WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«Белгород 2001 Методы решения математических задач в Maple ББК 22.11 С 13 Рецензенты: Чеканов Н.А. д.ф.-м.н., профессор БелГУ; Сурков Э.П. к.ф.-м.н., профессор БГСХА. Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г. С13 Методы решения ...»

-- [ Страница 1 ] --

С. Е. Савотченко,

Т.Г. Кузьмичева

Методы решения

математических задач в

Maple

Рекомендовано Редакционно-издательским советом

Белгородского государственного университета в качестве

учебного пособия для студентов социально-психологического и

естественно-географического факультетов

Белгородского государственного университета

Белгород

2001 Методы решения математических задач в Maple ББК 22.11 С 13 Рецензенты: Чеканов Н.А. д.ф.-м.н., профессор БелГУ;

Сурков Э.П. к.ф.-м.н., профессор БГСХА.

Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г.

С13 Методы решения математических задач в Maple: Учебное пособие – Белгород: Изд. Белаудит, 2001. – 116 с.

ISBN 5-7414-0046- Данная книга является учебным пособием по дисциплинам «Математика и информатика», «Информационные технологии».

Пособие представляет собой практическое руководство по изучению возможностей пакета аналитических вычислений Maple. Подробные теоретические сведения чередуются с практическими заданиями.

Последовательное изучение тем и выполнение заданий позволит шаг за шагом освоить основные приемы работы в математической системе Maple.

Учебное пособие предназначено для студентов 1 и 2 курсов социально-психологического и естественно-географического факультетов университета, а также для аспирантов и научных работников, использующих математические методы и модели в естественнонаучных исследованиях.

ББК 22. © ISBN 5-7414-0046-9 Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г., Методы решения математических задач в Maple Предисловие Данное пособие представляет собой практическое руководство по изучению возможностей пакета аналитических вычислений Maple.

Следует отметить, что эта книга ни в коей мере не может считаться описанием программного продукта Maple. Она предназначена в первую очередь для обучения студентов решению математических задач на персональном компьютере при помощи Maple. Задачи и упражнения, приведенные в качестве примеров и практических заданий, соответствуют программам по курсу общей математики для студентов естественнонаучных и социальнопсихологических специальностей вузов.

Структура пособия: пособие состоит из семи тем. В каждой теме содержатся:

теоретическая часть – в ней приведено описание изучаемых команд Maple;

практические задания – подробное пошаговое описание действия команд Maple на конкретных примерах по математике; эти задания предназначены для выполнения студентами под руководством преподавателя;

контрольные задания – задачи и упражнения для самостоятельного выполнения студентами;

контрольные вопросы – предназначены для закрепления теоретического материала.

Практические задания можно выполнять на лабораторных работах по одной теме на каждую лабораторную работу.

Выполнение заданий по темам №1 и 2 расчитано на 2-х часовые занятия, выполнение заданий по остальным темам предполагает 4-х часовые аудиторные занятия, включая выполнение контрольных заданий.

Материал, содержащийся в темах №1-5, соответствует программам по математике для студентов 1 курса, а материал, содержащийся в темах №6-7, рассчитан для студентов 2 курса специальностей с более углубленными программами по математики, например, «химия».

Авторы выражают благодарность Воронову В.П., благодаря которому была начата работа над данной книгой.

Методы решения математических задач в Maple I. Структура окна Maple. Арифметические операции, числа, константы и стандартные функции.

Элементарные преобразования математических 1. Структура окна Maple.

2. Арифметические операции, целые и рациональные числа и константы Maple.

3. Синтаксис команд. Стандартные функции.

4. Преобразования математических выражений.

Maple это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики.

Для того, чтобы запустить Maple, необходимо в Главном меню Windows выбрать в группе Программы название данного приложения:

Maple.

Maple представляет собой типичное окно Windows, которое состоит из Строки названия, Основного меню, Панели инструментов, Рабочего поля и Строки состояния, а также Линейки и Полос прокрутки.

Вид фрагмента окна Maple 6, содержащего Строку названия, Основное меню, Панель инструментов:

Пункты Основного меню:

File (Файл) содержит стандартный набор команд для работы с файлами, например: сохранить файл, открыть файл, создать новый файл и т.д.

Edit (Правка) содержит стандартный набор команд для редактирования текста, например: копирование, удаление выделенного текста в буфер обмена, отмена команды и т.д.

View (Вид) – содержит стандартный набор команд, управляющих структурой окна Maple.

Методы решения математических задач в Maple Insert (Вставка) – служит для вставки полей разных типов:

математических текстовых строк, графических двух и трехмерных изображений.

Format (Формат) – содержит команды оформления документа, например: установка типа, размера и стиля шрифта.

Options (Параметры) – служит для установки различных параметров ввода и вывода информации на экран, принтер, например, таких как качество печати.



Windows (Окно) – служит для перехода из одного рабочего листа в другой.

Help (Справка) – содержит подробную справочную информацию о Maple.

Работа в Maple проходит в режиме сессии – пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры), которые воспринимаются условно и обрабатываются Maple. Рабочее поле разделяется на три части:

1) область ввода - состоит из командных строк. Каждая командная строка начинается с символа >;

2) область вывода - содержит результаты обработки введенных команд в виде аналитических выражений, графических объектов или сообщений об ошибке;

3) область текстовых комментариев - содержит любую текстовую информацию, которая может пояснить выполняемые процедуры.

Текстовые строки не воспринимаются Maple и никак не обрабатываются.

Для того, чтобы переключить командную строку в текстовую, следует на Панели инструментов нажать мышью на кнопку Обратное переключение текстовой строки в командную осуществляется нажатием на Панели инструментов на кнопку 1. Запустите Maple.

2. После запуска Maple первая строка оказывается командной.

Переведите ее в текстовую. Наберите в этой строке:

«Лабораторная работа №1» и название темы. Перейдите на следующую строку, нажав Enter.

3. В новой строке наберите «Выполнил студент » и свою фамилию.

Нажмите Enter.

4. На следующей строке наберите «Задание №1».

Методы решения математических задач в Maple 5. Сохраните свой файл на дискете. Для этого в меню Fail выберите пункт Save и наберите имя вашего файла в виде: Фамилия_1, где указывается ваша фамилия и 1 – номер лабораторной работы.

6. После этого в следующей строке наберите текст: «Файл с заданиями лабораторной работы №1 сохранен под именем:

Фамилия_N».

В дальнейшем выполнение каждой лабораторной работы должно оформляться таким способом. В начале каждой лабораторной работы следует набирать текст: «Лабораторная работа N», N – номер темы.

Выполнение каждого задания следует начинать с текстового комментария: «Задание N». Для правильности вычислений перед выполнением каждого пункта задания следует выполнять команду restart. Перед выполнением контрольных заданий следует набирать в текстовом режиме «Контрольные задания». После окончания выполнения работы необходимо сохранить файл со всеми выполненными заданиями на диск. Имя вашего файла набирается в виде: Фамилия_N, где указывается ваша фамилия и N – номер темы.

Целые и рациональные числа, константы в Maple Математические константы и арифметические операции.

Основные математические константы:

Pi – число ; I – мнимая единица i; infinity – бесконечность;

Gamma – константа Эйлера; true, false – логические константы, обозначающие истинность и ложность высказывания.

Знаки арифметических операций:

+ - сложение; – - вычитание;

^ - возведение в степень; ! – факториал.

Знаки сравнения:, >=, z:=x+I*y;

Вещественные числа разделяются на целые и рациональные.

Целые числа (integer) выражаются цифрами в десятичной записи.

Рациональные числа могут быть представлены в 3-х видах:

Методы решения математических задач в Maple 1) рациональной дроби с использованием оператора деления, например: 28/70;

2) с плавающей запятой (float), например: 2.3;

3) в показательной форме, например: 1,602*10^(-19) означает 1,60210-19.

Для того, чтобы получить рациональное число не в точной форме, а в виде приближенного значения (числа с плавающей запятой), следует дописывать к целой части числа.0. Пример:

В Maple можно записать буквы греческого алфавита в полиграфическом виде. Для этого в командной строке набирается название греческой буквы. Например, буква получится, если набрать alpha.

Таблица строчных греческих букв и их названий:

Заглавные греческие буквы можно записать, если набирать название греческой буквы с заглавной, например, чтобы получить, следует набрать Omega. Греческие буквы также можно набирать с помощью специального меню.

1. Перейдите в текстовый режим и наберите «Задание №2». После не забудьте перейти в режим командной строки.

командной строке наберите:

> (sqrt(6+2*sqrt(5))-sqrt(6-2*sqrt(5)))/sqrt(3);

Методы решения математических задач в Maple и нажмите Enter. В результате получится точное значение 3.

Наберите формулы = строке наберите:

> omega=theta/t; abs(f(x)-delta) a+b;

Для присвоения переменной заданного значения используется знак присвоить (:=).

Когда программа Maple запускается, она не имеет ни одной команды, полностью загруженной в память. Большая часть команд имеют указатели их нахождения, и при вызове они загружаются автоматически. Другие команды находятся в стандартной библиотеке и перед выполнением обязательно должны быть вызваны командой readlib(command), где command – имя вызываемой команды.

Остальная часть процедур Maple содержится в специальных библиотеках подпрограмм, называемых пакетами. Пакеты необходимо подгружать при каждом запуске файла с командами из этих библиотек.

Имеется два способа вызова команды из пакета:

1) можно загрузить весь пакет командой with(package) где package – имя пакета;

Методы решения математических задач в Maple 2) вызов какой-нибудь одной команды command из любого пакета package можно осуществить, если набрать команду в специальном формате:

> package[command](options);

где вначале записывается название пакета package, из которого надо вызвать команду, а затем в квадратных скобках набирается имя самой команды command, и после чего в круглых скобках следуют параметры options данной команды.

К библиотекам подпрограмм Maple относятся, например, следующие пакеты: linalg – содержит операции линейной алгебры;

geometry – решение задач планиметрии; geom3d – решение задач стереометрии; student – содержит команды, позволяющие провести поэтапное решение задачи в аналитическом виде с промежуточными вычислениями.

Стандартные функции.

Математическая запись Запись в Maple Методы решения математических задач в Maple Maple содержит огромное количество специальных функций, таких, как Бесселевы функции, Эйлеровы бета- и гамма – функции, интеграл ошибок, эллиптические интегралы, различные ортогональные полиномы.

е=2.718281828… посредством записи exp(1).

1. Перейдите в текстовый режим и наберите «Задание №3». После не забудьте перейти в режим командной строки.

2. Вычислите cos + tg Для этого наберите в командной строке:

> cot(Pi/3)+tan(14*Pi/3);

Нажмите Enter. В результате в области вывода должно появиться число: 3.

наберите в командной строке:

> combine((sin(Pi/8))^4+(cos(3*Pi/8))^4+ (sin(5*Pi/8))^4+ (cos(7*Pi/8))^4);

Нажмите Enter. (значение команды combine – преобразовывать выражения, например, со степенями). В результате в области вывода должно появиться число:.

§4. Преобразование математических выражений Maple обладает широкими возможностями для проведения аналитических преобразований математических формул. К ним относятся такие операции, как приведение подобных, разложение на Методы решения математических задач в Maple множители, раскрытие скобок, приведение рациональной дроби к нормальному виду и многие другие.

Выделение частей выражений.

Математическая формула, над которой будут производиться преобразования, записывается в следующей форме: > eq:=exp1=exp2; где eq – произвольное имя выражения, exp1 – условное обозначение левой части формулы, exp2 – условное обозначение правой части формулы.

Выделение правой части выражения осуществляется командой rhs(eq), выделение левой части выражения – командой lhs(eq).

Рассмотрим пример:

> eq:=a^2-b^2=c;

> lhs(eq);

> rhs(eq);

Если задана рациональная дробь вида a/b, то можно выделить ее числитель и знаменатель с помощью команд numer и denom, соответственно. Пример:

> f:=(a^2+b)/(2*a-b);

> numer(f);

> denom(f);

Тождественные преобразования выражений.

Раскрытие скобок выражения eq осуществляется командой expand(eq). Пример:

> eq:=(x+1)*(x-1)*(x^2-x+1)*(x^2+x+1);

> expand(eq);

Разложение многочлена на множители осуществляется командой factor(eq). Пример:

Методы решения математических задач в Maple > p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x;

> factor(p);

Команда expand может иметь дополнительный параметр, позволяющий при раскрытии скобок оставлять определенное выражение без изменений. Например, пусть требуется каждое слагаемое выражения ln x + e x y 2 умножить на выражение (x+a).

Тогда в командной строке следует написать:

> expand((x+a)*(ln(x)+exp(x)-y^2), (x+a));

Дробь можно привести к нормальному виду с помощью команды normal(eq). Например:

> f:=(a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);

> normal(f);

simplify(eq). Пример:

> eq:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)):

> simplify(eq);

Приведение подобных членов в выражении осуществляется командой collect(exp,var), где exp – выражение, var – имя переменной, относительно которой следует собирать подобные. В команде simplify в качестве параметров можно указать, какие выражения преобразовывать. Например, при указании simplify(eq,trig) будет производиться упрощение при использовании большого числа тригонометрических соотношений.

Стандартные параметры имеют названия: power – для степенных преобразований; radical или sqrt – для преобразования корней;

exp – преобразование экспонент; ln – преобразование логарифмов.

Использование параметров намного увеличивает эффективность команды simplify.

Методы решения математических задач в Maple Объединить показатели степенных функций или понизить степень тригонометрических функций можно при помощи команды combine(eq,param), где eq – выражение, param – параметры, указывающие, какой тип функций преобразовать, например, trig – для тригонометрических, power – для степенных. Пример:

> combine(4*sin(x)^3, trig);

Для упрощения выражений, содержащих не только квадратные корни, но и корни других степеней, лучше использовать команду radnormal(eq). Пример:

> sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3))= radnormal(sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3)));

С помощью команды convert(exp, param), где exp – выражение, которое будет преобразовано в указанный тип param. В частности, можно преобразовать выражение, содержащее sinx и cosx, в выражение, содержащее только tgx, если указать в качестве параметра tan, или, наоборот, tgx, ctgx можно перевести в sinx и сosx, если в параметрах указать sincos.

Вообще, команда convert имеет более широкое назначение.

Она осуществляет преобразование выражения одного типа в другой.

Например: convert(list, vector) – преобразование некоторого списка list в вектор с теми же элементами; convert(expr, string) – преобразование математического выражения в его текстовую запись. Для вызова подробной информации о назначении параметров команды convert следует обратиться к справочной системе, набрав convert[termin].

Если вы забыли параметры какой-либо команды, то можно воспользоваться справочной системой Maple. Для вызова справки по конкретной команде, следует выделить набранное имя этой команды и нажать клавишу F1. Если команда набрана правильно, то появится описание этой команды (в большинстве версий Maple помощь на английском языке).

1. Перейдите в текстовый режим и наберите «Задание №4». После не забудьте перейти в режим командной строки. Перед выполнением Методы решения математических задач в Maple каждого пункта этого задания обязательно набирайте команду обновления restart;

Разложить полином на множители p = x 3 + 4 x 2 + 2 x 4. Для этого наберите в командной строке:

> factor(x^3+4*x^2+2*x-4);

После нажатия клавиши Enter должно получиться ( x + 2)( x 2 + 2 x 2).

> eq:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)):

> convert(eq, tan):

> eq=normal(%);

Упростить выражение 3(sin 4 x + cos4 x ) 2(sin 6 x + cos6 x ). Для этого наберите:

> eq:=3*(sin(x)^4+cos(x)^4)-2*(sin(x)^6+cos(x)^6):

> eq=combine(eq, trig);

5. Выполните все контрольные задания. Перед их выполнением не забудьте набрать в текстовом режиме «Контрольные задания».

Результаты выполнения заданий покажите преподавателю.

6. Сохраните файл со всеми выполненными заданиями на диск.

7. Ответьте на все контрольные вопросы.

Вычислить точное и значение выражения: arctg3 arcsin Разложить на множители полином p = x 3 4 x 2 + 5 x 2.

Упростить выражение sin 2 3x sin 2 2 x sin 5 x sin x.

Методы решения математических задач в Maple Что такое Maple и для чего он предназначен?

Опишите основные элементы окна Maple.

На какие условные части делится рабочее поле Maple и что в этих частях отображается?

4. Как перевести командную строку в текстовую и наоборот?

В каком режиме проходит сеанс работы в Maple?

Перечислите пункты основного меню Maple и их назначение.

7. Какое стандартное расширение присваивается файлу рабочего Как представляются в Maple основные математические константы?

Опишите виды представления рационального числа в Maple.

10. Как получить приближенное значение рационального числа?

11. Какими разделительными знаками заканчиваются команды в Maple и чем они отличаются?

12. Какой командой осуществляется вызов библиотеки подпрограмм?

13. Объясните назначение команд factor, expand, normal, simplify, combine, convert.

II. Функции в Maple. Операции оценивания.

1. Способы задания функций. Замена переменных.

2. Операции оценивания.

3. Решение уравнений.

4. Решение неравенств.

§1. Способы задания функций. Замена переменных В Maple имеется несколько способов представления функции.

Способ 1. Определение функции с помощью оператора присваивания (:=): какому-то выражению присваивается имя, например:

> f:=sin(x)+cos(x);

Методы решения математических задач в Maple Если задать конкретное значение переменной х, то получится значение функции f для этого х. Например, если продолжить предыдущий пример и вычислить значение f при x = / 4, то следует записать:

После выполнения этих команд переменная х имеет заданное значение / 4.

Чтобы насовсем не присваивать переменной конкретного значения, удобнее использовать команду подстановки subs({x1=a1, x2=a2,…, },f), где в фигурных скобках указываются переменные хi и их новые значения аi (i=1,2,…), которые следует подставить в функцию f. Например:

> f:=x*exp(-t);

> subs({x=2,t=1},f);

Все вычисления в Maple по умолчанию производятся символьно, то есть результат будет содержать в явном виде иррациональные константы, такие как, e, и другие. Чтобы получить приближенное значение в виде числа с плавающей запятой, следует использовать команду evalf(expr,t), где expr – выражение, t – точность, выраженная в числах после запятой. Например, в продолжение предыдущего примера, вычислим полученное значение функции приближенно:

> evalf(%);

Здесь использован символ (%) для вызова предыдущей команды.

Способ 2. Определение функции с помощью функционального оператора, который ставит в соответствие набору переменных (x1,x2,…) одно или несколько выражений (f1,f2,…). Например, определение функции двух переменных с помощью функционального оператора выглядит следующим образом:

> f:=(x,y)->sin(x+y);

Методы решения математических задач в Maple Обращение к этой функции осуществляется наиболее привычным в математике способом, когда в скобках вместо аргументов функции указываются конкретные значения переменных. В продолжение предыдущего примера вычисляется значение функции:

> f(Pi/2,0);

Способ 3. С помощью команды unapply(expr,x1,x2,…), где expr – выражение, x1,x2,… – набор переменных, от которых оно зависит, можно преобразовать выражение expr в функциональный оператор. Например:

> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);

> f(-7,5);

В Maple имеется возможность определения неэлементарных функций вида посредством команды > piecewise(cond_1,f1, cond_2, f2, …).

Например, функция записывается следующим образом:

> f:=piecewise(x f:=simplify(%);

3. Определите функцию f ( x ) = x 2, 1 x < 1 и прибавьте к ней х.

Для этого наберите:

> f:=piecewise(x z:=3+I*2:

> Re(z);Im(z);

Если z=x+iy, то комплексно сопряженное ему выражение w=z*=x–iy можно найти с помощью команды conjugate(z).

Продолжение предыдущего примера:

w:=conjugate(z);

Модуль и аргумент комплексного выражения z можно найти с помощью команды polar(z), которую необходимо предварительно вызвать из стандартной библиотеки командой readlib. Например:

> readlib(polar): polar(I);

В строке вывода в скобках через запятую указаны модуль числа i, равный единице и его аргумент, равный / 2.

Если комплексное выражение очень сложное или содержит параметры, то команды Re(z) и Im(z) не дают требуемого результата. Получить вещественную и мнимую части комплексного выражения z можно, если использовать команду преобразования комплексных выражений evalc(z). Например:

> z:=ln(1-I*sqrt(3))^2;

Методы решения математических задач в Maple > evalc(Re(z)); evalc(Im(z));

1. Дано число а=57/13. Найти его целую часть x и дробную часть y и убедиться, что a=x+y. Наберите:

> y:=frac(a);

> x:=trunc(a);

Дано комплексное число z = + i. Найти его вещественную и мнимую части, а затем комплексно сопряженное ему число w и убедиться, что w+z=2Re(z).

В командной строке наберите:

> z:=(2-3*I)/(1+4*I)+I^6:

> w:=conjugate(z);

Методы решения математических задач в Maple 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = 1 i 3 и вычислить z4. Наберите:

> z:=-1-I*sqrt(3):

> readlib(polar): polar(z);

Чему равен модуль и аргумент этого числа?

> evalc(z^4);

Решение обыкновенных уравнений.

Для решения уравнений в Maple существует универсальная команда solve(eq,x), где eq – уравнение, x – переменная, относительно которой уравнение надо разрешить. В результате выполнения этой команды в строке вывода появится выражение, которое является решением данного уравнения. Например:

> solve(a*x+b=c,x);

Если уравнение имеет несколько решений, которые вам понадобятся для дальнейших расчетов, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Обращение к какому-либо k–ому решению данного уравнения производится указанием его имени с номером решения k в квадратных скобках: name[k]. Например:

> x:=solve(x^2-a=0,x);

> x[1];

> x[2];

> x[1]+x[2];

Методы решения математических задач в Maple Решение систем уравнений.

Системы уравнений решаются с помощью такой же команды solve({eq1,eq2,…},{x1,x2,…}), только теперь в параметрах команды следует указывать в первых фигурных скобках через запятую уравнения, а во вторых фигурных скобках перечисляются через запятую переменные, относительно которых требуется решить систему. Если вам будет необходимо для дальнейших вычислений использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Затем выполняется присвоения команда assign(name). После этого над решениями можно будет производить математические операции. Например:

> s:=solve({a*x-y=1,5*x+a*y=1},{x,y});

> assign(s); simplify(x-y);

Численное решение уравнений.

Для численного решения уравнений, в тех случаях, когда трансцендентные уравнения не имеют аналитических решений, используется специальная команда fsolve(eq,x), параметры которой такие же, как и команды solve. Например:

> x:=fsolve(cos(x)=x,x);

Решение рекуррентных и функциональных уравнений.

Команда rsolve(eq,f) позволяет решить рекуррентное уравнение eq для целой функции f. Можно задать некоторое начальное условие для функции f(n), тогда получиться частное решение данного рекуррентного уравнения. Например:

> eq:=2*f(n)=3*f(n-1)-f(n-2);

> rsolve({eq,f(1)=0,f(2)=1},f);

функциональные уравнения, например:

Методы решения математических задач в Maple > F:=solve(f(x)^2-3*f(x)+2*x,f);

В результате получается решение в неявном виде. Однако Maple может работать с такими решениями. Неявное решение функционального уравнения можно попытаться преобразовать в какую-либо элементарную функцию с помощью команды convert.

Продолжая приведенный выше пример, можно получить решение в явном виде:

> f:=convert(F(x),radical);

Решение тригонометрических уравнений.

Команда solve, примененная для решения тригонометрического уравнения, выдает только главные решения, то есть решения в интервале [0,2]. Для того, чтобы получить все решения, следует предварительно ввести дополнительную команду _EnvAllSolutions:=true. Например:

> _EnvAllSolutions:=true:

> solve(sin(x)=cos(x),x);

В Maple символ _Z~ обозначает константу целого типа, поэтому решение данного уравнения в привычной форме имеет вид x := / 4 + n, где n – целые числа.

Решение трансцендентных уравнений.

При решении трансцендентных уравнений для получения решения в явном виде перед командой solve следует ввести дополнительную команду _EnvExplicit:=true. Пример решения сложной системы трансцендентных уравнений и упрощения вида решений:

> eq:={ 7*3^x-3*2^(z+y-x+2)=15, 2*3^(x+1)+ 3*2^(z+y-x)=66, ln(x+y+z)-3*ln(x)-ln(y*z)=-ln(4) }:

> _EnvExplicit:=true:

> s:=solve(eq,{x,y,z}):

> simplify(s[1]);simplify(s[2]);

Методы решения математических задач в Maple 1. Найти все решения системы уравнений Наберите:

> eq:={x^2-y^2=1,x^2+x*y=2};

> _EnvExplicit:=true:

> s:=solve(eq,{x,y});

Теперь найдите сумму двух наборов решений. Наберите:

> x1:=subs(s[1],x): y1:=subs(s[1],y):

x2:=subs(s[2],x): y2:=subs(s[2],y):

> x1+x2; y1+y2;

Чему равны эти суммы решений?

Численно решите уравнение x 2 = cos( x ). Наберите:

> x=fsolve(x^2=cos(x),x);

> F:=solve(f(x)^2-2*f(x)=x,f);

> f:=convert(F(x), radical);

Найдите все решения уравнения 5 sin x + 12 cos x = 13. Наберите:

> _EnvAllSolutions:=true:

> solve(5*sin(x)+12*cos(x)=13,x);

Решение простых неравенств.

Команда solve применяется также для решения неравенств.

Решение неравенства выдается в виде интервала изменения искомой переменной. В том случае, если решение неравенства полуось, то в поле вывода появляется конструкция вида RealRange(–, Open(a)), Методы решения математических задач в Maple которая означает, что x(–, a), а – некоторое число. Слово Open означает, что интервал с открытой границей. Если этого слова нет, то соответствующая граница интервала включена во множество решений.

Например:

> s:=solve(sqrt(x+3) convert(s,radical);

Если вы хотите получить решение неравенства не в виде интервального множества типа x(a, b), а в виде ограничений для искомой переменной типа a solve(1-1/2*ln(x)>2,{x});

Решение систем неравенств.

С помощью команды solve можно также решить систему неравенств. Например:

> solve({x+y>=2,x-2*y=0,x-2*y>=1},{x,y});

Решите неравенство 13x 25 x 2 x 4 129 x + 270 > 0. Наберите:

> solve(13*x^3-25*x^2-x^4-129*x+270>0,x);

RealRange(Open(-3), Open(2)), RealRange(Open(5), Open(9)) Запишите этот результат в аналитическом виде. Получите решение этого неравенства в виде ограничений для искомой переменной. Проделайте это самостоятельно.

Решите неравенство e ( 2 x + 3) < 1. Наберите:

> solve(exp(2*x+3) plot(sin(x)/x, x=-4*Pi..4*Pi, labels=[x,y], labelfont=[TIMES,ITALIC,12], thickness=2);

Методы решения математических задач в Maple Построить график разрывной функции y = > plot(x/(x^2-1),x=-3..3,y=-3..3,color=magenta);

Замечание: на рисунке автоматически появляются вертикальные асимптоты.

3. Построить график параметрической кривой y = sin 2t, x = cos 3t, 0 t 2 в рамке. Наберите:

> plot([sin(2*t),cos(3*t),t=0..2*Pi], axes=BOXED, color=blue);

4. Построить в полярных координатах график кардиоиды = 1 + cos с названием. Наберите:

> plot(1+cos(x), x=0..2*Pi, title="Cardioida", coords=polar, color=coral, thickness=2);

Методы решения математических задач в Maple 5. Построить два графика на одном рисунке: график функции y = ln(3 x 1) и касательную к нему y = x ln 2. Наберите:

> plot([ln(3*x-1), 3*x/2-ln(2)], x=0..6, scaling=CONSTRAINED, color=[violet,gold], linestyle=[1,2], thickness=[3,2]);

Построение графика функции, заданной неявно.

Функция задана неявно, если она задана уравнением F ( x, y ) = 0.

Для построения графика неявной функции используется команда implicitplot(F(x,y)=0, x=x1..x2, y=y1..y2).

Вывод текстовых комментариев на рисунок.

В пакете plots имеется команда textplot для вывода текстовых комментариев на рисунок: textplot([xo,yo,’text’], options), где xo, yo – координаты точки, с которой начинается вывод текста ’text’.

Методы решения математических задач в Maple Вывод нескольких графических объектов на один рисунок.

Часто бывает необходимо совместить на одном рисунке несколько графических объектов, полученных при помощи различных команд, например, добавить графику, нарисованному командой plot, текстовые надписи, полученные командой textplot. Для этого результат действия команды присваивается некоторой переменной:

> p:=plot(…): t:=textplot(…):

При этом на экран вывод не производится. Для вывода графических изображений необходимо выполнить команду из пакета plots:

> with(plots): display([p,t], options).

Построение двумерной области, заданной неравенствами.

Если необходимо построить двумерную область, заданную системой неравенств f1 ( x, y ) > c1, f 2 ( x, y ) > c 2,..., f n ( x, y ) > c n, то для этого можно использовать команду inequal из пакета plots. В команде inequals({f1(x,y)>c1,…,fn(x,y)>cn}, x=x1…x2, y=y1..y2, options) в фигурных скобках указывается система неравенств, определяющих область, затем размеры координатных осей и параметры. Параметры регулируют цвета открытых и закрытых границ, цвета внешней и внутренней областей, а также толщину линий границ:

внутренней области;

– optionsexcluded=(color=yellow) – установка цвета внешней области;

– optionsopen(color=blue, thickness=2) – установка цвета и толщины линии открытой границы;

– optionsclosed(color=green,thickness=3) – установка цвета и толщины линии закрытой границы.

1. Построить график неявной функции (гиперболы):

> with(plots):

> implicitplot(x^2/4-y^2/2=16, x=-20..20, color=green, thickness=2);

Методы решения математических задач в Maple 2. Построить на одном рисунке графики астроиды x = 2 sin 3 t ( 0 t 2 ) вписанной в эллипс+ = 1. Выведите название линий Astroida и Ellips жирным шрифтом вместе с его уравнением курсивом. Для этого наберите следующие строки:

> with(plots):

> eq:=x^2/16+y^2/4=1:

scaling=CONSTRAINED, color=green, thickness=3):

> as:=plot([4*cos(t)^3,2*sin(t)^3, t=0..2*Pi], color=blue, scaling=CONSTRAINED, thickness=2):

> eq1:=convert(eq,string):

> t1:=textplot([1.5,2.5,eq1], font=[TIMES, ITALIC, 10], align=RIGHT):

> t2:=textplot([0.2,2.5,"Ellips:"], font=[TIMES, BOLD,10], align=RIGHT):

> t3:=textplot([1.8,0.4,Astroida], font=[TIMES, BOLD,10], align=LEFT):

> display([as,el,t1,t2,t3]);

Методы решения математических задач в Maple 3. Построить область, ограниченную линиями: x + y > 0, x y 1, y =2.

> with(plots):

> inequal({x+y>0, x-y spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=t1..t2), где переменная t изменяется от t1 до t2.

Анимация.

Maple позволяет выводить на экран движущиеся изображения с помощью команд animate (двумерные) и animate3d (трехмерные) из пакета plot. Среди параметров команды animate3d есть frames – число кадров анимации (по умолчанию frames=8).

Трехмерные изображения удобнее настраивать не при помощи опций команды plot3d, а используя контекстное меню программы.

Для этого следует щелкнуть правой кнопкой мыши по изображению.

Тогда появится контекстное меню настройки изображения. Команды этого меню позволяют изменять цвет изображения, режимы подсветки, устанавливать нужный тип осей, тип линий и управлять движущимся изображением.

Контекстное меню настройки изображения:

Методы решения математических задач в Maple Выполнить построение двух поверхностей z = x sin 2 y + y cos 3x и переменный цвет поверхностей как функцию x + y.

> plot3d({x*sin(2*y)+y*cos(3*x), sqrt(x^2+y^2)-7}, x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, grid=[30,30], axes=FRAMED, color=x+y);

2. Построить поверхность с линиями уровня:

> plot3d(1/(x^2+y^2)+0.2/((x+1.2)^2+(y-1.5)^2)+ 0.3/((x-0.9)^2+(y+1.1)^2), x=-2..2, y=-2..2.5, view=[-2..2, -2..2.5, 0..6], grid=[60,60], shading=NONE, light=[100,30,1,1,1], axes=NONE, orientation=[65,20], style=PATCHCONTOUR);

Методы решения математических задач в Maple 3. Построить примерную форму электронного облака атома. Форма электронного облака определяется двумя квантовыми числами:

число l – определяет тип орбитали, число m – определяет магнитный момент электрона. При m=0 форма электронного облака задается полиномами Лежандра первого рода:

команды:

> l:=3:

> P:=(x,n)->1/(2^n*n!)*diff((x^2-1)^n,x$n);

>Y:=(phi)->abs(sqrt((2*l+1)/(4*Pi))* subs(x=cos(phi),P(x,l)));

> X0:=Y(phi)*sin(phi)*cos(theta);

> Y0:=Y(phi)*sin(phi)*sin(theta);

> Z0:=Y(phi)*cos(phi);

> plot3d([X0,Y0,Z0],phi=0..Pi,theta=0..2*Pi, scaling=CONSTRAINED, title="Электронное облако");

Методы решения математических задач в Maple После этого постройте формы электронного облака для l=1 и l=2.

4. Построить шар x 2 + y 2 + z 2 = 4 :

> with(plots): implicitplot3d(x^2+y^2+z^2=4, x=-2..2, y=-2..2, z=-2..2, scaling=CONSTRAINED);

Построить пространственную кривую: x = sin t, y = cos t, z = e t > with(plots):

> spacecurve([sin(t),cos(t),exp(t)], t=1..5, color=blue, thickness=2, axes=BOXED);

Методы решения математических задач в Maple 6. Нарисовать движущийся объект. Вначале наберите в командной строке:

> animate3d(cos(t*x)*sin(t*y), x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, t=1..2);

Щелкните по появившемуся изображению правой кнопкой мыши. В появившемся контекстном меню выполните команду AnimationContinuous. Затем снова вызовите контекстное меню и выполните команду AnimationPlay.

Для того, чтобы остановить движение, выполните команду AnimationStop.

Затем с помощью мыши поверните рисунок под другим углом и сделайте его вновь движущимся.

7. Выполните все контрольные задания. Результаты выполнения заданий покажите преподавателю.

Сохраните файл со всеми выполненными заданиями на диск. Ответьте на все контрольные вопросы.

1. Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале –20 Limit(arctan(1/(1-x)),x=1,right)= limit(arctan(1/(1-x)),x=1, right);

Методы решения математических задач в Maple Вычисление производных.

Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

1) прямого исполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по которой производится дифференцирование.

2) отложенного исполнения – Diff(f,x), где параметры команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде f (x ). После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат.

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной; например:

> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

Полученное выражение можно упростить двумя способами:

> simplify(%);

> combine(%);

Дифференциальный оператор.

Для определения дифференциального оператора используется команда D(f) – f-функция. Например:

> D(sin);

Вычисление производной в точке:

Методы решения математических задач в Maple > D(sin)(Pi):eval(%);

Оператор дифференцирования применяется к функциональным операторам > f:=x-> ln(x^2)+exp(3*x):

Вычислить производную f ( x ) = sin 3 2 x cos3 2 x > Diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x)= diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x);

2. Вычислить > Diff(exp(x)*(x^2-1),x$24)= diff(exp(x)*(x^2-1),x$24):

> collect(%,exp(x));

Вычислить вторую производную функции y = sin 2 x /(2 + sin x ) в точках x=/2, x=.

> y:=sin(x)^2/(2+sin(x)): d2:=diff(y,x$2):

> x:=Pi; d2y(x)=d2;

> x:=Pi/2;d2y(x)=d2;

Исследование функции необходимо начинать с нахождения ее области определения, но, к сожалению, это трудно автоматизируемая операция. Поэтому при рассмотрении этого вопроса приходится Методы решения математических задач в Maple решать неравенства (см. тему II). Однако, ответить на вопрос, определена ли функция на всей числовой оси, или нет, можно исследовав ее на непрерывность.

Непрерывность функции и точки разрыва.

Проверить непрерывность функции f(x) на заданном промежутке [x1,x2] можно с помощью команды iscont(f,x=x1..x2). Если функция f непрерывна на этом интервале, то в поле вывода появится ответ true – (истина); если функция f не является непрерывной на этом интервале, то в поле вывода появится ответ false – (ложь). В частности, если задать интервал x=-infinity..+infinity, то функция f будет проверяться на всей числовой оси. В этом случае, если будет получен ответ true, то можно сказать, что функция определена и непрерывна на всей числовой оси. В противном случае следует искать точки разрыва. Это можно сделать двумя способами:

1) с помощью команды discont(f,x), где f – функция, исследуемая на непрерывность, x – переменная. Эта команда пригодна для нахождения точки разрыва первого и второго родов.

2) с помощью команды singular(f,x), где f – функция, x – переменная. Эта команда годится для нахождения точек разрыва второго рода как для вещественных значений переменной, так и для комплексных.

Перед использованием этих команд их следует обязательно загрузить из стандартной библиотеки readlib(name), где name – имя любой из указанных выше команд.

Обе эти команды выдают результаты в виде перечисления точек разрыва в фигурных скобках. Тип такой записи называется set. Для того, чтобы в дальнейшем можно было использовать полученные значения точек разрыва, следует из типа set с помощью команды convert перевести их в обычный числовой тип.

Найдите точки разрыва функции y = e x + > readlib(iscont): readlib(discont):

> iscont(exp(1/(x+3)),x=-infinity..+infinity);

Это означает, что функция не является непрерывной. Поэтому следует найти точки разрыва с помощью команды:

> discont(exp(1/(x+3)),x);

Методы решения математических задач в Maple Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке:

“Точка разрыва x=3.” Найти точки разрыва функции y = tg > readlib(singular):

> iscont(tan(x/(2-x)),x=-infinity..infinity);

> singular(tan(x/(2-x)),x);

Здесь _N – целые числа. Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке:

“Точки разрыва: x=2 и x=2(2n+1)/((2n+1)-2).” Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции.

В Maple для исследования функции на экстремум имеется команда extrema(f,{cond},x,’s’), где f - функция, экстремумы которой ищутся, в фигурных скобках {cond} указываются ограничения для переменной, х – имя переменной, по которой ищется экстремум, в апострофах ’s’ – указывается имя переменной, которой будет присвоена координата точки экстремума.

Если оставить пустыми фигурные скобки {}, то поиск экстремумов будет производиться на всей числовой оси. Результат действия этой команды относится к типу set. Пример:

> readlib(extrema):

> extrema(arctan(x)-ln(1+x^2)/2,{},x,’x0’);x0;

В первой строке вывода приводится экстремум функции, а во второй строке вывода – точка этого экстремума.

К сожалению, эта команда не может дать ответ на вопрос, какая из точек экстремума есть максимум, а какая – минимум. Для нахождения максимума функции f(x) по переменной х на интервале x [ x1, x 2] используется команда maximize(f,x,x=x1..x2), а для нахождения минимума функции f(x) по переменной х на интервале x [ x1, x 2] используется команда minimize(f, x, x=x1..x2).

Если после переменной указать ’infinity’ или интервал Методы решения математических задач в Maple x=-infinity..+infinity, то команды maximize и minimize будут искать, соответственно, максимумы и минимумы на всей числовой оси как во множестве вещественных чисел, так и комплексных. Если такие параметры не указывать, то поиск максимумов и минимумов будет производиться только во множестве вещественных чисел. Пример:

> maximize(exp(-x^2),{x});

Недостаток этих команд в том, что они выдают только значения функции в точках максимума и минимума, соответственно. Поэтому для того, чтобы полностью решить задачу об исследовании функции y=f(x) на экстремумы с указанием их характера (max или min) и координат (x, y) следует сначала выполнить команду:

> extrema(f,{},x,’s’);s;

а затем выполнить команды maximize(f,x); minimize(f,x).

После этого будут полностью найдены координаты всех экстремумов и определены их характеры (max или min).

Команды maximize и minimize быстро находят абсолютные экстремумы, но не всегда пригодны для нахождения локальных экстремумов. Команда extrema вычисляет так же критические точки, в которых функция не имеет экстремума. В этом случае экстремальных значений функции в первой строке вывода будет меньше, чем вычисленных критических точек во второй строке вывода. Выяснить характер найденного экстремума функции f(x) в точке x=x0 можно, если вычислить вторую производную в этой точке и по ее знаку сделать вывод: если f ( x0 ) > 0, то в точке x0 будет min, а если f ( x0 ) < 0 то max.

В последней версии пакета аналитических вычислений Maple описанный выше недостаток команд maximize и minimize устранен. Координаты точек максимума или минимума можно получить, если в параметрах этих команд после переменной записать через запятую новую опцию location. В результате в строке вывода после самого максимума (минимума) функции будут в фигурных скобках указаны координаты точек максимума (минимума). Например:

> minimize(x^4-x^2, x, location);

В строке вывода получились координаты минимумов и значения функции в этих точках.

Методы решения математических задач в Maple Команды extrema, maximize и minimize обязательно должны быть загружены из стандартной библиотеки командой readlib(name), где name – имя загружаемой команды.

> readlib(extrema):

> y:=(x^2-1/2)*arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/4Pi*x^2/12:

> extrema(y,{},x,'s');s;

После выполнения этих команд найдены экстремумы функции и точки экстремумов. Порядок следования x–координат экстремумов во второй строке вывода соответствует порядку следования значений экстремумов в первой строке вывода. Таким образом, найдены экстремумы в точках (0,0) и (1/2, –/24+ 3 / 16 ). Осталось выяснить, какая из них является максимумом, а какая – минимумом. Для этого используйте команды maximize и minimize.

> readlib(maximize):readlib(minimize):

> ymax:=maximize(y,{x});

> ymin:=minimize(y,{x});

Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке:

“Экстремумы: max y ( x ) = y (0) = 0, Для набора математических символов и греческих букв в текстовом режиме следует нажать кнопку со значком суммы на Панели инструментов. В появившейся строке ввода формул ниже Панели инструментов следует набирать обычные команды Maple, после чего нажать Enter. Например, для отображения формулы 3 следует набрать в строке ввода формул sqrt(3).

Методы решения математических задач в Maple Для возвращения в текстовый режим снова следует нажать на кнопку с буквой «Т».

Поэтому порядок набора второй формулы в ответе такой:

находясь в текстовом режиме, набрать: miny(x)=y(1/2)= ;

нажать на кнопку в строке ввода формул набрать:

-Pi/24+sqrt(3)/ нажать Enter;

вернуться в текстовый режим.

Найдите наибольшее и наименьшее значение f ( x ) = x 2 ln x на интервале x [1,2]. Наберите:

> f:=x^2*ln(x):

> maximize(f,{x},{x=1..2});

> minimize(f,{x},{x=1..2}):simplify(%);

Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке:

”Наибольшее значение: max f ( x ) = 4 ln 2, наименьшее значение Найти экстремумы функции y = с помощью второй производной. Наберите:

> restart:y:=x^3/(4-x^2): readlib(extrema):

readlib(maximize): readlib(minimize):

> extrema(y,{},x,'s');s;

Получено два экстремума и три критические точки. Исследование можно продолжить с помощью второй производной:

> d2:=diff(y,x$2): x:=0: d2y(x):=d2;

Методы решения математических задач в Maple > x:=2*sqrt(3):d2y(x):=d2;

> x:=-2*sqrt(3):d2y(x):=d2;

Так как y (0) = 0, то в точке x=0 нет экстремума; так как текстовый режим и запишите ответ в виде:

Исследование функции по общей схеме.

1. Область определения функции f(x) – полностью может быть указана после исследования функции на непрерывность.

2. Непрерывность и точки разрыва функции f(x) исследуются по схеме:

> iscont(f, x=-infinity..infinity);

> d1:=discont(f,x);

> d2:=singular(f,x);

В результате наборам переменным d1и d2 будут присвоены значения x-координат в точках разрыва 1 и 2-го родов (если они будут найдены).

3. Асимптоты. Точки бесконечных разрывов определяют вертикальные асимптоты графика f(x). Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:

Поведение функции f(x) на бесконечности характеризуется наклонными асимптотами (если они есть). Уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где коэффициенты вычисляются по формулам:

Аналогичные формулы для x. Поэтому нахождение наклонных асимптот можно провести по следующей схеме:

> k1:=limit(f(x)/x, x=+infinity);

> b1:=limit(f(x)-k1*x, x=+infinity);

Методы решения математических задач в Maple > k2:=limit(f(x)/x, x=-infinity);

> b2:=limit(f(x)-k2*x, x=-infinity);

Часто оказывается, что k1=k2 и b1=b2, в этом случае будет одна асимптота при x + и при x. С учетом этого составляется уравнение асимптоты > yn:=k1*x+b1;

4. Экстремумы. Исследование функции f(x) на экстремумы можно проводить по схеме:

> extrema(f(x), {}, x, ’s’);

> fmax:=maximize(f(x), x);

> fmin:=minimize(f(x), x);

После выполнения этих команд будут найдены координаты (x, y) всех максимумов и минимумов функции f(x).

Построение графика.

Построение графика функции f(x) – это окончательный этап исследования функции. На рисунке помимо графика исследуемой функции f(x) должны быть нанесены все ее асимптоты пунктирными линиями, подписаны координаты точек max и min. Приемы построения графиков нескольких функций и нанесения надписей были рассмотрены в теме III.

1. Провести полное исследование функции f ( x ) = по общей схеме. Сначала перейдите в текстовый режим и наберите “Исследование функции: “. Затем вернитесь в режим командной строки и наберите команды:

> f:=x^4/(1+x)^3:

В текстовом режиме наберите “Непрерывность функции”. В режиме командной строки и наберите:

> readlib(iscont): readlib(discont):

readlib(singular):

> iscont(f, x=-infinity..infinity);

Это означает, что функция не является непрерывной. Перейдите в текстовый режим и наберите “Нахождение точек разрыва”. Вернитесь в режим командной строки и наберите:

Методы решения математических задач в Maple > discont(f,x);

Конвертировать полученное значение точки разрыва типа set в число можно командой convert, добавив вторую опцию, например, `+`. Обратите внимание на обратные кавычки, которые набираются клавишей, расположенной выше клавиши табуляции.

> xr:=convert(%,`+`);

Перейдите в текстовый режим и наберите: “Получена точка бесконечного разрыва x=1”. С новой строки наберите: “Нахождение асимптот.”. Перейдите на новую строку и наберите “Уравнение вертикальной асимптоты: x=1” (это можно сделать, поскольку вертикальные асимптоты возникают в точках бесконечного разрыва).

С новой строки наберите: “Коэффициенты наклонной асимптоты:”.

Перейдите в режим командной строки и наберите:

> k1:=limit(f/x, x=+infinity);

> b1:=limit(f-k1*x, x=+infinity);

> k2:=limit(f/x, x=-infinity);

> b2:=limit(f-k2*x, x=-infinity);

В этом случае коэффициенты наклонных асимптот при x + и x оказались одинаковыми. Поэтому перейдите в текстовый режим и наберите “Уравнение наклонной асимптоты:”. Затем в новой строке прейдите в режим командной строки и наберите:

> y=k1*x+b1;

В текстовом режиме наберите “Нахождение экстремумов”. В новой строке наберите команды:

> readlib(extrema): readlib(maximize):

readlib(minimize):

> extrema(f,{},x,'s');s;

Поскольку функция имеет разрыв, то при поиске максимума и минимума следует указать интервал, в который не должна входить точка разрыва.

Методы решения математических задач в Maple > fmax:=maximize(f,{x},{x=-infinity..-2});

> fmin:=minimize(f,{x},{x=-1/2..infinity});

В текстовом режиме наберите результат исследования в виде:

“Максимум в точке (4, 256/27); минимум в точке (0, 0).” Построить график функции y = arctg( x 2 ) и ее асимптоту, указать координаты точек экстремума. Оформление каждого этапа исследования функции проделать также как и при выполнении предыдущего задания. Самостоятельно загрузите из стандартной библиотеки все необходимые команды.

> restart: y:=arctan(x^2):

> iscont(y, x=-infinity..infinity);

> k1:=limit(y/x, x=-infinity);

> k2:=limit(y/x, x=+infinity);

> b1:=limit(y-k1*x, x=-infinity);

> b2:=limit(y-k1*x, x=+infinity);

> extrema(y,{},x,'s');s;

> ymax:=maximize(y,{x}); ymin:=minimize(y,{x});

> with(plots): yy:=convert(y,string):

> p1:=plot(y,x=-5..5, linestyle=1, thickness=3, > p2:=plot(yh,x=-5..5, linestyle=1,thickness=1):

Методы решения математических задач в Maple > t1:=textplot([0.2,1.7,"Асимптота:"], font=[TIMES, BOLD, 10], align=RIGHT):

> t2:=textplot([3.1,1.7,"y=Pi/2"], font=[TIMES, ITALIC, 10], align=RIGHT):

> t3:=textplot([0.1,-0.2,"min:(0,0)"], align=RIGHT):

> t4:=textplot([2,1,yy], font=[TIMES, ITALIC, 10], align=RIGHT):

> display([p1,p2,t1,t2,t3,t4]);

Аналитическое и численное интегрирование.

Неопределенный интеграл команд:

1) прямого исполнения – int(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования;

2) отложенного исполнения – Int(f, x) – где параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Методы решения математических задач в Maple int и Int добавляются пределы интегрирования, например, > Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)= int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous:

int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования. Это позволяет вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e – точность вычислений (число знаков после запятой).

Интегралы, зависящие от параметра. Ограничения для параметров.

Если требуется вычислить интеграл, зависящий от параметра, то его значение может зависеть от знака этого параметра или каких-либо других ограничений. Рассмотрим в качестве примера интеграл dx, который, как известно из математического анализа, сходится при а>0 и расходится при а Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)= int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> a Will now try indefinite integration and then take limits.

Методы решения математических задач в Maple Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды additionally(expr2), где expr2 – другое неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

После наложения ограничений на параметр Maple добавляет к его имени символ (~), например параметр a, на который были наложены некоторые ограничения, в сроке вывода будет иметь вид: a~.

Описание наложенных ограничений параметра a можно вызвать командой about(a). Пример: наложить ограничения на параметр a такие, что a>-1, a3:

> assume(a>-1); additionally(a about(a);

Originally a, renamed a~:

is assumed to be: RealRange(Open(-1),3) которое следует производить в таком порядке:

> assume(a>0);

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)= int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Обучение основным методам интегрирования.

В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar.

Формула интегрирования по частям:

Методы решения математических задач в Maple Если обозначить подынтегральную функцию f=u(x)v’(x), то параметры команды интегрирования по частям такие:

intparts(Int(f, x), u), где u – именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.

Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g(t) или t=h(x), то параметры команды замены переменных такие:

changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t новая переменная.

Обе команды intparts и changevar не вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку.

Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этих команд ввести команду value(%); где % обозначают предыдущую строку.

Не забудьте, перед использованием описанных здесь команд обязательно загрузить пакет student командой with(student).

1. Найти неопределенные интегралы: а) > Int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x),x)= int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x), x);

> Int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x)= int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x);

условии a>0, b>0.

> assume (a>0); assume (b>0);

> Int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*sin(x)^2), x=0..Pi/2)=int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^ Методы решения математических задач в Maple sin(x)^2),x=0..Pi/2);

> restart; assume(a>-1);

> Int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)), x=0..+infinity)=int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)), x=0..+infinity);

> Int(cos(x)/x, x=Pi/6..Pi/4)=evalf(int(cos(x)/x, x=Pi/6..Pi/4), 15);

5. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла > restart; with(student): J=Int(x^3*sin(x),x);

> J=intparts(Int(x^3*sin(x),x),x^3);

> intparts(%,x^2);

> intparts(%,x);

> value(%);

Методы решения математических задач в Maple подстановки tg = t.

> J=Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2);

> J=changevar(tan(x/2)=t,Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2), t);

> value(%);

Найти точки разрыва функции y = x [1,1] и указать их характер.

Провести полное исследование функции y = Построить график функции y = x 3 3x 2 + 2 с указанием координат экстремумов.

Методы решения математических задач в Maple 8. Вычислить неопределенный интеграл b>0 для случаев a>b, a=b, a x:=vector([1,0,0]);

Координату уже определенного вектора x можно получить в строке вывода, если ввести команду x[i], где i номер координаты.

Например, первую координату заданного в предыдущем примере вектора можно вывести так:

Вектор можно преобразовать в список и, наоборот, с помощью команды convert(vector, list) или convert(list, vector).

Сложение векторов.

Сложить два вектора a и b можно с помощью двух команд:

1) evalm(a+b);

2) matadd(a,b).

Команда add позволяет вычислять линейную комбинацию векторов a и b: a + b, где, скалярные величины, если использовать формат: matadd(a,b,alpha,beta).

Методы решения математических задач в Maple Скалярное, векторное произведение векторов и угол между векторами.

вычисляется командой dotprod(a,b).

Векторное произведение двух векторов [a, b] вычисляется командой crossprod(a,b).

Угол между двумя векторами a и b вычисляется с помощью команды angle(a,b).

Норма вектора.

a= x 1 +... + x n, можно вычислить с помощью команды norm(а,2).

Можно нормировать вектор а с помощью команды normalize(a), в результате выполнения которой будет получен вектор единичной длины.

Нахождение базиса системы векторов. Ортогонализация системы векторов по процедуре Грамма-Шмидта.

Если имеется система n векторов {a1, a2,..., an }, то с помощью команды basis([a1,a2,…,an]) можно найти базис этой системы.

При помощи команды GramSchmidt([a1,a2,…,an]) можно ортогонализовать систему линейно-независимых векторов {a1, a2,..., an }.

1. Даны два вектора: a = ( 2,1,3,2) и b = (1,2,2,1). Найти ( a, b ) и угол между a и b. Для решения этой задачи наберите:

> with(linalg):

> a:=([2,1,3,2]); b:=([1,2,-2,1]);

> dotprod(a,b);

> phi=angle(a,b);

Методы решения математических задач в Maple 2. Найти векторное произведение c = [a, b], а затем скалярное произведение (a, c ), где a = ( 2,2,1), b = ( 2,3,6).

> restart; with(linalg):

> a:=([2,-2,1]); b:=([2,3,6]);

> c:=crossprod(a,b);

> dotprod(a,c);

3. Найти норму вектора a = ( 2,2,1).

> restart; with(linalg):

> a:=vector([1,2,3,4,5,6]): norm(a,2);

4. Из системы векторов: a1 = (1,2,2,1), a2 = (1,1,5,3), a3 = (3,2,8,7), a4 = (0,1,7,4), a5 = ( 2,1,12,10) выделить базис и ортогонализовать его по процедуре Грамма-Шмидта:

> restart; with(linalg):

> a1:=vector([1,2,2,-1]):

a2:=vector([1,1,-5,3]):

a3:=vector([3,2,8,7]): a4:=vector([0,1,7,-4]):

a5:=vector([2,1,12,-10]):

> g:=basis([a1,a2,a3,a4,a5]);

> GramSchmidt(g);

Определение матрицы.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, Методы решения математических задач в Maple [an1,an2,…,anm]]), где n число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую.

Например:

> A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

В Maple матрицы специального вида можно генерировать с помощью дополнительных команд. В частности диагональную матрицу можно получить командой diag. Например:

> J:=diag(1,2,3);

Генерировать матрицу можно с помощью функции f(i, j) от переменных i, j – индексов матрицы: matrix(n, m, f), где где n число строк, m – число столбцов. Например:

> f:=(i, j)->x^i*y^j;

> A:=matrix(2,3,f);

Число строк в матрице А можно определить с помощью команды rowdim(A), а число столбцов – с помощью команды coldim(A).

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

1) evalm(A&*B);

2) multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

Методы решения математических задач в Maple > v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A).

Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

Минор Mij элемента aij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A). > A:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);

> det(A);

> minor(А,3,2);

Методы решения математических задач в Maple > det(%);

> trace(A);

Обратная и транспонированная матрицы.

Обратную матрицу А1, такую что А1А=АА1=Е, где Е единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

1) evalm(1/A);

2) inverse(A).

Транспонирование матрицы А – это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A).

Например, используя заданную в предыдущем пункте матрицу А, найдем ей обратную и транспонированную:

> inverse(A);

> multiply(A,%);

> transpose(A);

Выяснение типа матрицы.

Выяснить положительную или отрицательную определенность матрицы можно при помощи команды definite(A,param), где param может принимать значения: 'positive_def' – положительно определена (A>0), 'positive_semidef' – неотрицательно определенная Методы решения математических задач в Maple отрицательно определенная (A A:=matrix([[2,1],[1,3]]);

> definite(А,'positive_def');

Проверить ортогональность матрицы А можно командой orthog(A).

> В:=matrix([[1/2,1*sqrt(3)/2], [1*sqrt(3)/2,-1/2]]);

> orthog(В);

Функции от матриц.

Возведение матрицы А в степень n производится командой evalm(A^n). Вычисление матричной экспоненты e A возможно с помощью команды exponential(A). Например:

> Т:=matrix([[5*a,2*b],[-2*b,5*a]]);

> exponential(Т);

> evalm(Т^2);

Методы решения математических задач в Maple (AB)C, detA, detB, detC, det[(AB)C]. Наберите:

> with(linalg):restart;

> A:=matrix([[4,3],[7,5]]):

> B:=matrix([[-28,93],[38,-126]]):

> C:=matrix([[7,3],[2,1]]):

> F:=evalm(A&*B&*C);

> Det(A)=det(A); Det(B)=det(B); Det(C)=det(C);

Det(F)=det(F);

Наберите:

> A:=matrix([[2,5,7],[6,3,4],[5,-2,-3]]);

> Det(A)=det(A);

> transpose(A);

> inverse(A);

Методы решения математических задач в Maple > det(minor(A,2,2));

> A:=matrix([[8,-4,5,5,9], [1,-3,-5,0,-7], [7,-5,1,4,1], [3,-1,3,2,5]]):

> r(A)=rank(A);

> exponential([[3,-1],[1,1]]);

> A:=matrix([[5,1,4],[3,3,2],[6,2,10]]):

> P(A)=evalm(A^3-18*A^2+64*A);

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Из курса линейной алгебры известно, что если Ах=х, то вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число – Методы решения математических задач в Maple собственным числом, соответствующим данному собственному вектору. Совокупность всех собственных чисел матрицы называется спектром матрицы. Если в спектре матрицы одно и тоже собственное число встречается k раз, то говорят, что кратность этого собственного числа равна k.

Для нахождения собственных чисел матрицы А используется команда eigenvalues(A). Для нахождения собственных векторов матрицы А используется команда eigenvectors(A). В результате выполнения этой команды будут получены собственные числа, их кратность и соответствующие собственные векторы.

Чтобы понять, в каком виде получаются результаты выполнения команды eigenvectors, внимательно разберитесь со следующим примером: матрица A = 1 5 1 имеет 3 собственных вектора:

a1 = ( 1,0,1), отвечающий собственному числу 1 = 2 кратности 1, a2 = (1,1,1), отвечающий собственному числу 2 = 3 кратности 1, a3 = (1,2,1), отвечающий собственному числу 3 = 6 кратности 1.

Найдем их в Maple:

> A:=matrix([[3,-1,1],[-1,5,-1],[1,-1,3]]):

> eigenvectors(A);

[2,1,{[-1,0,1]}], [3,1,{[1,1,1]}], [6,1,{[1,-2,1]}] В строке вывода перечислены в квадратных скобках собственное число, его кратность и соответствующий собственный вектор в фигурных скобках, затем следующие наборы таких же данных.

Характеристический и минимальный многочлены матрицы.

Для вычисления характеристического многочлена PA ( ) = det(E A) матрицы A используется команда charpoly(A,lambda).

Минимальный многочлен (делитель) матрицы А можно найти с помощью команды minpoly(A,lambda).

Канонические и специальные виды матрицы.

Привести матрицу А к нормальной форме Жордана можно командой jordan(A).

К треугольному виду матрицу А можно привести тремя способами:

Методы решения математических задач в Maple 1) команда gausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса;

2) команда ffgausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса без деления. Эта команда предпочтительней для работы с символьными матрицами, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль;

3) команда gaussjord(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса-Жордана.

Характеристическую матрицу F ( A) = E A можно вычислить командой charmat(A,lambda).

собственные числа.

> U:=matrix([[3,2-I],[2+I,7]]):

> eigenvectors(U);

2. Дана матрица A = i 3 0. Найти собственные векторы, собственные числа, характеристический многочлен и минимальный многочлен, Жорданову форму.

> A:=matrix([[3,-I,0],[I,3,0],[0,0,4]]):

> eigenvectors(A);

[2, 1, {([1, I, 0])}], [4, 2, {([0, 0, 1]), ([I, 1, 0])}] > P(lambda):=charpoly(A,lambda);

> d(lambda):=minpoly(A,lambda);

> jordan(A);

Методы решения математических задач в Maple 3. Дана матрица A = 4 7 8. Привести матрицу А к Жордановой форме, треугольному виду, найти ее характеристическую матрицу.

> A:=matrix([[1,-3,4],[4,-7,8],[6,-7,7]]):

> j:=jordan(A);

> g:=gausselim(A);

> F(A):=charmat(A,lambda);

Самостоятельно проверьте, чем будет отличаться результат выполнения команды ffgausselim(A) от gausselim(A) на этом примере.

§4. Системы линейных уравнений. Матричные уравнения Системы линейных уравнений и матричные уравнения.

Система линейных уравнений Ax = b может быть решена двумя способами.

Способ 1: стандартная команда solve находит решение системы линейных уравнений, записанных в развернутом виде:

Методы решения математических задач в Maple

Способ 2: команда linsolve(A,b) из пакета linalg находит решение уравнения Ax = b. Аргументы этой команды: А – матрица, b – вектор.

С помощью команды linsolve(A,b) можно найти решение матричного уравнения АХ=В, если в качестве аргументов этой команды указать, соответственно, матрицы А и В.

Ядро матрицы.

Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору: Ax = 0. Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений. Найти ядро матрицы А можно командой kernel(A).

1. Найти общее и одно частное решение системы:

> eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2, 2*x-3*y-11*z-15*t=1}:

> s:=solve(eq,{x,y,z});

Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs:

> subs({y=1,t=1},s);

2. Решить матричное уравнение: АX=В; где A =, B= > A:=matrix([[1,2],[3,4]]):

> B:=matrix([[3,5],[5,9]]):

Методы решения математических задач в Maple > X:=linsolve(A,B);

Дана матрица A = 0 2 1. Найти ее ранг, дефект: d(A)=n–r(A), где n – размерность квадратной матрицы, r – ее ранг. Найти ядро А. Наберите:

> A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):

> r(A):=rank(A);

> d(A):=rowdim(A)-r(A);

> k(A):=kernel(A);

1) Даны 2 вектора: a = (1, 2, 2, 3), b = (3, 1, 5, 1). Найти ( a, b ) и угол между этими векторами.

2) Даны 3 вектора: a = ( 2, 3, 1), b = (3, 1, 2) и c = (1, 2, 3). Найти:

3) Даны системы векторов:

a3 = (1, 1, 6, 0), a4 = (5, 3, 0, 4). Предварительно выяснив, является ли система {a1, a2, a3, a4} базисом, применить процедуру ортогонализации Грамма-Шмидта и построить ортогональный базис этого подпространства.

4) Даны матрицы A = AB, BA, detA, detB.

Методы решения математических задач в Maple С к треугольному виду.

7) Дана матрица характеристический многочлен и значение матрицы на нем (вместо переменной в PА () подставить А).

8) Дана матрица T = 6 4 9. Найти eT, det( eT ), собственные векторы и собственные числа матрицы eT, ядро матрицы Т.

характеристический и минимальный многочлены.

Методы решения математических задач в Maple 10) Решить матричное уравнение: АХ=В, где A = 3 2 4, 1. Какой пакет следует загрузить перед решением задач линейной алгебры в Maple?

2. С помощью каких команд можно ввести вектор, матрицу?

3. Какими двумя командами можно сложить два вектора одинаковой размерности (2 матрицы)?

4. Какие виды произведений векторов вычисляются Maple и какие команды для этого используются?

5. Как вычислить норму вектора?

6. Как вычислить угол между двумя векторами?

7. Опишите команды нахождения базиса системы векторов и построение ортогонального базиса системы векторов.

8. Какими двумя командами можно вычислить произведение двух матриц (или матрицы на вектор)?

9. Какие команды используются для нахождения определителя, минора, алгебраического дополнения, следа матрицы?

10. Что такое дефект матрицы? Опишите способ нахождения дефекта квадратной матрицы. Какие команды при этом используются?

11. Какая матрица называется обратной и какими способами она вычисляется в Maple?

12. Что называется собственным вектором и собственным числом матрицы? Что называется спектром матрицы? Какие команды используются для нахождения спектра матрицы и ее собственных векторов? В каком виде в Maple выводятся результаты выполнения этих команд?

13. Перечислите специальные виды матриц и команды, приводящие матрицы к этим формам.

14. Что называется ядром матрицы, и какая команда используется для его нахождения?

15. Какая команда позволяет решать матричные уравнения?

Методы решения математических задач в Maple VI. Дифференциальные уравнения 1. Аналитическое решение дифференциальных уравнений.

2. Численное решение дифференциальных уравнений.

§1. Аналитическое решение дифференциальных уравнений Общее решение дифференциальных уравнений.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных dsolve(eq,var,options), где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры.

Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения дифференциальное уравнение y''+y=x записывается в виде:

diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).

Методы решения математических задач в Maple y'+ycosx=sinxcosx.

> de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);

> dsolve(de,y(x));

Итак, решение искомого уравнения есть функция Замечание: при записи решения диффреренциального уравнения в Maple в строке вывода произвольная постоянная обозначена как _С1.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y''2y'+y=sinx+ex.

> deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x) =sin(x)+exp(-x);

> dsolve(deq,y(x));

Замечание: так как исходное уравнение было второго порядка, то полученное решение содержит две произвольные константы, которые в Maple обычно обознаются как _С1 и _С2. Первые два слагаемых представляют собой общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а вторые два – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

3. Найти общее решение дифференциального уравнения порядка y''+k2y=sin(qx) в двух случаях: qk и q=k (резонанс).

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x);

> dsolve(deq,y(x));

Методы решения математических задач в Maple Теперь найдем решение в случае резонанса. Для этого перед вызовом команды dsolve следует приравнять q=k.

> q:=k: dsolve(de,y(x));

Замечание: в обоих случаях частное решение неоднородного уравнения и общее решение, содержащее произвольные постоянные, выводятся отдельными слагаемыми.

Фундаментальная (базисная) система решений.

фундаментальную систему решений (базисные функции) дифференциального уравнения. Для этого в параметрах команды dsolve следует указать output=basis.

Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения: y(4)+2y''+y=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;

> dsolve(de, y(x), output=basis);

Решение задачи Коши или краевой задачи.

Команда dsolve может найти решение задачи Коши или краевой задачи, если помимо дифференциального уравнения задать начальные или краевые условия для неизвестной функции. Для обозначения производных в начальных или краевых условиях Методы решения математических задач в Maple используется дифференциальный оператор D, например, условие y''(0)=2 следует записать в виде ( D @@ 2)( y )(0) = 2, или условие y'(1)=0: D ( y )(1) = 0. Напомним, что производная n-го порядка записывается в виде ( D @@ n )( y ).

1. Найти решение задачи Коши: y(4)+y''=2cosx, y(0)=2, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x);

> cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=0, cond:=y(0)=2, D(y)(0)=1, (D(2))(y)(0)=0, (D(3))(y)(0)= > dsolve({de,cond},y(x));

2. Найти решение краевой задачи: y ' '+ y = 2 x, y (0) = 0, y = 0.

Построить график решения.

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+y(x)=2*x-Pi;

> cond:=y(0)=0,y(Pi/2)=0;

> dsolve({de,cond},y(x));

Замечание: для построения графика решения предварительно следует отделить правую часть полученного выражения.

> y1:=rhs(%):plot(y1,x=-10..20,thickness=2);

Методы решения математических задач в Maple Системы дифференциальных уравнений.

дифференциальных уравнений (или задачи Коши), если в ней указать:

dsolve({sys},{x(t),y(t),…}), sys дифференциальных уравнений, x(t),y(t),… набор неизвестных функций.

Найти решение системы дифференциальных уравнений:

> sys:=diff(x(t),t)=-4*x(t)-2*y(t)+2/(exp(t)-1), diff(y(t),t)=6*x(t)+3*y(t)-3/(exp(t)-1):

> dsolve({sys},{x(t),y(t)});

Найдены две функции x(t) и y(t), которые зависят от двух произвольных постоянных _С1 и _С2.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Для многих типов дифференциальных уравнений не может быть найдено точное аналитическое решение. В этом случае дифференциальное уравнение можно решить с помощью Методы решения математических задач в Maple приближенных методов, и, в частности, с помощью разложения в степенной ряд неизвестной функции.

Чтобы найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда, в команде dsolve следует после переменных указать параметр type=series (или просто series).

Для того, чтобы указать порядок разложения n, т.е. порядок степени, до которой производить разложение, следует перед командой dsolve вставить определение порядка с помощью команды Order:=n.

Если ищется общее решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд, то коэффициенты при степенях х найденного разложения будут содержать неизвестные значения функции в нуле y(0) и ее производных D(y)(0), (D@@2)(y)(0) и т.д. Полученное в строке вывода выражение будет иметь вид, похожий на разложение искомого решения в ряд Маклорена, но с другими коэффициентами при степенях х. Для выделения частного решения следует задать начальные условия y(0)=у1, D(y)(0)=у2, (D@@2)(y)(0)=у3 и т.д., причем количество этих начальных условий должно совпадать с порядком соответствующего дифференциального уравнения.

Разложение в степенной ряд имеет тип series, поэтому для дальнейшей работы с этим рядом его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom), а затем выделить правую часть полученного выражения командой rhs(%).

1. Найти решение задачи Коши: y = y + xe y, y (0) = 0 в виде степенного ряда с точностью до 5-го порядка.

> restart; Order:=5:

> dsolve({diff(y(x),x)=y(x)+x*exp(y(x)), y(0)=0}, y(x), type=series);

В полученном решении слагаемое O( x 5 ) означает, что точность разложения была до 5-го порядка.

y''(х)y3(х)=ехcosx, в виде разложения в степенной ряд до 4-го порядка.

Найти разложение при начальных условиях: y(0)=1, y'(0)=0.

> restart; Order:=4: de:=diff(y(x),x$2)y(x)^3=exp(-x)*cos(x):

Методы решения математических задач в Maple > f:=dsolve(de,y(x),series);

Замечание: в полученном разложении запись D(y)(0) обозначает производную в нуле: y'(0). Для нахождения частого решения осталось задать начальные условия:

> y(0):=1: D(y)(0):=0:f;

3. Найти приближенное решение в виде степенного ряда до 6-го порядка и точное решение задачи Коши: y y = 3( 2 x 2 ) sin x, y (0) = 1, y (0) = 1, y (0) = 1. Построить на одном рисунке графики точного и приближенного решений.

> restart; Order:=6:

> de:=diff(y(x),x$3)-diff(y(x),x)= 3*(2-x^2)*sin(x);

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve({de,cond},y(x));

> dsolve({de,cond},y(x), series);

Замечание: тип решения дифференциального уравнения в виде ряда есть series, поэтому для дальнейшего использования такого решения (вычислений или построения графика) его обязательно следует конвертировать в полином с помощью команды convert > convert(%,polynom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1,x=-3..3,thickness=2,color=black):

> p2:=plot(y2,x=-3..3, linestyle=3,thickness=2, Методы решения математических задач в Maple > with(plots): display(p1,p2);

На этом рисунке видно, что наилучшее приближение точного решения степенным рядом достигается примерно на интервале 1 restart; with(DЕtools):

> DEplot(diff(y(x),x$3)+x*sqrt(abs(diff(y(x),x))) +x^2*y(x)=0, {y(x)}, =-4..5, [[y(0)=0,D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1]], stepsize=.1, linecolor=black, thickness=2);

Построение фазовых портретов систем дифференциальных уравнений.

Для дифференциального уравнения порядка выше первого команда DEplot рисует только кривые решений дифференциальных уравнений, а для систем дифференциальных уравнений первого порядка могут быть нарисованы и фазовые портреты.

С помощью команды DEplot можно построить фазовый портрет в плоскости (x, y), для системы двух дифференциальных уравнений:

указать scene=[x,y].

автономной, то на фазовом портрете будет построено поле Методы решения математических задач в Maple направлений в виде стрелок. Размер стрелок регулируется параметром arrows=SMALL, MEDIUM, LARGE, LINE или NONE.

Для того, чтобы нарисовать весь фазовый портрет, необходимо для каждой фазовой траектории указывать начальные условия:

например, для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка несколько начальных условий в команде DEplots указываются после задания диапазона изменения независимой y(0)=y2],…, [x(0)=xn, y(0)=yn]].

Начальные условия можно задавать в более компактной форме:

[t0, x0, y0], где t0 точка, в которой задаются начальные условия, x0 и y0 значения искомых функций в точке t0.

Фазовый протрет системы двух дифференциальных уравнений первого порядка можно также построить с помощью команды phaseportrait(sys, [x,y],x1..x2,[[cond]]), где sys система двух дифференциальных уравнений первого порядка, [x,y] имена искомых функций, x1..x2 интервал, на котором следует построить фазовый портрет, а в фигурных скобках указываются начальные условия. Эта команда находится в пакете DEtools, поэтому данный пакет должен быть предварительно загружен.

1. Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений:

для нескольких наборов начальных условий: х(0)=1, у(0)=0.2; х(0)=0, у(0)=1; х(0)=1, у(0)=0.4; х(0)=1, у(0)=0.75; х(0)=0, у(0)=1.5; х(0)=0.1, у(0)=0.7.

> restart; with(DЕtools):

> DEplot({diff(x(t),t)=y, diff(y(t),t)=x-x^3}, [x(t),y(t)], t=0..20, [[0,1,0.2], [0,0,1], [0,1,0.4], [0,1,0.75], [0,0,1.5], [0,-0.1,0.7]], stepsize=0.1, arrows=none, linecolor=black);

Методы решения математических задач в Maple 2. Построить фазовый портрет с полем направлений автономной системы для различных начальных условий х(0)=1, у(0)=0; х(0)=1, у(0)=0;

х(0)=, у(0)=1; х(0)=, у(0)=1; х(0)=3, у(0)=0.2; х(0)=3, у(0)=1;

х(0)=3, у(0)=1.8; х(0)=2, у(0)=1;.

> restart; with(DЕtools):

> sys:=diff(x(t),t)=y, diff(y(t),t)=sin(x):

> DEplot({sys},[x(t),y(t)], t=0..4*Pi, [[0,1,0], [0,-1,0], [0,Pi,1], [0,-Pi,1], [0,3*Pi,0.2], [0,3*Pi,1], [0,3*Pi,1.8], [0,-2*Pi,1]], stepsize=0.1, linecolor=black);

3. Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений:

Начальные условия, диапазон изменения переменной и размеры координатных осей подбираются самостоятельно из соображений наглядности фазового портрета.

Методы решения математических задач в Maple > restart; with(DЕtools):

> sys:=diff(x(t),t)=3*x+y, diff(y(t),t)=-x+y:

> phaseportrait([sys],[x(t),y(t)],t=-10..10, [[0,1,-2], [0,-3,-3], [0,-2,4], [0,5,5], [0,5,-3], [0,-5,2], [0,5,2], [0,-1,2]], x=-30..30,y=-20..20, stepsize=.1, colour=blue,linecolor=black);

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

2. Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения:

3. Найти решение задачи Коши: y ' ' ' y ' = tgx, y (0) = 3, y ' (0) = 1, 4. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

при начальных условиях х(0)=1, х'(0)=0; у(0)=1.

5. Найти решение нелинейного уравнения y ' '+ y = y 2 при начальных условиях у(0)=2а, у'(0)=а в виде разложения в степенной ряд до 6-го порядка.

6. Построить график численного решения задачи Коши у'=sin(xy), у(0)=1.

7. Решить численно задачу Коши: y ' ' = xy ' y 2, y (0) = 1, y ' (0) = 2.

Найти приближенное решение этого уравнения в виде разложения в Методы решения математических задач в Maple степенной ряд. Построить на одном рисунке графики полученных решений.

8. Построить график численного решения задачи Коши у''xу'+ xу=0, у(0)=1, у'(0)=4 на интервале [1.5; 3], используя команду DEplot.

9. Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений при нескольких начальных условиях, которые следует подобрать самостоятельно для наилучшей наглядности рисунка.

1. Какая команда позволяет решить дифференциальное уравнение?

Опишите ее параметры.

2. С помощью каких операторов обозначается производная в дифференциальном уравнении и в начальных условиях?

3. Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить фундаментальную систему дифференциальных уравнений?

4. Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить приближенное решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд? Как определяется порядок разложения?

5. Опишите, какие команды нужно ввести, прежде чем построить график приближенного решения, полученного в виде степенного 6. Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы решить дифференциальное уравнение численно?

7. Как найти значение решения дифференциального уравнения в какой-либо конкретной точке?

8. Какая команда позволяет построить график численно решенного дифференциального уравнения? В каком пакете находится эта команда?

9. Какой пакет предназначен для графического представления и численного решения дифференциального уравнения?

10. В чем отличие команд odeplot и DEplot?

11. Опишите способы построения фазового портрета системы дифференциальных уравнений.

Методы решения математических задач в Maple VII. Математический анализ: функции многих переменных, векторный анализ, ряды, интегральные 1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

2. Интегральное исчисление функций многих переменных.

3. Векторный анализ.

4. Ряды и произведения.

5. Интегральные преобразования.

§1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Большинство задач дифференциального и интегрального исчисления функций многих переменных решается в Maple теми же командами, что и для функций одной переменной, только с указанием дополнительных параметров.

Частные производные.

Для вычисления частных производных функции f(x1,…, xm) используется уже хорошо известная вам команда diff. В этом случае эта команда имеет такой формат: diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где x1,…, xm – переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $ указаны соответствующие порядки дифференцирования. Например, частная производная записывается в виде: diff(f,x,y).

> f:=arctan(x/y):

D> iff(f,x)=simplify(diff(f,x));

> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));

Методы решения математических задач в Maple 2. Найти все частные производные 2-го порядка функции > restart; f:=(x-y)/(x+y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

Локальные и условные экстремумы функций многих переменных.

Для исследования функции на локальный и условный экстремум extrema(f,{cond},{x,y,…},'s'), где cond – ограничения для поиска условного экстремума, которые записываются в виде равенств.

После ограничений в фигурных скобках указываются все переменные, от которых зависит функция f, а затем в кавычках записывается s – имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума. Если ограничений не указывать, то будет производиться поиск локального экстремума.

К сожалению, команда extrema выдает все критические точки, то есть и те, в которых экстремума нет. Отсеять недающие экстремума критические точки можно с помощью непосредственной подстановки этих точек в функцию, например, оператором subs.

Так же, как и для функции одной переменной, наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных вычисляются minimize(f,{x1,…,xn}, range), где следует указывать после функции в фигурных скобках список всех переменных, от которых она Методы решения математических задач в Maple зависит, а затем интервалы для каждой переменной, указывающие область поиска наибольшего и наименьшего значений.

Если требуется найти переменные, при которых линейная функция многих переменных имеет максимум (или минимум) при выполнении определенных ограничений, заданных в виде линейных равенств или неравенств, то следует использовать симплекс-метод.

Для этого сначала необходимо загрузит пакет simplex, а затем воспользоваться командой maximize (или minimize), где теперь в качестве range можно указывать в фигурных скобках ограничительную систему неравенств. Пакет simplex предназначен для решения задач линейной оптимизации. После его загрузки команды maximize и minimize меняют свое действие. Теперь эти команды выдают координаты точек, при которых заданная линейная функция имеет максимум или минимум. При этом допускается дополнительная опция для поиска только неотрицательных решений

NONNEGATIVE.

> restart: readlib(extrema):

> f:=2*x^4+y^4-x^2-2*y^2:

> extrema(f,{},{x,y},'s');s;

{{x=0, y=0}, {x= y=0}, {x=, y=0}, {x=0, y=1}, {x=0, y=-1}, Получилось всего два экстремума, поэтому очевидно, что fmax=0 и fmin=9/8, причем максимум достигается в точке (0,0). Остальные критические точки следует проверить. В силу четности функции по обеим переменным, можно ограничится проверкой критических точек только с положительными координатами.

> subs([x=1/2,y=1],f);

> subs([x=1/2,y=0],f);

Методы решения математических задач в Maple > subs([x=0,y=1],f);

Таким образом, функция имеет следующие локальные экстремумы: fmax=f(0,0)=0 и fmin=f ±,±1 =f ±,m1 =9/8.

f ( x, y ) = x 2 + 2 xy 4 x + 8 y в прямоугольнике x=0, y=0, x=1, y=2.

Замечание: заданную область удобнее записывать в виде неравенств: 0 minimize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

Таким образом, функция имеет наибольшее значение fmax=17 и наименьшее значение fmin=4.

3. Найти условные экстремумы функции f(х,у)=xy+yz при x2+y2=2, y+z=2, x>0, y>0, z>0.

> restart: readlib(extrema): f:=x*y+y*z:

> assume(x>0);assume(y>0);assume(z>0);

> simplify(extrema(f,{x^2+y^2=2,y+z=2},{x,y,z}, {min( RootOf(_Z2+4_Z+1)+, 0), max( RootOf(_Z2+4_Z+1)+, 2)} Несмотря на предварительное использование команды упрощения аналитический вид, однако это можно исправить, если воспользоваться командой convert.

> convert(%,radical);

> convert(s,radical);



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И. А. Дудина ЛОГИКА Допущено Ученым советом университета в качестве учебно-методического пособия для студентов всех форм обучения по гуманитарным и социально-экономическим направлениям и специальностям Мурманск 2009 УДК 16 (075.8) ББК 87.4 я 73 Д 81 Дудина, И. А. Логика : учеб.-метод. пособие для студентов всех форм...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра Информационных технологий и моделирования Одобрена: Утверждаю: кафедра ИТиМ Декан ФЭУ протокол от 11.01.2012 г. № 6 _ В.П. Часовских /Зав.кафедрой _ В.А. Попов 30 мая 2012 г Методической комиссией ФЭУ протокол от 14.05.2012 г. № 34 Председатель Д.Ю. Захаров ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Б2.Б.3. Теория систем и системный анализ Направление подготовки: 230700.62 –...»

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ средняя общеобразовательная школа с. Сторожевое Усманского муниципального района Липецкой области Рассмотрено на УТВЕРЖДАЮ Педагогическом совете Директор МБОУ СОШ с. Сторожевое Протокол № _ от _2013 г. _М.Я. Швайдак Приказ № _ от _2012 г. ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА на 2013-2014 учебный год СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка программы. Миссия школы, цели и задачи образовательной программы школы. 1. Информационная справка. 1.1. Общая...»

«1 ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ ДИСЦИПЛИНА КУЛЬТУРОЛОГИЯ СОДЕРЖАНИЕ: 1) Тематика разделов курса для самостоятельного изучения 2) Список основной, дополнительной литературы и Интернетресурсы..3 3) Опорные конспекты..4-30 4) Словарь терминов..30-32 5) Словарь персоналий..33-39 6) Тематика контрольных работ.40-43 7) Методические рекомендации по выполнению контрольной работы с образцами ее оформления.43-48 8) Вопросы для самоконтроля и подготовки к экзамену.49-50 9) Репетиционный тест для...»

«МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ МЕНЕДЖМЕНТ (для студентов специальности 0502 Менеджмент организаций специализации 050201 Менеджмент организации природоохранной деятельности) Донецк 2006 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ПРИРОДООХРАННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО...»

«спект HАЧA КОМПЛЕКСНЫЙ ПРОЕКТ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ f УДК 373(072) ББК 74.268.3 Е92 Ефросинина, J1.A. Е92 М етодические рекомендации: наглядные пособия: го­ товимся к урокам литературного чтения (Круг детского чтения) 3 класс / JI.A. Ефросинина. — М. : И здательство Экзамен, 2012. — 32 с. ISBN 978-5-377-05229-6 Данные методические рекомендации являются неотъемле­ мой частью комплекта наглядных пособий. Они помогут наи­ более рационально использовать предлагаемые наглядные по­ собия, организовать...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФА КУ ЛЬТ ЕТ ИНФО Р МАТ ИКИ В.П. Леонов ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ И ТЕХНОЛОГИЮ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ ЭВМ И КОМПЬЮТЕРОВ Томск – 2008 УДК 681.3(075.8)+621.38.032(075) Л 476 Леонов В.П. Введение в физику и технологию элементной Л 476 базы ЭВМ и компьютеров: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2008. – 264 с. ISBN 978-5-89503-390-6 В учебном пособии рассмотрены основные этапы развития физики и технологии...»

«Методические указания по выполнению различных видов самостоятельной работы студентов филиала ФГБОУ ВПО ЮУрГУ (НИУ) в г. Нязепетровске 1    Оглавление 1.Эссе..5 2.Реферат..8 3.Характеристика..11 4.Логическая схема..11 5.Доклад, сообщение..12 6.Требования к слайд – презентациям..15 7.Проект..19 8.Моделирование..21 9.Алгоритм составления таблиц..21 10.Алгоритм доказательства..22 11.Алгоритм оформления содержания выводов различного характера. 12.Алгоритм составления гипотезы.....»

«В.М. ХАЧАТУРЯН История МИРОВЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ С ДРЕВНЕЙШИХ ВРЕМЕН ДО КОНЦА XX ВЕКА 10—11 классы Пособие для общеобразовательных учебных заведений Под редакцией доктора исторических наук, профессора В. И. Уколовой Рекомендовано Департаментом общего среднего образования Министерства образования Российской Федерации 3-е издание, исправленное и дополненное Москва, Издательский дом Дрофа 1999 Методический аппарат пособия подготовлен при участии Г. М. Карпова Хачатурян В. М. История мировых цивилизаций...»

«Институт биологии Приезжайте к нам учиться! и охраны Поморская Академия предлагает русскоязычным иностранным студентам окружающей среды возможность обучения на русском языке в Институте биологии и охраны окружающей www.biologia.apsl.edu.pl среды факультета Математики и Естествознания по специальности Биология с получением В Институте биологии и охраны диплома бакалавра и магистра биологии. окружающей среды работают 14 профессоров Поморская и 17 кандидатов наук....»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ФИЛОСОФИЯ КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МОСКВА 2009 К 87я73 УДК 1(075.8) Ф Рецензенты: Философия. Краткий курс лекций. Учебное пособие / Составление и общая редакция к. филос.н., Байдаевой Ф.Б. – М.: МГУП, 2009. 96с. В учебном пособии содержится необходимый минимум профессиональных сведений по философии,...»

«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЗАЩИТА ПРАВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ В соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта Российской Федерации целью изучения программы курса Защита прав потребителей предполагает формирование у студентов юридического сознания и мышления, овладение ими современными научными познаниями цивилистики в объеме, необходимом выпускникам высшего учебного заведения по специальности 021100 Юриспруденция. Задачи...»

«Методические указания по ведению бюджетного учета и составлению бюджетной отчетности финансовых органов Содержание ВВЕДЕНИЕ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 2. БЮДЖЕТНЫЙ УЧЕТ В ФИНАНСОВЫХ ОРГАНАХ 2.1. Учет средств на счетах бюджетов 2.1.1. Счет 0.202.00.000 Средства на счетах бюджетов. 2.1.2. Счет 0.202.01.000 Средства единого счета бюджета. 2.1.3. Счет 0.202.02.000 Средства бюджета в пути. 2.1.4. Счет 0.202.03.000 Средства бюджета в иностранной валюте.37 2.1.5. Отражение показателей остатков и оборотов по...»

«Образовательная программа ГБОУ гимназии №1452 Богородская составлена на основе рекомендаций Департамента образования города Москвы, Московского Института Открытого Образования, факультета подготовки педагогических кадров Московского педагогического государственного университета. Образовательная программа построена на модульной основе и рассчитана на 3 года. Образовательная программа принята решением педагогического совета № 4 от 23 декабря 2013 г. 2 СОДЕРЖАНИЕ Модуль I ИНФОРМАЦИОННАЯ СПРАВКА. 5...»

«2 СОДЕРЖАНИЕ 4 1. Общие положения 1.1. Основная образовательная программа (ООП) бакалавриата, реализуемая Тамбовским государственным университетом имени Г.Р. Державина по направлению подготовки 080500.62 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА профилю подготовки ЭЛЕКТРОННЫЙ БИЗНЕС. 1.2. Нормативные документы для разработки ООП бакалавриата по направлению подготовки 080500.62 БИЗНЕСИНФОРМАТИКА. 1.3. Общая характеристика вузовской основной образовательной программы высшего профессионального образования (бакалавриат)....»

«9435 УДК 519.711; 378.4 ОПЫТ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СТУДЕНТАМ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА А.Ю. Ощепков Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, Данщина ул., 19 E-mail: aos57@mail.ru Ключевые слова: система автоматического управления, преподавание теории управления, физические исследования, применение теории управления в физике, Аннотация: В докладе излагается опыт преподавания теории автоматического управления студентам физического факультета...»

«Уважаемые выпускники! В перечисленных ниже изданиях содержатся методические рекомендации, которые помогут должным образом подготовить, оформить и успешно защитить выпускную квалификационную работу. Рыжков, И. Б. Основы научных исследований и изобретательства [Электронный ресурс] : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки (специальностям) 280400 — Природообустройство, 280300 — Водные ресурсы и водопользование] / И. Б. Рыжков.— Санкт-Петербург [и др.] : Лань,...»

«УДК331.8/.9.87 ББК 65.9(2)218 Р86 Рецензенты: преподаватель документационного обеспечения управления Колледжа информационных технологий Москвы С. Н. Згурская; преподаватель спецдисциплин Златоустовского юридического колледжа Ицыл, зам. директора по учебной работе Е. А. Морозова Румынина Л. А. Р86 Документационное обеспечение управления : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Л. А. Румынина. — 6-е изд., стер. — М. : Издательский центр Академия, 2008. — 224 с. ISBN...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Л.В. Горяинова История экономических учений Учебно-практическое пособие Москва 2007 1 УДК 330.8 ББК 65.01 Г 716 Горяинова Л.В. ИСТОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ УЧЕНИЙ: Учебно-практическое пособие. — М.: Изд. центр ЕАОИ, 2007. — 248 с. Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области антикризисного управления в качестве учебного...»

«Книги Ардзинова В. Д. Т36137 Ардзинов, Василий Дмитриевич. Введение в рыночную экономику строительства : Конспект лекций / В.Д.Ардзинов. - СПб : ПГУПС, 1995. - 30 с. : ил. Т34812б Ардзинов, Василий Дмитриевич. Вопросы развития производственных отношений и новых методов хозяйствования в транспортном строительстве : сборник научных трудов / В.Д.Ардзинов // Инженернопроизводственная подготовка к строительству железных дорог:Сборник научных трудов / под. ред. д.т.н. Г.Н. Жинкина. - СПб. : ПИИТ. -...»








 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.