WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского

«Харьковский авиационный институт»

С.Н. Барсуков

Введение в теорию электромагнитного поля

Математические основы теории

Учебное пособие

Харьков «ХАИ»

1. Элементы векторной алгебры и теории поля

Скалярное произведение двух векторов определяется следующим соотношением a b = a b cos.

a b Результатом скалярного произведения является число (скаляр). Операция скалярного произведения Рис. включает в себя два этапа:

определяется проекция вектора a на вектор b, 2) проекция этого вектора умножается на модуль вектора b a b = (Прb a ) b.

Прb a = a cos, Эта формула определяет геометрическую интерпретацию скалярного произведения: оно представляет собой произведение модуля второго вектора b и спроектированного на него первого вектора a (рис. 1).

Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю (проекция вырождается в точку). В частном случае, если один из векторов – единичный вектор b0 = 1, то a b0 = Прb a.

Следовательно, скалярное произведение вектора a и единичного вектора b0 дает проекцию первого вектора на второй.

Скалярное произведение векторов в декартовой (прямоугольной) системе координат определяется при представлении каждого из векторов в декартовом базисе. Эта система координат задается тремя ортогональными единичными векторами – ортами: x0, y0, z0 или i, j, k (рис. 2). Условие ортогональности базисных векторов i j = j k = i k = 0, очевидно, справедливо и такое соотношение i i = j j = k k = 1.

a a k j z0 i k y j a x i a Рис. Рис. Произвольный вектор в декартовом базисе задается суммой трех векторов по соответствующим координатам (рис. 3) a = a1 + a2 + a3 = a xi + a y j + a z k.

Для выделения одной из проекций вектора нужно вычислить скалярa i = ax.

ное произведение с соответствующим ортом Скалярное произведение двух векторов, заданных в декартовом базисе, равно сумме произведений одноименных проекций a b = a x bx + a y b y + a z bz.

a0 b0 = cos.

В частном случае для единичных векторов Единичный вектор в декартовом базисе определяется через направляющие косинусы углов (рис. 4) k a a0 = i cos 1 + j cos 2 + k cos 3 = i a1 + ja2 + k a3, а проекция вектора на единичный вектор 1 2 j Прb a = a b0 = a x cos 1 + a y cos 2 + a z cos 3.

Векторными характеристиками электрической i компоненты электромагнитного поля являются Рис. следующие вектора: соответственно вектор напряженности электрического поля E и вектор электрической индукции D Кл В D.

E, м м Размерности векторов определяются из закона Кулона Qq k= F =k r0,, - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в вакууме диэлектрическая постоянная Вектор напряженности электрического поля является силовой характеристикой откуда определяется размерность вектора здесь использована зависимость Q = CU.

Электрические вектора поля взаимосвязаны или с учетом вектора E следовательно Таким образом, вектор D не зависит от диэлектрических свойств среды, т.е. от параметра.

Сравнивая силы электрического взаимодействия в среде и вакууме определяем физический смысл параметра r - относительной диэлектрической проницаемости среды.

Определим размерность скалярного произведения векторов электрической компоненты поля и физический смысл этого произведения:

Переход к джоулям проведен в соответствии с формулой энергии конденсатора Размерность энергии может быть получена также из формулы работы Таким образом, скалярное произведение электрических векторов определяет объемную плотность энергии электрического поля Аналогично, на основании симметрии электрического и магнитного полей записываем плотность энергии магнитного поля Векторное произведение двух векторов ный плоскости, которая образована данными векторами и образует с ними правую тройку векторов. Модуль этого вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах: с = ab sin (рис. 5). Векторное произведение коллинеарных (однонаправленных) векторов равно нулю, так как соответствующая площадь параллелограмма равна нулю. В частном случае, если один из векторов является единичным, то модуль скалярного произведения с = a sin определяет проекцию на направление, нормальное к единичному вектору.

(циклических) перестановок векторов (рис. 6).

ного вектора на орт a i соответствует таким геометрическим преобразованиям:

проекцией вектора a на плоскость j, k, которая перпендикулярна орту i ;

поворотом спроектированного вектора в этой плоскости на 900 (рис.

7).

Векторное произведение векторов, ляется из определителя, составленного из проекций векторов Определим физический смысл векторного произведения двух векторов, являющихся векторами напряженности электрической и магнитной компоненты поля E H. Размерность вектора напряженности магнитного поля H определяется из закона Ампера тогда размерность результирующего вектора что соответствует поверхностной плотности мощности (рис. 8).

Двойное векторное произведение a b c вычисляется по методу определителя при двойном последовательном применении этого правила. Наилучший алгоритм вычисления этого произведения соответствует следующей формуле При этом вначале вычисляются скалярные произведения, указанные в скобках, а затем берется разность двух векторов.

Cмешанное произведение обладает правилом перестановочной симметрии При вычислении векторного произведения d = b c определяется вектор d, модуль которого равен площади парал- d лелограмма, построенного на этих двух векторах a (рис. 9). Причем, этот вектор направлен по нормаc ли указанной плоскости и образует с этими векто- h рами правую тройку. Последующее скалярное произведение h = a d определяет проекцию h векто- b ра a на вектор d. Если на трех исходных векторах Рис. построить параллелепипед, то произведение площади основания b c на высоту этого тела h определяет его объем.

Векторное произведение вычисляется по правилу определителя последующее скалярное произведение рассчитывается как сумма произведений одноименных проекций векторов Сравнивая решение с результатом векторного произведения, очевидно, что для получения итогового решения нужно вместо ортов i, j, k подставить проекции первого вектора: a x, a y, a z. Окончательный алгоритм вычисления смешанного произведения соответствует следующему определителю 2. Основы теории поля. Дифференциальные и интегральные Геометрическая структура поля представляется в виде линий вектора. Уравнение линии вектора находится из ее определения: это такая линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора. Математически это определение соответствует условию параллельности двух векторов: самого вектора, линия которого определяется, и вектора элемента длины линии E dr = 0. В координатной форме векторное произведение записывается через определитель Отсюда взаимная пропорциональность элементов двух строк определителя является тривиальным условием равенства определителя нулю:

В частности, один из векторов является следствием растяжения (сжатия) другого вектора или пропорционального изменения его проекций Семейство линий вектора получается при интегрировании его элемента длины.

В обобщенной криволинейной системе координат x1, x2, x3 элементами третьей строки определителя являются линейные приращения, которые связаны с координатными приращениями коэффициентами Ламэ - h1, h2, h3 :

Задача. Найти проекции линий вектора E на координатные плоскости Запишем дифференциально малый вектор элемента длины линии применим условие параллельности векторов и далее определяем семейство линий вектора в координатной плоскости XOY где С – произвольная константа. Уравнения линий в остальных проекциях находятся аналогично.

Интегральными характеристиками поля являются: поток и циркуляция вектора, которым соответствуют дифференциальные аналоги:

дивергенция (плотность потока) и ротор (плотность циркуляции).

Поток вектора D через поверхность S является скалярной величиной и определяется следующим выражением где dS - дифференциально малая вектор-площадка. Это вектор, модуль которого численно равен площади площадки и направлен в сторону внешней нормали к площадке (рис. 10). Следовательно, это векторное представление ориентированного в пространстве элемента площади.

Элемент потока dN = D dS является скалярным произведением данного вектора и вектор-площадки.

Интегрирование элементов потока по всей поверхности дает полную величину потока. Элемент потока макси- dS dS мален, если вектор D пересекает площадку по нормали, и равен нулю, если вектор направлен параллельно площадке (см. рис. 10).

Если исходным вектором является вектор Пойнтинга который имеет размерность поверхностной плотности мощности, то элемент потока этого вектора dN = П dS [Вт] представляет собой мощность, переносимую сквозь этот элемент поверхности.

Задача. Определить поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность цилиндрического проводника с током I, длиной l c радиусом поперечного сечения r и удельной проводимостью.

Задача решается в цилиндрической системе ко- r ординат, заданной системой ортов r0 0 = z0 (рис. 11). Вектор Пойнтинга определяется векторE ной комбинацией векторов напряженности электрической и магнитной компоненты П = E H. Выра- rd зим эти вектора через электрический ток на осноH вании дифференциальной формы закона Ома равномерном распределении тока в плоскости поперечного сечения По закону Ампера магнитная компонента на поверхности проводника а вектор Пойнтинга Поток вектора Пойнтинга подставляя модуль вектора, имеем Энергия, проникающая в проводник, поглощается им и рассеивается в виде тепла. При вычислении интеграла использовано выражение для элемента поверхности в цилиндрической системе координат dS = rddz.

тора D через поверхность, определяющую элемент объема в цилинд- d (рис. 12). Элемент объема dV образован координатными плоскостяz dr n ми:

Цилиндрическая система координат тов Поток вектора D через заданную поверхность содержит три составляющих. Каждая составляющая потока рассчитывается через пару граней фигуры вдоль соответствующей координаты. При этом нужно учитывать, что векторы единичных нормалей n для противоположных граней направлены в противоположные стороны (ориентированы в сторону внешних нормалей). Например, составляющая потока вдоль координаты z где индексы за скобками определяют верхнюю и нижнюю грань, а dl1, dl2 - это длины ребер, образующих данную грань. В криволинейных координатах в общем случае приращение координат dr, d, dz не совпадает с величиной смещения вдоль соответствующей координатной линии В данном случае это относится к угловой координате, при изменении которой координатная линия есть дуга окружности радиуса r.

Вдоль этой координаты наблюдаются линейные искажения. Вдоль координат z, r линейных искажений нет, поэтому h1 = h3 = 1.

Отметим, что полный дифференциал функции определяется следующим соотношением поэтому элемент потока вдоль координаты z записывается такой формулой Аналогично вычисляются элементы потока вдоль координат r и Общий поток через замкнутую поверхность, которая ограничивает заданный элементарный объем, Таким образом, рассчитанный поток представляет величину третьего порядка малости.

Поток вектора можно вычислить через его дифференциальный аналог - дивергенцию вектора. По определению дивергенция вектора – это объемная плотность потока Поэтому интегральную характеристику – поток можно рассчитывать путем интегрирования дивергенции по объему:

divD - объемная плотность потока, dN = divD dV - элемент потока, Два алгоритма вычисления потока определяют соотношение Остроградского-Гаусса Дивергенция – это скалярная функция, которая формально рассчитывается как скалярное произведение формального вектора «наdivD = D. В декартовой бла» и заданной векторной функции D системе координат оператор «набла» имеет следующий вид:

а собственно дивергенция В цилиндрической системе координат объемная плотность потока (дивергенция) рассчитыва6тся с учетом координатных искажений. Учитывая, что элемент объема dV = dl1dl2 dl3 = (h1dr )(h2 d )(h3dz ) = h1h2 h3drddz = rdrddz, принимая во внимание элемент потока dN получаем Очевидно, что в обобщенной криволинейной системе координат x1, x2, x3 выражение для дивергенции имеет вид Задача. Определить дивергенцию (расходимость) радиального симметричного векторного поля Применяя оператор «набла» в декартовой системе координат, получаем Задача. Определить поток вектора D, который задан точечным зарядом, через любую замкнутую поверхность, не охватывающую заряда где текущий радиус-вектор модуль вектора Так как поверхность не конкретизирована, при вычислении потока воспользуемся соотношением Остроградского-Гаусса т.е. рассчитываем поток через дивергенцию вектора Вычислим составляющие дивергенции Подставляя в предыдущее соотношение, имеем Используя симметричный характер поля, запишем по аналогии остальные компоненты дивергенции Общее выражение для дивергенции так как r 0, то после сокращения на r получаем divD = 0.

Следовательно, поток через любую заданную поверхность также будет нулевым. В любой точке пространства, исключая начало координат, расходимость линий вектора D отсутствует.

Циркуляцией вектора E по замкнутому контуру L по определению является интегральная сумма скалярных произведений данного вектора на дифференциально малый вектор перемещения вдоль заданного контура (рис. 13) Элементом циркуляции является проекция данного вектора на элементарный вектор перемещения Элемент циркуляции и сама циркуляция являются скалярными функциями.

Задача. Определить циркуляцию вектора E по дифференциально малому контуру в плоскости YOZ (рис. 14) Элементы циркуляции по сторонам 3 и 4 направлены против соответствующей оси координат, поэтому они взяты со знаком «минус».

Разность E z 2 E z 4 представляет собой изменение E z при изменении аргумента от y + dy до y, поэтому приращение функции можно представить как Разность E y1 E y 3 возникает при изменении аргумента от z до z + dz, поэтому Циркуляция вектора E по заданному элементарному контуру Задача. Определим циркуляцию вектора E в цилиндрической системе координат (рис. 15) так как dl = h d = rd.

аргументов Аналогично Циркуляция по заданному элементарному контуру В обобщенной криволинейной системе координат циркуляция по элементарному контуру (рис. 16) Дифференциальный аналог циркуляции – это ротор или вихрь вектора. По определению ротором вектора E является векторная функция, удовлетворяющая следующему предельному равенству где n0 - единичный вектор нормали к поверхности S, причем, этот вектор образует с направлением обхода правостороннюю систему (рис. 17).

Модуль ротора представляет собой поверхностную плотность циркуляции и имеет направление, совпадающее с максимальной плотностью циркуляции.

Циркуляция может вычисляться непосредственно через определение этой операции или через плотность циркуляции (ротор) Это соотношение носит название формулы Стокса.

Вычисление ротора. а). Декартова система координат. В частном случае, если контур, по которому вычисляется циркуляция, лежит в координатной плоскости YOZ, то ротор имеет одну составляющую.

Переходя от циркуляции по элементарному контуру к плотности циркуляции, имеем б). Цилиндрическая система координат. Контур лежит в плоскости в). Обобщенная система координат В общем случае при произвольной ориентации контура ротор имеет три проекции и вычисляется по формальному правилу с использованием оператора «набла» rotE = E. В декартовой системе координат при использовании правила расчета векторного произведения, а затем при обобщении имеем соответственно в частности, для цилиндрической системы Задача. Определить характер поля (вихревой или безвихревой), которое задано следующей векторной функцией Вычислим составляющие ротора Так как rotA = 0, то поле является безвихревым.

Сложные операции теории поля выполняются на основе оператора «набла», который в декартовой системе координат имеет следующий вид:

Этот оператор имеет две особенности: с одной стороны – это некоторая сложная производная, с другой – это некоторый формальный вектор. В зависимости от конкретной операции теории поля этот оператор может действовать на векторную функцию (векторное поле) E ( x, y, z ) или на скалярную функцию (скалярное поле) ( x, y, z ).

Причем, формальный вектор «набла» может действовать на векторное поле по принципу скалярного или векторного произведения:

E - скалярное произведение, E - векторное произведение.

Результатом скалярного произведения является скалярная функция теории поля – дивергенция (объемная плотность потока) а при векторном воздействии в результате получаем векторную функцию – ротор Воздействие оператора «набла» на скалярное поле в результате дает векторную функцию – градиент (направление и интенсивность наибольшего изменения потенциала скалярной функции) В некоторых двойных операциях теории поля оператор «набла» проявляет свои векторные свойства Операторы теории поля: div, rot, grad заменяются на и далее устанавливается принцип воздействия (скалярный или векторный) в зависимости от вида операции теории поля. Первое равенство представляет собой смешанное произведение трех векторов, а второе – векторное произведение двух векторов и некоторой скалярной функции. Смешанное произведение при двух совпадающих векторах равно нулю (нулевой объем параллелепипеда). Векторное произведение при двух совпадающих векторах также равно нулю (нулевая площадь параллелограмма) Следовательно, дивергенция (расходимость) линий ротора (вихрей) для любого вектора равна нулю (линии вихрей не расходятся). Вихри (роторы) линий градиента произвольной скалярной функции всегда равны нулю. Иначе говоря, поле градиента не является вихревым.

Определим вихри вихрей произвольного вектора E, т.е. rotrotE, для чего проводим формальную замену ротора на :

Здесь «набла» воздействует через векторное произведение, так как ротор – это вектор. Рассчитаем двойное векторное произведение с помощью скалярных произведений, воспользовавшись формулой где векторы в скобках перемножаются скалярно. Для нашего случая где оператор Лапласа в декартовой системе Возвращаясь к операторам теории поля, переписываем выражение в следующем виде Здесь учтено, что результатом скалярного произведения является скаляр (дивергенция – это скалярная функция). Воздействие «набла»

на скалярную функцию дает вектор (градиент).

При вычислении дивергенции и ротора от сложных полей оператор «набла» проявляет свойства формальной производной и формального вектора. Вычислить расходимость (дивергенцию) вектора Пойнтинга, исходя из заданных векторных полей E и H Действие «набла» рассматривается в два этапа. Вначале «набла»

воздействует как формальная производная, для чего применяем формулу производной от произведения В первом слагаемом «набла» воздействует на первый сомножитель (при константе второго сомножителя – индекс «с»). Во втором слагаемом ситуация противоположная.

На втором этапе преобразования «набла» рассматривается как формальный вектор, т.е. каждое слагаемое представляет собой смешанное произведение трех векторов. Зафиксированный вектор выносится за знак действия «набла», т.е. в смешанном произведении производится перестановка векторов. Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке векторов и изменяет свой знак при перестановке соседних векторов. Результаты перестановок отражает следующая формула Возвращаясь к операторам теории поля, получаем окончательную формулу Определим расходимость линий вектора сложного векторноскалярного поля Применяя формулу дифференцирования произведения, имеем Каждое слагаемое представляет скалярное произведение двух векторов, третий сомножитель является скалярной функцией. Перестановка сомножителей двух векторов в скалярном произведении не изменяет результат, поэтому Возвращаясь к операторам теории поля, получаем окончательно Определим вихри сложного векторно-скалярного поля Применим формулу дифференцирования выносим зафиксированные сомножителя за знак действия «набла»

переставляем сомножители в первом слагаемом (векторное произведение), изменяем знак, тогда окончательная формула принимает такой вид Определим расходимость сложного скалярно-градиентного поля После применения формулы дифференцирования выносим зафиксированные сомножители за знак действия «набла» (в первом слагаемом переставляем сомножители скалярного произведения) Возвращаясь к операторам теории поля, окончательно получаем Вычисление градиента от сложной функции очевидно из следующей формулы 3. Скалярный и векторный потенциал поля Уравнения Максвелла для статического поля являются частным вариантом этих уравнений, в которых отсутствуют временные производные или переходя к единому вектору, переписываем второе уравнение где для вакуума Обоснуем размерность абсолютной диэлектрической проницаемости. Размерность определяется из следующей последовательности формул:

тогда размерность Размерность этой величины может быть определена непосредственно из уравнения Максвелла Установим взаимосвязь между векторным полем статического электрического поля и некоторым скалярным полем ( x, y, z ).

Безвихревое поле имеет нулевое значение ротора rotE = 0, воспользуемся тождеством откуда следует искомая взаимосвязь Скалярная функция пространственных координат носит название скалярного потенциала. Напряженность поля можно интерпретировать как интенсивность изменения скалярного потенциала по пространственным координатам. Причем, вектор напряженности поля направлен от высокого потенциала к низкому, а вектор градиента – в противоположном направлении, в сторону увеличения потенциала.

Это замечание определяет знак «минус» в формуле градиента.

Определим работу, совершаемую статичеdl ским электрическим полем по перемещению положительного заряда q от координаты 1 с высоким потенциалом 1 в координату 2 с низким по- L По определению работы на криволинейном участке пути где в декартовой системе координат Осуществляя скалярное перемножение векторов, получаем Работа, совершаемая силами электрического поля, является положительной (роль знака «минус» в формуле градиента).

Особенности статического электрического поля. Поле является безвихревым rotE = 0, потенциальным (однозначно определяется скалярной функцией – потенциалом, связанным с напряженностью поля) E = grad, характеризуется нулевой циркуляцией Элемент работы в этом поле представляет полный дифференциал (при единичном заряде) Работа не зависит от формы пути, а определяется потенциалами начальной и конечной точки перемещения A = q(1 2 ).

Определим изменение потенциала поля при дифференциально малом перемещении в произвольном направлении.

Для этого нужно спроектировать вектор градиента на вектор перемещения, т.е. найти скалярное произведение этих векторов (рис. 19) Покажем, что вектор градиента перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности. Эквипотенциальная поверхность – это поверхность равного потенциала ( x, y, z ) = const (рис. 20). Возьмем элемент пере- dl мещения, принадлежащий поверхности уровня dl = const. Так как перемещение происходит по поверхности равного потенциала, то изменения потенциала нет d = dl grad = 0. Скалярное произведение равно нулю при взаимно-перпендикулярных векторах (нулевая проекция). Следовательно, градиент перпендикулярен эквипотенциальной поверхности. Направление градиента соответствует направлению максимального изменения потенциала. Действительно, приращение потенциала d максимально при максимальной величине проекции градиента на направление перемещения dl. Так как d = dl, то максимум приращения наблюдается при параллельности (коллинеарности) векторов.

Взаимное расположение эквипотенциальных линий 3 > 2 > 1, линий вектора E, а также самих векторов E и вектора градиента в некоторой точке M показано на рис. 21.

Задача. Определить направление наибольшего изменения потенциала электрического поля в точке A(1,2,1) с заданным скалярным потенциалом Направление наибольшего изменения потенциала определяет градиент потенциала В указанной точке зададим направление в виде единичного вектора Задача. Определить вектор напряженности статического электрического поля при заданной потенциальной функции По определению градиента безвихревого поля можно записать Задача сводится к вычислению Вычисляем проекции градиента, пользуясь формулой взятия производной от сложной функции Используя симметрию поля, записываем оставшиеся проекции суммируя векторные проекции, имеем Быстрее всего получить результат можно, если рассматривать как некоторую формальную производную и пользоваться правилами дифференцирования Сравнивая с предыдущей формулой, дополнительно имеем равенство Это же уравнение можно доказать непосредственно или сразу записать r = r0 путем интерпретации геометрического смысла градиента, который определяет направление наибольшего изменения функции, в данном случае – изменение расстояния от центра координат. Очевидно, что наиболее быстрое удаление от начала координат происходит при движении по радиальному направлению.

Результат от действия r должен быть безразмерным («набла» имеет размерность [1 м] ), поэтому радиальный вектор r нормируется к безразмерному единичному вектору r0.

Напряженность искомого поля имеет вид Вычисление градиента в обобщенных криволинейных координатах проводится с учетом коэффициентов искажений вдоль координатных линий.

Проекцией градиента на произвольное направление является приращение функции в этом направлении В частности проектирование градиента на координатный орт дает изменение функции вдоль этой координаты, поэтому Учитывая взаимосвязь линейных перемещений с координатными изменениями получаем разложение градиента в обобщенной системе координат ( x1, x2, x3 ) Задача. Исследовать поле вектора, заданного следующей векторной функцией Поле определяется его ротором и дивергенцией. Так как вектор имеет только одну проекцию, то линии вектора не могут быть замкнутыми, т.е. вихри отсутствуют, поэтому rotE = 0.

Запишем дивергенцию векторного поля Безвихревое поле позволяет определить его скалярный потенциал из выражения Двойной знак перед градиентом обусловлен знакопеременной функцией. Так как вектор исходного поля содержит только одну компоненту, то т.е. скалярный потенциал зависит только от координаты x Интегрируя это уравнение, получаем скалярный потенциал Задавая координату нулевого потенциала x = 0, = 0, определяем постоянную интегрирования и скалярный потенциал Задача. Исследовать поле вектора, заданного векторной функцией в сферической системе координат Определим ротор векторного поля Подставляя эти значения, имеем Для безвихревого поля можно найти скалярный потенциал Для заданного поля в сферической системе координат запишем откуда Интегрируя уравнение, имеем полагая, что при r = 0, получаем C = 0, т.е.

Уравнения Максвелла для стационарного магнитного поля имеют вид Следовательно, это поле - с нулевой дивергенцией, т.е. линии вектора поля не расходятся. Для такого поля вводится понятие векторного потенциала, на основании записывается тождество относительно некоторого вектора A т.е. линии ротора некоторого вектора A никогда не расходятся (непрерывны). Из этих двух равенств получаем Таким образом, вектор-потенциал A - это такой вектор, вихрь (ротор) которого определяет вектор исходного поля B.

Задача. Исследовать поле вектора, заданного векторной функцией в цилиндрической системе координат Определим дивергенцию вектора в данной системе координат Так вектор B имеет только одну проекцию, т.е. Br = Bz = 0, а векторная функция зависит только от координаты r, то divB = 0.

Определим ротор вектора в цилиндрических координатах При нулевой дивергенции вектора поля можно определить векторный потенциал из соотношения B = rotA, откуда получаем После интегрирования определяем величину потенциала полагая, что при r потенциал Az = 0, имеем, что C = 0, т.е. векторный потенциал 4. Обобщенные задачи электростатики и стационарного Общая задача электростатики заключается в определении потенциала поля при заданном распределении плотности зарядов. Из уравнений Максвелла для безвихревого поля записывается выражение для градиента причем, Подставляя во второе уравнение выражение для вектора E, получаем где Лапласиан в декартовой системе координат Дифференциальное уравнение Пуассона в операторной форме имеет следующий вид Конкретная задача определяется геометрией распределения зарядов и выбором соответствующей системы координат.

В обобщенной криволинейной системе координат Лапласиан определяется, исходя из дивергенции с подстановкой вместо проекций вектора A проекций градиента В результате подстановки получаем Решение уравнения Пуассона имеет следующий вид где R - текущее расстояние от точки наблюдения до элемента объема, в котором находится заряд.

Качественное обоснование этого решения можно провести путем обобщения решения для элементарной задачи взаимодействия двух точечных зарядов.

Элемент работы при перемещении единичного заряда в поле основного заряда q Полная работа на интегральном контуре отсюда получаем потенциал, создаваемый точечным зарядом, Проведем последовательное обобщение этой формулы на совокупность точечных зарядов (рис. 22) при линейном распределении зарядов с линейной плотностью (рис. 23) при поверхностном распределении зарядов (рис. 24) с поверхностной плотностью при объемном распределении зарядов (рис. 25) с объемной плотностью Напряженность поля в общем случае вычисляется через потенциал Оператор «набла» как формальная производная по пространственным координатам действует только на 1 R, так как пространственная область локализации зарядов и точка наблюдения, в которой определяется потенциал, пространственно разнесены.

Принимая во внимание получаем в частности, для точечного заряда Источником стационарного магнитного поля является область с распределенной в пространстве плотностью тока Поле с нулевой дивергенцией позволяет ввести векторный потенциал Определим взаимосвязь векторного потенциала с плотностью тока.

Подставляя выражение для вектора H в исходное уравнение Максвелла, имеем преобразуем левую часть уравнения (здесь применена формула двойного векторного произведения Положим, что divA = 0, тогда уравнение упрощается A = µj.

Используя аналогию со скалярным уравнением, запишем решение этого уравнения Определяем вектор H из найденного векторного потенциала преобразуем подынтегральное выражение здесь учтено, что j = rotj = 0, так как ротор вычисляется по координатам точек наблюдения, а во втором слагаемом используем очевидное равенство Вектор напряженности магнитного поля, создаваемого токами, распределенными в некотором объеме V с плотностью j ( x, y, z ), определяется следующим выражением где R - текущее расстояние от точки наблюдения до элемента объема dV.

1. Записать скалярное произведение двух векторов через их модули.

2. Дать геометрическую интерпретацию скалярного произведения.

3. Дать геометрическую интерпретацию скалярного произведения вектора на произвольный единичный вектор.

4. Представить прямоугольную базисную систему координат в виде правой тройки векторов. Записать скалярные произведения ортов.

5. Записать произвольный вектор в декартовой системе координат. Скалярное произведение произвольного вектора и орта.

6. Указать вектора электрического поля, их размерности. Вектор, не зависящий от свойств среды.

7. Физический смысл относительной диэлектрической проницаемости среды.

8. Какую величину определяет скалярное произведение векторов электрического поля E и D.

9. Записать векторные произведения двух векторов через их модули.

10. Дать геометрическую интерпретацию векторного произведения.

11. Векторные произведения ортов.

12. Дать геометрическую интерпретацию векторного произведения вектора на произвольный единичный вектор.

13. Записать векторное произведение заданного вектора, представленного в декартовой системе, на орт. Дать геометрическую интерпретацию.

14. Записать векторное произведение двух векторов в декартовой системе координат.

15. Какую величину определяет векторное произведение двух 16. Записать алгоритм вычисления двойного векторного произведения.

17. Записать алгоритм вычисления смешанного произведения в декартовой системе.

18. Геометрический смысл смешанного произведения. Свойство перестановочной симметрии.

19. Дать определение линии вектора. Записать определение в аналитической форме.

20. Найти проекции линий произвольного вектора (элемента длины линии) на координатные плоскости.

21. Дать определение дифференциальной векторной площадки (ориентированной в пространстве элемента площади).

22. Записать выражение для элемента потока вектора D через дифференциальную вектор-площадку.

23. Записать поток вектора D через интегральную поверхность S и определить его размерность.

24. Дать физическую интерпретацию потока вектора Пойнтинга.

25. Определить поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность отрезка цилиндрического проводника с током при известной удельной проводимости и его геометрических размеров: радиуса поперечного сечения и длины отрезка.

26. Рассчитать элементарный поток вектора D через элементарную поверхность, которая ограничивает цилиндрический элемент объема. Каков порядок малости этого элементарного потока.

27. Дать определение дивергенции вектора и записать предельную формулу.

28. Записать интегральную формулу вычисления потока через дивергенцию.

29. Записать тождественные формулы вычисления потока вектора: через объем тела; через площадь, которая ограничивает данный объем (формула Остроградского-Гаусса).

30. Записать оператор «набла», указать формальный смысл.

31. Формула вычисления дивергенции вектора через оператор «набла» (декартова система координат).

32. Получить формулу вычисления дивергенции вектора в цилиндрической системе координат.

33. Получить формулу вычисления дивергенции вектора в обобщенной криволинейной системе координат.

34. Определить дивергенцию (расходимость) радиального симметричного векторного поля.

35. Определить поток вектора, заданного точечным зарядом, через произвольную замкнутую поверхность, не охватывающую данный заряд.

36. Записать формулу циркуляции вектора E по произвольному контуру. Дать геометрическую интерпретацию.

37. Определить циркуляцию вектора E по дифференциально малому прямоугольному контуру, лежащему в плоскости YOZ.

38. Определить циркуляцию вектора E в цилиндрической системе по дифференциально малому координатному контуру, лежащему в координатной плоскости, r.

39. Определить циркуляцию вектора E в криволинейной системе координат по дифференциально малому контуру, лежащему в одной из координатных плоскостей.

40. Дать определение ротора вектора и записать предельную формулу. Геометрическая интерпретация формулы.

41. Записать интегральную формулу вычисления циркуляции вектора через его ротор.

42. Записать тождественные формулы вычисления циркуляции вектора: через поверхность фигуры; через контур, который ограничивает данную фигуру (формула Стокса).

43. Получить формулу вычисления X-ой проекции ротора вектора в декартовой системе с использованием предельной формулы (дифференциально малый контур в плоскости XOZ).

44. Получить формулу вычисления Z-ой проекции ротора вектора в цилиндрической системе координат с использованием предельной формулы (дифференциально малый контур в плоскости rO ).

45. Обобщить формулу, полученную в п.44 на обобщенную криволинейную систему координат.

46. Формула вычисления ротора вектора через оператор «набла»

(декартова система координат).

47. Записать формулу вычисления ротора вектора в обобщенной криволинейной системе координат.

48. Определить характер поля (вихревой или безвихревой) для заданного векторного поля.

49. Определить расходимость линий ротора вектора.

50. Имеют ли линии градиента произвольного скалярного поля вихревой характер.

51. Записать формулу вычисления вихря вихрей произвольного векторного поля.

52. Вычислить расходимость (дивергенцию) вектора Пойнтинга, исходя из заданных векторных полей E и H.

53. Определить расходимость линий вектора сложного векторноскалярного поля E.

54. Определить вихри сложного векторно-скалярного поля E.

55. Определить расходимость сложного скалярно-градиентного 56. Вычислить градиент сложного скалярного поля f ( ).

57. Определить расходимость линий вихрей произвольного вектора поля.

58. Определить вихри градиента произвольного скалярного поля.

59. Определить вихри вихрей произвольного вектора E.

60. Записать алгоритм вычисления расходимости линий вектора Пойнтинга.

61. Определить расходимость линий вектора мультипликативного скалярно-векторного поля.

62. Определить вихри мультипликативного скалярно-векторного 63. Определить расходимость сложного мультипликативного скалярно-градиентного поля.

64. Для статического электрического поля установить взаимосвязь между вектором напряженности и скалярным потенциалом.

65. Определить работу, совершаемую статическим электрическим полем по перемещению положительного заряда из координаты с высоким потенциалом в координату с низким потенциалом.

66. Сформулировать особенности статического электрического 67. Определить изменение потенциала статического электрического поля при дифференциально малом перемещении в произвольном направлении.

68. Показать, что вектор градиента перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности.

69. Показать, что направление вектора градиента соответствует максимальному изменению потенциала.

70. Определить направление наибольшего изменения потенциала для потенциального электрического поля = aqx y z в заданной точке A(1,2,1) .

71. Определить вектор напряженности статического электрического поля при заданной потенциальной функции = aq r.

72. Определить градиент симметричного радиального поля.

73. Получить выражение для градиента скалярного поля в обобщенной криволинейной системе координат.

74. Ввести понятие векторного потенциала для стационарного магнитного поля.

75. Исследовать векторное поле E = (2a sin ( x ))i.

76. Исследовать векторное поле B = a r 0 в цилиндрической системе координат.

77. Исследовать векторное поле E = a r r0 в сферической системе координат.

78. Получить выражение для скалярного потенциала статического электрического поля при заданном распределении плотности заряда.

79. Получить выражение для лапласиана (дивергенции градиента) в обобщенной криволинейной системе координат.

80. Дать качественное обоснование решения уравнения Пуассона в случае: точечного заряда, совокупности точечных зарядов, при линейном, поверхностном, и объемном распределении заряда с заданной плотностью.

81. Получить выражение для напряженности электрического поля при заданном объемном распределении зарядов с известной плотностью.

82. Получить выражение для вычисления векторного потенциала и напряженности стационарного магнитного поля при заданном распределении токов в пространстве.

1. Элементы векторной алгебры и теории поля…………………… 2. Основы теории поля. Интегральные и дифференциальные характеристики…………………………………………………………... 2.1. Поток вектора поля……………………………………………. 2.2. Дивергенция вектора………………………………………….. 2.3. Циркуляция вектора…………………………………………… 2.4. Ротор вектора…………………………………………………… 2.5. Составные операции теории поля………………………….. 3. Скалярный и векторный потенциал поля………………………… 3.1. Статическое электрическое поле……………….………….. 3.2. Стационарное магнитное поле………………………………. 4. Обобщенные задачи электростатики и стационарного магнитного поля………………………………………………………..… 5. Вопросы…………………………………………………………………

Похожие работы:

«ПРАКТИЧЕСКАЯ СТАБИЛОМЕТРИЯ КУБРЯК О.В., ГРОХОВСКИЙ С.С. СТАТИЧЕСКИЕ ДВИГАТЕЛЬНО-КОГНИТИВНЫЕ ТЕСТЫ С БИОЛОГИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ОПОРНОЙ РЕАКЦИИ 2012 УДК 612.88:616 ББК 56.12 Кубряк, О.В., Гроховский, С.С. К88 Практическая стабилометрия. Статические двигательнокогнитивные тесты с биологической обратной связью по  М.: ООО ИПЦ „Маска“, 2012 — 88 с. опорной реакции.  Появление доступного оборудования для стабилометрических исследований, включение его в стандарты оснащения медицинских...»

«Министерство образования и науки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики МГТУ МИРЭА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ЦЕЛЕВЫХ КУРСОВ Специалист по обслуживанию и наладке современных лазерных технологических комплексов на основе волоконных лазеров. Модуль ПМ 02. Наладка ЛТК на основе волоконных лазеров Форма обучения: очная 2012 г. Состав...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный медицинский университет им. В.И. Разумовского Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию ПРОГРАММА И ДНЕВНИК ПРАКТИКИ СТУДЕНТА IV КУРСА по специальности Стоматология Помощник врача стоматолога-ортопеда Методические указания и программу практики Помощник врача стоматолога-ортопеда студенты IV курса стоматологического факультета получают в 8 семестре. Программа...»

«Согласовано Согласовано Утверждаю Руководитель МО Заместитель директора по УВР Директор МБОУ Гимназия №86 МБОУ Гимназия № 86 _ / / _ / / Протокол № от Приказ № от _ / / _ _ 2013 г. _ _ 2013 г. _ _ 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА Петрова Ольга Николаевна, высшая _ Ф.И.О., категория Информатика и ИКТ, 10-11 классы по предмет, класс 2013 - 2014 учебный год 1. Пояснительная записка Рабочая программа курса Информатика и ИКТ составлена на основе авторской программы профильного курса Информатика и...»

«В ПОМОЩЬ МОЛОДОМУ НАЧИНАЮЩЕМУ УЧЕНОМУ: ОСНОВЫ КОММЕРЦИАЛИЗАЦИИ И ТРАНСФЕРА ТЕХНОЛОГИЙ Настоящее информационно-методическое пособие разработано в рамках проекта Развитие системы популяризации и вовлечения молодежи в научную и инновационную деятельность, реализуемого Ассоциаций агентств поддержки малого и среднего бизнеса Развитие в Нижегородской области. При реализации проекта используются средства государственной поддержки, выделенные в качестве гранта в соответствии с Распоряжением Президента...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ М.И. Яськов ПОЧВОВЕДЕНИЕ Учебное методическое пособие Для студентов, обучающихся по специальности 020802 Природопользование Горно-Алтайск РИО Горно-Алтайского госуниверситета 2009 Печатается по решению методического совета Горно-Алтайского государственного университета УДК ББК Яськов М.И. Почвоведение: учебно-методическое пособие. -...»

«ПРОГРАММА учебной дисциплины Проектирование швейных предприятий и методические указания по ее изучению студентами заочной формы обучения специальности 280800 Иваново 2006 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановская государственная текстильная академия Кафедра технологии швейных изделий ПРОГРАММА учебной дисциплины Проектирование швейных предприятий и методические указания по ее изучению студентами заочной формы...»

«Министерство образования Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Баденко В.Л., Гарманов В.В., Осипов Г.К. Государственный земельный кадастр Учебное пособие Под редакцией проф. Арефьева Н.В. Санкт-Петербург Издательство СПбГПУ 2002 УДК 332.33 (075*8) Государственный земельный кадастр. Учебное пособие / Баденко В.Л., Гарманов В.В., Осипов Г.К. Под ред. проф. Н.В.Арефьева СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2002, 331 с. В пособии рассматриваются вопросы содержания и методики ведения...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ БРЯНСКИЙ ФИЛИАЛ ИНФОРМАТИКА Задания на курсовую работу для студентов II курса заочной формы обучения технических специальностей Брянск 2012 Разработал: к.т.н., доц. С.П. Новиков Методические указания и задания по выполнению курсовой работы по дисциплине Информатика для студентов II курса заочной формы обучения технических специальностей. © Новиков С.П, 2012 © БФ РГСУ, 2012 2 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Современный уровень развития компьютерной техники...»

«РАССМОТРЕНО на заседании МО УТВЕРЖДАЮ Председатель МО Директор ГБОУ СОШ № 198 _ Балобанова Э.Ф. _ Милосердова Г.В. Протокол № 1 от 28 августа 2014 г. Приказ № 207 от 29 августа 2014 г. Рабочая программа по географии 8 класс на 2014-2015 учебный год Авторы программы И.И. Баринова. Данная программа опубликована в учебном издании Программы общеобразовательных учреждений. География. 6-11 классы. Составитель В.В.Курчина— М.:Дрофа, 2011г. 68 часов, 2 часа в неделю практических работ - 17,...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет В.Е. Семенов АНАЛИЗ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДАННЫХ В СОЦИОЛОГИИ Учебное пособие Владимир 2009 УДК 316.1 ББК 60.504 С30 Рецензенты: Доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой социально-гуманитарных дисциплин Владимирского филиала Российской академии государственной службы при президенте РФ Е.А. Плеханов Доктор философских наук, профессор...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им. А.С. ПОПОВА Кафедра экономики предприятия и корпоративного управления Потапова-Синько Н.Е., Отливанская Г.А. ЭКОНОМИКА ПРЕДПРИЯТИЯ Учебное пособие для подготовки студентов по направлениям Экономика предприятия, Менеджмент (для иностранных студентов) Одесса – 2013 УДК 338.47 План УМН 2013 г. Рецензенты: Бобровничая Н.С. к.э.н., доц., заведующая кафедрой управления проектами и системного анализа ОНАС им. А.С....»

«А.В. Линецкий, М.Ю. Гаспарян, Е.Ю. Родина Стандарты аудита – практика применения Москва 2008 Рецензенты: А.Д. Шеремет, Заслуженный профессор МГУ им. М.В. Ломоносова, Заслуженный деятель науки РСФСР, Заслуженный экономист РФ, заведующий кафедрой учета, анализа и аудита МГУ, доктор экономических наук. В.Т. Чая, Исполнительный директор международной общественной организации Ассоциация бухгалтеров и аудиторов Содружество, главный научный сотрудник кафедра учета, анализа и аудита экономического...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЮРИДИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, проректор по учебной работе С.Н. Туманов 20 июня 2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Уголовное право по направлению подготовки 030900.62 – Юриспруденция Саратов – 2012 Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры уголовного и уголовно-исполнительного права 25 мая 2012 г. Протокол №...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Шуйский филиал Кафедра теории и методики физической культуры и спорта УТВЕРЖДЕН постановлением учёного совета протокол № _ от 20 г. Председатель совета, директор А.А. Михайлов УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Для дисциплины Базовые и новые физкультурно-спортивные виды Базовые физкультурно-спортивные виды...»

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЕННО-МЕДИЦИНСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ВОЕННО-ПОЛЕВОЙ ТЕРАПИИ А. А. БОВА, П. В. КРИУШЕВ МЕТОДИКА НАПИСАНИЯ РЕФЕРАТА ПО ВОЕННО–ПОЛЕВОЙ ТЕРАПИИ Методические рекомендации Минск БГМУ 2009 УДК 615-057.3 (075.8) ББК 53.5 я 73 Б 72 Рекомендовано Научно-методическим советом университета в качестве методических рекомендаций 28.01.2009 г., протокол № 5 Р е ц е н з е н т ы : гл. терапевт ВС Республики...»

«Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Юридический институт Кафедра теории и истории государства и права ИСТОРИЯ ОТЕЧЕСТВЕННОГО ГОСУДАРСТВА И ПРАВА учебно-методическое пособие Направление 030900.62 Юриспруденция квалификация Бакалавр юриспруденции Разработчик: кандидат юридических наук, доцент Романов Игорь Евгеньевич Санкт-Петербург 2012 Учебно-методическое пособие по дисциплине История отечественного государства и права составлено в соответствии с...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра лесных машин и технологии лесозаготовок ЛЕСОТРАНСПОРТНЫЕ МАШИНЫ Программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности 1-36 05 01 Машины и оборудование лесного комплекса специализации 1-36 05 01 01 Машины и оборудование лесной промышленности заочной формы обучения Минск 2010 УДК 630*37(075.4) ББК 43.904я73 Л50 Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционноиздательским советом...»

«М.Э. СЕЙФУЛЛАЕВА МЕЖДУНАРОДНЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ Допущено Советом УМО по образованию в области менеджмента в качестве учебного пособия по дисциплине специализации Менеджмент организации Второе издание, стереотипное удК 65.0(075.8) ББК 65.290-2я73 С28 рецензенты: а.П. Панкрухин, проф. кафедры менеджмента Российской академии государственной службы при Президенте РФ, д-р экон. наук, В.а. уразов, заместитель Председателя Московской Конфедерации промышленников и предпринимателей, проф. Сейфуллаева М.Э. С28...»

«Немецкий язык 1- ый вариант Выполните письменную контрольную работу по следующим вопросам: Проработайте по рекомендованным ниже учебным пособиям следующие разделы грамматики: 1. Местоименные наречия. 2. Инфинитивные группы и инфинитивные обороты с um.zu, statt.zu, ohne.zu. 3. Модальные конструкции haben или sein + zu + инфинитив, lassen sich+Infinitiv. 4. Распространенное определение. 5. Обособленный причастный оборот. 6. Образование временных форм конъюнктива и кондиционалиса I. Употребление...»




























 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.