МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

ФИЗИКА

Сборник контрольных заданий

по молекулярной физике и термодинамике

для студентов технических специальностей

Курск 2007 2 УДК 53 Физика: Сборник контрольных заданий по молекулярной физике и термодинамике для студентов технических специальностей:

Учеб. пособие/ В.Н. Бурмистров, П.А. Красных, В.М. Полунин, Г.Т.

Сычев; Под ред. В.М. Полунина; Курск. гос. техн.ун-т. Курск, 2007.

129 с.

Излагаются методические рекомендации по решению задач при выполнении контрольных работ. Содержат правила приближенных вычислений, рабочую программу курса физики по разделам "Молекулярная физика и термодинамика", учебные материалы, список основной и дополнительной литературы, индивидуальные контрольные задания, приложения.

Предназначены для студентов инженерно-технических специальностей безотрывной формы обучения.

Библиогр: 14 назв.

Рецензенты: зав. кафедрой ТиЭФ КГТУ, д. ф.-м.н, проф. А.А.Родионов, зав. кафедрой общей физики КГПУ, к. ф.-м.н, доцент В.В. Зотов, зав. кафедрой физики КСХА, д.т.н., профессор Д.И. Якиревич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. Общие методические указания к решению задач и выполнению контрольной работы Список литературы Выписка из рабочей программы для студентов инженернотехнических специальностей Основные понятия, определения и формулы по разделам курса молекулярной физики и термодинамики с примерами решения задач 1.Молекулярная физика 1.1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов 1.2. Внутренняя энергия и теплоемкости идеального газа 1.3. Функции распределения 1.4. Фазы и условия равновесия фаз. Реальные газы 2. Явления переноса 3. Элементы термодинамики 4. Термодинамические потенциалы 5. Строение и свойства жидкостей Контрольная работа Приложения

ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Цель настоящего учебно-методического пособия – оказать помощь студентам-заочникам инженерно-технических специальностей в изучении физики.

Основной материал программы курса в пособии распределен на пять разделов, которые в свою очередь в основном делятся на подразделы: молекулярно-кинетическая теория, внутренняя энергия и теплоемкости идеального газа, функции распределения, фазы и условия равновесия фаз (реальные газы), явления переноса, элементы термодинамики, термодинамические потенциалы, строение и свойства жидкостей. В каждом из них даны основные понятия, определения и формулы, примеры решения задач и контрольные задания.

Контрольная работа N 2 составлена в соответствии с требованиями ГОС-2000 и программой по физике для технических специальностей.

Основной формой занятий является самостоятельная работа:

студенты-заочники выполняют 1 контрольную работу, состоящую из 8 задач, в зависимости от специальности.

Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, определяются по таблице вариантов (см. табл. 1).

Контрольную работу нужно выполнять чернилами в школьной тетради, на обложке которой следует привести сведения по приведенному образцу:

Студент ФФП, специальность 1201, КГТУ Сидоров А.В. Шифр Адрес: 305040, г. Курск, ул. Серегина, 2, кв. 15 Контрольная работа по физике Условия задач в контрольной работе необходимо переписать полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя на страницах тетради нужно оставлять поля.

В конце контрольной работыуказать, каким учебником или учебным пособием студент пользовался при изучении данного раздела физики (название учебника, автор, год издания). Это необходимо для того, чтобы преподаватель, проверяющий ее, в случае необходимости мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.

Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями; в тех случаях, когда это необходимо, дать чертеж, выполненный с помощью чертежных принадлежностей.

Решать задачу надо в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи.

При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

После получения расчетной формулы, для проверки правильности полученного результата, следует подставить в правую часть полученной формулы вместо символов обозначения единиц, размерность этих величин, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица измерения соответствует искомой величине. Если такого соответствия нет, то это означает, что задача решена неверно.

Числовые значения величин при подстановке их в расчетную формулу следует выражать только в единицах системы СИ. Допускается выражать в любых, но одинаковых единицах числовые значения однородных величин, стоящих в числителе и знаменателе дроби и имеющих одинаковые степени.

При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной дроби на соответствующую степень десяти. Вычисления по расчетной формуле надо проводить с соблюдением правил приближенных вычислений. Как правило, окончательный ответ следует записывать с наименьшим количеством значащих цифр, работающим в действии. Это относится и к случаю, когда результат получен с применением калькулятора или ЭВМ.

Если контрольная работа не зачтена, студент обязан представить ее на повторную проверку, включив те задачи, решения которых оказались неверными.

Зачтенная контрольная работа предъявляется экзаменатору.

Студент должен быть готов во время экзамена дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольную работу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основной 1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1988. Т.1.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1980. Т.1.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б. Курс физики.

М.: Высшая школа, 1983. Т. 1. 478 с.

4. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1995. 472 с.

5. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М: Высшая школа, 1986. 496 с.

6. Воробьёв А.А. и др. Физика. Методические указания и контрольные задания/Под ред. А.Г. Чертова. М.: Высшая школа, 1987.

208 с.

7. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики.

М.: Наука, 1988. 384 с.

8. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Наука, 1991. 370 с.

9. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. М: Высшая школа, 1991. 303 с.

Дополнительный 1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М: Высшая школа, 1986. 208 с.

2. Епифанов Г.И., Мома Ю.А. Твердотельная электроника. М.:

Высшая школа, 1986. 317 с.

3. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности.

М.: Наука, 1977. 452 с.

4. Чертов А.Г. Единицы физических величин. М.: Высшая школа, 1977.

5. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. Учеб. пособие для втузов. М: Высш. школа, 1978. 351 с.

Выписка из рабочей программы для студентов инженернотехнических специальностей Молекулярная физика и термодинамика. Макроскопические состояния. Основные положения молекулярно-кинетической теории и их опытные обоснования. Динамические и статистические закономерности в физике. Статистический и термодинамический методы исследования. Термодинамические параметры состояния. Макроскопические состояния. Тепловое движение. Термодинамические функции состояния. Уравнение состояния. Внутреняя энергия. Интенсивные и экстенсивные параметры. Основное уравнение состояния идеального газа. Давление газа с точки зрения молекулярнокинетических представлений. Молекулярно-кинетический смысл абсолютной температуры. Вывод уравнений газовых законов из основного уравнения состояния идеального газа. Средняя кинетическая энергия частицы. Скорости теплового движения молекул идеального газа Статистический метод исследования. Статистические распределения. Вероятность и флюктуации. Распределение молекул/частиц/ по абсолютным значениям скорости. Распределение Максвелла.

Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа. Распределение Больцмана. Распределение Гиббса. Внутренняя энергия и теплоемкости идеального газа. Теплоемкости многоатомных газов. Недостатки классической теории теплоемкостей. Определение энтропии неравновесной системы через статистический вес состояния. Принцип возрастания энтропии.

Основы термодинамики. Фазовые равновесия и превращения.

Обратимые, необратимые и круговые тепловые процессы. Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам в идеальных газах. Цикл Карно. Максимальный КПД тепловой машины. Энтропия системы и её свойства. Определение изменения энтропии системы, совершающей какой-либо изопроцесс. Второе начало термодинамики. Термодинамические потенциалы и условия равновесия.

Термодинамические преобразования. Третье начало термодинамики.

Применения термодинамики.

Элементы неравновесной термодинамики. Термодинамика неравновесных процессов. Закон сохранения массы в термодинамике неравновесных процессов. Закон сохранения импульса в термодинамике неравновесных процессов. Закон сохранения энергии в термодинамике неравновесных процессов. Уравнение баланса энергии.

Фазовые равновесия и превращения. Фазы и фазовые превращения. Условия равновесия фаз. Уравнение КлапейронаКлаузиуса. Фазовые диаграммы. Метастабильные состояния. Критические точки. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы Ван-дерВаальса и реальных газов. Тройная точка. Фазовые переходы 1-го и 2-го рода.

Кинетические явления (явления переноса). Понятие о физической кинетике. Диффузия, теплопроводность газов, жидкостей и твердых тел. Коэффициенты диффузии и теплопроводности. Вязкость жидкостей и газов. Коэффициенты вязкости жидкостей и газов.

Динамическая и кинематическая вязкости.

Конденсированное состояние. Кинематика и динамика жидкостей. Общие свойства жидкостей и газов. Уравнение равновесия и движения жидкости. Идеальная и вязкая жидкости. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли. Гидродинамика вязкой жидкости. Формула Стокса. Гидродинамика вязкой жидкости. Уравнение неразрывности.

Течение по трубе. Формула Пуазейля. Закон подобия. Формула Стокса. Гидродинамическая неустойчивость. Турбулентность.

Основные свойства твердых тел. Упругие напряжения. Закон Гука. Растяжение и сжатие твердых тел.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ И ТЕРМОДИНАМИКЕ С

ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Молекулярная физика 1.1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов Система-совокупность рассматриваемых твердых, жидких и газообразных веществ. В зависимости от состояния система может обладать различными свойствами.

Параметры состояния системы: р-давление, V-объём, Tабсолютная температура.

Уравнение состояния системы - определенная функциональная связь параметров состояния:

Неравновесное состояние ситемы-такое ее состояние, при котором изменяется хотя бы один из параметров состояния.

Равновесным состоянием системы – такое ее состояние, при котором все параметры имеют определённые значения, остающиеся постоянными при неизменных внешних условиях.

Процесс – переход системы из одного состояния в другое. Он всегда связан с нарушением её равновесия.

Под внутренней энергией системы понимается кинетическая энергия хаотического движения молекул, потенциальная энергия их взаимодействия и внутримолекулярнаяэнергия, т.е. энергия системы без учёта кинетической энергии её вцелом (при движении) и потенциальной энергии во внешнем поле. Внутренняя энергия является функцией состояния.

Изменение внутренней энергии при переходе системы из состояния в состояние равно разности значений внутренней энергии в этих состояниях и не зависит от пути перехода системы из одного состояния в другое.

Основными законами идеальных газов при условии постоянства одного из параметров состояния являются:

1. Произведение давления на занимаемый объём припостоянной температуре, для данной массы газа, есть величина постоянная:

Такой процесс называется изотермическим.

2. При изменении температуры газа, но постоянном давлении, объём данной массы газа изменяется по закону:

где -коэффициент объёмного расширения-величина, показывающая как изменился объёма газа, по отношению к его объему при 0oС, если его температура изменяется на один градус в условиях постоянного давления.

При этом T1/T2=V1/V2. Такой процесс называется изобарическим.

3. Процесс, происходящий при постоянном объёме, называется изохорическим процессом. Давление данной массы газа при изохорическом процессе изменяется по закону:

где -термический коэффициент давления, который показывает как изменяется давление газа, по отношению к его давлению при 0 0С, если его температура изменяется на один градус в условиях постоянного объема.

Связь между температурой по шкале Цельсия и абсолютной температурой выражается соотношением 4. Объединив изотермический и изобарический процессы получим объединённый газовый закон: для данной массы газа произведение давления на объем, деленное на абсолютную температуру остается величинойпостоянной:

5.Уравнение Менделеева-Клапейрона для произвольной массы газа:

Для одного моля идеального газа основное уравнение Менделеева-Клапейрона имеет вид Закон Дальтона:

т.е. полное давление смеси газов равно сумме парциальных давлений всех газов, входящих в смесь.

Основным уравнением молекулярно-кинетической теории называют одно из выражений:

где = kT – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа.

Число независимых координат,необходимых для полного описания положения системы в пространстве, называется числом степеней свободы–i.

Общее число степеней свободы равно:

где iп – число степеней свободы поступательного движения точки;

iвр – число степеней свободы вращательного движения точки;

iк – число степеней свободы колебательного движения точки.

Одноатомная молекула газа имеет только три степени свободы (i=3); двухатомная – при упругой связи – шесть степеней свободы (i=6), а при жёсткой связи – пять степеней свободы (i=5); трёхатомная молекула при жёсткой связи между атомами имеет шесть степеней свободы (i=6).

Поступательное движение описывается тремя степенями свободы, а т.к. все степени свободы равноправны, то на каждую изних приходится в среднем энергия, равная Молекула, имеющая i степеней свободы, обладает в среднем энергией где i=iп+iвр+iк.

1.1. Примеры решения задач.

1.1.1. Определить для серной кислоты: 1) относительную молекулярную массу; 2) молярную массу.

Решение. 1. Относительная молекулярная масса вещества равна сумме относительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в состав молекулы данного вещества,и определяется по формуле где ni – число атомов i-го элемента, входящих в молекулу;

Ari – относительная атомная масса i-го элемента.

Химическая формула серной кислоты имеет вид H2SO4. Так как в состав молекулы серной кислоты входят атомы трех элементов, то стоящая в правой части равенства сумма будет состоять из трех слагаемых и формула примет вид Из формулы серной кислоты далее следует, что n1=2, n2=1, n3=4.

Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода соответственно равны Ar1=1, Ar2=32, Ar3=16. Подставив численные значения ni и Ari будем иметь:

2. Зная относительную молекулярнуюмассу, найдем молярную массу серной кислоты по формуле где k=10 кг/моль.

Подставив в последнее выражение значения величин, получим =98710-3 кг/моль.

1.1.2. Определить молярную массу смеси см кислорода массой m1=25 г и азота массой m2=75 г.

Решение. Молярная масса см смеси, есть отношение массы смеси mсм к количеству вещества см смеси:

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси: mсм=m1+m2.

Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов Подставив выражения mсм и см в ранее записанную формулу для молярной массы получим где 1=3210-3 кг/моль, 2=2810-3 кг/моль.

Подставив, значение величин и произведя вычисление, будем иметь 1.1.3. Определить число молекул N, содержащихся в объеме V=1 мм3 воды, и массу m1 одной молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Решение. Число молекул N, содержащихся в некоторой системе массой m, равнопроизведению постояннойАвогадро на количество вещества N=NА.

Так как =m/, где -молярная масса,то Выразив в формуле массу как произведение плотности на объем V, получим Произведем вычисления, учитывая =1810-3 кг/моль, = кг/м3, V=110-9 м3, N=6,021023 моль-1:

Массу одной молекулы m1 можно найти по формуле Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую из них приходится объем (кубическая ячейка) где d-диаметр молекулы.

Объем V1 найдем, разделив молярный объем V на число молекул в моле, т.е. на NА:

Тогда для диаметра одной молекулы будем иметь:

где Vm=/p Окончательно Произведем вычисления 1.1.4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p1=1 МПа и при температуре T=300 К. После того как из баллона было взято m=10 г гелия,температура газа понизилась до Т=290 К Определить давление p гелия оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его дважды к начальному и конечному состояниям газа:

где m1, m2 – массы гелия в баллоне в начальном и конечном состояниях;

– молярная масса гелия;

R – универсальная газовая постоянная;

T1 и T2 – температуры газа в начальном и конечном состояниях.

Массы m1 и m2 гелия найдем из уравнения МенделееваКлапейрона:

Тогда масса гелия оставшегося в баллоне будет равна Для давления p гелия, оставшегося в баллоне, будем иметь:

или 1.1.5. Баллон содержит 80 г кислорода и 320 г аргона. Давление смеси 1МПа, температура 300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем баллона.

Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальные давления кислорода p1 и аргона p2 можно определить, воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов Откуда объем баллона Подставив численные значения, будем иметь 1.1.6. Какое количество молекул находится в комнате объемом 80 м при температуре 17 oС и давлении 750 мм. рт. ст?

Решение. Количество молекул N, содержащееся в комнате, можно определить, зная массувоздуха m,его молярную массу и число Авогадро NА. Число молекул в одном киломоле газа равно числу Авогадро. А число киломолей содержащихся в массе m, определяется соотношением:

Следовательно, Массу m содержащегося в комнате воздуха определяем из уравнения Менделеева-Клапейрона где p – давление воздуха;

R – универсальная газовая постоянная;

T – абсолютная температура (T=t+ 273 );

m – масса воздуха.

Следовательно, для числа молекул воздуха имеем:

Подставляя все данные, предварительно выразив их в системе СИ, будем иметь 1.1.7. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре T=350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой 4 г.

Решение. Согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, накаждую степень свободы приходится энергия:

где k – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура.

Молекула кислородадвухатомная, поведение такой молекулы описывается 5-ю степенями свободы (три изних приписываются поступательному движению и две- вращательному).

Следовательно, кинетическая энергия вращательного движения молекулы кислорода может быть рассчитана по формуле:

Энергия вращательного движения всех молекул, содержащихся в 4 г кислорода, может быть определена как произведение числа молекул N на энергию одной молекулы:

Число молекул определяется соотношением:

где – молекулярная масса кислорода;

NА – число Авогадро.

Таким образом Подставив численные значения, предварительно выразив их в системе СИ, будем иметь:

1.1.8. Масса 10 г кислорода находится при давлении 304 кПа и температуре 10 oС. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем 10 л. Найти объем газа до расширения, температуру газа после расширения, плотности газа до и после расширения.

Решение. Согласно условию задачи, расширение газа вследствие нагревания происходило при постоянном давлении. В этом случае оказывается справедливым соотношение Для определения температуры газа после расширениявоспользуемся уравнениемМенделеева-Клапейрона для конечного состояния газа где p2 – давление газа после расширения;

V2 – его объем после расширения;

– молекулярная масса кислорода;

R – универсальная газовая постоянная;

T2 – абсолютная температура газа.

Следовательно, дляконечной температуры имеем Для определения объема газа до расширения можно вновь воспользоваться уравнением Менделеева-Клапейрона, записанным для первоначального состояния газа:

где p1, V1, T1 – его давление, объем и температура до расширения.

Из данногоуравнения имеем Учитывая то, что плотность газа 1=m/V1, подставляя значения V1 и V2 из уравнений Менделеева-Клапейрона, записанные для соответствующих состояний, для плотности кислорода до и после расширения будем иметь Подставляя численные значения в системе СИ, окончательно имеем:

1.1.9.Масса газа 12 г занимает объем 4 л при температуре 7 oC.

После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной 0,6 кг/м3. До какой температуры нагрели газ?

Решение. Воспользовавшись уравнением МенделееваКлапейрона можно показать, что между плотностью газа =m/V и давлением существует связь Следовательно, в начальномсостоянии давление газа:

В конечном:

Так как нагревание газа производилось при постоянном давлении, то p1=p Отсюда Подставляя численные значения, в системе СИ, для конечной температуры будем иметь:

1.1.10. В баллоне находилась масса m1=10 кг газа при давлении p1=10 МПа. Какую массу газа взяли из баллона, если давление стало равным p2=2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной.

Решение. Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для двух состояний: начального и конечного Из второгосоотношения определяем объем сосуда и подставляем его значение в первое, имеем:

Из последнего соотношения получаемсвязь между давлением газа в сосуде и его массой для данного случая:

Отсюда масса газа оставшегося в баллоне:

Так как масса израсходованного газа m=m1-m2,то окончательно, после соответствующих преобразований, имеем Подставляячисленные значения в системе СИ определяем массу взятого из баллона газа:

1.1.11. В сосуде находится масса m1=14 г азота и масса m2==9 г водорода при температуре 10 oС и давлении 1 МПа. Найти молярную массу смеси и объем сосуда.

Решение. По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонентов входящих в смесь где p – давление смеси;

p1 – парциальное давление азота;

p2 – парциальное давление водорода.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

Для каждого из давлений (смеси и парциальных) можно записать:

Следовательно, так как p=p1+p2, имеем откуда Из последнего соотношения для молекулярной массы смеси будем иметь Изуравнения Менделеева-Клапейрона, для смеси газов, объем сосуда равен:

Подставляячисленные значения в системе СИнаходиммолекулярную массу смеси:

и объем сосуда 1.1.12. Для получения хорошего вакуума в стеклянном сосуде необходимо прогревать стенки сосуда при откачке для удаления, адсорбированного газа. На сколько может повыситься давление в сферическом сосуде радиусом 10 см, если адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд? Площадь поперечного сечения молекул So==10-19 м2. Температура газа в сосуде 300 oС. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным.

Решение. Для определения давления воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории в виде где no – число молекул в единице объема;

k – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура газа.

С учетом того, что где N – число молекул в объеме V, для давления имеем Поусловиюзадачи слой молекул в сосуде мономолекулярный, следовательно число молекул в нем можно определить исходя из соображений:

где S=4r2 – площадь поверхности сосуда;

So – площадь поперечного сечения молекул газа.

Так как сосуд сферический, то его объем V=4/3r3.

Таким образом, окончательно для давления газа в сосуде будем иметь соотношение:

Подставляячисленные значения в полученноесоотношение в системе СИ определяем давление газа в сосуде 1.1.13. В воздухе содержится 23,6 % кислорода и 76,4 % азота (по массе) при давлении 100 кПа и температуре 13 oС. Найти плотность воздуха и парциальные давления кислорода и азота.

Решение. Для определения плотности воздуха воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона откуда Для определения парциальных давлений также воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, записанным для каждого из компонентов, входящих в смесь воздуха:

где V – объем воздуха.

Откуда Так как =m/V, то V=m/, следовательно Подставляячисленные значения в системе СИ для плотности воздуха и парциальных давлений кислорода иазота будем иметь:

1.1.14. В сосуде находится количество =10-7 моль кислорода и масса m2==10-6 г азота. Температура смеси 100 oС, давление в сосуде p=133 мПа. Найти объем сосуда, парциальные давления кислорода и азота и число молекул в единице объема.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, записанным для смеси газов в виде где см=1+1=(1+m2/2) – число молей или киломолей газов составляющих смесь.

Парциальные давления компонентов образующих смесь определяем так же из уравнения Менделеева-Клапейрона, записанным для каждого из газов Откуда для парциальных давлений кислорода и азота соответственно имеем Для определения числа молекул в единице объема необходимо воспользоваться основным уравнением молекулярно-кинетической теории для давления Из него Подставляя в ранее полученные формулы ы системе СИ для объема, парциальных давлений кислорода и азота и числа молекул в единице объема, имеем:

1.1.15. Один моль идеального 2-х атомного газа, занимает объем 12,3 л под давлением 2 ат. нагревается при постоянном объеме до давления 3 ат. Далее газ расширяется при постоянном давлении до объема 24,6 литра, после чего охлаждается при постоянном объеме до начального давления, и, наконец, сжимается при постоянном давлении до начального объема. Определить температуру газа для характерных точек цикла.

Решение.

Пусть V' – наименьший объем газа;

T1, T2, T3, T4 – температуры газа в характерных точках.

Температуру T1 можно найти, используя уравнение Менделеева-Клапейрона:

Переход газа из состояния 1 в состояние 2-изохорный, для которого справедливо соотношение:

откуда Переход газа из состояния 2 в состояние 3-изобарный, для которого справедливо соотношение:

откуда Переход газа из состояния3 в состояние 4-изохорный, для которого справедливо соотношение откуда Подставляя численные значения из условия задачи, будем иметь:

1.1.16. Плотность смеси азота и водорода при температуре t= С и давлении p=2,00 ат равна 0,30 г/л. Найти концентрации молекул азота (n1) и водорода (n2) в смеси.

Решение. Концентрацию однородного по составу газа можно найти из формулы В условии задачи дана смесь двух газов, молекулы которых различаются по массе. Приведенная формула является следствием основного уравнения кинетической теории газов где no – число молекул в единице объема (концентрация молекул);

=/2 – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы газа.

Для однородного по составу частиц газа Из вывода основного уравнения кинетической теории газов вытекает, что оно справедливо для совокупности любых частиц, в том числе различных по массе. Следовательно, формулу p=nokT можно применять для смеси газов. В этом случае no-полное число частиц в единице объема. Таким образом, имеем Для определения концентрации азота и водорода кроме очевидного соотношения необходимо иметь еще одно уравнение, связывающее величины n1 и n2.

Используя данные задачи, можно найти молярную массу см смеси рассматриваемых газов, пользуясь уравнением МенделееваКлапейрона или откуда С другой стороны, можно выразить см через молярные массы азота (1) и водорода (2), а также их концентрации n1 и n2, записав уравнение газового состояния для каждого из газов входящих в смесь Откуда На основании закона Дальтона, давление смеси газов равно сумме парциальных давлений Имеем p=m1RT/1V+m2RT/2V=(m1/1+m2/2)RT/V, где (m1/1+m2/2)=(m1+m2)/см, т.е. для молярной массы смеси азота и водорода получаем Заметим также, что между массой m газа и его концентрацией n существует связь:

где V – объем газа;

– его молярная масса;

m' – масса одной молекулы;

NА – число Авогадро.

С учетом последнего соотношения, для молярной массы смеси имеем Решив систему уравнений, найдем неизвестные n1 и n2:

Выражая входящие в формулы величины в единицах СИ, подставив их значения, выполнив вычисления, получим 1.2. Внутренняя энергия и теплоемкости идеального газа Внутренняяэнергиягаза складывается из энергии отдельных молекул. В одном киломоле любого газа содержится NА молекул (NА-число Авогадро ). Следовательно, один киломоль идеального газа имеет внутреннюю энергию, равную Внутренняя энергия произвольной массы газа m:

где – молярная масса газа.

Удельной теплоёмкостью "c" газа называется физическая величина, численно равнаяколичеству теплоты, которое необходимо сообщить единице массы газа для нагревания её на один градус.

Молярной теплоёмкостью " C " называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю газа, чтобы увеличить его температуру на один градус.

Связь между удельной и молярной теплоемкостями:

Молярная теплоёмкость при постоянном объёме "Cv" – физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю газа, чтобы увеличить его температуру на один градус в условиях постоянного объема.

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении "Cp" – физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю газа, чтобы увеличить его температуру на один градус в условиях постоянного давления.

Если газ нагревается при постоянном объёме, то подводимое к газу тепло идётна увеличение его внутренней энергии. Следовательно, в этом случае изменение внутренней энергии газа принагревании его на один градус будет равно молярнойтеплоёмкости т.е.

При нагревании одного молягаза в условияхпостоянного давления сообщаемое ему извне тепло идёт не только на увеличение его внутренней энергии, но и на совершение работы против внешних сил.

Следовательно Работа, совершаемая по расширению одного моля газа, в условиях постоянного давления где R – универсальная газовая постоянная.

Следовательно Окончательно =Cp/Cv=cp/cv; =(i+2)/i.

1.2. Примеры решения задач 1.2.1. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме неона и водорода, принимая газы за идеальные.

Решение. Между молярными и удельными теплоемкостями идеального газа при постоянном давлениии и при постоянном объеме существует связь:

где Таким образом, для удельныхтеплоемкостей имеем:

Зная, что неон одноатомныйгаз длянего число степеней свободы i=3, =2010-3 кг/моль, а водород двухатомный газ для него число степеней свободы i=5, =2710-3 кг/моль. Подставляя в каждую из выше записанных формул значения и значение универсальной газовой постоянной R=8,31 Дж/(мольК), вычисляем удельные теплоемкости для:

2) водорода 1.2.2. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме для кислорода.

Решение. Отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме идеального газа равно отношению его молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:

Зная, что молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме связаны с числом степеней свободы и равны Для отношения удельных теплоемкостей будем иметь Кислород двухатомный газ, следовательно, число степеней свободы i=5. Подставляя значение i в вышезаписанную формулу, имеем:

1.2.3. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа равна 14,7 кДж/(кгК). Найти молярную массу этого газа.

Решение. Известно, что удельная теплоемкость при постоянном давлении связана с молярной теплоемкостью газа:

Молярная теплоемкость при постоянном давлении где I – число степеней свободы газа.

Таким образом:

Откуда Подставляяв полученную формулу значения данных в условии задачи величин, сучетом того, что для двухатомного газа i=5, будем иметь:

1.2.4. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют 1=80% и 2=20% соответственно. Удельные теплоемкости для неона сv=6,24102 Дж/(кгК), сp==1,04103 Дж/(кгК); для водорода-сv=1,04104 Дж/(кгК), сp==1,46104 Дж/(кгК).

Решение. В общем случае количество тепла необходимого для нагревания смеси газов, например, при нагревании в условиях постоянного объема от температуры Т1 до температуры Т2 равна:

где сv(см) – удельная теплоемкость смеси;

(m1+m2) – масса смеси;

(T2–T1) – изменение температуры.

С другой стороны это количество тепла может быть вычисленопо формуле:

где Q1 и Q1 – соответственно количество тепла, которое необходимо сообщить, чтобы изменить температуру неона и водорода в отдельности;

сv1 и сv2 – удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме;

m1 и m2 – массы неона и водорода.

Таким образом имеем:

или откуда соответственно.

Подставляячисленные значения для удельнойтеплоемкости смеси неона иводорода при постоянномдавлении, будемиметь:

Аналогично можно получить формулу для определения удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении:

Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении, будем иметь:

1.2.5. Кислород массой 2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением p1=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа.

Решение. Изменение внутренней энергии газа где cv=iR/2 – удельная теплоемкость при постоянном объеме;

– молярная масса газа;

Т=(Т2 – Т1) – изменение температуры газа в конечном и начальном состояниях;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ).

Температуру газа в начальном и конечном состояниях можно определить из уравнения Менделеева–Клапейрона:

Для начальной температуры Для конечной температуры Тогда изменение внутреннейэнергиигаза Подставляячисленные значения, будем иметь 1.2.6. Масса m=10 г кислорода находится при давлении p=0, МПа и температуре 10 oС. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем V2=10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа W до и после нагревания.

Решение. Количество теплоты Q, полученное газом в процессе нагревания где C p = R – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ);

R=8,31 Дж/(моль7К) – универсальная газовая постоянная;

=0,032 кг/моль – молекулярная масса кислорода;

T1 и T2 – температуры газа в начальном и конечном состояниях.

Для определения температуры газа в конечном состоянии воспользуемся соотношением между температурой и объемом газа, нагреваемого в условиях постоянного давления:

откуда Воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона:

находимобъем газа в начальном состоянии:

Для конечной температуры будем иметь соотношение:

Подставляя численные значения, определяем конечную температуру газа:

Подставляячисленные значения находим количество теплоты, полученное газом в процессе нагревания:

Энергию теплового движения молекул газа можно определитьпо формуле где CV=iR/2 – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Таким образом, для энергии теплового движения молекул газа в начальном состоянии имеем:

в конечном состоянии:

1.2.7. Кислород массой 2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением p1=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и теплоту, переданную газу.

Решение. Известно, что изменение внутренней энергии газа пропорционально изменению его температуры, при этом где Т=T3-T1.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно определить температуры, характерные для соответствующих состояний:

Таким образом, температура газа в начальном состоянии в промежуточном Следовательно, для изменения внутренней энергии газа при его переходе из начального состояния в конечное состояние, имеем:

В процессе перехода газ совершал работу где A1 – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления;

A2 – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема.

Работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления определяется соотношением:

а работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема:

т.к. V=0.

Таким образом, в данном случае Количество тепла, переданного газу равно сумме изменения его внутренней энергии и работы, совершенной им:

Проверив размерность и подставив численные значения величин, будем иметь U=528,31(2888-385)/23210-3=3,25103 Дж;

A=28,31(1155-385)/3210-3=0,4103 Дж;

1.2.8. Масса 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом V=2 л при температуре t=10 oС.После нагревания давление в сосуде стало равным p=1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?

Решение. Так как объем газа не изменился, то сообщенное ему количество теплоты пошло на изменение его внутренней энергии которое в свою очередь можно определить так:

где Cv=iR/2 – молярная теплоемкость азота при постоянном объеме.

Следовательно Для определения конечной температуры T воспользуемся тем, что принагревании газав условиях постоянного объема отношение давлений пропорционально отношению его температур в начальном и конечном состояниях p1/p2=T1/T2.

Начальнoe давление определяем из уравнения МенделееваКлапейрона, записанного для первоначального состояния:

Так как по условию задачи V1=V1=V, то для конечной температуры имеем:

Подставляя значение T2 в формулу изменения внутренней энергии, которое равно количеству тепла, сообщенному газу, окончательно получим:

Размерность полученного результата очевидна. Численное значение Q равно 1.2.9. Баллон емкостью V =20 л с кислородом при давлении p =100 ат и температуре t=7 oС нагревается до t=27 oС. Какое количество теплоты при этом поглощает газ?

Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным.

При изохорных процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии.

Из определения молярной теплоемкости следует, что элементарное количество теплоты, сообщенное телу при повышении его температуры на dT, равно: dQ=CVdT.

Число молей найдем из уравнения газового состояния (Менделеева-Клапейрона) =m/=p1V/RT1.

Так как газ нагревается при постоянном объеме, то С=СV, где СV=iR/2.

Подставив значения и СV в формулу для элементарного количества тепла, получим:

Отсюда, интегрируя и учитывая при этом, что все величины i, p1, T1, V – постоянные, найдем полное количество теплоты, поглощенное газом при нагревании от T1 до T2, которое численно и будет равно изменениюего внутренней энергии:

Проверив размерность, подставив в полученную формулу значения входящих величин в системе СИ, произведем вычисления:

U=59,8105210-3(300-280)/2280=35103 Дж=35 кДж.

1.3. Функции распределения Согласно молекулярно-кинетической теории молекулыидеального газа находятся в непрерывном хаотическом движении с равномерным распределением по направлениям.

Скорости молекул при этом изменяются по величине. Наиболее близкой к истинному значению скорости является средняя квадратичная скорость молекул, которая для газа массой "m" находящегося в состоянии равновесия при T=const остаётся постоянной:

Статистический закон Максвелла указывает на существование некоторой наиболее вероятной скорости движения молекул, в окрестности которой в интервале v, v+dv находится большее число молекул, чем в окрестности другой скорости.

Максвелловский закон распределениямолекулидеального газапо скоростям в стационарном состоянии выражается формулой:

где dnv – среднее число молекул в единице объема со скоростями в интервале от v до v+dv;

n – число молекул в единице объема.

Откуда где dN/ndv – функция распределения, которая показывает, какая доля молекул от их общего числа отнесена к некоторому интервалу скоростей.

Для наиболее вероятной скорости движения молекул была получена формула:

Кроме и vв для описания движения молекул идеального газа вводится понятие средней арифметической скорости:

Для расчета числа молекул, движущихся со скоростями в интервале от v до v+dv, часто вводят понятие относительной скорости u=v/vв, тогда закон распределения Максвелла имеет вид:

Атмосферное давление на какой-либовысоте обусловлено весом вышележащих слоев газа.

Если давление газа на высоте ho-po, а высоте h-p, то Данное соотношениеназывают барометрической формулой, которая показывает, чтодавление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже его температура.

Заменив в барометрической формуле значениядавлений, на число молекул в единице объема получим но R=m/k, тогда Полученнаяформулаопределяет закон распределения молекул газа по высоте в поле сил тяготения.

Но mgh=Wp – потенциальная энергия молекул в поле сил тяготения, следовательно:

где no – число молекул в единице объема в том месте, где потенциальная энергия молекул равна нулю;

n – число молекул в единице объема в тех точках пространства, где потенциальная энергия молекул равна Wp.

Это распределение и называют распределением Больцмана, которое дает распределениечастиц по значениям потенциальной энергии.

Плотность газа в зависимости от высоты изменяется по закону:

где mo – масса одной молекулы.

Прямолинейные участки траектории, проходимые молекулой между двумя последовательнымисоударениями, называются свободными пробегами.

Средняя длина свободного пробега где no – число молекул в единице объёма.

Среднее число соударений, численно равно отношению средней скорости движения молекул и :

где – эффективное сечение.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры 2-х молекул, называется эффективным сечением.

Используя основное уравнение кинетической теории газов можно записать Средняя длина свободного пробега при какой-то температуре Т может быть определена по формуле:

где C – постоянная Сезерленда, зависящая от интенсивности молекулярных взаимодействий;

o – длина свободного пробега молекул без учёта их взаимодействий.

1.3. Примеры решения задач 1.3.1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с. Давление газа 50 кПа. Найти плотность газа при этих условиях.

Решение. Средняя квадратичная скорость молекул газа связана с его температурой соотношением где R – универсальная газовая постоянная;

– молекулярная масса газа;

T – абсолютная температура газа.

Для определения температуры газа воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона где =m/V – плотность газа.

Следовательно Откуда Подставляя численные значения имеем 1.3.2. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул воздуха =0,3 нм.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул газа где – средняя арифметическая скорость молекул;

– среднее число столкновений каждой молекулы с остальными молекулами в единицу времени;

– эффективный диаметр молекулы;

n – число молекул в единице объема (концентрация молекул).

Для определения числа молекул в единице объема воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории для давления где k – постоянная Больцмана;

Т – температура газа.

Тогда для средней длины свободногопробегаимеем Подставляячисленные значения, окончательно получаем:

1.3.3. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул углекислого газа при температуре 100 oС, если средняя длина свободного пробега =870 мкм.

Решение. Число столкновений молекул газа в единицу времени связаносо средней длиной свободного пробега соотношением где < v >= – средняя арифметическая скорость.

Следовательно, Подставляячисленные значения имеем 1.3.4. При некотором давлении и температуре 0 oС средняя длина свободного пробега молекул кислорода 95 нм. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул кислорода, если давление кислорода уменьшить в 100 раз.

Решение. Среднее число столкновений в единицу времени где =(8RT/)1/2 – средняя арифметическая скорость молекул газа;

– средняя длина свободного пробега молекул.

При изменении давления газа длины свободного пробега обратно пропорциональныдавлению:

где 1, 2 – длина свободного пробега молекул газа при соответствующих давлениях p1 и p2.

В нашем случае:

Подставляя численные значения для, имеем 1.3.5. Какая часть молекул кислорода при t=0 oС обладает скоростями от 100 до 110 м/с?

Решение. Распределение молекул по скоростям можно определить из закона Максвелла где u=v/vв – относительная скорость;

v – данная скорость;

vв=(2RT/)1/2 – наиболее вероятная скорость молекул;

u – интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью u.

Тогда искомая часть молекул, которую необходимо определить (распределение молекул по скоростям) В нашем случае v=100 м/с; v=10 м/с; Наиболее вероятная скорость v=(2RT/)1/2=376 м/с. Следовательно, u=v/vв=100/376, u2=0,071; u=10/376; exp(-u2)=0,93.

Таким образом, число молекул кислорода, скорости которых лежат в указанном интервале, равно 4%общего числа молекул.

1.3.6. Сосуд, содержащий газ, движется со скоростью vo, затем быстро останавливается. На сколько увеличится при этом средний квадрат скорости теплового движения молекул газа в случаях: одноатомного газа? Двухатомного газа? Газ считать идеальным.

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть M-масса газа в сосуде. Двигаясь со скоростью v газ, как целое, обладает кинетической энергией Эта формула определяет кинетическую энергию направленного движения молекул, в котором ониучаствуют вместе с сосудом. После остановки сосуда направленное движение молекул в результате их соударений со стенками сосуда очень скоропревратится в хаотическое.

Пренебрегая теплообменом между газом и стенкамисосуда за рассматриваемый промежуток времени, можно газ считать изолированной системой. Тогда из закона сохранения энергии следует, что "исчезнувшая" кинетическая энергия направленного движения молекул W должна быть равна приросту энергии хаотического движения молекул (приросту внутренней энергии U:

Определим внутреннюю энергию газа. Для идеального одноатомного газа это есть энергия поступательного хаотического движения молекул:

где m – масса молекулы;

N – число молекул в сосуде.

Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного газа при торможении где vкв1,vкв2 – средние квадратичные скорости молекул газа соответственно в начале и конце торможения.

Подставив в уравнение Wк=U значения Wк и U, получим первый ответ Внутренняя энергия идеального двухатомного газа складывается из энергий поступательного и вращательного движения молекул.

При этом три степени свободы приходятся на поступательное движение и две - на вращательное. В соответствии сзакономо равномерном распределении энергии по степенямсвободы, три пятых кинетической энергии W пойдет на увеличениеэнергии поступательного движения молекул и две пятых - на увеличение энергии их вращательного движения. Таким образом, теперь имеем Откуда получим второй ответ:

1.3.7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре T, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений T: 1) 400 К, 2) 900 К.

Решение. Распределение молекул по скоростям выражается законом Максвелла: число молекул N, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u+u:

где N-полное число молекул газа;

f ( u ) = ( 4 / ) exp( u 2 ) u 2 – функция распределения Максвелла;

u=v/vв – относительная скорость;

v – данная скорость;

vв – наиболее вероятная скорость.

Закон распределения Максвелла оказывается справедливым при