WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Федеральное агентство по образованию

Российской федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

Институт инженерной физики и радиоэлектроники

Кафедра теоретической физики

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА:

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Учебное пособие по курсу «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред»

Красноярск 2008 УДК 530/537 А.М.Баранов, С.Г.Овчинников, О.А.Золотов, Н.Н.Паклин, Л.С.Титов.

Теоретическая физика: Электродинамика. Электродинамика сплошных сред.

Учебное пособие по курсу «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред» // СФУ, Красноярск, 2008. – 198 с.

Учебное пособие «Теоретическая физика: Электродинамика. Электродинамика сплошных сред» по дисциплине «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред» предназначено для студентов 3-го курса физических специальностей университетов и посвящено изложению основных принципов теории электромагнитного поля в вакууме и сплошных средах.

Каждая глава снабжена контрольными вопросами для самопроверки.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Сибирского федерального университета © Сибирский федеральный университет,

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Теоретическая физика: Электродинамика. Электродинамика сплошных сред» является второй из курсов теоретической физики, обязательной университетской программы по теоретической физике для направления «Физика» и специальности «Физика» (после дисциплины «Теоретическая физика. Механика») университетов.

Соответствующий курс «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред» имеет значение с общетеоретической точки зрения как пример калибровочной теории, которая может обобщаться на другие физические явления микромира и макромира, и также для более глубокого и детального по сравнению с курсом «Электричество и магнетизм» из общей физики ознакомления со свойствами электромагнитных полей и заряженных частиц как в вакууме, так и в сплошных средах.

С другой стороны, курс «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред» является примером применения классической полевой теории электромагнитного поля. Такого рода классический полевых теорий на данный момент существует две: электромагнитная (теория Максвелла) и гравитационная (теория Эйнштейна). Поэтому необходимо, чтобы студентыфизики на примере электромагнитной теории овладели основными понятиям, навыками и умениями работать с классической полевой теорией.

В области обучения целью преподавания дисциплины по направлению подготовки 010700 Физика является изучение теории электромагнитного поля в вакууме и сплошных средах, формирование базовых общепрофессиональных знаний о теоретических основах, базовых понятиях, законах электродинамики и моделях электродинамических систем, теории генерации и распространения электромагнитного излучения, необходимых в последующих курсах: теории относительности, квантовой механики, термодинамики и статистической физики, а также квантовой теории поля и квантовой теории твердого тела. Кроме того, в курсе «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред» закладываются основы владения основными методами теоретической физики (в приложениях к электростатике и магнитостатике), необходимыми при изучении дальнейших курсов теоретической физики: квантовой механики, термодинамики и статистической физики, квантовой теории магнетизма и твердого тела.

Основной задачей дисциплины "Теоретическая физика: Электродинамика. Электродинамика сплошных сред" является обучение овладение идеями и методами полевого подхода к описанию физических явлений с участием электромагнитных взаимодействий с тем, чтобы эти методы могли быть легко перенесены в дальнейшем и на другие разделы теории поля в теоретической физики. При этом студенты должны знать, откуда и как возникли эти методы, когда и где можно их применять. Они должны также знать и уметь решать типовые задачи, пользуясь различными подходами для решения уравнений Максвелла в вакууме и сплошных средах.

К концу изучения курса студент должен овладеть следующими компетенциями:

1. Универсальными общенаучными компетенциями (ОНК):

ОНК-1. Готовность использовать полученные знания, навыки и умения при дальнейшем изучении курсов теоретической физики – квантовой механики, термодинамики и статистической физики, специальных дисциплин специализаций «Теоретическая физика», «Физика твердого тела», «Физика магнитных явлений», «Радиофизика», применять методы высшей математики и моделирования, теоретического исследования в физике и технике;

ОНК-2. Способность активно и целенаправленно применять полученные знания, навыки и умения для выбора тематики выполнения индивидуальной научно-исследовательской работы и курсовых работ;

2. Инструментальными компетенциями (ИК):

ИК-1. Активное владение пользовательскими навыками для применения компьютерных пакетов для аналитических и численных вычислений при решении ряда электродинамических задач;

ИК-2. Готовность работать с информацией в области теоретической физики из различных источников: отечественной и зарубежной научной периодической литературы, монографий и учебников, электронных ресурсов Интернет;



3. Профессиональными компетенциями (ПК):

ПК-1. Готовность использовать основные методы теоретической физики в последующей профессиональной деятельности в качестве научных сотрудников, преподавателей вузов, инженеров;

ПК-2 Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности в областях теоретической физики: механики, теории относительности, электродинамики, квантовой механики, статистической физики.

ПК-3. Способность понимать, излагать и критически анализировать физическую информацию.

ПК-4. К концу изучения курса «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред» от студента требуется:

а). Знание и понимание физического смысла уравнений Максвелла.

б). Умение вычислять векторные функции с дифференциальным оператором Гамильтона.

в). Умение решать простейшие задачи о движении заряженной частицы в статических электромагнитных полях.

г). Знание основных видов решений для электромагнитного поля – статическое, волны, излучение.

д). При изучении сплошных сред необходимо понимание причины различия напряженности и индукции.

е). Знать особенности прохождения волн в диспергирующих средах.

ж). Иметь понятие о волноводах и резонаторах.

з). Понимать различия между диамагнетизмом и парамагнетизмом.

и). Иметь основные понятия о теории ферромагнетизма, доменной структуре.

к). Иметь элементарные знания о сверхпроводимости как низко температурной, так и высоко температурной.

Для изучения дисциплины «Теоретическая физика: Электродинамика.

Электродинамика сплошных сред» необходимо предварительное усвоение курса «Электричество и магнетизм», «Теоретическая физика. Механика», основных разделов «Математического анализа» – дифференциальное и интегральное исчисление, «Дифференциальных уравнений», «Линейной алгебры и аналитической геометрии», основ «Информатики».

Дисциплина «Теоретическая физика: Электродинамика. Электродинамика сплошных сред» является базовым при изучении последующих курсов теоретической физики: квантовой механики, термодинамики и статистической физики, квантовой теории поля и теории гравитационного поля (общей теории относительности) и ряда специальных курсов по различным разделам физики, в том числе спецкурсов: «Основы общей теории относительности», «Квантовая теория магнетизма».

ЧАСТЬ I. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ВАКУУМЕ

Глава 1. Электрический заряд и электромагнитное поле 1.1. Понятие силового поля и пробного заряда Из повседневного опыта хорошо известно, что любое физическое тело, помещенное над поверхностью Земли и предоставленное самому себе (т.е. не удерживаемое ни веревкой, ни подставкой) начинает двигаться вертикально вниз (падать) и через некоторое время достигает поверхности Земли. Какие силы заставляют тело двигаться? Как видно из описанного эксперимента ни Земля, ни наше тело не взаимодействовали друг с другом через непосредственное взаимодействие (соприкосновение). Взаимодействие происходило на расстоянии, через третье «тело» – поле. Другими словами, вокруг каждого из рассматриваемых тел существует силовое поле, через которое они и влияют друг на друга (изменяют состояние движения друг друга на расстоянии).

Данное силовое поле называется гравитационным, а силы – силами гравитационного притяжения, связанными с существованием гравитационного поля вокруг Земли и рассматриваемого тела. Как Земля, так и взятое нами тело обладают одной характеристикой (параметром) – гравитационной массой, определяющей величину силы взаимодействия между телами. Так как масса Земли M несравненно больше массы взятого нами тела (т.е. инертность Земли очень велика), то и силовое поле, создаваемое ею, несравненно более интенсивно, т.е. обладает значительной напряженностью по сравнению с напряженностью тела массы m.

Следовательно, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) для Земли равно g З = GN M / R 2, а для тела будет gТ = GN m / R 2. Поэтому их отношение gТ / g З = m / M 0 из-за ничтожной величины массы тела по сравнению с массой Земли.

Отсюда можно сделать вывод, что влияние силового поля Земли на тело настолько велико, что обратным влиянием силового поля тела на гравитационное поле Землю можно пренебречь, несмотря на то, что по третьему закону динамики (3-му закону Ньютона) сила притяжения тела к Земле равна силе притяжения Земли к телу. Это означает, с другой стороны, что общее (результирующее) поле системы Земля-тело практически определяется силовым полем Земли.

Приведенный здесь пример убеждает нас, что при рассмотрении ряда физических явлений можно пользоваться как понятием силового поля, так и пробного тела, т.е. физического тела, которое взаимодействует со внешним силовым полем, но само не оказывает влияния на это поле. Понятие пробного тела, естественно, является в определенной степени абстракцией с физической точки зрения, но введения такого понятия значительно облегчает и упрощает описание физических явлений.

Необходимо еще заметить следующее. Масса, проявляющаяся в гравитационном взаимодействии, может рассматриваться как гравитационный заряд, а, значит, можно ввести понятие пробного гравитационного заряда.

Все эти выводы для гравитационного поля получены на основании опытных фактов.

Однако есть еще один аспект, связанный с понятием пробной частицы и размеров такой частицы. Согласно специальной теории относительности (СТО) сигналы не могут распространяться в любой материальной среде быстрее скорости света в этой среде. Это означает невозможности существования абсолютно твердых тел. С другой стороны мы видели, что понятие пробной частицы связано с малыми размерами тела, т.к. как правило, такие малые тела имеют и малую массу, т.е. малый гравитационный заряд. Совмещение понятий малого по объему пробного тела и отсутствия деформаций приводит к понятию точечного пробного тела. Пробная частица должна быть, строго говоря, точечной. Однако в реальности это означает очень малые размеры частицы, так что ее можно в классической физике (т.е. без учета квантовых эффектов) принять за точечную.

В электромагнетизме на основании ряда опытных фактов можно заключить, что свойства частицы по отношению к взаимодействию с электромагнитным полем также определяются одним параметром, который называют электрическим зарядом частицы. При этом, в отличие от гравитационного заряда электрический заряд может быть двух знаков: положительным и отрицательным. Электронейтральные частицы имеют нулевой заряд.

Аналогично рассмотренному выше примеру с гравитационным полем можно ввести и понятие пробного электрического заряда, поле которого не влияет на поле внешнего электромагнитного поля, создаваемого системой зарядов, с которой он взаимодействует. Однако при определении пробной заряженной частицы необходимо учитывать, что заряд сам по себе не существует, а связан с некоторой частицей, обладающей массой. Поэтому понятие пробной частицы в электромагнетизме оказывается связанным как с точечностью частицы (малыми размерами), так и малостью электрического заряда.

1.2. Действие для заряда в электромагнитном поле и четырехмерный вектор-потенциал электромагнитного поля Одной из основных проблем, связанной с описанием движения пробной заряженной частицы, оказывается нахождение уравнений движения. Однако те знания, которые позволяли в классической механике довольно просто получить уравнения Лагранжа (уравнения движения) исходя из записи лагранжиана как разности кинетической T и потенциальной U энергий здесь не применимы хотя бы из-за того, что электродинамика — это релятивистская теория, в которой необходимо заново построить и лагранжиан, и взаимодействие поля с зарядом.

Перейдем к построению действия для частицы, движущейся в электромагнитном поле. Прежде всего запишем известное из СТО действие для свободной нейтральной частица массы m, движущейся со скоростью v (при этом v 2 = v1 + v2 + v3, c – скорость света) где соответствующая функция Лагранжа имеет вид а параметр записывается как = m c 2.

Вариационная задача с закрепленными концами для действия (1.2) приводит к уравнению движения свободной нейтральной частицы, как и должно быть (ускорение равно нулю).

Запись действия можно трансформировать для четырехмерия, введя 4интервал в виде, например, в «декартовых» координатах, где = diag (1,1,1,1) метрический тензор пространства-времени Минковского.

В этом случае действие для свободной частицы, движущейся между точками 1 и 2 четырехмерного пространства-времени, перепишется как Если же кроме массы у частицы появляется еще один параметр, электрический заряд q, а сама заряженная частица помещается в электромагнитное поле, то необходимо внести изменения в запись действия и функции Лагранжа. Здесь опять необходимо вернуться к классической механике, где при переходе от движения свободной частицы к движению частицы в силовом поле, например гравитационном, в лагранжиане появляется потенциальная функция U, а в действии слагаемое пропорциональное произведению Udt.

С другой стороны, в электродинамике со скалярным потенциалом связана напряженность электрического поля, Однако кроме электрического поля существует еще и магнитное, которое является вихревым и поэтому выражается с помощью оператора rot, учитывающего особый характер магнитного поля, как где A вектор-потенциал магнитного поля.

Кроме того, в рамках четырехмерного формализма дифференциальная форма Udt может быть записана в виде (с точностью до постоянной, равной скорости света c ) где A0 потенциал электрического поля (потенциальная энергия U = q ), фактически представляющий собой компоненту четырехмерного вектора A, называемого 4-потенциалом электромагнитного поля (греческие индексы пробегают значения 0,1,2,3).

Учитывая приведенные замечания, обобщим записи действия (1.2) и (1.5), добавив в подынтегральное выражение слагаемое (с учетом размерности) где A = (, A) 4-потенциал, скалярный потенциал поля, а A векторный потенциал.

В итоге действие (1.5) принимает вид или В трехмерных обозначениях действие примет вид Откуда сразу получается соответствующая функция Лагранжа Сравнение с записью (1.3) показывает, что член, описывающий взаимодействие электрического заряда с электромагнитным полем описывается выражением Согласно общему алгоритму лагранжева формализма в данном случае можно найти обобщенный импульс помощью функции Лагранжа (1.9) где теперь введем импульс частицы p = mv / 1 2 (или просто импульс) и импульса поля Pf = eA / c.

Электродинамика – релятивистская теория, поэтому необходимо упомянуть о преобразованиях Лоренца и преобразовании относительно них компонент 4-потенциала A.

При движении двух инерциальных систем отсчета K и K ', у одной из которых ось абцис скользит по другой (например, у системы K ' ), т.е. относительная скорость между этими ИСО направлена вдоль этих осей V = (V,0,0), справедливы специальные преобразования Лоренца, осуществляющие преобразование временной и пространственных координат из одной ИСО в другую, Введем стандартное обозначение для следующей дроби, часто используемой в релятивистских теориях, Применим теперь эти преобразования к 4-потенциалу A, введя матрицу Лоренца, где матрица Лоренца записывается как 1.3. Уравнения движения точечного заряда в электромагнитном поле Выше уже было указано, при каких условиях заряд можно считать пробным, чтобы можно было применить к найденному лагранжиану (1.10) стандартный лагранжев формализм, т.е., в первую очередь, записать уравнения Лагранжа и подставить в них (1.10) Эти уравнения получаются из вариационной задачи с закрепленными концами на минимум действия (принцип наименьшего действия) В нашем случае уравнения движения электрического заряда в электромагнитном поле запишутся как где введена напряженность электрического поля и напряженность магнитного поля Здесь уместно еще найти полную энергию заряда в электромагнитном поле, используя стандартный лагранжев подход:

или С помощью стандартной процедуры можно, исходя из лагранжиана, отвечающего движению заряженной частицы в электромагнитном поле, построить функцию Гамильтона. Однако, обращая внимание на соотношения (1.11) и (1.20), которые при отсутствии электромагнитного поля (4-потенциал равен нулю) позволяют записать гамильтониан свободной релятивистской частица как так как энергия (1.20) с = 0, выраженная через импульс и есть функция Гамильтона.

Теперь нетрудно обобщить (1.21) на случай наличия электромагнитного поля, используя (1.11) и (1.20) Отсюда находим гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле Если теперь для функции (1.22) составить уравнения Гамильтона, то это будут уравнения движения заряженной частицы, находящейся в поле.

Уравнения движения также можно получить с помощью формализма Гамильтона-Якоби.

Для этого определим 4-импульс p для свободной частицы как 4градиент от действия, взятой как функция верхнего предела и сконструируем инвариант из квадрата этого 4-импульса который при записи в явном виде примет вид релятивистского уравнения Гамильтона-Якоби При этом гамильтониан равен со знаком минус производной действия по времени ( H = ).

Процедура обобщение на случай электромагнитного поля нам уже известна как сдвиг в уравнении (1.23) градиента и производной по времени на электромагнитные потенциалы с коэффициентами, учитывающими размерность. В результате приходим к релятивистскому уравнению ГамильтонаЯкоби Следуя методу Гамильтона-Якоби, с помощью (1.24) можно получить закон движения заряженной частицы в поле.

1.4. Калибровочная или градиентная инвариантность электромагнитного поля В лагранжевом формализме большую роль играют свойства симметрии действия или функции Лагранжа. В частности, замена не меняет уравнений Лагранжа.

В связи с этим интересно было бы выяснить вопрос об однозначности определения потенциалов в электродинамике, т.к. в уравнения движения входят напряженности электромагнитного поля E и H, а не потенциалы, т.е. для разных потенциалов напряженности могут быть одними и теми же. Другими словами, необходимо выяснить как могут преобразовываться потенциалы не меняя напряженностей электромагнитного поля.

Принимая во внимание дифференциальную структуру E и H, задаваемую формулами (1.17) и (1.18), можно ввести градиентный сдвиг для четырехмерного вектор-потенциала при котором напряженности электрического и магнитного полей не будут меняться. При этом, естественно, уравнения движения оказываются ковариантными (не меняющими свою форму записи).

Это и есть калибровочная инвариантность полей или уравнения движения относительно калибровочных преобразований (1.25). В трехмерном виде эти преобразования записываются как Нетрудно непосредственной подстановкой убедиться, что электрическое и магнитное поля действительно не изменяются при таких сдвигах потенциалов, т.к. операция ротора в определении напряженности магнитного поля, примененная к градиенту, дает тождественный нуль, а в выражении для напряженности электрического поля просто происходит тождественное добавление нуля при таких преобразованиях.

Следовательно, преобразования (1.25) и (1.26) электромагнитных потенциалов не изменяют самого поля, а потенциалы определяются неоднозначно: скалярный потенциал определен с точностью до аддитивного члена (со знаком минус), являющегося частной производной по времени от произвольной функции и векторный потенциал — с точностью до аддитивного градиента от той же самой функции.

Это означает, что к скалярному потенциалу можно добавлять произвольную постоянную, а к векторному потенциалу — любой постоянный вектор. Такой произвол позволяет подобрать так функцию f, чтобы скалярный потенциал был равен нулю, что невозможно сделать подбором одной функции для векторного потенциала ввиду его векторного характера.

1.5. Постоянное электромагнитное поле К постоянным электромагнитным полям относятся поля, не зависящие от времени. В этом случае ясно, что потенциалы электромагнитного поля могут быть выбраны зависящими только от пространственных координат, т.е.

= 0. Это означает, что постоянное электрическое поле примет вид а постоянное магнитное поле свой вид не изменит Следовательно, постоянные электрическое и магнитное поля определяются каждое только «своими» потенциалами. Однако выбор потенциалов не однозначен и по-прежнему векторный потенциал определен с точностью до аддитивного градиента произвольной функции. Что касается потенциала электрического поля, то однозначности можно достигнуть путем выбора его равным нулю на бесконечности.

Кроме условия постоянства можно наложить еще требование однородности поля.

Силовое поле называется однородным, если во всех точках пространства напряженность поля одинакова. В частности, для однородного электрического поля скалярный потенциал может быть выражен через напряженность электрического поля как Однородное же магнитное поле обладает вектор-потенциалом При выборе компонент вектор-потенциала в виде где ось z выбрана вдоль вектора напряженности магнитного поля H, мы также имеем однородное магнитное поле. При этом записи (1.30) и (1.31) отличаются на слагаемое, равное градиенту функции f = xyH / 2 ([1]).

Существует еще одна запись однородного магнитного поля через градиент скалярного магнитного потенциала Необходимо отметить, что при обобщении теории электромагнетизма на пятимерное плоское пространство Калуцы интерпретацию магнитного потенциала можно связать с пятой компонентой 5-потенциала A5 (см.

[22]).

1.6. Движение в постоянных электрическом и магнитном полях Рассмотрим движение электрического заряда q в плоскости xy, при этом ось x направим вдоль вектора напряженности электрического поля E = (E,0,0) (см, например [1]). В этом случае уравнения движения (1.16) запишутся как Выбирая, что в начальный момент импульс вдоль оси x равен нулю, а вдоль оси y равен p0, сразу получаем Подставляя в кинетическую энергию выражения (1.34) и, вводя для начального момента времени исходную энергию E0, находим Используя связь v = p c 2 / Eкин., для x -компоненты скорости можем записать уравнение решение которого легко находится и равно полагая, что движение начинается из начала координат.

Аналогичным образом записывает скорость вдоль оси y и, решая полученное уравнение, получаем Исключая из (1.36) и (1.37) время, находим уравнение траектории которое оказывается уравнение цепной линии.

В приближении медленного движения (скорость частицы много меньше скорости света, p0 = mv0, E0 = mc 2 ), разлагая в ряд по степеням 1 / c выражение (1.37), уравнение цепной линии сводится уравнению параболы, по которой и движется заряженная частица в классике, При рассмотрении движения электрического заряда в однородном магнитном поле направим ось z по магнитному полю H, т.е. H = (0,0, H ). Уравнение движения в этом случае перепишем с учетом соотношения p = E v / c 2, где теперь E – энергия, которая постоянна в магнитном поле. Уравнения движения принимают вид Расписывая по компонентам (1.38) и вводя вспомогательную комплексную переменную Z = v x + iv y, сведем два уравнения системы (1.38) к одному дифференциальному уравнению первого порядка Интегрируя (1.39), отделяя мнимую и вещественную части решения, получим где постоянные v0 определяются из начальных условий и v0 = v x + v 2.

Путем интегрирования из (1.6.9) получаем закон движения в плоскости xy где Из оставшегося третьего уравнения системы (1.38) находим закон движения вдоль оси z Таким образом, в однородном магнитном поле электрический заряд движется по винтовой линии, навиваясь на ось z с радиусом r, согласно (1.42) и циклической частотой. Скорость частицы постоянна при движении. В отсутствии начальной z составляющей скорости получим движение просто по окружности в плоскости, перпендикулярной направлению поля.

В приближении медленных движений (по сравнению со скоростью света, когда E mc 2 ) частота записывается как 1.7. Дуальное сопряжение и 4-мерный символ Леви-Чивиты При пространственных отражениях важную роль играет символ ЛевиЧивиты единичный полностью антисимметричный тензор (только в плоском пространстве): = =, из которого можно выделить где ijk единичный антисимметричный тензор в трехмерном евклидовом пространстве, так же называемый символом Леви-Чивиты (латинские _ндеексы пробегают три значения: 1,2,3). Величина ijk равна: + 1, если индексы ijk образуют упорядоченный набор 123 или четную подстановку к нему; и ijk равен 1, если нечетную подстановку к упорядоченному набору; 0, если два или три индекса совпадают. Выпишем для справок свойства 3мерного символа Леви-Чивиты, играющие важную роль как в классической механике, так и в других разделах теоретической физики:

а так же аналогичные свойства 4-мерного символа Леви-Чивиты:

Валентность (ранг) символа Леви-Чивиты равна размерности пространства (пространства-времени). Свертка с ним называется дуальным сопряжением. В частности дуальное сопряжение антисимметричного тензора A Дуальное сопряжение применяется к скаляру, вектору, антисимметричному тензору валентности 4. При этом соблюдается правило:

тензор тензор = тензор;

тензор псевдотензор = псевдотензор;

псевдотензор псевдотензор = тензор.

если скаляр, то = ijkl псевдотензор;

если l вектор, то = ijkl l псевдотензор;

если kl тензор, то = ijkl kl / 2 псевдотензор;

если jkl тензор, то = ijkl jkl / 3! псевдовектор;

если ijkl тензор, то = ijkl ijkl / 4! псевдоскаляр.

Здесь дуальное сопряжение обозначено знаком.

Пример. Свертка антисимметричного тензора валентности два с его дуальным сопряжением: Aik Aik псевдоскаляр.

Еще один важный пример, объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на линейно не зависимых векторах a, b, c, d :

Фактически дуальное сопряжение можно рассматривать как некоторый поворот в дуальном пространстве, аналогичный повороту в комплексной плоскости.

1.8 Ковариантная форма уравнений движения Вариационная задача S = 0 с закрепленными концами для действия в 4-мерной форме (1.6) приводит к уравнениям Лагранжа в 4-мерной форме (уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле) где движение заряженной частицы описывается вектором 4-скорости u i.

Если ввести обозначение то уравнения движения (1.44) можно переписать как Эти уравнения суть уравнения Лоренца. Такая запись уравнений справедлива только в декартовых координатах.

Чтобы уравнения (1.49) были справедливы в произвольных криволинейных координатах, их необходимо переписать как здесь символ Кристоффеля, который выражается через метрический тензор. Такая запись называется ковариантной, т.е. запись, при которой сохраняется вид данного уравнения при произвольных преобразованиях координат.

Символ Кристоффеля появляется при использовании криволинейной координатной системы. В общей теории относительности, когда рассматриваются неинерциальные системы отсчета и сильные гравитационные поля, искривляется само пространство-время, а вместе с ним искривляются даже декартовы координаты. В этом случае уравнение движения тоже записываются в виде (1.50) [22].

1.9. Тензор электромагнитного поля Антисимметричный тензор второго ранга F, определенный выражением (1.45) называется тензором электромагнитного поля. Это название становится понятным, если расписать все компоненты (1.45) и ввести по определениям напряженности электрического (1.17) и магнитного (1.18) полей. Нередко результат удобно представить в матричном виде Таким образом, в 4-мерном формализме электрическое поле и магнитное поле являются не векторами, а компонентами антисимметричного тензора второго ранга.

1.10. Преобразование Лоренца для электромагнитного поля Преобразования Лоренца в 4-мерном виде для тензора F записывается как Возьмем специальное преобразование Лоренца (1.14) и подставим в (1.52). Расписывая, получим явный вид преобразования напряженностей электрического и магнитного полей при переходе в другую ИСО:

Преобразование (1.53) можно переписать в более компактной форме, ели выделить, относительно скорости, продольные и поперечные компоненты полей Учитывая, что E = E|| + E, B = B|| + B и [ B|| ] = 0, можно переписать (1.54) в виде общего преобразования Лоренца Обратные к (1.55) преобразования полей получаются с помощью замены 1.11. Инварианты электромагнитного поля При изучении свойств 4-векторов, мы интересуемся также инвариантными свойствами, скалярными квадратами и скалярными произведениями.

Инвариантные свойства 4-тензоров тоже представляют большой интерес, поэтому нам нужно вычислить все 4-скаляры, которые можно образовать из тензоров.

Простейший инвариант тензора электромагнитного поля оказывается тривиальным F g 0, т.к. это следствие антисимметричности тензора электромагнитного поля F.

Однако можно сконструировать и нетривиальные 4-скаляры из антисимметричного тензора F. Для этого необходимо свернуть тензор с другим антисимметричным тензором. Роль этого другого антисимметричного тензора играет либо сам тензор электромагнитного поля F, либо дуальное сопряжение к нему F. В итоге получаем два независимых инварианта: скаляр и псевдоскаляр Распишем свертки (1.56) и (1.57) явным образом в трехмерной форме Замечание. Любая функция от инварианта есть инвариант. Поэтому принято определять их как простейшее инвариантное выражение, с точностью до знака и постоянного коэффициента.

Инварианты (1.56) – (1.58) не меняются при переходе в другую ИСО, а поэтому являются мощным инструментом для решения задач.

Пример, если в некоторой ИСО ( E B) > 0, то угол между векторами останется острым во всех ИСО и обязательно существует ИСО, в которой векторы параллельны. Аналогично, если в некоторой ИСО ( E B ) < 0, то угол между векторами останется тупым во всех ИСО и обязательно существует ИСО, в которой векторы антипараллельны. Если в некоторой ИСО ( E B ) = 0, то угол между векторами останется прямым во всех ИСО.

Другой пример, если в некоторой ИСО B 2 > E 2, то это неравенство будет выполняться во всех ИСО и обязательно существует ИСО, в которой E = 0. Аналогично, если в некоторой ИСО B 2 < E 2, то это неравенство будет выполняться во всех ИСО и обязательно существует ИСО, в которой B = 0. Если в некоторой ИСО B 2 = E 2, то равенство будет выполняться во всех ИСО.

В литературе можно встретить другой вывод независимых инвариантов тензора электромагнитного поля. Антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть независимых компонент и называется бивектором, т.е. два 3мерных вектора. Этот математический объект можно представить как один 3мерный комплексный вектор F = E + iB. Преобразования Лоренца эквивалентны пространственному повороту в 3-мерном комплексном пространстве.

Поэтому квадрат комплексного вектора является комплексным инвариантом:

F 2 = E 2 B 2 + 2 i E B) = inv, действительная и мнимая части которого пропорциональны выражениям (1.58).

Знание инвариантов позволяет построить инвариантный элемент действия и вывести уравнения поля из вариационного принципа S = 0. В выражениях (1.58) первый инвариант является скаляром, а второй инвариант псевдоскаляром. Именно первый инвариант F F = inv используется для конструирования действия. Если мы подставим в S = 0 действие, содержащее только полевые переменные dS f Fik F ik d ( d элемент 4-объема), то получим уравнения свободного поля, без источников, т.е. без зарядов и токов.

Контрольные вопросы 1. Что такое пробная частица?

2. Что такое пробный заряд?

3. Как записываются уравнения Лагранжа в аналитической механике?

4. Как записывается закон всемирного тяготения Ньютона?

5. Как выглядит ньютоновский гравитационный потенциал?

6. Записать трехмерные уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле.

7. Записать уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле в ковариантном виде.

8. Какие существуют инварианты электромагнитного поля?

9. Что такое калибровочная инвариантность электромагнитного поля?

10. Как связан тензор электромагнитного поля в 4-потенциалом?

Глава 2. Уравнения электромагнитного поля 2.1. Уравнения Лагранжа для непрерывных систем В отличие от аналитической механики, где были введены лагранжев и гамильтонов формализмы для дискретных физических систем, в теории электромагнитного поля необходимо воспользоваться подходом, рассматривающим поле как непрерывную среду, т.е. континуум.

В первую очередь необходимо ввести полевые переменные, играющие в полевой теории роль обобщенных координат в аналитической механике и являющихся функциями независимых переменных. В нашем подходе – это четыре координаты: x 0, x1, x 2, x 3, которые не подвергаются варьированию, и будут обозначаться как x. Обозначим полевые переменные здесь как q ( x ), представляющие в нашем случае 4-потенциалы A, т.е. полевые переменные с точки зрения вариационного исчисления суть переменные величины и подвергаются варьированию. Вообще говоря, полевые переменные могут быть скалярами q( x ), описывающими скалярное поле, векторами q ( x ), отвечающими векторному полю (электродинамика), тензорами q ( x ), характеризующими тензорное поле, например гравитационное, и т.д.

Далее необходимо определить запись функции Лагранжа L для такой непрерывной (сплошной) среды, а затем действие S. Для этого вводится плотность функции Лагранжа как где q, есть аналог обобщенной скорости.

Функция Лагранжа теперь определятся как интеграл от плотности функции Лагранжа по 3-мерному объему Тогда действие запишется аналогично как в механике где в декартовой системе координат элемент 4-объема записывается как Из принципа наименьшего действия S = 0 для задачи с закрепленными концами получаются уравнения поля (аналоги уравнений движения в механике) где q, q / x частная производная полевой переменной q ( x ) по При получении уравнений (2.5) была использована теорема Гаусса для 3-мерного пространства и условия закрепления (2.4). Уравнения поля (2.5) представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных, в отличие от системы обыкновенных дифференциальных уравнений движения для материальных точек в механике.

2.2. Действие для электромагнитного поля В главе 1 было построено действие (1.7), состоящее из двух частей:

действия для свободной частицы, зависящего только от свойств частиц (см.

(1.5)), и действия, описывающего взаимодействие между электромагнитным полем и заряженной частицей (см. (1.5.а)). При нахождении уравнений движения мы считали, что частица движется в заданном электромагнитном поле и поэтому нам не нужны были уравнения самого поля. Однако часть общего действия, определяющая электромагнитное поле, становится необходимой, если мы хотим найти уравнения самого поля.

Для определения вида действия для поля нам следует усчитывать важное свойство электромагнитного поля, свойство суперпозиции. Другими слова, электромагнитное поле подчиняется принципу суперпозиции, т.е.

создаваемое системой зарядов поле есть результат простого сложения полей от каждого заряда. Это означает, что напряженности результирующего поля в каждой точке равны векторной сумме напряженностей в этой точке каждого из полей.

Необходимо подчеркнуть, что в выражение для действия поля не должны входить потенциалы поля из-за их неоднозначности. Тогда остаются производные от потенциалов, но только первого порядка, т.к. в функцию Лагранжа могут входить лишь первые производные по времени. Кандидатом, удовлетворяющим этим условиям, оказывается тензор электромагнитного поля. С другой стороны, действие есть скаляр, и поэтому должно быть интегралом от некоторого скаляра, которым и является инвариант F F.

Следовательно, часть общего действия, отвечающая за поле, должна иметь вид где знак минус взят для того, чтобы обеспечить единственный минимум для функционала действия, численный коэффициент связан с выбором системы единиц. В данном случае система СГС.

Таким образом, получаем плотность функции Лагранжа для электромагнитного поля а функция Лагранжа запишется как что позволит выписать полное действие для электромагнитного поля вместе с электрическими зарядами в нем В отличие от ранее рассматривавшегося случая движения зарядов в заданном электромагнитном поле, когда заряды считались пробными, теперь такое условие уже не накладывается на заряды, а 4-потенциалы A и напряженности электромагнитного поля F относятся к истинному полю, включающему в себя как само внешнее поле, так и поле, создаваемое зарядами.

Другими словами, A и F зависят как положения, так и от скорости зарядов системы.

2.3. Четырехмерный вектор тока и уравнение непрерывности Если рассматривать не только электромагнитное поле как непрерывную среду, но и систему электрических зарядов, введя непрерывное распределение зарядов в пространстве, то необходимо тогда определить понятие плотности заряда как заряд на единицу объема, обозначив как. Плотность заряда, вообще говоря, есть функция координат и времени, а интеграл по пространственному объему равен заряду, находящемуся в этом объеме.

Однако выше уже обсуждался вопрос, связанный с тем, что в реальности заряды необходимо считать точечными, что бы избежать противоречий.

Поэтому можно воспользоваться представлением точечного заряда через – функцию Дирака для записи плотности точечного заряда где индекс a нумерует заряды и место их положения, r a – радиус-вектор заряда qa.

Если просуммировать по всем точкам a зарядовые плотности, то получим распределение плотности электрического заряда в системе а интеграл по объему, занимаемому всеми зарядами системы, есть сумма зарядов системы Введем элементарный заряд и произведем его перемещение (сдвиг) на dx и воспользуемся тем, что этот сдвиг можно выразить через 4-скорость частицы Из соотношения (2.14) видно, что перемещение заряда можно описывать 4-вектором плотности тока, пропорциональным 4-скорости и имеющего следующие компоненты, где В сопутствующей системе отсчета (3-скорость заряда v = 0 ) получаем Так как электрический заряд есть инвариант относительно выбора системы отсчета, то полный заряд системы может быть записан как интеграл где в 4-мерном случае интегрирование производится по всей 4-мерной гиперповерхности, перпендикулярной оси времени x 0 = ct, а dS0 в сопутствующей системе отсчета совпадает с dV.

Используя (2.14), (2.15) и (2.18), перепишем общее действие (2.6) с учетом 4-вектора плотности тока Далее рассмотрим изменение электрического заряда в некотором 3объеме за счет наличия потока вектора плотности тока j через 2поверхность, охватывающую данный 3-объем.

Количество электрического заряда, проходящего через элемент 2поверхности d за единицу времени равно j d. Эта величина заряда может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от того втекает заряд в объем или вытекает, т.е. положительно или отрицательно скалярное произведение j d, что зависит от направления вектора j, т.к. вектор нормали к 2-поверхности всегда направлен в положительном направлении: наружу от рассматриваемого объема. Такой приток или отток заряда должен описываться изменением по времени величины заряда в данном объеме, выражением q / t. Учитывая, что при этом выполняется закон сохранения электрического заряда, следует записать или Воспользуемся теоремой Гаусса и запишем поток вектора j как Тогда соотношение (2.21) перепишется в виде Отсюда сразу получаем уравнение непрерывности 2.4. Уравнения Максвелла в 3-мерной и 4-мерной формах записи Воспользуемся выражениями для напряженностей электромагнитных полей (1.17) и (1.18) Теперь образуем от (2.25) следующие выражения Воспользовавшись тем, что ротор всякого градиента равен нулю, а дивергенция ротора всегда равна нулю, получим два уравнения на напряженности электромагнитного поля Полученные уравнения (2.27) и (2.28) суть первая пара уравнений Максвелла.

Если использовать теорему Гаусса, то из (2.28) вытекает интегральная формулировка одного из уравнений Максвелла: поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю, С помощью теоремы Стокса можно другое уравнение Максвелла записать в интегральной форме: циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру равна с обратным знаком производной по времени от потока магнитного поля через поверхность, ограничиваемую этим контуром Циркуляция вектора напряженности электрического поля известна еще в электротехнике как электродвижущая сила в заданном контуре.

Первая пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме может быть обобщена на 4-мерие, исходя из определения тензора электромагнитного поля через 4-потенциал, и записана как или, используя дуальное сопряжение, При нахождении второй пары уравнений Максвелла следует иметь ввиду ранее отмечавшееся по поводу введения полевых переменных, что варьируются потенциалы электромагнитного поля, а вектор плотности тока, координатные переменные не варьируются. Кроме того, в выражении действия (2.19) первое слагаемое при решении вариационной задачи на нахождение полевых уравнений равно нулю, т.к. связано с нахождением уравнений движения. Тогда Подставляя определение тензора электромагнитного поля через 4потенциал, применяя теорему Гаусса и условие исчезновения поля на пространственной бесконечности, приходим к интегралу В силу произвольности вариаций 4-потенциала, получаем уравнения Максвелла с источником в виде 4-вектора плотности тока Расписывая по компонентам систему уравнений (2.35) и выражая составляющие тензора электромагнитного поля через компоненты напряженностей электрического и магнитного полей, сведем (2.35) в трехмерных обозначениях к одному векторному и одному скалярному уравнениям Эти уравнения и представляют вторую пару уравнений Максвелла.

Вместе с первой парой уравнений (2.27) и (2.28) полученные уравнения являются системой уравнений Максвелла, описывающей электромагнитное поле.

Применение теоремы Гаусса к уравнению (2.37) позволяет записать это уравнение Максвелла в интегральной форме: поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном данной поверхностью, умноженному на коэффициент Векторное уравнение (2.36) с помощью теоремы Стокса может быть представлено в интегральной форме: циркуляция магнитного поля по некоторому контуру равна умноженной на коэффициент 4 / c сумме токов истинного и смещения, протекающих сквозь поверхность, ограничиваемую этим контуром Кроме истинных токов, связанных с движением электрических зарядов, появляется ток смещения, вызванные изменением электрическоого поля во времени Кроме того, учет коммутативности частных производных и антисимметричности тензора электромагнитного поля, можно получить из (2.35) закон сохранения 4-тока В трехмерных обозначениях (2.41) сводится к уравнению yепрерывности (2.39).

2.6. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля В начале главы были получены лагранжевы уравнения поля («уравнения движения») (2.5) для непрерывной среды. Естественно, что в такой среде существуют и законы сохранения. Одним из таких законов является закон сохранения тензора энергии-импульса (ТЭИ), который объединяет плотность энергии, плотность потока энергии и плотность потока импульса, называемы так же тензором напряжений.

В полевой теории этот закон записывается как где T – тензор энергии-импульса, определяемый в лагранжевом подходе выражением Знание ТЭИ позволяет вычислить импульс объема сплошной среды или поля, заключенного внутри гиперповерхности с элементом интегрирования dS, как интеграл Момент импульса определяется аналогично тому, как это делалось в механике Чтобы для замкнутой системы выполнялся закон сохранения момента импульса, тензор энергии-импульса должен быть симметричным Самая простая макроскопическая модель сплошной среды это идеальная жидкость, т.е. среда, в которой выполняется закон Паскаля и нет диссипативных процессов (вязкость, теплопроводность и т.п.).

Тензор энергии-импульса идеальной жидкости записывается как где p давление среды, = c 2 плотность массы-энергии, u 4скорость, g метрический тензор.

Набор физических величин, необходимых для описания электромагнитного поля в 4-мерном формализме объединяются в симметричный тензор энергии-импульса Из определения (2.48) видно, что этот тензор имеет нулевой след g T = 0, что на классическом уровне отражает отсутствие массы покоя у кванта электромагнитного поля – фотона.

Контрольные вопросы 1. В чем особенности вывода уравнений поля из вариационного принципа по сравнению с получением уравнений движения в аналитической механике?

2. Что такое плотность функции Лагранжа и как она связана с функцией Лагранжа?

3. Каков вид действия для электромагнитного поля?

4. Что такое вектор плотности тока?

5. Как выглядит уравнение непрерывности для тока?

6. Записать 1-ю пару уравнений Максвелла.

7. Записать 2-ю пару уравнений Максвелла.

8. Записать уравнения Максвелла в 4-мерной формулировке.

9. Как записать плотность точечного заряда?

10. Что такое тензор энергии-импульса идеальной жидкости?

11. Чему равен след тензора энергии-импульса электромагнитного поля?

Глава 3. Статические электрические и магнитные поля 3.1. Постоянное электрическое поле С точки зрения решения уравнений Максвелла, самый простой случай – это случай постоянного электрического поля при отсутствии магнитного. К тому же к этому случаю сводится немалая часть практических задач. Рассмотрим его.

В случае постоянного электрического поля – такое поле называется электростатическим – уравнения Максвелла имеют вид:

и электрическое поле E выражается только через скалярный потенциал соотношением Подставляя (3.3) в (3.1), находим уравнение, которому удовлетворяет потенциал постоянного электрического поля:

Это уравнение носит название уравнения Пуассона. В случае отсутствия зарядов рассматриваемой области, т. е. при равной нулю плотности зарядов, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Из последнего уравнения следует, в частности, что в такой области потенциал электрического поля нигде не может иметь ни максимума, ни минимума. Действительно, для того чтобы имело экстремальное значение, необходимо, чтобы все первые производные от по координатам были равны нулю, – а вторые производные имели одинаковый знак. Последнее, однако, невозможно, так как при этом не может быть удовлетворено уравнение (3.5).

3.2. Закон Кулона Покажем здесь, что закон Кулона есть одно из простейших решений уравнений Максвелла для электростатики.

Определим теперь поле, создаваемое точечным зарядом. Очевидно, что его можно определить двумя разными способами: или решая уравнение (3.5) для потенциала, или решая систему уравнений (3.1), (3.2) для поля. Мы пойдем по второму пути, как по более физическому. Из соображений симметрии ясно, что поле E будет направлено в каждой точке по радиус-вектору, проведенному из точки, в которой находится заряд e. Из тех же соображений ясно, что абсолютная величина E поля будет зависеть только от расстояния R до заряда. Для нахождения этой абсолютной величины воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса и применим уравнение (3.1.1) в интегральной форме:

Поток электрического поля через шаровую поверхность с радиусом R, проведенную вокруг заряда e, равен 4R 2 E, этот поток должен быть равен 4e. Отсюда находим:

или в векторном виде:

Таким образом, поле, создаваемое точечным зарядом, обратно пропорционально квадрату, расстояния от этого заряда. Это — так называемый закон Кулона. Потенциал этого поля Если мы имеем систему зарядов, то создаваемое ею поле, согласно принципу суперпозиции, равно сумме полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Потенциал такого поля равен где R — расстояние от заряда e до точки, в которой мы ищем потенциал.

Если ввести плотность заряда, то эта формула приобретает вид где R — расстояние от элемента объема dV до данной точки («точки наблюдения») поля.

Отметим что при выводе (3.11) использовано определение 3-х мерной –функции: при подстановке в (3.11) значений и для точечного заряда, т.

е. = e( R) и = e / R получается следующее математическое соотношение:

которое определяет 3-х мерную –функцию через лапласиан.

3.3. Поле равномерно движущегося заряда Интересно отметить, что при желании магнитное поле можно считать «несамостоятельным», просто как проявление эффектов специальной теории относительности.

Определим поле, создаваемое зарядом e, движущимся равномерно со скоростью v. Неподвижную систему отсчета будем называть системой K ;

систему отсчета, движущуюся вместе с зарядом, — системой K. Пусть заряд находится в начале координат системы K ; система K движется относительно K параллельно оси x ; оси y и z параллельны y и z. В момент времени t = 0 начала обеих систем совпадают. Координаты заряда в системе K, следовательно, x = vt, y = z = 0. В системе K мы имеем постоянное электрическое поле с векторным потенциалом A = 0 и скалярным = e / R, где R2 = x2 + y2 + z2. Применяя преобразования Лоренца для потенциалов электромагнитного поля, в системе K получаем Мы должны теперь выразить R через координаты x, y, z в системе K. Согласно формулам преобразования Лоренца и отсюда Подставляя это в (3.13), находим:

где введено обозначение Векторный потенциал в системе K равен В системе K магнитное поле H отсутствует, а электрическое А в системе K Используя (3.17), находим:

где R — радиус-вектор от заряда e к точке наблюдения x, y, z поля (его компоненты равны x vt, y, z ).

Это выражение для E можно написать в другом виде, введя угол между направлением движения и радиус-вектором R. Очевидно, что y 2 + z 2 = R 2 sin 2, и потому R* можно написать в виде Тогда для E имеем;

При заданном расстоянии R от заряда величина поля E возрастает с увеличением от нуля до /2 (или при уменьшении от до /2 ). Наименьшее значение поле имеет в направлении, параллельном направлению движения ( = 0, ); оно равно Наибольшим же является поле, перпендикулярное к скорости ( = /2 ), равное Отметим, что при увеличении скорости поле E|| падает, a E возрастает. Можно сказать, что электрическое поле движущегося заряда как бы «сплющивается» по направлению движения. При скоростях v, близких к скорости света, знаменатель в формуле (3.23) близок к нулю в узком интервале значений вокруг значения = /2. Ширина этого интервала порядка величины Таким образом, электрическое поле быстро движущегося заряда на заданном расстоянии от него заметно отлично от нуля лишь в узком интервале углов вблизи экваториальной плоскости, причем ширина этого интервала падает с увеличением v как 1 v 2 / c 2.

Магнитное поле в системе K равно В частности, при v > r ). Для этого разложим его в ряд по степеням r / R0, воспользовавшись формулой (в grad дифференцирование производится по координатам конца вектора R0 ).

С точностью до членов первого порядка Здесь Q = e - полный заряд системы, а сумма носит название дипольного момента системы зарядов. Существенно, что если сумма всех зарядов Q равна нулю, то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Действительно, радиус-векторы r и r одного и того же заряда в двух разных системах координат связаны друг с другом соотношением ный момент в обеих системах одинаков:

Рассмотрим физический смысл дипольного момента. Если обозначить посредством e +, r + и e, r положительные и отрицательные заряды системы и их радиус-векторы, то можно написать дипольный момент в виде где — радиус-векторы «центров зарядов» положительных и отрицательных зарядов. Если e + = e = e, то где R+ есть радиус-вектор от центра отрицательных к центру положительных зарядов. В частности, если имеются всего два заряда, то R+ есть радиусвектор между ними.

Если полный заряд системы равен нулю, то потенциал ее поля на больших расстояниях Напряженность поля или окончательно где n — единичный вектор в направлении R0. Полезно также указать, что E можно представить, до выполнения дифференцирований, в виде Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой с равным нулю полным зарядом, на больших расстояниях обратно пропорционален квадрату, а напряженность поля — кубу расстояния. Это поле обладает аксиальной симметрией вокруг направления d. В плоскости, проходящей через это направление (которое выберем в качестве оси z ), компоненты вектора E :

Радиальная же и тангенциальная составляющие в этой плоскости Продолжим теперь разложение потенциала по степеням 1 / R0. Пусть в член (n ) пропорционален 1 / R0 n+1. Мы видели, что первый член, (0 ), определяется суммой всех зарядов; второй, (1), называемый дипольным потенциалом системы, определяется ее дипольным моментом.

Третий член разложения равен где сумма берется по всем зарядам; индекс, указывающий номер заряда, мы здесь опустили; x — компоненты вектора r, а X — вектора R0. Эта часть потенциала обычно называется квадрупольным потенциалом. Если сумма зарядов и дипольный момент системы равны нулю, то разложение начинается с (2 ). В выражение (3.47) входят шесть величин ex x. Однако можно видеть, что в действительности поле зависит не от шести независимых величии, а только от пяти. Это следует из того, что функция 1 / R0 удовлетворяет уравнению Лапласа:

и мы можем в (3.47) явно выделить равную нулю сумму по совпадающим индексам Поэтому Тензор называется квадрупольным моментом системы. Мы подобрали коэффициент (перед x x ) так, что след этого тензора — сумма его диагональных компонент — равна нулю:

Симметричный тензор D имеет, поэтому, всего пять независимых компонент. С его помощью можно написать:

или, произведя дифференцирование и учитывая, что D = D = 0, Как и всякий симметричный трехмерный тензор, тензор D может быть приведен к главным осям. При этом в силу условия (3.52) в общем случае лишь два из трех главных значений независимы. Если же система зарядов симметрична относительно некоторой оси (ось z ) (имеется в виду ось симметрии любого порядка выше второго), то она же является одной из главных осей тензора D. Тогда положение двух других осей в плоскости xy произвольно, и все три главных значения связаны между собой:

Обозначая компоненту D zz как D (ее называют обычно в этом случае просто квадрупольным моментом), получим потенциал в виде где — угол между R0 и осью z, а P2 — полином Лежандра.

Подобно тому как это было сделано для дипольного момента, легко убедиться в том, что квадрупольный момент системы не зависит от выбора начала координат, если равны нулю как полный заряд, так и дипольный момент системы.

Аналогичным образом можно было бы написать следующие члены разложения (3.46). l -й член разложения определяется тензором (так называемым тензором 2 l -польного момента) l -го ранга, симметричным по всем своим индексам и обращающимся в нуль при свертывании по любой паре индексов;

можно показать, что такой тензор обладает 2l + 1 независимыми компонентами. (Такой тензор называют неприводимым. Обращение в нуль при свертывании означает, что из его компонент нельзя составить компонент какоголибо тензора более низкого ранга.) Мы напишем, однако, здесь общий член разложения потенциала в другом виде, использовав известную из теории сферических функций формулу где — угол между R0 и r. Введем сферические углы, и,, образуемые соответственно векторами R0 и r с фиксированными осями координат, и воспользуемся известной теоремой сложения для сферических функций:

где Pl m — присоединенные полиномы Лежандра. Введем также сферические функции Тогда разложение (3.58) примет вид Произведя такое разложение в каждом члене суммы (3.46), получим окончательно следующее выражение для l -го члена разложения потенциала:

где Совокупность 2l + 1 величин Qm ) составляет 2l -польный момент систеl мы зарядов.

Определенные таким образом величины Qm ) связаны с компонентами вектора дипольного момента d формулами Величины же Qm2 ) связаны с компонентами тензора D соотношениями Задача ([1]. Стр. 138) Определить квадрупольный момент однородно заряженного эллипсоида относительно его центра.

Решение. Заменяя суммирование в (3.51) интегрированием по объему эллипсоида, имеем:

Выбираем оси координат вдоль осей эллипсоида с началом в его центре; из соображений симметрии очевидно, что эти же оси являются главными осями тензора. Преобразованием интегрирование по объему эллипсоида сводится к интегрированию по объему сферы единичного радиуса В результате получим:

где e = abc — полный заряд эллипсоида.

3.5. Система зарядов во внешнем поле Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем электрическом поле с потенциалом (r ). Потенциальная энергия каждого из зарядов есть e (r ), а полная потенциальная энергия системы равна Выберем снова систему координат с началом где-нибудь внутри системы зарядов; r — радиус-вектор заряда e в этих координатах.

Предположим, что внешнее поле достаточно слабо меняется на протяжении системы зарядов. Тогда мы можем разложить энергию U в ряд по степеням r :

В этом разложении первый член есть где 0 — значение потенциала в начале координат. В этом приближении энергия системы такова, как если бы все заряды находились в одной точке.

Второй член разложения Введя напряженность поля E0 в начале координат и дипольный момент d системы, имеем:

Как и следовало ожидать, у нас получилась энергия взаимодействия дипольного момента системы d с внешним полем E0. Полная сила, действующая на систему во внешнем поле, есть, с точностью до рассмотренных членов, Если полный заряд равен нулю, то первый член исчезает и тогда т. е. сила определяется производными напряженности поля (взятыми в начале координат). Полный же момент действующих на систему сил есть т, е. определяется самой напряженностью поля.

Рассмотрим две системы с равными нулю суммами зарядов в каждой из них и дипольными моментами d1 и d 2, причем их взаимное расстояние велико по сравнению с их собственными размерами. Определим потенциальную энергию U их взаимодействия. Для этого можно рассматривать одну из этих систем как находящуюся в поле второй. Тогда где E1 — поле первой системы. Подставляя вместо E1 выражение для поля диполя (3.42), находим:

где R — вектор расстояния между обеими системами.

Для случая, когда у одной из систем сумма зарядов отлична от нуля и равна e, аналогичным образом получаем:

Здесь R — вектор, направленный от диполя к заряду. Следующий член разложения равен Здесь мы опять опустили индексы, указывающие номер заряда; значения вторых производных от потенциала берутся в начале координат. Поскольку же потенциал (r ) создается внешними зарядами и в рассматриваемой области удовлетворяет уравнению Лапласа, то или, окончательно, Теперь понятно, что общий член ряда (3.72) может быть выражен через определенные в предыдущем параграфе 2 l -полные моменты Dm ) рассматриl ваемой системы зарядов. Для этого надо предварительно разложить потенциал (r ) в ряд по шаровым функциям вблизи начала координат. Общий вид такого разложения:

где r,, — сферические координаты точки, а alm — постоянные коэффициенты разложения. Составляя сумму (3.85) и учитывая определение (3.71), после суммирования получаем:

— общее решение поставленной задачи.

3.6. Постоянное магнитное поле После рассмотрения постоянного электрического поля естественно перейти к рассмотрению постоянного магнитного поля. Уравнения Максвелла в этом случае записываются как и их решение описывает магнитостатику.

Введем векторный потенциал A Подставив это в уравнение (3.88), получим:

Поскольку векторный потенциал поля определен неоднозначно, с точностью до градиента достаточно произвольной функции, уточним его дополнительным условием. Причем выберем это условие калибровки так, чтобы упростить уравнение (3.89):

Тогда уравнение, определяющее векторный потенциал постоянного магнитного поля, приобретает вид Решение этого уравнения легко найти, заметив, что (3.92) вполне аналогично уравнению Пуассона для скалярного потенциала постоянного электрического поля, причем вместо плотности заряда стоит плотность тока j.

По аналогии с решением уравнения Пуассона мы можем написать где R — расстояние от точки наблюдения поля до элемента объема dV.

В случае точечных зарядов в этой формуле нужно перейти от интеграла к сумме по зарядам, подставляя вместо j произведение ev. При этом, чтобы рассматривать стационарный случай, полученные результаты нужно усреднить по времени.

Зная A, можно найти напряженность поля:

Операция rot производится по координатам точки наблюдения. Поэтому rot можно перенести под знак интеграла и, более того, при дифференцировании можно считать j постоянным. Тогда и, следовательно, где радиус-вектор R направлен из dV в точку наблюдения. Мы получили закон Био и Савара.

3.7. Магнитный момент Естественно, что полученные выше результаты о мультипольном разложении электростатического поля применимы и в случае магнитостатики.

Если область токов занимает ограниченную область пространства, то, выбрав центр координат внутри этой области, для расстояний, существенно превышающих размер области токов, имеем где Промежуточные выкладки, как нетрудно убедиться, полностью аналогичны (3.61)-(3.63), там же описан выбор сферических координат точки наблюдения R,, и области интегрирования r,,.

Ожидаемое отличие от электростатики состоит в том, что, вследствие отсутствия магнитных зарядов, Qm ) должно равняться нулю. Убедимся, что это так. Рассмотрим следующий интеграл:

Умножим вектор Qm ) на произвольный постоянный вектор a и с помощью уравнения Максвелла в виде (3.92) выразим j через A. Тогда Но, в силу постоянства a, и тогда с помощью теоремы Остроградского-Гаусса получаем где интегрирование проводится по достаточно произвольной замкнутой поверхности, включающей в себя область не равных нулю токов.

Дальнейшие рассуждения менее очевидны. Наша цель - преобразовать подинтегральное выражение в (3.102) так, что бы была возможность воспользоваться теоремой Стокса. Для чего заметим, что для постоянного вектора a но, с другой стороны Тогда поскольку divA = 0. Теперь мы можем воспользоваться теоремой Стокса:

В последнем интеграле интегрирование проводится по кривой, «ограничивающей» поверхность интегрирования: поскольку эта поверхность замкнута, то такой кривой не существует, и любой неособенный интеграл по этой кривой будет равен нулю. В самом деле, возьмем незамкнутую поверхность, как часть рассматриваемой, и будем достраивать ее до замкнутой. При этом граница такой поверхности будет стремиться к точке, и интеграл по ней – к нулю.

Итак, для произвольного постоянного вектора a aQm ) = 0, и, следовательно, Qm ) = 0.

Получим теперь выражение для магнитного дипольного момента. Без труда можно записать аналогичное (3.34) выражение, но магнитный дипольный момент принято определять таким образом, что бы выражение для магнитного поля магнитного диполя было подобно выражению для электрического поля электрического диполя. Поскольку же магнитное поле выражается через ротор векторного потенциала, то в выражении для потенциала появится векторное произведение.

С точностью до дипольных членов запишем (3.93) в виде и выделим в подинтегральном выражении полную дивергенцию. Поскольку такое выделение средствами векторного анализа неочевидно и выглядит как «подгонка под известный ответ», воспользуемся для этой цели физическими соображениями.

Поскольку электрический ток создают движущиеся заряды, то, считая их точечными, в (3.107) переходим от интегрирования к суммированию:

где индекс перечисляет заряды величиной e, движущиеся со скоростями v ; r - их радиус – векторы. Здесь важно отметить, что при таком рассмотрении в стационарном случае необходимо проводить усреднение по времени, которое обозначается чертой сверху. Для проведения такого усреднения отметим, что, если движение зарядов финитно, то среднее значение полной производной по времени какой-либо физической величины равно нулю. Таким образом, вместо выделения полной дивергенции в (3.107) нам необходимо выделить полную производную по времени в (3.108). Поскольку v = r, тогда, оставляя «симметричное» (точнее, антисимметричное) по v и r выражение, получаем где отброшено равное нулю среднее значение производной по времени и выделено двойное векторное произведение.

называется магнитным моментом системы. Тогда в дипольном приближении Зная векторный потенциал, найдем напряженность магнитного поля:

Вспоминая, что получаем и учитывая, что окончательно получаем:

где n — снова единичный вектор в направлении R. Мы видим, что магнитное поле выражается через магнитный момент такой же формулой, какой электрическое поле выражается через дипольный.

Если у всех зарядов системы отношение заряда к массе одинаково, то мы можем написать:





Похожие работы:

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Липецкий государственный технический университет УТВЕРЖДАЮ Декан ЭФ Московцев В.В. _2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ МЕНЕДЖМЕНТА Направление подготовки: 080200.62 Менеджмент Профили подготовки: Менеджмент организации, Маркетинг, Финансовый менеджмент Квалификация (степень) выпускника: бакалавр Форма обучения: очная г. Липецк – 2011 г. Содержание 1. Цели освоения учебной дисциплины 2. Место учебной...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С.М. Кирова ЛЕСНОЕ РЕСУРСОВЕДЕНИЕ Методические указания по выполнению лабораторных и практических работ. Рабочая программа и контрольные задания для студентов специальности 250401 и направления 250300 всех форм обучения Санкт-Петербург 2008 Рассмотрены и рекомендованы к изданию Научно-методическим советом...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ПО ДИСЦИПЛИНАМ РУП ООП 270115.65 Экспертиза и управление недвижимостью № Обозначение п/п Название дисциплины Методическое обеспечение по РУП (сквозная ГСЭ Гуманитарный, социальный и экономический цикл ГСЭ.Ф.2 Физическая культура 1. Методика обучения игре в волейбол: Учебное пособие/ Т. Г. Перцева, Г. Г. Попова. – 1 Братск: ГОУ ВПО БрГУ, 2008. – 61 с. 2. Волейбол: Контрольные упражнения/ Т. Г. Перцева, Г. Г. Попова. – Братск: ГОУ ВПО БрГУ, 2003. – 15 с. 3. Методика...»

«Д.А. Ендовицкий Н.А. Ишкова УЧЕТ ЦЕННЫХ БУМАГ Под редакцией профессора Д.А. Ендовицкого Рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности Бухгалтерский учет, анализ и аудит Третье издание, переработанное и дополненное УДК 657(075.8) ББК 65.052я73 Е62 Рецензенты: В.Г. Гетьман, д-р экон. наук, проф., В.Г. Широбоков, д-р экон. наук, проф., М.Б. Чиркова, д-р экон. наук, проф. Ендовицкий Д.А. Учет...»

«КОМИТЕТ ПО КУЛЬТУРЕ И ТУРИЗМУ РЯЗАНСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЛЬТУРЫ РЯЗАНСКАЯ ОБЛАСТНАЯ УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА ИМЕНИ ГОРЬКОГО ЕЖЕГОДНИК РЯЗАНСКОЙ ПЕЧАТИ УКАЗАТЕЛЬ ДОКУМЕНТОВ, ПОСТУПИВШИХ В БИБЛИОТЕКУ в 2007 году Рязань 2011 ББК 91 Е 36 Cоставители: гл. библиограф отдела краеведения О.Я.Азовцева, гл. библиограф отдела краеведения Л.Н. Чернышева, гл. библиотекарь отдела комплектования и обработки литературы М.С. Разумова. Ежегодник Рязанской печати: Указатель документов,...»

«СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Перейдем к изучению систем уравнений. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений. В общем виде систему линейных уравнений можно представить в виде: dx dt = ax + by, (4.1) dy = cx + dy. dt Анализ системы уравнений начинается с нахождения стационарных состояний. У систем вида...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Электростальский политехнический институт филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования Национальный исследовательский технологический университет МИСиС Проект Редакционно-издательский сектор Нанобашвили Н.В., Писарев С.В. Внутривузовское учебное издание Методические указания Рекомендовано методическим советом института ЭЛЕКТРОСТАЛЬ 2012 УДК 373.167.1 Н 25 Рецензент канд.физ.-мат. наук, доц....»

«Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования Омская юридическая академия МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению курсовой работы для студентов экономических специальностей и направлений подготовки Омск 2012 ББК 65р30 М 54 Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов экономических специальностей и направлений подготовки / сост. М. В. Мясникова, С. М. Толкачев. – Омск : Омская юридическая академия, 2012. – 64 с. Рецензенты: М. Б. Ионина, доцент кафедры...»

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №34 ГОРОДА ТИХОРЕЦКА МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТИХОРЕЦКИЙ РАЙОН УТВЕРЖДЕНА решением педсовета протокол № 1 от 30 августа 2013 года председатель педсовета _ Гринь А.В. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА По истории Ступень обучения (класс) основное общее образование, 5 классы Количество часов: 68 часов в год, 2 часа в неделю Учителя Нетяева Елена Васильевна Шикинова Людмила Михайловна Программа разработана на основе...»

«Л.И. Горбунова, Г.С. Келлер КУЛЬТУРОЛОГИЯ Часть I ЧЕЛОВЕК – ОБЩЕСТВО - КУЛЬТУРА 2 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л.И. Горбунова, Г.С. Келлер КУЛЬТУРОЛОГИЯ ЧЕЛОВЕК – ОБЩЕСТВО - КУЛЬТУРА Допущено Ученым советом МГТУ в качестве учебного пособия для студентов и курсантов по дисциплине Культурология для всех специальностей МГТУ Мурманск УДК 008.001...»

«199034, Россия, Санкт-Петербург,14-я линия, В.О., д.7 оф.611 тел/факс: +7 (812) 677-05-07 [email protected] http://eduvideo.ru Предложение о проведении образовательного семинара для профессорско-преподавательского и управленческого состава вуза Внедрение федеральных государственных образовательных стандартов требует внедрения современных и интерактивных технологий обучения в учебный процесс. В этой связи, особенно остро стоит вопрос о повышении квалификации профессорско-преподавательского...»

«Английский язык в вашем учебном заведении Успех не приходит сам – Вы идёте к нему с Оксбридж Москва, РЕЛОД, 2014 г. Акция Сезонный заказ: учебники в срок и со скидками! Уважаемые руководители и преподаватели учебных заведений! Спешите запастись учебниками на будущий учебный год заранее! Вовремя. Удобно. Выгодно. Успейте воспользоваться привлекательными условиями на приобретение учебной литературы по английскому, французскому и испанскому языкам! Наши учебные пособия – отличные результаты...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ЗАОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ КОММЕРЦИИ, МЕНЕДЖМЕНТА и ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра Сервиса, товароведения и экспертизы товаров ТАМОЖЕННЫЕ ПЛАТЕЖИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ И КУРСОВОЙ РАБОТ студентам 4* и 5 курса специальности 351300 (080301) – Коммерция (торговое дело) (специализации 351308 – Коммерция в сфере таможенных услуг) Издание 2-е, переработанное и...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.С. ПУШКИНА ЮРИДИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по оформлению текстовых материалов курсовых работ, дипломных работ и отчетов по практикам кафедры экономики и управления Брест 2014 ВВЕДЕНИЕ Настоящие методические указания устанавливают обязательные единые требования для подготовки текстовых материалов курсовых и дипломных работ, отчетов по...»

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ на оборудовании фирмы Фесто по дисциплинам Элементы и системы автоматизированного пневмогидропривода для студентов специальностей Автоматизированное управление технологическими процессами, Автоматизация и комютерно интегрированные технологии 7.092501, 7. дневной и заочной форм обучения часть Севастополь Create PDF files without this message by...»

«Информация о методических документах, разработанных на кафедре теоретической и прикладной лингвистики для образовательного процесса по ООП 035700.68 Лингвистика 1. Учебно-методическое обеспечение для самостоятельной работы студентов: 1.1. Учебники и учебные пособия 1. Боженкова, Н.А., Боженкова, Р.К. Деловое письмо: справочное пособие / Н.А. Боженкова, Р.К. Боженкова. – Курск, 2001. – 62 с. 2. Боженкова, Р.К., Боженкова, Н.А. Русский язык и культура речи: Учебное пособие. В 3-х ч. / Р.К....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА Факультет сервисных технологий Кафедра технологии в сервисе и туризме ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему: Разработка мероприятий по повышению конкурентоспособности предприятия (на примере ООО АСТРОМУС, г. Москва) по специальности: 080502.65 Экономика и управление на предприятии (в сфере...»

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра менеджмента и внешнеэкономической деятельности предприятия Одобрена: Утверждаю: кафедрой менеджмента и ВЭД предприятия протокол № 8 от 5 апреля 2012 г. Декан ФЭУ В.П. Часовских Зав. кафедрой _В.П. Часовских Методической комиссией ФЭУ Протокол № 8 от 26 апреля 2012г. Председатель НМС _Д.Ю. Захаров Программа учебной дисциплины ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЛЕСОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина Утверждено на заседании кафедры социальной психологии и социальной педагогики Протокол № 2 от 5.12.2006 г. Зав. кафедрой д-р. психол. наук, проф. А.Н. Сухов ПСИХОЛОГИЯ СЕМЬИ, МАЛОЙ ГРУППЫ И ИХ РАЗВИТИЕ Программа курса и методические материалы Для специальности 030301 — Психология Факультет педагогики и психологии Курс 3,...»

«ВНИМАНИЕ учащимсязаочникам! Данный экземпляр методических рекомендаций является предварительным, черновым вариантом и будет дорабатываться. Изменениям подвергнутся методические рекомендации по изучению учебной дисциплины и рекомендации по выполнению домашних контрольных работ. Задания для домашних контрольных работ и распределение их по вариантам изменены НЕ БУДУТ!!!!!! Приносим извинения за временные неудобства. Администрация МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.