WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Озерский технологический институт

С. Г. Лисицын

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

В ЗАДАЧАХ

Москва 2013

УДК 530.1

Лисицын С.Г. Молекулярная физика в задачах: Учебно-методическое пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2013. – с.

Пособие предназначено для студентов технических специальностей, изучающих курс общей физики. В нём разобраны решения задач различной сложности по всем основным темам из раздела "Молекулярная физика" курса общей физики.

Пособие рассчитано на применение совместно с учебниками по курсу общей физики И.В. Савельева и И.Е. Иродова.

Пособие подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензенты:

В.И. Гервидс, доцент кафедры общей физики НИЯУ МИФИ, В.П.Медведев заведующий кафедрой ХиХТ ОТИ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

1. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ............. 2. СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ

РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ТЕЛОМ

ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА

КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ

ПЕРВЫЙ ЗАКОН (НАЧАЛО) ТЕРМОДИНАМИКИ

ТЕПЛОЕМКОСТЬ

ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ И ТЕПЛОЁМКОСТЬ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

ТЕОРЕМА О РАВНОРАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ

СВОБОДЫ МОЛЕКУЛЫ

4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА

6. ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

НЕОБРАТИМОСТЬ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ

ЦИКЛ КАРНО

ПРИРОДА НЕОБРАТИМОСТИ

ЭНТРОПИЯ

7. ДИФФУЗИЯ

8. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

ВРЕМЯ ВЫРАВНИВАНИЯ

ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА

ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ГАЗАХ

9. ВЯЗКОСТЬ ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ

КОЭФФИЦИЕНТ ВЯЗКОСТИ

ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА

ФОРМУЛА СТОКСА

10. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

11. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

ФАЗЫ ВЕЩЕСТВА

ТЕПЛОТА ПЕРЕХОДА

ФОРМУЛА КЛАПЕЙРОНА — КЛАУЗИУСА

ИСПАРЕНИЕ

КИПЕНИЕ

КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА

ТРОЙНАЯ ТОЧКА

12. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА

ЗАКОН СООТВЕТСТВЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

13. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ

КАПИЛЛЯРНЫЕ СИЛЫ

УПРУГОСТЬ ПАРА НАД ИСКРИВЛЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

ПРИРОДА ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕГРЕВА И ПЕРЕОХЛАЖДЕНИЯ

ЛИТЕРАТУРА

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие предназначено для студентов технических специальностей, изучающих курс общей физики. Оно создано для того, чтобы помочь студентам освоить решение задач по физике и разобраться с различными аспектами теории. В пособии разобраны решения задач различной сложности по всем основным темам из раздела "Молекулярная физика". Однако просто разбирать задачи без упоминания необходимых теоретических положений, дело достаточно бессмысленное. Решить задачу можно лишь при условии вполне ясного понимания её содержания и основных законов физики, лежащих в основе решения. Раздел «Молекулярная физика» весьма насыщен многочисленными понятиями, зачастую весьма непростыми. Поэтому в данном пособии немало места отведено основам теории, необходимой для решения задач. Для того чтобы объём пособия был по возможности небольшим, изложение теории дано максимально кратко. Здесь перед автором стояла весьма деликатная Задача – как добиться краткого, но достаточно полного и точного изложения теории? Поневоле пришлось опираться на существующие учебники, выбрав за основу изложения тот, который в наилучшей степени удовлетворял бы указанным требованиям. Таким учебником на взгляд автора является учебник Л.Д. Ландау, А.И. Ахиезера и Е.М. Лифшица «Курс общей физики», включающий в себя механику и молекулярную физику. Именно содержание этого учебника и составляет основу теоретических сведений в данном пособии.

Чтобы не затруднять чтение текста автор позволил себе прямое цитирование (без кавычек) многих страниц этого учебника, иллюстрируя их соответствующими задачами. Разумеется, упомянутый учебник, сколь бы ни был удачен, не может заменить все книги, написанные на данную тему. Следует читать и другие учебники.

Возможно, читателям они в чём-то покажутся более удачными. Небольшой список рекомендуемых учебников приведён в конце пособия.

В большинстве задач требуется получить численный ответ. На взгляд автора такого рода результаты позволяют лучше понять суть рассматриваемых явлений, оценить их масштабы. Это особенно важно, поскольку многие явления из области молекулярной физики недоступны непосредственному восприятию. Поэтому оценка масштабов реальных процессов чрезвычайно полезна.

Автор также старался, по мере возможности, избегать задач, где требуются громоздкие вычисления или сложный анализ многочисленных частных случаев. В пособии практически нет оригинальных задач. Многие из них заимствованы из задачников, список которых приведён в конце пособия. Выбор именно этих задачников обусловлен тождеством концепций, положенных в основу, как упомянутых задачников, так и данного пособия. Отличие же данного пособия от упомянутых задачников в том, что в задачнике из-за ограниченности его объёма зачастую невозможно дать подробный разбор решения задачи. Пособие же содержит сравнительно небольшое число задач, подробный разбор которых и составляет его основное содержание.



Задачи в каждом разделе подобраны в порядке возрастания их сложности. Первые задачи носят иллюстративный характер, демонстрируя, как работают основные понятия. Заключительные же задачи, как правило, имеют достаточно глубокое содержание, выходя за рамки простых упражнений.

1. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

В основе молекулярно-кинетической теории (МКТ) строния вещества лежат несколько утверждений:

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Все тела состоят из некоторого числа простых веществ — химических элементов. Наименьшей частицей каждого элемента является его атом.

Строение атома Атом состоит из сравнительно тяжелого положительно заряженного атомного ядра и движущихся вокруг него значительно более легких отрицательно заряженных частиц—электронов, составляющих, как говорят, электронную оболочку атома. Ядра различных атомов отличаются друг от друга, электроны же все абсолютно одинаковы. Практически вся масса атома сконцентрирована в его ядре. Наиболее легкое из ядер — ядро атома водорода, называемое протоном, примерно в 2000 раз (точнее в 1837 раз) тяжелее электрона. В единицах системы СИ масса электрона составляет Размеры ядра ничтожно малы по сравнению с размерами атома.

Радиусы атомов, т. е. радиусы области вокруг ядра, в которой движутся электроны, порядка 10–8 см. Поэтому в качестве масштаба длины в молекулярной физике разумно взять величину порядка размера атома, т.е. длину в 10–8 см. Эта величина называется ангстрем (обозначается как ):

Радиусы ядер в десятки тысяч раз меньше, и, по порядку величины, лежат между 10–13 и 10–12 см.

Атомная единица массы Поскольку массы атомов чрезвычайно малы, то их удобнее измерять не в граммах, а в специальных единицах – атомных единицах массы (а.е.м.), в качестве которой принята 1/12 часть массы атома углерода (изотопа C12). Масса атома какого-либо элемента, выраженная в таких единицах, называется атомной массой элемента и обозначается обычно буквой А.

ПРИМЕР: Атомная масса водорода равна 1,008 а.е.м.

Число Авогадро Масса атома, выраженная в граммах, пропорциональна его атомной массе. Ясно поэтому, что если взять число граммов какого-либо элемента, равное его атомной массе, то содержащееся в этом количестве вещества число атомов будет одинаковым для всех элементов. Это число называется числом Авогадро и равно Очевидно, что масса атома с атомной массой А равна ПРИМЕР: масса атома водорода равна Моль – такое количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу Авогадро. Масса моля (молярная масса), выраженная в граммах, равна, очевидно, произведению числа Авогадро на массу одной молекулы, выраженной в атомных единицах массы:

Задача Найти массу молекулы воды.

Решение Масса m молекулы воды равна сумме масс атома кислорода (А=16 а.е.м.) и двух масс атома водорода (А = 1 а.е.м.), т.е. 18 а.е.м.

Тем самым, масса моля воды (в граммах) равна 18 г. Поскольку µ = NAm, то масса молекулы:

Задача Оценить размеры атомов алюминия и ртути, и молекулы воды.

Решение Поскольку жидкости практически несжимаемы, то это означает, что молекулы в них располагаются вплотную одна к другой. Найдём объём v, занимаемый одной молекулой:

где m – масса одной молекулы, – плотность жидкости.

Поскольку m = µ N A, то для объёма v молекулы найдём:

Размер молекулы а можно оценить как кубический корень из этого объёма:

Для воды (Н2О) µ=18 г/моль, = 1 г/см3, откуда:

Для ртути µ=200 г/моль, = 13,6 г/см3, откуда Для алюминия µ=27 г/моль, = 2,5 г/см3, откуда В пределах точности нашей оценки размеры молекулы воды и атома ртути одинаковы. Близкими к найденным значениям оказываются размеры атомов большинства других веществ. Заметим, что размеры молекул более чем в 1000 раз меньше длин волн видимого нами света. Этот факт означает невозможность наблюдать такие объекты с помощью различных оптических приборов, т.к. размеры предметов, которые можно увидеть с помощью микроскопов не могут быть меньше длины световой волны. Причина этого в волновой природе света.

Задача Найти концентрацию молекул, т.е. их число в единице объёма тела, выразив его через плотность тела и молярную массу вещества.

Решение Плотность тела равна массе единицы объёма тела, поэтому её можно записать как произведение массы т одной молекулы на их число п в единице объёма:

откуда найдём п:

Так для воды в жидком состоянии Такой же порядок п и у других веществ, если те находятся в твёрдом или жидком состоянии. Например:

• алюминий – молярная масса µ = 2,7 г/моль, плотность = 2,7 г/см3, откуда n 6 1022 см3 ;

• уран – молярная масса µ=238 г/моль, плотность =19 г/см3, откуда n 5 1022 см3.

Задача Оценить молярную массу воздуха.

Решение Воздух содержит большое число различных газов, но главные его компоненты – азот и кислород. Молекулы обоих газов двухатомные. Азота в воздухе содержится около 78%, а кислорода – 21%. Ещё около 0,9% приходится на аргон, все остальные газы содержатся в очень малом количестве, и в наших оценках мы их учитывать не будем.

Молярная масса азота µN2 = 28 г/моль, кислорода µО2 = 32 г/моль, аргона µAr = 40 г/моль. В одном моле воздуха по определению содержится NA молекул. Пусть из этого числа на азот, кислород и аргон приходится соответственно N1, N2, N3 молекул. Тогда масса моля воздуха будет равна:

NA NA NA

NA NA NA

= 28,88 29(г/моль) Масштабы энергии в задачах молекулярной физики Для измерения энергий в атомных явлениях джоуль является слишком большой величиной. В молекулярной физике применяется единица энергии, называемая электрон-вольтом (эВ), она равна энергии, приобретаемой электроном при прохождении им в элекОсновы МКТ трическом поле разности потенциалов в один вольт. Поскольку производимая электрическим полем работа, равна произведению величины заряда на разность потенциалов, пройденную этим зарядом, а заряд электрона е составляет 1,610-19 кулон, то электронвольт составляет:

Энергия ионизации атома Атом не является неделимой частицей вещества. От атома можно оторвать один или большее число электронов. Этот процесс возможен, например, при столкновении атомов друг с другом или с пучком быстро движущихся электронов. Энергия, которая необходима, чтобы оторвать от атома один электрон, называется энергией ионизации атома (другое название – ионизационный потенциал).

Величина энергии ионизации колеблется в пределах от наименьшего примерно 3 эВ для атома франция до наибольшего 24,6 эВ для атома гелия. Энергия ионизации атома водорода равна 13,6 эВ.

Энергия ионизации атома как функция его атомного номера оказывается периодической функцией. Она более или менее монотонно возрастает в каждом периоде таблицы Менделеева, достигая наибольшего значения в атоме благородного (инертного) газа, и затем резко падает к началу следующего периода. Это является одним из главных проявлений периодических свойств атомов, которые дали таблице атомов название периодической системы.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Атомы вещества взаимодействуют между собой. Атомы различных элементов могут соединяться друг с другом, образуя молекулы. Простейшей молекулой является двухатомная молекула, состоящая из двух атомов — одинаковых или различных. Взаимодействие атомов, приводящее к образованию такой молекулы, характеризуется потенциальной энергией, график которой изображен на Рис. 1.1. На этом графике отложена потенциальная энергия U взаимодействия двух атомов как функция от расстояния r между ними (точнее, расстояния между ядрами атомов).

Эта функция имеет довольно глубокий и резкий минимум при некотором значении r = r0. На меньших расстояниях кривая очень круто поднимается вверх (примерно как 1 / r12 ); эта область соответствует сильному отталкиванию атомов, возникающему при перекрытии и взаимной деформации их электронных оболочек. На больших же расстояниях атомы притягиваются. Расстояние r0 отвеОсновы МКТ чает устойчивому равновесному взаимному положению ядер в молекуле. В действительности ядра не занимают строго эти положения, а совершают около них колебания; амплитуда этих колебаний, однако, обычно мала. Глубина U0 потенциальной ямы характеризует прочность связи атомов в молекуле и составляет несколько электрон-вольт.

U Потенциальная энергия взаимодействия молекул друг с другом изображается в виде подобной же кривой, если усреднить эту энергию по Силы взаимодействия между молекулами носят название вандер-ваальсовых сил. Необходимо отметить, что силы притяжения между молекулами очень быстро ослабевают с увеличением расстояния между ними. Вообще говоря, уже на расстояниях в 2 — раза превышающих размеры молекул эти силы практически обращаются в нуль. Более точный анализ показывает, что на таких расстояниях потенциальная энергия U ~ – 1/r6, а силы притяжения убывают, соответственно, как УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Во всех существующих в природе телах происходит постоянное движение составляющих эти тела частиц.

Это движение универсально: движутся молекулы, движутся атомы внутри молекулы. Его характерной чертой является беспорядочность, которой оно всегда обладает в той или иной степени. Об этом движении говорят как о тепловом движении. В нем заключена природа теплоты и тепловых явлений.

Хотя обычно, говоря о тепловом движении, имеют в виду движение, происходящее в атомных (или, как говорят в этой связи, микроскопических) масштабах, но ему подвержены также и частицы больших, макроскопических, масштабов. Хорошо известным примером этого рода является так называемое броуновское движение — хаотическое движение взвешенных в жидкости мелких – микронных размеров – частиц вещества, которое можно наблюдать через микроскоп.

Агрегатные состояния вещества Для наиболее общей характеристики тепловых свойств тел пользуются понятием агрегатных состояний или фаз — газообразного, жидкого и твердого (соответственно – газообразной, жидкой, твёрдой фаз).

В газах молекулы находятся сравнительно далеко друг от друга:

на расстояниях, больших по сравнению с их собственными размерами. Поэтому силы взаимодействия между молекулами газа оказываются чрезвычайно малыми; большую часть времени молекулы движутся как свободные, лишь сравнительно редко испытывая столкновения друг с другом.

В жидкостях же молекулы сближены на расстояния, сравнимые с их собственными размерами, так что все они находятся в постоянном сильном взаимодействии и их тепловое движение имеет весьма сложный, запутанный характер.

Тепловое движение атомов в твердых телах представляет собой малые колебания вокруг определенных положений равновесия. В кристаллах этими положениями являются узлы кристаллической решетки. Хотя тепловое движение в твердых телах и более «упорядоченно», чем в газах или жидкостях (атомы не уходят далеко от узлов), но и оно хаотично в том смысле, что амплитуды и фазы различных атомов различны и никак между собой не связаны.

Хотя в обычных условиях жидкости и газы сильно отличаются друг от друга по своей плотности, однако различие между этими двумя состояниями вещества в действительности лишь количественное — в величине плотности и связанной с этим разницей в интенсивности взаимодействия молекул. Отсутствие принципиального отличия между ними проявляется в том, что переход между жидким и газообразным состояниями может быть в принципе произведен вполне непрерывным образом, так что мы ни в какой момент не смогли бы указать, где кончилось одно состояние и началось другое (об этом будет подробнее идти речь в разделе Фазовые переходы).

Количественный характер имеет также и различие между жидкостями и так называемыми аморфными (не кристаллическими) твердыми телами; к последним относятся стекло, различные смолы (например, канифоль) и т. п. И здесь переход из твёрдого состояния в жидкое осуществляется путем простого нагревания, по мере которого аморфные тела постепенно размягчаются, становясь, в конце концов, вполне жидкими. Этот процесс совершенно непрерывен и в нем не существует никакого определенного «момента перехода».

Основным количественным различием между аморфным телом и получившейся из него жидкостью является разница в величине их вязкости, т. е. в их «текучести».

Общим свойством газов, жидкостей и аморфных твердых тел является беспорядочность распределения молекул в них. Эта беспорядочность обусловливает собой изотропию этих тел — одинаковость их свойств по всем направлениям. Свойство изотропии принципиально отличает эти тела от анизотропных кристаллических твердых тел, в которых атомы расположены упорядоченным образом и образуют кристаллическую решётку. Отметим, что кристаллические тела с кубической решеткой изотропны и, в этом смысле, ведут себя как тела аморфные.

Задача Показать, что в системе частиц с потенциалом, изображённым на Рис. 1 возможны различные агрегатные состояния.

Решение Рассмотрим движение двух соседних молекул. Пусть молекулы, не вращаясь относительно их общего центра инерции, сближаются или удаляются одна от другой. Тогда мы можем представить их кинетическую энергию как разность полной энергии и потенциальной U:

Поскольку кинетическая энергия не может быть меньше нуля, то область, в которой движутся молекулы, определяется условием U. Если в некоторой точке U =, то в этой точке кинетическая энергия обращается в ноль, т.е. молекулы останавливаются, после чего начинают двигаться назад. Если < 0, то таких точек остановки две (r1 и r2 на Рис.1), и в процессе относительного движения моОсновы МКТ лекул расстояние между ними ограничено этими значениями. Тем самым, частицы не уходят далеко одна от другой, совершая лишь колебания вокруг их положений равновесия. Если теперь рассмотреть систему большого числа взаимодействующих частиц, кинетическая энергия которых достаточно мала, то полученный нами результат, применённый к такой системе, означает, что частицы, совершая лишь небольшие колебания вблизи их положений равновесия, образуют твёрдое тело.

Если же > 0, то точек остановки не две, а только одна, и частицы могут разойтись на сколь угодно большие расстояния одна от другой. То же самое будет справедливо и в отношении большой системы частиц. При большой кинетической энергии частиц они могут удаляться на сколь угодно большие расстояния одна от другой, т.е. система частиц представляет собою газ.

В промежуточном случае, когда энергия близка к нулю, амплитуда колебаний частиц будет велика. В силу случайного распределения скоростей частиц системы, некоторые из них будут иметь положительную энергию, другие – отрицательную. Первые будут удаляться на большие расстояния, вторые останутся сравнительно недалеко от положений равновесия. Состояние, как видим, представляет собой двухфазную систему – жидкость с паром.

Вращение молекул относительно их общего центра инерции не меняет принципиально ситуации. Если запас кинетической энергии меньше глубины потенциальной ямы, в которой находится частица, то расстояние между молекулами останется конечным, т.е. вещество будет находиться в конденсированном состоянии. При большой кинетической энергии в сравнении с глубиной потенциальной ямы, вещество будет находиться в газообразном состоянии.

Тепловое равновесие.

Если привести в соприкосновение два тела, то атомы этих тел, сталкиваясь между собой, будут передавать друг другу энергию.

Таким образом, при соприкосновении двух тел энергия переходит от одного тела к другому; тело, которое при этом теряет энергию, называют более нагретым, а тело, к которому энергия переходит,— менее нагретым. Такой переход энергии продолжается до тех пор, пока не установится некоторое определенное состояние — состояние теплового равновесия.

Среднее значение физической величины Среднее значение x (другое обозначение среднего x) какойлибо физической величины х можно понимать как среднее по значениям х всех частиц в один и тот же момент времени:

(здесь хi (t) – значение физической величины i-й частицы в момент времени t, N – число частиц), либо как среднее по значениям х одной и той же частицы в различные моменты времени:

(здесь хi (tn) – значение физической величины i-й частицы в момент времени tn, N – число измерений). Утверждение об эквивалентности этих определений среднего составляет содержание так называемой эргодической гипотезы. Строгого доказательства этой гипотезы не существует, формально можно рассмотреть системы, в которых она несправедлива, но для большинства физических приложений эта гипотеза верна.

Температура.

Для характеристики степени нагретости тел служит понятие температуры. В физике в качестве температурной шкалы пользуются так называемой термодинамической или абсолютной шкалой, глубоко связанной с наиболее общими тепловыми свойствами всех тел. Ее точное определение выходит за рамки курса общей физики.

Поэтому мы охарактеризуем эту шкалу по некоторым ее «вторичным» свойствам.

Ясно, что физическое определение температуры должно основываться на такой физической величине, характеризующей состояние тела, которая была бы автоматически одинаковой у любых двух тел, находящихся в тепловом равновесии друг с другом. Оказывается, что этим замечательным свойством обладает средняя кинетическая энергия поступательного движения частиц (молекул или атомов) тела. Если эти средние значения энергии для частиц двух тел одинаковы, то хотя при соприкосновении этих тел отдельные их частицы и будут обмениваться в ту или другую сторону энергией, но никакого суммарного перехода энергии из одного тела в другое происходить не будет. Достаточно подробное обсуждение этого факта имеется в учебнике Д.В. Сивухина [4].

Именно поэтому средняя кинетическая энергия поступательного движения частиц внутри тела и может быть выбрана в качестве мерила температуры. Принято определять температуру Т как величину пропорциональную этой энергии Здесь m — масса, — скорость частицы, а черта над выражением означает, что должно быть взято его среднее значение.

Коэффициент k называется постоянной Больцмана и равен Напомним, что градус определяется как одна сотая часть разности между температурами кипения и замерзания чистой воды при атмосферном давлении.

Температурные шкалы.

Поскольку кинетическая энергия есть величина положительная, то Т>0. Однако положительность температуры не есть закон природы: это просто следствие самого определения температуры. Определенная таким образом шкала температуры называется абсолютной. Нулем температуры в этой шкале формально, согласно приведенной выше формуле, является температура, при которой тепловое движение якобы вовсе прекращается. Строго говоря, по квантовым причинам полное прекращение движения молекул невозможно, а приведенная выше классическая формула просто перестает правильно передавать связь между средней энергией и температурой. Количественно такой подход для поступательного движения молекул в обычных классических газах типа воздуха дает ничтожно малую ошибку. О квантовых газах типа электронного газа в металле речь пойдет ниже. Шкалу абсолютной температуры, отсчитываемую от этого, как говорят, абсолютного нуля, называют также шкалой Кельвина, единицы этой шкалы обозначают К и называют кельвинами, опуская слово "градусы".

Наряду со шкалой Кельвина на практике широко пользуются шкалой Цельсия, в которой температуру отсчитывают от точки замерзания воды при давлении в 760 мм рт. ст., условно приписывая этой точке равную нулю температуру. За 100 градусов по шкале Цельсия принимают температуру кипения воды при том же давлении. Градусы этой шкалы обозначают оС.

Как показывают точные измерения, температура замерзания чистой воды соответствует 273,15 К. Поэтому связь температурных шкал Кельвина и Цельсия даётся равенством:

Тепловая скорость.

Для характеристики скорости теплового движения частиц можно воспользоваться квадратным корнем из входящей в определение температуры величины ; его обычно называют среднеквадратичной или просто тепловой скоростью и обозначают через T:

Задача Полагая молярную массу воздуха µ равной 29 г/моль оценить тепловую скорость движения молекул воздуха при 17оС.

Решение Задача Оценить среднюю кинетическую энергию и среднеквадратичную скорость капелек тумана диаметра 10 мкм, находящихся в воздухе при температуре +5оС.

Решение Средняя кинетическая энергия зависит лишь от температуры:

Найдём массу капельки тумана:

А теперь скорость:

Задача Оценить среднеквадратичное отклонение маятника от положения равновесия, вызванное тепловым движением шарика маятника.

Масса шарика 1 мг, длина нити 10 м, температура воздуха 20оС.

Решение Маятник вследствие теплового движения обладает средней кинетической энергией = kT. При гармонических колебаниях его циальная энергия u = mgh равны. Таким образом, средняя высота, на которую поднимается маятник при колебаниях, равна:

Найдём средний модуль горизонтального отклонения маятника.

Согласно Рис. 1.2:

Задача Какую температуру имел бы газ, если бы средняя кинетическая энергия поступательного движения его молекул была равна 1 эВ?

Решение Средняя кинетическая энергия связана с температурой:

Ограниченность классической механики при низких температурах По мере того, как с понижением температуры уменьшается энергия частиц, условия применимости классической механики раОсновы МКТ но или поздно нарушаются и классическая механика должна быть заменена квантовой. Это происходит тем раньше, чем меньше масса частицы и чем в большей степени ее движение ограничено действующими на неё силами. Так, своё поступательное движение молекулы газа совершают практически как свободные частицы, и это движение может всегда рассматриваться классически. Движение же атомов внутри молекул имеет характер малых колебаний в «потенциальной яме» вокруг определённых положений равновесия; неприменимость классической механики к этому движению наступает уже очень рано (см. обсуждение этого вопроса при рассмотрении понятия теплоёмкости).

Хотя при температуре абсолютного нуля тепловое движение прекращается, однако, согласно квантовой механике даже при абсолютном нуле должно сохраниться некоторое колебательное движение атомов внутри молекул, или колебания атомов вокруг узлов кристаллической решетки твердого тела. Это движение – его называют нулевыми колебаниями – представляет собой квантовое явление. Энергия этого движения является характерной величиной для «квантовости» того или иного объекта. Сравнение энергии теплового движения частиц ( ~ kT) с энергией их «нулевого» движения 0 может служить критерием применимости классической механики; последняя пригодна для описания теплового движения частиц, если его энергия достаточно велика по сравнению с «нулевой энергией»:

Наиболее ярким примером «нулевого движения», полностью сохраняющегося и при абсолютном нуле, является движение наиболее легких частиц – электронов – в атомах. Внутриатомное движение электронов имеет чисто квантовый характер. Благодаря его сравнительно большой энергии температура тела лишь в крайне незначительной степени влияет на него. Лишь при очень высоких температурах, достигающих многих тысяч градусов, тепловое движение атомов существенно сказывается на их электронных оболочках.

Давление Благодаря тепловому движению своих частиц газ (или жидкость) оказывает давление на стенки заключающего его сосуда. Молекулы газа, сталкиваясь со стенками сосуда, передают им некотоОсновы МКТ рый импульс, изменение же импульса тела (за 1 сек) определяет действующую на него силу.

Если отнести силу, действующую со стороны газа (или жидкости), к единице поверхности стенки, то мы получим величину давления, оказываемого на стенку сосуда. Мы будем обозначать давление буквой P. Размерность давления есть размерность силы, деленной на размерность площади. Ее можно представить в различных видах. Так в СИ (единица давления в СИ называется Паскаль; обозначается как Па) имеем:

Обратим, в частности, внимание на то, что размерность давления совпадает с размерностью энергии, отнесенной к единице объема (объёмная плотность энергии).

Нормальной атмосферой (атм) называют давление столба ртути высотой 760 мм (при определенной плотности ртути и стандартном значении ускорения силы тяжести); эта единица равна Макроскопические свойства Свойства тел, рассматриваемых в целом, не вдаваясь в детали их молекулярной структуры (с которой эти свойства в действительности связаны), называют макроскопическими свойствами. Температура и давление являются важнейшими величинами, характеризующими макроскопическое состояние тела. К числу этих величин относится также и объем тела (мы будем обозначать его буквой V).

Однако эти три величины не являются независимыми. Функциональная зависимость, связывающая друг с другом давление, объем и температуру тела, называется уравнением состояния данного тела и является одним из важнейших соотношений, характеризующих его тепловые свойства.

Установить теоретически вид этой функциональной зависимости можно лишь в случае самых простых тел. Поэтому на практике приходится прибегать к экспериментальным измерениям, результаты которых можно изобразить графически. Так, можно получить семейство кривых, изображающих зависимость давления от объема тела при различных заданных значениях температуры; такие кривые называются изотермами. Аналогичным образом можно поОсновы МКТ строить семейство изобар — кривых, изображающих зависимость V от Т при заданных значениях Р, и семейство изохор — кривых зависимости Р от Т при заданных значениях V.

Уточним здесь понятие теплового равновесия. Вообще состоянием теплового равновесия системы тел называют такое её состояние, при котором в системе не происходит никаких самопроизвольных тепловых процессов, и все части системы покоятся друг относительно друга, не совершая никакого, как говорят, макроскопического движения (в отличие от микроскопического теплового движения частиц внутри тел). Таким образом, в состоянии равновесия должны быть одинаковыми не только температуры всех соприкасающихся тел, но и их давления,— в противном случае на тела действовали бы отличные от нуля полные силы, и они пришли бы в движение1.

1 В дальнейшем мы несколько расширим понятие теплового равновесия, включив в него равновесие различных фаз вещества (твёрдого тела и жидкости, жидкости и пара).

2. СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

Модель идеального газа Основной особенностью газов является их малая плотность, благодаря чему среднее расстояние между молекулами оказывается во много раз больше размеров молекул. Поскольку радиус межмолекулярного взаимодействия также имеет порядок размера молекул, то, вследствие этого, взаимодействие между молекулами оказывается очень слабым, и при рассмотрении многих свойств газов им можно вообще пренебречь. Модель газа, в которой пренебрегают взаимодействием между молекулами, носит название идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа Идеальный газ подчиняется, как известно, уравнению состояния где P, V, T – давление, объем, температура газа, N – число молекул газа в объеме V, k = 1,3810—23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Умножив и поделив правую часть этого уравнения на массу молекулы, приведём его к другой форме:

где µ - масса моля газа, М - масса газа, заключенного в объеме V, R=kNA= 8,314 Дж/мольК – универсальная газовая постоянная.

Уравнение (2.3) называют уравнением Клапейрона – Менделеева.

Для постоянной массы газа, как видно из (2.1) или (2.4), если:

T=const, то PV=const - закон Бойля – Мариотта, P=const, то V/T=const - закон Гей – Люссака, V=const,то P/T=const - закон Шарля.

Семейства графиков этих законов изображены на рисунке 2.1. Для смеси газов справедлив закон Дальтона, гласящий, что давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонентов смеси. Иными словами, каждая компонента смеси оказывает на стенки сосуда такое давление, как если бы в сосуде находилась только одна эта компонента.

кроме того, пар является идеальным газом, поэтому для единицы массы пара:

И далее:

Тогда из (11.1) и (11.2) найдём:

откуда:

Если обозначить = тпара/( тпара+ тводы), а сV = CV /( тпара+ творезультат запишется в виде:

Как видим, теплоёмкость двухфазной системы вовсе не равна сумме теплоёмкостей жидкости и её пара (первые два члена справа). Разница весьма заметна, и связана с процессом поглощения теплоты при испарении, поскольку содержит большую величину, пропорциональную квадрату теплоты испарения жидкости.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть имеем капли воды в насыщенном водяном паре с концентрацией пара = 0,1 при температуре 1000 С. Тогда:

Как видим, даже при сравнительно малой концентрации пара теплоёмкость тумана оказывается почти втрое выше теплоёмкости воды. В обратном случае при =0,9 получим:

а это уже почти в 20 раз выше суммы теплоёмкости воды и пара в сосуде.

Задача Найти теплоёмкость насыщенного пара. Вопрос задачи подразумевает, что подвод теплоты к двухфазной системе, состоящей из жидкости и её насыщенного пара, производится так, что пар всё время остаётся насыщенным.

Решение Согласно первому началу термодинамики Поэтому теплоёмкость Здесь мы воспользовались тем то, что насыщенный пар подчиняется уравнению Клапейрона – Клаузиуса и является идеальным газом.

Из полученного ответа следует, что при сравнительно низких температурах теплоёмкость насыщенного пара может быть отрицательной, т.е. подвод теплоты к пару вызовет его охлаждение, а отвод теплоты от него наоборот, приведёт к его нагреву. Так для насыщенного водяного пара эта теплоёмкость отрицательна при всех температурах:

Задача Насыщенный водяной пар при температуре Т = 300 К подвергается адиабатическому сжатию и адиабатическому расширению. В каком из этих процессов пар становится ненасыщенным, а в каком перенасыщенным?

Решение Согласно результату задачи 7 внутренняя энергия насыщенного пара больше чем энергия жидкости. С другой стороны, согласно первому началу термодинамики при адиабатическом расширении внутренняя энергия пара уменьшается, следовательно, пар будет конденсироваться, либо сделается перенасыщенным. При адиабатическом сжатии внутренняя энергия пара растёт, поэтому он становится ненасыщенным.

Критическая точка По мере повышения температуры упругость насыщенного пара быстро возрастает; вместе с ней возрастает и плотность пара, приближаясь к плотности жидкости. При некоторой температуре плотность пара становится равной плотности жидкости и пар становится неотличимым от жидкости. Другими словами, кривая равновесия жидкости и газа на фазовой диаграмме Р, Т в некоторой точке заканчивается (точка К на рис. 11.7).

Эта точка называется критической; ее координаты определяют критическую температуру Тк и критическое давление Рк вещества.

На диаграмме V, Т (и аналогично на диаграмме V, Р) приближение к критической точке проявляется в сближении удельных объемов жидкости и пара при повышении температуры, т. е. в сближении обеих кривых, ограничивающих на рис. 11.8 заштрихованную область. При Т=Тк обе кривые соединяются, так что мы имеем, по существу, всего одну плавную кривую, обладающую в некоторой точке К максимумом (рис. 11.8). Эта точка и является критической;

ее координаты — критическая температура Тк и критический удельный объем Vк. Наличие критической точки очень ясно демонстрирует отсутствие принципиального различия между жидким и газообразным состояниями вещества.

Существование же критической точки для процесса плавления невозможно, поскольку твердые (кристаллические) тела принципиально отличаются от жидкостей и газов своей анизотропией. Поэтому мы всегда можем указать, к которой из двух фаз — кристаллической или жидкой — относится тело, в зависимости от того, обладает или не обладает тело качественным свойством анизотропии. Тем самым переход между жидкостью и кристаллом не может быть осуществлен непрерывным образом, как это возможно для перехода между жидкостью и газом.

Задача Чему равна теплота испарения в критической точке?

Решение В критической точке исчезают различия жидкой и газообразной фаз, поэтому и теплота испарения в этой точке равна нулю. Отсюда можно сделать заключение о том, что теплота испарения уменьшается с ростом температуры (ср. с задачей 4 из настоящего раздела).

Задача Можно ли превратить жидкость в пар так, чтобы в процессе перехода вещество всё время оставалось однородным?

Решение Рассмотрим какие-либо два состояния (а и b на рис. 11.8), сильно отличающиеся по своей плотности. Назовем более плотное (b) жидким, а менее плотное (a) газообразным. Сжимая газ a при постоянной температуре, мы можем превратить его в жидкость b, пройдя при этом стадию расслоения вещества на две фазы. Но переход между теми же состояниями а и b можно произвести и другим способом, если одновременно с уменьшением объема сначала увеличивать, а затем уменьшать температуру, передвигаясь вдоль какого-либо пути в плоскости V, Т, огибающего критическую точку сверху (как это показано пунктиром на рис. 11.8). При этом нигде не будет происходить скачкообразное изменение состояния, вещество все время будет оставаться однородным, и мы никак не смогли бы сказать, где вещество перестало быть газом и стало жидкостью.

Задача Пусть в запаянной трубке находится жидкость и её насыщенный пар. Что произойдёт при нагревании этой системы до температуры выше критической?

Решение Рассмотрим какие-либо два состояния (А и А' на рис. 11.8), сильно отличающиеся по своей плотности. Поскольку полный объем вещества постоянен, то мы будем передвигаться вверх вдоль вертикальной прямой в плоскости (Р,V). Если объем трубки превышает критический объем (соответствующий данному количеству вещества), эта прямая будет расположена справа от критической точки (АВ на рис. 6), и по мере нагревания количество жидкости будет уменьшаться, пока все вещество не обратится в пар (в точке В); при этом исчезновение границы (мениска) между жидкостью и паром произойдет у нижнего конца трубки. Если, напротив, объем трубки меньше критического объема (точка А'), то при нагревании пар будет конденсироваться, пока все вещество не станет (в точке В') жидким; при этом мениск исчезнет у верхнего края трубки. Наконец, если объем трубки совпадает с критическим объемом, то мениск исчезнет где-то внутри трубки, причем это исчезновение произойдет как раз при критической температуре Тк.

Тройная точка Равновесие двух фаз возможно лишь при вполне определенном соотношении между температурой и давлением; эта зависимость выражается определенной кривой в плоскости Р,Т. Но три фазы одного и того же вещества уже не могут находиться одновременно в равновесии друг с другом вдоль целой линии; такое равновесие возможно лишь в одной определенной точке на диаграмме Р,Т, т.е.

при вполне определенных как давлении, так и температуре. Это — та точка, в которой сходятся вместе кривые равновесия каждых двух из данных трех фаз. Точки равновесия трех фаз называются тройными точками. Так для воды лёд, пар и жидкая вода одновременно сосуществуют только при температуре + 0,010C и давлении 4,62 мм рт. ст.

Поскольку уже три фазы находятся в равновесии только в одной точке, то четыре или более фаз вообще не могут находиться одновременно в равновесии друг с другом.

Тот факт, что тройным точкам соответству- Р туры, делает эти точки в особенности при- Тв годными для выбора в качестве стандартных ведение свободно от трудностей, связанных требуется, например, при выборе в качестве стандартной точки температуры плавления льда при атмосферном давлении (вообще любой точки равновесия двух фаз).На рис. 11.9 изображен схематический вид фазовой диаграммы для вещества, имеющего всего три фазы: твердую, жидкую и газообразную. Этим трем фазам соответствуют на диаграмме области, отмеченные буквами: Тв, Ж и Г, а разделяющие их линии — кривые равновесия соответствующих двух фаз. Наклон кривой плавления изображен так, как это соответствует обычно имеющему место случаю расширения тел при плавлении. Для тех немногих случаев, когда плавление сопровождается сжатием вещества (например, в случае плавления льда), кривая наклонена в обратную сторону.

Из фазовой диаграммы видно, что при давлениях ниже тройной точки нагревание твердого тела превращает его непосредственно в пар, минуя жидкую фазу. Такой фазовый переход называется сублимацией (или возгонкой). Так, твердая углекислота при атмосферном давлении сублимируется, поскольку ее тройной точке соответствует давление 5,1 атм (и температура -56,60 С).

Кривая равновесия жидкости и газа заканчивается в критической точке (точка К на рис. 11.9). Для переходов между жидкой и твердой фазами существование критической точки невозможно (как это было отмечено в разделе Критическая точка). Поэтому кривая плавления не может просто окончиться и должна продолжаться неограниченно.

Кривая равновесия твердого тела с газом уходит в начало координат, т. е. при абсолютном нуле температуры вещество при любом давлении находится в твердом состоянии. Это есть следствие обычного, основанного на классической механике, представления о температуре. Согласно этому представлению при абсолютном нуле кинетическая энергия атомов обращается в нуль, т. е. все атомы неподвижны. Равновесным состоянием тела будет при этом то, в котором расположение атомов соответствует минимальной энергии взаимодействия атомов друг с другом. Такое расположение, отличаясь по своим свойствам от всех других расположений, должно быть как-то упорядоченным, т. е. представляет собой некоторую пространственную решетку. Это и означает, что при абсолютном нуле вещество должно быть кристаллическим.

В природе существует, однако, одно исключение из этого правила: гелий после своего сжижения остается жидким при всех температурах вплоть до абсолютного нуля. Для отвердевания гелия необходимо не только понижать его температуру, но одновременно и повышать давление не менее чем до 25 атм. Такое поведение гелия связано с квантовыми явлениями. Согласно квантовой механике движение атомов не прекращается полностью и при абсолютном нуле. Поэтому теряет свою справедливость также и заключение о неизбежности затвердевания вещества при этой температуре. Квантовые свойства вещества проявляются в большей степени при низких температурах, когда они не заслоняются тепловым движением атомов. Все вещества, за исключением гелия, затвердевают прежде, чем эти свойства проявятся в достаточной степени. Лишь гелий успевает стать «квантовой жидкостью», которая уже не обязана затвердеть.

Задача Найти удельную теплоту испарения бензола (С6Н6) вблизи его тройной точки, если известно, что при этих условиях его удельная теплота плавления q = 127 Дж/г, температура тройной точки Т = 279 К, равновесное давление пара в тройной точке Р = 36 мм рт. ст. и для кривой возгонки в той же точке известно dP/dT = 2,43 мм рт. ст./К. Считать пар бензола идеальным газом.

Решение Рассмотрим участок кривой возгонки вблизи тройной точки (см.

Рис. 7). Теплота перехода из твёрдой фазы в газообразную равна сумме теплоты плавления q и теплоты испарения. Тогда уравнение Клапейрона-Клаузиуса принимает вид:

Учитывая, что пар бензола является идеальным газом, найдём удельный объём пара бензола:

Тогда из уравнения Клапейрона-Клаузиуса найдём искомую теплоту испарения:

12. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА По мере увеличения плотности газа его свойства все более отклоняются от свойств идеального газа и, в конце концов, наступает его конденсация в жидкость. Эти явления связаны со сложными молекулярными взаимодействиями, и нет способа, которым можно было бы учесть эти взаимодействия количественным образом, с тем чтобы теоретически построить точное уравнение состояния вещества. Можно, однако, построить уравнение состояния, учитывающее основные качественные особенности молекулярного взаимодействия.

Мы знаем характер взаимодействия молекул: быстро возрастающие на малых расстояниях силы отталкивания означают, грубо говоря, что молекулы как бы занимают некоторый определенный объем, дальше которого газ не может быть сжат. Другое основное свойство взаимодействия заключается в притяжении на больших расстояниях; это притяжение очень существенно, поскольку именно оно приводит к конденсации газа в жидкость.

Наличие конечного объёма, который занимают молекулы, учитывается в уравнении состояния идеального газа p=RT/V (которое записано для одного моля вещества) заменой объема V разностью V–b, где b – некоторая положительная постоянная, учитывающая размеры молекул. Уравнение показывает, что объем не может быть сделан меньшим, чем b, поскольку при V = b давление обращается в бесконечность, Притяжение молекул приводит к уменьшению давления газа, поскольку на каждую молекулу, находящуюся вблизи стенки сосуда, действует со стороны остальных молекул газа сила притяжения, направленная внутрь сосуда. В грубом приближении эта сила пропорциональна числу молекул в единице объема, т. е. плотности газа. С другой стороны, давление само пропорционально этому же числу. Поэтому общее уменьшение давления, связанное с взаимным притяжением молекул, пропорционально квадрату плотности газа, т. е. обратно пропорционально квадрату его объема. Для определения давления, как видим, нужно вычесть из написанного выше выражения для давления член вида a / V 2, где а — некотоУравнение Ван-дер-Ваальса рая новая постоянная, характеризующая силы молекулярного притяжения. Таким образом, получается уравнение вида:

или, иначе Это — так называемое уравнение Ван-дер-Ваальса. При большом разрежении газа (большие объемы V) величинами а и b можно пренебречь, и уравнение возвращается к уравнению состояния идеального газа. Мы увидим ниже, что это же уравнение качественно правильно описывает характер явлений и в обратном предельном случае больших сжатий.

Задача Уравнение Ван-дер-Ваальса записано для одного моля газа. Записать его для случая нескольких молей.

Решение Если в объёме V содержатся v молей газа, то на один моль приходится объём V/v, тем самым уравнение Ван-дер-Ваальса принимает вид:

или Задача Согласно уравнению Ван-дер-Ваальса давление газа Величина Pi = обусловлена притяжением молекул и обычно называется внутренним давлением. Это давление, с которым поверхностный слой газа давит на остальную массу газа. Принимая 4,510 атмсм /моль найти внутреннее давление воды Pi.

Решение Один моль жидкой воды имеет массу 18 грамм. Тем самым, его объём равен 18 см3/моль. Отсюда найдём внутреннее давление:

Задача Построить график изотермы газа Ван-дер-Ваальса.

Решение Перепишем уравнение Ван-дер-Ваальса в виде При заданных значениях Р и Т это — уравнение третьей степени относительно неизвестного V. Как известно, уравнение третьей степени имеет три корня, из которых вещественными могут быть либо все три, либо один. В последнем случае уравнение имеет также два комплексно-сопряженных корня.

Физическим смыслом объема могут обладать, разумеется, лишь вещественные (причем положительные) корни. В данном случае уравнение вообще не может иметь (при положительных давлениях Р) отрицательных уравнения имели бы одинаковый (отрицательный) знак и давали бы в сумме нуль. Поэтому заданным значениям температуры и соответствуют либо три различных, либо одно значение объема. Второй случай всегда имеет место при достаточно высоких температурах. Соответствующие изотермы отличаются от изотерм идеального газа лишь некоторым искажением их формы, но остаются монотонно спадающими кривыми (кривые 1, 2 на рис. 12.1;

увеличение номера кривых соответствует убыванию температуры).

При более же низких температурах изотермы имеют максимум и минимум (кривые 4, 5, 6), так что для каждой из них существуют такие интервалы давлений, в которых кривая определяет три различных значения V (три точки пересечения изотермы с горизонтальной прямой).

Задача Как отмечено выше, при относительно низких температурах изотерма имеет вид немонотонной кривой, имеющей максимум и минимум. На рис. 12.2 изображена одна из таких изотерм; выяснить, какой смысл имеют различные ее участки Решение На участках ge и са зависимость давления от объема имеет нормальный характер — давление возрастает при уменьшении объема.

Участок же ес соответствовал бы неестест- P венному положению, когда сжатие вещества свойствами и предположим, что какой-либо Рис. 12. маленький участок его случайно сжался, хотя бы в результате флуктуации. Тогда его давление тоже уменьшится, т. е. станет меньше давления окружающей среды, что в свою очередь вызовет дальнейшее сжатие и т. д., т. е. данный маленький участок будет продолжать сжиматься с возрастающей скоростью. Это значит, что рассматриваемые состояния вещества были бы совершенно неустойчивыми и потому не могут существовать в действительности.

Наличие заведомо неосуществимого участка изотермы означает, что при постепенном изменении объема вещество не может оставаться все время в виде однородной среды; в некоторый момент должно наступить скачкообразное изменение состояния и распадение вещества на две фазы. Другими словами, истинная изотерма будет иметь вид ломаной линии abfg. Часть ее ab отвечает газообразному состоянию вещества, а часть fg — жидкому состоянию.

Горизонтальный же прямолинейный отрезок bf соответствует двухфазным состояниям — переходу газа в жидкость, происходящему (при заданной температуре) при определенном постоянном давлении.

Задача Показать, что отрезок bf должен быть расположен так, чтобы были одинаковы площади bed и def.

Решение Для доказательства покажем сначала, что работа, совершаемая системой во время обратимого изотермического цикла, всегда равна нулю. Из уравнения первого начала термодинамики следует, что работа, совершаемая во время цикла, равна теплоте, поглощаемой системой. Но для обратимого изотермического цикла эта теплота должна равняться нулю, поскольку в обратимом цикле изменение энтропии равно нулю, а для изотермического цикла тогда и теплота обращается в ноль, поскольку из равенства:

следует аналогичное равенство уже для конечного изменения энтропии. И если S = 0, то и Q = 0.

Теперь рассмотрим обратимый изотермический цикл bcdefdb (рис. 12.2). Работа, совершаемая во время цикла, как только что доказано, должна обратиться в нуль. Это означает, что площадь цикла bcdefdb также равна нулю. Участок defd проходится по ходу часовой стрелки, поэтому соответствующая площадь положительна, а участок bcdb — против часовой стрелки, и соответствующая площадь отрицательна. Поскольку вся площадь цикла bcdefdb равна нулю, то абсолютные величины площадей двух циклов bcdb и defd должны быть равны, что и требовалось доказать.

Могло бы возникнуть следующее возражение против приведенного выше доказательства: так как площадь изотермического цикла bcdb. очевидно, не равна нулю, то не верно, что работа, совершаемая во время обратимого изотермического цикла, всегда равна нулю. Ответ на это возражение таков: цикл bcdb не является обратимым. Чтобы убедиться в этом, заметим, что точка d на диаграмме изображает два различных состояния, в зависимости от того, рассматривается ли она как точка изотермы Ван-дер-Ваальса bcdef или как точка на изотерме bdf жидкость — пар. Объем и давление, изображенные точкой d, одинаковы в обоих случаях, но на изотерме Ван-дер-Ваальса d изображает неустойчивое гомогенное (однородное) состояние, а на изотерме жидкость - пар d — устойчивое негомогенное (неоднородное) состояние, образованное из жидкой и газообразной частей. Когда мы совершаем цикл bcdb, то проходим от состояния d на изотерме Ван-дер-Ваальса к состоянию d на изотерме жидкость — пар. Так как состояние d на изотерме жидкость — пар более устойчиво, чем на изотерме Ван-дер-Ваальса, то этот путь необратим — его нельзя было бы самопроизвольно осуществить в обратном направлении. Таким образом, весь цикл bcdb является необратимым, и поэтому площадь цикла не должна равняться нулю.

Что касается участков изотермы bс и ef, то они отвечают метастабильным состояниям — переохлажденному пару и перегретой жидкости. Мы видим теперь, что существуют определенные границы (изображаемые точками с и е), дальше которых переохлаждение пара или перегрев жидкости вообще невозможны.

При повышении температуры прямолинейный участок изотермы уменьшается и при критической температуре стягивается в одну точку (точка К на рис. 12.1). Проходящая через эту точку изотерма 3 разделяет изотермы обоих типов: монотонные изотермы 1, 2 и изотермы 4, 5, 6 с минимумами и максимумами, на которых неизбежно распадение вещества на две фазы.

Если соединить между собой точки начала и конца прямолинейных отрезков изотерм (кривая а на рис. 1), то получающаяся кривая представит собой кривую фазового равновесия жидкости и пара на диаграмме Р, V. Максимум К этой кривой есть критическая точка.

Соединяя же между собой точки, подобные точкам edc на рис. 2, мы получим кривую (кривая б на рис. 1), ограничивающую область, в которой неразделенное на фазы вещество не может существовать даже в метастабильном состоянии.

В критической точке сливаются в одну три точки, в которых прямолинейный участок пересекает изотерму Ван-дер-Ваальса. Отсюда следует, что касательная к изотерме в критической точке имеет горизонтальное направление, т. е. обращается в нуль производная от давления по объему (при постоянной температуре) Величина, обратная этой производной, есть сжимаемость вещества;

таким образом, в критической точке сжимаемость обращается в бесконечность.

Участок изотермы, соответствующий перегретой жидкости, может оказаться частично расположенным под осью абсцисс (как на изотерме 6 рис. 12.1). Этот участок отвечает метастабильным состояниям «растянутой» жидкости. Такие состояния можно получить, запаивая тщательно очищенную нагретую жидкость в толстостенном капилляре. При остывании капилляра, стенки которого сжимаются медленнее жидкости, последняя должна была бы занять лишь часть объема капилляра. Прилипая к стенкам, жидкость оказывается, однако, «растянутой» по всему объему капилляра.

Участки изотерм, которые проходят в нижней полуплоскости дважды пересекают прямую Р=const. Иными словами, уравнение Ван-дер-Ваальса, записанное в виде кубического уравнения, имеет здесь два вещественных корня, что для кубического уравнения невозможно. На самом деле при отрицательных давлениях это уравнение может иметь отрицательные корни, чего не могло быть при положительных давлениях. В данном случае имеется третий вещественный отрицательный корень. Разумеется, этот корень не имеет никакого физического смысла.

Закон соответственных состояний Критические значения объема, температуры и давления можно связать с параметрами а и b, входящими в уравнение Ван-дерВаальса.

Заметим с этой целью, что при T= Тк и Р=Рк все три корня уравнения Ван-дер-Ваальса одинаковы и равны критическому объему VK. Поэтому написанное уравнение должно быть тождественным уравнению Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях V в обоих уравнениях приводит к трем равенствам:

Эти равенства, рассматриваемые как уравнения для неизвестных Vк, Рк, Тк, решаются элементарно и дают С помощью этих соотношений можно произвести следующее интересное преобразование уравнения Ван-дер-Ваальса. Введем в это уравнение вместо самих переменных Р, Т, V отношения этих величин к их критическим значениям (эти отношения называют приведенными давлением, температурой и объемом). С помощью простых преобразований легко убедиться в том, что в результате уравнение Ван-дер-Ваальса примет следующий вид:

Это уравнение называют приведённым уравнением Ван-дерВаальса. Сам по себе точный вид этого уравнения особого интереса не представляет. Замечательно то, что в него не входят постоянные а и b, зависящие от природы газа. Другими словами, если в качестве единиц для измерения объема, давления и температуры газа пользоваться их критическими значениями, то уравнение состояния становится одинаковым для всех веществ. Это положение называется законом соответственных состояний. Изотермы газа Ван-дерВаальса в приведённых координатах изображены на Рис. 12.3.

Если принять этот закон для уравнения состояния, то он будет относиться и ко всем вообще явлениям, так или иначе связанным с уравнением состояния, в том числе к фазовому переходу между газом и жидкостью. Так, зависимость упругости насыщенного пара от температуры, выраженная в виде уравнения связывающего соответствующие приведенные величины, должна иметь универсальный характер.

Аналогичное заключение можно сделать для теплоты испарения q. При этом надо рассматривать безразмерное отношение теплоты к какой-либо величине той же размерности (энергия/моль); в качестве таковой можно взять RTk. Согласно закону соответственных состояний отношение q/RTk должно быть одинаковой для всех веществ функцией приведенной температуры:

Укажем, что при температурах, низких по сравнению с критической, эта функция стремится к постоянному пределу, примерно равному 10 (согласно экспериментальным данным).

Подчеркнём, что закон соответственных состояний имеет лишь приближенный характер; однако с его помощью можно получать вполне пригодные для ориентировочных оценок результаты.

Хотя мы получили закон соответственных состояний из уравнения Ван-дер-Ваальса, но сам по себе он несколько точнее этого уравнения. Действительно, по существу, он не связан с конкретным видом уравнения состояния, а является следствием лишь того обстоятельства, что в это уравнение входят всего две постоянные а и b. Другое уравнение состояния с двумя параметрами тоже привело бы к закону соответственных состояний.

Заметим, что согласно уравнению Ван-дер-Ваальса между критическими величинами имеет место следующее соотношение:

Задача Критическая температура углекислоты (СО2) равна +3100 С, критическое давление 73 атм. Найти критический объём моля СО2.

Решение Из соотношения PkVk = 8 RTk найдём искомый объём:

Объём, как видим, оказался немногим меньше одного литра.

Уравнение состояния идеального газа дало бы объём около 0,34 л.

Как видим, учёт сил отталкивания между молекулами при таких давлениях оказывается абсолютно необходимым.

Задача Моль газа Ван-дер-Ваальса изотермически расширяется от объма V1 до V2. Найти работу газа.

Решение Из уравнения Ван-дер-Ваальса найдём работу при бесконечно малом изменении объёма газа:

Интегрируя это уравнение от V1 до V2, найдём:

Задача Найти внутреннюю энергию моля газа Ван-дер-Ваальса.

Решение Внутренняя энергия газа складывается из кинетической энергии теплового движения его молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Ввиду теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы кинетическая энергия теплового движения однозначно определяется температурой газа и не зависит от его объема. Если температура поддерживается постоянной, то остается постоянной и кинетическая энергия. Если пользоваться моделью идеально твердых шаров, то силам отталкивания (действующим при столкновениях шаров в момент их контакта) не будет соответствовать никакая потенциальная энергия. Вся потенциальная энергия обусловлена только силами притяжения между молекулами. Ее можно вычислить макроскопически, так как силы притяжения между молекулами сводятся к молекулярному давлению с которым поверхностный слой газа давит на остальную массу газа.

Работа, которую надо затратить против этого внутреннего давления, и дает приращение потенциальной энергии при изотермическом расширении газа. При расширении от объема V1 до объема V это приращение равно Прибавив его к кинетической энергии теплового движения f(T), мы придем к формуле Функция f (T) связана с теплоёмкостью CV:

Если теплоёмкость CV слабо зависит от температуры, то f (T) = CVT и тогда:

Задача Рассматривая удельную теплоту испарения q как работу, затрачиваемую на преодоление внутреннего давления Рi, найти зависимость между Рi, q и плотностью жидкости. Считать, что жидкость подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.

Решение Работа q против сил внутреннего давления равна интегралу В задаче 15, мы нашли для воды внутреннее давление Pi=17103атм=1,7109Па. Тем самым, для удельной теплоты испарения получаем:

Ответ получился достаточно близким к экспериментально найденному значению 40,5 кДж/моль.

Задача Найти энтропию газа Ван-дер-Ваальса Решение Для одного моля газа Ван-дер-Ваальса:

T T T T TV

Тем самым:

Для произвольного числа молей:

Отсюда можно получить уравнение адиабаты (S=const) для одного моля:

и для произвольного числа молей:

Задача Найти изменение температуры газа Ван-дер-Ваальса в процессе Джоуля-Томсона (см задачу 15 раздела Основные понятия термодинамики).

Решение В процессе Джоуля-Томсона остаётся постоянной энтальпия газа W = E + PV. Подставляя сюда выражение для внутренней энерa нию Ван-дер-Ваальса, найдём энтальпию:

Тогда приращение температуры:

Полученный результат сильно упрощается для случая V2>>V1:

Заметим, что Т >0, т.е. газ нагревается при расширении, если начальная температура газа выше так называемой температуры инверсии Ti:

Если же Т1 < Ti, то в процессе Джоуля-Томсона газ охлаждается.

Так, комнатная температура для углекислого газа (СО2) ниже его температуры инверсии, поэтому углекислый газ при вытекании из сосуда, где он находится под давлением выше атмосферного, будет охлаждаться. Водород же, наоборот, будет нагреваться.

Задача Считая теплоёмкость CV = const, найти теплоёмкость CР газа Ван-дер-Ваальса.

Решение Поскольку CP =, то согласно предыдущей задаче:

Производную V найдём из уравнения Ван-дер-Ваальса:

Таким образом, Заметим, что в критической точке (V=Vкр=3b, T=Tкр=8a/27bR) теплоёмкость СР =.

13. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ

На молекулы вблизи поверхности жидкости действуют силы, направленные внутрь жидкости. Поскольку силы направлены всегда в сторону убыли потенциальной энергии, то это означает, что молекулы в поверхностном слое обладают избыточной потенциальной энергией по сравнению с молекулами внутри жидкости. Поэтому жидкость стремится принять (при отсутствии внешних сил) форму с минимальной площадью поверхности, т. к. в таком состоянии жидкость имеет наименьшую потенциальную энергию.

Наоборот, для того, чтобы увеличить площадь поверхности жидкости, необходимо совершить над жидкостью работу тем большую, чем больше увеличение площади поверхности жидкости dS. Рассмотрим работу dA, необходимую для изотермического увеличения площади поверхности жидкости на S. Согласно сказанному, ее можно записать в виде:

Величина носит название коэффициента поверхностного натяжения жидкости и численно равна работе, необходимой для изотермического увеличения площади поверхности жидкости на единицу. Она зависит от температуры жидкости, а также от свойств среды, с которой жидкость граничит. В справочниках приводятся значения для случая границы раздела жидкости и ее насыщенного пара. Практически то же самое значение имеет на границе жидкости и воздуха.

Данное здесь определение коэффициента поверхностного натяжения носит, так сказать, «энергетический» характер, так как связано с работой.

жидкости вдоль некоторой линии и рассмотрим на этой линии участок длины L. Так как жидкость стремится уменьшить свою поверхРис. 13. разрезу будут действовать силы со стороны жидкости. Если края разреза под действием этих сил разойдутся на расстояние dx, силы совершат работу С другой стороны, площадь поверхности уменьшается при этом на величину Ldx и на такую же величину уменьшится поверхностная энергия. Работа сил поверхностного натяжения будет тогда равна убыли поверхностной энергии:

Сравнивая эти выражения для работы, видим, что т. е. коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе, действующей на единицу длины контура, ограничивающего какойлибо участок поверхности жидкости. Причем сила эта направлена касательно к поверхности, перпендикулярно контуру.

Ясно, что всегда 0, иначе жидкость неограниченно увеличивала бы свою поверхность, понижая за счет этого свою энергию.

Нетрудно также понять, что = 0, если температура жидкости равна критической. В самом деле, в критическом состоянии свойства жидкости и ее насыщенного пара одинаковы и это означает, что энергия молекул всюду одна и та же и в жидкости и в ее паре, тем самым и = 0. Поэтому, как следует из сказанного, с ростом температуры должна убывать. В довольно широком интервале температур эту зависимость можно считать линейной:

где а - некоторая положительная постоянная, зависящая от природы жидкости.

Если в жидкости растворить посторонние вещества, то в поверхностном слое преимущественно должны скапливаться атомы и молекулы тех веществ, которые понижают поверхностное натяжение, так как тем самым энергия поверхности жидкости уменьшается. Такие вещества называются поверхностно-активными (ПАВ) (например, к ПАВ относятся мыло, жирные кислоты и т. д.). Наоборот, молекулы тех веществ, наличие которых повышает поверхностное натяжение, стремятся уйти из поверхностного слоя.

Капиллярные силы Мы неоднократно говорили о том, что в состоянии равновесия давления соприкасающихся тел должны быть одинаковыми. В действительности это утверждение справедливо лишь постольку, поскольку мы пренебрегаем капиллярными явлениями. При учете поверхностного натяжения давления в соприкасающихся средах, воПоверхностное натяжение обще говоря, оказываются различными.

Рассмотрим, например, жидкую каплю, находящуюся в воздухе.

Стремление ее поверхности уменьшиться приводит к сжатию капли и тем самым к увеличению ее внутреннего давления. Давление жидкости в капле оказывается, таким образом, больше давления окружающего воздуха. Разность между ними называется поверхностным давлением, обозначим его Рпов.

Для вычисления этой величины заметим, что работа, которую совершают поверхностные силы при уменьшении площади поверхности капли на dS, дается соответствующей убылью поверхностной энергии: dS. С другой стороны, эту же работу можно представить в виде Рпов dV, где dV — изменение объема капли; поэтому Для сферической капли радиуса r: S=4r2, V=4r3/3 и подстановка в написанное равенство приводит к следующему выражению для поверхностного давления:

Эта формула относится, конечно, и к пузырьку газа в жидкости. Вообще, избыточное давление всегда имеется в той из двух соприкасающихся сред, в сторону которой поверхность раздела вогнута.

При r поверхностное давление обращается в нуль. Это находится в соответствии с тем, что при плоской границе раздела давления в соприкасающихся средах должны быть одинаковыми; очевидно, что стремление поверхности к сокращению в этом случае приводит к появлению направленной внутрь среды силы.

Выведем еще формулу для поверхностного давления в цилиндрической массе жидкости. В этом случае S=2rh, V=r2h (r – радиус, h – длина цилиндра) и подстановка в уравнение РповdV = dS даёт В самом общем случае разность давлений по разные стороны поверхности дается формулой Лапласа:

где R1 и R2 – радиусы кривизны во взаимно перпендикулярных сечениях. В частности для сферической поверхности R1 = R2 = R, для цилиндрической R1 = R, R2 =, и мы приходим к формулам для давления сферической и цилиндрической поверхностей.

Полученные простые формулы дают возможность решать ряд задач, связанных с явлениями капиллярности.

Задача Оценить максимальный радиус капель воды, висящих на потолке бани. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен 0,07 Н/м.

Решение Вес капли уравновешен силами поверхностного F натяжения, приложенными к краю капли (см.

Рис. 13.2). Примем, что поверхность капли представляет собой полусферу радиуса R. Тогда сила поверхностного натяжения F=2R. Эта сила уравновешивает вес капли mg = 2 R3g :

Отсюда находим R:

Задача Рассмотрим две плоские параллельные пластинки (изображенные на рис. 13.3 в разрезе), между которыми находится тонкий слой жидкости. По боковой поверхности жидкость соприкасается с воздухом. Если краевой угол острый, то мениск жидкости вогнут и давление внутри жидкости меньше давления воздуха; поэтому действующее на пластинки атмосферное давление будет стремиться сблизить пластинки, которые будут как бы притягиваться друг к другу (при тупом краевом угле и выпуклом мениске, напротив, слой жидкости расталкивает пластинки). Найти силу притяжения.

Решение При достаточно узком пространстве между пластинками мениск жидкости можно рассматривать как часть цилиндрической поверхПоверхностное натяжение ности некоторого радиуса r. Как видно из простого построения (рис. 13.3, б), этот радиус связан с расстоянием х между пластинками равенством x = 2 rcos. Поэтому «недостаток» давления в жидкости равен Сила взаимного притяжения пластинок F получится умножением этой величины на площадь S соприкосновения жидкости с каждой из пластинок:

Мы видим, что эта сила обратно пропорциональна расстоянию между пластинками. При малых расстояниях она может достигать больших значений. Действительно, пусть пластинки разделены пленкой воды толщиной в 1 мкм, краевой угол равен нулю. Тогда давление, прижимающее пластинки друг к другу:

Задача Пусть в жидкость опущена тонкая трубочка (капилляр) стенки которой смачиваются жидкостью. Найти высоту, на которую поднимется жидкость в капилляре.

Решение При вогнутом мениске (острый краевой угол) давление жидкости в трубочке ниже атмосферного давления на величину Рпов. В сосуде же, куда опущена трубочка, давление жидкости равно атмосферному. Поэтому жидкость из сосуда начнёт втекать в трубочку Это будет продолжаться, пока давление внизу трубочки не сравняется с давРатм лением жидкости в сосуде, т.е. с атмоРатм –Рпов сферным давлением:

Откуда Поверхность мениска в тонкой трубочке можно считать частью сферы, радиус r которой связан с радиусом трубочки а соотношением а= r cos (см. рис. 3 б). Тогда и высота поднятия жидкости:

(При выпуклом мениске получим глубину опускания жидкости.) В полученную формулу коэффициент поверхностного натяжения жидкости входит в комбинации /g с ее плотностью. Величина имеет размерность длины и называется капиллярной постоянной.

Она играет существенную роль во всех явлениях, происходящих под совместным действием сил поверхностного натяжения и сил тяжести. Капиллярная постоянная воды (при 20° С) равна 0,39 см.

Задача Капля несжимаемой жидкости совершает пульсационные колебания, становясь последовательно вытянутой, сферической, сплюснутой, сферической, снова вытянутой и т. д. Как зависит период этих пульсаций Т от плотности, поверхностного натяжения и радиуса капли R?

Решение Для решения воспользуемся соображениями размерностей.

Имеем:

Из величин, и R можно составить единственным способом величину размерности квадрата времени:

Тем самым:

Для капли воды радиусом R = 1 см получим:

Задача Известно, что видимая яркость некоторых звезд (пульсаров) периодически колеблется. По одной из теорий изменение яркости связано с изменением формы звезд, колеблющихся подобно капле воды под действием силы поверхностного натяжения. Предполагается, что пульсары состоят из нейтронов. Оценить поверхностное натяжение нейтронного вещества, если положить, что масса звезды М = 21033 г, а период колебаний Т составляет около 1 с. Капля воды массой m = 1 г колеблется с периодом Т = 0,05 с. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен 0 = 0,07 Н/м.

Решение Согласно ответу к предыдущей задаче Тем самым отношение периодов колебаний нейтронной звезды и капли воды составит:

Откуда поверхностное натяжение нейтронного вещества:

Задача Чему равно капиллярное давление Р в капельке ртути с диаметром d = 1 мкм при температуре 150С, если поверхностное натяжение ртути при этой температуре = 0,487 Н/м?

Решение Капиллярное давление сферической поверхности жидкости Задача На поверхность стола разлили небольшое количество воды. Какова глубина h образовавшейся лужицы, если вода не смачивает поверхность стола?

Решение Разрежем мысленно лужицу вертиL Пусть ширина лужицы равна L. Со стороны отброшенной части на выделенный участок действуют силы гидростатичеL ского давления и силы поверхностного силы уравновешивают друг друга:

Для нахождения силы гидростатического давления учтём, что на глубине x это давление равно gx. Поэтому на площадку ширины L и высоты dx действует сила гидростатического давления dF = gxLdx. Разбив всё поперечное сечение выделенного участка на такие горизонтальные полоски, найдём силу давления как сумму сил, действующих на каждую полоску:

Эта сила уравновешена силами поверхностного натяжения, приложенными к верхнему и нижнему краю слоя:

Задача К поверхности жидкости приложили стеклянную пластинку, поверхность которой полностью смачивается жидкостью. Затем пластинку стали осторожно поднимать вверх, так что поверхность её оставалась горизонтальной. Жидкость, смачивающая поверхность пластинки, поднимается вслед за нею. На какую максимальную высоту можно поднять пластинку, так чтобы столбик жидкости не отрывался от неё?

Решение Пусть пластинка поднята на высоту h. Рассмотрим участок боковой поверхности жидкости единичной ширины (ширина отсчитывается в направлении перпендикулярном плоскости чертежа).

Этот участок находится в равновесии, поэтому сумма сил, приложенных к этому участку равна нулю. В частности, сумма проекций сил на горизонтальное направление также равна нулю. Рассмотрим эти силы. Это силы поверхностного натяжения, приложенные к верхнему и нижнему краю участка, а также сила избыточного атмосферного давления.

Действительно, в столбике жидкости на высоте х относительно уровня жидкости в сосуде давление меньше атмосферного на величину гидростатического давления gx. Поэтому со стороны атмосферы на полоску единичной ширины и высотой dx действует сила избыточного давления gxdx. Сумма таких сил равна:

Тем самым сумма проекций сил на горизонтальное направление:

откуда найдём угол :

Как видим, с ростом h угол убывает, достигает нуля и далее становится отрицательным. Поскольку sin –1, то предельному значению высоты соответствует случай sin = –1, откуда находим:

Для воды ( 0,07 Н/м2) эта высота составляет около 5,4 мм.

Подумайте сами, как будет вести себя вода, поднятая пластинкой при h = hмакс для чего изобразите соответствующий чертёж для случая, когда sin = –1.

Задача Найти высоту, на которую поднимается край жидкости полностью смачивающей стенку сосуда, в который налита эта жидкость.

Решение Рассуждения предыдущей задачи полностью справедливы и в данном случае. По найдём искомую высоту.

Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что при соприкосновении жидкости с вертикальной стенкой угол не может быть меньше нуля. Тогда для = 0 находим высоту:

Упругость пара над искривленной поверхностью Влияние капиллярных сил вносит определенную поправку и в свойства равновесия между жидкостью и ее насыщенным паром.

Мы говорили, что упругость насыщенного пара является опредеПоверхностное натяжение ленной функцией температуры. В действительности она зависит и от формы поверхности жидкости, над которой находится пар. Эта зависимость, правда, очень ничтожна и лишь при малых размерах тела (например, для маленьких капель жидкости) может играть существенную роль.

Характер и величину этой зависимости легко определить, рассмотрев снова капиллярное поднятие (или опускание) жидкости и представив себе, что пространство над жидкостью в сосуде и в трубочке заполнено насыщенным паром. Поскольку давление газа убывает с высотой, то ясно, что над поднявшейся жидкостью оно будет меньше, а над опустившейся — больше, чем над плоской поверхностью жидкости в сосуде. Сопоставив это с формой мениска в трубочке в обоих случаях, мы приходим к выводу, что упругость насыщенного пара над вогнутой поверхностью жидкости меньше, а над выпуклой — больше, чем над плоской поверхностью. Если h есть высота капиллярного поднятия, то убыль давления насыщенного пара равна С другой стороны, h = 2, где ж – плотность жидкости, а r – радиус той сферы, частью которой является мениск. Таким образом, получаем Понижение упругости насыщенного пара над вогнутой поверхностью приводит к явлению так называемой капиллярной конденсации – осаждению жидкости в пористом теле из пара, который в обычных условиях не является насыщенным. Если жидкость смачивает данное тело, то в порах, представляющих собой как бы тончайшие капилляры, образуются вогнутые мениски жидкости, для которых уже при сравнительно небольшом давлении пар может оказаться пересыщенным.

При выпуклой поверхности жидкости та же полученная формула для Р определяет превышение упругости пара по отношению к его упругости над плоской поверхностью. Мы видим, что упругость насыщенного пара над жидкой каплей тем больше, чем меньше ее радиус. Представим себе пар, содержащий в себе больПоверхностное натяжение шое число капелек жидкости различных размеров. Может оказаться, что по отношению к большим капелькам пар будет уже пересыщенным, в то время как по отношению к меньшим капелькам он еще не насыщен. Тогда жидкость, испаряющаяся с меньших капель, будет конденсироваться на больших. Большие капли как бы «поедают» меньшие.

Природа явлений перегрева и переохлаждения Наиболее важное следствие из зависимости упругости насыщенного пара от размеров капли состоит в объяснении ею явления пересыщения пара — сохранения газообразного состояния в условиях, когда вещество должно было бы уже перейти в жидкое состояние.

Пересыщенный пар, находящийся над поверхностью жидкости, конечно, сразу конденсируется. Если же пар не соприкасается с жидкостью, то его конденсация затруднена тем, что она должна начаться с образования в паре маленьких капелек. Но пар, пересыщенный по отношению к плоской поверхности жидкости, может оказаться ненасыщенным по отношению к таким капелькам. Эти капельки будут тогда неустойчивыми и после своего образования снова испарятся. Лишь если в паре случайно успеет образоваться капля жидкости, настолько большая, что пар является пересыщенным по отношению к ней, то такая капля не исчезнет, и пар будет продолжать на ней конденсироваться; капля будет играть роль зародыша новой фазы. Самопроизвольное возникновение таких зародышей в совершенно чистом паре происходит только за счет случайных тепловых флуктуации — явление, вообще говоря, очень маловероятное.

Оно тем менее вероятно, чем больше «критический» радиус капли, необходимый для ее устойчивости. По мере увеличения степени пересыщения величина «критического» радиуса убывает, и образование зародышей облегчается. Когда эта величина достигнет значений порядка молекулярных размеров, возникновение специальных зародышей станет, по существу, излишним и дальнейшее пересыщение пара будет вообще невозможно.

Задача Оценить максимальное давление, при котором водяной пар может оставаться пересыщенным при температуре 1000С, находясь в сосуде с несмачиваемыми стенками. Коэффициент поверхностного натяжения воды принять 0,070 Н/м.

Решение Будем считать молекулы шарами диаметра d. Поскольку жидкость несжимаема, то шары следует считать плотно упакованными. Для очень грубой оценки следует принять, что «минимальная» капля — это образование, состоящее из 13 молекул – шаров (одна молекула в центре, шесть вокруг неё, по три молекулы сверху и снизу). Диаметр такой капли равен 3d, где d — диаметр молекулы. Оценка для минимального радиуса капли:

Здесь последний размер дан в ангстремах (А); напомним, что 1 = 10–8 см. Избыток давления пара, вызванный кривизной поверхности:

и давление пара:

Задача Переохлажденный водяной пар находится при давлении Р0=1атм и температуре Т0 = 990С в сосуде с несмачиваемыми стенками. Каков минимальный размер капли, которая должна образоваться, чтобы произошла конденсация пара? Коэффициент поверхностного натяжения воды принять = 0,07 Н/м, удельную теплоту испарения q = 2,3 кДж/г.

Решение Поскольку температура пара меньше 1000С, то и давление насыщенного пара над плоской поверхностью отличается от атмосферного на некоторую величину Р, которую найдём из уравнения Клапейрона-Клаузиуса:

здесь Т = – 10С.





Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Кафедра экономики и финансов Н.О. Болдышева, А.И. Салов Практикум по дисциплине ЭКОНОМИКА И СОЦИОЛОГИЯ ТРУДА Для специальности 080507 Менеджмент организации АСОУ 2009 УДК 371 Авторы-составители: Н.О. Болдышева, доцент, канд. экон. наук, А.И. Салов, доцент, канд. пед. наук. Болдышева Н.О., Салов А.И. Практикум по дисциплине Экономика и социология труда. Для специальности 080507 Менеджмент организации. – АСОУ, 2009. – 48...»

«ISSN 2304-120X www.covenok.ru/koncept Информационное письмо об итогах Всероссийского конкурса Лучшая научная книга в гуманитарной сфере – 2012 Подведены итоги Всероссийского конкурса на лучшую научную книгу в гуманитарной сфере 2012 года, организованного научно-методическим электронным журналом Концепт (АНОО Межрегиональный центр инновационных технологий в образовании) и научной библиотекой ФГБОУ ВПО Вятский государственный гуманитарный университет. Конкурс стартовал в январе 2012 г.;...»

«МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА АЛАТЫРСКИЙ ТЕХНИКУМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ АТЖТ - филиал СамГУПС МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для выполнения контрольной работы студентами заочного отделения по дисциплине БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ для специальностей: 190623...»

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине Экономика и организация деятельности объединений предприятий для студентов экономических специальностей всех форм обучения Севастополь 2006 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 339. Методические указания к проведению практических занятий по дисциплине Экономика и организация...»

«Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Институт открытого и дистанционного образования Юридический факультет Кафедра Уголовный процесс и криминалистика Г.А. Васильева ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ЭТИКА ЮРИСТА Учебно-методический комплекс по дисциплине Челябинск 2005 Учебно-методический комплекс (УМК) по дисциплине Профессиональная этика юриста предназначен для студентов, обучающихся по специальности Юриспруденция. УМК включает: рабочую программу дисциплины,...»

«ГЕНДЕРНЫЙ ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЦЕНТР КРОНА В ПОИСКАХ ГЕНДЕРНОГО ВОСПИТАНИЯ Методическое пособие Под редакцией Ольги Андрусик и Олега Марущенко Харьков Золотые страницы 2013 УДК 305:37 ББК 74.023 В 11 Авторский коллектив: Ольга Андрусик, Наталья Водолажская, Анна Ефимцева, Татьяна Кермеш, Ирина Купка, Наталья Лесовая, Елена Малахова, Олег Марущенко, Ирина Цвиркене Рецензенты: Татьяна Доронина, д-р пед. наук; Оксана Кикинежди, д-р психол. наук; Ольга Плахотник, канд. философ. наук; Елена...»

«МДК 1-01.2002. Методические указания по проведению энергоресурсоаудита в жилищно-коммунальном хозяйстве Государственный комитет Российской Федерации по строительству и жилищно-коммунальному комплексу МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ЭНЕРГОРЕСУРСОАУДИТА В ЖИЛИЩНО-КОММУНАЛЬНОМ ХОЗЯЙСТВЕ МДК 1-01.2002 РАЗРАБОТАНЫ: Московским институтом коммунального хозяйства и строительства (МИКХиС) (А.И.Колесников, Е.М.Авдолимов, М.Н.Федоров); Федеральным центром энергоресурсосбережения в жилищно-коммунальном...»

«Системообразующий фактор производства: КАПИТАЛ Оноприенко В.И. (Учебное пособие - Методология исследования системных свойств капитала) УДК 336.2. ББК 65-9(4)-4 П 53. Системообразующий фактор производства: капитал. / Уч. ПособиеМетодология исследования системных свойств капитала/. Оноприенко Владимир Иванович – заслуженный работник науки и образования, профессор РАЕ, доктор философии (Grand PhD), с.н.с. Центра исследований гражданского общества ИЭ РАН, к.э.н.; профессор Международной академии...»

«ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ЭТИКА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра геоэкологии и природопользования И. А. Ильиных Экологическая этика Учебное пособие Горно-Алтайск, 2009 2 Печатается по решению методического совета Горно-Алтайского госуниверситета ББК – 20.1+87.75 Авторский знак – И 46 Ильиных И.А. Экологическая этика : учебное пособие. – Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2009. –...»

«СЕВЕРСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Национального исследовательского ядерного университета МИФИ В.Л. Софронов, Е.В. Сидоров МАШИНЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЕВЕРСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ В.Л. Софронов, Е.В. Сидоров МАШИНЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ Часть II Учебное пособие...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Иркутский государственный медицинский университет Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию Кафедра фармакогнозии и ботаники Г. М. Федосеев, Е. Г. Горячкина КУРСОВЫЕ РАБОТЫ ПО ФАРМАКОГНОЗИИ Методические рекомендации для студентов Специальность Фармация, 3 курс По изучению дисциплины Фармакогнозия Иркутск ИГМУ 2010 УДК 615.322(075.8) ББК 52.821я73 Ф 32 Рекомендовано Факультетской методической...»

«Печатается по решению кафедры теории и практики дошкольного и начального школьного образования и РИСа ЛОИРО Научный редактор: проректор по научно-методической работе ЛОИРО, канд. лед. наук, доцент, В.П. Коряковцев Рецензенты: кандидат педагогических наук, профессор Д.И. Воробьева, доктор психологических наук, профессор Г.С. Сухобская, доктор искусствоведения, профессор М.Л. Космовская. Буренина А. И. Ритмическая мозаика: (Программа по ритмической пластике для детей дошкольного и младшего...»

«Тема ГБ 24–11/1 АКТУАЛИЗАЦИЯ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ХИМИКО-АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН В ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ Промежуточный отчёт за 2012 год: Разработка системы контроля усвоения учебного материала и диагностики сформированных знаний с использованием информационных технологий РЕФЕРАТ Отчет 61с., 7 рис., 14 табл., 22 источников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ, ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА, ПРЕПОДАВАНИЕ, КОМПЬЮТЕРНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ Объектом исследования является – разработка системы контроля усвоения учебного...»

«М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н АУКИ РО С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Методические указания для специальностей 190605, 190604, 250403, 250402 Заочное отделение 2009 О Б Щ И Е М ЕТ О Д И Ч ЕС КИ Е УКА ЗА Н И Я Материал, изучаемый по учебнику, необходимо конспектировать в тетради. Основные определения следует подчеркивать, а формулы обво­ дить. Электрические схемы вычерчиваются в условных обозначениях, соответствующих...»

«ХИМИЯ (ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ) ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ББК Г.я73-4 УДК 54(076) Т36 Рецензенты: Кандидат химических наук, доцент А.И. Рягузов, Кандидат химических наук, доцент И.В. Якунина Авторы-составители: И.А. Анкудимова, Б.И. Исаева, Е.Э. Дегтярева Т36 Химия (тестовые задания): Учеб. пособие. 3-е изд., перераб. и доп. / Авт.-сост.: И.А. Анкудимова, Б.И. Исаева, Е.Э. Дегтярева. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2006. 144 с. Включает тестовые задания к пяти основным разделам химии: основные понятия...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по самостоятельной работе студентов УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ Дисциплина (ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ) Направление подготовки 080100.68 Экономика Бухгалтерский учет, анализ и аудит в Профиль подготовки / коммерческих организациях Квалификация (степень) Магистр...»

«2014 Июль Библиографический указатель новых поступлений по отраслям знаний Бюллетень Новые поступления ежемесячно информирует о новых документах, поступивших в АОНБ им. Н. А. Добролюбова. Бюллетень составлен на основе записей электронного каталога. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знаний, внутри разделов – в алфавите авторов и заглавий. Записи включают краткое библиографическое описание. В конце описания указывается инвентарный номер документа с СИГЛОЙ структурных...»

«ФЕДЕРАЦИЯ ПРОФСОЮЗОВ БЕЛАРУСИ КОЛЛЕКТИВНЫЙ ДОГОВОР Методические материалы для разработки коллективных договоров в 2011 году Минск - 2010 2 Методические рекомендации по подготовке, принятию и контролю за исполнением коллективного договора Цель, принципы и основа для заключения коллективного договора 1. Методические рекомендации разработаны на основе Конституции Республики Беларусь, Трудового кодекса Республики Беларусь, Закона Республики Беларусь О профессиональных союзах, других нормативных...»

«Смоленский гуманитарный университет А. В. Панкратова История графического дизайна и его использования в рекламе: XX и XXI век Учебное пособие к курсу История графического дизайна и рекламы Смоленск 2010 1 Утверждено на заседании кафедры дизайна Смоленского гуманитарного университета Рецензент: к.к.н., доцент Пастухова З. И. А. В. Панкратова. История графического дизайна и его использования в рекламе: XX и XXI век. Учебное пособие к курсу История графического дизайна и рекламы Пособие освещает...»

«СОДЕРЖАНИЕ ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ-ПЕДИАТРИЯ, ЕЕ МЕСТО В СТРУКТУРЕ 1. ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 3 КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ 2. ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ - ПЕДИАТРИЯ 3 ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ 3. 5 СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 4. 6 4.1 Лекционный курс 6 4.2 Практические занятия 7 4.3 Самостоятельная внеаудиторная работа студентов МАТРИЦА РАЗДЕЛОВ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ И ФОРМИРУЕМЫХ В 5. НИХ ОБЩЕКУЛЬТУРНЫХ И ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ ИНТЕРАКТИВНЫЕ...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.