векторы скоростей в зоне максимального напряженного состояния не совпадают с линиями скольжения, а отклоняются от них на угол. Кинематическая схема выпирания по Прандлю–Шильду рассмотрена М.В. Малышевым (1994).

Подробную информацию о линиях скольжения в металлах можно получить в книгах Л. Прандля (1948), А. Надаи (1954), В. Прагера, Ф.Г. Ходжа (1956), В.В. Соколовского (1969), Н.Н. Малинина (1975) и др.

По теории Мора–Кулона предельное состояние наступает при определенном соотношении между интенсивностью касательных напряжений и средним нормальным напряжением.

В предельном состоянии в каждой точке грунта имеются две сопряженные площадки скольжения, наклоненные под углом (45 – /2) к линии действия максимального и (45 + /2) – минимального главного напряжения.

Условия прочности для сыпучих грунтов имеют вид Для связных грунтов:

где c = c / tg – давление связности.

По решению Прандтля (1921) и Рейсснера (1920) предельное давление на невесомый связный грунт ( = 0) в условиях плоской задачи определяют по формуле Для идеально связного грунта ( = 0, с 0), (Прандтль, плоская задача) Для водонасыщенных связных грунтов (А.С. Строганов, осесимметричная задача, 1977) По решению К. Терцаги (1948) угол наклона грани уплотненного ядра к подошве. Предельное давление на весомое основание:

По решению В.В. Соколовского (1942) при действии наклонной нагрузки на основание ленточного фундамента (рис. 7.4) в любой точке основания грунт находится в предельном состоянии.

Рис. 7.4. Расчетная схема к задаче В.В. Соколовского Предельное давление вычисляется по формуле где коэффициенты несущей способности – N, N q, N c = f ().

Предельное давление под жесткими фундаментами определяют с учетом уплотненного ядра под подошвой. По решению В.Г. Березанцева [3] угол наклона уплотненного ядра к подошве принимается равным 45°.

При этом предельное давление для круглого фундамента определяется по формуле где N, c, N q, c, N c, c – коэффициенты несущей способности, определяются по таблицам; и – удельный вес грунта ниже и выше подошвы фундамента; d – глубина заложения подошвы фундамента.

Для определения несущей способности основания при действии на ленточный заглубленный фундамент вертикальной нагрузки, при наличии в грунте трения и сцепления, используется трехчленная формула в виде Величины коэффициентов несущей способности N, N q, N c, вычисленные по решениям У. Ренкина (1856), К. Терцаги (1925), В.Г. Березанцева (1952), Г.Г. Мейергофа (1973), Л. Прандая–Х. Дейснада (1920), В.В. Соколовского (1954), Й. Бринч–Б. Хансена (1957), А. Како–Ж. Керизеля, приведены в работе М.В. Малышева (1994). Коэффициенты N, N q, N c = f (). Результаты Й. Бринч–Б. Хансена частично непользованы и в наших нормах:

где коэффициенты, обозначенные буквой i, связаны с наклоном нагрузки, s – с формой подошвы фундамента;

В основу ряда расчетов положено условие пластичности.

Приведем некоторые положения В.Г. Березанцева (1965) по расчету предельного давления на основание для фундаментов глубокого заложения в случае значительного развития областей сдвига.

Установлена зависимость между относительной осадкой S = S/B и степенью развития областей сдвигов грунта. Результаты опытов приведены в табл. 7.1 и на рис. 7.5, 7.6.

В случае осесимметричной задачи решение одного из уравнений предельного состояния при задании очертания линий скольжения представлено в виде где В – ширина фундамента, Bk = Bk (, D / B ) – коэффициент, приведенный в табл. 7.1.

Рис. 7.5. Расчетная схема для определения критического давления Рис. 7.6. График для определения коэффициента Вк Приведем применяемые в настоящее время условия прочности грунта [82].

По Мизесу–Шейхеру–Боткину где а и k – прочностные характеристики, подобные sin и cos.

По Друкеру Д. и Прагеру В. грунт рассматривается как идеально пластическое тело, обладающее свойствам дилатации.

В условиях плоской задачи Предельное равновесие на октаэдрической площадке:

где прочностные характеристики грунта:

Дилатация грунтов. Это явление связано с изменением объема грунта при сдвиге. Часто происходит разрыхление. Пластическое деформирование в условиях плоской деформации описывают уравнением где – пластические составляющие главных деформаций; Л* – параметр дилатации; – малая скалярная величина.

Если течение происходит при постоянном объеме, то а на площадках, наклоненных под углом 45° по отношению к осям главных напряжений, В [82] приведены уравнения текучести (предельного напряженного состояния) жесткопластических тел (сред) (табл. 7.2).

Концентрация напряжений. Нарушения гладкости формы конструкции, наличие отверстий, трещин, выточек приводит к повышению местного уровня напряжений, создает неблагоприятные условия работы материала, приводит к преждевременному разрушению.

Так, наличие отверстия в растянутой пластине вызывает резко неравномерные нормальные напряжения (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Распределение напряжений в сечении с отверстием 7.2. Уравнения текучести (предельного напряженного состояния) жесткопластических тел (сред) Сен-Венан–Треска Мизес–Шлейхер– В местах искажения сечения линии главных напряжений искривляются, сгущаются, обтекая дефекты.

Отношение max к min в части элемента с более высоким уровнем напряжений называют коэффициентом концентрации напряжений.

где min = F/A0, A0 – площадь ослабленного сечения.

Коэффициент концентрации напряжений может определяться и для касательных напряжений.

В зоне концентрации напряжений наблюдается постепенное их уменьшение с удалением от максимального (закон затухания).

Циклическое воздействие (силовое или деформационное) приводит к охрупчиванию материала. Разрушение происходит по типу хрупкого.

Вводят эффективный коэффициент концентрации где 1 – предел выносливости образца из исследуемого материала без концентрации напряжений; 1 – то же образца с исследуемой формой концентрации напряжений.

Описан ряд мероприятий по снижению влияния концентраторов напряжений [42, 43, 44].

Кручение валов с выступами и отверстиями вызывает концентрацию касательных напряжений [44]. При этом происходит скачкообразная депланация сечений. Так, в случае с радиальным отверстием это отверстие вытягивается по направлению оси, повернутой на 45° к продольной оси вала.

Номинальные напряжения при кручении а коэффициент концентрации напряжений при кручении где d max – влияние моментного деформационного сдвига; G – модуль сдвига; d – диаметр отверстия; D – диаметр вала.

Пластичность – свойство твердых тел приобретать необратимые (остаточные) деформации, называющиеся пластическими.

Идеальная пластичность – модель материалов и конструкций, описывающая необратимые пластические деформации. Определяющими являются экспериментальные принципы статики идеально пластического тела (Р. Хилл, В. Прагер, Ф. Ходж, В.Т. Койтер и др). Наибольшее значение имеют теоремы об экстремальных свойствах нагрузок (границах несущей способности). Эти теоремы лежат в основе статической теории предельного равновесия (А.А. Гвоздев и др).

Простейшим видом идеальнопластического тела является модель изотропного несжимаемого жесткопластического тела. Эта модель не учитывает пластические деформации. Такой случай имеет место, когда работа внутренних сил на пластических деформациях значительно превосходит работу внутренних сил на упругих деформациях. Классическая модель жесткопластического тела не зависит от влияния температуры, скорости деформации, последействия, ползучести, релаксации.

Условие пластичности или текучести в случае сложного напряженного состояния представляют в виде Для жесткопластического тела при f ( ij ) < 0 имеет место жесткое состояние, при f ( ij ) = 0 – пластическое. В пространстве компонент тензора напряжений оно изображается в виде поверхности текучести. Внутри поверхности текучести будет жесткое состояние метериала, на поверхности – пластическое.

Диаграммы материала. В опытах устанавливается зависимость между напряжениями и между деформациями. Такие диаграммы являются паспортом материала (Н.Н. Давиденков, 1932).

Характерными точками диаграммы растяжения – являются пределы пропорциональности, упругости, текучести и временное сопротивление. Это условные напряжения, определяемые по первоначальной площади поперечного сечения. Для начальной части диаграммы деформации малы, а условные напряжения практически не отличаются от истинных. Однако временное сопротивление действительно является условной величиной, существенно отличающейся от истинного сопротивления. Поэтому необходимо рассматривать истинные напряжения и действительные удлинения.