Академия труда и социальных отношений

Кафедра высшей и прикладной математики

Геворкян Павел Самвелович

Горелов Василий Александрович

АЛГЕБРА»

«ЛИНЕЙНАЯ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

для подготовки бакалавров по направлению

080100 - «Экономика», заочная форма обучения

Москва - 2012 г.

1

Линейная алгебра: учебно-методический комплекс.

Сост. Геворкян П.С., Горелов В.А.: АТиСО, 2012 В учебно-методическом комплексе приводятся рекомендации по изучению дисциплины «Линейная алгебра», программа дисциплины, план семинарских занятий, методические указания по выполнению контрольных работ, практикум по решению задач, задачи контрольных работ, перечень вопросов к экзаменам по дисциплине, список основной и дополнительной литературы, самостоятельная работа студентов, методические рекомендации для преподавателей.

Учебно-методический комплекс предназначен для подготовки бакалавров по направлению 080100 - «Экономика» заочной формы обучения.

Составители: доктор физико-математических наук, профессор Геворкян П.С.

кандидат физико-математических наук, профессор Горелов В.А.

Рецензент: доктор технических наук, профессор Горицкий Ю.А.

Утверждено Ученым советом АТиСО 2012 г.

« »

© Академия труда и социальных отношений, 2012 г.

© Геворкян П.С., Горелов В.А., 2012 г.

Оглавление Введение …..………………..…….………………………………….….…….… 1. Цели и задачи дисциплины ……………………………..……...…….…......… 2. Требования к результатам освоения дисциплины

3. Программа учебной дисциплины ….………………………..………………... 3.1. Учебно-тематический план дисциплины ……………………………….. 3.2. Содержание дисциплины по темам ……….…………………………...... 3.3. Методические указания (рекомендации) по изучению дисциплины … 4. План практических занятий ……………………………………………….… 5. Методические указания к решению задач ………………………………….. 6. Методические указания и правила по выполнению контрольных работ.... Таблица для определения индивидуальных заданий контрольных работ …………………………………...…………………….... Задачи контрольной работы № 1 ………………………………………….... Задачи контрольной работы № 2 …………………………………………… 7. Экзаменационные вопросы ………………..……………………………..… 8. Список основной и дополнительной литературы ……………..….…..…….…

ВВЕДЕНИЕ

Настоящий УМК разработан на основе Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 080100 Экономика (квалификация (степень) "бакалавр") (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 21 декабря 2009 г. N 747) (с изменениями от 31 мая 2011 г.) и рассчитан на подготовку бакалавров по заочной форме обучения в рамках действующих учебных планов Академии.

Современную математику можно определить как науку об абстрактных структурах, выражающих глубокие и сложные количественные и качественные отношения объективной реальности. Математизация теории – один из самых древних путей синтеза научных знаний, поскольку она обеспечивает на основе абстрактности математических понятий общность научных принципов.

Эвристическое взаимодействие качественных и количественных, содержательных и формальных методов исследования составляет основу математизации научного знания.

Математика является не только универсальным языком науки и эффективным средством решения практических задач, но также и элементом общей культуры.

Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки студента.

Квалифицированный экономист должен хорошо разбираться в экономической теории и владеть экономико-математическими методами исследования, что в настоящее время невозможно без соответствующей математической подготовки.

Программа по «Линейной алгебре» для студентов-заочников Академии труда и социальных отношений включает в себя изучение следующих тем: матрицы, определители, системы линейных уравнений, балансовый анализ, векторы, линейные пространства, линейные операторы, прямые и плоскости, кривые второго порядка. Содержание этих классических разделов отражено во многих учебниках и учебных пособиях, однако данный учебно-методический комплекс составлен на основе учебников, указанных в списке рекомендуемой литературы. Поскольку часть материала предназначена для самостоятельного изучения, студент должен иметь в своём распоряжении эти учебники.

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» И ЕЕ МЕСТО В

УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

Дисциплина «Линейная алгебра» относится к циклу общенаучных учебных дисциплин. Основная часть теоретического материала, перечисленного в программе, излагается на лекциях. Главной задачей практических занятий является формирование и развитие умений и навыков, необходимых для практического применения математического аппарата.

Данный курс является математической основой для многих разделов большинства общенаучных и специальных экономических дисциплин.

При построении курса реализуется принцип преемственности обучения, он опирается на математические знания, умения и навыки студентов, приобретенные ими в общеобразовательной школе и средних специальных учебных заведениях.

Изучение дисциплины «Линейная алгебра» является важной составной частью подготовки бакалавра и имеет следующие основные цели:

- познакомить студентов с основами аппарата высшей математики для решения теоретических и практических задач экономики;

- воспитать абстрактное мышление, не привязанное к конкретным условиям и обстоятельствам;

- развить логическое мышление, научить строить логические цепочки рассуждений, в начале которых стоят не вызывающие сомнения факты и положения, а в конце – правильные выводы;

- привить высокие стандарты строгости в доказательстве или обосновании результатов экономических исследований;

- выработать навыки к математическому исследованию экономических проблем.

- формирование научного мировоззрения у студентов;

- формирование математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения других общенаучных и специальных дисциплин;

- формирование личности студента, развитие его интеллекта и умения логически и алгоритмически мыслить;

- формирование умений и навыков, необходимых при практическом применении математических идей и методов для анализа и моделирования сложных систем, процессов, явлений, для поиска оптимальных решений и выбора наилучших способов их реализации.

Важнейшие задачи преподавания линейной алгебры состоят в том, чтобы на примерах математических объектов и методов продемонстрировать студентам сущность научного подхода, специфику математики, научить студентов приемам исследования и решения математически формализованных задач, привить навыки самостоятельной работы с математической литературой.

2. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ

ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих профессиональных компетенций: ОК-12, ОК-13, ПК-2, ПК-3, ПК-5, ПК-14, ПК-15.

В результате изучения данной дисциплины обучающийся должен знать:

- основные понятия и теоремы теории матриц и определителей;

- методы решения систем линейных уравнений;

- основы балансового анализа;

- основные принципы векторного анализа и метода координат;

- элементы теории линейных пространств и линейных операторов;

Уметь:

- выполнять арифметические действия над матрицами и вычислять определители;

- решать системы линейных уравнений;

- решать задачу балансового анализа;

- использовать элементы теории линейных пространств и линейных операторов для решения прикладных задач;

- применять методы линейной алгебры для решения экономических задач;

Владеть:

- навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;

3. ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

3.1. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ

Матрицы и определители Системы линейных уравнений Балансовый анализ Векторная алгебра Линейные пространства и линейные операторы Прямые и плоскости Кривые второго порядка

3.2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ПО ТЕМАМ

1. Понятие матрицы. Основные определения. Действия над матрицами и их свойства. Применение матриц при решении экономических задач.

2. Определители квадратных матриц. Свойства определителей.

3. Обратная матрица. Линейная зависимость строк матрицы. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы.

1. Критерий совместности неоднородной системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли. Квадратные неоднородные системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы и формулы Крамера. Правило отыскания решений общей системы линейных уравнений.

2. Нахождение решений произвольной системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Критерий нетривиальной совместности однородной системы линейных уравнений. Свойства решений.

3. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Структура общего решения. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.

1. Постановка задачи межотраслевого баланса. Критерии продуктивности технологической матрицы. Экономический смысл матрицы полных затрат.

1. Понятие вектора. Основные определения. Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы.

2. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.

Координаты вектора и точки. Координаты суммы векторов и произведения вектора на число. Условие коллинеарности двух векторов.

3. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Скалярное произведение двух векторов. Основные свойства. Выражение скалярного произведения через прямоугольные координаты.

произведения через прямоугольные координаты.

Тема 5. Линейные пространства и линейные операторы 1. Понятие линейного пространства. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства. Изоморфизм.

2. Понятие линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Модель международной торговли.

1. Уравнения прямой на плоскости. Нормальный вектор прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Точка пересечения прямых.

Плоскости в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве.

Нормальный вектор плоскости. Расстояние точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

1. Эллипс. Фокальное свойство эллипса. Гипербола. Фокальное свойство гиперболы. Парабола.

3.3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ (РЕКОМЕНДАЦИИ) ПО ИЗУЧЕНИЮ

ДИСЦИПЛИНЫ

Дисциплина «Линейная алгебра» является базовой не только для предметов естественнонаучного цикла, но также для таких курсов как «математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Методы оптимальных решений», «Макроэкономика», «Микроэкономика», «Логистика» и др.

Программа дисциплины составлена с ориентацией на учебник [1].

По теме 1 нужно изучить лекции 1-3 [1].

По теме 2 нужно изучить лекции 4-5 [1].

По теме 3 нужно изучить лекцию 6 [1].

По теме 4 нужно изучить лекции 7-9 [1].

По теме 5 нужно изучить лекции 10-11 [1].

По теме 6 нужно изучить лекции 12-13 [1].

По теме 7 нужно изучить лекцию 14 [1].

Предусмотрены следующие виды контроля знаний студентов:

– Оперативный контроль. Оперативный контроль проводится с целью определения качества усвоения лекционного и практического материала.

Проводится в форме проверки домашних заданий и опроса студентов.

– Рубежный контроль. Проводится в форме контрольных работ (КР).

– Итоговый контроль. Для контроля усвоения данной дисциплины учебным планом предусмотрен экзамен.

4. ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Понятие матрицы. Операции над матрицами. [2]: 1.1, 1.3, 1.5, 1.9, 1.11, 1.13, 1.17, 1.21, 1.27, 1.29, 1.35, 1.37, 1.47, 1.49.

Определители. [2]: 1.53, 1.59, 1.61, 1.63, 1.67, 1.73, 1.75, 1.79, 1.81, 1.83, 1.85.

Обратная матрица. Ранг матрицы. [2]: 1.89, 1.91, 1.93, 1.95, 1.97, 1.99, 1.107, 1.127, 1.131, 1.141, 1.143.

Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Теорема КронекераКапелли. [2]: 2.1, 2.3, 2.11, 2.13, 2.15, 2.17, 2.23, 2.25, 2.29, 2.31, 2.35.

Метод Гаусса. [2]: 2.39-2.60 (нечетные).

Однородные системы линейных уравнений. [2]: 2.61-2.81 (нечетные).

Балансовый анализ. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. [2]: 2.82нечетные).

Векторы. Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. [2]: 3.1-3.22 (нечетные).

Прямоугольная система координат. [2]: 3.23-3.53 (нечетные).

Скалярное произведение двух векторов. [2]: 3.54-3.72 (нечетные).

Векторное и смешанное произведение векторов. [2]: 3.73-3.92 (нечетные).

Линейное пространство. [2]: 4.5-4.25 (нечетные).

Линейные операторы. [2]: 4.26-4.56 (нечетные).

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Модель международной торговли. [2]: 4.57, 4.59, 4.65, 4.67, 4.69, 4.75, 4.77, 4.87, 4.89.

Прямые и плоскости. [2]: 5.9, 5.13, 5.21, 5.29, 6.5, 6.11, 6.19, 6.25, 6.29, 6.31.

Кривые второго порядка. [2]: 7.1-7.32 (нечетные).

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Задача 1. Пусть стороны AB и AD ромба ABCD расположены на прямых соответственно, а P (21; 15) – точка пересечения его диагоналей. Найти:

а) координаты вершин ромба;

б) уравнения сторон BC, DC и диагоналей ромба;

в) площадь ромба.

Решение. а) Так как вершина A лежит одновременно на сторонах AB и AD (рис. 1), то её координаты должны удовлетворять уравнениям этих сторон и, следовательно, системе Решив эту систему (например, методом Гаусса), найдём, что A = (10, 4).

б) Поскольку AC = 2 AP = 2(11, 11) = (22, 22), то Диагональ AC лежит на прямой с направляющим вектором AP = (11, 11), проходящей через точку A(10, 4). Поэтому её уравнение имеет вид что равносильно уравнению x – y – 6 = 0.

перпендикулярна вектору AP = (11, 11). Следовательно, BD лежит на прямой с нормальным вектором (11, 11), проходящей через точку P(21, 15). Поэтому уравнение диагонали BD имеет вид что равносильно уравнению x + y – 36 = 0.

Точка B является пересечением прямых AB и BD, точка D - пересечением прямых AD и BD. Поэтому координаты точек B и D, соответственно, удовлетворяют системам уравнений Решая эти системы, находим B = (22, 14), D = (20, 16).

Прямые BC и DC проходят через точку C(32, 26) и имеют направляющие предыдущему получаем их уравнения 6x – 5y – 62 = 0 и 5x – 6y – 4 = 0.

в) Площадь ромба найдем как половину произведения длин его диагоналей:

в) S = 44.

1. Как построить точку по заданным ее декартовым координатам:

2. Какие знаки имеют координаты точек, расположенных в разных:

Значком * отмечены более трудные (часто – необязательные при первом чтении) задачи.

а) четвертях координатной плоскости;

б)* квадрантах координатного трехмерного пространства?

3. Чем отличаются друг от друга координаты двух точек, симметричных относительно:

а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат?

4. Как найти расстояние между двумя точками:

б) если точки плоскости имеют одинаковые абсциссы, но разные ординаты;

в) если одна из двух точек – начало координат?

5. Как найти координаты точки, делящей данный отрезок пополам, если известны координаты концов отрезка?

6. Пусть точка С(5; -1) – середина отрезка АВ, причем точка А задана: А(-3; 1).

Найдите координаты точки В.

7*. По какой формуле можно найти координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении?

8. Что такое уравнение линии:

а) на плоскости; б) в трехмерном пространстве?

9. Как проверить, лежит ли данная точка на данной линии (или, что то же самое, проходит ли данная линия через данную точку)?

10. Как найти точки пересечения (общие точки) двух линий, заданных своими уравнениями?

11. Каковы особенности положения прямой на плоскости, если в ее каноническом уравнении ах + by + c = 0 :

а) отсутствует свободный член c;

12. Запишите уравнения осей координат на плоскости.

13. Как вычислить угол между прямыми на плоскости, заданными своими уравнениями?

14. Напишите условие:

а) параллельности; б) перпендикулярности двух прямых на плоскости.

15. Как найти угловой коэффициент прямой по ее общему уравнению на плоскости?

16. Как найти расстояние:

а) от данной точки до данной прямой на плоскости;

б)* от данной точки до данной плоскости в трехмерном пространстве?

Задача 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Решение. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений изложен в учебнике [1] (лекция 5) и задачнике [2] (§ 2.3). Этот метод состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе (обратный ход) из полученной ступенчатой системы последовательно определяют неизвестные.

Выпишем расширенную матрицу исходной системы:

Для первого шага необходимо, чтобы а11 – первый элемент первой строки матрицы – был отличен от нуля. Поэтому надо предварительно поменять местами первую строку с той, у которой в первом столбце стоит элемент, отличный от нуля. В нашем случае лучше переставить первую и вторую строки (так как первый элемент второй строки равен 1, это облегчит вычисления). Получим следующую матрицу:

На первом шаге метода Гаусса обнуляются первые элементы всех строк, начиная со второй. Поскольку первый элемент второй строки уже равен нулю, оставляем её неизменной. Для обнуления первого элемента третьей строки вычтем из неё поэлементно удвоенную первую. Получим новую третью строку расширенной матрицы: (0 0 3 -9 | -30). В результате описанных преобразований имеем новую расширенную матрицу системы, эквивалентной исходной:

Поскольку второй столбец новой матрицы соответствует ступенчатому виду, шаг 2 метода Гаусса выполнять не нужно, переходим сразу к третьему шагу. Для этого из третьей строки вычитаем утроенную вторую. В результате получим новую матрицу:

В этой матрице можно удалить третью строку, целиком состоящую из нулей. В итоге получаем такую матрицу:

На этом прямой ход метода Гаусса завершен – система, соответствующая полученной матрице, равносильна исходной и имеет ступенчатый вид:

Начинаем обратный ход метода Гаусса – находим последовательно неизвестные, поднимаясь постепенно от последнего уравнения системы (*) к первому. При этом надо разбить неизвестные на две группы – базисные и свободные. В качестве базисных можно выбрать неизвестные, с которых начинаются уравнения системы (*), т.е. х1 и х3. Остальные неизвестные, в нашем случае это х2 и х4 – свободные. В итоге мы должны выразить базисные неизвестные через свободные.

Полагая в системе (*) x2 = c1, x4 = c2, где c1 и c2 – произвольные числа (параметры), из последнего уравнения системы (*) находим х3 = 10 + 3c2. Подставляя это значение х3 в первое уравнение системы (*), находим х1 = 3 с1 + 2c2.

Мы нашли общее решение исходной системы. Запишем ответ тремя способами (можно использовать любой из них).

где с1, с2 – произвольные числа. Иначе:

Наконец, запишем ответ в векторном виде:

1. Что такое система линейных уравнений (СЛУ)?

б) совместная, несовместная СЛУ;

в) определенная, неопределенная СЛУ;

3. Какие элементарные преобразования СЛУ приводят к системам, равносильным исходной?

4. В каком случае прямой ход метода Гаусса решения СЛУ показывает, что СЛУ несовместна?

5. В каком случае в прямом ходе метода Гаусса мы можем отбросить одно уравнение?

6. Чем заканчивается прямой ход метода Гаусса: какого вида матрицу мы должны получить?

7. а) В каком случае приходится разбивать неизвестные на две группы:

свободные и базисные?

б) Однозначно ли (единственным ли способом) можно провести это разбиение?

8. В чем состоит обратный ход метода Гаусса?

9. Пусть СЛУ имеет бесконечно много решений. В этом случае что такое:

10. Что такое ранг системы уравнений?

11. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли – критерий совместности СЛУ.

12. Как связан ранг матрицы неопределенной СЛУ с количеством:

неизвестных в ее общем решении?

13. Что такое однородная СЛУ?

14. Может ли однородная СЛУ быть:

15. Что такое фундаментальная система решений однородной СЛУ?

16. Какова связь общего решения неопределенной неоднородной СЛУ с общим решением соответствующей однородной системы?

17. Каковы условия существования нетривиального (ненулевого) решения однородной СЛУ?

Задача 3. Для матрицы найти A-1 и проверить равенства AA-1=A-1A=E.

Решение. 1. Для существования матрицы, обратной к А, необходимо и достаточно, чтобы её определитель А был отличен от нуля (см. [1], § 3.1). Найдем А по формуле (2.4) книги [1]:

Поскольку определитель не равен нулю, матрица A-1 существует.

2. Находим матрицу А-1 по формуле (3.4) учебника [1].

10. Определитель матрицы А мы уже нашли, он равен 47.

формуле Аij = (-1)i+j Mij, где Мij – минор элемента аij матрицы А – определитель, полученный из этой матрицы вычеркиванием ее i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент аij (cм. определения 2.1 и 2.3 из [1]):

30. Обратная матрица имеет вид:

3. Проверим, что AA-1= E. Сначала заметим, что для простоты вычислений можно умножить на матрицу А не на А-1, а на матрицу (её элементы, в отличие от матрицы А-1, являются целыми числами, что облегчает определителю матрицы А, т.е. 47 (а не 1, как у единичной матрицы Е). Обозначим результат произведения A А через С = (сij) и найдем последовательно все элементы сij матрицы С.

Элемент с11 равен сумме произведений элементов первой строки матрицы А на соответствующие элементы первого столбца матрицы А (если считать элементы первой строки матрицы А координатами одного трехмерного вектора, а элементы первого столбца матрицы А – координатами второго трехмерного вектора, то надо найти скалярное произведение этих векторов – см. формулы (9.17) и (1.15) книги [1]):

Элемент с12 находится перемножением элементов первой строки матрицы А на второй столбец матрицы А :

Аналогично находим и все остальные элементы матрицы С. В итоге получаем Равенство A-1A=E проверяется точно так же.

2. С любыми ли матрицами можно производить указанные в вопросе операции?

3. Какие свойства перечисленных в вопросе 1 операций вы знаете?

а) нулевая; б) квадратная; в) единичная; г) диагональная матрица?

5. У каких матриц существуют определители?

6. Как вычислить определитель:

7. Каковы основные свойства определителей?

8. Сформулируйте теорему Лапласа о разложении определителя по строке (столбцу).

9. Что значит транспонировать матрицу?

10. Что такое минор n-го порядка матрицы А?

11. Что такое алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А?

12. Что такое невырожденная матрица?

13. Что такое матрица, обратная матрице А?

14. Для каких матриц существует обратная?

15. Как вычислить матрицу, обратную данной матрице А?

16. Как можно проверить правильность вычислений при нахождении обратной матрицы?

Задача 4. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем данную систему в матричном виде:

где Если у матрицы А существует обратная матрица А-1 (для этого необходимо и достаточно условие А 0 ), то, умножая обе части равенства (*) слева на А-1, получим Следовательно, система (*) имеет единственное решение, выражающееся по формуле (**). Определитель А и матрицу А-1 найдём, как и при решении задачи 3:

Тогда согласно формуле (**) получаем матрицу-столбец а значит, и решение исходной системы: х1 = 3, x2 = 3, х3 = 1.

1. Опишите ход решения СЛУ с помощью обратной матрицы.

2. При каких условиях решение СЛУ может быть найдено с помощью обратной матрицы?

Задача 5. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

Решение. Запишем систему в матричном виде:

где Согласно правилу Крамера (см. формулу (4.10) из [1]) где = А, а i, i= 1, 2, 3 - определители матриц, полученных из матрицы A заменой i-го столбца на столбец B свободных членов. Последовательно вычисляем:

Отсюда 1. Сформулируйте теорему (правило) Крамера решения СЛУ и запишите формулы Крамера.

2. При каких условиях решение СЛУ может быть найдено с помощью правила Крамера?

Задача 6. Найти ранг матрицы Решение. Как известно, ранг матрицы равен числу ненулевых строк в её ступенчатом виде (см. [2], § 1.6). Применяя к данной матрице элементарные преобразования, также как при решении задачи 2, можно привести её к ступенчатому виду 1. Что такое ранг матрицы?

2. Для каких матриц можно определить ранг?

3. Чему равен ранг невырожденной квадратной матрицы?

Задача 7. Радиозавод имеет три основных производственных цеха. Каждый цех потребляет некоторое количество своей продукции и продукции других цехов.

Пусть балансовый отчет цехов имеет вид:

Требуется:

а) записать балансовые соотношения и определить объём конечной продукции в каждом цехе;

б) найти матрицу прямых затрат A и выяснить её продуктивность;

в) найти матрицу полных затрат S = ( E A) 1 ;

г) для нового вектора конечной продукции найти вектор валовой продукции X по формуле X=SY.

Решение. а) Пусть xi – валовый выпуск продукции i –го цеха за плановый период; xij – объём продукции i – го цеха, потребляемой j – м цехом; yi – объём конечной продукции j –го цеха.

Балансовые соотношения для нашей задачи имеют вид (см. [1], § 6.1):

Следовательно, объём конечной продукции по цехам можно представить в виде вектора б) Элементы аij матрицы прямых затрат A показывают затраты продукции i – го цеха на производство единицы продукции j – го цеха:

(см. [1], § 6.1); предполагается, что аij постоянны и зависят только от сложившейся технологии производства. Для наших исходных данных получаем:

Воспользуемся критерием продуктивности матрицы (см. [1], § 6.2):

Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы, причём хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

В нашем случае имеем:

max a ij = max{0,1 + 0,2 + 0,1;0,25 + 0,2 + 0,05;0,1 + 0,2 + 0,1} = max{0,4;0,5;0,4} = 0.5 < 1.

Следовательно, матрица A продуктивна.

задаче 3:

г) Находим вектор валовой продукции X :

1. Что такое балансовые соотношения?

2. В чём заключается экономический смысл элементов матрицы прямых 3. В чём заключается экономический смысл элементов матрицы полных 4. Сформулируйте критерий продуктивности матрицы.

Задача 8. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей Решение. В соответствии с теорией (см. [1], § 11.2) найдём характеристический многочлен данной матрицы:

нашего многочлена принадлежат множеству {±1, ±2, ±3, ±6}. Непосредственной известно, являются делителями его свободного члена. Таким образом, целые корни проверкой убеждаемся, что 1=1, 2=2, 3=3.

Найдём собственный вектор X = (x1, x2, x3), соответствующий собственному значению 1=1. Он удовлетворяет матричному уравнению равносильному системе уравнений Решая эту систему (например, методом Гаусса), получим, что X = (c, c, c)= с (1, 1, 1), где c 0 – произвольное число.

соответствуют собственные вектора с (1, 1, 0), а собственному значению 3 = 3 - вектора с (2, 1, -1).

Ответ: 1=1, X1 = (1, 1, 1); 2=2, X2 = (1, 1, 0); 3=3, X3 = (2, 1, -1).

1. Сформулируйте определения собственного вектора и собственного значения линейного оператора.

2. Опишите алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов.

3. Сколько собственных значений и собственных векторов может быть у линейного оператора?

6. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРАВИЛА ПО

ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

По дисциплине «Линейная алгебра» проводятся две контрольные работы.

Контрольные работы являются очень важной формой аттестации обучающихся.

Контрольные работы должны оформляться по следующим правилам:

1. Студент присылает на проверку работу только своего варианта, причем в сроки, указанные в учебном плане.

Номера задач контрольных работ определяется по соответствующей таблице с помощью двух последних цифр номера зачетной книжки студента.

2. Контрольную работу рекомендуется выполнять в обычной тетради «в клеточку» чернилами или пастой любого цвета, кроме красного, оставляя стандартные поля для замечаний рецензента и несколько страниц в конце тетради для исправлений и дополнений, если этого потребует рецензент.

3. На обложке тетради студент должен указать свою фамилию, имя и отчество, номер зачётной книжки, курс и группу, в которой он учится, домашний адрес, номер контрольной работы и ее название, дату отправки. В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

4. Перед решением каждой задачи нужно выписать её условие (переписывать данные только своего варианта).

5. Решение задачи должно сопровождаться объяснениями и ссылками на соответствующие теоремы, формулы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. После решения задачи должен следовать «Ответ», в котором излагается результат решения.

6. После получения отрецензированной работы студент должен внимательно ознакомиться со всеми замечаниями рецензента и исправить все отмеченные ошибки и недочёты. Если работа не зачтена, следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии таких указаний вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторную проверку обязательно с незачтённой ранее работой и рецензией к ней.

Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачёту не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки.

При подготовке к экзамену студенту рекомендуется еще раз обратиться к методическим указаниям и примерам, разобранным в них, а также к вопросам для самопроверки. К экзамену студент должен представить зачтённые контрольные работы с проведенной работой над ошибками, если они были. По каждой зачтённой контрольной работе со студентом проводится собеседование. Без этого студент не допускается к экзамену. На экзамене студент отвечает на вопросы по теории и решает задачи.

Предпоследняя цифра номера зачетной книжки

ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №

Пусть точка А (хА; уА) – вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD расположена на прямой а) координаты вершин B, C и D;

б) площадь квадрата;

в) уравнения сторон АВ, ВС, CD и DA;

г) уравнение диагонали AC.

Сделать чертеж.

Исходные данные:

Пусть стороны AB и AD ромба ABCD расположены на прямых а1 х + b1 y + c1 = 0 и а2 х + b2 y + c2 = 0 соответственно, а P (хP; уP) – точка пересечения его диагоналей. Найти:

б) уравнения сторон BC, DC и диагоналей ромба;

Сделать чертеж.

Исходные данные:

Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Исходные данные:

Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

Исходные данные:

Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Исходные данные:

ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №

Вычислить матрицу F=AT B+CD по заданным матрицам A, B, C, D и числу.

Исходные данные:

Найти ранг матрицы Исходные данные:

Для заданной матрицы A найти A-1 и проверить равенства AA-1=A-1A=E.

Исходные данные:

Пусть балансовый отчет для трёхотраслевой модели экономики имеет вид:

Требуется:

а) записать балансовые соотношения и определить объём конечной продукции в каждой отрасли;

б) найти матрицу прямых затрат A и выяснить её продуктивность;

в) найти матрицу полных затрат S=(E-A)-1 (для избежания ошибок проверить, выполняются ли равенства S(E-A)=(E-A)S=E );

г) для нового вектора конечной продукции найти вектор валовой продукции X по формуле X = SY.

Исходные данные:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей A.

Исходные данные:

7. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

1. Понятие матрицы. Основные определения.

2. Действия над матрицами и их свойства.

3. Определители квадратных матриц. Свойства определителей.

4. Обратная матрица.

5. Ранг матрицы.

6. Системы линейных уравнений. Основные понятия.

7. Теорема Кронекера-Капелли.

8. Правило Крамера.

9. Метод Гаусса.

10. Критерий существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений. Свойство решений.

11. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Структура общего решения.

12. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.

13. Балансовый анализ (модель многоотраслевой экономики).

14. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

15. Коллинеарные и компланарные векторы.

16. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.

Координаты вектора и точки.

17. Длина вектора и расстояние между двумя точками.

18. Скалярное произведение двух векторов. Основные свойства.

19. Векторное произведение двух векторов. Основные свойства.

20. Понятие линейного пространства. Базис и размерность.

21. Понятие линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

22. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

23. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

24. Нормальный вектор прямой. Расстояния от точки до прямой.

25. Уравнения плоскости в пространстве.

26. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

27. Нормальный вектор плоскости. Расстояния от точки до плоскости.

28. Кривые второго порядка.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1]. Геворкян П.С. и др. Высшая математика для экономистов, М.:

«Экономика». 2010.

[2]. Геворкян П.С. и др. Сборник задач по высшей математике для экономистов. М.: «Экономика», 2011.

[3]. Геворкян П.С., Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.:, Физматлит, 2007.

[1]. Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов, М.: Инфра-М, 2006.

[2]. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов (учебник), М.:

ЮНИТИ, 2006.

[3]. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Практикум для вузов, М.: ЮНИТИ, 2007.

Составители: Геворкян П.С., Горелов В.А.

Редактор - Ф.И.О.

Компьютерная верстка - Геворкян П.С.

Информационно-издательский центр Академии труда и социальных отношений Объем п.л. Тираж _экз. Формат А5 Заказ № подписано в печать Отпечатано в типографии АТиСО Адрес редакции: 119454, Москва, ул. Лобачевского, Тел.: 432-3376, 430-8150. Факс: 432-