WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВМАТЕМАТИКОВ Под редакцией профессора В.А. Макарова ЧАСТЬ III Н.В. Нетребко, И.П. Николаев, М.С. Полякова, В.И. Шмальгаузен ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ МОСКВА 2006 УДК 530.1 ...»

-- [ Страница 1 ] --

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

ПРАКТИЧЕСКИЕ

ЗАНЯТИЯ

ПО ФИЗИКЕ

ДЛЯ СТУДЕНТОВМАТЕМАТИКОВ

Под редакцией

профессора В.А. Макарова

ЧАСТЬ III

Н.В. Нетребко, И.П. Николаев,

М.С. Полякова, В.И. Шмальгаузен

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

И МАГНЕТИЗМ

МОСКВА

2006 УДК 530.1 (075.8) ББК 22.2 Н62 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова Рецензенты:

заведующий кафедрой общей физики физического факультета МГУ профессор А.М. Салецкий, заведующий кафедрой физики и прикладной математики Владимирского госуниверситета профессор С.М. Аракелян Под редакцией профессора В.А. Макарова Нетребко Н.В., Николаев И.П., Полякова М.С., Шмальгаузен В.И.

Н62 Электродинамика: Учебно-методическое пособие. – М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД №05899 от 24.09.2001 г.), 2006. 327 с.: ил. (Практические занятия по физике для студентов-математиков. Под ред. В.А. Макарова. Часть III) ISBN 5-89407-263- Пособие составлено в соответствии с программой раздела "Электричество и магнетизм" курса физики по специальности "Прикладная математика". В начале каждого параграфа даются краткие теоретические сведения по рассматриваемой теме.

Затем приводятся решения и подробный анализ шести – десяти типовых задач, достаточно полно раскрывающих тему. В конце параграфов предлагаются задачи для самостоятельного решения. Все задачи тщательно отобраны с целью обеспечения сведений и навыков, которые необходимо приобрести студентам при самостоятельном изучении электромагнитных явлений. Всего в пособие включено около 400 задач, из которых свыше 100 снабжено решениями и анализом.

Пособие предназначено для студентов математических специальностей классических университетов. Оно может оказаться также полезным преподавателям высших учебных заведений при подготовке и проведении практических занятий по физике со студентами различных специальностей. Отдельные задания можно использовать в курсах теоретической электротехники и теории волн.

Ил. 183.

УДК 530.1(075.8) ББК 22. ISBN 5-89407-263-8 © Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, © Нетребко Н.В., Николаев И.П., Полякова М.С., Шмальгаузен В.И., Оглавление Оглавление Предисловие редактора...................................... §1 Электрическое поле.................................... §2 Потенциал электрического поля.......................... §3 Проводники и диэлектрики в элекрическом поле. Теорема Гаусса §4 Уравнения электростатики............................... §5 Электроемкость. Энергия электрического поля.............. §6 Квазистационарные токи. Закон Ома. ЭДС................. §7 Магнитное поле квазистационарных токов.................. §8 Магнитное поле в веществе.............................. §9Магнитный поток. Индуктивность. Энергия магнитного поля... §10 Закон электромагнитной индукции....................... §11 Уравнения Максвелла.................................. §12 Электрические цепи. Правила Кирхгофа................... §13 Электромагнитные волны................................ §14 Задачи повышенной трудности........................... §15 Ответы.............................................. ПРИЛОЖЕНИЕ.......................................... ЛИТЕРАТУРА........................................... Предисловие редактора Настоящий том является третьим, в состоящей из пяти томов серии учебных пособий («Механика», «Молекулярная физика и термодинамика», «Электродинамика», «Волновые процессы и оптика», «Квантовая механика»), написанных на основе более чем тридцатилетнего опыта преподавания физики студентам факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ им. М.В. Ломоносова.

В начале каждого раздела дается краткое изложение теории в объеме, необходимом для решения задач, далее приводится подробное решение и анализ нескольких типовых задач, затем сформулированы задания для самостоятельной работы. К ним даны ответы и необходимые указания.

Сложность задач соответсвует математической подготовке студентовматематиков, которой они обладают на момент начала изучения курса.

Читателю должно быть ясно, что глубокое изучение физики должно базироваться на проверенных временем классических учебниках, и помeщенные в пособии краткие теоретические сведения носят справочный характер и не могут их заменить.

Хочется отметить большое внимание, уделяющееся руководством факультета ВМК МГУ преподаванию физики. Усилиями деканов (академика А.Н.Тихонова, член-корреспондента Д.П.Костомарова, академика Е.И.Моисеева), а также профессоров М.М.Хапаева, Е.В.Шикина и доцентов В.Г.Сушко, Б.И.Березина, занимавшихся в разные годы организацией учебного процесса на этом факультете, сформировался высокий уровень требований к обучению физике. Это способствовало формированию педагогических традиций преподавания физики студентам-математикам, которые бережно сохраняются и развиваются на кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ. От лица авторов пособия выражаю глубокую благодарность всем преподавателям и научным сотрудникам кафедры, ведущим занятия на факультете ВМК и способствовавшим становлению этого курса. Глубоко признателен также профессорам А.М.Салецкому и С.М.Аракеляну за рецензирование пособия и ценные критические замечения.



Учебное пособие написано в рамках инновационного проекта в 2006 г.

Электрические заряды. Все атомы и молекулы включают в свой состав частицы, обладающие свойством притягивать или отталкивать другие подобные частицы. Количественная мера такого взаимодействия частиц называется электрическим зарядом. Различают два типа зарядов:

положительные и отрицательные. Носителем отрицательного заряда является электрон, а положительного - протон. Заряд электрона по абсолютной величине равен заряду протона и составляет элементарный (наименьший возможный) электрический заряд e = 1,6021892 10 19 Кл. В системе СИ заряд измеряется в кулонах: 1Кл = 1А 1с, где ампер единица измерения силы тока (см. параграф 7). О наличии зарядов можно судить по их взаимодействию. В природе существует закон сохранения заряда: суммарный заряд, находящийся на изолированной системе тел остается неизменным.

Закон Кулона. Два точечных заряда (заряженных тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними) взаимодействуют с силой, прямо пропорциональной величинам зарядов q1, q 2 и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

Эта сила направлена по прямой, соединяющей заряды, и является силой притяжения для разноименных зарядов и отталкивания для одноименных (вектор r направлен в сторону того заряда, для которого рассчитывается сила). Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора единиц измерения и в системе СИ равен k = 9 10 9 Н м 2 / Кл 2.

электрическая постоянная. Размерность можно записать по-другому:

Кл 2 / Н м 2 = Ф / м, где Ф фарад, единица измерения емкости (см.

параграф 5).

Если при внесении в некоторую точку пространства заряженного тела на него действует сила, пропорциональная его заряду (например, со стороны других зарядов), то говорят, что в этой точке существует электрическое поле.

Напряженность электрического поля. Векторную величину, равную отношению силы, действующей на точечный заряд, к величине этого заряда называют напряженностью электрического поля Напряженность не зависит от величины заряда q, а определяется величиной и расположением зарядов, действующих на него.

Пусть в начале координат находится заряд Q. Тогда согласно (1.1) и (1.2) напряженность электрического поля, создаваемого зарядом Q в произвольной точке М, характеризуемой радиус-вектором Силовой линией называют линию, касательная к которой в каждой точке пространства совпадает с направлением вектора E в этой точке.

Примеры картин силовых линий для простейших систем точечных зарядов показаны на рис.1.2.

Важный частный случай такой системы – диполь (см. рис.1.2б).

Диполь состоит из двух равных по величине зарядов противоположного знака, находящихся на расстоянии l друг от друга. Диполь характеризуется дипольным моментом (электрическим моментом) где вектор l проводится от отрицательного заряда к положительному. Поле, создаваемое диполем, во многих случаях рассматривается на расстояниях, много больших, чем l. Тогда диполь называют точечным, а его поле однозначно определяется дипольным моментом p e.

Пример 1. 1. В трех вершинах правильного тетраэдра с длиной ребра a находятся заряды q, а в четвертой - заряд Q. Найдите силу, действующую на каждый из зарядов.

результирующая сила равна F = F1 + F2 + F3. Ось 0 z направим по высоте тетраэдра OD, а плоскость x0 y совместим с плоскостью основания тетраэдра ABC. В силу симметрии проекции сил Fi на плоскость x0 y равны по модулю, а углы между ними составляют 1200. Их сумма равна нулю, или Окончательно сила, действующая на заряд Q, направлена вдоль оси 0 z и Найдем силы, действующие на заряды q i. В силу симметрии можно рассмотреть только заряд, находящийся в вершине А. На него со стороны зарядов, находящихся в вершинах В и С, согласно закону Кулона действуют F ' = Fx2 + F12 2 Fx F1 cos( ). Из рассмотрения треугольника ADO следует, что Подставив найденное значение в выражение для F ', окончательно получим Пример 1.2. Два одинаковых положительных заряда q находятся в точках А и В на расстоянии 2a друг от друга. Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке на прямой, соединяющей эти точки, а также на оси, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей через его середину (точка О).

Подставляя E A, окончательно получим один величиной 2q и напряженность поля на достаточном удалении от зарядов задается законом Кулона.

Напряженность поля в точке N (x,0,0) также равна сумме E A + E B, где обе напряженности направлены вдоль оси 0 x в одну сторону, если x > a, и в разные стороны в противном случае. Их модули согласно (1.3) напряженность в точке N равна Пример 1.3. Как изменится поле в точках M и N примера 2, если заряд в точке B заменить равным, но противоположным по знаку зарядом?

Решение. При изменении знака заряда в точке В направление вектора противоположное (рис.1.6). В этом вдоль оси 0 x и равно дипольным моментом p e = 2qa, которое спадает с расстоянием как.

В точке N (x,0,0) напряженность поля также направлена вдоль оси 0 x и равна Зависимость E x (N ) от координаты x иллюстрирует рис.1.7б. При же дипольным моментом.

Пример 1.4. Заряд Q равномерно распределен по кольцу с радиусом a.

Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра.

Решение.

плоскостью кольца, а ось 0 z с его осью симметрии. Выберем на кольце произвольную точку N (см. рис.1.8), определяемую углом, отсчитываемым от оси 0 x в плоскости кольца.

Вектор dE направлен вдоль отрезка NM и его проекции на оси 0 x, 0 y, 0 z будут равны Интегрируя выражения (1.9) по от 0 до 2, находим проекции поля, создаваемого в точке M зарядом q, распределенным по всему кольцу:

При решении задачи можно было бы воспользоваться симметрией распределения заряда. Для этого выберем на кольце две точки N и N ' на противоположных концах диаметра. Точка N характеризуется углом, отсчитываемым от оси 0 x. Дадим углу малое приращение d. Получим два одинаковых заряда примере 2, оно направлено по оси 0 z и его модуль задается выражением (1.6), в котором заряд q следует заменить на dq = далее по углу от 0 до, находим поле, создаваемое всеми зарядами на кольце, то есть опять приходим к выражению для E z (1.10).

условием Пример 1.5.

Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства M.

Решение. Проведем ось 0 z из центра сферы через выбранную точку М (см.

рис.1.9). Разобьем сферу на кольца. В сферической системе координат r,,, кольцо на сфере задается углом, а его ширина - приращением угла d. На нем Расчет поля проведем для трех случаев:

Согласно (1.10) поле, создаваемое в точке М этим зарядом, равно Поле от всей сферы получим, проинтегрировав по углу от 0 до. Применяя замену переменной t = cos, находим Здесь учтено, что z > a.

Иными словами, поле вне сферы совпадает с полем, создаваемым точечным зарядом Q, помещенным в центр сферы.

Для поля внутри сферы согласно (1.11а) :

Изменятся также значения интеграла I (n ),причем Подставляя эти значения в (1.11б), получаем E z = 0. Видим, что поле внутри сферы отсутствует.

Подставляя в (1.11а) z = a, находим Поле на поверхности сферы вдвое меньше поля в точках, находящихся вне сферы вблизи ее поверхности.

Разрывный характер поля в точках заряженной поверхности связан с пренебрежением ее реальной толщиной. Если рассмотреть заряженный сферический слой малой, но конечной толщины, то напряженность электрического поля внутри слоя будет непрерывно изменяться от нуля до максимального значения. Величина (1.11в) при этом соответствует среднему значению напряженности внутри слоя.

Пример 1.6. Шар радиусом R равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда поля в произвольной точке M вне и внутри шара.

Решение. При решении воспользуемся результатом, полученным в предыдущем примере и принципом суперпозиции. Разобьем шар на сферы.

Произвольная сфера имеет радиус r и толщину dr, при этом на ней равномерно распределен заряд dq = 4r 2 dr. Для r > R поле от каждой сферы, как было показано в примере 5, равно dE = и направлено по радиусу от центра сферы. Поле всего шара будет равно сумме полей отдельных сфер. Так как напряженности от различных сфер в каждой точке направлены по одной прямой, то векторная сумма сведется к алгебраической и будет равна Здесь Q - заряд всего шара.

Для r < R вклад в поле будут давать только заряды на сферах, радиус которых не превышает r, или Здесь заряд Q ' заключен внутри шара радиусом r. В этом случае Е непрерывная на границе шара функция.

Пример 1.7. Тонкая палочка длины l заряжена равномерно с линейной плотностью. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого зарядом на палочке, в произвольной точке пространства М.

dq = d в поле согласно закону Кулона равен Поле от всего заряда, распределенного по палочке, получим, проинтегрировав (1.14) и (1.15) по от 0 до l :

Заметим, что последние формулы можно представить в виде:

В этих формулах углы 1 и 2 образованы положительным направлением оси 0 x и прямыми, соединяющими концы палочки с точкой Отметим, что выражение (1.17) для E y при y 0 ( x > l ) приводит к неопределенности типа. При малых y формулу (1.17) следует преобразовать, например, взяв лишь первый отличный от нуля член разложения E y в ряд Тейлора около значения y = 0 :

Бесконечности, возникающие в выражениях (1.16)-(1.18) на концах палочки, связаны с тем, что при расчете полей толщина палочки считалась равной нулю. Поэтому поле в непосредственной близости от поверхности палочки на самом деле будет отличаться от поля, задаваемого выражениями (1.16)-(1.18). Тот факт, что напряженность поля минимальна в середине палочки и растет к ее концам, связан с тем, что для точек, лежащих на равном расстоянии от концов палочки, вклад в поле зарядов, находящихся симметрично на разных половинах палочки, максимально компенсируется при сложении полей.

Аналогичная компенсация имеет место и для палочки конечной толщины. Поэтому поле равномерно заряженной палочки максимально вблизи ее концов.

Пример 1.8.Тонкая палочка длины l заряжена так, что линейная плотность заряда линейно зависит от расстояния до центра палочки. Полный заряд палочки равен нулю. Половина палочки несет заряд q. Вычислите дипольный момент палочки p e.

Решение. Направим ось 0 x вдоль палочки, совместив при этом ее начало с серединой палочки. Выделим на палочке два маленьких кусочка длиной dx с координатами x и - x. На них располагаются равные по величине и различные по знаку заряды dq и - dq, причем dq = dx. По условию задачи = x. Значение постоянной выразим через заряд половины палочки q Заряды dq и - dq образуют диполь с дипольным моментом dp e = 2 xdq = просуммировав дипольный момент по всей палочке Направлен дипольный момент вдоль палочки, от отрицательно заряженного конца к положительному.

1.1. Три одинаковых точечных заряда q расположены в вершинах каждый заряд, была равна нулю?

1.2. Найдите модуль и направление напряженности поля E в центре кольца радиуса a, в котором сделана прорезь ширины b 0.

1.3. Найдите отношение силы электростатического отталкивания двух электронов к силе их гравитационного притяжения. Масса электрона 1.4. Вычислите ускорение a, сообщаемое одним электроном другому, находящемуся от первого на расстоянии r = 1мм. Масса электрона m = 9,1 10 31 кг, заряд электрона e = 1,6 10 19 Кл.

1.5. Две бесконечно длинные параллельные нити, заряженные с одинаковой линейной плотностью = 3 10 6 Кл / м, находятся на расстоянии b = 20 мм друг от друга. Какая сила F действует на единицу длины каждой нити?

1.6. Бесконечная прямая нить, равномерно заряженная с линейной плотностью 1, и отрезок длины l, равномерно заряженный с линейной плотностью 2, расположены в одной плоскости перпендикулярно друг другу. Расстояние между нитью и ближайшим к ней концом отрезка равно r0. Найдите силу, с которой нить действует на отрезок.

1.7. В вершинах правильного шестиугольника со стороной a помещаются точечные заряды одинаковой величины q. Найдите напряженность поля в центре шестиугольника при условии, что а) знак всех зарядов одинаков, б) знаки соседних зарядов противоположны.

1.9. По круглой очень тонкой пластинке радиуса a равномерно распределен заряд Q. Найдите напряженность поля на оси, перпендикулярной к плоскости пластинки, как функцию расстояния z от ее центра. Исследуйте полученное выражение для z > a.

1.10. Найдите напряженность поля, создаваемого плоским равномерно заряженным кольцом, на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр. Поверхностная плотность заряда равна, внутренний радиус кольца равен R1, его внешний радиус - R2.

1.11. На плоскости распределен положительный заряд с поверхностной плотностью. На другой, параллельной ей плоскости, отстоящей от первой на расстоянии d, распределен отрицательный заряд с вдвое большей плотностью. Нарисуйте картину силовых линий поля, создаваемого зарядами на плоскостях.

1.12. Полусфера радиуса R заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда. Найдите напряженность электрического поля в центре полусферы.

1.13. Внутри шара радиуса R, заряженного с постоянной объемной плотностью, имеется сферическая полость радиусом r, в которой заряды отсутствуют. Центр полости смещен относительно центра шара на расстояние a ( a + r < R ). Найдите напряженность электрического поля внутри полости.

1.14. В модели атома Томсона предполагалось, что положительный заряд e распределен внутри шара радиусом R = 10 8 см. Как должна зависеть от радиуса плотность положительного заряда, чтобы электрон (точечная частица с отрицательным зарядом e ), помещенный внутри шара, совершал гармонические колебания? Найдите частоту колебаний электрона. Заряды механически друг на друга не действуют. Магнитным полем движущегося заряда пренебречь. Масса электрона m = 9,1 10 31 кг.

1.16. Бесконечная прямолинейная полоса шириной 2l заряжена с постоянной поверхностной плотностью. Найдите напряженность электрического поля в точке, отстоящей от полосы на расстояние h. Точка находится на перпендикуляре, восстановленном из середины полосы.

Две соседние стороны квадрата несут общий заряд + q, равномерно распределенный по их длине. Две другие стороны имеют общий заряд q.

Определите напряженность электростатического поля в центре квадрата.

1.19. Две нити, совпадающие с положительными полуосями декартовой системы координат x0 y, равномерно заряжены с линейной плотностью.

Найдите напряженность электрического поля в точке M(a,a) a>0..

1.20. Три нити, совпадающие с положительными полуосями декартовой системы координат, равномерно заряжены с постоянной линейной плотностью. Найдите напряженность электрического поля в точке M(a,a,a) a>0.

1.21. Две полубесконечные нити, равномерно заряженные с линейной плотностью, сложены так, что образуют прямой угол. Найдите величину напряженности электрического поля во всех точках прямой 0 z, проходящей через вершину угла перпендикулярно плоскости, в которой лежат нити.

Сила называется потенциальной, если ее работа вдоль любой замкнутой траектории равна нулю. Кулоновские силы удовлетворяют этому условию, поэтому Fdr = q Edr = 0, где F – сила, действующая на пробный заряд Условие потенциальности электростатического поля можно записать в виде:

Из этого равенства, на основании теоремы Стокса, следует Потенциалом электрического поля в точке М называют работу, которую совершает поле при перемещении единичного заряда из этой точки в точку О, где договорились считать потенциал равным нулю:

В силу потенциальности электростатического поля, значение этого интеграла не зависит от выбора траектории интегрирования. Выбор точки О произволен и диктуется соображениями удобства. Обычно за нуль принимают потенциал бесконечно удаленной точки.

Как следует из (1.3) и (2.3), потенциал в точке М, удаленной на расстояние r от точечного заряда q, равен Для потенциальной силы можно ввести потенциальную энергию W p = q, где функция не зависит от величины пробного заряда.

Для потенциала, как и для напряженности, справедлив принцип суперпозиции: потенциал поля, создаваемого несколькими зарядами, равен сумме потенциалов, создаваемых каждым из них в предположении, что остальные отсутствуют.

Потенциал диполя на расстояниях, много больших его собственного размера, (потенциал точечного диполя) однозначно выражается через его дипольный момент p e (см. Пример 2):

где r – вектор, соединяющий центр диполя с точкой M.

Если в некотором объеме V распределен заряд с объемной плотностью r, то потенциал, создаваемый этим зарядом в произвольной точке пространства М, определяется как Напряженность электростатического поля однозначно связана с его потенциалом. При этом соотношение, обратное (2.3), имеет вид:

Применяя эту формулу к (2.5) можно найти напряженность поля точечного диполя:

где n – единичный вектор, направленный вдоль r.

Эквипотенциальными поверхностями называют поверхности равного потенциала. Так как компонента вектора grad, касательная к эквипотенциальной поверхности, всегда равна нулю, силовые линии поля в каждой точке направлены по нормали к соответствующей эвипотенциальной поверхности (см. Рис 2.4).

Пример 2.1. Найдите работу, совершаемую силами однородного поля напряженности E над зарядом q при его перемещении из точки 1 с радиусвектором r1 в точку 2 с радиус-вектором r2 по произвольной траектории.

Решение. По определению работы dA = F dr. Для однородного поля F = q E, откуда Пример 2.2. Найдите потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого точечным диполем с дипольным моментом p e.

Решение. Направим ось 0 x из середины отрезка, соединяющего заряды диполя, от отрицательного заряда к положительному.

Положение точки М пространства будем описывать радиус-вектором r.

рис.2.1, получим Здесь p e = q l дипольный момент диполя.

Напряженность поля по известному потенциалу найдем согласно (2.7). Применяя к (2.11) формулы векторного анализа (см. Приложение ) получим:

Пример 2.3. Определите силу, действующую на точечный диполь с дипольным моментом p e в неоднородном электрическом поле E r.

Решение. Рассмотрим диполь малого, но конечного размера (см. рис.2.1).

Проекция силы, действующей на диполь, на ось 0 x равна напряженность поля в окрестности начала координат, получим Аналогично выводятся соотношения для F y = p e E y и Fz = pe E z.

Полученные скалярные равенства можно объединить в одно векторное находящихся на расстоянии r >> li ( l i размер i го диполя) друг от друга. Дипольные моменты диполей p1 и p 2.

Решение. Энергия взаимодействия двух диполей - это дополнительная энергия, которая появляется у диполя в поле, создаваемом другим диполем. Для диполя p 2 она равна (рис.2.2) потенциал, создаваемый диполем где p 1, задается выражением (2.11). Подставляя его в W2, получаем параметру. Отбрасывая в разложении члены порядка Пример 2.5. В условии примера 4 из первого параграфа определите потенциал в произвольной точке М на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра. Используя найденное выражение для потенциала, найдите напряженность электрического поля в точке М.

Решение. Так же как и в примере 4 из первого параграфа введем координаты точки M (0,0, z ) и точечный заряд на кольце (точка N на кольце характеризуется углом, отсчитываемым от оси 0 x, которому даем приращение d ) (см. рис.1.8). Потенциал заряда dq в точке М равен Интегрируя по от 0 до 2, окончательно получаем Используя (2.7), находим напряженность на оси кольца что совпадает с выражением (1.10), полученным ранее в параграфе 1.

Пример 2.6. Диск радиусом a заряжен с поверхностной плотностью.

Найдите потенциал в произвольной точке на оси диска, перпендикулярной к его плоскости.

Решение. Разобьем диск на кольца радиусом и толщиной d. На таком кольце находится заряд dq = 2 d. Потенциал на оси такого кольца найден ранее в примере 5 данного параграфа и задается выражением (2.15) совпадает с полем точечного заряда Q = a 2.

Пример 2.7. Шар радиусом R равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда. Определите потенциал в произвольной точке вне и внутри шара.

Решение. Для определения потенциала воспользуемся соотношением (2.3), в котором потенциал бесконечно удаленной точки примем равным нулю.

Напряженность поля определяется соотношениями (1.12) и (1.13), полученными в примере 6 первого параграфа:

Здесь r - расстояние от рассматриваемой точки пространства до центра шара, а Q заряд, заключенный в шаре.

Пример 2.8. На рис.2.3 приведена картина силовых линий некоторого поля.

Нарисуйте несколько эквипотенциальных поверхностей и укажите, в каком направлении потенциал возрастает.

(2.3) 1 2 = E dr, где траекторию L выберем совпадающей с одной из эквипотенциальными поверхностями мало и кривую L с хорошей точностью можно заменить прямой, а поле однородным, получим Пример 2.9. Два разноименных точечных заряда, величины которых равны q1 и q 2, расположены на расстоянии d друг от друга. Докажите, что поверхность нулевого потенциала есть сфера. Определите радиус R этой сферы и расстояние b от ее центра до меньшего по абсолютной величине заряда.

с плоскостью x0 y (см. рис.2.5а). Выберем произвольную точку M (x, y ) на этой плоскости. Потенциал в этой точке согласно принципу суперпозиции равен Поверхность нулевого потенциала = 0 удовлетворяет уравнению Возведя это равенство в квадрат, получим получим Прибавив справа и слева c 2, окончательно найдем искомое уравнение окружности Здесь радиус окружности А так как центр окружности совпадает с точкой О, то соединяющего заряды.

Пример 2.10. На сфере радиусом R распределен заряд с поверхностной плотностью = 0 cos, где - угол, составляемый радиусом-вектором, проведенным в произвольную точку сферы с осью 0 z. Найдите напряженность в произвольной точке вне и внутри сферы.

Решение. Распределение заряда по поверхности сферы с заданной в условии задачи поверхностной плотностью можно получить, заменив сферу двумя шарами радиусом R, заряженными с однородной объемной плотностью + и и сдвинутыми относительно заданной сферы вдоль оси 0 z на очень малое расстояние a ( a 2 R.

Поток пропорционален числу силовых линий, а они начинаются на свободных и связанных зарядах, поэтому Q q = q. Откуда q = Q / 2.

В общем случае при определении связанных зарядов можно применить следующий прием. Напряженность электрического поля в произвольной точке внутри диэлектрика равна E =. Представим, что диэлектрика нет, но заменим связанные заряды свободными, и найдем напряженность электрического поля, создаваемого всеми зарядами, получим E=. Приравнивая найденные выражения для напряженности, получим выражением, полученным выше, исходя из анализа силовых линий.

Пример 3.7. Незаряженная проводящая сфера радиусом R помещена в однородное электрическое поле напряженностью Найдите поверхностную плотность зарядов, появляющихся на сфере, а также суммарный дипольный момент сферы.

Решение. Заряды по сфере распределятся так, чтобы напряженность поля внутри проводника (сферы) была бы равна нулю. Эта напряженность складывается из напряженности внешнего однородного поля и поля, создаваемого зарядами, появляющимися на поверхности проводника. В примере 10 предыдущего параграфа было показано, что если заряд на поверхности сферы будет распределен с поверхностной плотностью = 0 cos, где угол - это угол, который составляет радиус, проведенный в данную точку сферы, с осью 0 z, то поле внутри сферы однородно и направлено вдоль оси 0 z, а его величина определяется и выбирая 0 = 3 0 E 0, получим, что суммарное поле внутри сферы будет равно нулю, если на поверхности сферы появится наведенный заряд с поверхностной плотностью = 3 0 E 0 cos.

Дипольный момент двух зарядов dq и - dq, находящихся на dp e = ( )R 2 d sin d 2 R cos и направлен вдоль оси 0 z. Интегрируя dp e по углу от 0 до / 2 и углу от 0 до 2, получаем дипольный момент всей сферы:

поляризацией, определяется связанными зарядами, существующими на их торцах, причем поверхностная плотность связанных зарядов на торцах обоих цилиндров одинакова. На торцах, ближайших к точкам А и С, связанные заряды положительны, а на противоположных торцах отрицательные.

Так как по условию задачи первый цилиндр достаточно длинный, то основной вклад в поле в точке А вносят положительные заряды. Величина напряженности, создаваемой ими в точке А, может быть с хорошей точностью аппроксимирована полем в непосредственной близости от равномерно заряженной плоскости (см. решение примера 2 настоящего Для точки С кроме поля положительных зарядов, которое совпадает с полем в точке А, заметный вклад в суммарную напряженность внесут отрицательные заряды, находящиеся на дальнем от точки С торце цилиндра. Поле E ', создаваемое ими, направлено в противоположную E A сторону и его величину нетрудно подсчитать, используя решение примера параграфа 1, что мы предоставляем читателю сделать самостоятельно:

Суммарное поле положительных и отрицательных связанных зарядов в используя теорему Гаусса в интегральной форме?

3.18. Диэлектрическая пластина ширины 2a с диэлектрической проницаемостью помещена в однородное электрическое поле напряженности E, линии которого перпендикулярны пластине. а)Найдите зависимость потенциала от x (ось 0 x перпендикулярна пластине, вектор E направлен вдоль оси 0 x, точка x = 0 находится посередине пластины);

б) определите поверхностную плотность связанных зарядов на той стороне пластины, в которую входят линии поля E из вакуума; в) определите вектор поляризации диэлектрика.

3.19. Найдите напряженность электрического поля внутри и вне однородно поляризованного незаряженного плоского диэлектрического слоя. Вектор поляризации P составляет угол с вектором нормали n одной из внешних поверхностей слоя.

средней линии ОО’ в двух случаях: а) считая l > L.

3.21. В диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью создано однородное поле напряженностью E. Внутри среды имеется сферическая полость. Найдите напряженность E ' поля, создаваемого в центре сферы поляризационными зарядами, индуцированными на её поверхности, считая, что вектор поляризации P всюду (за исключением полости) имеет постоянное значение.

Уравнение Пуассона. Основные законы электростатики, записанные в дифференциальном виде, представляют частный случай системы уравнений Максвелла (см. раздел 11), и включают дифференциальную форму теоремы Гаусса и свойство потенциальности электростатического поля В уравнениях (4.1), (4.2) векторы D и E не являются независимыми, а однозначно связаны так называемым материальным уравнением, которое для изотропного диэлектрика имеет вид где - его диэлектрическая проницаемость. Свойство потенциальности поля (4.2) позволяет ввести потенциал :

Подставляя D = 0 grad в (4.1) и считая среду однородной ( не зависит от координат), получаем уравнение Пуассона для потенциала:

Это уравнение позволяет вычислить потенциал в произвольной точке некоторой области V, если в этой области задано распределение объемной плотности заряда r, а также заданы граничные условия, например значение потенциала на поверхности S, ограничивающей рассматриваемую область.

Условия на границах раздела двух сред. Как следует из уравнений (4.1), (4.2), на границе двух сред векторы D и E удовлетворяют условиям:

Здесь индекс n означает проекцию вектора на нормаль к границе раздела, проекцию на любое касательное направление, а индексы 1 и 2 относятся к первой и второй средам соответственно. Нормаль n к границе раздела проводится из второй среды в первую, обозначает поверхностную плотность свободных зарядов, находящихся на границе.

Если заменить второй диэлектрик проводником, в котором поле E 2 = 0, граничные условия (4.6) преобразуются к виду Метод изображений. Суть метода состоит в замене источников поля более удобными для расчета и обеспечивающими в заданной области V такое же поле, что и в исходной задаче. Внутри области V распределение зарядов должно остаться прежним, также неизменным должен быть потенциал на границе S области V. Тогда независимо от распределения зарядов вне области V, поле E внутри нее будет тем же в силу единственности решения задачи о потенциале (рис.4.1) и однозначной связи между E и.

Пример 4.1. Воспользовавшись первой формулой Грина, докажите возможность приведенной в методе изображений замены поля одной совокупности зарядов полем другой.

Решение. Пусть u (M ) и v (M ) дважды дифференцируемые в области V функции. Формулу Грина представим в виде где n - внешняя нормаль к поверхности S.

Положим u = v = ( - потенциал электростатического поля) и рассмотрим сначала простейший случай, когда объемная плотность заряда в области V равна нулю. Тогда = 0 и, так как E = grad, из (4.8) получим Припишем индекс 1 величинам E и - величинам задачи с измененными источниками. Положив в (4.8) u = v = 1 2, с помощью приведенных выше рассуждений получим Из этого соотношения видно, что замена исходной задачи возможна выполнялось условие При выборе в качестве поверхности S эквипотенциальной поверхности, имеющей для обеих совокупностей зарядов один и тот же потенциал, условие (4.10) выполняется автоматически.

Если область V содержит заряженные проводники, то объемы, ограниченные ими, должны быть исключены из V, поскольку на поверхности проводников нормальная проекция вектора D терпит разрыв (см.(4.7)). В этом случае интеграл в правой части (4.9) вычисляется по поверхностям S и S i ( i = 1,2,... ), где S i - поверхность i го проводника.

С учетом сказанного условие (4.10) принимает вид Так как в области V конфигурации заряженных проводников в обеих задачах одинаковы, второе слагаемое в (4.11) также обращается в ноль.

Пример 4.2. Найдите распределение пространственных зарядов, создающее в вакууме поле с потенциалом Решение. Потенциал поля обладает сферической симметрией, поэтому целесообразно выбрать сферическую систему координат, поместив начало отсчета в точку r = 0. При r 0 потенциал имеет особенность: (r ).

Для того чтобы вычленить ее из потенциала, представим (r ) в виде (r ) = + 1 (r ), где 1 (r ) - всюду непрерывная функция Особенность потенциала (4.12) в окрестности r = 0 того же типа, что и особенность поля точечного заряда, помещенного в эту точку. Из формулы для потенциала точечного заряда имеем составляющая вектора D терпит разрыв. Используя соотношения (4.3) и (4.4), а также симметрию задачи, находим E1 = n r, D1 = n r D1, где Откуда Объемную плотность заряда можно найти, используя уравнение (4.5), которое в сферической системе координат для поля, зависящего только от r, принимает вид Подставляя сюда 1 из (4.13), получаем выражение для объемной плотности заряда:

Итак, потенциал (4.12) создается следующей конфигурацией зарядов:

а) точечным зарядом q (4.14), расположенным в точке r = 0 ;

б) равномерно заряженной сферой радиусом R с поверхностной плотностью заряда (4.16);

в) равномерно заряженным по объему шаром радиусом R с объемной плотностью (4.17).

Распределение потенциала (4.12) позволяет утверждать, что полный заряд системы равен нулю. Действительно, при r > R согласно (4.4) поле отсутствует и D = 0. Используя теорему Гаусса для сферы радиуса r > R с центром в точке r = 0, получим, что заряд внутри сферы равен нулю.

Если b =, то, как видно из (4.16), плотность поверхностного заряда равна нулю, и точечный заряд q компенсируется объемным зарядом шара.

Пример 4.3. Точечный заряд q расположен на расстоянии h от бесконечной проводящей заземленной плоскости. Найдите силу F, действующую на заряд, и поверхностную плотность индуцированного на плоскости заряда.

Решение. Воспользуемся методом электростатических изображений. В качестве области V, в которой поля заданной и модельной конфигураций зарядов будут совпадать, выберем полупространство z > 0, где ось 0 z направим перпендикулярно плоскости проводника через заряд q (см.

рис.4.1а), а на плоскости выберем полярную систему координат (, ). Так как поле точечного заряда убывает с возрастанием расстояния от него, то модуль плотности заряда, индуцированного им на плоскости, будет убывать с ростом.

Уберем плоскость с наведенным на ней зарядом и подберем вне V (в полупространстве z < 0 ) систему зарядов такую, чтобы потенциал плоскости был равен нулю. Нетрудно убедиться в том, что поместив заряд q в точку на оси 0 z с координатой z = h (отражение заряда q плоскостью z = 0 ), получим, что потенциал плоскости симметрии z = равен нулю (см. рис.4.1б). Следовательно, поле E1 исходной задачи для z > 0 эквивалентно полю E 2, создаваемому зарядом q и отраженным зарядом q.

С учетом сказанного сила взаимодействия заряда q с плоскостью равна силе взаимодействия между зарядом q и его «отражением» q :

F= и является силой притяжения, а потенциал поля в произвольной точке области V Для определения поверхностной плотности наведенного на плоскости заряда воспользуемся граничными условиями (4.7) и связью между потенциалом и напряженностью поля (4.4):

Для определения суммарного заряда, индуцированного на плоскости, следует подсчитать интеграл центра проводящей сферы радиусом R. Заряд сферы равен Q. Найдите силу, действующую на заряд q.

Решение. Воспользуемся методом электростатических изображений. В качестве области V выберем пространство вне сферы, содержащее заряд q. Внутри проводящей сферы E = 0, а потенциал остается постоянным и равным потенциалу центра сферы 0, который согласно принципу суперпозиции равен Здесь поверхностная плотность заряда Q, неравномерно распределенного по сфере.

Уберем теперь заряженную сферу и подберем систему зарядов вне V (внутри сферы) так, чтобы потенциал на ее поверхности сохранил прежнее значение.

Эту задачу решим в два этапа. На первом этапе выберем заряд q ' так, чтобы потенциал сферы стал равен нулю. Для этого можно воспользоваться решением примера параграфа 2: для двух точечных зарядов q и q ' поверхностью нулевого потенциала является сфера, центр которой лежит на прямой, соединяющей заряды. Допустим, что искомый заряд q ' находится на расстоянии x от центра сферы, тогда из условия A = B = 0 (см. рис.4.2) имеем Решая систему уравнений (4.18), определяем q ' и x На втором этапе подберем заряд q ' ' так, чтобы потенциал сферы принял значение потенциала исходной задачи. Очевидно, что заряд q ' ' следует поместить в центр сферы. Учитывая, что суммарный вклад в потенциал сферы зарядов q и q ' равен нулю, получим Таким образом поле E исходной задачи в области V эквивалентно полю, создаваемому зарядами q, q ' и q ' '. Сила, действующая на заряд q, согласно принципу суперпозиции равна Подставляя выражения для x, q' и q ' ', полученные выше, окончательно находим Анализ полученного результата удобнее провести, представив (4.21) в виде Так как 0 < < 1, то f ( ) > 0 и функция f ( ) монотонно возрастает, q притягивается к сфере.

заряд единственное решение 0, определяющее положение a = a0 заряда q ( a0 = заряд q отталкивается от сферы; при a < a0 ( > 0 ) F < 0 и заряд q притягивается к одноименно заряженной проводящей сфере. Таким образом, положение равновесия заряда a = a0 является неустойчивым.

Пример 4.5. Два однородных диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями 1 и 2 граничат друг с другом вдоль плоскости. В некоторой точке первого диэлектрика помещен заряд электрическое поле в каждом из диэлектриков.

Решение. Поле в среде с определяется зарядом q и связанными зарядами, возникающими на границе диэлектриков. Покажем, что поле связанных зарядов в первом диэлектрике эквивалентно полю точечного заряда q ', помещенного в точку A', симметричную A относительно плоскости раздела диэлектриков MN. Представим полное поле как суперпозицию полей, создаваемых зарядами q и q ' (см. рис.4.3а) где r и r ' - векторы, проведенные от зарядов q и q ' в произвольную точку В первого диэлектрика.

Поле в среде с 2 создают заряд q и связанные заряды на границе раздела диэлектриков. Заменим последние зарядом, помещенным в точку А.

Тогда поле во втором диэлектрике будет полем точечного заряда q ' ', помещенного в точку А (рис.4.3б):

условиями (4.6) для произвольной точки С на границе двух диэлектриков:

Решая полученную систему уравнений, находим означает выполнение граничных условий в каждой точке плоскости MN.

Подставив q ' и q ' ' в выражения для полей, окончательно получим Пример 4.6. Стеклянная пластинка с проницаемостью 2 = 6 внесена в расположена так, что угол 1 между нормалью к пластинке и направлением внешнего поля равен 300. Найдите напряженность E 2 поля в пластинке, угол 2, который это поле образует с нормалью к ней, а также плотность связанных зарядов, возникших на поверхностях пластинки. Диэлектрическая проницаемость среды вне пластинки Решение. Для тонкой пластинки в точках, достаточно удаленных от ее краев, поле можно заменить полем в бесконечном диэлектрическом слое, имеющем ту же толщину, как и пластинка. В силу симметрии оно остается однородным (см. рис.4.4).

Записав граничные условия (4.6) на границе MN находим E 2 и Для определения плотности связанных зарядов, возникающих на поверхностях MN и M ' N ' пластинки, заменим пластинку другой, с 2 = 1, а связанные заряды заменим на свободные с той же поверхностной плотностью. При этом поле в пространстве между плоскостями MN и M ' N ' не изменится. Плотность зарядов найдем, записав граничные условия (4.6) для полученной системы распределения зарядов или с учетом (4.22), напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вокруг шара.

Решение. Напряженность электрического поля определяется как свободными зарядами, находящимися на поверхности шара, так и связанными, находящимися вокруг него на его поверхности и, возможно, на границе раздела диэлектриков. Шар по условию задачи является проводящим, поэтому заряд Q распределен по его поверхности и поле внутри него отсутствует, то есть E = 0. Такое поле создает заряд, равномерно распределенный по поверхности сферы. В силу теоремы существования и единственности решения уравнения Пуассона (4.5) можно утверждать, что совокупность свободных и связанных зарядов будет распределена по сфере радиусом R равномерно, а поле вне шара будет совпадать с полем точечного заряда Q ', помещенного в его центр (см.

пример 5 из параграфа 1). Следовательно поле E в произвольной точке вне сферы будет направлено по ее радиусу.

Воспользуемся этим фактом и граничными условиями (4.7) для двух точек на поверхности шара, одна из которых находится в первом диэлектрике, в другая -- во втором Здесь 1 и 2 -- плотности распределения свободных зарядов на верхней, на поверхности сферы. Граничные условия на границе раздела двух диэлектриков при этом выполняются автоматически. Заметим, что последнее возможно в силу того, что граница раздела делит шар на две полусферы, при этом силовые линиии поля лежат в плоскости раздела сред.

Из (4.23) следует, что заряд Q распределится по полусферам в следующей пропорции или Поле в произвольной точке на поверхности шара, с одной стороны, равно E 0 =, где Q ' -- сумма заряда Q и связанных зарядов на всей поверхности шара, а с другой, согласно (4.23) произвольной точке вокруг шара где r расстояние от центра шара до точки, в которой ищется напряженность поля.

Пример 4.8. Шар радиусом R, вырезанный из однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью электрическое поле напряженности E 0. Найдите распределение напряженности и потенциала в пространстве внутри и вокруг шара.

Решение. Все пространство разделим на две области: V1 -- внутри шара, V -- вне шара. Потенциал и напряженность поля в области V1 будем обозначать индексом 1, а в области V2 -- индексом 2. Так как свободных зарядов ни внутри, ни вне шара нет, то потенциал как внутри, так и снаружи шара подчиняется уравнению Лапласа i = 0 ( i = 1,2 ), которое следует из уравнения Пуассона (4.5), если 0.

Так как граница шара - сфера, то удобно воспользоваться сферической системой координат. Запишем уравнение Лапласа в этой системе координат:

Отметим, что в силу симметрии потенциалы i не зависят от угла.

Простейшими решениями уравнения (4.25), не зависящими от угла, являются функции Ar cos и B 2 (см.[1]), где A и B -- постоянные.

Для потенциала электростатического поля получаем выражение заряды отсутствуют и поле во всех точках внутри шара ограничено и соотношение (4.4) в сферической системе координат (единичные вектора найдем напряженность электрического поля внутри и вне шара:

в области V1 :

и в области V2 :

Из условия, что на бесконечности поле однородно и равно E следует, что или Постоянные A1 и B2 найдем, записав граничные условия (4.6) на границе шара откуда следует Решение системы уравнений (4.29) имеет вид Поэтому окончательно потенциал в области V1 равен и напряженность поля Видим, что поле внутри шара является однородным, направлено вдоль E 0, и равно по абсолютной величине В области V2 потенциал равен и представляется суммой потенциала внешнего поля и потенциала точечного диполя с моментом помещенного в центре шара.

Вне шара напряженность поля равна или в векторной форме:

Пример 4.9. Найдите распределение потенциала и напряженности электрического поля вокруг проводящей сферы радиусом R, внесенной в однородное электрическое поле напряженности E 0.

Решение. Повторяя рассуждения, проведенные в предыдущем примере, видим, что потенциал в области V2 (вне сферы) также задается выражением Для определения постоянной B2 воспользуемся вместо граничных условий на границе диэлектрика (4.6), граничными условиями (4.7) на границе проводника Подставляя найденные значения A2 и B2 в (4.26) и (4.28), окончательно получаем Как видим, потенциал поля в окрестности шара представляется в виде суммы потенциала внешнего поля и диполя с моментом помещенного в центр сферы.

Компоненты поля в этой области будут:

Первое граничное условие (4.7) позволяет определить плотность зарядов, индуцированных на поверхности сферы = 0 E 2 r (R, ) = 3 0 E 0 cos, что совпадает с выражением, найденным другим способом в примере параграфа 3.

Задание для самостоятельной работы 4.1. Внутри сферической незаряженной проводящей оболочки радиусом R помещен точечный заряд q. Расстояние от заряда до центра оболочки равно a. Найдите силу F, действующую на заряд.

4.2. Два одинаковых точечных заряда q находятся на расстоянии a друг от друга. Посередине между ними расположен заземленный металлический шар радиусом R. Найдите силу, действующую на каждый из этих зарядов.

4.3. На расстоянии a от бесконечной проводящей заземленной плоскости расположен точечный диполь. Найдите силу, действующую на диполь.

Дипольный момент p e а) параллелен плоскости; б) перпендикулярен к плоскости.

4.4. Проводящая незаряженная сфера радиусом R помещена в поле точечного заряда q, расположенного на расстоянии a от центра сферы.

Найдите поверхностную плотность заряда, индуцированного на сфере.

металлического шара радиусом R. Найдите работу A, которую надо затратить, чтобы точечный заряд удалить в бесконечность. Рассмотреть два случая: 1) шар заземлен; 2) шар изолирован, а полный заряд его равен нулю.

4.6. Найти силу, действующую на точечный заряд помещенный на биссектрисе прямого двугранного угла между двумя заземленными проводящими полуплоскостями (см. рис.4.7).

Расстояние между зарядом q и вершиной двугранного угла О равно d.

4.8. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра незаряженного проводящего шара радиуса R. Шар заземляют с помощью проволоки.

Какой заряд q протечет по проволоке?

4.10. Потенциал электрического поля в некоторой области зависит только от координаты x :

Какова будет напряженность поля в этой области? При каком распределении зарядов получится такое поле?

4.11. Какая сила действует на точечный заряд q, находящийся вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков на расстоянии d от границы раздела? Заряд находится в среде с диэлектрической проницаемостью 1.

Диэлектрическая проницаемость второй среды 2.

4.12.

изотропного диэлектрика помещена в перпендикулярное электрическое поле напряженностью E (см. рис.4.10).

Толщина пластины a, диэлектрическая проницаемость изменяется линейно от значения 1 на левой границе до 2 на правой границе. Вне пластины = 1.

Найдите объемную плотность связанных зарядов как функцию x.

Определите численное значение в середине пластины, если 1 = 2, 2 = 4, a = 1см, E 0 = 3кВ / м.

4.13. Внутри шара радиусом R=10 см из однородного изотропного диэлектрика с = 5 создано однородное электрическое поле с напряженностью плотность max связанных зарядов и суммарный положительный связанный заряд, распределенный по поверхности полусферы.

4.14. Палочка из сегнетоэлектрика, обладающая остаточной поляризацией P, направленной вдоль оси палочки, подвешена за середину в горизонтальном положении на тонкой неупругой нити. Определите частоту малых колебаний, которые палочка будет совершать в однородном горизонтально направленном поле с напряженностью E, настолько слабом, что оно не оказывает существенного влияния на поляризацию палочки.

Длина палочки l, а ее плотность.

4.15. Определите силу, действующую на единицу длины заряженной с линейной плотностью нити со стороны поверхностных зарядов, индуцированных ею на границе раздела двух диэлектриков с проницаемостью 1 и 2. Нить параллельна границе раздела и находится от нее на расстоянии d. Диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится нить, 1.

4.16. Диэлектрик с диэлектрической проницаемостью заполняет полупространство. На расстоянии L от плоской границы диэлектрика в вакууме находится точечный заряд q. Найдите распределение связанного заряда по поверхности диэлектрика, суммарный поверхностный заряд Q и силу F, действующую на заряд q.

4.17. В области, ограниченной заземленной металлической оболочкой, находится заряд. Определить а)есть ли электрическое поле вне оболочки; б) будет ли действовать электрическая сила на другой заряд, помещенный вблизи наружной поверхности оболочки.

4.18. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала:

и зависит только от размеров внутреннего тела.

Пример 6.2. Найдите соотношение, связывающее сопротивление среды между двумя хорошо проводящими телами, погруженными в слабо проводящую среду, и емкостью конденсатора, образованного этими телами.

Решение. Окружим одно из тел замкнутой поверхностью S и найдем ток, протекающий через нее Аналогично ток, протекающий через второе тело равен Так как токи равны и направлены в разные стороны, то Q1 = Q2 и тела можно рассматривать как конденсатор, емкость которого обозначим С. Она связана с разностью потенциалов между проводниками известным соотношением 2 1 = U =. Та же разность потенциалов связана с током законом Ома U = IR. Приравнивая выражения для разности потенциалов, находим IR = или, с учетом (6.12):

Пример 6.3. Заземление осуществляется с помощью идеально проводящего шара радиусом a, наполовину утопленного в землю (проводимость земли = const ). Найдите сопротивление R такого заземлителя.

Решение. Разобьем задачу на две. Допустим, что шар полностью утоплен в землю. Сопротивление такого заземления задается формулой (6.12), полученной в предыдущем примере, если в неё вместо С подставить 4 0 a -емкость уединенного шара радиусом a :

Шар, наполовину утопленный в землю, находится на границе раздела двух сред. В силу того, что граница раздела совпадает с плоскостью симметрии шара, напряженность на границе раздела направлена вдоль границы (см.

решение примера 7 из параграфа 4), а силовые линии электрического поля в земле для полусферы совпадают с силовыми линиями для шара, полностью погруженного в однородную среду. Однако при том же потенциале ток, текущий через полусферу вдвое меньше, чем через сферу. Из проведенных рассуждений следует, что искомое сопротивление Пример 6.4. В качестве заземления электрических цепей часто используется шар радиусом a, зарытый в грунт с проводимостью, много меньшей, чем проводимость материала шара. Найдите тепловую мощность, выделяющуюся в окрестности заземления, при подаче на него напряжения U (относительно удаленных тел).

Решение. Тепловая мощность, выделяющаяся в проводнике, определяется где R сопротивление среды, окружающей шар. Его связь с емкостью шара была получена в примере 2 и задается выражением (6.13). Подставим его в N, получим Емкость уединенного шара задается выражением (5.2), откуда окончательно Пример 6.5. Два одинаковых тела зарыты в землю на большом расстоянии друг от друга. Разность потенциалов между ними известна и равна U. Грунт в окрестности тел имеет проводимость 1 и 2 соответственно. Найдите потенциалы тел.

Решение. В примере 2 данного параграфа было показано, что ток, текущий между телами связан с зарядами на них соотношением (6.12) С другой стороны заряды на проводниках связаны с напряжением на них соотношениями Здесь учтено, что проводники одинаковы и их емкости равны.

а по условию задачи разность напряжений U 1 U 2 = U. Решая полученную систему уравнений, окончательно находим Если проводимости грунтов равны 1 = 2, то U 1 = U 2 = U. Если одна из проводимостей становится очень малой, например 1 0, то U Пример 6.6. Три проводника с круглым сечением одного и того же радиуса r соединены последовательно, образуя замкнутое кольцо. Длины проводников l 0, l1, l 2 >> r, проводимости 0, 1, 2. По объему проводника с проводимостью равномерно распределена Э.Д.С. U 0, не зависящая от времени. Найдите кулоновское и полное поля E в проводниках.

Решение. Ток, текущий по всем участкам цепи одинаков, а так как одинакова площадь сечения разных участков цепи, то и плотность тока на всех участках одинакова, или Проектируя соотношения (6.14) на j, получаем Работа сторонних сил согласно (6.3) равна U 0 = E 0 l 0, а работа кулоновских сил вдоль всего замкнутого контура равна нулю Решая систему уравнений (6.15) и (6.16), находим кулоновское поле на всех трех участках цепи где Полное электрическое поле на участке длиной l 0 складывается из поля сторонних сил и кулоновского поля:

Пример 6.7. Определите сопротивление изоляции коаксиального кабеля длиной l = 10 м, если диаметр внутреннего проводника d = 1мм, диаметр наружной проводящей оболочки равен D = 4 мм, а удельное сопротивление Решение. Рассмотрим отрезок кабеля с изоляцией длиной l. Пусть U 0 напряжение между внутренним проводником и наружной оболочкой. Так как поле обладает цилиндрической симметрией и объемный заряд внутри диэлектрика отсутствует, то по теореме Гаусса находим Окончательно закон Ома (6.1) примет вид Полный ток, протекающий по цилиндрическому слою изоляции сопротивление изоляции R равно После подстановки числовых данных получим R = 2,2 1011 Ом.

Пример 6.8. К большому металлическому цилиндрический проводник радиусом r (см. рис.6.1). Найдите сопротивление R листа между проводником и кольцевым электродом радиусом b с центром в точке прикрепления проводника, если a >, то потенциал симметрией. Такое поле создает бесконечный цилиндр, заряженный с некоторой постоянной погонной плотностью заряда. Иными словами, распределение напряженности электрического поля будет таким же, как если бы ток к листу подводится бесконечным прямым проводом, как показано на рис.6.2. Напряженность электрического поля в точке, отстоящей от оси проводника на расстоянии r, найдем по теореме Гаусса Уместно отметить, что полученный результат не зависит от формы и расположения подводящего ток проводника.

Найдем полный ток, текущий через боковую поверхность цилиндра радиусом r, коаксиального с проводником получим В силу симметрии потенциал всех точек боковой поверхности выделенного цилиндра одинаков. Разность потенциалов между проводником, подводящим ток к листу, и этой поверхностью найдем, используя связь разности потенциалов с напряженностью поля Сопротивление R листа между проводником и цилиндром радиусом b с центром в точке прикрепления проводника находим по закону Ома:

Пример 6.9. К большому металлическому листу толщиной a приварены на расстоянии b друг от друга два цилиндрических проводниками, если a a1, a 2, проводимость земли.

Найдите сопротивление R между заземлителями.

6.5. В одном коаксиальном кабеле пространство между внутренним проводом и наружной цилиндрической оболочкой заполнено изолятором с удельной проводимостью 1 = 10 13 (Ом м )1, а в другом - с удельной проводимостью 2 = 10 14 (Ом м )1. Найдите отношение тепловых потерь в изоляции кабелей, если их геометрические параметры и поданные на них напряжения одинаковы?

6.6. Пространство между пластинами плоского конденсатора, который подсоединен к источнику ЭДС, заполнено наполовину материалом с удельным сопротивлением (см. рис.6.4), а наполовину - материалом с удельным сопротивлением ( 1 < 2 ). Каковы будут тепловые мощности, выделяющиеся в каждом слое?

Расстояние между пластинами конденсатора d, площадь пластин S.

6.7. В условии предыдущей задачи найдите плотность поверхностных свободных зарядов на границе между диэлектриками.

6.8. Два одинаковых проводящих шара с радиусами r погружены в однородную среду с проводимостью. Чему равно сопротивление среды R между шарами? Считать, что расстояние между шарами намного больше их радиусов.

6.9. Решить предыдущую задачу в предположении, что шары заменены двумя телами с известными емкостями С1 и С2, размеры которых много меньше расстояния d между ними. Диэлектрическая проницаемость среды, находящейся между телами, равна.

6.10. Между двумя проводящими сферическими оболочками с радиусами r1 и r3 ( r1 < r3 ) находятся два сферических слоя диэлектрика с проводимостями и 2 и радиусами r1, r2 и r2, r3 соответственно. Определите тепловые мощности, выделяющиеся в каждом из слоев, если между проводящими оболочками поддерживается постоянная разность потенциалов U.

6.11. Между двумя проводящими цилиндрическими оболочками с радиусами r1 и r3 ( r1 < r3 ) находятся два цилиндрических слоя диэлектрика с проводимостями 1 и 2 и радиусами r1, r2 и r2, r3 соответственно.

Определите тепловые мощности в каждом из слоев, если между проводящими оболочками поддерживается постоянная разность потенциалов U. Высота цилиндров l.

6.12. Провод, по которому протекал ток силой I, оборвался и упал на землю, при этом на земле оказался прямолинейный кусок провода длиной L. После падения провода ток в нем не изменился. Определите «шаговое напряжение », под которым окажется человек с длиной шага l, приближающийся к проводу в перпендикулярном направлении на значительном расстоянии от концов провода. Расстояние до ближайшей к проводу ноги человека равно r0.

6.13. К центрам противоположных торцов тонкостенной цилиндрической банки диаметром D и высотой l припаяны провода диаметром d (см. рис.6.5).

Определите сопротивление R банки, если она сделана из фольги толщиной R1. Найдите зависимость тока утечки от времени, если известно, что в момент t=0 разность потенциалов между обкладками равна U0.

6.23. Пластины плоского воздушного конденсатора, соединенного с источником постоянной ЭДС, медленно раздвигают с постоянной скоростью v. Как изменяется со временем сила тока в цепи? Площадь пластин конденсатора S, а расстояние между ними в момент времени t = 0 равно d0.

6.24. Конденсатор переменной емкости состоит из двух прямоугольных металлических пластин, расположенных на расстоянии d друг от друга, площадь перекрытия которых можно изменять по закону S=t2, перемещая одну из пластин. При этом зазор между пластинами остается неизменным.

Конденсатор соединен с источником постоянной ЭДС. Найдите ток в цепи.

6.25. К диаметрально противоположным точкам шара радиусом а, сделанного из плохо проводящего материала с удельным сопротивлением, подключены цилиндрические подводящие провода радиусом r a/ изменится на противоположное (см. Рис.7.5).

При x >> a последнее выражение можно преобразовать как поле магнитного диполя с моментом pm = Ia 2.

Пример 7.3. По кольцу радиуса R течет ток I. Найдите индукцию магнитного поля B в точке, расположенной на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра.

При z >> R из последнего соотношения следует:

Следовательно, при z >> R поле убывает с ростом z как поле магнитного диполя с моментом pm = IS.

Пример 7.4. Найдите магнитную индукцию на оси соленоида, обмотка которого содержит n0 витков на единицу длины. Ток, протекающий по обмотке, равен I.

Решение. Соленоид – цилиндрическая катушка с током, состоящая из большого числа витков проволоки, которые образуют винтовую линию. При плотном расположении витков соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых витков одинакового радиуса с общей осью.

Найдем распределение поля вдоль оси соленоида B(z ). Если n достаточно велико, то можно заменить ток, текущий по виткам, током, равномерно распределенным по поверхности соленоида. Пусть радиус соленоида равен R, а его длина - l. Для вычисления поля в произвольной точке M на оси выделим колечко с током шириной dz, центр которого расположен на расстоянии z от M (рис. 7.4). Величина вклада dB этого колечка в B равна согласно (7.19) Учитывая, что dI = In0 dz, проинтегрируем (7.20):

Заменив переменную интегрирования z = R ctg ; dz =, найдем:

которыми видны из точки наблюдения концы соленоида. В частности, если точка M находится в центре соленоида, то В случае длинного соленоида (l>>R) поле вдали от его концов не зависит от z. Для поля на оси соленоида из последнего соотношения найдем Пример 7.5. Найдите силу взаимодействия между бесконечно длинным тонким прямолинейным проводником, по которому течет ток I1, и отрезком прямого тонкого проводника длиной l с током I2, лежащими в одной плоскости. Угол между проводниками равен, нижний конец отрезка проводника находится на расстоянии a от бесконечного проводника.

Решение. Выделим на отрезке проводника с током I2 малый элемент dx на расстоянии x от его нижнего края. Проводник с током I1 создает в месте расположения этого элемента магнитное поле с индукцией перпендикулярно току I2. Интегрируя по длине проводника, получаем:

Пример 7.6. Найдите закон движения электрона в постоянных магнитном и электрическом полях. Считать, что поля однородные и E B. Начальная скорость электрона равна v0. Масса электрона - m, абсолютная величина его заряда - e.

Решение. На заряд q, движущийся в электрическом и магнитном полях, действует сила где v - скорость заряда.

Выберем систему отсчета так, чтобы начало координат совпадало с положением электрона в начальный момент времени; ось Ох направим по вектору E, а ось Oy – вдоль B. В этой системе координат уравнение (7.23) в проекциях запишется следующим образом:

Интегрирование уравнения (7.25) при начальных условиях y (0 ) = v0 y и y (0 ) = 0 дает:

Введем обозначение Решая уравнение (7.29) при начальных условиях x(0 ) = 0 и x(0 ) = v0 x, получим Подставив (7.30) в (7.28), учитывая (7.27) и (7.30), найдем закон движения электрона в проекциях на оси координат:

Пример 7.7. Квадратная рамка массы m, сделанная из тонкого провода, может без трения вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр перпендикулярно двум противоположным сторонам рамки.

Рамка находится в горизонтальном однородном магнитном поле индукции B. По рамке течет постоянный ток I. Определите период малых колебаний рамки около положения ее равновесия.

Решение. Рамка находится в положении равновесия, когда плоскость рамки перпендикулярна к направлению внешнего поля. Причем положение равновесия устойчиво, если направление магнитного поля, создаваемого током, совпадает с направлением внешнего поля.

При отклонении рамки от ее устойчивого положения равновесия на угол, силы Ампера, действующие на параллельные оси стороны рамки, создают пару сил с моментом, равным IBl 2 sin, стремящимся вернуть рамку в положение равновесия. С учетом того, что момент инерции рамки (sin ) получаем уравнение колебаний & + IBl 2 = 0. Откуда период Пример 7.8. Шар радиусом R, равномерно заряженный по объему зарядом q, вращается с постоянной угловой скоростью. Найдите магнитный момент шара.

Решение. Элементарный объем r 2 sin drdd (в сферической системе координат) при его вращении задает круговой ток радиуса величиной Этот ток создает магнитный момент, направленный вдоль оси вращения и Пример 7.9. Найти индукцию магнитного поля в центре и в фокусе эллиптического контура, по которому течет ток I. Полуоси эллипса равны a и b (a>b).

Решение.

где n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости контура и направленный согласно правилу буравчика r - радиус-вектор, проведенный в точку наблюдения M из начала вектора Для произвольного контура, dl sin dl, r = rd, где d - угол, под которым виден из точки наблюдения элемент тока dl, и формулу (7.31) можно записать в виде Если контур задан в полярных координатах уравнением r = r ( ), то для точек внутри контура из (7.32) имеем В декартовой прямоугольной системе координат хОy каноническое уравнение эллипса имеет вид Если поместить начало полярной системы координат в фокус эллипса, например в точку F1, а полярную ось направить к ближайшей BF1 = BF2, а в случае окружности (a=b) B0 = 0.

Пример 7.10. Найти векторный потенциал и индукцию магнитного поля, создаваемого контуром с током I в произвольной точке на расстоянии, много большем линейного размера контура.

Решение. По определению векторного потенциала и согласно формулам (7.11) и dl = [ n; ]dS имеем, полагая = :

Дифференцирование под знаком градиента ведется по координатам начала вектора r, поэтому = + 3. В последнем интеграле r - радиусr r вектор, проведенный из элемента dS натянутой на контур поверхности в точку наблюдения.

Если точка наблюдения находится на большом удалении от источника поля, можно приблизительно считать, что r не зависит от положения элемента dS, и потому B = 0 rot m3, где pm = I ndS = I dS - магнитный момент контура с током. Тогда по формулам векторного анализа (см.

проведенный в точку наблюдения из точки расположения контура.

Задачи и вопросы для самостоятельного решения 7.1. Найдите индукцию магнитного поля прямоугольного контура с током I в центре этого контура. Стороны прямоугольника равны a и b.

распределенного равномерно по плоскости с линейной плотностью i.

7.3. Определите индукцию магнитного поля поверхностных токов, распределенных равномерно по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями i и i.

7.4. По прямолинейному цилиндрическому проводу радиуса R течет ток I, равномерно распределенный по поверхности провода. Найдите индукцию магнитного поля как функцию расстояния от оси провода.

7.5. Ток I течет вдоль длинной тонкостенной цилиндрической трубки радиусом R, имеющей по всей длине щель ширины d, dd.

7.6. Проводящая сфера радиуса R заряжена с поверхностной плотностью.

Сфера вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью. Найдите индукцию магнитного поля на оси вращения.

Рис.7.7 7.8. По бесконечной прямолинейной тонкой полосе ширины l течет ток I, равномерно распределенный по ширине полосы.

Найдите индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии h от плоскости полосы над ее серединой.

7.9.

симметричного разветвления стационарных токов. Все проводники прямолинейны, бесконечны и лежат в одной плоскости.

Определите индукцию магнитного поля на линии, перпендикулярной к плоскости токов и проходящей через точку А, если сила тока в разветвленных проводниках равна I, а угол между ними равен 2.

7.10. Тонкий проводник, по которому течет ток I, имеет форму двух параллельных полубесконечных прямых, соединенных полуокружностью радиуса R. Найдите силу, действующую на проводник со стороны внешнего однородного магнитного поля, вектор индукции которого B параллелен прямым проводам.

7.11. Кольцо радиусом R с током I1 лежит в одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I2. Расстояние от центра кольца до провода равно а (a>R). Найдите силу, действующую на кольцо.

7.12. Из некоторой точки объема, в котором создано однородное магнитное поле с индукцией B, вылетают две частицы массами m, несущие заряды q и –q соответственно. Скорости частиц равны v, направлены под углом к линиям магнитной индукции, угол между векторами скоростей равен 2.

Определите траектории частиц. Через какое время и на каком расстоянии от точки вылета встретятся частицы? Каково будет максимальное расстояние между частицами в процессе движения? Кулоновским взаимодействием частиц пренебречь.

7.13. Точечный заряд q массой m влетает со скоростью v0 в область с постоянным однородным магнитным полем с индукцией В перпендикулярно линиям магнитной индукции. На какой угол отклонится частица, если область, занимаемая магнитным полем, ограничена плоскостями, перпендикулярными вектору начальной скорости, расстояние между которыми L. Силу тяжести не учитывать.

7.14. По контуру, представляющему собой правильный n-угольник, вписанный в окружность радиусом R течет ток I. Найдите вектор индукции B0 магнитного поля в центре окружности.

7.15. Из однородного провода изготовлен контур в виде квадрата. К двум соседним вершинам квадрата подсоединен источник Э.Д.С. Пренебрегая полем подводящих проводов, найдите вектор индукции магнитного поля B в центре квадрата.

7.17. Найдите индукцию магнитного поля B0 в центре плоской спирали, по которой течет ток I. Спираль заключена между окружностями с радиусами R1 и R2 (R1> R2). В полярных координатах, расстояние от центра спирали линейно зависит от угла. Число витков стирали равно N. Поле подводящих проводов не учитывать.

7.18. Электрон вылетает с малой скоростью из катода и движется к аноду, потенциал которого на U больше потенциала катода. Пройдя расстояние l в однородном магнитном поле с индукцией B, создаваемом электромагнитом, и двигаясь далее по инерции, электрон попадает на флуоресцентный экран, помещенный на расстоянии D от электромагнита (рис.7.10). Найдите смещение пятна на экране как функцию индукции магнитного поля.

7.19. Бесконечно длинный цилиндр радиусом R, заряженный равномерно по объему с плотностью, вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью. Найдите индукцию магнитного поля внутри и вне цилиндра.

7.20. Проволочное кольцо радиусом R помещено в однородное магнитное поле с индукцией B, перпендикулярное плоскости кольца. Какой максимальный ток можно пропустить по кольцу, если максимальное натяжение, которое выдерживает проволока, равно Т?

Влиянием собственного поля кольца пренебречь.

Вектор намагниченности. Тело, помещенное во внешнее магнитное поле, намагничивается и создает собственное магнитное поле, которое накладывается на внешнее поле по принципу суперпозиции. Согласно гипотезе Ампера, частицы, из которых состоит тело, можно рассматривать как маленькие контуры, обтекаемые так называемыми молекулярными (или амперовыми) токами, связанными с орбитальным движением электронов. С такой точки зрения возникновение дополнительного магнитного поля можно объяснить ориентацией этих контуров во внешнем магнитном поле.

Основные закономерности поведения намагничивающихся сред объясняются в рамках задачи «замкнутый контур с током в магнитном поле», рассмотренной в предыдущем параграфе.

Для макроскопического описания магнитного поля в веществе вводится усредненная по объему вещества его характеристика – вектор намагниченности где pmi магнитные моменты всех амперовых токов, оказавшихся внутри бесконечно малого объема V. Величина вектора J зависит от индукции внешнего поля и от свойств рассматриваемого вещества. Эта связь задается материальным уравнением и считается известной из опыта. Для удобства описания магнитного поля в материальных средах вводится вектор напряженности магнитного поля Для достаточно слабых полей и большинства всречающихся в природе веществ можно считать, что J = H (коэффициент пропорциональности называется магнитной восприимчивостью вещества); и материальное уравнение для магнитного поля, согласно (8.2) принимает вид проницаемостью вещества. Описание магнитного поля в терминах векторов B и H позволяет не вводить явно плотность молекулярных (амперовых) токов, хотя в некоторых случаях рассмотрение этих токов упрощает решение задач.

По своим магнитным свойствам все вещества подразделяются на диамагнетики ( < 0, µ < 1, J и B ориентированы противоположно), парамагнетики ( > 0, µ > 1, J и B ориентированы в одном направлении) и ферромагнетики. В последних линейная зависимость между J и B нарушается даже в сравнительно слабых полях, и равенство (8.3) выполняется лишь приближенно, причем µ>>1 (в сплавах железа, то есть сталях, магнитная проницаемость может превышать 103). В некоторых средах (постоянных магнитах) намагниченность слабо зависит от внешнего поля и задается обычно условиями задачи. Уравнение (8.3) в этом случае неприменимо, и следует использовать непосредственно соотношение (8.2).

Закон полного тока. В произвольнойнамагниченной среде циркуляция вектора напряженности магнитного поля H по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов I, которые охватываются этим контуром:

Это важнейшее интегральное соотношение магнитостатики называется законом полного тока или теоремой о циркуляции напряженности магнитного поля. При этом каждый ток, охватываемый контуром, считается положительным (отрицательным), если из конца вектора плотности этого тока обход контура виден происходящим против часовой стрелки (по часовой стрелке). Если контур интегрирования N раз обходит ток I (с учетом направления), то в правую часть (8.4) следует подставить NI. Число N называют кратностью сцепления тока с контуром.

Дифференциальное соотношение, соответствующее интегральной теореме (8.4), имеет вид где – плотность тока проводимости в рассматриваемой точке пространства.

Магнитное поле в однородной среде. Магнитная проницаемость вещества не входит явно в закон полного тока. Поэтому заданная конфигурация токов будет создавать одинаковое распределение поля H в вакууме и в безграничной однородной среде. (Для неоднородной среды это, конечно, не справедливо). Соответственно, формулы (7.4) и (7.11) могут быть применены к полям в однородной намагничивающейся среде, если заменить в них µ0 на µµ0:

Как следует из уравнений (8.3), (8.5) и определения векторного потенциала (7.12), для произвольного распределения токов с объемной плотностью j в однородной среде с магнитной проницаемостью µ векторный потенциал A удовлетворяет векторному уравнению Пуассона:

Граничные условия для магнитного поля. Из свойства соленоидальности магнитного поля следует, что на границе раздела двух сред с различными значениями µ нормальные компоненты вектора B непрерывны; по теореме о циркуляции в отсутствие на границе раздела поверхностных токов проводимости тангенциальные компоненты вектора H также непрерывны:

Тангенциальные компоненты вектора B на границах претерпевают разрыв.

Физически это связано с разрывом вектора намагниченности j и может быть объяснено протеканием по границе поверхностного молекулярного тока, плотность которого равна величине скачка тангенциальной составляющей вектора намагниченности.

Пример 8.1. Найдите индукцию магнитного поля, создаваемого тороидом, обмотка которого содержит N витков. Ток, протекающий по обмотке, равен I, магнитная проницаемость сердечника µ.

Решение. Тороид – кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. При достаточно плотной упаковке витков такую катушку можно рассматривать как систему одинаковых витков с центрами на средней линии тороида, плоскости которых перпендикулярны к этой линии. При повороте тороида вокруг оси симметрии он переходит сам в себя, поэтому линии магнитной индукции суть концентрические окружности с центрами на оси симметрии тороида, и вдоль силовой линии величина вектора магнитной индукции постоянна. Теорема о циркуляции, примененная к произвольной силовой линии, дает:

где r - радиус выбранной линии магнитной индукции. Видно, что поле сосредоточено внутри тороида и равно:

Пример 8.2. Катушка (соленоид) намотана на длинный прямой сердечник из однородного магнетика с магнитной проницаемостью µ и имеет N витков. Ток, протекающий по обмотке, равен I, длина соленоида l много больше его радиуса R. Найдите индукцию и напряженность магнитного поля на оси соленоида внутри сердечника и вне его.

Решение. Наличие сердечника не дает возможность воспользоваться непосредственно формулой (7.4) для определения магнитного поля.

соленоида в точке с координатой z, отсчитываемой от середины соленоида, подлежащая определению константа. На оси сердечника напряженность магнитного поля равна H c =, а на оси в воздухе вне соленоида Hb =. По теореме о циркуляции, примененному к бесконечной соленоида l (а для разрыв, возрастая в µ раз при переходе из сердечника в пустоту. Внутри соленоида вдали от концов ( z R Полученный результат можно представить в векторном виде:

внутри проводника (0 R ) H = j,, вне проводника где j - плотность тока точку М из произвольной точки на оси провода, r – расстояние от точки М до оси проводника.

Пример 8.4. На тороидальный сердечник из однородного магнетика с магнитной проницаемостью µ намотано N витков провода. В сердечнике сделан зазор, ширина которого d мала по сравнению с линейным размером сечения тора. Найдите напряженность и индукцию магнитного поля в сердечнике и в зазоре.

соответственно равны H c = и Hз =. Теорема о циркуляции, примененная к силовой линии радиусом r внутри катушки, дает:

ток течет в том же направлении, что и исходный. В общем случае ток I совпадает по направлению с исходным, а направление I2 зависит от знака разности (µ 2 µ1 ). Таким образом, поле, соответствующее исходной задаче, может быть создано в вакууме (или однородной среде) системой токов, заменяющих собой действительное распределение молекулярных токов в средах. Вычисление поля в любой точке теперь может быть произведено по формуле Био-Савара или по формуле поля прямого тока с использованием принципа суперпозиции, и не вызывает трудностей.

Найдем поле во второй среде вблизи границы на расстоянии х от проекции провода. Согасно (7.5 ) индукция в точке х будет B2 n = молекулярных токов нет. Такой случай соответствует боковой поверхности. Граничные условия на этой поверхности требуют:

Iпов=J, причем ток направлен по окружностям перпендикулярно оси цилиндра. Вокруг магнита возникает такое же поле B, как и в вакууме вокруг цилиндра, обтекаемого поверхностным током с линейной плотностью J. Эта задача аналогична расчету поля длинного соленоида, поэтому воспользуемся результатамипримера 7.4.. Как следует из (7.21), вне цилиндра вблизи центра его торца (In0=J, 1=/2, 2=0), B A =.

Если бы цилиндр был бесконечно длинным, поле вне цилиндра отсутствовало бы, поэтому поле вблизи точки C такое же, какое создают в пустоте два полубесконечных соленоида с направлением тока, противоположным iпов, и дополняющих цилиндр до бесконечного. Так как по условию l>>r, для оценки поля в точке C можно воспользоваться прежним выражением (7.21), пренебрегая различием между полем в этой точке и на оси соленоида. Полагая в последней формуле 2=r/lr), сделанный из магнетика с (рис.8.6). Найдите индукцию магнитного поля в центре цилиндра (в т.О).

двигался равномерно, создавая поле, которое в каждый момент времени выглядит как электростатическое, но перемещается вместе с зарядом. Внутри сферы радиусом R2 = c0 (t 0 t ) с центром в точке, соответствующей положению заряда в момент времени t0, «информация» о прекращении ускоренного движения заряда уже «доступна». Поэтому на поверхности этой сферы электрическое поле заряда q в момент времени t0 определяется его положением s в рассматриваемый момент времени:

величины заряда вводится для того, чтобы было понятно, о какой капле идет речь. При определении величины соответствующего заряда этот индекс опускается). Изменение электрического поля вокруг первой капли, связанное с наличием на расстоянии х этого заряда, можно описать, введя заряд q1 (см.

метод изображений и пример 4 параграфа 4):

Заряды q 0 и q1 создают на поверхности первого шара нулевой потенциал, поэтому потенциал первого шара равен =.

Так как заряды по каплям распределены совершенно симметрично, то следует ввести заряд q1, но тогда потенциал первого шара не будет одинаковым по всей его поверхности, что не верно, так как шар проводящий.

Для исправления этого обстоятельства следует ввести заряд q 1 :

При этом вводя симметричный заряд q 2, опять нарушаем условие равенства потенциала во всех точках шара. Для его сохранения вводим заряд q1 и т.д.

Потенциалы шаров будут равны Значение q 0 находим из условия Действительно, поле в малой окрестности вблизи поверхности неравномерно заряженных шаров совпадает с полем, создаваемым двумя цепочками зарядов.

Применим теорему Гаусса к сферической поверхности, близко примыкающей к шару и охватывающей ее. Поток вектора индукции электростатического поля через эту поверхность равен заряду, заключенному внутри нее. Равенство (14.4) и есть равенство зарядов цепочки заряду, неравномерно распределенному по поверхности шара.

Выразим q i из (14.2) и (14.3) для x = 2r (для капель перед слиянием):

и т.д.

Подставляя найденные выражения в (14.4), находим В скобках стоит ряд, сумма которого равна ln 2. Подставляя найденное значение q 0 в выражение для потенциала шаров, а его в свою очередь в закон сохранения энергии (14.1), окончательно получаем Пример 14.2. Пластины плоского конденсатора расположены вертикально.

Длина пластины по вертикали равна l, ее ширина - a, расстояние между пластинами d. Между пластинами введен диэлектрик так, что незаполненной осталась лишь верхняя часть конденсатора длины x. Заряд конденсатора равен масса диэлектрической пластины m. Найдите закон движения диэлектрической пластины с учетом действия силы тяжести, а также определите координату ее положения равновесия x 0.

Решение. Направим ось 0 x вдоль стороны l конденсатора от верхнего края пластин вниз. Пусть верхний край диэлектрической пластины имеет координату x, а скорость пластины равна v =. Полная энергия пластины складывается из ее кинетической энергии, потенциальной энергии силы тяжести: l mg x + и частью энергии электрического поля, обусловленной наличием диэлектрической пластинки. Последнюю находим как разность энергии конденсатора и энергии конденсатора без пластинки. Емкость конденсатора можно представить как емкость двух параллельно соединенных конденсаторов:

Функция Лагранжа для диэлектрической пластины примет вид откуда получим уравнение Лагранжа Выражение для функции Лагранжа и уравнение Лагранжа справедливы для x l. Если x > l (пластина полностью выпала из конденсатора), то энергия электростатического поля в пластине равна нулю, а уравнение Лагранжа принимает вид m&& = mg.

Положение равновесия пластины определяется условием && = 0, откуда Оно существует, если x0 l, или Здесь mgl изменение потенциальной энергии пластины при ее перемещении от крайнего верхнего до крайнего нижнего положения внутри конденсатора, а E0 = -- энергия конденсатора в отсутствии пластинки.

Если же x0 > l, то пластина выпадет из конденсатора и далее будет свободно падать с ускорением свободного падения.

Пример 14.3. Проводящая сфера радиусом R составлена из двух полусфер.

Определите силу F, с которой отталкиваются эти полусферы, если полный заряд сферы равен Q.

Решение. Выделим на сфере небольшой участок площадью dS, несущий заряд Поле в окрестности этого заряда складывается из поля, создаваемого самим зарядом dq, и поля, создаваемого остальными зарядами на сфере.

Суммарное поле равномерно заряженной сферы внутри сферы равно нулю, а силой, направленной по радиусу сферы из центра наружу и равной Подставляя q в выражение для dFz и интегрируя по углу, находим искомую силу Пример 14.4. Оцените, насколько изменится емкость плоского конденсатора, пластины которого находятся на расстоянии d = 1см друг от друга, если в него внести проводящий шарик радиусом r = 0,2 мм и расположить его вдали от пластин.

Решение. При внесении шарика в пространство между пластинами конденсатора на его поверхности появится наведенный заряд. Так как поле в конденсаторе однородное ( r начальными условиями (14.6) имеет вид Таким образом, перемычки вертикально вниз.

совершается как за счет изменения энергии магнитного поля W = LI 2, пронизывающего электромагнит так и за счет работы ЭДС индукции, возникающей в контуре за счет изменения магнитного потока где изменение потока вектора индукции магнитного поля через витки обмотки электромагнита.

Баланс энергии в системе при перемещении якоря имеет вид Поток вектора индукции через витки обмотки равен = BNa 2, где B величина индукции магнитного поля, которую, если пренебречь рассеянием поля, можно считать одинаковой для всех витков. Ее можно найти, если применить теорему о циркуляции к траектории, совпадающей с силовой линией, показанной на рис.14.9 пунктиром:

1. для положения якоря, показанного на рис.14.9б 2. для положения якоря, показанного на рис.14.9а Подставляя найденные значения B1 и B 2 сначала в выражение для потока, а его в (14.7), окончательно получим Учтем, что µ 0, где B0 и q -- постоянные. Определите электрическое поле E (r ), предполагая, что параметры пучка не изменяются вдоль его оси.

Величины J нас и Н нас заданы.

14.21. На сколько изменится индуктивность тонкого витка радиусом R = 1 см, сверхпроводящей плоскости? Плоскость витка параллельна сверхпроводнику.

14.22. В условии примера 6 конденсатор заменяется на резистор с сопротивлением R. Требуется найти закон изменения скорости проводника.

14.23. В условии примера 6 конденсатор заменяется на катушку с индуктивностью L. Требуется найти закон движения проводника.

14.24. Внутрь длинного соленоида, имеющего обмотку с n витками на единицу длины, внесли маленький шарик объемом V из магнитного материала с проницаемостью µ. Оцените, насколько изменится индуктивность соленоида.

14.25. На сколько изменится индуктивность тонкого витка радиусом R = 1 см, сверхпроводящей плоскости? Плоскость витка перпендикулярна сверхпроводнику.

расстоянии l >> a от диполя. Нормаль n к плоскости рамки перпендикулярна оси вращения диполя. Самоиндукцией рамки пренебречь.

§15.Ответы кольца с прорезью.

1.3.

1.4. a = 1.5.

1.6. F = 1.7. в обоих случаях E = 1.15.

цилиндра §15.Ответы 1.16. E = arctg, поле направлено перпендикулярно плоскости полосы 1.18. E =, направлено вдоль диагонали квадрата 1.21. E = 2.3. A = 0, для одноименных зарядов A = ортогональны и диполем.

полусферы 2.10. n = 2.12. F =, диполь будет притягиваться к заряду, если он обращен к нему противоположно заряженным концом, и отталкиваться в противном случае.

2.14. Нет, так как такое поле не будет потенциальным.

§3. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Теорема Гаусса §15.Ответы 3.4. Потенциал проводника уменьшится 3.5. На внутренней поверхности оболочки появится наведенный заряд такой, чтобы поле внутри оболочки обратилось в ноль. Так как оболочка не заряжена, то заряд противоположного знака распределится по внешней поверхности оболочки равномерно.

1) Если к оболочке поднести заряженный проводник, то изменится поле снаружи оболочки так, чтобы поле в проводнике было равно нулю.

Распределение заряда на внутренней оболочке не изменится и по-прежнему будет создавать напряженность в оболочке, равную нулю. 2) Перемещение внутреннего проводника будет приводить к изменению распределения заряда на внутренней оболочке, но не будет влиять на поле снаружи.

3.6. Увеличится, так как поверхностная плотность заряда на металлической пластинке против диэлектрика возрастет.

3.7. Поле радиально и определяется выражениями центра сфер.

3.10. Уменьшится рассматриваемой точки пространства 3.12. E =, направлено параллельно плоскости, в которой лежат провода.

внутри слоя E x = x / 0. Ось 0 x перпендикулярна к поверхности слоя, x = 0 в середине слоя.

сферическую симметрию поля, поэтому определить поле D с помощью интегральной теоремы Гаусса невозможно.

§15.Ответы 3.19. E = 3.22. В точках А и В напряженность возрастет в три раза, а в точках С и обратится в нуль.

от центра шара.

отталкивается от плоскости с силой F1 = 2 F.

отрезками прямых, соединяющих центр сферы с зарядом и центр сферы с текущей точкой M на сфере.

4.10. Поле параллельно оси 0 x и напряженность его E = x. Такое поле будет существовать внутри слоя, ограниченного двумя бесконечными плоскостями, перпендикулярными к оси 0 x, и заряженного равномерно с объемной плотностью = 0.

2 > 1, и отталкивается, если 2 < 1.

§15.Ответы плотность заряда в центре пластины 0 = 0 0 2 2 1 = 0,59 мкКл / м 2.

4.14. = поверхности раздела перпендикуляра, опущенного от заряда на границу раздела, до произвольной точки поверхности. Q = q, заряд притягивается к диэлектрику с силой центрами на проводнике.

щели.

плоскостями; поле от слоя, соответствующего углам от до +d, есть поле от кругового контура радиуса Rsin с силой тока R2sind.

7.7. Вектор B внутри сферы перпендикулярен плоскости рисунка 7.7. Справа от проводника направлен от нас, слева - к нам. Внутри сферы B = 0 ( расстояние от проводника). Вне сферы B=0.

7.8. B|| = 0 arctg (направление – по правилу буравчика).

7.9. B = 0 (1 + cos ), где r – расстояние от точки А. Поле направлено перпендикулярно проводнику с током 2I.

7.10. F = 2 IRB.

7.12. Спирали с осями, параллельными линиям магнитной индукции; радиус на расстоянии h от начальной точки. Максимальное расстояние 4R.

7.13. = §15.Ответы 7.14. B0 = tg. Вектор B0 направлен вдоль положительной нормали к 7.15. B0=0.

рисунка 7.8.

7.17. B0 = 0, вектор B0 направлен вдоль положительной нормали контура радиуса R1 с током NI в центре контура).



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ CАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИПММ — УЧЕБНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. ИНСТИТУТ ОБРАЗОВАН НА БАЗЕ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА. 2 Институт прикладной математики и механики ОГЛАВЛЕНИЕ Приветствие директора Общая информация об Институте ГОД ОСНОВАНИЯ Структура и подразделения Института Образовательные программы ПРЕЕМНИК ФИЗМЕХА,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский государственный национальный исследовательский университет Федеральной бюджетное учреждение науки Федеральный научный центр медико-профилактических технологий управления рисками здоровью населения Н.А. Лебедева-Несевря, С.С. Гордеева СОЦИОЛОГИЯ ЗДОРОВЬЯ Допущено методическим советом Пермского государственного национального...»

«ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА 5. Гребля на байдарках и каноэ (слалом). Примерная программа. М.А. Булаев, Ю.В. Слотина. – М.: Советский спорт, 2006. – 104 с. 6. Жуков Р.С. Возрастно-половые особенности обучения технике спортивных способов плавания детей школьного возраста // Совершенствование системы физического воспитания, оздоровления детей и учащейся молодежи в условиях различных климатогеографических зон: Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции / Общ. ред. С.И. Логинова. –...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский экономико-юридический институт УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине Экономика для направления подготовки 030500.62 Юриспруденция Томск - 2010 СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛ 1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ 1.1. Выписка из государственного образовательного стандарта 1.2. Цели освоения дисциплины 1.3. Требования к уровню освоения дисциплины 1.4. Виды и формы...»

«БУК Областная библиотека для детей и юношества Библиотека – точка опоры методическое пособие по материалам выездных районных семинаров Выпуск 3 город Омск 2013 Уважаемые коллеги, на протяжении нескольких лет сотрудники областной библиотеки для детей и юношества проводят выездные районные семинары для библиотекарей муниципальных библиотечных систем Омской области под общим названием Современная библиотека. Наполнением этих семинаров служат консультации и практические задания по запросам...»

«ЦЕНТРАЛЬНЫЙ БАНК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР ЭКОНОМИКА ОРГАНИЗАЦИИ Контрольная работа для обучающихся по специальности 080110 Банковское дело (базовая и углублённая подготовка) Тверь 2013 Р.У. Махмутова, преподаватель Казанской банковской шкоРецензент лы (колледжа) Банка России Экономика организации [Текст] : контрольная работа (базовая и углублённая подготовка) / Т.П. Соленова. – Тверь : УМЦ Банка России, 2013. – 23 c. Для студентов I курса, обучающихся по специальности...»

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ РАДИОФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ Ю. Л. Крученок ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Учебное пособие Минск 2005 Рекомендовано Ученым советом факультета радиофизики и электроники 30 марта 2004 г., протокол № 8 Крученок Ю. Л. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие. – Мн.: БГУ, 2005. – 100 с. Излагаются материалы лекций курса Экономико-математические методы и модели для студентов специальности E 25 01 10 Коммерческая деятельность...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА В. А. Белов Гражданское право Т. I Общая часть Введение в гражданское право Учебник для бакалавриата и магистратуры 3-е издание, переработанное и дополненное Рекомендовано Учебно-методическим отделом высшего образования в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по юридическим направлениям и специальностям Книга доступна в электронной библиотечной системе biblio-online.ru Москва УДК ББК 67.404я Б Автор:...»

«МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ЦЕНТР ОБРАЗОВАНИЯ АТТЕСТАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРЕДМЕТАМ: РОДНОЙ ЯЗЫК, ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК, ФИЗИКА, УЗБЕКСКИЙ ЯЗЫК, ИНФОРМАТИКА, ГЕОГРАФИЯ, БИОЛОГИЯ И ОСНОВЫ ГОСУДАРСТВА И ПРАВО НА 2013–2014 УЧЕБНЫЙ ГОД (по переводным экзаменам 7-8 классах общеобразовательных школ) Издательско-полиграфический творческий дом имени Гафура Гуляма Ташкент–2014 Аттестационные материалы рассмотрены и утверждены...»

«Уважаемые выпускники! В перечисленных ниже изданиях содержатся методические рекомендации, которые помогут должным образом подготовить, оформить и успешно защитить выпускную квалификационную работу. Рыжков, И. Б. Основы научных исследований и изобретательства [Электронный ресурс] : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки (специальностям) 280400 — Природообустройство, 280300 — Водные ресурсы и водопользование] / И. Б. Рыжков.— СанктПетербург [и др.] : Лань,...»

«ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М. ГОРЬКОГО Кафедра отоларингологии Методические указания для студентов ІV курса медицинского факультета по самостоятельной подготовке к практическим занятиям по отоларингологии МОДУЛЬ 1 Донецк 2013 1 Методические указания предназначены для самостоятельной подготовки к практическим занятиям по отоларингологии (модуль 1 отоларингология) студентов IV курса медицинского факультета Донецкого национального медицинского университета им. М. Горького....»

«Министерство образования и науки Республика Бурятия Государственное образовательное учреждение Начального профессионального образования Профессиональное училище №3 Комплект контрольно-оценочных средств по профессии НПО 190631.01 Автомеханик Учебно-методическое пособие РАЗРАБОТАЛ: преподаватель специальных дисциплин ГОУ НПО ПУ№3 Ульянова Светлана Александровна г. Гусиноозерск, 2011 год 1 Содержание ВВЕДЕНИЕ..3 Комплект контрольно – оценочных средств по профессиональному модулю ПМ.01. ТЕХНИЧЕСКОЕ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Биолого-химический факультет кафедра органической, биологической химии и методики преподавания химии Учебно-методический комплекс по дисциплине Органическая химия, специальность 020101 Химия Составитель: д.х.н., профессор кафедры органической, биологической химии и МПХ...»

«н. В. ЛОГВИНЕНКО ПЕТРОГРАФИЯ ОСАДОЧНЫХ ПОРОД (С ОСНОВАМИ МЕТОДИКИ ИССЛЕДОВАНИЯ) Допущено Министерством высшего и среднего специальиегв ебразования СССР в качестве учебного пособия для студентов геологических специальностей вузов ИЗДАТЕЛЬСТВО „ВЫСШАЯ ШКОЛА МОСКВА-1967 Более четверти века курс осадочной петрографии' читает­ ся в в ы с ш и х учебных заведениях нашей страны. В настоящее время по петрографии осадочных п о р о й имеются учебники М. С. Ш в е ц о в а, Л. Б. Р у х и н а и Л. В. П у...»

«Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Кафедра государственного и муниципального управления МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе студентов по дисциплине ЭТИКА И КУЛЬТУРА УПРАВЛЕНИЯ для студентов специальности 080504.65 Государственное и муниципальное управление Краснодар 2012 г. 1 Методические указания...»

«3. Сахаров П. В. Проектирование электрических аппаратов (общие вопросы проектирования): учебное пособие для студентов электротехнических вузов. М. : Энергия, 1971. 560 с. A. M. Markov PARTICULARITIES OF THE CALCULATION OF THE SYSTEM OF THE EXTINGUISHING THE ELECTRIC ARC IN ELECTROMAGNETIC CONTACTOR OF THE DIRECT CURRENT They are considered problems calculation systems of the extinguishing the arc, allowing stable to extinguish the arc of the direct current, appearing on contact of the electric...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ А.Г Карманов УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГЕОИНФОРМАТИКА Санкт-Петербург 2012 Учебное пособие посвящено геопространственному моделированию объектов с помощью ГИС и использование сопровождаемой их семантической информации. Кроме того вопросам сбора и подготовки географических данных, организации данных в...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ БИОФИЗИКА для студентов I курса заочного отделения фармацевтического факультета Учебно-методическое пособие Составители: Башарина О.В., Артюхов В.Г. ВОРОНЕЖ 2007 2 Утверждено Научно-методическим советом фармацевтического факультета 20.11.2007 г. (протокол № 9). Учебно-методическое пособие для подготовки студентов к выполнению контрольной работы по дисциплине...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ АКАДЕМИЯ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ И ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ ПЕРЕПОДГОТОВКИ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА ОСНОВЕ РЕГУЛИРУЕМОГО ЭВОЛЮЦИОНИРОВАНИЯ Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции Часть 7 14 ноября 2007 г. Москва – Челябинск УДК ББК 74. М М 86...»

«Тема ГБ 24–11/1 АКТУАЛИЗАЦИЯ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ХИМИКО-АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН В ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ Промежуточный отчёт за 2012 год: Разработка системы контроля усвоения учебного материала и диагностики сформированных знаний с использованием информационных технологий РЕФЕРАТ Отчет 61с., 7 рис., 14 табл., 22 источников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ, ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА, ПРЕПОДАВАНИЕ, КОМПЬЮТЕРНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ Объектом исследования является – разработка системы контроля усвоения учебного...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.