Главная >> Методички

Pages: |

| 2 | 3 |

«МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 010700.62 Физика и по ...»

-- [ Страница 1 ] --

В.С. Русаков, А.И. Слепков

Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова

МЕХАНИКА.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по направлению 010700.62 «Физика»

и по специальности 010701.65 «Физика»

Москва Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 2010 Оглавление 2 В. С. Р у с а к о в, А. И. С л е п к о в, Е. А. Н и к а н о р о в а, Н. И. Ч и с т я к о в а. Механика. Методика решения задач / Учебное пособие. М.: Физический факультет МГУ, 2010. 368 с.

ISBN 978-5-8279-0084-9 Учебное пособие по решению задач механики написано на основании многолетнего опыта проведения занятий по физике на физическом факультете МГУ. При этом авторы стремились использовать в первую очередь наиболее характерные и типичные задачи. С этой целью наряду с оригинальными задачами были использованы формулировки условий задач из существующих учебников, задачников и учебных пособий, которые подвергались существенному исправлению и доработке.

Пособие разбито по главам, каждая из которых включает в себя теоретический материал, основные типы задач и методы их решения, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения.

Настоящее пособие предназначено для студентов высших учебных заведений и имеет целью помочь им овладеть основными методами и приобрести навыки решения задач механики.

Рецензенты: д.ф.-м. н., профессор Г.С. Плотников, д.ф.-м. н., профессор А.С. Илюшин ISBN 978-5-8279-0084-9 © Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010 г.

Оглавление К читателям серии пособий

«УНИВЕРСИТЕТСКИЙ КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ»

На кафедре общей физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова создан и готовится к изданию «Университетский курс общей физики», предназначенный для студентов физических специальностей вузов.

Курс охватывает четыре раздела: «Механика», «Молекулярная физика», «Электромагнетизм» и «Оптика». Отличительной особенностью данного курса является то, что в нем в методическом отношении осуществлено единство основных форм обучения физике: лекции, лабораторные работы и семинары. В системе университетского образования теоретический материал излагается в основном в лекционных курсах, а умение решать задачи отрабатывается на семинарских занятиях. Развитие навыков эксперимента и анализа его результатов происходит в процессе занятий в общем физическом практикуме. В связи с этим, каждый раздел курса состоит из четырех пособий: «Лекции», «Лекционный эксперимент», «Лабораторный практикум» и «Методика решения задач».

Каждая глава пособия «Лекции» содержит материал базового уровня, соответствующего программе курса, и отражает современные тенденции и технологии физического образования. Лекции по каждой теме сопровождаются демонстрацией основных физических экспериментов, описание которых представлено в пособии «Лекционный эксперимент».

Пособием, позволяющим развивать умение решать физические задачи, является «Методика решения задач», которое составлено с таким расчетом, чтобы им можно было пользоваться для самостоятельной работы. Весь материал разбит на главы. Разбор задач всех глав проводится по единой схеме, причем каждую главу можно прорабатывать независимо от других.

Неотъемлемой частью курса общей физики служит лабораторный практикум. Материалы пособия «Лабораторный практикум» достаточны для самостоятельной подготовки к выполнению работ. В связи с этим в пособии имеется как общее теоретическое введение, так и более подробное изложение теории к каждой лабораторной работе. Кроме того, в каждой работе сформулированы цель и идея эксперимента, дано описание установки и подробное изложение последовательности проведения эксперимента и обработки результатов.

Все пожелания и замечания по пособиям курса будут с благодарностью приняты и рассмотрены на кафедре общей физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методическое пособие по решению задач механики предназначается для студентов физических специальностей высших учебных заведений и написано на основе многолетнего опыта проведения авторами занятий по общей физике со студентами физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Опыт проведения занятий показывает, что в настоящее время, к сожалению, наблюдается заметное снижение среднего уровня подготовки выпускников средних учебных заведений в области физики при сохранении высокого уровня у относительно небольшой части вчерашних школьников. Преподаватели вынуждены ориентироваться на среднего студента, и не имеют возможности рассматривать на семинарах задачи повышенной сложности. Поэтому возрастает роль методических пособий, ориентированных на самостоятельную работу студентов.

Нами написано методическое пособие по решению задач механики для студентов первого курса, в котором изложены основные методы решения задач различных типов и приведены основные теоретические сведения по каждой теме, необходимые при решении задач. Целью данного пособия является:

1) помочь студентам овладеть основными методами решения задач механики;

2) дать возможность сильным студентам не ограничиваться задачами среднего уровня, разбираемыми на семинарских занятиях, а ознакомиться с решением задач повышенной сложности.

Учебное пособие состоит из оглавления, девяти глав и списка литературы. Разбиение на главы проведено в соответствии с темами семинарских занятий со студентами первого курса физического факультета МГУ.

Структура изложения всех тем одинакова, причем каждая глава включает в себя следующие разделы:

1) теоретический материал, 2) основные типы задач и методы их решения, 3) примеры решения задач, 4) задачи для самостоятельного решения.

Теоретический материал, представленный в начале каждой главы, содержит основные определения физических понятий и величин, формулировки законов, а также необходимые для решения

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

задач формулы. Основные физические понятия выделены в тексте жирным шрифтом. Часть формул, приведенных в Теоретическом материале каждой главы, сопровождается кратким выводом. При изложении теоретического материала были использованы широко известные учебники, учебные пособия и справочная литература, список которых приведен в конце книги.

В пособии дается классификация задач по каждой теме и предлагаются методы их решения. В каждой главе приведено подробное решение 10 – 12 задач и предложено 10 – 12 задач для самостоятельного решения с ответами. Авторы стремились использовать в первую очередь наиболее характерные задачи. С этой целью наряду с оригинальными задачами были использованы формулировки условий задач из существующих учебников, задачников и учебных пособий, которые подвергались существенному исправлению и коррекции. Решение каждой задачи излагается в соответствии с предложенной в Теоретическом материале общей схемой решения задач по данной теме и сопровождается рисунками с изображением кинематических и динамических характеристик рассматриваемой системы тел.

Особое внимание при изложении материала уделяется выбору моделей материальных объектов и явлений на начальном этапе решения задачи. Особенностью предлагаемого методического пособия является также изложение различных методов решения конкретной задачи и их сравнение.

Пособие, изданное по главам небольшим тиражом, прошло апробацию. Преподаватели, ведущие занятия на первом курсе физического факультета МГУ, в течение трех лет использовали его при проведении занятий и высказали свои замечания и предложения, которые были учтены авторами при подготовке книжного варианта. Авторы выражают глубокую благодарность всем преподавателям кафедры общей физики физического факультета МГУ за плодотворные дискуссии и ценные замечания, высказанные в процессе написания данного учебного пособия.

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И

ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ

Физическая величина – это количественная характеристика свойства материальных объектов или явлений (процессов). Каждая физическая величина устанавливается однозначным способом ее измерения – экспериментального определения или расчета. Определение физической величины указывает принципиальный способ ее измерения.

Физическое понятие (модель объекта или явления) – это абстракция (филос.), которая отражает только основные, наиболее существенные, свойства материальных объектов или явлений (процессов).

Критерий правильности выбора модели. Если в данной задаче физическая величина, описывающая неосновное свойство, от которого мы абстрагируемся, много меньше другой, характерной для этой задачи, величины той же размерности, то модель выбрана верно.

Заметим, что один и тот же материальный объект или одно и то же явление в различных условиях могут быть рассмотрены в рамках различных моделей, если они удовлетворяют критериям правильности выбора этих моделей.

Тело отсчета – тело, относительно которого рассматривается движение других тел.

Часы – неподвижный относительно тела отсчета прибор для измерения времени, принцип действия которого основан на сравнении длительности исследуемого временного интервала с длительностью выбранного за эталон периодического процесса.

Система отсчета – совокупность системы координат1, связанной с телом отсчета, и набора синхронизированных часов, размещенных в разных точках координатной системы.

Условие синхронизации часов A и B, расположенных в разных точках системы отсчета (в предположении об изотропности пространства):

Далее в тексте, если это не оговаривается особо, используется декартова система координат.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Здесь t1A – момент времени излучения из точки A светового сигнала (кванта света) по часам в точке A, t B – момент времени регистA рации этого сигнала в точке B по часам в точке B, t 2 – момент времени регистрации в точке A отраженного в точке B сигнала по часам в точке A.

Материальная точка – физическое понятие (модель, абстракция), представляющее тело, размерами (и формой) которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Положение материальной точки относительно данной системы отсчета (в данной системе отсчета) S задается ее координатами или радиус-вектором r.

Радиус-вектор материальной точки r относительно данной системы отсчета – вектор, начало которого находится в начале координат этой системы, а конец – в месте расположения материальной точки (см. рис. 1.1а):

где i, j и k – орты декартовой системы координат: i = 1, j = 1, k = 1 ; x, y, z – координаты материальной точки.

Рис. 1.1. Радиус-вектор r (t ), перемещение r (t + t ) (а) и скорость (t ) (б) Закон движения материальной точки относительно данной системы отсчета – зависимость радиус-вектора или координат материальной точки от времени:

Траектория движения материальной точки – линия, описываемая в пространстве концом радиус-вектора материальной точки.

Уравнение траектории задается совокупностью двух уравнений которые можно получить, исключая время из закона движения в координатной форме (1.3). Заметим, что сам закон движения в координатной форме представляет собой уравнение траектории, заданное в параметрическом виде.

Перемещение материальной точки r (t ) – изменение радиус-вектора материальной точки за время t с момента времени t (рис. 1а):

Скорость материальной точки относительно данной системы отсчета – физическая величина, равная производной радиус-вектора материальной точки по времени (производная берется при постоянных ортах системы координат, поскольку они жестко связаны с телом отсчета):

где x, y, z – проекции скорости на соответствующие оси системы координат. Скорость можно представить в виде суммы составляющих скорости вдоль осей системы координат:

При этом модуль скорости равен

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В соответствии с определением скорость всегда направлена по касательной к траектории (см. рис. 1.1б).

Зная закон изменения скорости материальной точки (t ), и радиус-вектор r0 r (t0 ) в начальный момент времени t0, можно найти закон движения:

Путь s(t), пройденный материальной точкой вдоль траектории (длина траектории) за время t, равен при этом модуль скорости (t ) в любой момент времени равен Ускорение материальной точки a относительно данной системы отсчета – физическая величина, равная производной скорости материальной точки по времени (при постоянных ортах системы координат):

где ax, ay, az – проекции ускорения a на соответствующие оси системы координат. Ускорение a можно представить в виде суммы составляющих ускорения вдоль осей системы координат:

При этом модуль ускорения a равен Зная закон изменения ускорения материальной точки a (t ), а также скорость 0 (t0 ) и радиус-вектор r0 r (t0 ) в начальный момент времени t0, можно найти закон изменения скорости и закон движения:

Начальные условия для материальной точки – значения радиус-вектора и скорости в начальный момент времени t0 относительно заданной системы отсчета:

Тангенциальное ускорение a – составляющая ускорения a вдоль направления скорости (см. рис. 1.2):

где a (t ) – проекция ускорения a на направление скорости.

Рис. 1.2. Ускорение материальной точки a и ее тангенциальная a и Движение материальной точки при a (t ) > 0 – ускоренное, при a (t ) < 0 – замедленное, при a (t ) = 0 – равномерное, а при a (t ) = const 0 – равнопеременное.

Нормальное ускорение an – составляющая ускорения a, перпендикулярная направлению скорости (рис. 1.2):

где an (t ) – проекция ускорения a на направление n, перпендикулярное скорости и направленное к центру кривизны траектории.

Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории – центру окружности максимального радиуса (радиуса

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

кривизны траектории), касательной к траектории в данной точке, при этом где (t ) – радиус кривизны траектории в данной точке, а d – угол между скоростями в моменты времени t и t + dt.

Ускорение a можно представить в виде суммы нормального an и тангенциального a ускорений:

При этом модуль ускорения a равен В соответствии с (1.21) и (1.22) ускорение всегда отклонено от направления скорости в сторону центра кривизны траектории в данной точке, то есть внутрь траектории (см. рис. 1.2).

При этом:

Механическая система – совокупность материальных тел.

Система материальных точек – совокупность тел, каждое из которых можно считать материальной точкой. Далее будем счиГлава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем тать, что всякую рассматриваемую нами механическую систему можно рассматривать как систему материальных точек.

Абсолютно твердое тело – тело (система материальных точек), расстояния между двумя любыми материальными точками которого не меняются в условиях данной задачи.

Поступательное движение абсолютно твердого тела – движение, при котором прямая, соединяющая любые две материальные точки тела, перемещается параллельно самой себе.

Принцип суперпозиции движений – в случае поступательного движения системы отсчета S относительно системы S (рис. 1.4) радиус-вектор (скорость, ускорение) произвольной материальной точки относительно системы S равен сумме радиусвекторов (скоростей, ускорений) начала отсчета O' системы S' и той же материальной точки относительно системы S':

Здесь O и a O – переносные скорость и ускорение соответственно.

Рис. 1.4. Положение материальной точки M относительно двух Уравнения кинематической связи – уравнения, связывающие кинематические характеристики различных тел системы:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Существуют два способа нахождения уравнений кинематической связи.

Способ 1. Принцип независимых перемещений. Перемещение какого-либо тела в системе связанных тел складывается из так называемых «независимых» перемещений, каждое из которых обусловлено (вызвано) перемещением соответствующего другого тела системы при покоящихся остальных телах:

Способ 2. Записать величины постоянных кинематических характеристик элементов связей (нитей, штанг, блоков, поверхностей и т.д.) через координаты тел системы, используя свойства этих элементов (нерастяжимость, неподвижность, недеформированность), и продифференцировать эти величины по времени.

1.2. Основные типы задач и методы их решения 1.2.1. Классификация задач кинематики Основной задачей кинематики является определение кинематических характеристик тел, движущихся относительно данной системы отсчета.

Большинство задач кинематики можно условно отнести к следующим типам задач или их комбинациям:

1) кинематика материальной точки, 2) принцип суперпозиции движений, 3) уравнения кинематической связи, 4) кинематика простейших механических систем.

Как правило, один из типов задач имеет основное, другие – подчиненное по отношению к условию задачи значение.

1.2.2. Общая схема решения задач кинематики I. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.

1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.

2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем 3. Изобразить и обозначить кинематические характеристики 4. Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано в II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.

1. Записать в проекциях на оси координат:

2. Записать начальные условия.

3. Записать уравнения кинематических связей.

4. Использовать результаты ранее решенных задач и особые условия задачи (например, заданные соотношения между характеристиками системы).

III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.

1. Решить систему полученных уравнений.

2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установить область применимости).

3. Получить численный результат.

В случае решения задач на кинематику материальной точки в пп. I.3 – II.2 речь идет о кинематических характеристиках материальной точки, а п. II.3 надо опустить.

В случае решения задач на кинематику простейших механических систем в пп. I.3 – II.2 речь идет о кинематических характеристиках тел рассматриваемой системы.

Пункты II.1 – II.3 (в том числе II.2.a – II.2.в) можно выполнять в той или иной последовательности в зависимости от типа задачи.

Скорость материальной точки зависит от ее положения в декартовой системе координат следующим образом: = ci + bxj, где

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

c и b – положительные постоянные величины. В начальный момент времени радиус-вектор материальной точки равен нулю: r (0) = 0.

Определить:

а) законы движения r (t ), изменения скорости (t ) и ускорения a (t ), тангенциальную a (t ) и нормальную an (t ) проекции ускорения;

б) уравнение траектории y(x) материальной точки;

в) радиус кривизны траектории (t ) ;

г) угол (t ) между скоростью (t ) и ускорением a (t ).

Следуем общей схеме решения задач кинематики материальной точки и простейших систем.

I. По условию задачи движение происходит в плоскости XY, образованной координатными осями, направления которых заданы ортами i и j.

II. Запишем начальные условия и закон изменения скорости тела в проекциях на оси выбранной системы координат:

III. Записанные дифференциальные уравнения относительно координат материальной точки (1.29) с учетом начальных условий (1.29) позволяют найти закон движения материальной точки в проекциях на оси координат и зависимость от времени радиус-вектора Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем Используя найденную зависимость x(t) (1.31), определим закон изменения скорости (t ) = ci + bx(t ) j и закон изменения ускорения a (t ) :

Уравнение траектории находится из закона движения материальной точки путем исключения из (1.31) времени t:

Остальные искомые величины определяются в соответствии с формулами, приведенными в п. 1 данной Главы.

Модуль скорости (1.7) равен:

Проекции ускорения a (t ) и an (t ) (1.19, 1.23) получим в виде:

Радиус кривизны траектории (1.21) равен:

Угол (t ) между скоростью (t ) и ускорением a (t ) определяется соотношением:

Заметим, что материальная точка движется по параболической траектории (1.35) с постоянным ускорением, направленным вдоль оси Y (1.34). На рис. 1.5 схематично изображена траектория движения материальной точки и изображены векторы ускорения и начальной скорости.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

решения соответствуют начальным усy (x) ловиям задачи. При этом тангенциальное ускорение в указанный момент a времени равно нулю, радиус кривизны траектории в данный момент времени При t значения координат точки и модуль скорости, как и следовало ожидать, неограниченно возрастают, нормальное ускорение и угол между скоростью и ускорением стремятся к нулю, а радиус кривизны траектории – к бесконечности.

Находящееся на высоте H над Землей тело бросили горизонтально с начальной скоростью 0. Найти закон движения тела, уравнение траектории, законы изменения скорости и ускорения, а также нормальную и тангенциальную проекции ускорения и радиус кривизны траектории в произвольный момент времени.

I. Нарисуем чертеж и изобразим на нем заданную в условии задачи скорость тела 0 в начальный момент времени (t = 0) и предполагаемую траекторию движения тела (рис. 1.6).

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Ось X декар- Y вим горизонтально вдоль поверхности Земли по направлению начальной скорости 0, а ось Y – вертикально вверх на положение тела в начальный момент времеX ни. Будем считать, что тело является материальной точкой, а дви- Рис. 1. жение тела у поверхности Земли происходит с постоянным ускорением свободного падения g.

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем II. В соответствии с выбранной системой отсчета и выбранными моделями тела и его движения запишем начальные условия и закон изменения ускорения тела в проекциях на оси координат:

III. Записанные дифференциальные уравнения относительно проекций скорости материальной точки с учетом начальных значений позволяют найти закон изменения скорости тела (t ) и закон его движения r (t ) в проекциях на оси координат:

Уравнение траектории находится из закона движения тела в координатной форме (1.43) путем исключения времени t:

Остальные искомые величины определяются в соответствии с формулами, приведенными в п. 1 данной Главы.

Модуль скорости (1.8) равен:

Модуль ускорения (1.14) имеет вид:

Проекции ускорения на направление скорости и перпендикулярное ему направление (1.19, 1.23) равны:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Радиус кривизны (1.21) определяется соотношением:

Заметим, что в данной задаче все формулы для нахождения искомых величин справедливы с начального момента времени t0 = 0 до момента падения тела на Землю t0 t tпад. Этот момент времени легко найти из закона движения (1.43), приняв координату y равной нулю:

(Кинематика материальной точки и принцип Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды скоростью л, перпендикулярной направлению течения реки. Модуль скорости течения реки, ширина которой d, нарастает от берегов к середине реки по параболическому закону, изменяясь от 0 до um.

Найти уравнение траектории лодки, время ее движения, а также снос лодки l вниз по течению от места ее отплытия до места причаливания на противоположном берегу реки.

I. Выберем декартову систему координат, жестко связанную с берегом реки, и с началом в месте отплытия лодки. Оси системы координат и скорость течения реки u( y ) изображены на рис. 1.7.

При решении задачи лодку будем считать материальной точкой, а берега реки параллельными.

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем II. Запишем начальные условия для лодки в соответствии с условиями задачи:

где x, y – проекции скорости лодки на оси выбранной системы координат.

В соответствии с принципом суперпозиции движений (1.26) в любой момент времени (t ) = u( y (t )) + л (t ) или в проекциях на оси координат:

По условию задачи модуль скорости течения реки, ширина которой d, нарастает от берегов к середине реки по параболическому закону, поэтому можно записать:

где a и b – постоянные величины. Для определения величины b используем условие задачи:

Используя начальные условия x (0) = a + b = 0 и соотношение (1.53), получим величину a:

III. Система уравнений (1.51) с учетом (1.52) – (1.54) преобразуется к виду:

Интегрируя уравнения (1.55) с учетом начальных условий для координат лодки (1.50), находим закон движения:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Уравнение траектории получаем, исключая время t из закона движения в координатной форме (1.56) и (1.57):

Поскольку в момент причаливания y ( ) = d, время движения лодки равно:

Следовательно, для искомого сноса лодки l получим (см. 1.58):

Определить форму траектории капель дождя на боковом стекле трамвая, движущегося горизонтально со скоростью 1, во время его торможения с ускорением a. Капли дождя падают на землю вертикально вниз, и скорость их относительно земли постоянна и равна 2.

I. Нарисуем чертеж и изобразим на нем заданные в условии задачи кинематические характеристики капли дождя и трамвая в момент начала торможения трамвая (рис. 1.8).

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем Выберем систему координат XY, связанную с Землей, так, чтобы ось X была направлена горизонтально вдоль ускорения трамвая, а ось Y – вертикально вниз. Выберем также вторую систему координат XY, связанную со стеклом трамвая, так, чтобы ее оси X и Y были сонаправлены с осями X и Y. Время в обеих системах отсчитываем от момента начала торможения трамвая.

Будем считать, что капля дождя является материальной точкой, положение которой в момент начала торможения трамвая совпадает с началом координат системы XY.

II. Используя принцип суперпозиции движений (1.26), запишем скорость и ускорение a капли дождя относительно стекла трамвая (системы координат XY):

В соответствии с выбранной системой отсчета запишем начальные условия для капли дождя:

III. Записанные дифференциальные уравнения (1.61) и (1.62) с учетом начальных условий (1.63) и (1.64) позволяют найти закон движения капли в проекциях на оси координат:

Уравнение траектории находится из закона движения капли путем исключения из (1.65) времени t:

Как видим, траектория в системе координат XY, связанной со стеклом трамвая, является параболой (см. рис. 1.9) с вершиной в точке с координатами:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

(Уравнения кинематической связи) Концы твердого стержня MN могут свободно скользить по сторонам прямого угла MON (см. рис. 1.10). Найти уравнение траектории точки P стержня, которая делит его на части длиной а и b.

I. Выберем и изобразим декартову систему координат, оси которой совпадают со сторонами угла MON (см. рис. 1.10).

В соответствии с условием задачи будем считать стержень абсолютно твердым. Следовательно, его положение в любой момент времени t однозначно задается углом (t) между осью OX и стержнем MN.

II. Запишем закон движения точки P стержня в координатной форме (см. рис. 1.10):

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем Искомое уравнение траектории точки P можно получить, исключив время из закона движения (1.68).

III. Преобразуя уравнения (1.68), получаем:

Следовательно, искомое уравнение траектории принимает вид:

Уравнение (1.70) является уравнением эллипса с полуосями, совпадающими по направлению с осями выбранной системы координат и равными a и b. В случае, когда a = b, эллипс вырождается в окружность.

На клине с углом при основании, расположенном на горизонтальной поверхности, находится система двух тел 1 и 2 (см.

рис. 1.11), связанных нерастяжимой нитью, перевешенной через маленький блок, ось которого закреплена в верхней точке клина.

Записать уравнение кинематической связи для ускорений клина и двух тел, если тело 2 не отрывается от вертикальной поверхности клина в процессе движения.

I. Выберем систему отсчета, связанную с горизонтальной поверхностью. Ось X декартовой системы координат направим горизонтально, а ось Y вертикально вверх (см. рис. 1.11).

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Будем считать тела 1 и 2 материальными точками, связанными нерастяжимой нитью, а клин – абсолютно твердым телом, которое может двигаться поступательно вдоль оси X. Обозначим координаты первого и второго тел в системе координат XY – (x1, y1) и (x2, y2), соответственно. Линейные размеры блока по условию задачи малы по сравнению с длиной нити, поэтому не будем учитывать их при записи уравнений кинематической связи для координат тел системы.

II. Выразим длину нити l через вертикальные координаты различных точек рассматриваемой системы тел:

где yбл – координата блока, не изменяющаяся в процессе движения.

Если длину наклонного участка нити выразить через горизонтальные координаты тел системы, то выражение для длины нити принимает вид:

III. Дифференцируя (1.71) и (1.72) дважды по времени и учитывая, что l = const и yбл = const, получаем искомые уравнения кинематической связи для ускорений тел рассматриваемой системы:

Система тел состоит из двух блоков и двух подвешенных к ним тел (см. рис. 1.12). Один из блоков составлен из двух коаксиальных цилиндров с неподвижной относительно потолка осью, имеющих различные радиусы r и R. Первое тело подвешено на нити, намотанной на цилиндр радиуса r, второй – на нити, прикрепленной к оси другого блока. Найти ускорение второго тела, если известно, что ускорение первого тела равно a1. Нити считать нерастяжимыми.

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем I. Выберем систему отсчета, жеY стко связанную с потолком. Направле- R r ние осей декартовой системы координат, связанной с телом отсчета, показано на рис. 1.12.

Считаем тела 1 и 2 материальныX ми точками, нити – нерастяжимыми.

Проскальзывания нитей относительно блоков нет.

мени t изменение координаты первого тела равно x1 (для определенности будем считать, что оно опускается). Поскольку нить нерастяжима, то угол поворота цилиндра радиусом r связан с величиной x1 следующим соотношением:

При этом второй цилиндр радиусом R повернется на тот же угол, а длина нити, на которой лежит блок с подвешенным к нему телом 2, изменится на величину:

Изменение координаты центра второго блока, а значит и второго тела, равно:

III. Решая систему уравнений (1.74) – (1.76), получим уравнение, связывающее изменения координат двух тел:

Поделив левую и правую части (1.77) на малый интервал времени, получим уравнение кинематической связи для скоростей тел:

Дифференцируя полученное соотношение по времени, получаем искомую связь между ускорениями тел:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

(Кинематика простейших механических систем) оси, намотана веревка, на конце которой x = x0 + bt, где x0 и b – постоянные положительные величины. Определить угловые скорость и ускорение произвольной точки обода вала, модуль ускорения a, его нормальную an и тангенциальную a проекции. Записать закон движения этой точX ки.

I. Нарисуем чертеж и изобразим на нем направление скорости движения груза. В соответствии с условием задачи направим ось X декартовой системы координат вертикально вниз (рис. 1.13).

Для определения ускорения и закона движения произвольной точки A на ободе вала выберем полярную систему координат с полярной осью Y, в которой угол однозначно определяет положение рассматриваемой точки A. Поскольку в условии задачи не оговаривается иное, веревку считаем нерастяжимой и что проскальзывания веревки относительно вала нет.

II. Запишем заданный в задаче закон движения груза в декартовой системе координат:

Поскольку веревка нерастяжима, уравнение кинематической связи имеет вид:

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем Для решения задачи записанные уравнения необходимо дополнить определениями (1.24) и выражениями (1.25) для интересующих нас величин, приведенными в п. 1.1.

III. Найдем законы изменения скорости груза и его ускорения в проекциях на оси декартовой системы координат, используя определения (1.6) и (1.12):

Точки обода вала совершают неравномерное движение по окружности, причем модуль их скорости (поскольку нить нерастяжима и не проскальзывает по поверхности обода) в каждый момент времени равен модулю скорости груза, поэтому, используя (1.22) для угловой скорости и углового ускорения, получаем:

Поскольку проекция ускорения груза на ось X равна тангенциальной проекции ускорения точек обода, то:

Нормальную проекцию ускорения определим, используя (1.22):

Модуль полного ускорения произвольной точки A на ободе колеса найдем из соотношения (1.20):

Закон движения произвольной точки A на ободе вала запишем в полярной системе координат:

где 0 – начальное значение угловой координаты точки A в выбранной полярной системе координат.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Закон движения движущейся в плоскости материальной точки, заданный в полярной системе координат, имеет следующий вид: r = r(t), = (t). Определить законы изменения проекций скорости и Y ускорения материальной точки на направления, задаваемые ортами декартовой и полярной систем коорди- r M нат, жестко связанных с телом отсчеj динат совпадает с полюсом полярной системы, а ось X декартовой системы i направлена вдоль полярной оси (см.

рис. 1.14).

I. Выберем ось Y декартовой системы координат так, чтобы плоскость XY совпадала с плоскостью, в которой движется материальная точка M (рис. 1.14). Для решения задачи используем две системы координат – декартову систему координат XOY c ортами i и j, и полярную, орты которой er и e изображены на рис. 1.14.

Заметим, что при движении материальной точки происходит изменение ориентации ортов полярной системы er и e, в то время как орты декартовой системы координат i и j не изменяют своего направления.

II, III. Закон движения материальной точки, заданный в полярной системе, запишем в декартовой системе координат XOY:

Дифференцируя закон движения (1.90) по времени, получаем искомые законы изменения проекций скорости материальной точки и ее ускорения в декартовой системе координат:

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем В формулах (1.92), (1.92) и далее для краткости опустим запись зависимости кинематических величин от времени.

Проекции скорости и ускорения материальной точки в полярной системе координат находим двумя способами.

1 способ. Скорость и ускорение материальной точки в полярной системе координат записываются в виде:

Следовательно, проекции скорости и ускорения материальной точки на направления, задаваемые ортами рассматриваемых систем координат, связаны соотношениями:

Сравнивая соотношения (1.90) и (1.95), а также (1.91) и (1.96), получим искомые проекции скорости и ускорения материальной точки в полярной системе координат:

2 способ. Запишем радиус-вектор материальной точки в полярной системе координат:

Поскольку при движении материальной точки происходит изменение ориентации ортов полярной системы e r и e, найдем скорость их изменения (см. рис. 1.15):

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Теперь для нахождения скорости и ускорения точки в той же системе координат необходимо продифференцировать радиусвектор (1.99) по времени с учетом (1.100):

В соответствии с (1.101) и (1.102) искомые проекции скорости и ускорения материальной точки в полярной системе координат равны:

Как видим, оба способа решения дают одинаковый результат.

Движение материальной точки в полярной системе координат задается взаимосвязью полярных координат r ( ) = 2a (1 + cos ), при этом полярный угол возрастает линейно во времени (t ) = bt. Определить зависимость модуля скорости и модуля ускорения материальной точки от времени.

I. Решаем задачу в заданной полярной системе координат.

Заметим, что материальная точка M движется по замкнутой траекГлава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем тории, периодически, с периодом, возвращаясь в ту же точку ния проекций скорости и ускореX ния материальной точки в полярной системе координат, воспользовавшись формулами (1.103) и щей задаче:

Тогда искомые модули скорости и ускорения материальной точки равны:

Заметим, что материальная точка в моменты времени tk = (2k + 1) (где k = 0, 1, 2,...) находится в начале (полюсе) поb лярной системы координат, имеет нулевую скорость, а ускорение, по модулю равное a(tk ) = 2ab 2, направлено противоположно полярной оси.

Планета движется вокруг Солнца в соответствии с законами Кеплера по эллиптической траектории r (1 e cos ) = p. Параметр эллипса p, эксцентриситет e и секторную скорость считать заданными. Определить проекции ускорения планеты в зависимости от координат r и полярной системы.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

I. При решении задачи будем считать планету и Солнце материальными точками. Согласно первому закону Кеплера все планеты движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов эллипса O (см. рис. 1.17).

В соответствии с условием задачи введем полярную систему координат в плоскости движения планеты, полюс которой совпадает с Солнцем, а полярная ось совпадает с одной из осей эллипса.

Согласно второму закону Кеплера секторная скорость планеты, равная скорости изменения площади, описываемой радиус-вектором материальной точки, представляющим планету, постоянна при движении планеты вокруг Солнца.

II. Для нахождения проекций ускорения планеты в полярной системе координат воспользуемся формулами (1.104):

Поскольку в уравнения (1.109) входят производные полярных координат по времени, дополним эту систему уравнением траектории планеты и выражением для ее секторной скорости :

III. В соответствии с условием задачи секторная скорость постоянна при движении планеты по эллиптической траектории, поэтому ее производная по времени равна нулю:

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем Сравнивая (1.112) с выражением (1.109) для проекции ускорения a, видим, что a = 0. Следовательно, ускорение в любой момент времени имеет только проекцию ar, которая в соответствии с (1.109) является функцией производных полярных координат по времени.

Продифференцируем обе части уравнения траектории (1.110) по времени:

Используя уравнение траектории (1.110) и выражение для секторной скорости (1.111), преобразуем (1.113) к виду:

Продифференцируем теперь обе части уравнения (1.114) по времени Опять воспользуемся уравнением траектории (1.110) и выражением для секторной скорости (1.111) для исключения cos и & из (1.115):

В результате находим:

Для нахождения искомой проекции ускорения планеты a r, как функции только координат полярной системы, подставим && r (1.116) и = 2 (см. (1.111)) в выражение (1.109):

Таким образом, ускорение планеты, движущейся по эллиптической траектории, направлено к Солнцу, не зависит от полярного угла и обратно пропорционально квадрату расстояния до Солнца:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Небольшое тело движется по гладкой внутренней поверхности полого вертикального цилиндра радиуса R. В начальный момент времени скорость тела направлена перпендикулярно оси цилиндра и равна 0. Определить законы изменения скорости и ускорения материальной точки в цилиндрической системе координат, а также угол (t ) между скоростью и ускорением.

I. Будем считать тело материальной точкой, которая движется по цилиндрической поверхности с постоянной вертикальной составляющей ускорения, равной ускорению свободного падения g.

Для решения задачи выберем цилиндрическую систему координат, ось Z которой совпадает с осью цилиндра, как показано на рис. 1.18. На том же рисунке изображены орты er, e и ez цилиндрической системы. Ось, от которой отсчитывается угол системы координат, направим на положение тела в начальный момент времени.

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем II. В соответствии с условиями задачи и выбранной системой координат запишем начальные значения проекций скорости для рассматриваемого тела:

Воспользуемся формулами (1.103) и (1.104) для проекций скорости и ускорения тела на направления, задаваемые ортами цилиндрической системы:

Кроме того, в соответствии с условиями задачи, запишем:

III. Используя (1.121) – (1.123), получим законы изменения проекций скорости и ускорения:

Таким образом, искомый закон изменения скорости и ускорения в цилиндрической системе координат имеет следующий вид:

Определим также искомый угол между скоростью и ускорением тела:

1.4. Задачи для самостоятельного решения Из пушки, находящейся на самолете, летящем горизонтально со скоростью сам, выпущен снаряд в направлении движения самоМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ лета. Скорость снаряда относительно самолета равна сн. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

1) уравнение траектории снаряда относительно Земли y (x ) ;

2) уравнение траектории снаряда относительно самолета 3) уравнение траектории самолета относительно снаряда Ответ: 1) y = 3) y = ( x) 2, x < 0. Оси X, X' и X'' декартовой системы коорсн динат направлены горизонтально вдоль скорости самолета, а оси Y, Y' и Y'' – вертикально вверх, при этом начало координат системы XY совпадает с положением самолета в момент выстрела пушки.

Лодка пересекает реку шириной d с постоянной относительно воды скоростью, перпендикулярной скорости течения реки, модуль которой нарастает от берегов к середине реки по линейному закону, меняясь от 0 до u. Найти траекторию лодки, а также снос лодки l вниз по течению от места ее отплытия до места причаливания на противоположном берегу реки.

l=. Ось X декартовой системы координат XY направлена вдоль берега реки, а ось Y – поперек реки. Начало системы координат, жестко связанной с берегом реки, совпадает с местом отплытия лодки.

По движущемуся вниз эскалатору спускается пассажир со скоростью относительно эскалатора. Скорость эскалатора равна u. Спускаясь по неподвижному эскалатору пассажир проходит N ступеней. Сколько ступеней N' пройдет пассажир, спускаясь по движущемуся эскалатору?

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем Два трактора, движущиеся со скоростями 1 и 2, буксируют с помощью тросов автомобиль (см. рис.).

Определить модуль и направление скорости автомобиля в тот момент, когда тросы параллельны векторам 1 и 2, а угол между ними равен.

торами и 1.

Тело А подвешено на нитях, перекинутых через блоки В и С малого диаметра так, что АВ = ВС (см. рис.).

Концы нитей тянут с одинаковыми скоростями. Расстояние между блоками В и С равно L. Найти модуль скорости A тела

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

А в тот момент, когда оно находится на расстоянии H от прямой ВС.

Лодку подтягивают к пристани высотой Н с помощью веревки, наматываемой на вал лебедки. Радиус вала равен R Н. Движение лодки считается поступательным.

Найти уравнение кинематической связи для ускорений тел, подвешенных на нерастяжимых нитях (см. рис.).

Ответ: a1 + 2a2 + a3 = 0, где a1, a 2 и a 3 – ось декартовой системы координат.

Определить закон изменения модуля скорости материальной точки, движущейся в плоскости, если ее движение описывается в полярной системе координат следующим законом: r (t ) = a (1 bt ), (t ) =, где a и b – положительные постоянные величины.

Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем Четыре тела подвешены на нерастяжимых нитях (см. рис.). Найти ускорение тела 4, если известны ускорения остальных трех тел.

Ответ: a4 = (a1 + a2 + 2a3 ) 4, где a1, a2, кальную ось декартовой системы координат.

Найти уравнение кинематической связи для ускорений тел, подвешенных на нерастяжимых нитях так, как показано на рисунке.

где a1, a2, a3, a4 и a5 – проекции ускорений тел на вертикальную ось декартовой системы координат.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Два тела подвешены на нерастяжимых нитях, как показано на рисунке.

Определить ускорение тела 2, если известно ускорение тела 1.

Ответ: a2 = 16a1, где a1 и a2 – проекции ускорений тел на вертикальную ось декартовой системы координат.

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И

ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ

Первый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированная материальная точка (на которую не действуют силы) движется равномерно и прямолинейно или покоится. Такие системы отсчета называются инерциальными.

Второй закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета произведение массы материальной точки на ее ускорение равно сумме всех сил, действующих на эту материальную точку со стороны других тел:

Третий закон Ньютона. Силы взаимодействия двух материальных точек:

1) парные и приложены к разным материальным точкам, 2) одной природы, 3) равны по модулю, 4) противоположны по направлению, 5) направлены вдоль прямой, соединяющей материальные Уравнение движения – второй закон Ньютона, записанный в векторной форме или в проекциях на оси инерциальной системы отсчета:

Заметим, что уравнение движения можно записать в проекциях на любую, в том числе и произвольно движущуюся относительно инерциальной системы отсчета, ось. Для этого достаточно

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

умножить скалярно левую и правую части векторного уравнения движения (2) на единичный вектор (орт), задающий направление этой оси. Например, на направление скорости и на направление, перпендикулярное скорости n :

где an (t ) = an (t )n(t ) и a (t ) = a (t ) (t ) – нормальная и тангенциальная составляющие ускорения материальной точки.

Законы динамики – это законы Ньютона и законы, описывающие индивидуальные свойства сил.

2.1.2. Законы, описывающие индивидуальные свойства сил Закон всемирного тяготения. Материальные точки притягиваются друг к другу с силами F21 и F12 (см. рис. 2.1), модули которых пропорциональны произведению их масс и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

Здесь G = 6,6731011 Нм2/кг2 – гравитационная постоянная, r12 = r2 r1.

Рис. 2.1. Ориентация сил гравитационного взаимодействия Силы гравитационного взаимодействия сферически симметричных тел, как нетрудно показать, определяются выражением Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем (2.4), в котором r12 – радиус-вектор центра второго тела относительно центра первого тела.

Сила тяжести, действующая на материальную точку, – сумма силы гравитационного притяжения Земли (или любого другого космического объекта) и центробежной силы инерции (см.

Главу 4), действующей на материальную точку в системе отсчета, связанной с Землей.

Сила тяжести, действующая на тело, – сумма сил тяжести, действующих на материальные точки этого тела.

В однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Земли сила тяжести Fт равна произведению массы тела m на ускорение центра масс тела при свободном падении (ускорение свободного падения) g относительно Земли: Fт = mg.

Вес тела – сила, с которой тело, находящееся в поле сил тяжести, действует на неподвижную относительно него опору или подвес, препятствующие свободному падению тела.

Если после прекращения внешнего воздействия деформированное тело восстанавливает свою форму и размеры, то деформация называется упругой.

Закон Гука. При малых упругих деформациях величина деформации пропорциональна величине вызывающей ее силы.

В частности, при деформации растяжения (сжатия) упругого стержня (пружины, резинового шнура) деформация стержня пропорциональна величине вызывающей ее силы, действующей вдоль стержня:

Здесь k – коэффициент жесткости (упругости) стержня, l = l l – удлинение стержня, l и l0 – длина стержня в деформированном и недеформированном состояниях (см. рис. 2.2).

Если сила, действующая на стержень, направлена противоположно указанному на рис. 2 направлению, то упругий стержень испытывает сжатие. При этом l < 0 и F в формуле (2.5) следует считать проекцией силы F на ось X системы координат, изображенной на рис. 2.2.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При деформации растяжения (сжатия) однородного упругого стержня с постоянным вдоль стержня сечением относительное удлинение стержня пропорционально нормальному напряжению :

Здесь E – модуль Юнга материала, из которого сделан стержень, = – относительное удлинение стержня, = – нормальное напряжение, S – площадь поперечного сечения стержня.

Заметим, что для однородного упругого стержня с постоянным вдоль стержня сечением коэффициент жесткости (упругости) этого стержня связан с модулем Юнга соотношением:

В случае растяжения (сжатия) стержня уменьшаются (увеличиваются) его поперечные размеры. При этом отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению зависит только от материала стержня и называется коэффициентом Пуассона:

ное изменение поперечных размеров стержня, d и d0 – поперечный линейный размер стержня в деформированном и недеформированном состояниях (см. рис. 2.2).

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем При деформации стержня возникают внутренние упругие силы Fупр, действующие между его частями, которые стремятся вернуть стержень в недеформированное состояние. Напряжение упругих сил равно Рассмотрим слой стержня с координатами границ x и x + dx вдоль стержня (см. рис. 2.3).

В результате действия внутренних упругих сил возникает смещение левой (x) и правой (x+dx) границ выделенного слоя.

Тогда относительная продольная деформация этого слоя равна Закон Гука в этом случае принимает вид В случае деформации слоя изменяются его поперечные размеры. При этом отношение поперечной к продольной деформации определяется коэффициентом Пуассона в соответствии с (2.8).

При ускоренном движении стержня под действием внешней силы, вызывающей его деформацию, возникают неоднородные вдоль стержня напряжения упругих сил. В этом случае возникающие неоднородные деформации по-прежнему определяются выражениями (2.11), (2.8).

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Сила трения – составляющая силы непосредственного взаимодействия тел при соприкосновении вдоль плоскости соприкосновения.

Сила нормального давления (реакции опоры) – составляющая силы взаимодействия тел при непосредственном соприкосновении вдоль направления нормали к плоскости соприкосновения.

Силы вязкого (внутреннего) трения Fв – силы трения, возникающие при движении тела в вязкой (жидкой или газообразной) среде.

При малой величине скорости движения тела относительно среды где – коэффициент вязкого (внутреннего) трения.

Сила вязкого трения покоя равна нулю: Fвп = 0.

Силы сухого трения Fc – силы трения, возникающие при непосредственном соприкосновении твердых тел.

Силы трения покоя Fп – силы сухого трения, возникающие в отсутствие относительного движения взаимодействующих тел.

Сила трения скольжения Fcк – сила сухого трения, возникающая при относительном движении взаимодействующих тел.

Закон Амонтона – Кулона – эмпирический закон, описывающий свойства сил сухого трения:

1) модуль силы сухого трения покоя может принимать значения от нуля до некоторого своего максимального значения:

0 Fп Fmax ;

2) модуль силы сухого трения скольжения равен максимальному значению модуля силы сухого трения покоя: Fcк = Fmax ;

3) модуль силы сухого трения скольжения пропорционален модулю силы нормального давления:

где – коэффициент (силы сухого) трения, не зависящий от силы нормального давления, а только от вещества и состояния поверхностей трущихся тел;

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем 4) сила сухого трения скольжения направлена противоположно направлению скорости относительного движения тел отн :

Силовое поле – область пространства, где действуют силы данной природы, в общем случае зависящие как от времени, так и от координаты и скорости движения материальной точки – 2.2. Основные типы задач и методы их решения 2.2.1. Классификация задач динамики Прямая задача динамики – найти закон движения тела или системы тел, если известны силы, действующие на эти тела.

Обратная задача динамики материальной точки – найти действующие на тело или систему тел силы, если известны законы движения этих тел.

Большинство задач содержат в себе элементы как прямой, так и обратной задач динамики. Как правило, одна из этих задач имеет основное, другая – подчиненное по отношению к условию задачи значение.

2.2.2. Общая схема решения задач динамики I. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.

1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.

2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).

3. Изобразить и обозначить все силы и необходимые кинематические характеристики системы.

4. Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано в II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.

1. Записать уравнения движения в проекциях на оси координат для всех тел системы.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2. Использовать третий закон Ньютона, если это не было сделано ранее в п. 3.

3. Использовать законы, описывающие индивидуальные а) закон всемирного тяготения, 4. Записать уравнения кинематических связей.

5. Использовать результаты ранее решенных задач и особые III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.

1. Решить систему полученных уравнений.

2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть предельные и частные случаи, установить область применимости).

3. Получить численный результат.

В случае решения задач на динамику материальной точки в пп. I.3 – II.1 речь идет о характеристиках материальной точки, а п. II.2 надо опустить.

В случае решения задач на динамику простейших механических систем в пп. I.3 – II.2 речь идет о характеристиках и уравнениях движения тел и силах, действующих между телами рассматриваемой системы.

Пункты II.1 – II.4 (в том числе II.3.а – II.3.в) можно выполнять в той или иной последовательности в зависимости от решаемой задачи.

Через блок, подвешенный к потолку перекинута нить. К концам нити прикреплены два груза массами m1 и m2. Определить ускорения тел.

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем Решение данной задачи (и всех последующих) будем проводить в соответствии с предложенной схемой решения задач динамики.

I. Выберем систему координат так, как показано на рис. 2.4, и изобразим на нем действующие на тела системы силы: силы тяжести и силы, действующие со стороны нитей.

Выберем модели тел и их движений. Грузы считаем материальными точками, подвешенными на невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый абсолютно твердый цилиндрический блок. Будем считать, что грузы движутся вертикально, нить не проскальзывает относительно блока, сопротивления воздуха и трения в оси блока нет.

II. Запишем уравнения движения рис. 2.4) и уравнение кинематической Здесь a1 и a2 – проекции ускорений грузов на ось X, T1 и T2 – модули сил, ти.

Докажем постоянство модуля сиРис. 2. лы натяжения нити вдоль всей ее длины в условиях данной задачи. Для этого выделим мысленно прямолинейный участок нити произвольной длины (см. рис. 2.4) и запишем уравнение его движения в проекции на ось X:

где mн – масса выделенного участка нити, aн – проекция его ускорения на ось X, Tн и Tв – модули сил натяжения, действующих на выделенный участок нити со стороны нижнего и верхнего примыкающих к нему участков нити, Fсопр – проекция силы сопротивления воздуха.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Поскольку нить по условию задачи невесома и нет силы сопротивления воздуха, то из (2.16) следует, что модуль силы натяжения нити постоянен вдоль прямолинейного участка нити, а, следовательно, сила, приложенная к грузу со стороны нити и сила натяжения нити в верхней части прямолинейного участка равны по модулю.

Для доказательства равенства модулей сил натяжения нити слева и справа от блока запишем уравнение вращательного движения (см. (6.30) в Главе 6) блока вместе с примыкающим к нему участком нити (см. рис. 2.4):

где J – момент инерции блока вместе с примыкающим к нему участком нити относительно оси, проходящей через центр блока и направленной за плоскость чертежа, – угловая скорость вращения блока, M тр – момент сил трения, действующих в оси блока, M сопр – момент сил сопротивления воздуха, действующих на блок.

Поскольку блок и нить невесомы, нет трения в оси блока и силы сопротивления воздуха, то в соответствии с (2.17) модули сил натяжения нити слева и справа от блока равны. Следовательно, равны и силы натяжения нити, приложенные к грузам:

III. Решим полученную систему уравнений (2.15) и (2.17) относительно искомых физических величин:

Для оценки правильности полученного результата проанализируем частные и предельные случаи. Если к нити подвешены грузы одинаковой массы, то полученные формулы для проекций ускорений дают значение, равное нулю, что очевидно и из общих соображений. Если m1 >> m2, то a1 = g, a2 = g. При выполнении обратного неравенства m1 > m1, то тело массой m2 будет падать с ускорением свободного падения:

а тело массой m1 подниматься вверх с удвоенным по модулю ускорением:

При этом:

3. Если m1 >> m2, то тело массой m1 будет падать с ускорением свободного падения:

а тело массой m2 подниматься вверх с ускорением При этом:

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем В системе тел, изображенных на рис. 2.6, известны массы бруска m и клина M, а также угол при основании клина. Массы блока и нити пренебрежимо малы, нить нерастяжима, трения нет.

Найти ускорение клина A.

I. Выберем систему координат так, как показано на рис. 2.6.

Изобразим силы, действующие на тела системы: mg и Mg – силы тяжести, действующие на брусок и клин, соответственно; R – сила реакции опоры, действующая на клин; N – сила взаимодействия бруска и клина. При этом учтем, что сила натяжения нити T постоянна вдоль всей ее длины в рамках принятых в условии задачи моделей тел системы, а силы взаимодействия бруска и клина равны по величине в соответствии с третьим законом Ньютона и направлены перпендикулярно поверхности их соприкосновения из-за отсутствия сил трения.

II. Запишем уравнения движения бруска и клина в проекциях на оси выбранной системы координат и учтем при этом, что клин может двигаться только вдоль оси X ( Ay = 0 ):

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Дополним систему уравнений (2.30) – (2.33) уравнением кинематической связи, которое следует из условия нерастяжимости нити:

Дифференцируя (2.34) – (2.35) дважды по времени, получим:

III. Преобразуем систему уравнений (2.30) – (2.32), (2.36), (2.37), исключив из них проекции ускорения бруска ax и a y. Уравнение (2.33) не требуется для решения поставленной задачи (не требуется нахождения силы реакции опоры, действующей на клин R). В результате получим следующую систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, определим проекцию ускорения клина на ось X:

Проанализируем полученное выражение для проекции ускорения клина Ax. Если масса клина значительно больше массы бруска (M >> m), то ускорение клина обращается в ноль. Неподвижным при этом остается и брусок. Если угол при основании клина равен нулю, то нет сил, которые могли бы вызвать движение клина – ускорение клина также равно нулю.

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем На доске массой М лежит брусок массой m. Коэффициент трения между доской и бруском равен. Доска может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности. К бруску прикладывается горизонтальная сила F, модуль которой зависит от времени по закону F = t, где = const. Определить скорости бруска (t) и доски V(t) спустя время t после начала действия силы.

I. Проанализируем характер движения бруска и доски. При малой величине приложенной к бруску горизонтальной силы F доска и брусок будут двигаться с одинаковым ускорением, поскольку сила трения покоя не достигнет еще максимального значения. В некоторый момент времени t 0 сила трения покоя достигнет максимального значения, равного силе трения скольжения, и в дальнейшем будет происходить скольжение бруска по доске, а, следовательно, ускорения тел системы будут изменяться по различным законам. Таким образом, решение задачи разбивается на два этапа: нахождение искомых скоростей бруска и доски при 0 t t0 и при t > t0. Необходимо также определить момент времени t0, в который начнется скольжение бруска по доске.

Выберем систему координат так, как показано на рис. 2.7, и изобразим силы, действующие на тела системы.

II. Запишем уравнения движения бруска и доски в проекциях на оси системы координат, одинаковые на первом и втором этапах движения, уравнение кинематической связи (при t t0 ) и закон

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Амонтона – Кулона (при t > t0 ). Введем обозначения: a и A – проекции ускорений бруска и доски на ось X.

Брусок не скользит по доске Брусок скользит по доске Используем заданный в условии задачи закон изменения модуля силы F со временем:

До тех пор, пока сила В этом случае нет кинетрения покоя не достигла сво- матической связи между ускоего максимального значения, рениями бруска и доски.

равного силе трения скольже- Поскольку брусок скольния, брусок и доска двигаются зит по доске для силы трения с одинаковым ускорением: скольжения можно записать:

III. Решим полученные системы уравнений для каждого из рассматриваемых этапов движения тел рассматриваемой системы.

Уравнение (2.45) не используется при решении поставленной задачи, поскольку не требуется нахождения силы реакции опоры R, действующей на доску.

В соответствии с законом Амонтона – Кулона максимальное значение силы трения покоя равно силе трения скольжения (см.

(2.13)):

Выражение (2.54) позволяет определить момент времени t0, в который брусок начинает скользить по доске:

Используя полученные выражения для ускорений тел системы, определим теперь законы изменения скоростей этих тел.

При t t0 скорости бруска и доски меняются одинаковым образом и к моменту времени t будут равны:

При t > t0 скорость бруска будет равна а скорость доски –

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

На рис. 2.8 изображены полученные зависимости скоростей бруска и доски от времени.

Найти закон движения материальной точки, движущейся в однородном и постоянном силовом поле с начальной скоростью 0, направленной под произвольным углом к силе F.

I. Выберем систему координат так, Y как показано на рис. 2.9, при этом начало системы координат совпадает с положением материальной точки в начальный F момент времени.

материальной точки в проекциях на оси выбранной системы координат:

III. Проинтегрируем уравнения (2.60) и (2.61), используя начальные значения скорости x (0) = 0 sin и y (0) = 0 cos :

Интегрируя уравнения (2.62) и (2.63) с учетом начальных значений координат x0 = 0 и y0 = 0, получаем закон движения материальной точки в координатной форме:

Исключив время из уравнений (2.64) и (2.65), получим уравнение траектории материальной точки – уравнение параболы:

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем Таким образом, в однородном силовом поле материальная точка движется по параболе.

Тело небольших размеров движется по поверхности неподвижного клина с углом при основании. В начальный момент времени скорость тела равнялась 0 и составляла угол 0 с ребром клина (см. рис. 2.10).

Коэффициент трения тела о поверхность клина = tg.

Найти установившуюся скорость скольжения тела.

I. Выберем систему координат так, как показано на рис. 2. (вид сбоку) и рис. 2.12 (вид сверху на поверхность клина). Ось X направим вдоль наклонной плоскости параллельно ребру клина (рис. 2.12). При этом ось Y направим по наклонной плоскости перпендикулярно ребру клина, а ось Z перпендикулярно наклонной поверхности клина (рис. 2.11).

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

На рис. 2.11 и 2.12 изображены также силы, действующие на тело в процессе движения: сила тяжести mg, сила нормальной реакции опоры N и сила трения скольжения Fтр.

Скорость тела (t) составляет с осью X угол (t) (см.

рис. 2.12), который является функцией времени.

II. Запишем уравнение движения тела в проекциях на выбранные оси системы координат:

Используем закон Амонтона – Кулона (см. п. 2.1.2.В) для силы трения скольжения и учтем заданную в условии задачи связь коэффициента трения с углом при основании наклонной плоскости:

Запишем тригонометрические функции угла, выразив их через проекции скорости тела:

III. Получена полная система уравнений (2.67) – (2.71) для определения проекций скорости тела на оси выбранной системы координат, решить которую в общем виде достаточно сложно из-за наличия в ней двух связанных нелинейных дифференциальных уравнений. Однако нет необходимости находить закон изменения скорости тела. По условию задачи требуется определить установившуюся скорость тела, т.е. значение скорости в то время, когда сумма сил, действующих на тело, станет равной нулю.

Рассмотрим изменение характера движения тела со временем. В плоскости движения на тело действуют две силы: сила трения скольжения и проекция силы тяжести. Из (2.69) и (2.70) получим выражение для силы трения:

Как видим, модуль силы трения равен величине проекции силы тяжести на наклонную плоскость. Действующие на тело силы буГлава 2. Динамика материальной точки и простейших систем дут поворачивать вектор скорости тела до тех пор, пока он не совпадет по направлению с осью Y. Следовательно, ускорение обратится в ноль, когда сила трения будет направлена противоположно составляющей силы тяжести в плоскости движения тела. Дальнейшее движение будет происходить с постоянной скоростью уст, направленной вдоль оси Y.

Таким образом, достаточно найти уравнение, связывающее проекцию скорости тела на ось Y с модулем его скорости. Для этого преобразуем полученную систему уравнений (2.67) – (2.71) к виду:

Производную от модуля скорости по времени представим в виде:

Подстановка (2.72) и (2.73) в (2.74) приводит к уравнению:

Интегрируя (2.75) с учетом начальных условий ( (0) = 0, (0) = 0 ), получаем:

Подставляя = y = уст в (2.76), находим искомый модуль скорости установившегося движения:

Проанализируем полученное выражение для установившейся скорости в двух частных случаях.

Если 0 = /2 (начальная скорость тела направлена вниз по наклонной плоскости), то уст = 0. Следовательно, движение тела сразу происходит с постоянной скоростью, поскольку действующие на него силы скомпенсированы.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При 0 = –/2 скорость установившегося движения равна уст = 0. Начальная скорость, направленная вверх по наклонной плоскости, приводит к равнозамедленному движению. При этом и проекция силы тяжести, и сила трения скольжения направлены противоположно скорости. Через некоторое время скорость тела обращается в ноль. Сила трения становится силой трения покоя и меняет направление на противоположное. Движения вниз по наклонной плоскости не происходит, т.к. максимальное значение силы трения покоя в условиях данной задачи совпадает по модулю со значением проекции силы тяжести на наклонную плоскость.

Стальной шарик радиуса r начинает двигаться в сосуде, заполненном глицерином, под действием силы тяжести. Найти зависимость скорости шарика от времени (t), а также определить скорость установившегося движения шарика уст. Коэффициент вязкого трения в глицерине равен, плотность глицерина – 1, плотность стали – 2. Считать, что сила вязкого трения определяется формулой Стокса: Fв = 6r.

I. Выберем систему координат, связанную с сосудом, так, как показано на рис. 2.13. Начало координат совместим с положением шарика в момент на- Y чала его движения. В соответствии с услови- Fв ем задачи начальная скорость шарика равна нулю: (0) = 0.

II. Запишем уравнение движения шариmg ка в проекциях на ось X системы координат:

где Fв – сила вязкого трения, а FA – сила Рис. 2. Архимеда.

Используем закон Архимеда и формулу Стокса, описывающие свойства этих сил:

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем Здесь V = r 3 – объем шарика.

Выразим также массу шарика через его плотность:

III. Подставляя (2.80) – (2.82) в уравнение движения (2.79), получаем:

Для решения уравнения (2.83) приведем его к виду и сделаем замену переменных:

Дифференцируя (2.85) по времени, получаем:

С учетом (2.86) выражение (2.84) принимает следующий вид:

Решим полученное уравнение методом разделения переменных с учетом начального значения скорости (0) = 0 :

Используя формулу (2.85), вернемся к старой переменной :

Подставив значения констант A и B из (2.84), а также значение V, получим выражение для скорости шарика:

изменяется и равна

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Брусок скользит по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 0 и по касательной попадает в область, ограниченную забором в форме полуокружности (рис. 2.14). Определить время, через которое брусок покинет эту область. Радиус кривизны забора R, коэффициент трения скольжения бруска о поверхность забора.

I. Выберем произвольную инерциальную систему отсчета, жестко n связанную с забором. Изобразим на ную ортом, направленную вдоль скорости движения бруска, и нормальную ось, заданную ортом n, наРис. 2. правленную к центру кривизны траектории перпендикулярно скорости (см. теоретический материал в Главе 1).

II. Запишем уравнения движения бруска относительно инерциальной системы отсчета, жестко связанной с забором, в проекциях на тангенциальную и нормальную оси:

Воспользуемся законом Амонтона – Кулона для силы трения скольжения:

III Из (2.95) – (2.97) получим уравнение для определения модуля скорости бруска:

Решая уравнение (2.98) методом разделения переменных, получим:

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем Константу С в (2.100) определим из начальных условий Таким образом, модуль скорости бруска в момент времени t, когда брусок еще движется вдоль забора, определяется следующим образом:

Заметим, что для любого момента времени t и при любой, не равной нулю, начальной скорости 0, скорость бруска > 0. Это означает, что брусок не остановится, а обязательно пройдет всю область, ограниченную забором, поскольку с уменьшением скорости движения бруска уменьшается и сила трения скольжения между бруском и забором.

Путь, пройденный телом за время d t с момента времени t, при движении вдоль забора, равен:

Путь, пройденный телом за время t движения вдоль забора получим интегрированием (2.102) по времени:

Для определения времени, через которое брусок покинет область, ограниченную забором преобразуем (2.103) к виду:

Поскольку длина забора s = R искомое время движения бруска вдоль забора t0 равно:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При малых значениях коэффициента трения ( 2. Найти силу давления одного бруска на другой, возникающую в процессе их скольжения, и углы, при которых будет скольжение брусков.

Ответ: F = Материальная точка массой m движется по гладкой внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R. Найти модуль силы давления материальной точки на стенку цилиндра в тот момент, когда ее скорость составляет угол с горизонтом и по модулю равна 0.

Ответ: F = m0 R cos 2.

Частица движется вдоль оси X по закону x = t 2 t 3, где и – положительные постоянные. В момент времени t = 0 сила, действующая на частицу, равна F0. Найти модули силы в точке поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке x = 0.

Ответ: F0, 2F0.

На гладкой горизонтальной поверхности лежит клин массой M с углом при основании. Тело массой m скользит по наклонной поверхности клина. Коэффициент трения между клином и телом равен. Найти горизонтальные проекции ускорений тела и клина, а также силы N и R, с которыми тело давит на клин и клин на горизонтальную поверхность.

Ответ:

Нить перекинута через легкий вращающийся без трения блок.

На одном конце нити прикреплен груз массой M, а по другой свисающей части нити скользит муфточка массой m с постоянным ускорением a относительно нити. Найти силу трения, с которой нить действует на муфточку.

Ответ: Fтр = (2 g a)mM (m + M ).

Пуля, пробивая доску толщиной h, изменяет свою скорость от 0 до. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.

Через блок, ось которого горизонтальна, перекинута нерастяжимая веревка длиной l. За концы веревки держатся две обезьяны одинаковой массой, находящиеся на одинаковом расстоянии l от

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

блока. Обезьяны начинают одновременно подниматься вверх, причем одна из них поднимается относительно веревки со скоростью, а другая со скоростью 2. Через какие интервалы времени каждая из обезьян достигнет блока? Массами блока и веревки пренебречь.

Система трех тел, связанных между собой с помощью двух нитей и трех блоков, изображена на рисунке. Два тела подвешены на нитях, а третье находится на горизонтальной поверхности. Оси крайних блоков, в отличие от оси среднего блока, закреплены (см.

рис.).

Считая заданными массы m1 и m2, определить массу m3, при которой ось среднего блока будет оставаться неподвижной. Трением и массами блоков и нитей пренебречь.

Каков должен быть минимальный коэффициент трения скольжения между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти закругление с радиусом R = 200 м на скорости = 100 км/ч?

Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем Однородный упругий стержень массой m подвесили за один конец к потолку. Длина и площадь поперечного сечения стержня в недеформированном состоянии – l0 и S0, модуль Юнга материала стержня равен E, а коэффициент Пуассона –. Определить относительное удлинение стержня под действием силы тяжести, а также относительное изменение его объема.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МЕХАНИЧЕСКОЙ

ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

Центр масс механической системы (системы материальных точек) – точка пространства, радиус-вектор которой rцм равен где m = mi – масса механической системы, ri и mi – радиусi вектор и масса i-ой материальной точки системы.

Скорость центра масс цм – физическая величина, равная где i – скорость i-ой материальной точки системы.

Ускорение центра масс aцм – физическая величина, равная где ai – ускорение i-ой материальной точки системы.

Импульс (количество движения) материальной точки p – физическая величина, равная произведению массы материальной точки на ее скорость:

Импульс механической системы P – физическая величина, равная сумме импульсов материальных точек, из которых состоит система:

Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии Теорема о движении центра масс механической системы (уравнение движения центра масс) – произведение массы системы на ускорение ее центра масс относительно инерциальной системы отсчета равно сумме всех внешних сил F ex, действующих на механическую систему со стороны тел, не входящих в систему.

В соответствии со вторым и третьим законами Ньютона (см.

Главу 2):

F jex – сумма внешних сил, действующих на j-ую материальную где точку механической системы, F jin = Fijin – сумма внутренних сил, действующих на j-ую материальную точку механической системы со стороны других материальных точек, входящих в систему.

Импульс силы F за физически бесконечно малый интервал времени dt, в течение которого она действует, – физическая величина, равная произведению силы на этот интервал времени: F d t.

Закон изменения импульса механической системы – изменение импульса механической системы относительно инерциальной системы отсчета за физически бесконечно малый интервал времени dt равно импульсу суммы внешних сил, действующих на систему в этот интервал времени:

Для конечного интервала времени где t1 и t2 – начальный и конечный моменты рассматриваемого интервала времени.

Закон изменения проекции импульса механической системы – изменение проекции импульса механической системы относительно инерциальной системы отсчета на неподвижное относительно этой системы направление (задаваемое единичным вектором n ) равно проекции на то же направление импульса суммы внешних сил, действующих на систему:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Изолированная механическая система – механическая система, на которую не действуют внешние силы: F jex = 0.

Замкнутая механическая система – механическая система, для которой сумма всех внешних сил равна нулю:

Закон сохранения импульса механической системы – если механическая система замкнута, то ее импульс относительно инерциальной системы отсчета сохраняется:

Замкнутая в данном направлении механическая система – механическая система, для которой проекция суммы всех внешних сил на неподвижное относительно инерциальной системы отсчета направление n равна нулю: Fnex = 0.

Закон сохранения проекции импульса механической системы – если система замкнута в данном направлении, то проекция ее импульса относительно инерциальной системы отсчета на это направление сохраняется:

Рассмотрим движение тела с переменной массой. Пусть M(t) – масса тела в момент времени t и dm = dM – масса отделившихся частиц за время dt (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1. Характеристики тела и отделяющихся от него частиц в Запишем импульс тела в момент времени t и импульс тела с отделившимися от него частицами в момент времени t + dt:

Здесь (t ) – скорость тела в момент времени t, d – изменение скорости тела за время dt, 1 – скорость отделившихся частиц.

С точностью до бесконечно малых величин второго порядка изменение импульса механической системы, состоящей из тела и отделившихся от него за время dt частицами, равно где u(t ) 1 (t ) (t ) – скорость отделяющихся частиц относительно тела.

Записав закон изменения импульса для рассматриваемой механической системы, получим уравнение движения для тела с переменной массой M(t), т.е. уравнение Мещерского:

скорость изменения массы тела, взятая с обратным знаком, так называемый расход топлива, Fр (t ) u(t ) – реактивная сила, действующая на тело со стороны отделяющихся от него частиц.

Работа силы F при бесконечно малом перемещении d r материальной точки, на которую действует сила (точки приложения силы), равна скалярному произведению силы на это перемещение:

Работа силы F при конечном перемещении материальной точки, на которую действует сила, равна:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Здесь r1 и r2 – радиус-векторы точки в начальный и конечный моменты времени.

Заметим, что в общем случае работа силы зависит от выбора системы отсчета, а также от траектории движения материальной точки, на которую действует сила (не только от начального и конечного положения материальной точки).

Мощность – физическая величина, численно равная работе, совершаемой силой за единицу времени:

Потенциальная сила F p – сила, работа которой не зависит от вида траектории, а только от начального и конечного положений точки приложения силы. Работа потенциальной силы по замкнутой траектории равна нулю1.

Потенциальные силы, действующие на тела системы, могут быть внутренними F p,in и внешними F p, ex.

Центральные силы – силы, направленные вдоль прямой, соединяющей точку их приложения с единым силовым центром, величина которых зависит только от расстояния до этого центра:

где r – радиус-вектор точки приложения силы относительно силового центра, а r = r – расстояние от этой точки до силового центра.

Центральные силы потенциальны. Рассмотрим два случая.

1. Одиночная центральная сила.

Если выбрать начало системы отсчета S в силовом центре O (см. рис. 3.2), то работа силы (3.21) при физически бесконечно маЗдесь и далее рассматриваются только стационарные потенциальные силы, которые явно не зависят от времени, а только от координат тел системы, которые сами могут зависеть от времени.

лом перемещении точки ее приложения относительно выбранной системы отсчета равна:

Здесь учтено, что Рис. 3.2. Центральная сила с неподвижным относительно системы Работа центральной силы при конечном перемещении ее точки приложения равна где f (r ) – первообразная функции F (r ).

Как видим, работа центральной силы с неподвижным относительно системы отсчета жестко связанной с силовым центром зависит лишь от расстояний до силового центра.

2. Парные центральные силы.

Парные центральные силы – это две силы, F1 и F2, которые одинаковы по величине, противоположно направлены вдоль прямой, соединяющей точки приложения этих сил (см. рис. 3.3) – F1 = F2, и величины которых зависят только от расстояния между точками их приложения Для парных центральных сил

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

и работа этих сил зависит лишь от расстояния между точками их приложения:

Рис. 3.3. Взаимная ориентация парных центральных сил Постоянные силы потенциальны (однородное силовое поле потенциально):

Силы упругости потенциальны. При упругом взаимодействии двух произвольно движущихся материальных точек упругая сила, действующая на одну из материальных точек, в общем случае не является потенциальной, а обе – потенциальны, поскольку они являются парными и центральными.

Непотенциальные силы F np силы, работа которых зависит не только от начального и конечного положений точки приложения силы, но и от вида ее траектории.

Силы трения (см. п. 2.1.2.В в Главе 2) являются непотенциальными силами.

Работа силы трения может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от взаимной ориентации силы и перемещения материальной точки, на которую она действует.

Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии Работа пары сил трения покоя, возникающих при взаимодействии двух тел, равна нулю2:

Здесь использован третий закон Ньютона (Fп2 = Fп1 ) и условие неподвижности одного тела относительно другого dr2 = dr1.

Работа пары сил трения скольжения всегда отрицательна:

где отн – скорость движения первого тела относительно второго.

При записи (3.30) использован третий закон Ньютона (Fск2 = Fск1 ) и закон Амонтона–Кулона для определения направления силы трения скольжения (см. (2.14) в Главе 2).

Потенциальная энергия механической системы E p – физическая величина, равная сумме работ потенциальных сил, действующих на тела системы, при изменении положения тел системы в пространстве из данного (состояние 1) в любое наперед заданное (состояние 0), называемое нулем отсчета потенциальной энергии:

Поскольку потенциальные силы могут быть внутренними и внешними, то в общем случае потенциальная энергия равна сумме потенциальных энергий взаимодействия тел системы друг с другом (конфигурации системы) E p, in и с внешними по отношению к системе телами (во внешних полях, которые должны быть стационарны) E p,ex :

Это утверждение справедливо для любой пары сил, возникающих при взаимодействии двух неподвижных относительно друг друга тел.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Кинетическая энергия материальной точки – физическая величина, равная:

Кинетическая энергия механической системы – сумма кинетических энергий материальных точек, из которых состоит механическая система:

Механическая энергия системы – сумма кинетической и потенциальной энергий механической системы:

Закон изменения механической энергии системы – изменение механической энергии системы равно работе внутренних Fi np,in и внешних Fi np,ex непотенциальных3 сил:

или для конечного интервала времени Этот закон является в механике Ньютона "теоремой" и может быть получен из второго и третьего законов Ньютона.

Закон сохранения механической энергии системы – если работа всех непотенциальных сил равна нулю, то механическая Если при записи потенциальной энергии механической системы была учтена работа не всех потенциальных сил, то при использовании закона изменения механической энергии системы эту работу необходимо добавить к работе непотенциальных сил в (3.34).

Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии энергия системы относительно инерциальной системы отсчета сохраняется: Закон сохранения механической энергии системы является прямым следствием закона ее изменения (3.39).

Консервативная система – механическая система, для которой сохраняется ее механическая энергия.

Удар (соударение) – кратковременное взаимодействие тел при непосредственном соприкосновении, при котором изменением положения этих тел в пространстве за время их соударения можно пренебречь.

Абсолютно упругий удар – удар, при котором кинетическая энергия тел до соударения равна кинетической энергии тел после соударения.

Абсолютно неупругий удар – удар, при котором соударяющиеся тела приобретают одинаковую скорость после соударения.

3.2. Основные типы задач и методы их решения Большинство задач на законы сохранения (или изменения) для механической системы можно условно отнести к следующим типам задач или их комбинациям:

1) закон сохранения (или изменения) импульса, 2) закон сохранения (или изменения) механической энергии, 3) движение тел с переменной массой (с использованием закона изменения импульса), 4) абсолютно упругое соударение тел (с использованием законов сохранения импульса и механической энергии), 5) абсолютно неупругое соударение тел (с использованием закона сохранения импульса).

Pages: |

| 2 | 3 |

Главная >> Методички

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«Удмуртский государственный университет НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по оформлению списка литературы к курсовым и дипломным работам Сост.: Никитина И. В., Гайнутдинова И. Х., Зайцева Л. Е., Попова С. Л. Ижевск 2010 Содержание 1. Оформление курсовых и дипломных работ 2. Оформление списка литературы к курсовым и дипломным работам 3. Библиографическое описание документов Аналитическое описание Сокращения слов и словосочетаний, используемые в списке 13 4. Оформление библиографических...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Институт подготовки научно-педагогических и научных кадров ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ Конституционное право; конституционный судебный процесс; муниципальное право Москва - 2014 ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1. Настоящая программа ориентирована на подготовку к...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра безопасности жизнедеятельности, анатомии и физиологии ГИСТОЛОГИЯ С ОСНОВАМИ ЭМБРИОЛОГИИ Учебно-методический комплекс Для студентов, обучающихся по специальности 050102 Биология квалификация учитель биологии Горно-Алтайск РИО Горно-Алтайского госуниверситета 2009 Печатается по решению методического совета Горно-Алтайского...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Экономика и управление на транспорте М.Г.Данилина, В.Г. Летягин РАЗРАБОТКА ГОДОВОГО ПЛАНА ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЛОКОМОТИВНОГО ДЕПО рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний к курсовому проекту для студентов специальностей Экономика и управление на предприятии (железнодорожный транспорт), Бухгалтерский учет, контроль и анализ хозяйственной деятельности, Коммерческая...»

«Пояснительная записка Предлагаемые примерные комплекты билетов подготовлены с учетом обязательных минимумов содержания основного общего и среднего (полного) общего образования, а также государственных образовательных стандартов основного общего и среднего (полного) общего образования. Предлагаемый экзаменационный материал не зависит от конкретного учебника по предмету. В билеты с учетом профильного уровня включались вопросы, не входившие в нормативные документы 1998–1999 гг. Поэтому для сдающих...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ РАБОТ для студентов биолого-почвенного факультета Иркутского государственного университета Иркутск 2011 Выпускная квалификационная работа специалиста (дипломная работа) – самостоятельная научно-исследовательская работа, отражающая уровень профессиональной компетентности выпускника, предусмотренного государственным образовательным стандартом, его готовность к научноисследовательской и практической деятельности. Исполнение требований,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБР АЗОВ АНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕР АЦИИ ФЕДЕР АЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБР АЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕ ЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛ ЬНОГО ОБР АЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДА РСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕ Т ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДР А КОММЕРЦИИ И ЛОГИСТИКИ Т.Т. ЦЕНИНА, Е.В. ЦЕНИНА ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЕ ВНЕШНЕТОРГОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУД АРСТВЕННОГО УНИВЕРСИ ТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ББК 67.401. Ц Ценина Т.Т. Ц 37...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Роман Баканов МАСС-МЕДИА ГЛАЗАМИ ГАЗЕТ Практические рекомендации в помощь начинающему медийному критику Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2008 Файл загружен с http://www.ifap.ru УДК 070.09(075.8) Б19 Печатается по решению заседания кафедры журналистики Казанского государственного университета Протокол № 7от 24.04.2008 г. Научный редактор кандидат филологических наук, доцент Д.В.Туманов Рецензенты; кандидат...»

«УТВЕРЖДАЮ Декан ГФ _ В.Г. Рубанов _2009 г. ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ПО ФИЛОСОФИИ КУЛЬТУРЫ Рабочая программа для специальности 032401 Реклама Гуманитарный факультет - ГФ Обеспечивающая кафедра Культурологии и социальной коммуникации Курс 4 Семестр 8 Учебный план набора 2006 г. Распределение учебного времени Практические (семинарские) занятия 34 час. Всего аудиторных занятий 34час. Самостоятельная работа 90 час. Общая трудоемкость 124 час. Зачет 8 семестр Томск – Предисловие ПРЕДИСЛОВИЕ 1. Рабочая...»

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТ НОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛ А №9 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА в 2012 – 2015 г.г. МИЧУРИНСК 2012 Тема исследования: Формирование универсальных учебных действий младший школьников в рамках системы обучения с использованием коллективного способа обучения. Руководитель эксперимента: Липчанская Маргарита Викторовна, директор МБОУ СОШ №9 г. Мичуринска. Научный руководитель: Попова Т.И., зав. Кафедры педагогики, психологии и методик дошкольного...»

«ПОРТФОЛИО (портфель личных достижений) Учителя информатики и ИКТ: Королевой Ольги Анатольевны МОУ Киришская средняя общеобразовательная школа № 8 Содержание Содержание РАЗДЕЛ 1. Общие сведения Личные данные Образование Профессиональный путь Курсы повышения квалификации и профессиональная переподготовка Аттестация Поощрения / Награды РАЗДЕЛ 2. Результаты педагогической деятельности Итоговые результаты Результаты ЕГЭ Выпускники, окончившие школу с золотой и серебряной медалью Учащиеся,...»

«Министерство образования и наук и Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Алтайская государственная академия образования имени В.М. Шукшина ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ТИПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЯЗЫКОЗНАНИЯ GENERAL THEORETICAL AND TYPOLOGICAL PROBLEMS OF LINGUISTICS Сборник научных статей Выпуск 2 Бийск 2013 Общетеоретические и типологические проблемы языкознания. Выпуск 2. 2013 Ответственный редактор: доктор...»

«ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ – ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ МЕСТО В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ 2. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. 3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ 4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. 4.1. Лекционный курс 4.2. Практические занятия 4.3. Самостоятельная внеаудиторная работа студентов 5. МАТРИЦА РАЗДЕЛОВ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ И ФОРМИРУЕМЫХ В НИХ ОБЩЕКУЛЬТУРНЫХ И ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ 5.1. Разделы дисциплины 5.2 Матрица разделов учебной...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ‹‹Уральский государственный технический университет – УПИ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина›› Нижнетагильский технологический институт (филиал) Организация и планирование машиностроительного производства Сборник задач Нижний Тагил 2008 УДК 331 ББК У9(2)290-21 Автор-составитель О. Н. Баркова Научный редактор: канд. экон. наук, доц. М. М. Щербинин Организация и...»

«Об итогах организации труда, отдыха, оздоровления и занятости детей и подростков Балаковского муниципального района в летний период 2013г (председатель Комитета образования Калинина Т.П.). В целях организованного проведения летней оздоровительной кампании на территории Балаковского муниципального района в 2013 году приняты все необходимые нормативно-правовые акты администрации Балаковского муниципального района, регламентирующие проведение летней оздоровительной кампании, предусматривающие меры...»

«МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА АЛАТЫРСКИЙ ТЕХНИКУМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ АТЖТ - филиал СамГУПС МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для выполнения контрольной работы студентами заочного отделения по дисциплине БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ для специальностей: 190623...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра деревообрабатывающих станков и инструментов КОНСТРУКЦИИ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ ПЛИТНЫХ ПРОИЗВОДСТВ Программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности 1-36 05 01 Машины и оборудование лесного комплекса специализации 1-36 05 01 03 Машины и оборудование деревообрабатывающей промышленности заочной формы обучения Минск 2011 УДК 674-8(073) ББК 37.133я73 К65 Рассмотрены и рекомендованы к...»

«Министерство образования Республики Башкортостан Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Стерлитамакский химико-технологический техникум ОТЧЕТ по итогам самообследования ГБОУ СПО Стерлитамакский химико-технологический техникум г. Стерлитамак, 2012 год 1 СОДЕРЖАНИЕ 1 Организационно-правовое обеспечение образовательной деятельности 4 2 Система управления и структура техникума 7 2.1 Соответствие организации управления техникумом уставным...»

«Проект Формирование системы инновационного образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.Ломоносова ФАКУЛЬТЕТ НАУК О МАТЕРИАЛАХ Макет ФГОС - 3 Химия, физика и механика материалов направление 511700 (020900 по ОКСО) Составители: академик РАН Ю.Д.Третьяков проф. Е.А.Гудилин Москва 2006 стр. 1 из 47 Проект МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 200 г. № Номер государственной регистрации _...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОТРОИЦКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ “МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ” Кафедра оборудования металлургических предприятий Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры В.Д. ЗАДОРОЖНЫЙ ГИДРАВЛИКА Методические рекомендации для выполнения контрольных работ для студентов специальности 150404 – Металлургические машины и...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

«УНИВЕРСИТЕТСКИЙ КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ»

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И

ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И

ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МЕХАНИЧЕСКОЙ

ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)