Федеральное агентство по образованию РФ

ГОУ ВПО «Вологодский государственный педагогический университет»

О. В. Калиничева, В. П. Томанов

ДИНАМИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ

КОМЕТ С ПЛАНЕТАМИ

Вологда

2008

ББК 22.655

К 17

Печатается по решению

редакционно-издательского совета ВГПУ УДК 523.6 Авторы монографии:

О. В. Калиничева, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей физики, астрономии и методики обучения физике;

В. П. Томанов, д.ф.-м.н., профессор кафедры общей физики, астрономии и методики обучения физике.

Рецензент: Л. И. Соколов, д.ф.-м.н., профессор, ректор ВоГТУ.

К Калиничева О. В., Томанов В. П. Динамическая связь комет с планетами: Монография. – Вологда: ВГПУ, издательство, 2008. – 190 с.

ISBN 978-5-87822-360- ББК 22. УДК 523. В монографии описываются различные гипотезы происхождения комет, особое внимание уделено гипотезе межзвездного происхождения комет. Исследуется влияние планет Солнечной системы и некоторых транснептуновых объектов на динамическую эволюцию комет. Рассматривается проблема существования гипотетических трансплутоновых планет, влияющих на движение комет.

Для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов и специалистов по кометной астрономии.

© Калиничева О. В., Томанов В. П., 2008 г.

© ВГПУ, издательство, 2008 г.

ISBN 978-5-87822-360- Оглавление Глава 1. КОМЕТНАЯ КОСМОГОНИЯ § 1.1. Краткий исторический обзор

§ 1.2. Теория захвата межзвездных комет по Лапласу.......... § 1.3. Статистическая проверка гипотезы Лапласа.............. § 1.4. Распределение перигелиев

§ 1.5. Константы Тиссерана долгопериодических комет.... § 1.6. Эруптивная гипотеза.

§ 1.7. Гипотеза Оорта.

Глава 2. КОМЕТЫ И ПЛАНЕТЫ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ § 2.1. Кометы и транснептуновые планеты

§ 2.2. Нептун и кометы

§ 2.3. О кометном семействе Урана

§ 2.4. Кометы и Титан

§ 2.5. Кометы галлеевского типа

§ 2.6. Юпитер и происхождение короткопериодических комет

Глава 3. КОМЕТЫ И ГИПОТЕТИЧЕСКИЕ ПЛАНЕТЫ § 3.1. Гипотетические трансплутоновые планеты.............. § 3.2. Плоскость планетной орбиты

§ 3.3. Радиус орбиты планеты

§ 3.4. Приливная концепция происхождения комет и проблема Х планеты в галактической плоскости..... § 3.5. Об одном варианте предсказания гипотетических планет

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ГЛАВА 1. КОМЕТНАЯ КОСМОГОНИЯ

§ 1.1. Краткий исторический обзор Начала научной кометной космогонии были заложены на рубеже XVIII и XIX веков в виде двух основных направлений, которые продолжают развиваться до настоящего времени.

Laplace (1796) предложил первую научную гипотезу о межзвездном происхождении комет, ввел в небесную механику понятие сферы действия планеты, создал метод определения трансформации кометной орбиты в сфере действия Юпитера.

Lagrange (1812) математически обосновал новую гипотезу о происхождении комет в результате взрывов на больших планетах, особенно на Юпитере, и явился родоначальником вулканической (эруптивной) теории происхождения комет.

За два столетия научной кометной космогонии создано несколько десятков гипотез о происхождении комет (см.

Томанов, 1989). Назовем лишь некоторые из них. Oort (1950, 1951) из анализа распределения величин обратных больших полуосей кометных орбит пришел к выводу о существовании «облака» комет на расстоянии 100–150 тыс. а.е. от Солнца.

Lyttleton (1948, 1953) предложил гипотезу об образовании комет из межзвездной материи, захваченной в Солнечную систему на основе механизма гравитационной фокусировки.

Гипотезу о реликтовом происхождении комет в первичном газопылевом облаке рассматривали Шмидт (1945), Cameron (1963), Hills (1973), Шульман (1983). Согласно гипотезе Kuiper (1951), кометы конденсировались в первичной лапласовской туманности на расстоянии 40–50 а.е. от Солнца.

В гипотезе Альвена (1979) кометы рождаются в метеорных потоках. Согласно Давыдову (1981), кометы возникают при приливном разрушении астероидов. Орлов (1939) развивал гипотезу об образовании комет в результате столкновений астероидов с крупными метеоритами.

Гипотезу о генетической связи почти параболических комет с гипотетическими транснептуновыми планетами разрабатывали Радзиевский (1987), Гулиев (1992, 1999) и др.

Мультон (1908) предположил, что кометы образуются из вещества, вырванного или выброшенного из Солнца.

Константинов и др. (1966) высказали гипотезу об антивещественной природе комет, полагая, что кометы приходят к Солнцу от других звездных систем, состоящих из антивещества.

В 1977 г. при подведении итогов исследований по кометной астрономии за 26 лет Ridley (1978) выделяет четыре основных направления: модель ледяного ядра Уиппла, облако Оорта, теория происхождения комет Литтлтона и воздействие солнечного ветра на хвосты комет. В 1986 г. в обзорной статье, посвященной происхождению комет, Bailey, Stagg (1988) выделяют три периода в истории кометной космогонии: 1) до 1940 г. кометы считались малосущественным компонентом Вселенной; 2) несколько десятилетий развивались взгляды Оорта; 3) в последнее десятилетие интенсивно исследуется захват комет из межзвездного облака.

Обилие гипотез свидетельствует о явном неблагополучии в кометной космогонии. Ни одна из гипотез не получила широкого признания. Часто гипотезы оказываются невостребованными потому, что их авторы для проверки теоретических выводов в недостаточной мере используют данные кометных каталогов. К примеру, полностью игнорирует каталожные данные Цицин (1999). Космогоническая гипотеза, претендующая на адекватное отражение механизма рождения кометных ядер, должна: содержать сравнение теоретических и наблюдательных элементов кометных орбит; объяснять основные закономерности в кометной системе и прогнозировать новые, ранее не известные закономерности (Томанов, 1992).

В работе Кузьмичева (2003) выполнен статистический анализ системы почти параболических комет (ППК, период P 200 лет) с использованием каталога Marsden, Williams (2003), включающего N = 1177 ППК в появлениях до конца 2001 г. Выявлены следующие закономерности в системе ППК, которые должны иметь космогоническую интерпретацию:

1) перигелии и узлы орбит почти параболических комет расположены в основном на малых гелиоцентрических расстояниях (r < 1.5 а.е.). Это означает, что орбиты ППК пронизывают Солнечную систему преимущественно через зону планет земной группы; 2) афелии долгопериодических комет расположены около пояса Койпера; 3) функция распределения ППК по эксцентриситету резко обрывается при e = 1; 4) линии апсид ППК составляют малый угол с вектором пекулярной скорости Солнца; 5) наблюдается высокая концентрация плоскостей кометных орбит около плоскости эклиптики; 6) в системе ППК есть 372 кометы с q < 0.01 а.е. Все эти кометы движутся вблизи плоскости (i = 143, = 0) и имеют В работе Горшковой и Кузьмичева (2006) выполнен статистический анализ комплекса короткопериодических комет (КПК, период P < 200 лет) и сделано заключение, что основными закономерностями в комплексе КПК, которым должна соответствовать космогоническая гипотеза, являются следующие: 1) преобладание прямых движений. Наклон к эклиптике i < 30° имеют 87% орбит КПК. Восемь комет ретроградные; 2) афелии (перигелии) расположены в основном вблизи узлов. Угол между линией узлов и линией апсид у 3/ орбит составляет менее 45°; 3) в комплексе КПК выделяется большая группа комет ( N 172 объекта), которая в распределении по суточному движению ограничена с одной стороны люком при п = 300", а = 5.1 а.е., соизмеримость с Юпитером 1:1; и с другой стороны люком при п = 700", а = 2.9 а.е., соизмеримость с Юпитером 7:3. Узлы и афелии комет этого семейства лежат около орбиты Юпитера. Среднее значение постоянной Тиссерана для комет данного семейства С = 2.80; 4) кометы с 10 а.е. < а < 50 а.е. двигаются в резонансе с Сатурном и Нептуном, соизмеримость 1:1. Динамические характеристики комет этой группы близки к соответствующим параметрам почти параболических комет. Названные закономерности могут использоваться как критерии для тестирования космогонических гипотез.

§ 1.2. Теория захвата межзвездных комет по Лапласу Впервые предположение о приходе комет к Солнцу из межзвездного пространства выдвинул Laplaсe (1796, 1806).

Развивая идею Лапласа о межзвездном происхождении комет во второй половине XIX века Newton (1878, 1891), Tisserand (1896), Schulhof (1891), Callandrean (1892) заложили основы теории происхождения короткопериодических комет в результате захвата – преобразования первоначальной вытянутой орбиты в короткопериодическую под действием сильных планетных возмущений при прохождении кометы в сфере действия планеты.

Гипотеза Лапласа о межзвездном происхождении комет была предложена в те времена, когда из-за скудности статистического материала и недостаточной изученности эффектов селекции при открытии комет подтверждение выводов гипотезы наблюдательными данными не представлялось возможным. На протяжении последующего столетия удалось установить с достоверностью лишь факт практического отсутствия гиперболических орбит и крайне малую вероятность захвата кометы на эллиптическую орбиту по сравнению с вероятностью прохождения гиперболической кометы.

обстоятельства были возведены в ранг experimentum crucis, говорящего против гипотезы Лапласа. Кроме того, указывалось на малую вероятность конденсации твердых тел в условиях межзвездного пространства.

Между тем гипотеза Лапласа является чрезвычайно привлекательной по меньшей мере по следующим соображениям: а) кометные ядра, образовавшиеся в недрах галактической туманности, могут быть наделены «от рождения»

всем комплексом физико-химических свойств, интерпретация которых в рамках гипотез их происхождения внутри Солнечной системы была бы затруднительной; б) движение Солнца к апексу должно нарушать центрально-симметричное распределение элементов кометных орбит в Солнечной системе.

Соответствующая асимметрия элементов может быть предсказана из небесно-механических соображений и после тщательного учета эффектов селекции и пертурбаций подтверждена наблюдательными данными.

Что же касается первых двух трудностей, о которых упоминалось выше, то они полностью снимаются, если отказаться от предположения о перманентной встрече Солнца с кометными ядрами. Необходимо допустить, что лет назад Солнце прошло через астероидальное облако и захватило нужное число комет. Это время должно быть достаточно большим, чтобы никто из наших предков не мог нам поведать об огромном числе гиперболических комет, сиявших тогда на небе.

Оно должно быть достаточно большим, чтобы астроблемы на Земле успели подвергнуться эрозии, чтобы «выгорели» почти все короткопериодические кометы, доля которых, как будет показано ниже, при любых начальных условиях должна быть в среднем 70–80 %, а не 30–40 %, как это имеет место в действительности. Время должно быть достаточно большим, чтобы все быстровозмущаемые элементы орбит успели потерять следы своего происхождения, если предсказываемая для них асимметрия не подтвердится статистическим материалом. В то же время величина должна быть достаточно маленькой, чтобы медленно возмущаемые элементы у долгопериодических комет сохранили те известные нам и вновь предсказанные корреляции, которые невозможно объяснить эффектами селекции и без наличия которых гипотеза Лапласа потеряла бы свои преимущества.

Наконец, время должно быть достаточно оптимальным, чтобы положение солнечного апекса не успело измениться с тех пор радикальным образом.

По поводу трудности, связанной с образованием твердых сгущений в недрах Галактики, можно сказать, что теоретически обоснована возможность конденсации кометных льдов в межзвездных облаках. Впервые Фесенков (1961) показал, что в межзвездной среде возможна конденсация на тугоплавких элементах, например на железных пылинках, с образованием в твердой фазе Н2О, СН и др. По мнению Фесенкова, тесные скопления таких частиц и служат ядрами непериодических комет. Greenberg (1984) проследил эволюцию межзвездной пыли до агрегации в кометезимали за 5 109 лет и пришел к заключению: кометы – продукты межзвездной пыли. Из анализа физических характеристик комет вывод о межзвездном происхождении комет делают Donn (1976), Whipple и Lecar (1976), Biermann (1978). Clube и Napier (1985) сделали оценку средней плотности комет в молекулярных облаках - 10-1 (а.е)-3.

Получены данные о тождественности химического состава комет и межзвездной среды. O’Dell (1971), Cooke и Wickramasinghe (1976) сравнили инфракрасный спектр (ИК) некоторых комет, ИК источника в Орионе с теоретическими спектрами сферических пылинок и сделали заключение о подобии свойств комет и межзвездных пылинок.

Сопоставляя наблюдательные данные о межзвездных молекулах с результатами многочисленных экспериментов по моделированию процессов в первичной атмосфере Земли, Добровольский, Каймаков и Матвеев (1977) сделали вывод о генетической тождественности межзвездной среды и родительских молекул комет.

Фоменкова и др. (1989) с помощью масс-спектрометров, установленных на КА «Вега», исследовали свойства и химический состав компонент пылевых частиц кометы Галлея. В частности, показано, что все изотопные соотношения, в том числе 12С/13C, согласуются со средним космическим содержанием изотопов. По заключению авторов, полученные результаты свидетельствуют о сходстве межзвездной и кометной пыли.

Комета С/1992 В2 Хиакутаке принесла новый весомый аргумент в пользу гипотезы межзвездного происхождения комет: в коме кометы было впервые обнаружено свечение молекул изоциановой кислоты (HNC), которое ранее наблюдалось только в межзвездных облаках. По мнению Чурюмова (1996), данная комета не была «вырвана» из облака Оорта, а была захвачена в Солнечную систему.

Hoyle и Lyttleton (1939) отмечали, что прохождение Солнечной системы через плотные пылевые облака сопровождалось захватом материи и резким изменением климата. McCrea (1975) показал, что, двигаясь в космосе, Солнце могло несколько раз пересекать пылевые полосы с интервалом около 100 миллионов лет. В колонке лунного грунта, взятой экипажем «Аполлон-15», Lindsay и Srnka (1975) обнаружили три слоя космической пыли, интервалы между выпадениями которых соответствуют циклам McCrea. Согласно Голенецкому и др. (1980), общий приток кометного вещества на поверхность земного шара за 4 млрд лет оценивается величиной до 5 % современной массы земной коры.

Из анализа периодичности кратерообразования на поверхности Земли сделан вывод (Davis, Hutt, 1984), что кометная бомбардировка Земли, вызванная прохождением Солнечной системы через межзвездные облака, проходила с периодом около 26 млн лет. Hatt и др. (1987) считают, что кометные потоки и связанное с ними кратерообразование на Земле в прошлом имели место 0.5–1 млн. лет назад, а также 35, 65 и 99 млн лет назад. Таким образом, на основе данных по литературным источникам можно считать, что последнее погружение Солнечной системы в межзвездное облако имело место 1–2 млн лет тому назад. Учитывая, что возраст долгопериодических комет по фотометрическим оценкам также составляет 1–2 млн лет, можно предположить, что акт захвата состоялся в эпоху последнего прохождения Солнца через межзвездное облако. Заметим, что только в эпоху захвата могли гиперболическими эксцентриситетами орбит. Часто встречающийся в литературе упрек в адрес гипотезы межзвездного происхождения комет об отсутствии сегодня гиперболических комет несостоятелен.

Напомним сущность захвата по схеме Лапласа. До пересечения границы сферы влияния планеты ядро движется по невозмущенной гелиоцентрической орбите. Все символы, относящиеся к этой начальной орбите, мы будем снабжать индексом «0». Одна из веток начальной гиперболы проходит через радиант ядра, который совпадает с апексом Солнца, если само ядро покоится в бесконечности относительно того центроида звезд, по отношению к которому определены элементы солнечного апекса. Скорость ядра в бесконечности v относительно покоящегося Солнца в этом случае должна удовлетворять условию v v, где v – вектор скорости движения Солнца к апексу.

После проникновения ядра в сферу влияния планеты оно движется по невозмущенной планетоцентрической орбите.

Относящиеся к этой орбите символы мы будем снабжать индексом «1», а при необходимости индексами «1.1» и «1.2» в момент входа и выхода ядра из сферы действия планеты соответственно, если обозначаемые параметры являются переменными.

После выхода из сферы влияния ядро снова движется по невозмущенной гелиоцентрической орбите, которая и является конечной орбитой захваченной кометы (соответствующие символы без индексов).

происходящим со скоростью где – гравитационный параметр Солнца, а R – радиус орбиты планеты. Тогда начальная (v0) и конечная (v) скорости ядра в районе орбиты планеты будут определяться из равенств где а — большая полуось конечной орбиты захваченного ядра.

Конкретная величина радиуса сферы действия или влияния планеты r0 для последующих упрощений и расчетов не играет роли. Важно только, чтобы величина r0 была достаточно мала R ), чтобы выполнялись равенства (1.2), и достаточно велика, чтобы можно было считать, что где — гравитационный параметр планеты.

В дальнейшем мы будем пользоваться несколькими системами координат. Прежде всего введем две декартовы системы: абсолютную x0y0z0 и переносную х1,у1,z1. У переносной системы начало совпадает с планетой, плоскость х1оу1 — с плоскостью ее орбиты, а ось оy1 — с вектором скорости планеты Начало абсолютной (неподвижной) системы координат совпадает с Солнцем, плоскость х0oу0 – с плоскостью х1оу1, а ось оy0, – с вектором скорости планеты u в эпоху прохождения ядра через сферу действия планеты. Из последнего определения следует, что мы пренебрегаем поворотом вектора u за время движения ядра по переходной орбите, что будет обосновано ниже.

Геометрический смысл захвата состоит в следующем. Ядро кометы приближается к планете по начальной орбите с гелиоцентрической скоростью, вектор которой v0 составляет с вектором u угол 0. Относительная планетоцентрическая скорость ядра в момент входа в сферу влияния, очевидно, будет При движении ядра по переходной орбите вектор v 1 монотонно меняется по направлению, а по величине сначала растет, а затем уменьшается до величины v1, 2 v1,1 в момент выхода ядра из сферы действия планеты. В этот момент абсолютная гелиоцентрическая скорость ядра будет причем величина v обязана удовлетворять условию (1.2), а вектор v будет составлять угол с вектором u.

Докажем следующую основную теорему захвата.

Необходимым и достаточным условием захвата малого тела Солнечной системой является такое взаимодействие его с планетой, в результате которого проекция скорости этого тела на вектор скорости планеты уменьшается на величину v 2 2u.

В самом деле, из (1.4) и (1.3) имеем Приравнивая правые части этих равенств и используя (1.2), получаем что при a и дает сформулированное выше условие захвата.

Заметим, что при доказательстве этой теоремы мы не использовали допущение об отсутствии поворота вектора u.

В момент входа и выхода ядра из сферы действия планеты проекции eго скорости на оси ох и oz остаются неизменными, а проекция скорости на ось оу меняется дискретно на величину u.

Таким образом, мы имеем Из (1.7), (1.6) и (1.1) следует Таким образом, все необходимое, согласно теореме, уменьшение проекции скорости ядра на ось оу должно произойти внутри сферы действия планеты.

Перейдем теперь к оценке возможностей планеты осуществить необходимый для захвата поворот вектора скорости v 1. Используя полученные ниже результаты, нетрудно было бы показать, что угол этого поворота имеет порядок 10°. Между тем интенсивный поворот вектора v 1 происходит лишь на небольшом отрезке планетоцентрической орбиты в районе ее перицентра. За время движения ядра по этому отрезку орбиты вектор u у Юпитера, например, успевает повернуться лишь на малые доли градуса. Таким образом, введенное нами упрощение ( u =const) не может существенно повлиять на полученные ниже результаты.

Пренебрегая размерами сферы влияния планеты, мы можем считать, что все ядра, имеющие общий радиант, подходят к планете параллельным потоком. После вычитания вектора u из вектора скорости каждого ядра образуется поток коллинеарных векторов v1,1.

Нетрудно видеть, что существует плоскость, компланарная с вектором u и потоком векторов v1,1. В самом деле, параллельным переносом совместим начало любого из векторов v1,1 с началом вектора u и проведем через них плоскость Р. Все остальные вектора v1,1 будут ей параллельны, а некоторое плоское множество векторов v1,1 будет совпадать с Р и порождать переходные орбиты, лежащие в плоскости Р.

Займемся сначала исследованием переходных орбит, лежащих в плоскости Р. Все они будут отличаться друг от друга величиной прицельного расстояния, через которое планетоцентрический момент количества движения ядра выражается простым соотношением Образуем в плоскости Р общую для всех этих орбит декартову систему координат o с началом в планете и осью o, параллельной вектору v1,1 (см. рис. 1.1). Кроме того, для каждой орбиты образуем в той же плоскости и с тем же началом систему o с осью o, проходящей через перицентр данной орбиты.

Первые интегралы движения по переходной орбите запишем в обеих системах в форме, полученной в (Радзиевский, 1972):

Здесь r – планетоцентрическое расстояние ядра, е1 – эксцентриситет его переходной орбиты, независимой от выбора системы отсчета, 1 – угол между осью o, параллельной v1,1, и осью o.

Из системы (1.10) и рис. 1.1 нетрудно видеть, что при входе и выходе ядра из сферы действия планеты мы будем иметь Таким образом, откуда следует, что за время движения ядра по переходной орбите в конечном счете изменяется только проекция скорости ядра на ось o. Следовательно, изменение проекции скорости v на любую другую ось будет равно произведению на косинус угла между осью o и интересующей нас осью.

В частности, как видно из рис. 1.1, угол между осью o и проекции скорости v1, на вектор u составит Таким образом, условие захвата (1.6) принимает вид где В системе o мы имеем Подставляя эти значения в (1.11), а также используя (1.3) и (1.9), получаем откуда Рис. 1.1. Переходная планетоцентрическая орбита и компоненты скорости Рис. 1.2. Геометрический смысл корней уравнения (1.19) Подставляя (1.16) в (1.14) и решая полученное равенство относительно, находим Из треугольника, образованного векторами u, v1,1 и v 0, имеем v1,1 sin 1,1 v0 sin 0 ; v1,1 cos 1,1 v0 cos 0 u. С помощью этих равенств выражению (1.17) можно придать вид Формула (1.18) определяет величину прицельного расстояния, при котором вектор скорости v 1 ядра, движущегося обеспечивающий захват на конечную орбиту с большой полуосью, определяемой через из равенства (1.15).

Как уже говорилось выше, плоскость Р образована векторами u и v1,1, причем начало последнего совмещено с планетой. Возьмем теперь произвольную плоскость Р, проходящую через этот вектор v1,1. Пусть она образует угол с главной плоскостью Р. При любом значении плоскость Р рассмотренному выше множество векторов v1,1, порождающих переходные орбиты в плоскости Р.

В плоскости Р построим точно таким же образом системы o и o. Так же как и выше, получим, что изменение проекции скорости на ось o составит 2v1,1 cos 1. Однако угол между осью o и вектором u, не лежащим в плоскости Р, теперь уже будет другим. Он легко находится из сферического треугольника, образуемого векторами u, v1,1 и перицентром орбиты в плоскости Р Подставляя это выражение в условие захвата и повторяя все изложенные выше действия, находим Нетрудно видеть, что совокупность корней (1.19) при фиксированных значениях 0, v0, v1,1,, но различных углах образует в плоскости Q, перпендикулярной потоку векторов v1,1, круг, который мы будем называть «прицельным яблоком».

Радиус этого круга составляет расстояние его центра от центра планеты В самом деле, на рис. 1.2, изображенном в плоскости Q, О – планета, С – центр круга (1.20), прямые ОС и ОС - линии пересечения плоскости Q с плоскостями Р и Р. Как видно из рисунка, геометрический смысл корней (1.19) может быть представлен следующим образом:

где Подставляя сюда (1.20) и (1.21), мы получим (1.19).

Анализ формул (1.19)-(1.21) позволяет сделать следующие заключения.

1. При минимальном значении v 2 / 2u, соответствующем захвату параболических комет, радиус прицельного яблока и расстояние до его центра максимальны. С уменьшением а увеличивается и уменьшается 0. Следовательно, любое ядро, прошедшее через прицельное яблоко, захватывается на эллиптическую орбиту.

2. При 0 0 центр прицельного яблока совпадает с центром планеты. С ростом 0 центр яблока смещается в плоскости Р в направлении возрастания положительных значений К1, т.е. от Солнца. При 0 90° величина С достигает максимума.

Таблица 1.1. Относительное положение и размеры прицельных яблок для Юпитера при 0. Следовательно, центр планеты находится вне границ прицельного яблока.

4. В грубом приближении площадь прицельного яблока обратно пропорциональна или v 4. Следовательно, и вероятность захвата w обратно пропорциональна четвертой степени v. Фактически величина w зависит от v в еще более высокой степени.

В дальнейшем мы будем исследовать захват комет только Юпитером ( u 13.1 км/сек). По причинам, излагаемым ниже, испытанию будут подвергнуты два варианта начальных скоростей v 0.5u и v u.

Значения величины, вычисленные по формуле (1.15) для этих начальных скоростей и для захвата на параболическую ( р ) и эллиптическую с периодом Т 500 лет ( е ) орбиты, а также значения всех скоростей при 0 90°, расстояний до центров яблок и радиусов последних приводятся в табл. 1.1.

На рис. 1.3 изображены размеры и относительные положения прицельных яблок и границ захвата долгопериодических комет для оптимального значения 0 90°.

Сам Юпитер изображен на рис. 1.3 черным кружком.

Заштрихованное кольцо образует «мертвую зону». Проходящее через него ядро падает на планету. Радиус этой зоны соответствует эффективному радиусу Юпитера и вычисляется по формуле Рис. 1.3. Сравнительные размеры прицельных яблок и относительное положение Как видно из рис. 1.3, мертвая зона лишь незначительно ущербляет прицельное яблоко. При других возможных углах ущерб несколько возрастает, но практически ущербляется во всех случаях только яблоко короткопериодических комет. Мы же будем проводить сравнение результатов только с данными для долгопериодических комет. Поэтому в дальнейшем влияние мертвой зоны учитывать не станем.

Реальное значение угла 0 зависит от начальных условий движения ядра и от места его встречи с планетой.

Если бы астероидальное облако, с которым встретилось Солнце, не имело пекулярного движения, а дисперсия скоростей ядер относительно центра облака отсутствовала, то у всех ядер были бы общие начальные условия: координаты радианта совпадали бы с координатами апекса Солнца, а начальные скорости всех ядер были бы одинаковыми ( v v 1.5u ).

Если же принять, что тангенциальная скорость пекулярного движения облака составляла 7 км/сек (Аллен, 1966), то радиант мог быть смещен от апекса примерно на 20° в неизвестном направлении. Дисперсия скоростей ядер могла вызывать эффект «размазывания» радианта по небольшому сегменту небесной сферы с центром в радианте покоящихся ядер. За отсутствием более точных данных мы примем, что радиант облака совпадал с современным апексом Солнца Можно ожидать, что сравнение результатов со статистическим материалом позволит нам уточнить положение радианта облака в пределах ±20° по отношению к апексу (1.22).

Неизмеримо более важное значение для оценки вероятности захвата имеет величина v. Если даже средняя скорость облака составляла 1.5и, то вследствие дисперсии скоростей существовала некоторая доля ядер, имеющих меньшие скорости. Допустим, что вероятность иметь отклонение от среднего значения описывается нормальным распределением Гаусса. Нетрудно было бы показать, что, хотя в этом случае число ядер, имеющих скорость v 1.5и, будет меньше числа ядер со скоростью v 1.5u, захват первых может быть более вероятным, чем вторых, поскольку вероятность захвата пропорциональна площади прицельного яблока, а последняя обратно пропорциональна v 4. В частности, при дисперсии скоростей ядер порядка 5 км/сек, вероятность захвата при v 0.5u и v и значительно превосходит вероятность захвата ядер с v 1.5, несмотря на меньшую пространственную плотность первых.

Использованный нами метод дискретных испытаний показал, что наилучшее согласие со статистическими данными возникает при эффективном значении v, в пределах 0.5u v u.

Займемся теперь определением угла 0 в зависимости от эклиптической долготы места захвата, которую будем отсчитывать от долготы апекса Солнца (наклоном орбиты Юпитера пренебрегаем).

Уравнение начальной орбиты ядра имеет вид Угол отсчитывается здесь от радианта ядра, угол определяет положение перигелия начальной орбиты. Подставляя трансверсальная скорость, находим из (1.24) Угол 0 будем определять только для прямых начальных орбит ( K 0, i0 90°). Всякая обратная орбита, рассматриваемая со стороны южного полюса эклиптики и проходящая через узел с долготой 360 C, будет полностью совпадать с прямой орбитой, проходящей через узел с долготой C. Однако движение Юпитера будет в этом случае обратным. Таким образом, если у прямой орбиты, проходящей через узел с долготой C, вектор v 0 составляет с вектором u угол 0, то у обратной орбиты, проходящей через одноименный узел с долготой 360 C, этот угол будет 180 0. Таким образом, величину угла 0 для обратных начальных орбит легко будет найти из соображений симметрии.

Поскольку мы будем искать решение только для случая K 0 0, в формуле (1.25) следует брать знак минус при 180.

В сферическом треугольнике АВС (рис. 1.4) – А – апекс Солнца, он же радиант потока ядер, В – проекция апекса на эклиптику ( 0), С – место захвата ( С ), i0 – наклон следует:

Здесь «+» в и «–» в ;

Подставляя (1.26) и (1.27) в (1.25), используя соотношение и решая результат подстановки совместно с (1.28), получаем Для прямых начальных орбит cos 0, поэтому верхний знак в (1.30) берется при C 180°.

Рис. 1.4. Начальная орбита и связь между i0 и местом захвата Зная cos 0, легко находим по (1.29) y 0, а затем и составляющую на ось oz момента количества движения конечной орбиты Займемся теперь определением среднего значения элементов конечных орбит в функции места захвата C.

Очевидно, средние значения элементов соответствуют захвату ядер, проходящих через среднее значение прицельного яблока, т.е. в плоскости Р, содержащей вектор и oy1. Плоскость переходной орбиты, проходящая через ось оу1, пересекает плоскость x1oz1 по прямой, совпадающей с проекцией вектора v на эту плоскость. Угол наклона этой прямой к плоскости эклиптики равен углу i1 наклона переходной орбиты к этой же плоскости. За время движения ядра по переходной орбите угол i Подставляя сюда значения составляющих скоростей в начале и в конце движения по переходной орбите и используя (1.7), будем иметь Из (1.32), в частности, следует, что характер узла ( или ) конечной средней орбиты совпадает с таковым у начальной орбиты ядра кометы.

Уравнение (1.32) содержит лишь два неизвестных: x и z.

Другим уравнением, содержащим эти же неизвестные, для почти параболической орбиты будет где Таким образом, совместное решение (1.32) и (1.33) завершает определение составляющих скорости v в узле конечной орбиты.

Теперь уже легко находятся все остальные элементы конечной орбиты, а именно:

полный момент количества движения перигелийное расстояние угол наклона аргумент перигелия из формулы для радиальной скорости Наконец, из сферического треугольника с вершинами в, и проекции перигелия на эклиптику при помощи предыдущих соотношений легко находим широту и долготу перигелия В заключение рассмотрим вопрос о вероятности захвата Юпитером комет с периодом P 500 лет. Из полученных выше формул следует, что площадь «прицельной лунки», соответствующей захвату долгопериодических комет, растет с уменьшением 0 и является оптимальной при 0 90.

Для этого угла 0 определим среднюю пространственную плотность размазанной астероидальной материи, соответствующую захвату одной кометы в год с массой ядра m 1015 г. Очевидно, Подставляя сюда соответствующие числовые данные, находим: при v 0.5u 7.8 10 20 г/см3.

Полученные плотности являются вполне реальными, а время прохождения Солнца через облако могло составлять несколько десятков тысяч лет. Таким образом, возможность захвата нужного числа комет также не вызывает сомнений.

Нам остается еще заметить, что большая скорость, с которой захватываемые ядра проникают в сферу действия планеты при v 0.5u, значительно снижает погрешность, вызываемую заменой схемой Лапласа численного определения траектории ядра в рамках трехтельной задачи. Преимущества схемы Лапласа, позволяющей описать общую картину захвата в аналитическом виде, настолько велики, что эта схема еще и в наше время успешно применяется для решения задач захвата (см., например, Bandermann, Wolstencroft, 1970).

Во второй половине XX века в связи с развитием вычислительной техники появилось огромное число публикаций, посвященных проблеме захвата комет. В работе Carusi, Valsechi (1987) дан обзор работ по захвату короткопериодических комет, здесь же рассмотрены одноступенчатые и многоступенчатые захваты, изучены либрационные движения в окрестности резонансов с большими планетами.

Проблеме происхождения короткопериодических комет в результате захвата планетами-гигантами посвящены работы Томанова (1980а,б; 1981; 1982б; 1983г). В обстоятельных работах Казимирчак-Полонской (1978а), удостоенных премии им. Бредихина, не только подтверждены основные выводы французских теоретиков, но и сделан новый значительный шаг в развитии теории захвата. Ею исследована эволюция многих короткопериодических комет (КПК) с полным учетом планетных возмущений, а иногда и с учетом негравитационных эффектов на интервале четырехсот лет (1660–2060гг.). Everhart (1972, 1976) методом Монте-Карло исследовал миллионы фиктивных комет на больших интервалах времени, подтвердил основные выводы Казимирчак-Полонской, показал, что большинство КПК могут быть получены в результате захвата с парабол, если перигелийное расстояние q и наклон i исключительно важный в космогоническом аспекте теоретический прогноз Эверхарта проверен с помощью реальных комет в работе Томанова (2005).

§ 1.3. Статистическая проверка гипотезы Лапласа Согласно предположению, изложенному в работе (Радзиевский, Томанов, 1977), захват комет по схеме Лапласа носил характер практически единовременного акта, связанного с прохождением Солнца через астероидальное облако. В цитированной работе были выведены формулы, позволяющие определить все элементы орбиты захваченной кометы в функции положения планеты в момент захвата ядра и начальной скорости последнего. В этой же работе были найдены радиус и положение центра «прицельного яблока», при прохождении через которое ядро захватывается на орбиту с большой полуосью а 200 лет), для которых, согласно Аллену (1977), медианная абсолютная звездная величина составляет 7m. У комет группы II увеличивается средний наклон к эклиптике - i = 18°.17.

Кометы I группы имеют еще более крутые наклоны к эклиптике – i = 60°.5. Увеличивается сходство статистических характеристических комет I группы и системы почти параболических комет (ППК): перигелии концентрируются в зоне планет земной группы (табл. 2.19), отсутствуют группировки афелиев к орбитам планет, перигелии 85 комет долгота которой близка к долготе апекса Солнца ( A 2700, 53.0 5 ), а широта смещена к эклиптике. Таким образом, можно предполагать, что кометы групп I и II являются некой промежуточной подгруппой между почти параболическими и короткопериодическими кометами.

Рис. 2.18. Распределение афелиев КПК (кружки) и нисходящих узлов (крестики) Доминантой системы КПК, по-видимому, являются кометы, выделенные люками (рис.2.17) при n = 358.9 и n = 598.2. Афелии этих комет (N=147) на рис. 2.18 изображены кружочками, нисходящие узлы – крестиком, окружность – орбита Юпитера. Рисунок наглядно иллюстрирует известный факт: афелии КПК расположены около орбиты Юпитера. Менее известен другой факт: афелии неравномерно распределены по долготе. На долготах от 135° до 315° сосредоточено афелиев, на интервале 315° < < 135° оказалось всего лишь афелиев. Вероятность p того, что такое распределение афелиев интеграл вероятности, 109 147 -1/ 2 – отклонение от случайной величины (Агекян, 1972). Феномен исключительно высокой концентрации афелиев на одной половине орбиты Юпитера интерпретирован (Томанов, 1989) в рамках теории (Everhart, 1972б) захвата комет Юпитером. В этом случае один из узлов кометной орбиты является «местом рождения» кометы.

Нисходящие узлы лежат практически в зоне повышенной концентрации афелиев (рис. 2.18).

Подводя итоги вышеизложенному, можно сделать вывод:

орбиты КПК, вычисленные для первого появления, кинематически связаны с Юпитером.

Эволюция орбит КПК на интервале времени 5000 лет.

короткопериодических комет с поясом Койпера проведено исследование движения КПК от момента прохождения кометой перигелия орбиты в первом появлении до -3000 г. Для вычислений использовалась компьютерная программа, написанная на языке Visual Fortran, расчетная модель которой построена на основе общей теории задачи 10 тел. Тела – планеты Солнечной системы брались в точечном приближении. Массой кометного тела в сравнении с массами планет пренебрегалось.

При построении расчетной модели не учитывались негравитационные эффекты. В указанных приближениях проекции ускорения кометного тела в декартовой системе координат, введенной относительно плоскости эклиптики с центром в Солнце в рамках задачи N-тел, представлены в виде дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнения были модифицированы с использованием преобразования Энке, что позволило получать на каждом шаге интегрирования координаты для оскулирующей орбиты и оскулирующие элементы, минимизировав накопление расчетной погрешности.

Для вычисления координат возмущающих планет использовалась планетная эфемерида DE406 (Standish et al., 1997). В качестве численного метода, реализующего процесс интегрирования, взят метод Эверхарта с точностью в 11м знаке.

Рис. 2.19. Распределение КПК по афелийному расстоянию орбит в -3000 г.

Основные результаты численного интегрирования опубликованы в работе Кузьмичева, Томанова, Горшковой (2004), где для каждой из 274 комет представлено в виде графиков изменение за 5000 лет афелийного расстояния, гелиоцентрического расстояния одного из узлов, наклона, широты афелия, аргумента перигелия и долготы восходящего узла. Аналогичные исследования проводились многими авторами. Так, в монографии Carussi et al (1986) приводятся результаты интегрирования 132 КПК на интервале 420 лет, в работе Tancredi и Ricman (1992) рассчитана орбитальная эволюция 163 короткопериодических комет на интервале лет. Наши результаты довольно близки к результатам, полученным в данных работах.

Распределение всех КПК по афелийному расстоянию на эпоху -3000 г. представлено на гистограмме (рис. 2.19), откуда легко видеть, что 229 комет имели афелийное расстояние