Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического

приборостроения

Основы теории цепей

Расчет цепей с управляемыми источниками

Методические указания к курсовой работе

ГУАП Санкт-Петербург 2011 Составитель В.А. Атанов Рецензент кандидат технических наук, доцент П.Н. Неделин.

Курсовая работа является заключительным этапом в обучении студентов по дисциплине “Основы теории цепей”. Целью работы является развитие у студентов навыков самостоятельной работы по анализу и проектированию линейных электрических цепей.

Проводятся методические указания у определению передаточных функций, частотных характеристик, устойчивости, реакции на периодическое негармоническое воздействие и импульсное воздействие сложной формы цепи с управляемыми источниками.

Методические указания предназначены в первую очередь для студентов радиотехнического направления.

Подготовлены к публикации кафедрой электротехники и технической диагностики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

Введение Цепи с управляемыми источниками электрической энергии широко используются в инженерной практике. Они выполняют роль фильтров электрических сигналов, корректирующих звеньев динамических систем, усилителей и преобразователей в системах контроля и управления.

Курсовая работа является заключительным этапом изучения дисциплины «Основы теории цепей». Она содержит следующие положения.

Для заданного варианта схемы электрической цепи с управляемым источником вывести формулу передаточной функции в операторном и комплексном виде.

Найти нули и полюса функции, изобразить их на комплексной плоскости, сделать вывод об устойчивости цепи.

Рассчитать и построить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазочастотную характеристику (ФЧХ) цепи.

Найти реакцию цепи на периодичное негармоническое воздействие.

Построить амплитудный и фазовый частотные спектры входного воздействия и выходной реакции.

Рассчитать и построить переходную и импульсную функции цепи.

Рассчитать переходный процесс в цепи при заданном скачке входного напряжения.

Рассчитать реакцию цепи на одиночное импульсное воздействие.

Построить графики воздействия и реакции цепи.

1. Управляемые источники и обратные связи Источники электрической энергии, в которых напряжение или ток в одной из ветвей зависят от напряжения или тока в другой, называются управляемыми или зависимыми. Источники имеют два входных зажима, к которым подводятся задающее напряжение или задающий ток и два выходных зажима, к которым подключается нагрузка или другая электрическая цепь.

Различают четыре типа зависимых источников (рисунок 1). Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН). Это может быть усилитель напряжения, например, на основе полевого транзистора или операционного усилителя на микросхеме. Для ИНУН можно записать u2 = U · u1, где u1, u2 – входное и выходное напряжения; U – коэффициент передачи по напряжению.

Источник тока, управляемый током (ИТУТ). Например, усилитель тока на основе биполярного транзистора. ИТУТ имеет зависимость i2 = i · i1, где i1, i2 – входной и выходной токи; U – коэффициент передачи по току.

Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ). Примером может служить усилитель напряжения на биполярном транзисторе. ИНУТ имеет зависимость u2 = z · i1, где i1, u2 – входной ток и выходное напряжение; z – коэффициент передачи, имеет размерность сопротивления.

Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН). Например, это усилитель мощности на основе полевого транзистора. ИТУН характеризуется соотношением где u1, i2 – входное напряжение и выходной ток; y – коэффициент передачи, имеет размерность проводимости.

Рисунок 1. Управляемые (зависимые) источники электрической энергии;

а) – ИНУН; б) – ИТУТ; в) – ИНУТ; г) – ИТУН При расчетах электрических цепей усилительные элементы в виде транзисторов, операционных усилителей и др. могут быть представлены в виде схем замещения (таблица 1).

Усилительные элементы нелинейные, поэтому линейные схемы замещения применимы только для «малых сигналов», т.е. когда переменные составляющие напряжений и токов во всех цепях малы относительно их постоянных значений, определяемых заданным режимом работы усилителя.

Расчет цепей с зависимыми источниками выполняется теми же методами, что и расчет цепей с независимыми источниками. Наиболее часто используются методы узловых напряжений и токов связей.

Электрические цепи с управляемыми источниками обычно содержат обратные связи (ОС), которые сообщают цепям требуемые статические и динамические свойства. Обратная связь осуществляет передачу части электромагнитной энергии с выхода устройства обратно на его вход по цепи Наименование изображение обратной связи. Обратные связи делятся по току и напряжению, на последовательные и параллельные.

на вход основной цепи. Передаточная функция основной цепи цепи ОС Согласно закону напряжений Кирхгофа на входе цепи Передаточная функция всей цепи с ОС и учетом (1), (2), (3) принимает вид

ОС ОС ОС ОС

В знаменателе знак «+» отвечает отрицательной ОС, знак «-»

соответствует положительной ОС. Положительная ОС усиливает сигнал, но цепь становиться менее устойчивой. Отрицательная ОС ослабляет сигнал, но улучшает статические и динамические характеристики цепи.

Вариант задания определяет преподаватель. Для студентов заочного отделения номер варианта соответствует последней цифре индивидуального шифра.

Исходные данные на курсовую работу:

- электрическая цепь с управляемым источником (Приложение 1);

- периодическое негармоническое входное воздействие (Приложение 2);

- импульс входного воздействия (Приложение 3).

Курсовая работа содержит следующие расчеты и построения. Расчет цепи с управляемым источником в установившемся режиме:

- расчет передаточной функции;

- построение АЧХ и ФЧХ;

- определение устойчивости;

- определение реакции цепи на периодическое негармоническое воздействие.

Расчет переходных процессов в цепи:

- определение переходной и импульсной функций;

- построение переходного процесса при ступенчатом входном воздействии;

- расчет переходного процесса при импульсном воздействии.

Выводы по работе.

Курсовая работа представляется на защиту в виде пояснительной записки, содержащей все необходимые расчеты и построения. Форма записки – печатная.

3. Расчет цепи с управляемым источником в установившемся режиме Расчет включает в себя определение передаточной функции по напряжению, построение АЧХ и ФЧХ цепи, определение устойчивости цепи.

Передаточная функция цепи определяется как отношение выходного напряжения Uвых к входному Uвх в комплексной или операторной форме При этом сама функция не зависит от формы входного напряжения, она определяется структурой и элементами цепи.

Здесь и далее в качестве примера рассмотрен вариант 31 задания (Приложения 1, 2, 3). с операционным усилителем, его электрическая цепь дана на рисунке 3. Эквивалентная расчетная схема дана на рисунке 4, где усилитель заменен дополнительной ветвью с источником напряжения Ey и его внутренним сопротивлением на выходе R6, эта ветвь включается параллельно нагрузке.

Расчет передаточной функции может быть выполнен различными методами, выбор метода зависит от сложности структуры цепи. Ниже приведен расчет цепи двумя методами: узловых напряжений и по законам Кирхгофа.

Граф цепи с управляемым источником напряжения дан на рисунке 5, где принято:

U1(p), U2(p), E1(p)=U1(p) – входное и выходное напряжение;

y1(p), y2(p), y3(p), y4(p), y5(p), y6(p), y7(p) – проводимости ветвей;

Ey(p)=U U20(p) – ЭДС источника, управляемого напряжением, т.е. ИНУН.

Система уравнений по методу узловых напряжений Рисунок 3. Электрическая цепь с операционным Рисунок 4. Эквивалентная расчетная цепь с источником напряжения Ey, управляемым напряжением U20 (ИНУН) Рисунок 5. Граф цепи с управляемым источником напряжения, y(p) – проводимости ветвей в операторной форме В (5) принято: y11(p)=y1(p)+y2(p)+y3(p)+y4(p) – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узел 1;

y22(p)= y3(p)+y5(p) – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узел 2;

y33(p)=y2(p)+y5(p)+y6(p)+y7(p) – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узел 3;

проводимости ветвей.

Искомая зависимость – это передаточная функция по напряжению где E1(p)=U1(p), U30(p)= –U2(p). Для упрощения записи проводим замены U(p)U, y(p)y.

Решение системы уравнений (5) возможно разными способами.

Вариант 1. Находим HU(p) путем решения (5) методом подстановок.

Из (5а) находим Подставляем (7) в (5б) и (5в), получаем В (8а) и (8б) приводим подобные члены Из (9а) находим Записываем (9б) и (10) в более простой форме где принято:

Подставляем (12) в (11) Делим левую и правую части (13) на U По заданию U =50000, принимаем U, тогда (14) принимает вид отсюда U30C= – E1D. Искомая зависимость Таким образом, передаточная функция по напряжению имеет вид По варианту задания 31 (Приложение 1) R1=20 кОм, R2=10 кОм, R3=40 кОм, C4=5 нФ, C5=2,5 нФ, тогда в (16) Теперь передаточная функция принимает вид Вариант 2. Находим HU(p) путем решения системы линейных уравнений (5) по правилу Крамера. Поскольку Ey=UU20, то запишем систему уравнений (5) в виде Искомое напряжение U30 определяется по правилу Крамера где - главный определитель системы линейных уравнений, он содержит коэффициенты левой части (18) В частном определителе системы (18) столбец коэффициентов при U заменяется столбцом правой части (18) Делим правую часть (20) на U, после чего U, тогда получаем Делим правую часть (21) на U, после чего U, тогда получаем Подставляем (22) и (23) в (19), получаем Отсюда передаточная функция по напряжению Выражение HU(p) по (25) соответствует HU(p) по (15).

Приведем расчет заданной цепи (рисунок 3) теперь по законам Кирхгофа. Расчетная схема дана на рисунке 6, где принято: 1,2,3 – узлы; К1, К2, К3, К4 – контуры.

Рисунок 6. Электрическая цепь для расчета по законам Кирхгофа Система уравнений по законам Кирхгофа имеет вид где E1(p)=U1(p) – ЭДС источника входного напряжения;

Ey(p)=UUy(p) – управляемый источник напряжения;

R7(p) – сопротивление нагрузки;

Для упрощения записи проводим замены Снижаем порядок системы линейных уравнений с шести до трех. Для этого находим Полученные выражения подставляем в (26.а) (26.б) (26.в), получаем Из контура К5 находим напряжение Uy Находим ЭДС Ey управляемого источника Записываем (27) с учетом (29) Группируем полученные выражения Записываем (31) в более простой форме где принято Искомый ток I7 находим путем решения системы линейных уравнений (32) по правилу Крамера где – главный определитель коэффициентов при I7 на столбец правой части (32) По заданию величина U достаточно большая, U = 50000, принимаем U.

Делим правые части (33), (34) на U, затем U, тогда Ток в нагрузке Искомая передаточная функция Полученное выражение HU(p) по (38) аналогично выражению HU(p) по (16). Сравнение по сложности вычислений позволяет обоснованно выбрать метода расчета.

Эти характеристики полностью определяют структуру частотного спектра выходного напряжения. Амплитудно-частотная характеристика отражает усилительные свойства электрической цепи. Фазочастотная относительно входного.

Переходим от передаточной функции в операторном виде H(p) (16) к комплексной форме H(j) путем замены p на j Выделяем вещественную P() и мнимую Q() Амплитудно-частотная характеристика Фазочастотная характеристика где корни знаменателя, т.е. уравнения 2–1082=0, В расчет принимается положительный корень, т.к. отрицательный корень не имеет физического смысла, частота не может быть отрицательной.

Величина и знак угла * принимают значения В общем случае параметры угла * зависят от степени и знака знаменателя (42).

Рисунок 7. Характеристики цепи: а – амплитудно-частотная; б – Если знаменатель (42) имеет вид F=±an±n, тогда угол * принимает значения АЧХ дана на рисунке 7.а. ФЧХ дана на рисунке 7.б.

заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя переходные токи и преобразуется в активных сопротивлениях цепи в теплоту, которая отводится в окружающую среду.

Электрическая цепь устойчивая, если корни числителя – нули и корни знаменателя – полюса передаточной функции HU(p) = A(p)/B(p) имеют отрицательную вещественную часть.

В рассматриваемом примере числитель не имеет корней. Корни знаменателя находим из уравнения Полюса p1П = –27800 1/с; p2П= – 7190 1/с Рисунок 8. Полюса функции HU(p) на комплексной плоскости Полюса p1П, p2П расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней (рисунок 8.), это означает, что переходные процессы в цепи затухают, цепь устойчивая.

3.4. Определение реакции цепи на периодическое Фильтрующие свойства цепи во временной области проявляются в виде реакции цепи на периодическое несинусоидальное воздействие или воздействие более сложной формы.

По варианту 31 задания входное напряжение U1(t) имеет вид, показанный на рисунке 9.

Разложение входного напряжения в бесконечный тригонометрический ряд Фурье имеет вид (Приложение 2) Рисунок 9. Периодическое негармоническое входное напряжение Ограничиваем ряд Фурье постоянной составляющей и первыми четырьмя гармониками.

диапазоне от 1 до n·1 зависимость HU() (рисунок 7а) претерпевала существенное изменение. Для рассматриваемого варианта задания принимаем f1=1000 Гц, T1=10–3 с.

Амплитудный и фазовый спектры первых гармоник напряжения U1(t) даны на рисунке 10.

Рисунок 10. Спектры входного напряжения: а – амплитудный;

Составляющие входного напряжения:

U1 (t ) 0, U1(1) (t ) 0,318 sin 1 1t 1 =0,318 sin 6, 28 103 t, Первые гармоники разложения и их результирующая даны на рисунке 11.

Реакцию цепи находим на каждую гармонику входного напряжения в отдельности. Результирующая реакция равна сумме составляющих реакций.

Амплитуда n-й гармоники на выходе согласно (4) определяется выражением Фаза n-й гармоники на выходе согласно (5) определяется выражением Реакция выходного напряжения на постоянную составляющую Амплитудный и фазовый спектры гармоник выходного напряжения, n от 0 до 4, приведены на рисунке 12.

Рисунок 12. Спектры выходного напряжения: а – амплитудный;

Составляющие выходного напряжения:

U2 (t ) 0, Результирующее выходное напряжение а так же ее составляющие даны на рисунке 13.

используются различные методы: классический, операторный, пространства состояний, интеграл Дюамеля, моделирующие установки.

Классический метод в наибольшей степени отражает физическую суть процесса. Он наиболее приемлем для решения дифференциальных уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков при входном воздействии цепи в виде постоянного или синусоидального напряжения или тока. Однако, чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоемкой становится операция нахождения постоянных интегрирования.

Операторный метод более формализованный, он не связан с определением постоянных интегрирования. К тому же возможно решение при сложном характере входного воздействия цепи, а также решение уравнений в частных производных.

Метод пространства состояний применяется при решении уравнений на ЭВМ, при расчете вручную этот метод громоздок.

Интеграл Дюамеля используется в случае сложного характера входного воздействия во времени, например, ряда скачков напряжения. Если воздействие и (или) переходная характеристика заданы графически, то интеграл Дюамеля берется путем численного интегрирования.

Получим переходные процессы в цепи как реакцию на единичный скачок hU(t), импульс вида -функции gU(t), скачок заданной величины U1(t), импульс напряжения сложной формы U1(t).

4.1. Определение переходной и импульсной функций Переходная hU(t) и импульсная gU(t) функции определяют вид, скорость затухания и продолжительность переходного процесса. Функции произвольной формы по интегралу или сумме Дюамеля.

Переходная функция hu(t) определяет собой переходный процесс, возникающий при подаче на вход цепи скачка напряжения 1В, такое воздействие определяется единичной ступенчатой функцией (рисунок 14).

Ступенчатая функция отражает распространенный вид входного воздействия при подаче на вход цепи ступенчатого напряжения, коммутации цепи, а в электромеханических устройствах при резком изменении нагрузки электрического генератора или нагрузки на валу двигателя.

Импульсная функция gU(t) определяет собой реакцию цепи на входное воздействие в виде -функции (рисунок 15.).

По определению -функция равна производной от единичной ступенчатой функции 1(t), поэтому импульсная функция равна производной от переходной функции Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t=0, где она стремится к бесконечности. Основное свойство -функции заключается в том, что функция имеет единичную площадь и размерность (сек-1) По виду к -функции близки разряд конденсатора при коротком замыкании, кратковременный ток короткого замыкания генератора, ударная нагрузка на валу двигателя.

Переходная функция цепи может быть получена двумя способами:

- из определения - из передаточной функции HU(p) путем обратного преобразования Лапласа Поскольку функция HU(p) цепи ранее определена, то воспользуемся преобразованием Лапласа. Переходная функция По таблице преобразований Лапласа находим оригинал переходной функции (Приложение 4) Подставляем численное значение, получаем зависимость hU(t), она приведена на рисунке 16.

Импульсная функция gU(t) может быть определена двумя способами:

- по формуле (50) - по обратному преобразованию Лапласа передаточной функции HU(p) (Приложение 4) Подставляем численные значения, получаем зависимость gU(t) приведена на рисунке 17.

Рисунок 17. Импульсная характеристика gU(t) 4.2 Построение переходного процесса при ступенчатом входном На вход цепи подается ступенчатое напряжение U1(t). Представляем его в виде (рисунок 18) Рисунок 18. Входное ступенчатое воздействие Реакция цепи наиболее просто может быть определена через переходную характеристику hU(t) Пусть задано U1=5 В (задается преподавателем), тогда с учетом (56) получаем Переходный процесс показан на рисунке 19.

Рисунок 19. Переходный процесс в цепи при ступенчатом входном 4.3 Расчет переходного процесса при импульсном воздействии Пусть на входных зажимах электрической цепи действует ЭДС e(t) произвольной формы. В общем случае цепь может иметь сколь угодно сложную конфигурацию. Необходимо определить реакцию выходного напряжения U(t) на входное воздействие e(t) (рисунок 20).

Рисунок 20. Входная ЭДС e(t) произвольной формы, U(t) – реакция цепи Напряжение U(t), возникающее под действием ЭДС e(t) можно определить следующим образом: заменим действительную кривую e(t) приближенно ступенчатой с интервалами по оси t, равными (рисунок 21).

Выходное напряжение U(t) является следствием серии ступенчатых изменений входного напряжения, следующих друг за другом через промежутки в интервале от 0 до t.

Первый скачок при t=0 равен e(0). Последующие скачки равны Составляющая напряжения U(t), вызванная отдельным скачком e(t), действующим в момент, равна ehU(t–). Переходную характеристику hU(t–) следует рассматривать как функцию аргумента (t–), так как от момента возникновения скачка e до момента t отсчета значения напряжения U прошло время t–. Все напряжение U(t) является суммой составляющих, вызванных отдельными скачками e(t), т.е.

При уменьшении интервалов до бесконечно малых значений d ступенчатая кривая входного напряжения переходит в заданную кривую e(t), и, соответственно, получаем точное значение для искомого напряжения U(t):

Выражение (63) называется суммами Дюамеля, (64) – интегралом Дюамеля. Первое (63) используется в случае, когда зависимость e(t) не может быть представлена аналитически, решение будет графоаналитическим.

Второе (64) применяется, тогда, когда e(t) представлена аналитически, в том числе и по отдельным интервалам. Переходная характеристика может быть получена двумя способами: 1 – решением переходного процесса в цепи при воздействии ступенчатого воздействия e(t); 2 – на основе обратного преобразования Лапласа (44).

Последовательность расчета с помощью интеграла Дюамеля включает этапы: 1) определение переходной характеристики hU(t) для исследуемой цепи; 2) определение hU(t–) (для этого в формуле hU(t) заменяют t на (t–));

e(t) по времени t и в полученном выражении заменяют t на ); 4) подстановка полученных функций в формулу интеграла Дюамеля (64).

Рассмотрим два примера. Первый пример электрической цепи со следующими данными: входное воздействие имеет вид (рисунок 22.a) переходная характеристика имеет вид Находим В выражении (64) находим значение интеграла При интегрировании учитываем, что e–bt от не зависит Выражение (66) и (67) подставляем в (64), интеграл Дюамеля принимает вид E0+E

I II III

Рассмотрим второй пример электрической цепи. Входное воздействие e(t) имеет более сложную кусочно-аналитическую форму (рисунок 22.б), переходная характеристика hU известна. Интеграл Дюамеля берется по Реакция, т.е. напряжение на выходе электрической цепи на участке I.

на участке II на участке III В рассматриваемом варианте 31 задания зависимость e(t) (рисунок напряжение по участкам принимает вид Полученные зависимости с учетом численных значений и приведены на рисунке 23.б U1(t), В U1(t), В напряжение U2(t) – кривая 4 и её составляющие кривые 1, 2, 3.

В заключении отмечается соответствие полученных результатов требованиям задания на курсовую работу, обосновываются методы решения задач, основные результаты расчетов.

Варианты задания цепей с управляемыми источниками (ИНУН) Вариант * Варианты заданий для студентов заочного отделения соответствуют последней цифре индивидуального шифра.

Uвх = U Варианты задания периодических негармонических воздействий Варианты Вид воздействия и разложение в тригонометрический ряд Фурье 1, 11, 2, 12, 3, 13, Варианты Вид воздействия и разложение в тригонометрический ряд Варианты Вид воздействия и разложение в тригонометрический ряд e(t) Вариант * Рисунок * Для студентов заочного отделения, вариант задания соответствует последней цифре индивидуального шифра.

Список литературы 1. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровин Н.В., Чечурин В.А.

Теоретические основы электротехники: Учебник для вузов: В 3т. 4-е изд. СПб.: Питер 2006.

2. Основы теории цепей: Учебник для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов, - 5-е изд., перераб. – М.:

Энергоатомиздат, 1989.

3. Ионов Ю.А. и др. Основы теории цепей. Анализ цепей с активными элементами: Метод. указ. к курсовой работе для студентов вечерней формы обучения / Под ред. А.К. Явленского; ЛИАП. Л., 1991.

4. Атанов В.А. Методы практического проектирования средств контроля качества и диагностики. Методические указания к практическим занятиям и лабораторным работам. ГУАП. СПб., 2010.

Введение………………………………………………………………………….. 1. Управляемые источники и обратные связи……………………………… 2. Задание на курсовую работу……………………………………………… 3. Расчет цепи с управляемым источником в установившемся режиме….. 3.1 Расчет передаточной функции…………………………………………… 3.2 Построение АЧХ и ФЧХ………………………………………………… 3.3 Определение устойчивости……………………………………………... 3.4 Определение реакции цепи на периодическое негармоническое входное воздействие….…………………………………………………. 4. Расчет переходных процессов в цепи с управляемым источником…... 4.1 Определение переходной и импульсной функций…………………….. 4.2 Построение переходного процесса при ступенчатом входном воздействии………………………………………………………………. 4.3 Расчет переходного процесса при импульсном воздействии заданной формы (интеграл Дюамеля)…………………………………………...… Заключение………………………………………………………………….. Приложение 1. Варианты задания цепей с управляемыми источниками (ИНУН)…………………………..……………………………………………… Приложение 2. Варианты задания периодических негармонических воздействий……………………………………………………………………… Приложение 3. Варианты задания входных воздействий……………………. Приложение 4. Таблица преобразований Лапласа……………………………. Список литературы………………………………………………………………