«МНОГОМОДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И СРЕДСТВА НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ И ИЗДЕЛИЙ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2004 УДК 620.179.1.05:691:658.562.4 ББК 31.312.06 Ж85 Рецензент Заслуженный ...»

Н.П. ЖУКОВ, Н.Ф. МАЙНИКОВА

МНОГОМОДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И СРЕДСТВА

НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

МАТЕРИАЛОВ И ИЗДЕЛИЙ

МОСКВА

"ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1"

2004 УДК 620.179.1.05:691:658.562.4 ББК 31.312.06 Ж85 Рецензент Заслуженный деятель науки РФ, академик РАЕН, доктор физико-математических наук, профессор Э.М. Карташов Жуков Н.П., Майникова Н.Ф.

Ж85 Многомодельные методы и средства неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов и изделий. М.: "Издательство Машиностроние-1", 2004. 288 с.

Посвящена решению актуальной проблемы – созданию новых более надежных методов и средств оперативного неразрушающего контроля теплофизических свойств твердых материалов и изделий на их основе.

Предназначена для инженеров, научных сотрудников, аспирантов и студентов, занимающихся вопросами изучения и разработки измерительных средств экспресс-контроля ТФС материалов и готовых изделий из них.

УДК 620.179.1.05:691:658.562. ББК 31.312. ISBN 5-94275-165-Х © Жуков Н.П., Майникова Н.Ф., © "Издательство Машиностроение-1", Н.П. ЖУКОВ, Н.Ф. МАЙНИКОВА

МНОГОМОДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И СРЕДСТВА

НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

МАТЕРИАЛОВ И ИЗДЕЛИЙ

МОСКВА

"ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1"

Научное издание ЖУКОВ Николай Павлович, МАЙНИКОВА Нина Филипповна

МНОГОМОДЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И СРЕДСТВА

НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ И ИЗДЕЛИЙ

Монография Редактор З. Г. Ч е р н о в а Компьютерное макетирование М. А. Ф и л а т о в о й Подписано к печати 24.12. Формат 60 84/16. Гарнитура Times. Бумага офсетная. Печать офсетная Объем: 16,74 усл. печ. л.; 17,00 уч.-изд. л.

Тираж 400 экз. С. 877М "Издательство Машиностроение-1", 107076, Москва, Стромынский пер., Подготовлено к печати и отпечатано в издательско-полиграфическом центре Тамбовского государственного технического университета 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14т

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И АББРЕВИАТУРЫ

– температуропроводность, м2/с;

a с – удельная объемная теплоемкость, Вт/(м3К);

с – удельная теплоемкость, Дж/(кгК);

с – объемная теплоемкость; Дж/(м3К);

сн – теплоемкость нагревателя на единицу площади, – плотность материала, кг/м ;

q – удельный тепловой поток, Вт/м2;

W – мощность на нагревателе, Вт;

W – водопоглощение, % масс;

– радиус поверхностного сферического нагреваR Rп – радиус круглого плоского нагревателя, м;

T * – температура изделия, °С;

Т – избыточная температура, °С;

Ts – среднее значение температуры из k измеренных значений, °С;

Тн – начальная температура опыта, °С;

Tj – температура на j шаге измерения, °С;

Нп – толщина подложки зонда, мм;

Ни – толщина исследуемого изделия, мм;

x, y, z, r – пространственные координаты, м;

– тепловая активность, Втс0,5/(м2К);

– теплопроводность, Вт/(мК);

– временной шаг измерения температуры, с;

АЦП – аналого-цифровой преобразователь;

ДСК – дифференциальная сканирующая калориметрия;

ДТА – дифференциальный термический анализ;

ИВС – измерительно-вычислительная система;

ИЗ – измерительный зонд;

ИВУ – измерительно-вычислительное устройство;

НК – неразрушающий контроль;

ПММА – полиметилметакрилат;

ПТФЭ – политетрафторэтилен;

ТФС – теплофизические свойства;

ТА – термический анализ;

Ф4К20 – коксонаполненный политетрафторэтилен.

ВВЕДЕНИЕ

Совершенствование известных и создание новых методов и средств контроля востребованы и являются актуальными в связи со сложностью и большим объемом экспериментальных исследований по определению качества, долговечности и надежности как традиционных, так и вновь синтезированных материалов конструкционного, электро- и теплоизоляционного назначения. Тепловые методы неразрушающего контроля (НК) и диагностики позволяют определять качество исследуемых материалов и готовых изделий из них по теплофизическим свойствам (ТФС), к числу которых относятся коэффициенты теплоемкости, тепло- и температуропроводности, тепловой активности.

В случае НК активными тепловыми методами искомые ТФС проявляются через температурный отклик (термограмму) исследуемого образца на тепловое воздействие, которому подвергается образец (или изделие) в специально организованном эксперименте.

Известно, что теплофизические измерения отличаются сложностью проведения эксперимента и трудоемкостью обработки полученных данных.

В настоящее время для обработки данных эксперимента при НК ТФС материалов и изделий тепловыми методами в основном применяются следующие подходы. Во-первых, предполагается получение и использование эмпирических зависимостей на основе проведения большого числа экспериментов в достаточно узком диапазоне контролируемых свойств и материалов. Простота математического обеспечения измерительных систем является достоинством данного подхода. Появляется возможность их реализации дешевыми техническими средствами. Существенный недостаток – достаточную точность можно обеспечить лишь для узкого класса материалов. Во-вторых, предполагается использование аналитических моделей, получаемых решением классических задач теплопроводности. Достоинством таких методов является достаточно высокая точность в широком диапазоне исследуемых свойств. Однако, несмотря на относительно точное и, вместе с тем, громоздкое математическое описание динамики тепловой системы, оно все равно не может учесть всех индивидуальных особенностей конкретных процессов измерения. Более того, сопоставление расчетных и экспериментальных термограмм показывает невозможность их точного совпадения на всем временном интервале. Эти обстоятельства не позволяют гарантировать для методов второго подхода отсутствия значительных погрешностей во всем диапазоне измерения.

Реализация тепловых методов неразрушающего контроля ТФС усложняется еще и тем, что тепловое воздействие и получение измерительной информации в ходе эксперимента возможно осуществлять только на ограниченном участке поверхности исследуемого объекта. Поэтому наиболее сложной и важной задачей при создании новых методов неразрушающего контроля ТФС является разработка физикоматематических моделей, адекватно описывающих тепловые процессы в объектах контроля.

Анализ процессов измерения, их моделей и источников погрешностей показывает, что в пределах временного интервала измерения в тепловой системе могут происходить существенные изменения, которые не позволяют описывать весь процесс измерения одной аналитической моделью с неизменными ограничениями и условиями. Неучет данного обстоятельства ведет к существенному увеличению погрешностей при определении ТФС неразрушающими методами.

Основные источники погрешностей для измерительных средств, использующих тепловые методы, следующие: не соблюдается условие соответствия тепловой системы одной из классических моделей теплопереноса, например, модели полупространства; нарушается допущение относительно постоянства плотности теплового потока от нагревателя; не выполняются условия о направлении теплового потока вследствие конечных размеров нагревателя; не соблюдается предположение об адекватности аналитической модели процессу теплопереноса.

В основе разработанных авторами многомодельных методов лежат следующие предположения.

На термограмме имеются участки (рабочие), для которых обеспечивается высокая точность совпадения с результатами вычислительных экспериментов по аналитическим моделям. Причем этим участкам соответствуют тепловые режимы опыта, вышедшие на стадию регуляризации.

Участки экспериментальных термограмм, хорошо совпадающие с рассчитанными по аналитическим моделям, имеют место для широкого класса твердых материалов (электро- и теплоизоляционных, полимерных и др.).

Для рабочих участков существуют удобные вычислительные соотношения, позволяющие однозначно определить значения теплофизических свойств в зависимости от параметров аналитической функции, соответствующей термограмме на данном временном интервале. Расчетные уравнения, описывающие термограмму на рабочих участках, следует искать на основе анализа решений соответствующих краевых задач.

Цель настоящей книги – показать многомодельные методы НК ТФС, позволяющие использовать достоинства и уменьшить недостатки упомянутых подходов к обработке данных теплофизического эксперимента.

Поскольку в самых различных отраслях промышленности все больший удельный вес приобретают синтезированные материалы и композиты на их основе, которые по своим технологическим и эксплуатационным параметрам часто имеют значительные преимущества перед природными материалами, то задача создания методов и средств неразрушающего контроля становится еще более актуальной, так как ее решение позволяет оперативно и с необходимой точностью определить весь комплекс характеристик, в том числе и ТФС, как на стадиях технологического контроля в процессе производства этих материалов, так и прогнозировать качества готовых изделий при дальнейшей их эксплуатации. Так все более широкое применение современных полимерных материалов во многом обусловлено разнообразием их свойств, которые можно варьировать как путем создания (синтеза) новых типов полимеров, так и разрабатывая новые технологии конструирования полимерных материалов из уже имеющихся типов полимеров или путем их модификации. Однако, полимерные материалы всегда неравновесны, т.е. находятся в состоянии, весьма далеком от полного равновесия. В основном это обусловлено цепочечным строением молекул (макромолекул) их составляющих, препятствующих реализации такой их упаковке в пространстве, которая соответствовала бы полному равновесию. Как указывалось выше, тепловые методы неразрушающего контроля ТФС предусматривают нагрев участка поверхности контролируемого объекта.

Известно, что при нагревании полимеров и композиционных материалов на их основе часто наблюдаются тепловые эффекты, сопровождающие, во-первых, твердофазные переходы из одной кристаллической решетки в другую, а во-вторых, возможные релаксационные превращения. Авторы работы показали, что разработанные методы контроля ТФС позволяют регистрировать структурные превращения в полимерных материалах и исключать влияние последних на определение ТФС.

Книга построена следующим образом.

В первой главе рассмотрены современное состояние и проблемы неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов и изделий. Кратко представлены известные методы НК ТФС материалов и изделий при воздействии различных источников тепла: локальных импульсных, изотермических поверхностных, с помощью источника постоянной мощности и др. Интерес к перечисленным тепловым источникам объясняется, прежде всего, тем, что для них возможно получение строгих аналитических решений, а кроме того они достаточно легко реализуются в опыте.

Во второй главе рассмотрены различные подходы к обработке данных экспериментов при неразрушающем контроле теплофизических свойств. Приводятся исходные предпосылки и основные положения применения многомодельных тепловых методов.

В третьей главе представлен новый метод неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов с использованием линейного источника тепла. Изложены математическая модель нестационарного процесса теплопереноса от линейного источника тепла, расчетные выражения и основные операции при определении теплофизических свойств, оценка погрешностей измерения ТФС.

В четвертой и пятой главах книги рассмотрены теоретические основы метода неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов и изделий с использованием плоского круглого источника тепла, расчетные выражения при определении ТФС, оценка погрешностей метода. Подробно описаны математические модели нестационарного процесса теплопереноса от плоского источника тепла.

Приведены измерительные схемы с несколькими термоприемниками. Получены расчетные выражения и основные операции при определении ТФС на стадиях нагрева и остывания с использованием моделей плоского и сферического полупространств. Дана оценка погрешностей метода.

В шестой главе представлены техническое и алгоритмическое обеспечения измерительновычислительной системы (ИВС), реализующей многомодельные методы. Рассмотрены состав и принципы функционирования ИВС, основные операции при реализации способов определения ТФС материалов и изделий, расчетные формулы, связывающие параметры моделей с искомыми свойствами.

Один из разделов шестой главы посвящен использованию статистических критериев для выделения рабочих участков термограмм.

В заключительной седьмой главе приводятся результаты экспериментальных исследований ТФС различных материалов и изделий.

Книга предназначена для инженеров, научных сотрудников, аспирантов и студентов, занимающихся вопросами изучения и разработки измерительных средств экспресс-контроля ТФС материалов и готовых изделий из них. Книга может быть полезна всем специалистам, интересующимся проблемами теплофизических измерений.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПРОБЛЕМЫ

НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ

СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ, ИЗДЕЛИЙ И ОБРАЗЦОВ

Современное развитие промышленности характеризуется ростом номенклатуры и объемов производства новых материалов (строительных, теплозащитных, полимерных и др.), интенсификацией технологических процессов их переработки в изделия. Большой объем экспериментальных исследований по определению качества, долговечности и надежности как традиционных, так и вновь синтезированных материалов и изделий из них требуют совершенствования известных и создания новых методов и средств контроля [1 – 3]. Среди них особое место занимают тепловые методы (ТМ) неразрушающего контроля и диагностики.

В данной главе проведен анализ, представлены развитие и совершенствование методов и средств НК теплофизических свойств готовых изделий и образцов из твердых материалов. Теплофизические свойства – теплоемкость, теплопроводность и температуропроводность являются важнейшими характеристиками веществ и материалов. Количественные расчеты тепловых и температурных полей реальных тел возможны только тогда, когда известны конкретные значения ТФС материала этих тел.

В экспериментальной теплофизике различают две большие группы методов определения ТФС: стационарные и нестационарные [4 – 27]. Определение ТФС стационарным методом основано на том, что тепловой поток, проходящий через исследуемое тело во время проведения измерений, сохраняется постоянным по величине и направлению. Существующие стационарные методы [8 – 10, 19 – 21, 25 – 27] отличаются друг от друга способами учета и компенсации потерь, формами и размерами исследуемых образцов, размещением нагревателей, конструкцией измерительных ячеек, приемами регистрации и обработки измерительной информации.

Следует отметить, что стационарные методы практически не пригодны для определения ТФС материалов и изделий без нарушения их целостности. Серьезными недостатками стационарных методов являются большая длительность экспериментов, необходимость использования специально подготовленных образцов и возможность определения в процессе эксперимента только одного теплофизического параметра – коэффициента теплопроводности.

Методы определения ТФС материалов, основанные на закономерностях нестационарного потока тепла [7, 11, 21 – 24, 28 – 32, 37 – 55], можно разделить на группы:

а) методы регулярного режима;

б) методы, основанные на определении параметров нестационарного температурного поля на начальной стадии его развития.

Различают регулярные режимы 1-го, 2-го и 3-го рода. Общая теория методов регулярного режима разработана Г.М. Кондратьевым [8, 9] и его учениками. Различным вариантам этих методов посвящены работы [8, 9, 15, 21], в которых рассмотрены способы измерения теплофизических свойств образцов цилиндрической формы конечных размеров, стержней, многослойных систем и т.д. Основными недостатками методов регулярного режима являются: длительность эксперимента, возможность проведения измерений только на специально подготовленных образцах определенной формы. Последнее затрудняет применение этих методов для неразрушающего контроля ТФС материалов.

Наиболее приемлемыми для оперативного НК ТФС материалов и изделий являются методы измерения, основанные на определении параметров нестационарного температурного поля на начальной стадии процесса теплопроводности. В данных методах исследуемый образец моделируется в виде полуограниченного тела. Рассмотрим эти методы, останавливаясь, в основном, на тех работах, где определяются ТФС без нарушения целостности и эксплуатационных характеристик исследуемых изделий.

Неразрушающие методы определения ТФС представлены в работах [21 – 23, 28, 29, 36 – 55]. Они включают в себя методы: кратковременного линейного источника тепла; кратковременного плоского источника тепла; постоянного линейного, цилиндрического и плоского источников тепла; мгновенного источника тепла; шарового зонда, неограниченного эталона и др.

1.1. ИМПУЛЬСНЫЕ МЕТОДЫ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТФС

Остановимся более подробно на импульсных методах определения ТФС. Импульсным называют такое воздействие, при котором выделившаяся за время действия источника конечная энергия не успевает заметно рассеяться за пределы зоны его локализации [46]. В импульсных методах важную роль играет начальное тепловое состояние образца. Пространственно-временное развитие импульсного теплового возмущения внутри образца прослеживается в опыте наиболее явно, если перед началом опыта образец имеет равномерное температурное поле. Во всех других случаях приходится существенно усложнять схему опыта, в частности, переходить на дифференциальный принцип регистрации температурных полей в двух идентичных по тепловому фону калориметрических ячейках.

Имеются два существенно различных приема использования импульсных источников при теплофизических измерениях. В первом из них тепловой источник распределяется равномерно во всем объеме образца и, если образец адиабатизирован от окружающей среды, не создает в нем направленных тепловых потоков. При втором случае импульсный тепловой источник действует на сравнительно небольшом участке образца (часто на локальном участке его поверхности), оставляя после себя направленный тепловой поток, а следовательно, и нестационарное неравномерное температурное возмущение в рабочей зоне образца.

Импульсные методы, в которых используется второй прием, обладают более широкими техническими возможностями, позволяя определять независимо две, а иногда и все три теплофизические характеристики. Среди указанных методов можно выделить, прежде всего, группу методов, в которых используются образцы и изделия неограниченных размеров, с плоскими, линейными или точечными импульсными источниками [21, 46 – 70].

Анализ температурных полей (в целях упрощения структуры решения) обычно проводят в предположении, что теплоемкость и область локализации теплового источника пренебрежимо малы в сравнении с теплоемкостью и размерами всего образца. Предполагают также, что открытые участки образца теплоизолированы от среды, а между источником и образцом имеет место идеальный тепловой контакт.

Применительно к НК комплекса теплофизических свойств, широкое применение нашли методы, основанные на импульсном тепловом воздействии от линейного источника тепла. В этом случае идеальный объект контроля представляет собой полубесконечное в тепловом отношении тело, ограниченное плоскостью, на поверхности которого помещены линейный источник тепла и датчик температуры.

Если нагреватель выделяет импульс тепловой энергии Q, то для данной системы будет справедлива математическая модель температурного поля [10]:

где – текущее время от момента подачи теплового импульса; r – расстояние от нагревателя до точки контроля;, a – коэффициенты теплопроводности и температуропроводности материала.

Несмотря на простоту одноимпульсной модели и математического описания температурного поля, в явном виде она трудно реализуема на практике из-за малых величин (порядка единиц градусов) избыточных температур в точке контроля. Для увеличения температуры тепловое воздействие осуществляют серией импульсов. Данному направлению посвящен ряд работ [46 – 70]. Все эти методы базируются на соотношении (1.1), из которого в зависимости от закона подачи импульсов, выбранной схемы контроля температурно-временной зависимости в заданных точках тепловой системы, по принципу суперпозиций, получают расчетные соотношения для определения ТФС.

Рассмотрим несколько экспресс-методов НК ТФС, в основу которых положено использование в качестве источников энергии линейных или плоских импульсных источников тепла, воздействующих на поверхность исследуемых объектов.

Контактный метод НК ТФС материалов и варианты его модернизации представлены в работе [51].

На поверхности исследуемого тела, теплоизолированного от окружающей среды, помещаются линейный импульсный источник тепла и на заданном расстоянии от него рабочие концы термопреобразователей (термопар). После подачи теплового импульса заданной мощности от источника тепла измеряется момент времени 1, когда соотношение между избыточными температурами в двух разноотстоящих от линейного источника тепла точках поверхности исследуемого тела достигнет определенного, наперед заданного значения, согласно зависимости где T1 (x1, 1 ) и T2 (x2, 1 ) – соответственно температура в точках x1 и x2 поверхности тела в момент времени 1 ; n – постоянный коэффициент ( n > 1 ).

Фиксируется мощность источника тепла.

Определение времени 1 осуществляется путем непрерывного сравнения термо-э.д.с. ET1 термопары, расположенной в точке x1, и усиленной в n раз термо-э.д.с. ET2 от термопары в точке x2, а момент времени 1 наступает при достижении равенства ET1 = nET2.

Момент времени, соответствующий условию ET1 = nET2, наступает значительно раньше момента появления экстремума термограммы нагрева, вследствие чего повышается оперативность и уменьшаются неучтенные тепловые потери, что способствует повышению точности метода НК ТФС.

Расчетные формулы для вычисления комплекса ТФС исследуемого материала имеют вид:

Предлагаемый метод [51] позволяет определить весь комплекс ТФС исследуемого тела в течение одного опыта без нарушения структуры материала.

Данный метод НК ТФС выгодно отличается быстродействием, которое увеличивается с увеличением n, сравнительно небольшой погрешностью определения искомых ТФС, вследствие уменьшения тепловых потерь в эксперименте. Метод позволяет легко автоматизировать теплофизический эксперимент, является перспективным для использования в ИВС неразрушающего контроля. Недостатком метода [51] является процедура непрерывного сравнения между собой низких по уровню сигналов двух преобразователей при определении момента времени 1. Для устранения указанного недостатка возможно внести изменение в алгоритм измерения, заключающееся в том, что в заданный момент времени 1 измеряют температуры в точках поверхности тела x1 и x2. Это обстоятельство существенно упрощает реализацию метода НК ТФС и способствует снижению погрешности результатов измерения, так как момент времени 1 может быть задан с высокой степенью точности.

Точность разработанного метода НК ТФС можно повысить, если в два заранее заданные моменты времени 1 и 2 (после подачи теплового импульса) измерять температуру в одной точке поверхности исследуемого тела, расположенной на заданном расстоянии от линии действия источника тепла. При этом повышение точности происходит из-за устранения погрешности от возмущающего действия второго термопреобразователя и от необходимости его расположения в строго фиксированной точке поверхности исследуемого тела.

ТФС исследуемого материала определяются при этом по формулам:

где x1 – координата точки на заданном расстоянии от источника тепла; 1 и 2 – заранее заданные моменты времени контроля температуры в точке x1 ; T1 ( x1, 1 ) и T2 ( x2, 1 ) – температура в точке x в момент времени 1 и 2, соответственно.

К числу основных преимуществ описанных выше методов относится то, что они являются абсолютными и могут быть использованы при градуировке тепловых эталонов, применяемых для сравнительных методов определения теплофизических коэффициентов. Однако это обстоятельство влечет за собой и основной недостаток разработанных методов, заключающийся в том, что при исследовании теплоизоляционных материалов (или близких к ним по теплофизическим свойствам) возрастает погрешность результатов измерения, обусловленная соизмеримостью потоков тепла от источника к исследуемому телу и к изолятору на его поверхности. Эти утечки тепла становятся тем больше, чем ближе по ТФС исследуемое тело и охранный теплоизолятор на его поверхности. Следовательно, разработанные абсолютные способы можно успешно применять лишь для ограниченного класса материалов, а именно, для материалов с высокими значениями коэффициентов тепло- и температуропроводности [51].

Для расширения области применения перечисленных выше методов предлагается использовать тепловой эталон в контакте с исследуемым телом [48]. Под эталонным телом подразумевается материал с известными до определенной степени точности и постоянными ТФС.

Тепловой эталон с известными значениями ТФС ( эт, aэт ), выполненный в виде пластины определенной толщины, приводится в тепловой контакт с исследуемым телом [62]. В плоскости контакта помещается линейный импульсный источник тепла заданной мощности. После подачи теплового импульса регистрируется момент времени 1, когда соотношение между избыточными температурами в двух точках плоскости контакта достигнет заданного значения, определяемого математическим выражением где T1 (x0, 1 ) и T2 (x1, 1 ) – соответственно температура в точках x0 и x1 в момент времени 1 ; n – постоянный коэффициент ( n > 1 ). Точка x0 расположена на линии действия линейного импульсного источника тепла, а x1 – на фиксированном расстоянии от нее.

Для определения комплекса ТФС исследуемого тела измеряется также температура в момент времени 1 в точке, расположенной на линии действия источника тепла, и мощность теплового воздействия. Расчет ТФС осуществляют по формулам:

Данный метод [62] обладает теми же достоинствами, что и предыдущий в отношении быстродействия, объективности установления временного интервала 1 и удобства автоматизации процесса определения комплекса ТФС исследуемого тела. Существенным преимуществом метода является практически неограниченная область применения его для всех твердых однородных изотропных материалов.

С целью увеличения точности определения искомых ТФС описанный выше метод измерения был модифицирован по аналогии с абсолютным методом [51].

Для устранения погрешности от операции непрерывного сравнения низких по уровню сигналов двух термопреобразователей при определении момента времени 1, а также погрешности от возмущающего воздействия второго термоприемника, расположенного на линии действия источника тепла, необходимо в заранее заданные моменты времени 1 и 2 измерить температуру в фиксированной точке плоскости контакта эталонного и исследуемого тел.

В работе [54] предлагается метод неразрушающего контроля ТФС материалов, состоящий в импульсном тепловом воздействии по прямой линии на поверхность исследуемого тела, измерении температуры в точке поверхности тела, расположенной на заданном расстоянии от линии действия источника теплового воздействия, и измерении энергии теплового воздействия, фиксировании интегрального во времени значения температуры с момента подачи теплового импульса до момента наступления максимума термограммы, а также измерении момента времени, когда интегральное во времени значение температуры после наступления максимума температуры станет равным значению зафиксированной интегральной во времени температуры.

Искомые ТФС в этом случае рассчитывают по формулам:

где x1 – координата точки, расположенной на заданном расстоянии от линии действия импульсного источника тепла; 1 – заранее заданный момент времени; x – момент времени, когда интегральное значение температуры на первом интервале времени 1 max равно значению интегральной температуры на втором интервале от max до x ; max – момент наступления максимума температурной кривой; S1 (x1, ), S 2 (x1, ) – интегральное значение температуры на первом интервале времени от 1 до max и на втором от max до x, соответственно.

Таким образом, измерив момент времени x и интегральное во времени значение температуры S1 (x1, ) и, зная мощность теплового воздействия, можно рассчитать значения коэффициентов тепло- и температуропроводности исследуемых тел [54].

В предлагаемом методе измерительная информация о температурно-временных изменениях в объекте исследования снимается на максимальном по амплитуде участке термограммы нагрева. Поэтому относительная погрешность измерений температуры в предлагаемом методе значительно меньше, чем в известных методах, так как большие по амплитуде значения температуры измеряются с меньшей относительной погрешностью.

Доля случайной составляющей общей погрешности измерения в предлагаемом методе меньше за счет того, что измерительная информация усредняется на интервале времени от 1 до x. В представленных ранее методах измерительная информация определяется как мгновенное значение температуры в один фиксированный момент времени. Следовательно, достоверность результатов и помехозащищенность при реализации данного метода возрастают.

Ряд методов НК ТФС предусматривает воздействие на объект измерения источника тепла, имеющего плоский участок нагрева, приводимого в контакт с поверхностью исследуемого объекта. Такое воздействие позволяет значительно упростить математическое описание тепловых процессов в объекте измерения, так как краевые задачи теплопроводности в этом случае трансформируются в одномерные задачи, что в итоге повышает адекватность моделей измерения и точность результатов измерения.

Известен метод [57], согласно которому полубесконечное в тепловом отношении тело приводят в контакт с пластиной, обладающей известными ТФС. Перед началом эксперимента систему исследуемое тело-пластина термостатируют при постоянной начальной температуре. Затем температуру свободной поверхности пластины скачкообразно меняют и потом поддерживают постоянной на новом температурном уровне. После начала теплового воздействия в заданный момент времени 1 измеряют значение теплового потока q( R, 2 ) на поверхности пластины.

Расчет искомых теплофизических свойств осуществляют согласно решению обратной задачи теплопроводности для системы: полуограниченное в тепловом отношении тело–пластина из эталонного материала [57].

Разработан также метод НК ТФС материалов с использованием плоского импульсного источника тепла [55], согласно которому полубесконечные в тепловом отношении эталонное и исследуемое тела приводят в тепловой контакт по ограничивающей поверхности и термостатируют при постоянной начальной температуре. Затем подают тепловой импульс от источника тепла, предварительно помещенного в эталонное тело на заданном расстоянии R от контактной плоскости тел, и в заранее заданные два момента времени ( 1 и 2 ) фиксируют температуру в одном из сечений (с координатой x1). Искомое значение коэффициента температуропроводности рассчитывают по формуле где Рассмотрим ряд способов НК ТФС, в которых тепловое воздействие на объект измерения осуществляется от источника в виде нагретой нити (линейного источника). При этом тепловая энергия от источника подается на исследуемый объект в виде импульсов различной частоты, скважности и амплитуды. В экспериментальной теплофизике такое воздействие часто называют частотно-импульсным или же импульсно-динамическим.

Отличительной особенностью импульсно-динамических методов измерения ТФС материалов является то, что измерительная информация в ходе теплофизического эксперимента регистрируется в дискретной форме (число или частота тепловых импульсов), что позволяет легко преобразовать измерительную информацию в цифровую форму, облегчает реализацию методов измерения на базе процессорных устройств.

Известен метод НК ТФС материалов и готовых изделий [58] на теплоизолированную от внешней среды поверхность исследуемого тела помещают линейный источник тепла заданной мощности и осуществляют тепловое воздействие на тело импульсами с заданной скважностью. Затем фиксируют число импульсов, нанесенных на поверхность тела от начала теплового воздействия до момента установления неизменного значения температуры в точке контроля, расположенной на заданном ближнем расстоянии x1 от линии действия источника. После этого фиксируют число импульсов от начала теплового воздействия до момента, когда температура во второй точке, удаленной на большее расстояние x2 от источника теплового воздействия, достигнет установившегося значения. Установившееся значение температуры в точках контроля x1 и x2 наступает тогда, когда очередной тепловой импульс из серии импульсов теплового воздействия не изменяет температуры, соответственно, вначале в точке x1, затем в точке x2.

Зная значения этих температур и число тепловых импульсов до насыщения, искомые ТФС определяют по формулам:

где x1, x2 – расстояние от линии действия источника тепла до точек контроля температуры, соответственно; n1 – число импульсов, нанесенных на поверхность исследуемого тела от источника тепла до момента времени, когда температура в точке x1 достигает установившегося значения, равного Tуст1 (x1 ) ; n2 – число импульсов, поданных на тело от источника тепла до момента времени, когда температура в точке x2 достигает установившегося значения; Q – мощность линейного импульсного источника тепла.

Таким образом, определив число импульсов теплового воздействия n1 и n2 и зная значение установившейся температуры в точке x1 и мощность одного теплового импульса, можно рассчитать значения коэффициентов тепло- и температуропроводности исследуемых тел.

С целью повышения оперативности вышеописанного метода и повышения точности за счет уменьшения неучтенных тепловых потерь разработан метод НК ТФС [59], согласно которому на поверхность исследуемого тела помещают линейный источник тепла заданной мощности и осуществляют тепловое воздействие на тело импульсами с заданной скважностью. Затем фиксируют число импульсов, нанесенных на поверхность тела от начала теплового воздействия до момента установления наперед заданного значения температуры T1 в точке контроля, расположенной на заданном ближнем расстоянии x1 от линии действия источника. Кроме того, фиксируют число импульсов, поданных источником тепла от начала эксперимента до момента времени, когда температура во второй точке контроля станет равной второму заданному значению T2, а искомые ТФС определяют по формулам:

где x1, x2 – расстояния от линии действия источника тепла до точек контроля температуры; n – число импульсов, нанесенных на поверхность тела до момента времени, когда температура в точке x1 станет равной заданной величине T1 ; m – число импульсов, поданных источником тепла от начала эксперимента до момента времени, когда температура во второй точке x2 достигнет заданного значения T2 ;

– интервал времени между импульсами; i = i ; i – натуральный ряд чисел.

Большой оперативностью и адекватностью математического описания физики тепловых процессов в исследуемом объекте характеризуется метод НК ТФС материалов [56].

На теплоизолированную от внешней среды поверхность исследуемого тела помещают линейный источник тепла. Тепловое воздействие на тело осуществляют импульсами с заданной постоянной частотой. Мощность импульсов, наносимых на тело источником тепла, изменяют от начала воздействия (от первого импульса) в соответствии с условием pi = Q0 i, где Q0 – мощность первого теплового импульса; pi – мощность i -го импульса из пачки импульсов, выдаваемых источником тепла, причем i = t ; t – время действия источника тепла; – интервал времени между импульсами; i = 1, 2, 3,... (натуральный ряд чисел); – постоянный положительный коэффициент. Затем фиксируют число импульсов, нанесенных на поверхность тела, от начала теплового воздействия до момента установления неизменного значения температуры в точке контроля, расположенной на расстоянии x1 от линии действия источника тепла. После этого фиксируют число импульсов, поданных источником тепла от начала воздействия до момента, когда температура во второй точке, удаленной на расстоянии x2 от источника, достигнет установившегося значения. Установившееся значение температуры в заданных точках контроля x1 и x2 наступает тогда, когда очередной импульс из серии импульсов теплового воздействия не изменяет температуру в пределах наперед заданной минимальной величины (порог чувствительности измерительной аппаратуры).

Определив значения установившейся температуры в контролируемых точках поверхности тела Tуст и Tуст2 и число импульсов теплового воздействия n и m, поданных источником от включения до момента насыщения (постоянство избыточной температуры в точках контроля), искомые ТФС определяют по формулам [56]:

Таким образом, определив число импульсов теплового воздействия n и m и значение установившейся температуры, соответственно, в точках x1 и x2, а также, зная мощность первого теплового импульса Q0 и коэффициент, можно определить значения коэффициентов тепло- и температуропроводности исследуемых тел.

Основным преимуществом методов, представленных далее, является поиск в процессе измерения оптимальных значений режимных и энергетических параметров теплофизического эксперимента, что позволяет в условиях недостаточной априорной информации о ТФС объектов измерения исследовать все твердые материалы с полной гарантией сохранения их целостности и эксплуатационных характеристик. Получение измерительной информации в ходе теплофизического эксперимента в число- и частотно-импульсной форме позволяет легко преобразовывать измерительную информацию в цифровую форму, что облегчает реализацию адаптивных алгоритмов измерения на основе процессорных измерительно-вычислительных систем.

Согласно методу, изложенному в работе [63], на теплоизолированную от внешней среды поверхность исследуемого тела помещают линейный импульсный источник тепла. После подачи теплового импульса фиксируют интегральное значение температуры в точке поверхности исследуемого тела, расположенной на заданном расстоянии от линии действия источника тепла. При наступлении равенства интегральных значений температуры до и после максимума термограммы нагрева, который определяется дифференцированием температурной кривой, осуществляется тепловое воздействие на исследуемое тело от того же источника вторым тепловым импульсом, равным по мощности первому импульсу. Затем в момент времени, когда интегральное во времени значение температуры в контролируемой точке с момента подачи второго теплового импульса до момента наступления максимума термограммы станет равным интегральному значению после максимума, воздействуют на исследуемое тело третьим тепловым импульсом той же мощности и т.д. При этом измеряют частоту следования импульсов на исследуемое тело, а искомые ТФС определяют по соответствующим формулам, аналогичным формулам работы [54].

Таким образом, измерив частоту следования тепловых импульсов от источника тепла к исследуемому телу, интегральное во времени значение температуры S1 (x,), и зная мощность теплового воздействия, время наступления максимума термограмм нагрева, можно рассчитать значения коэффициентов тепло- и температуропроводности исследуемых тел [63].

В методе НК ТФС материалов, представленных в работе [64], на поверхность исследуемого тела помещают линейный импульсный источник тепла заданной мощности; осуществляют тепловое воздействие одним импульсом. Затем определяют интервал времени имп 1 и имп 2 от начала теплового воздействия до момента, когда температура в точках контроля x1 и x2 станет равной первоначальной температуре T0, после чего определяют минимальную частоту следования импульсов при которой не происходит роста температуры в исследуемом теле.

Далее увеличивают частоту подачи тепловых импульсов по закону где Tизм – значение избыточной температуры в первой точке контроля; Tзад 1 – наперед заданное значение температуры; T = Tзад1 Tизм – разность значений температуры.

Увеличение частоты следования тепловых импульсов осуществляют до тех пор, пока установившееся интегральное значение контролируемой температуры в точке контроля x1 не станет равным наперед заданному значению Tзад1, и определяют при этом частоту следования импульсов Fx1. Затем продолжают увеличение частоты следования тепловых импульсов по указанной зависимости до тех пор, пока установившееся значение избыточной температуры во второй точке контроля x2 станет равным наперед заданному значению Tзад 2 и определяют соответствующую этому тепловому режиму частоту следования тепловых импульсов Fx2. Установившееся значение температуры достигается в точках контроля тогда, когда очередной импульс не изменяет температуру в этих точках. По найденным значениям частот Fx1 и Fx2 и интервалам имп1, имп2 (времени релаксации термоприемника при действии одиночного импульса) рассчитывают искомые ТФС исследуемого материала по формулам:

Возможно и иное осуществление метода [51]. Применяется только один теплоприемник. После определения частоты тепловых импульсов Fx1, соответствующей равенству текущего значения температуры Tизм наперед заданному значению в точке контроля, увеличивают частоту тепловых импульсов до тех пор, пока значение избыточной контролируемой температуры в этой же точке не достигнет второго наперед заданного значения Tзад 2. Определяют частоту тепловых импульсов Fx2. Искомые ТФС рассчитывают по соответствующим формулам.

Общими недостатками данной группы методов является то, что в них практически не рассматривается влияние конечности размеров нагревателя, его собственной теплоемкости, теплоемкости термоприемников, недостаточно полно используется измерительная информация, полученная в результате теплофизического эксперимента (предполагается использование только отдельных точек термограмм), довольно узкий диапазон контроля ТФС.

Помимо рассмотренных способов НК ТФС, использующих плоские и линейные импульсные источники тепла, нашли применение методы с использованием точечных импульсных источников. Особенности применения данных методов детально представлены в работах [21, 29, 38 – 44, 100].

Анализ импульсных методов показывает, что в их основу положены математические модели температурного поля, которые адекватны только идеальным физическим моделям. Поэтому, реализация их на практике приводит к существенной методической погрешности. В ряде случаев эта погрешность устраняется ценой сужения диапазона за счет проведения относительных измерений на исследуемом и эталонном материалах. Отмечена тенденция создания методов со сложными алгоритмами управления тепловым воздействием и измерениями для получения простых расчетных формул. Однако их использование вызывает трудности при реализации и снижает достоверность конечных результатов.

1.2. МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

ПОСТОЯННОЙ МОЩНОСТИ

Остановимся более подробно на методах, использующих источник тепла постоянной мощности [71 – 88]. Тепловое воздействие постоянной мощности может быть объемным и поверхностным. Объемный источник генерирует теплоту внутри образца, обеспечивая в адиабатических условиях линейное увеличение его энтальпии или внутренней энергии. Поверхностный источник воздействует на ту или иную поверхность образца, создавая через нее постоянный тепловой поток. В отдельных случаях поверхностный источник постоянной мощности может действовать в одном из внутренних слоев образца.

В методе НК ТФС находят применение, главным образом, те схемы и задачи, в которых источник создает внутри образца одномерное температурное поле. Применительно к НК ТФС, наибольшее распространение получили методы, при которых поверхностный источник тепла постоянной мощности действует на ограниченном участке исследуемого образца. В большинстве случаев в качестве источника постоянной мощности используют электрический нагреватель. Иногда для этой цели пригодно высокотемпературное тепловое излучение.

В теплофизических измерениях с точки зрения простоты расчетных соотношений, эксплуатационных возможностей и общей информативности наибольший интерес представляет квазистационарная стадия теплового процесса. На этой стадии температурное поле образца перестает зависеть от начальных условий, а в большинстве случаев и от времени [19].

В неразрушающих методах контроля ТФС различные авторы достаточно активно используют измерительные устройства, базирующиеся на исследовании круглого участка поверхности [21, 47 – 51, 77 – 87].

В работе [77] рассматривается метод, основанный на решении задачи теплопроводности для полуограниченного тела, нагреваемого через участок его поверхности в виде круга радиусом R тепловым потоком q. В методе используются закономерности нестационарного теплообмена, что значительно уменьшает длительность эксперимента. Искомые ТФС определяются путем регистрации измеряемых значений температуры в центре круга в произвольные, но кратные моменты времени n и 2n. Из-за сложности тепловой физической системы не удается получить явные и простые аналитические выражения для расчета искомых ТФС. Поэтому сначала для различных значений n строится график (или составляется таблица) зависимости затем определяется критерий Фурье (Fo), а ТФС определяются из соотношений:

где ierfc(x ) = ( ) exp[ x 2 ] x1 (2 x ) exp[ s 2 ] ds ; T0(0) – начальная температура.

К недостаткам данного метода следует отнести то, что необходима графическая обработка результатов измерения для расчета искомых ТФС, усложняющая практическое его применение.

В работах [83 – 88] рассматриваются методы НК ТФС массивных образцов, с использованием аппарата интегральных характеристик. Рассмотрим данный подход на примере работы [84], в которой рассматривается метод, базирующийся на решении задачи теплопроводности для полуограниченного тела, нагреваемом через участок его поверхности в виде круга радиуса R тепловым потоком q. В методе предлагается измерение интегральной температуры нагреваемого круга S() (поверхностной интегральной характеристики) металлическим термометром сопротивления, уложенным по спирали, близкой к спирали Архимеда. Вводится понятие поверхностной временной интегральной характеристики нагреваемого круга В методе непосредственно снимается экспериментальная зависимость S(). Затем по S(), на основании квадратурной формулы, численно определяют значение поверхностной временной интегральной характеристики – S*(p). Значения коэффициентов теплопроводности определяются на основании установившегося (стационарного) значения Sст = S( ), а температуропроводности – на основании S*(p).

Важным преимуществом данного метода является то, что ТФС предлагается определять на основании информации, полученной с определенной площади образца, что позволяет снизить ошибку измерения в случае исследования дисперсных материалов. Другим преимуществом является то, что для расчета ТФС используется практически вся экспериментально снятая термограмма. Среди недостатков такого подхода необходимо отметить то, что авторы учитывают только погрешность приближенного вычисления интегралов. Предполагается, что подынтегральная функция задается точно, т.е. погрешность измерения S() не учитывается. Другой недостаток заключается в том, что для определения ТФС необходимо проводить эксперимент вплоть до установившегося значения S*ст, что увеличивает длительность эксперимента. Так же не учитывается тот факт, что образец можно рассматривать как неограниченный только определенный промежуток времени.

Интегральным представлениям постоянных коэффициентов теплопереноса посвящены работы Ю.С. Шаталова [101, 102].

К активно развивающимся и перспективным в плане повышения производительности и достоверности методам НК ТФС в настоящее время следует отнести методы, позволяющие проводить исследования на рабочих участках термограмм, где тепловой процесс выходит на стадию регуляризации [50].

Длительность и время появления таких участков связаны аналитическими зависимостями с ТФС нагреваемых образцов.

В работе [88] показана необходимость проведения серий идентичных измерений с целью повышения достоверности получаемых результатов, предложен многостадийный метод.

Все приведенные в работе [100] нестационарные температурные поля, возникающие вследствие нагрева полуограниченного тела локальными источниками тепла, также могут служить аналитическим материалом ("фундаментом") для разработки абсолютных методов комплексного определения ТФС материалов без нарушения их целостности при практической реализации в теплофизическом эксперименте требуемых теоретически-постулированных краевых условий.

При наличии внутри тела объемных тепловыделений необходимо рассматривать неоднородное дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренними источниками тепла [7, 10, 15, 103, 249].

При высокоинтенсивных нестационарных процессах теплообмена в сильно разреженных средах следует рассматривать гиперболическое дифференциальное уравнение теплопроводности, учитывающее конечную скорость распространения тепла [10, 15, 103]. Асимптотическим методам решения дифференциального уравнения теплопроводности посвящены работы [103, 249, 250 ]и др. При нагревании полимеров и различных материалов на их основе часто наблюдаются регистрируемые методами дифференциальной сканирующей калориметрии тепловые эффекты. При НК ТФС эти эффекты могут возникать вследствие структурных превращений (как фазовых, так и релаксационных) и существенно влиять на результат измерения.

Рассмотрим более подробно вопросы, посвященные аналитическим методам решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами.

1.3. СОВРЕМЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В ОБЛАСТЯХ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ

Современные производственные процессы промышленной теплофизики, связанные с высокими технологиями, такими как разработка тепловой защиты летательных аппаратов, упрочнение материалов методами химико-термической обработки, различные виды плавки и кристаллизации, и многими другими, потребовали достаточно точного математического моделирования и развития аналитической теории нестационарного переноса [103, 105, 107 – 109].

Введение дополнительных факторов в постановку краевой задачи даже линейного типа (движение границы области; временная или пространственная зависимость теплофизических характеристик среды и т.д.) приводит к необходимости разработки специального математического аппарата, который, как правило, дает приближенное решение задачи и оказывается эффективным для получения точного решения задачи только в определенной ситуации [233 – 237].

Процессы нестационарного переноса [103], описываются уравнением вида где – оператор Лапласа по координатам точки М; b 2 = const ; – вектор скорости движущейся цы, = 1i + 2 j + 3k, i, j, k – единичные векторы, ( i = const, i = 1, 2, 3).

При использовании метода произведения решений для многомерной области, можно ограничиться одномерным случаем:

в нецилиндрической области = {(x, ) : x [0, ()] ; x [(), ] ; x [1 (), 2 ()], 0}, где все () – непрерывно дифференцируемые функции, заданные в классических задачах переноса для уравнений параболического типа или подлежащие нахождению в задачах Стефана и более сложных типа Стефана для уравнения теплопроводности со свободной границей.

Качественной теории краевых задач для линейных уравнений (1.3) и квазилинейных типа (1.3) в, касающейся теорем существования и единственности решений, принципа максимума, априорных оценок, асимптотического поведения решений, посвящены многочисленные публикации, список которых приведен в работах [103, 107 – 109]. В [109, 233 – 235] приведена обширная библиография публикаций (отечественных и зарубежных), посвященных нахождению аналитических решений соответствующих краевых задач для уравнения в нецилиндрических областях, включая многослойные области с подвижными границами, а также сингулярно возмущенные краевые задачи нестационарного переноса в областях сложной формы. Фактически речь идет об обобщении "метода отражений" ("изображений"), допускающего перенос на более сложные случаи: системы параболического и гиперболического уравнений;

задачи Стефана и типа Стефана; задачи с несколькими малыми параметрами и т.д. Заслуживают также внимания работы по геометро-оптическому асимптотическому методу решения линейных и нелинейных сингулярно возмущенных задач нестационарного переноса в многослойных средах с дефектами типа трещин (нецилиндрические области), включающие литературу по термомеханике в областях с движущимися границами [103, 107, 278].

Что касается нахождения точных аналитических решений краевых задач для уравнения (1.2) в, то ситуация здесь менее благополучная.

( i = const ), отдельные частные случаи для однородного уравнения (1.3) при постоянных значениях краевых функций или функций, допускающих автомодельные решения, приведены в [103], причем, в основном, это касается декартовой системы координат, цилиндрических и сферических координат в условиях симметрии (радиальный случай). Перечисленные ниже аналитические подходы дают возможность существенно уменьшить указанный пробел в аналитической теории нестационарного переноса [103, 233 – 237, 278].

1. Метод функций Грина развит в основном для с ( ) = l +. Всякий случай нахождения функции Грина весьма важен, так как позволяет записать интегральное представление решения задачи через неоднородности в исходной постановке.

2. Модифицированный метод тепловых потенциалов применяется при построении функции Грина в для () = l +, но может быть использован и при решении исходной задачи. Операционная форма исходного потенциала устанавливает вид неизвестной плотности в пространстве изображений по Лапласу, что приводит, в конечном счете, к решениям в новой аналитической форме.

3. Метод контурного интегрирования обобщает классические интегральные преобразования на нецилиндрические области [0, ()], 0 вырожденного и невырожденного видов для классических задач, задач Стефана и типа Стефана. Метод приводит к аналитическим решениям в новых функциональных формах.

4. Метод функциональных преобразований, основанный на введении подвижной системы координат, в которой исходная краевая задача допускает применение классических подходов для широкого класса законов движения границы, включая области, изменяющиеся c сохранением и без сохранения подобия в одно-, двух- и трехмерных случаях.

5. Метод дифференциальных рядов для области x [0, ( )], 0 особенно эффективен при рассмотрении обратных задач Стефана для области невырожденного типа. Метод основан на использовании функционального ряда, общий член которого содержит производные любого порядка от краевых функций задачи и закона движения границы. Следует отметить, что установление скорости сходимости такого рода рядов – открытая проблема указанного подхода [235].

Таким образом, задачи указанного класса являются одними из наиболее сложных не только в теории теплопроводности, но и в математической физике, так как решение задачи ищется в области, граница которой движется по закону, который неизвестен (задачи стефановского типа). Закон движения границы подлежит определению самосогласованным с искомым температурным полем способом из дополнительного физического условия, задаваемого на движущейся межфазной границе (МГ). Поэтому при решении задач стефановского типа, в общем случае, не применимы классические методы математической физики, так как при этом не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с изменением во времени области теплопереноса.

Указанное обстоятельство обусловило разработку различных специальных аналитических методов решения задач стефановского типа, позволяющих найти приближенные аналитические выражения для закона движения МГ и температурного поля. Наиболее существенные результаты, полученные в этой области теории теплопроводности, представлены в [103, 233 – 237, 253, 267, 268, 270, 278, 287 – 303].

Однако аналитические выражения даже для конкретных, известных законов движения МГ приближенные, имеют весьма сложный вид и поэтому их использование в методах неразрушающего контроля ТФС затруднительно.

1.4. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКАЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ АППАРАТУРА

Дифференциальные сканирующие калориметры, выпускаемые фирмой "Perkin-Elmer", получили наибольшее распространение в научных исследованиях. Прибор DSC-2 является наиболее удачной и распространенной моделью этой фирмы [141]. Ячейки этого калориметра изготовлены из платины и имеют относительно малую массу, что позволяет получить интервал скоростей 0,3…320 К/мин и предельную рабочую температуру до 700 °С. Поток инертного газа, подаваемого в прибор, за счет конвекции обеспечивает интенсивный теплообмен между образцом и оболочкой калориметра, температуру которой можно поддерживать постоянной до –170 °С (при использовании жидкого азота) [316]. Относительная погрешность измерения удельной теплоемкости и энтальпии составляет менее 7 %.

Другая модель прибора, выпускаемого фирмой "Perkin-Elmer", DSC-4, по конструкции аналогична модели DSC-2. Калориметр DSC-4 снабжен микропроцессором, благодаря чему упрощаются проведение эксперимента и обработка данных. Интервал скоростей нагревания составляет 0,1…200 К/мин; уровень шума – 4 мкВт [315, 316]. DSC-7 – более совершенная модель калориметров этой фирмы. В нем используется автоматическая настройка базовой линии и компьютерная обработка экспериментальных данных.

Промышленным изготовлением дифференциальных сканирующих калориметров занимаются также фирмы "Ригаку" (Япония), "СЕА Гренобль" (Франция). В приборах фирмы "Ригаку" оболочка, в которую помещен образец, может линейно нагреваться со скоростью от 0,6 до 160 К/мин до температуры 800 °С. В приборе фирмы "СЕА Гренобль" теплообмен калориметрического вещества с оболочкой практически полностью исключен, так как эксперимент проводят при вакуумировании калориметрической системы. Нагревание элементов калориметрической системы происходит с одинаковой скоростью 0,5…6 К/мин. Интервал рабочих температур прибора от –198 до 320 °С [315, 316].

Из отечественных приборов, выпускаемых серийно, наиболее распространены ДСМ-2М и ДАСМ, разработанные СКБ "Биоприбор". Интервал рабочих температур 0…100 °С; скорость нагревания 0,1…2 К/мин.

Приборы, работающие по методу дифференциального термического анализа (ДТА), выпускаются фирмами Du Pont, Stone, Fisher, Mettler, Setaram и др. Приборы, работающие по методу ДТА, способны работать при более высоких температурах, чем приборы ДСК. К примеру, нагреватели, применяемые в термоанализаторах фирмы Mettler, работают в интервале температур от –150 до 2400 °С. Выбор нагревательного элемента и типа печи зависит от исследуемого интервала температур [315].

Характеристики отечественных приборов, предназначенных для определения ТФС твердых и сыпучих материалов, даны в работах [19 – 21, 25 – 29].

Изготовление отечественных промышленных теплофизических приборов, предназначенных для проведения массовых теплофизических измерений, началось с прибора, разработанного в Ленинградском технологическом институте холодильной промышленности (ЛТИХП), ИТ--400, предназначенного для измерения теплопроводности в широком интервале температур. Институтом также создан ряд приборов, позволяющих проводить измерения ТФС твердых материалов на основе базовой модели ИТИТ--400; ИТ-а-400; ИТС-400; ИТС-2; ИТЭМ-I. Данные приборы позволяют проводить измерения ТФС в области температур 0…400 °С в режиме непрерывного разогрева с погрешностями до 10 % [21].

Характерной особенностью этого оборудования является то, что оно рассчитано на обслуживание оператором с последующей обработкой информации [21]. Из зарубежных аналогов следует отметить приборы, выпускаемые фирмой Showa Denko K.K (Япония), которые воплотили в себе новейшие достижения современной электроники, имеют высокую точность, сравнительно малый вес, надежны в эксплуатации [27]. Приборы Shotherm QTM-D2 (Япония), Shotherm QTM-F1 (Япония), приборы модели ТСяпонской фирмы Ulvac Corp., приборы фирмы Netzsch-Geratebau GmbH (ФРГ) предназначены для контроля только теплопроводности твердых материалов. Диапазон измерения теплопроводности до Вт/(мК), температурный диапазон 20…150 °С. Погрешность измерения составляет около 6 %.

Теплофизическая измерительная аппаратура, представленная в этом разделе, реализует методы определения ТФС на специально подготовленных образцах и не может быть применена для НК ТФС.

1.5. РЕШЕНИЕ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПРИ НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ

Известно, что задачи по определению ТФС и других свойств материалов относятся к классу обратных задач моделирования [95 – 99]. Например, ТФС определяются на основе косвенных измерений – по температурному отклику образца на внешнее тепловое воздействие. Такие задачи, в общем случае, являются некорректно поставленными по Адамару [97, 98] и требуют, чтобы исследователи учитывали этот факт при построении математической модели процесса измерения ТФС. В литературе [97] в течение длительного времени была широко распространена точка зрения, что только корректно поставленные математические задачи могут описывать физические явления. Позже, помимо требований корректности по Адамару, было сформулировано понятие корректности по Тихонову [98]. Подход А.Н. Тихонова позволил теоретически обоснованно решать обратные задачи, в том числе – обратные задачи теплопроводности.

Требования корректности к задаче удовлетворяются, если задача формулируется следующим образом [97].

Необходимо найти решение a по входным (экспериментальным) данным t с использованием зависимости a = R(t), где R – некоторый оператор. Например, a и t принадлежат многообразиям A и T, для элементов которых определено расстояние (метрика) A(a1, a2) и T (t1, t2). Здесь a1, a2 A; t1, t2 T. A и T – метрические пространства. Для корректной формулировки задачи должны выполняться три требования:

1) для всякого t T существует решение a из A (существование решения); 2) решение определяется однозначно (однозначность решения); 3) решение должно непрерывно зависеть от входных данных (устойчивость решения).

Обратные задачи теплопереноса являются частным случаем широкого класса некорректно поставленных задач. Приведем формулировку обратной задачи теплопроводности так, как это сделано для всего класса обратных задач В.Я. Арсениным и А.Н. Тихоновым [96 – 98].

Пусть изучаемое тепловое явление характеризуется элементом aT, принадлежащим многообразию A (aTA). Часто элемент aT недоступен для прямого изучения и поэтому изучается некоторое его проявление f(aT) = tT, tT f(A). Здесь f(A) – образ множества A при отображении f. Уравнение f(a) = t имеет решение только для таких элементов t, которые принадлежат множеству f(A). Элемент – температура tT – обычно получается путем измерений и поэтому известен приближенно. Пусть t – приближенное значение, тогда речь идет о нахождении приближенного к aT решения уравнения При этом t не принадлежит множеству f(A) – всему температурному полю данного объекта. Оператор f во многих случаях является таким, что обратный ему оператор f -1 не является непрерывным. В этих случаях нельзя в качестве приближенного решения брать точное решение уравнения (1.4) с приближенным t, т.е. нельзя в качестве приближенного решения брать элемент a = f –1(t), так как такого решения может и не быть, поскольку a может не принадлежать множеству A. Значит, не выполняется первое требование корректности по Адамару. Такое решение, если даже оно существует, не будет обладать свойством устойчивости, так как оператор f –1 не является непрерывным. Условие устойчивости задачи (1.4) обычно является следствием ее физической детерминированости, поэтому приближенное решение должно обладать этим свойством. Для обратного оператора f –1 не выполняется третье условие корректности по Адамару. Следовательно, задача (1.4) является некорректно поставленной. Физическая интерпретация результатов измерений из-за неустойчивости может оказаться невозможной.

Возникает вопрос, что считать приближенным решением уравнения (1.4)? Если ответить на этот вопрос, то задача будет состоять в нахождении алгоритмов построения приближенных решений уравнения (1.4), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям входных данных. Эти алгоритмы и называют решением обратной задачи [97].

Обобщим вышесказанное на случай определения ТФС материалов. Некорректность задачи по определению ТФС материалов будет определяться двумя основными факторами:

– непосредственно снимаемые экспериментальные данные (чаще всего температура) измеряются с определенной погрешностью (случайной);

– математическая модель, описывающая процессы, происходящие при измерении, является приближенной, вследствие чего при обработке экспериментально снятой информации возникают систематические погрешности.

Рассмотрим, как эти два фактора проявляют себя при обработке экспериментальных данных. Будем считать, что в процессе эксперимента измеряется температура в фиксированные моменты времени и в заданной точке исследуемого образца. Тогда можем записать где Tэкс – экспериментально снимаемая температура; Tм – температура, полученная решением математической модели, положенной в основу метода измерения; Tсл – случайная составляющая погрешности измерения температуры; Tсист – систематическая составляющая погрешности, вызванная тем, что математическая модель приближенно описывает процессы, происходящие при измерении; i – моменты времени измерения температуры.

Погрешность Tсл рассматривается как случайная величина с нормальным или другим законом распределения. Ее конкретная величина будет определяться прежде всего используемыми техническими средствами. Кроме того, при исследовании композиционных материалов, представляющих собой сложные гетерогенные системы, к погрешности Tсл будет добавляться погрешность, связанная с различием локальных значений ТФС от их средних значений для данного материала.

Погрешность Tсист будет в общем случае величиной, зависящей от времени и свойств материала.

Температура Tм представляет собой функцию времени, связывающую измеряемую температуру с геометрическими размерами, начальными и граничными (видом теплового воздействия) условиями, а также ТФС исследуемого материала. Вид функции Tм считается неизвестным, т.е. можно записать где {a j } – коэффициенты (параметры) модели, по которым определяются искомые ТФС (параметры aj являются функцией ТФС материала).

В свою очередь, для Tсист также можно записать где {b j } – коэффициенты, зависящие от ТФС исследуемого материала и неучтенных факторов. В качестве этих факторов обычно выступают термические сопротивления, теплоемкости нагревателей и термоприемников и др. Причем конкретный вид уравнения (1.7) обычно неизвестен.

Для обработки экспериментальных данных, с целью расчета ТФС, обычно используют два варианта.

По первому варианту, который, применительно к неразрушающим контактным методам, используется чаще всего, ТФС определяются на основе отдельных измерений температуры в заданные моменты времени. Например, если определяются два теплофизических свойства, то записывают два уравнения, соответствующих моментам времени k1 и k2:

Так как Tэкс(k1), Tэкс(k2), k1, k2 известны, то, решив систему (1.8) – (1.9), находят коэффициенты a1, a2, а по ним – искомые ТФС. Такой вариант решения обратной задачи имеет следующие недостатки. Вопервых, используется только малая часть полученной измерительной информации. Во-вторых, погрешность определения ТФС зависит от выбора k1, k2 и определяемых ТФС (см. (1.5), (1.7)). Причем, ошибочный выбор k1, k2 может привести к тому, что Tм(k) будет по величине сравнима с Tсист(k) и погрешность определения ТФС будет неоправданно высокой. В-третьих, вследствие того, что ТФС определяются на основе отдельных измерений, значительное влияние на точность определения ТФС будет оказывать погрешность, связанная с неоднородностью исследуемого материала, что особенно важно для композиционных материалов.

По второму варианту ТФС определяются на основе всей снятой термограммы. В этом случае чаще всего используют следующий подход. Считают, что экспериментальные данные описываются уравнением (1.6) на всем временном интервале измерений. Затем, по методу наименьших квадратов проводится оценка параметров модели {a j }. Здесь предполагается, что где i – ошибка [111], имеющая известное распределение (обычно нормальное) с математическим ожиданием, равным нулю.

Кроме того, предполагается, что i не зависит от. Однако, если сравнить (1.3) и (1.8), то можем видеть, что На самом деле i не является случайной величиной с математическим ожиданием, равным нулю, и, кроме того, i зависит от. Из теории математической статистики известно, что в этом случае оценки параметров модели {a j } будут смещенными и неэффективными [111]. Практически, это означает, что при подобном подходе погрешность определения коэффициентов {a j } может быть выше, чем при первом варианте обработки экспериментальных данных (определенные при таком подходе значения {a j } могут не соответствовать их физическому смыслу, например, оказаться отрицательными, когда по своему физическому смыслу должны быть положительными). Кроме того, так как модель Tм = Tм ({a j }, i ) в общем случае является нелинейной как по параметрам ({a j }), так и по независимой переменой (), то значения {a j } будут также зависеть от начально заданного приближения (неустойчивость модели).

Вышесказанное особенно важно для контактных методов НК ТФС, так как здесь на ход эксперимента оказывают влияние гораздо больше факторов, чем в случае, если ТФС определяются при помощи стационарной установки на специально подготовленных образцах. И даже если удается получить вид зависимости Tсист = Tсист ({b j }, ), то для ее вычисления требуется информация, которая априорно неизвестна (например, термические сопротивления) или трудноопределима (например, теплоемкость нагревателя).

Часто, для уменьшения влияния Tсист, используют так называемую модель введения поправок [152 – 154]. Суть ее заключается в следующем. На основании уравнений типа (1.8), (1.9) определяют расчетные значения контролируемых параметров. А затем по модели введения поправок, связывающей расчетные параметры с действительными значениями ТФС, определяются искомые ТФС. Собственно модель введения поправок строится на основе эмпирической формулы (чаще всего полинома), и для нахождения коэффициентов этой модели необходимо иметь ряд образцовых мер ТФС.

Такой подход имеет следующие недостатки. Во-первых, не решается вопрос о более полном использовании информации, полученной в результате эксперимента (так как используются отдельные точки термограммы). Во-вторых, остается нерешенным вопрос о выборе моментов времени, в которые необходимо проводить измерения. В-третьих, так как модель введения поправок базируется на эмпирической формуле, то для расчета ее параметров необходимо иметь достаточное количество образцов с известными ТФС. Причем диапазон достоверного определения ТФС по этой модели будет определяться имеющимися образцами с известными ТФС.

Анализ литературных данных показал, что наиболее точно учитываются как систематические, так и случайные погрешности в методах, основанных на регулярном тепловом режиме [8, 9]. А.В. Лыковым было показано [10], что регулярные тепловые режимы первого и второго рода имеют общее свойство, которое характеризуется независимостью от времени отношения теплового потока q в любой точке тела к потоку тепла на его поверхности qп. В частном случае, когда на поверхности образца действует источник тепла постоянной мощности, в теле возникает стационарное поле тепловых потоков.

Характерной особенностью методов измерения ТФС, основанных на регулярном тепловом режиме, является простота расчетных формул. Математическая модель, описывающая термограмму, чаще всего является линейной по параметрам или легко линеаризуется. Систематические погрешности учитываются в виде независимых от времени и простых по форме поправок. Основная часть этих методов базируется на моделях для тел конечных размеров (пластина, цилиндр, шар). Большая же часть методов НК базируются на моделях полупространства (плоского, цилиндрического, сферического). Можно показать, что вышеприведенное высказывание А.В. Лыкова применимо и для методов, базирующихся на моделях подпространства. Однако в этом случае нужно говорить не о регулярном тепловом режиме для всего тела в целом (так как оно принимается неограниченным), а о регуляризации теплового процесса только для какой-то определенной области тела. Ход термограммы будет определяться, прежде всего, внутренними слоями исследуемого образца.

Отсюда можно сделать вывод, что, если проводить измерение ТФС основываясь только на участках термограммы, соответствующих регуляризации теплового режима в области нагревателей и термоприемников, то, во-первых, расчетные соотношения будут простыми и во многих случаях линейными по параметрам; во-вторых, систематические погрешности будут либо значительно меньшими, чем случайные, либо будут носить постоянный характер, т.е. не будут зависеть от времени (Tсист = const).

Анализируя вышесказанное, можно сделать вывод, что методы неразрушающего контроля ТФС материалов отличаются сложностью, так как требуют измерения не только основных информативных параметров теплового процесса, таких как температура, тепловой поток, пространственно-временных характеристик, но и, во-первых, осуществлять активное воздействие на объект измерения в соответствии с заданным алгоритмом; во-вторых, с учетом изменения состояния и параметров объекта осуществлять адаптивный поиск в процессе измерения режимных и энергетических параметров теплофизического эксперимента с целью повышения метрологического качества результатов измерений; в-третьих, предусмотреть такой вид теплового воздействия, чтобы обеспечить адекватность математических моделей, описывающих физику тепловых процессов в исследуемых объектах; в-четвертых, создать такие условия и алгоритмы, чтобы измерительная информация о температурно-временных измерениях в контролируемых объектах регистрировалась в частотно-импульсной или число-импульсной форме, что в значительной степени повышает помехозащищенность, позволяет легко преобразовать измерительную информацию в цифровую форму, а это также способствует улучшению метрологических характеристик.

Поэтому, методы НК ТФС материалов и изделий можно эффективно реализовать только на основе разработки и применения измерительно-вычислительных систем ИВС, которые позволяют ускорить и полностью автоматизировать проведение теплофизического эксперимента, адаптивно изменять режимные и энергетические параметры процесса измерения с целью обеспечения адекватности физической и математической моделей тепловых процессов. Применение ИВС позволяет осуществлять адаптивную алгоритмическую коррекцию на тепловые потери в окружающую среду, термическое сопротивление в зоне контакта измерительного зонда с объектом измерения, на изменение начальной температуры и влажности исследуемых материалов и на другие дестабилизирующие факторы.

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОГОМОДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОВЫХ

МЕТОДОВ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ

В случае неразрушающего контроля материалов активными тепловыми методами (рис. 2.1) искомые ТФС проявляются через температурный отклик ( T () ) исследуемого образца на тепловое воздействие (q), которому подвергается образец (или изделие) в специально организованном эксперименте.

Рис. 2.1. Схема измерительного процесса:

Н – нагреватель, ТП – термоприемник, ИЗ – измерительный зонд

2.1. ИЗВЕСТНЫЕ ПОДХОДЫ К ОБРАБОТКЕ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

ПРИ НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

В настоящее время для обработки данных эксперимента при НК ТФС материалов тепловыми методами в основном применяется два подхода.

Первый предполагает получение и использование эмпирических зависимостей на основе проведения большого числа экспериментов во всем диапазоне контролируемых свойств и материалов. Достоинством данного подхода является простота математического обеспечения измерительных систем, а следовательно, возможность их реализации дешевыми техническими средствами. Существенный недостаток – достаточную точность можно обеспечить лишь для узкого класса материалов.

Второй подход предусматривает использование аналитических моделей, получаемых решением классических задач теплопроводности. Достоинством таких методов является достаточно высокая точность в широком диапазоне исследуемых свойств. Однако, несмотря на относительно точное и, вместе с тем, громоздкое математическое описание динамики тепловой системы, оно все равно не может учесть всех индивидуальных особенностей конкретных процессов измерения. Более того, сопоставление расчетных и экспериментальных термограмм показывает невозможность их точного совпадения на всем временном интервале. Эти обстоятельства не позволяют гарантировать для методов второго подхода отсутствие значительных погрешностей во всем диапазоне измерения. Поэтому целью настоящего исследования является разработка теплофизических многомодельных методов, позволяющих использовать достоинства и уменьшить недостатки обоих упомянутых подходов.

2.2. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ПРИМЕНЕНИЯ

ТЕОРИИ МНОГОМОДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОВЫХ МЕТОДОВ

Анализ процессов измерения, их моделей и источников погрешностей показывает, что в пределах временного интервала измерения в тепловой системе могут происходить существенные изменения, которые не позволяют описывать весь процесс измерения одной аналитической моделью с неизменными ограничениями и условиями (рис. 2.2). Неучет данного обстоятельства ведет к существенному увеличению погрешностей при определении ТФС неразрушающими методами.

v1, v2, v3 – обозначают, что расчетные уравнения имеют различный Основными источниками погрешностей для ИВС, использующих тепловые методы, являются следующие:

1) не соблюдается условие соответствия тепловой системы одной из классических моделей процесса теплопереноса, например, модели полупространства;

2) нарушается допущение относительно постоянства плотности теплового потока от нагревателя;

3) не выполняются условия о направлении теплового потока вследствие конечных размеров нагревателя;

4) не соблюдается предположение об адекватности аналитической модели процессу теплопереноса.

Если на временном интервале процесса измерения могут изменяться вид основного уравнения теплопроводности или граничные условия, то данную тепловую систему нельзя рассматривать как систему, которая весь период измерения находится в одном состоянии функционирования h, т.е. при неизменном основном уравнении (операторе) и граничных условиях.

Рассмотрим измерительный зонд и исследуемое тело с позиции динамической системы. Выделим следующие основные переменные системы (рис. 2.3): вектор входа q, характеризующий тепловое воздействие; вектор переменных состояния z, в качестве которого рассматриваются значения температур в характерных точках системы; вектор выхода y – значения температур в точках контроля T.

При смене условий (режимов), определяющих характер изменения переменных состояния z, будем говорить, что тепловая система переходит из одного состояния функционирования hi в другое hi+1. Тогда все возможные состояния hi, i = 1, 2, … тепловой системы – множество состояний функционирования (МСФ) H.

Рис. 2.3. Структурная схема модели процесса измерения на МСФ Основу математической модели для данного состояния функционирования h составляют:

1) дифференциальное уравнение теплопроводности (ДУТ), например, 2) начальные условия (НУ), например, T (x, 0) = f (x ) ;

3) граничные условия (ГУ), например, Здесь T (x, ) – температура тела при значении x – вектора пространственных координат в момент времени ; Tп – температура поверхности тела; Tср – температура внешней среды; xп – координаты поверхности тела; a,, – коэффициенты температуропроводности, теплопроводности и теплоотдачи, соответственно; 2 – оператор Лапласа; qп – удельная поверхностная мощность от действия внешнего источника тепла.

Множество таких моделей для всех h H образуют модель на МСФ МH.

Мощность множества состояний функционирования H системы и характер изменения значений переменной z в основном будут определяться:

• размерностью пространственной координаты x ;

• видом граничных условий (образец неограниченный, образец ограниченный);

• стадией процесса (начальная, регулярная, стационарная стадии).

На основании вышеизложенного можно сформулировать исходные предпосылки для использования многомодельного подхода к НК ТФС материалов.

Во-первых, состояния функционирования измерительной системы в ходе эксперимента претерпевают изменения, т.е. не остаются постоянными ДУТ, НУ, ГУ.

Во-вторых, применительно к полученным термограммам можно выделить (идентифицировать) участки, на которых наблюдается хорошее совпадение экспериментальных и расчетных значений температур, и участки, для которых построение точных аналитических моделей вызывает большие теоретические трудности.

В-третьих, в целях повышения достоверности (надежности) получаемой информации о ТФС материала появляется возможность за одну реализацию эксперимента определить ТФС с использованием различных математических моделей, адекватно отражающих процессы теплопереноса.

МНОГОМОДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОВЫХ МЕТОДОВ

В основе многомодельного теплового метода лежат следующие предположения:

1) на термограмме имеются участки, для которых обеспечивается высокая точность совпадения с результатами вычислений по аналитическим моделям. Причем этим участкам соответствуют тепловые режимы опыта, вышедшие на стадию регуляризации;

2) участки экспериментальных и рассчитанных по моделям термограмм имеют место для всего класса исследуемых материалов;

3) для участков существуют удобные вычислительные соотношения, позволяющие однозначно определить значения теплофизических свойств в зависимости от параметров аналитической функции, описывающей термограмму на данном временном интервале.

Так как метод определения ТФС не предполагает идентификацию всего температурного поля, а требуемые параметры определяются по значениям x() = (x(), [ 0, к ] ) и y (, x ) = ( y (, x ), [ 0, к ]), то аналитическая модель может быть представлена одним оператором, ставящим в соответствие значениям или здесь T, X, Z, X (), Y – множества, соответственно, значений, ( 0 ), x, z ( 0 ), x(), y.

Определение 1. Будем говорить, что ИВС на временном интервале [, ] находится в одном состоянии функционирования (или операторном состоянии) h, если на этом интервале времени процесс измерения адекватно описывается одним (известным) оператором и соблюдаются необходимые ограничения и условия. Модель процесса измерения в состоянии h обозначим Mh. Система выходит из состояния h, когда модель Mh перестает быть адекватной реальному процессу измерения. Такое состояние функционирования h будем называть четким или однородным. Все четкие состояния h, в которых может находиться ИВС на временных интервалах измерения, образуют подмножество однородных состояний H o.

Наряду с H o вводится подмножество нечетких состояний функционирования.

Определение 2. ИВС на временном интервале [,] находится в нечетком (или переходном) состоянии функционирования h, если описание процесса измерения на этом интервале одним известным оператором с соответствующими условиями и ограничениями можно признать лишь приближенно, с некоторой степенью уверенности. В состоянии h процесс может быть представлен суперпозицией (взвешенной суммой) различных операторов, при этом "веса" этих операторов не остаются постоянными.

Например, модель в нечетком состоянии h в момент времени может быть записана в виде где M hi, M h j – модели в четких состояниях hi и h j ; k () – весовой коэффициент, изменяющийся во времени.

Нечетким состояниям h соответствуют функции принадлежности, характеризующие степень уверенности в том, что вместо модели M h можно использовать одну из моделей четкого состояния M hi. Все нечеткие состояния h, которые могут иметь место для ИВС на временных интервалах измерения, образуют множество переходных состояний H п. Множество нечетких состояний H п обусловлено наличием временного интервала выхода ИВС на рабочий режим, влиянием краевых эффектов и т.п.

Определение 3. Общее множество состояний функционирования H для ИВС представляет собой объединение множеств четких H o и переходных H п состояний, т.е. H = H o U H п.

Определение 4. Модель процесса измерения на множестве H (обозначим как M H ) образуется совокупностью моделей M h, h H o и M h, h H п, т.е. M H = {M h, h H }.

Из состояний h H o и h H п можно построить траекторию h() изменения состояний функционирования тепловой системы на временном интервале измерения, например, Определение 5. Траекторию h(), в которой происходит чередование состояний h H п и h H o, будем называть типовой, а ее запись типовой формой.

В зависимости от степени определенности факторы, вызывающие изменения состояний функционирования, можно разбить на две группы. Факторы первой группы вызывают предсказуемые изменения h или h, связанные с особенностями протекания процесса измерения, например, отклонением размеров реального датчика от размеров теоретически идеального образца, используемого в аналитической модели. Вторая группа факторов носит случайный характер, например, нарушение работоспособности отдельных элементов конструкции ИВС. Такие изменения состояний функционирования случайны, достаточно редки и их предсказать нельзя.

Утверждение 1. Если на временном интервале измерения [0, к ] отсутствуют непредсказуемые изменения состояний функционирования, то траектория h() может быть представлена в типовой форме (2.1).

Это следует, во-первых, из того, что время перехода из одного четкого состояния в другое конечно и на этом промежутке времени можно ввести нечеткое состояние h. Во-вторых, несколько, следующих друг за другом, нечетких состояний можно объединить в одно.

Для четких состояний h H o проверка адекватности моделей M h производится аналогично тому, как это делается для традиционных моделей, не учитывающих изменение состояний функционирования. Однако исключительно важное значение здесь приобретают задачи идентификации состояний h и Задача идентификации состояния функционирования заключается в определении по измеренным с временным шагом значениям y ( 0 + i ), i = 0, 1, 2, K и известным входным воздействиям x( 0 + i ), i = 0, 1, 2, K моментов смены состояний функционирования j и значения нового состояния функционирования h j +1.

Согласно утверждению 1 в отсутствии непредсказуемых изменений состояний функционирования модель процесса измерения на множестве H представляет собой кортеж моделей вида Определение 6. Идентифицируемые состояния функционирования h H o, в которых измеренные значения компонент вектора фазовых координат можно использовать для расчета исследуемых свойств материалов, будем называть рабочими; они образуют подмножество рабочих состояний функционирования H p H o.

Модели M h, h H p используются при разработке математического обеспечения ИВС.

Процедуру определения ТФС можем представить в виде следующих операторов:

четных уравнений { T (i / vk )} осуществляется поиск участков термограмм {} кватно описывают тепловой процесс. Такие участки будем называть "рабочими", k – номер рабочего участка.

2 : { T (i )} {d j }k – по рабочим участкам термограмм определяются параметры аналитических моделей {d j }k.

{ } {ТФС} – на основании параметров {d j }k определяются искомые теплофизические свойd j k ства.

Расчетные уравнения, описывающие термограмму на рабочих участках, будем искать на основе анализа решений соответствующих краевых задач.

3. МЕТОД НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА

НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА ТЕПЛОПЕРЕНОСА

ОТ ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА

ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ СХЕМА МЕТОДА С ЛИНЕЙНЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ИСТОЧНИКОМ

ТЕПЛА ПРЕДСТАВЛЕНА НА РИС. 3.1. ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ИССЛЕДУЕМОЕ ТЕЛО С РАВНОМЕРНЫМ НАЧАЛЬНЫМ ТЕМПЕРАТУРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ, ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНОГО ИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА (НАГРЕВАТЕЛЯ). В ЭКСПЕРИМЕНТЕ ФИКСИРУЕТСЯ ТЕМПЕРАТУРА НА ЗАДАННОМ РАССТОЯНИИ ОТ НАГРЕВАТЕЛЯ.

ПРОВЕДЕМ АНАЛИЗ ДАННОЙ СИСТЕМЫ. РАССМОТРИМ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА ТЕПЛОПЕРЕНОСА ОТ ЛИНЕЙНОГО ИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА

ТЕПЛА, ДЕЙСТВУЮЩЕГО НА ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ТЕЛА.

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ИССЛЕДУЕМОМ МАТЕРИАЛЕ ОТ ОДНОГО ИМПУЛЬСА

(ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОСТИ ТЕЛА) БУДЕТ ОПИСЫВАТЬСЯ

где Q – количество тепла, выделившееся на единице длины нагревателя; r – расстояние от нагревателя;

– время; – коэффициент теплопроводности; a – коэффициент температуропроводности.

Рис. 3.1. Измерительная схема метода с линейным импульсным источником тепла

ЕСЛИ ПОДАЕТСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ N + 1 ТЕПЛОВЫХ ИМПУЛЬСОВ С ПЕРИОДОМ, ТО ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ОБРАЗЦЕ БУДЕТ ОПРЕДЕЛЯТЬСЯ ВЫРАЖЕНИЕМ

которое мало подходит для вычисления ТФС образца.

Если нагрев осуществляется с постоянной мощностью q, то температурное поле в полуограниченной среде будет определяться формулой [7] где q – мощность, выделяющаяся на единицу длины нагревателя.

МОЖНО ПОКАЗАТЬ, ЧТО ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЯ

многоимпульсный источник тепла можно рассматривать (при больших ) как источник тепла постоянQ ной мощности с q = (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Вид зависимостей T() при выполнении условия (3.4) в случае действия: источника тепла постоянной мощности (кривая 1)

И ИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА (КРИВАЯ 2)

ПРИ МНОГОИМПУЛЬСНОМ ИСТОЧНИКЕ ТЕПЛА

НУЖНО ОТМЕТИТЬ, ЧТО НА ПРАКТИКЕ ДЕЙСТВИЕ ИСТОЧНИКА ТЕПЛА НЕ ЯВЛЯЕТСЯ МГНОВЕННЫМ, А ИМЕЕТ ОПРЕДЕЛЕННУЮ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ 0 (С МОЩНОСТЬЮ

НА ЕДИНИЦУ ДЛИНЫ НАГРЕВАТЕЛЯ – Q0). МОЩНОСТЬ НА НАГРЕВАТЕЛЕ ЯВЛЯЕТСЯ

ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ ВРЕМЕНИ (РИС. 3.4), Т.Е.

УСЛОВИЕ (3.4) В ЭТОМ СЛУЧАЕ ВЫГЛЯДИТ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:

ВОСПОЛЬЗОВАВШИСЬ МЕТОДОМ ИСТОЧНИКОВ [7, 10], ЗАПИШЕМ ФОРМУЛУ, ОПРЕДЕЛЯЮЩУЮ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ОТ ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЗАКОНОМ ПОДАЧИ МОЩНОСТИ НА НАГРЕВАТЕЛЕ, В ВИДЕ

ЗАВИСИМОСТЬ Q(), ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ ИЗ (3.5), ЯВЛЯЕТСЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ

ФУНКЦИЕЙ С ПЕРИОДОМ И ЕЕ МОЖНО РАЗЛОЖИТЬ В РЯД ФУРЬЕ, Т.Е.

ПОДСТАВИВ ВЫРАЖЕНИЕ (3.8) В ФОРМУЛУ (3.7), ПОЛУЧИМ ВЫРАЖЕНИЕ

ЗАМЕТИМ, ЧТО ИЗ ФОРМУЛЫ (3.9) ТАКЖЕ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ

ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ОТ МГНОВЕННОГО МНОГОИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА

ТЕПЛА, ТОЖДЕСТВЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЮ (3.2).

ЕСЛИ УМЕНЬШАТЬ ПРОМЕЖУТОК ПОДАЧИ ИМПУЛЬСА 0 И ОДНОВРЕМЕННО

УВЕЛИЧИВАТЬ МОЩНОСТЬ Q0 ТАК, ЧТОБЫ Q00 = Q, ТО, ПЕРЕЙДЯ К ПРЕДЕЛУ И УЧИТЫВАЯ, ЧТО

можем записать СУММЫ, СТОЯЩИЕ В ПРАВОЙ ЧАСТИ ВЫРАЖЕНИЙ (3.9) И (3.10), ПРЕДСТАВЛЯЮТ

СОБОЙ ОГРАНИЧЕННЫЕ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [106]. ПРИ БОЛЬШИХ

– ЕСТЬ МОНОТОННО ВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ, А ПРИ,

u du ЭТИМИ СУММАМИ МОЖНО ПРЕНЕБРЕЧЬ, Т.Е. ПРИ БОЛЬШИХ С УЧЕu

ТЕПЕРЬ ОБРАТИМСЯ К АНАЛИЗУ УРАВНЕНИЯ (3.3). ИЗВЕСТНО [7, 112], ЧТО где 0,5772 – число Эйлера.

С УЧЕТОМ ЭТОГО ВЫРАЖЕНИЯ МОЖЕМ ЗАПИСАТЬ

и при больших (рис. 3.5)

НА ОСНОВАНИИ ВЫШЕИЗЛОЖЕННОГО МОЖНО СДЕЛАТЬ ВЫВОД О ХАРАКТЕРЕ

ТЕПЛОВОГО ПРОЦЕССА, ПРОИСХОДЯЩЕГО В СИСТЕМЕ ПОДЛОЖКА ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ЗОНДА-НАГРЕВАТЕЛЬ-ИЗДЕЛИЕ.